1.4 随机事件的独立性
1.4 事件的独立性及贝努力概型
例2 某人进行射击,设每次射击的命中率为p,独立射击n次， 试求至少击中两次的概率
解: 以X记击中次数
P(X2) =1-P(X<2) =1-P(X=0)-P(X=1) =1-(1-p)n-Cn1p(1-p)n-1
例3 做一系列独立试验,每次试验中成功的概率为p,求 在成功n次之前已经失败了m次的概率 解： 令A={第n+m次试验成功} B={前n+m-1次试验中失败m次(成功了n-1次)} C 则所求的概率为： P(AB)=P(A)P(B)= p · mn+m-1 (1-p) mpn-1
(2) 假设需要n门高射炮, 则由题意:P(A1∪…∪An )>0.99
一.贝努里概型
1.试验的独立性概念 定义4:设事件A,B分别是试验E1,E2的任意两个事件, 若 P(AB)=P(A)P(B), 则称试验E1,E2是相互独立的 “试验是相互独立的”指的是试验的结果是相互独立的
设一个试验E只有两个可能的结果A,A,且P(A)=p,P(A)=1-p=q (p<1) 将E独立地重复n次,构成一个试验,叫做(n重)贝努里试验, 记作En (概型)
“一次抛掷n枚硬币”的试验可以看成“一枚硬币重复抛n次”， 所以也可以看成一个(n重)贝努里试验 掷一颗骰子,有六种结果.但如果我们只关心“出现六点”与 “不出现六点”这两种情况,则“掷一颗骰子”也可以看作是 (一重)贝努里试验．
?
2.二项概率
二项概率公式
b(k;n,p)= P({En中事件A恰好出现k次})=Cnk pkqn-k
则称事件A,B,C相互独立
注
A,B,C相互独立 A,B,C两两相互独立； ？
2)多个事件的独立性 定义3: (略)
随机事件的独立性与互斥性知识点
随机事件的独立性与互斥性知识点随机事件是指在一定的条件下，可能发生也可能不发生的事件。
在概率论中，研究随机事件之间的关系非常重要，其中独立性与互斥性是两个基本概念。
本文将介绍随机事件的独立性与互斥性的定义、性质以及在实际问题中的应用。
一、独立事件的定义与性质独立事件是指两个或多个事件发生的结果不会相互影响的事件。
具体来说，如果事件 A 和事件 B 是独立事件，那么事件 A 的发生与否不会对事件 B 的发生产生影响，反之亦然。
独立事件的性质如下：1. 乘法公式：对于两个独立事件 A 和 B，它们同时发生的概率等于它们分别发生的概率之积，即P(A∩B) = P(A) × P(B)。
2. 加法公式：对于两个独立事件 A 和 B，它们至少有一个发生的概率等于它们分别发生的概率之和减去它们同时发生的概率，即P(A∪B) = P(A) + P(B) - P(A∩B)。
独立事件的性质保证了事件之间的独立性，使得我们可以通过简单的计算得到复杂事件的概率。
二、互斥事件的定义与性质互斥事件是指两个事件不可能同时发生的事件。
具体来说，如果事件 A 和事件 B 是互斥事件，那么事件 A 的发生就排除了事件 B 的发生，反之亦然。
互斥事件的性质如下：1. 加法公式：对于两个互斥事件 A 和 B，它们至少有一个发生的概率等于它们分别发生的概率之和，即 P(A∪B) = P(A) + P(B)。
互斥事件的性质使得我们可以通过计算事件的发生概率，确定事件之间的关系，从而进行合理的判断和决策。
三、独立事件与互斥事件的区别与联系独立事件和互斥事件都是描述随机事件之间关系的概念，但它们的定义和性质有所不同。
1. 独立事件是指两个或多个事件的发生结果不会相互影响，而互斥事件是指两个事件不可能同时发生。
2. 独立事件的加法公式和乘法公式可以用于计算独立事件的概率，而互斥事件只需要使用加法公式就可以计算。
独立事件和互斥事件在实际问题中有着广泛的应用。
概率论1.4贝努利公式
1、A、B相互独立， P( A) 0, P( B) 0, 则一定有 P( A B) （
A.
P( A) P( B)
）.
B. P( A) P( B)
C. 1 P( A) P( B)
D. 1 P( A) P( B)
2、甲乙两人独立破译密码，若他们各人译出的概率均 为0.25，则这份密码能破译的概率为( ). 3、若A、B相互独立， P( A) 0.5, P( B) 0.6, 则 P( A B) （ ）. A. 0.9 B. 0.7 C. 0.2 D.0.1 4、A、B为两个随机事件，若A，B之积为不可能事件， 则称 A. A与B 相容 B. A与B互不相容 C. A与B 互为独立 D. A与B为样本空间的一个划分
（2）家庭中有三个小孩。 解 情形（2）的样本空间为
Ω ={（男男男），（男男女），（男女男），（女男男） （男女女），（女男女），（女女男），（女女女）}
6 1 3 P( A) , P( B) , P( AB) 8 2 8
此种情形下，事件A、B是独立的。
定理
下列四组事件，有相同的独立性：
P( B)
贝叶斯公式 Bayes’ Theorem
设A1，A2，…, An构成完备事件组，且诸P（Ai）>0)
B为样本空间的任意事件，P（ B） >0 , 则有
P ( Ak | B )
P ( Ak ) P ( B | Ak )
P( A ) P( B | A )
i i i 1
n
证明
P ( Ak B ) P ( Ak B ) P( B)
（2）家庭中有三个小孩。
解 情形（1）的样本空间为 Ω ={（男男），（男女），（女男），（女女）}
沈阳理工大学 概率论C32
《概率论与数理统计C》课程教学大纲课程代码：090011017课程英文名称：Probability and Mathematical Statistics课程总学时：32 讲课：32 实验：0上机：0适用专业：除经管、机械、装备的其它理工科专业大纲编写（修订）时间：2010.7一、大纲使用说明（一）课程的地位及教学目标概率论是研究随机现象客观规律并付诸应用的数学学科，是工科本科各专业的一门重要基础理论课，通过本课程教学，使学生掌握概率论的基本概念和基本理论，初步学会处理随机现象的基本思想和方法，培养解决实际问题的能力。
为学习有关专业课和扩大数学知识方面提供必要的数学基础。
（二）知识、能力及技能方面的基本要求知识方面的基本要求通过本科程的学习，使学生掌握：1 概率论中三个最基本的概念：随机事件、概率（条件概率）、事件的独立性；2概率论中核心理论-随机变量的理论：分布律、概率密度、分布函数、数字特征。
能力方面的基本要求通过本科程的学习，够初步掌握处理随机现象的基本理论和方法。
并在逻辑思维、推理和综合运用数学知识分析和解决随机问题方面的能力有所提高。
为进一步学习和研究随机现象及数学建模等其他数学学科的学习打下基础。
技能方面的基本要求通过本课程的学习，使学生获得1 计算概率的基本方法：古典概型、几何概型、伯努利概型；2使用随机变量理论的四大工具：分布律、概率密度、分布函数、数字特征的基本技能。
（三）实施说明本课程以课堂讲授为主、精讲多练，并且安排一定数量的知识来解题。
指导学生如何应用所学的知识未解题。
在名章节中可安排一定内容引导学生自学，对要求自学的内容光焕发，布置一定的课外思考题或讨论题，提高学生思考问题和解决问题的能力。
（四）对先修课的要求本课的先修课程：高等数学。
（五）对习题课、实践环节的要求1 对习题课的要求建议安排二次习题课，第一次在第二章完成之后，主要解决课后习题和学生集中存在的一些问题。
第二次在所有教学内容结束后，解决后三章的课后习题及问题。
《概率学》1.4条件概率与独立性
(2)若n个事件A1, A2, …, An独立，则将其中部分事件 换为对立事件所得的事件组也独立．
(3) 若A1, A2, …An是相互独立的，则 P(A1A2…An)= P(A1)P(A2)…P(An）;
P(A1 A2 An) 1 P(A1 A2 An).
1 P( A1 A2
An ) 1 P( A1 ) P( A2 ) P(1An ). 6 山东农业大学公共数学系概率统计课程组 版权所有
解： 设A, B, C 分别表示甲、乙、丙机床不需要照看三 个事件，则 P(A) = 0.1，P(B) = 0.2，P(C) = 0.15
由题意A, B, C 相互独立，所求概率分别为
(1) P( ABC) P( A)P(B)P(C) 0.1 0.2 0.15 0.003.
(2) P( A B C) 1 P( A B C) 1 P( ABC)
（2） P( A1 A2 A3) P( A1)P( A2 | A1)P( A3 | A1A2)
3 2 7 0.0583.
10 9 8
1
0
山东农业大学公共数学系概率统计课程组 版权所有
第4节 条件概率与独立性
第一章 事件与概率
例5(罐子模型). 罐中有 a 个白球、b 个黑球，每次从 中任取一个，取出后将球放回，再加入c 个同色球,若连 续从罐中取球三次, 求三次都取到黑球的概率 .
第4节 条件概率与独立性
第一章 事件与概率
例7.一工人照看三台机床，在一小时内甲、乙、丙 三台机床不需要照看的概率分别为0.1，0.2和0.15，各 台机床是否需要照看是独立的。求在一小时内 (1)没有 一台机床需要照看的概率； (2)至少有一台机床不需 要照看的概率； (3)最多有一台机床需要照看的概率。
随机事件的独立性名词解释
随机事件的独立性名词解释随机事件独立性是概率论中的重要概念，用来描述两个或多个事件之间的关系。
独立事件指的是当一个事件的发生与其他事件无关时，它们在统计意义上是相互独立的。
本文将对随机事件的独立性进行详细的解释和探讨。
1. 事件的概念在概率论中，事件是指可能发生或不发生的某个结果。
举个例子，掷骰子的结果可以是1、2、3、4、5或6，每一个结果都是一个事件。
事件有时也被称为样本点。
2. 随机事件的定义随机事件是指我们无法确定结果的事件。
这些事件在重复试验的情况下可能出现不同的结果。
例如，在抛硬币的实验中，结果可以是正面或反面，而我们无法确定每一次抛硬币的结果。
3. 随机事件的独立性随机事件的独立性是指两个或多个事件之间相互独立的性质。
当两个事件彼此无关时，它们在统计上是相互独立的。
独立性可以被定义为事件A和B同时发生的概率等于事件A发生的概率乘以事件B发生的概率。
例如，当抛一枚硬币两次时，每一次的结果都是独立的，第一次抛硬币的结果不会影响第二次抛硬币的结果。
4. 独立事件的计算方法为了判断两个事件是否独立，可以使用以下计算方法：- 如果事件A和事件B同时发生的概率等于事件A发生的概率乘以事件B发生的概率，即P(A∩B) = P(A) * P(B)，则事件A和事件B是独立的；- 如果事件A和事件B同时发生的概率小于事件A发生的概率乘以事件B发生的概率，即P(A∩B) < P(A) * P(B)，则事件A和事件B是不独立的。
5. 独立事件的应用随机事件的独立性在概率论和统计学中有广泛的应用。
在实际生活中，许多事件的独立性决定了我们如何进行决策和预测。
举例来说，假设每天早上去上班的时间服从一个随机变量，而去上班的交通方式也服从另一个随机变量。
如果这两个随机变量是独立的，这意味着每天早上去上班的时间不会受到选择交通方式的影响，我们可以根据历史数据来估计早上去上班的平均时间。
然而，如果这两个随机变量是相关的，即选择不同的交通方式可能会导致不同的通勤时间，我们就不能简单地使用历史数据来预测早上去上班的时间了。
概率论随机事件的独立性
解 设需配备n门此型号火炮,并设事件 Ai 表示第i 门火炮击中敌机，则
P ( Ai ) 1 1 P ( Ai ) 1 0.2 0.999
n n i 1
n
ln 0.001 n 4.29 ln 0.2
故至少需配备 5 门此型号火炮 .
第一章 概率论的基本概念
考虑n重Bernoulli试验中事件A 出现 k 次 的概率, 记为 Pn ( k )
例5 袋中有3 个白球, 2个红球,有放回取球 4 次,每次一个,求其中恰有2个白球的概率. 解一 古典概型
设 B 表示4个球中恰有2个白球
n 5 , nB C 3 2
4
2 4
2
2
C 32 P( B) 0.3456. 5
第一章 概率论的基本概念
容易证明， 只要分母不为0,(1),(2),(3),(4)式 的成立，只需要以下一个等式就可保证：
P( AB) P( A) P( B) - - - - - - - - - - - - - - - (5)
所以，事件独立性的定义为：
设A、B是两个随机事件，如果满足
P( AB) P( A) P( B)
P ( A) 1 P ( B ) P ( A) P ( B )
第一章 概率论的基本概念
例1 设甲、乙两射手独立地射击同一目标， 他们击中目标的概率分别为0.9和0.8.求在 一次射击中，目标被击中的概率.
第一章 概率论的基本概念
三个事件的独立性 设A、B、C是三个随机事件，如果同时满足如下 四个等式：
则称事件A与B相互独立.
两事件相互独立的性质
事件A与任一概率为0或1的事件都相互独立. 若 P ( A ) 0, P ( B ) 0,
概率统计5 多个事件的独立性 教学设计
《概率统计II 》教学设计 多个事件的独立性1 多个事件的独立性教学设计【教学题目】§1.4 多个事件的独立性【教学目的】根据《教学大纲》要求和学生已有的知识基础和认知能力，确定以下教学目标：理解多个事件相互独立的概念，掌握相互独立与两两独立的区别，能根据多个事件的独立性解决实际问题。
【教学思想】1、先从系统可靠性问题引入多个事件的独立性研究主题；然后通过设问将独立性的概念从两个事件推广到三个事件以至更多事件，将概念进行外延，体现从简单到复杂、从具体到抽象及从特殊到一般的思想。
2、把相互独立与两两独立进行比较，能够使学生对概念的理解更加准确，培养学生利用比较和对比的思维方式分析和解决问题的能力。
3、通过问题的引入和实际案例问题的分析及应用，培养学生“数学就在我们的身边” 及“学数学、用数学”的意识和能力。
【教学分析】1、本次课主要包括以下内容：（1）由引例导出多个随机事件相互独立性的概念。
（2）通过实际例子比较相互独立与两两独立的区别。
（3）多个事件独立性的应用。
2、重难点分析：重点是理解多个事件相互独立的概念，相互独立与两两独立的区别，应用相互独立性解决实际问题。
难点是理解相互独立的概念，区别相互独立与两两独立。
【教学方法和策略】黑板板书结合PP T 演示，采用启发式、提问式教学，从两个事件相互独立的概念引导学生思考如何定义更多事件的独立性，通过实例分析相互独立与两两独立的区别，根据相互独立性解决实际问题，从而达到理解并掌握知识点的目的。
【教学安排】教学内容：1、引入（3分钟）：系统的可靠性问题(幻灯片留问题和图形即可，1页)我们知道，一个元件能正常工作的概率叫做这个元件的可靠性，由元件组成的系统能正常工作的概率叫做系统的可靠性。
假设构成系统的每个元件的可靠性均为r )10(<<r ，那么以2n (n ＞1)个元件按照下面两种不同联接方式构成的系统的可靠性是否有差异呢？在物理学中，我们有并联比串联更稳定的印象，因此，也容易猜到系统Ⅱ比系统Ⅰ更可。
概率论与数理统计课程教学大纲
《概率论与数理统计》课程教学大纲一、课程基本信息二、课程目标（一）总体目标：概率论与数理统计是研究随机现象客观规律性的数学学科，在高等工科学校教学计划中是一门基础理论课。
通过本课程的学习，使学生掌握概率论与数理统计的基本概念，基本理论和方法，从而使学生初步掌握处理随机现象的基本思想和方法，培养学生运用概率统计方法分析和解决实际问题的能力。
（二）课程目标：课程目标1：知识目标通过本课程的学习，学生系统掌握随机变量及其分布、参数估计与假设检验等重要知识。
课程目标2：技能目标通过本课程的基本概念、基本理论和基本方法的讲授及学生的练习，培养学生的数学推理，数理逻辑，演绎归纳，数据分析，假设论证能力。
课程目标3：素质培养(1) 通过本课程的教学，培养和提高学生对所学知识进行整理、概括、消化吸收能力，以及围绕教学内容阅读参考资料，自我扩充知识领域的能力。
(2) 通过作业和课堂讨论，培养学生口头表达能力，做到思路清晰，层次分明。
(3)通过作业，培养学生独立思考，深入钻研问题的习惯以及一题多解，举一反三的能力，应用数学的意识以及运用数学知识分析问题的良好品质。
(4)具有自主学习和终身学习的意识，有不断学习和适应发展的能力。
（三）课程目标与毕业要求、课程内容的对应关系三、教学内容第一章随机事件及其概率1.教学目标理解随机事件和样本空间的概念；熟练掌握事件之间的关系与基本运算。
理解事件频率的概念；了解随机现象的统计规律性。
知道概率的公理化定义；理解古典概率的概念；了解几何概率；掌握概率的基本性质；会应用这些性质进行概率计算。
理解条件概率的概念；掌握乘法定理、全概率公式和贝叶斯公式，并会应用这些公式进行概率计算。
理解事件独立性的概念；会应用事件的独立性进行概率计算。
2.教学重难点本节是基础知识，在高中阶段大部分已经学过，都是重点内容。
教学的重难点在于事件的三种关系：互斥，独立和包含，事件概率的两个公式：加法公式和乘法公式，以及全概率和贝叶斯公式的应用。
《随机事件的独立性》 知识清单
《随机事件的独立性》知识清单一、什么是随机事件的独立性在概率论中，随机事件的独立性是一个非常重要的概念。
如果两个随机事件 A 和 B 满足：P(AB) ＝ P(A)P(B)，那么我们就说事件 A 和事件 B 是相互独立的。
简单来说，就是事件 A 的发生与否不会影响事件 B 发生的概率，事件 B 的发生与否也不会影响事件 A 发生的概率。
举个例子，假设我们抛一枚均匀的硬币两次。
第一次抛硬币得到正面记为事件 A，第二次抛硬币得到正面记为事件 B。
由于每次抛硬币的结果都是相互独立的，所以事件 A 和事件 B 是相互独立的。
二、判断随机事件独立性的方法1、利用定义直接计算 P(AB)、P(A) 和 P(B)，然后检查是否满足 P(AB) ＝P(A)P(B)。
2、直观判断如果两个事件的发生没有直接的关联或相互影响，那么它们可能是独立的。
但这种方法并不总是准确，还需要通过计算来确认。
三、独立事件与互斥事件的区别独立事件强调的是概率上的关系，即一个事件的发生不影响另一个事件发生的概率。
互斥事件则是指两个事件不能同时发生，即 P(AB) ＝ 0。
例如，从一副扑克牌中抽取一张牌，抽到红桃记为事件 A，抽到黑桃记为事件 B。
这两个事件是互斥的，因为一张牌不可能既是红桃又是黑桃。
但如果从一副扑克牌中两次独立地抽取牌，第一次抽到红桃记为事件 C，第二次抽到黑桃记为事件 D，那么事件 C 和事件 D 是独立的。
四、多个随机事件的独立性对于多个随机事件，如果任意两个事件之间都是相互独立的，那么称这些事件是两两独立的。
但两两独立并不意味着这些事件整体相互独立。
例如，有三个事件 A、B、C，如果 P(AB) ＝ P(A)P(B)，P(AC) ＝P(A)P(C)，P(BC) ＝ P(B)P(C)，只能说明 A、B 两两独立，B、C 两两独立，A、C 两两独立。
但要判断它们整体相互独立，还需要满足P(ABC) ＝ P(A)P(B)P(C)。
自考概率论与数理统计(经管类)自学资料
自考概率论与数理统计（经管类）自学资料第一章随机事件与随机事件的概率1.1 随机事件例一，掷两次硬币，其可能结果有：｛上上；上下；下上；下下｝则出现两次面向相同的事件A与两次面向不同的事件B都是可能出现，也可能不出现的。
引例二，掷一次骰子，其可能结果的点数有：｛1，2，3，4，5，6｝则出现偶数点的事件A，点数≤4的事件B都是可能出现，也可能不出现的事件。
从引例一与引例二可见，有些事件在一次试验中，有可能出现，也可能不出现，即它没有确定性结果，这样的事件，我们叫随机事件。
（一）随机事件：在一次试验中，有可能出现，也可能不出现的事件，叫随机事件，习惯用A、B、C表示随机事件。
由于本课程只讨论随机事件，因此今后我们将随机事件简称事件。
虽然我们不研究在一次试验中，一定会出现的事件或者一定不出现的事件，但是有时在演示过程中要利用它，所以我们也介绍这两种事件。
必然事件：在一次试验中，一定出现的事件，叫必然事件，习惯用Ω表示必然事件。
例如，掷一次骰子，点数≤6的事件一定出现，它是必然事件。
不可能事件：在一次试验中，一定不出现的事件叫不可能事件，而习惯用φ表示不可能事件。
例如，掷一次骰子，点数>6的事件一定不出现，它是不可能事件。
（二）基本（随机）事件随机试验的每一个可能出现的结果，叫基本随机事件，简称基本事件，也叫样本点，习惯用ω表示基本事件。
例如，掷一次骰子，点数1,2,3,4,5,6分别是基本事件，或叫样本点。
全部基本事件叫基本事件组或叫样本空间，记作Ω，当然Ω是必然事件。
（三）随机事件的关系（1）事件的包含：若事件A发生则必然导致事件B发生，就说事件B包含事件A ，记作。
例如，掷一次骰子，A表示掷出的点数≤2，B表示掷出的点数≤3。
∴A=｛1，2｝，B=｛1，2，3｝。
所以A发生则必然导致B 发生。
显然有（2）事件的相等：若，且就记A=B，即A与B相等，事件A等于事件B，表示A与B实际上是同一事件。
事件的独立性
第一章第一章 随机事件§1.1 概述§1.2 事件的概率§1.3 古典概率模型§1.4 条件概率§1.5 事件的独立性1.5.1 两事件的独立A ={第一次掷出6点}，B ={第二次掷出6点}，先看一个例子：将一颗均匀骰子连掷两次，设§1.5 事件的独立性经计算，得到P (B |A )=这就是说：事件A 的发生，不影响事件B 发生的概率。
P (B )=1/6.P (B |A )=P (B )P (A |B )=P (A )称事件A 与B 独立。
这时，用 P(AB )=P (A ) P (B ) 刻画独立性，比用P (A |B ) = P (A ) 或 P (B |A ) = P (B )更好。
◎ 不受 P (B )>0 或 P (A )>0 的制约；◎ 反映了事件A 与 B 的对等性。
定义1：若两事件A , B 满足 P (AB )= P (A ) P (B ),则称 A 与B 相互独立，或称 A , B 独立。
两事件独立的另一种定义如：一批产品共 n 件，从中抽取2件，设A i = {第 i 件是合格品}， i =1,2。
若抽取是有放回的, 则A 1与A 2独立。
其原因是：第二次抽取的结果受第一次抽取结果的影响。
其原因是: 第二次抽取的结果不受第一次抽取结果的影响。
若抽取是无放回的，则A 1与A 2不独立。
实际应用中, 往往依问题的实际意义判断两事件是否独立 。
请问：如图的两个事件是否独立？即: 若A 、B 互斥，且P (A )>0, P (B )>0, 则 A 与B 不独立。
其逆否命题是：而 P (A ) ≠ 0, P (B ) ≠0。
故 A 与B 不独立。
我们来计算：因 P (AB )=0,P (AB ) ≠ P (A )P (B )。
即请问：能否在样本空间Ω中找到两个事件， 它们既相互独立又互斥?答：能。
1.4 相互独立事件、独立试验概型
P A1 A2 An 1 P A1 A2 An 1 P A1 A2 An 1 P A1 P A2 P An
1 0.4n 0.99
即
ln 0.01 0.4 0.01 , 解之得 , n 5.026 . ln 0.4
A, B 独立与 A, B不相容有什么关系 A, B 独立
P( AB) P( A) P( B)
A, B 不相容 AB 故当 P( A) 0 或 P( B) 0 时 A, B 独立 不能同时成立 A, B 不相容
若 A, B 独立，问 A, B 是否独立 若 P( AB) P( A) P( B), 则
解 以 A 记“飞机被击落” ，以Bi记“飞机被 i 个人命 中” , 再以Cj 依次记“飞机被甲、乙、丙分别击中” ( i, j = 1, 2, 3), 则易见B1, B2, B3构成样本空间Ω的一个 方式一 P(C1C2C3 C1C2C3 C1C2C3 ) ? 划分.
P( B1 ) ?
飞 机 被 命 中
P( A | B) P( A), P( B | A) P( B) P( AB) P( A | B) P( B) P( B | A) P( A) P( A) P( B)
第四讲 事件的独立性 与Bernoulli独立试验概型
独立性的定义、依实际意义 判断独立性 Bernoulli独立试验概型
抛甲、乙两枚硬币，观察正反面出现的情况，则样本 空间是
S { HH, HT,TH,TT }
记事件 {甲出现正面 }, B {乙出现正面 } A ,B 设A 是两个事件，若
P( AB) P( A) P( B)
A, A B, 之间是没有任何关系的 ,它们具有“独立性” 则称事件 B 相互独立,简称 A, B 独立 A, B “独立”
课件.事件的独立性复习以及全概率公式
要点：
§1.3 独立性
1）两个事件的独立性及多个事件的独立性定义；
2）两个事件的独立性及多个事件的独立性的性质；
3）在独立性条件下，求n个事件至少发生一个的 概率公式：
P(A1 A2 An ) 1 P(A1 )P(A2 )P(An )
注意：独立事件与互不相容事件的区别与关系； 两两独立与相互独立的区别。
第一章 随机事件及其概率
三、多个事件的独立性
§1.3 独立性
1）三个事件的独立性：设A、B、C是三个随机事件，
如果 P AB P A P B
A, B, C这三个
P BC P B P C
事件两两独立
P AC P A P C
则称A、PB、ABCC是相 互P独A立P的B随P机C事件．
Aj
P Ak 1 i j k n
P
A A i1 i2
Aim P Ai1 P Ai2 P(Aim ) 1 i1 i2
im n
P
A1
A2
An P A1 P A2
P An
第一章 随机事件及其概率
两事件相互独立与互斥的关系： 完全不同的两个概念
设事件 A 与 B 满足：PAPB 0
§1.3 独立性
则，(1)若事件 A 与 B 相互独立，则 AB≠Φ；
(2)若 AB =Φ，则事件 A 与 B 不相互独立．(注意 与第二个性质相区别)
此例说明：在条件P(A)P(B)=0成立 时，互不相容与相互独立不能同时 成立。(而在性质二的条件下即 P(A)P(B)=0时二者可以同时成立)。
课件随机事件的独立性
什么是学习力-含义
管理知识的能力 （利用现有知识
解决问题）
学习知识的能力 （学习新知识 速度、质量等）
长久坚持的能力 （自律性等）
什么是学习力-常见错误学习方式
案例式 学习
（4）“从8个球中任意取出1个，取出的是白球”的概率
为
5 8
，若前一事件发生了，则“从剩下的7个球中任意
取出1个，取出的仍是白球”的概率为
4 7
；若前一事件
没有发生，则后一事件发生的概率为 5 。可见，前一事
7
件是否发生，对后一事件发生的概率有影响，所以二者
不是相互独立事件，也不是互斥事件。
类型二 相互独立事件发生的概率
2.选A。对同一目标射击，甲、乙两射手是否击中目标 是互不影响的，所以事件A与B相互独立；对同一目标 射击，甲、乙两射手可能同时击中目标，也就是说事 件A与B可能同时发生，所以事件A与B不是互斥事件。 故选A。
【内化·悟】 怎样判断两个事件是否相互独立？ 提示：判断两个事件是否相互独立，可以利用运算P （AB）=P（A）·P（B）或从实际理解两个事件发生与 否是否相互影响。
=0.6×0.5×0.5+0.6×0.5×0.5+0.4×0.5×0.5+0.6×0.5 ×0.5=0.55。
方法二：“红队至少两人获胜”与“红队最多一人获胜” 为对立事件，而红队都不获胜为事件 D E F，且P（ D E F） =0.4×0.5×0.5=0.1。所以红队至少两人获胜的概率为 P2=1-P1-P（ D E F）=1-0.35-0.1=0.55。
记为事件C，则C= A BA B 且 A B与AB 互斥，P（C）
=P（
A
B
A
B）=P（A）P（
概率论之随机事件的独立性
随机事件及其概率
A 与 B 之间没有关联或关联很微弱
A 与 B 相互独立
P(AB) P(A)P(B)
§4随机事件的独立性
随机事件及其概率
例一台自动报警器由雷达和计算机两部分组成，两 部分如有任何一个出现故障，报警器就失灵．若使用 一年后，雷达出故障的概率为 0.2，计算机出故障的 概率为 0.1，求这个报警器使用一年后失灵的概率．
§4随机事件的独立性
随机事件及其概率
定理 当 P(A) 0 ，P(B) 0 时，若 A, B 相互独立，则
A, B 相容；若 A, B 互不相容，则 A, B 不相互独立.
证明 (1)若 A,B 相互独立,则 P(AB)=P(A)P(B)≠ 0 ，即 A,B 是相容的.
(2)若 A,B 互不相容,则 AB=,P(AB)=0. 因此 0=P(AB)≠ P(A)P(B)>0，即 A,B 是不相互独立.
1 4
则三事件 A, B, C 两两独立.
由于 P( ABC ) 1 1 P( A)P(B)P(C ), 48
因此 A，B，互独立
随机事件及其概率
定义 设 A1, A2, , An 是 n(n 2) 个事件，若其中任意 两个事件都相互独立，则称 A1, A2 , , An 两两独立 （Independence between them）.
Pn (k) Cnk pk qnk , q 1 p, k 0,1, 2, , n
证明 设 Ai {第 i 次试验中事件 A 发生}，1 i n ； Bk { n 次试验中事件 A 恰好出现 k 次}， 0 k n ， 则
§4随机事件的独立性
随机事件及其概率
Bk A1A2 Ak Ak1 An
随机事件的独立性与条件概率
随机事件的独立性与条件概率随机事件的独立性和条件概率是概率论中的重要概念，它们在统计学和实际应用中有着广泛的应用。
了解和理解这些概念对于正确分析和解释随机事件具有重要意义。
首先，我们来看随机事件的独立性。
两个事件A和B被称为独立事件，当且仅当事件A的发生与事件B的发生是相互独立的，即事件A的发生与事件B的发生没有任何关联。
数学上可以用概率的乘法定理来描述独立事件的概率关系。
假设事件A的概率为P(A)，事件B的概率为P(B)，则当且仅当P(A∩B) = P(A) × P(B)时，事件A和B是独立的。
例如，假设我们有一副扑克牌，抽出一张牌的事件A是抽出红心，抽出一张牌的事件B是抽出Q牌。
如果P(A) = 1/4，P(B) = 1/13，而P(A∩B) = 1/52，则事件A 和B是独立的，因为P(A∩B) = P(A) × P(B)。
另外一个重要的概念是条件概率。
条件概率是指在已经发生了某个事件的条件下，另一个事件发生的概率。
条件概率用P(A|B)表示，读作“在事件B已经发生的条件下，事件A发生的概率”。
条件概率可以通过概率的除法定理来计算。
假设事件A和事件B是两个不独立的事件，则P(A|B) = P(A∩B) / P(B)。
以前面的例子为例，已经抽出的牌是红心的条件下，抽出Q牌的概率即为P(B|A) = P(A∩B) / P(A)。
根据前面的数据，我们可以计算得到P(B|A) = (1/52) / (1/4) = 1/13，即在已经抽出红心的条件下，抽出Q牌的概率为1/13。
通过条件概率的概念，我们可以进一步引入贝叶斯公式。
贝叶斯公式是一种计算条件概率的方法，它是由英国数学家贝叶斯提出的。
贝叶斯公式可以用于计算在一些已知条件下，另一个事件发生的概率。
贝叶斯公式可以表示为P(A|B) = P(B|A) × P(A) / P(B)。
贝叶斯公式的应用非常广泛，例如在医疗诊断、信号处理和机器学习等领域中都有重要的应用。
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0.8
定理1.4 若事件A与事件B相互独立，
则A与B，A与B，A与B也分别相互独立
证 因为PAB PAPB，所以
PAB PA B 由对称性知
注：事件的独立 性与事件的互不 相容是两个完全 不同的概念
P A AB
A与B相互独立
P A P AB
A1，A2， ，An也相互独立，故
P n Ai 1 n P Ai
n
1 1 PAi
i1
i 1
i 1
注3： 相互独立一定两两独立，两两独立不一定相互独立。
例 四张卡片上分别写着 110,011,101,000,从中任取一张，
记 Ai={第 i 个数字为 1} i=1,2,3.
则
P( A1 )
PA1 A2 An PA1 PA2 PAn
(2) 计算n个相互独立的事件A1, A2 , , An的和事件 的概率可简化为
n
PA1 A2 An 1 P Ai i 1
例3（保险赔付）设有 n个人向保险公司购买人身意
外保险（保险期为1年），假定投保人在一年内发生
意外的概率为0.01，
利用数学归 纳法，可把 定理1推广 至有限多个
则称事件A1, A2 , A3相互独立。 事件的情形
注1：
如果n n 2个事件A1, A2 L An相互独立，则将
其中任何m(1 m n)个事件改为相应的对立事 件，形成的n个新的事件仍相互独立。
设5个事件A1 A2 A3 A4 A5相互独立
则
A1 A2 A3 A4 A5 也相互独立
注2：
若A1, A2 , , An是n个相互独立的事件， 则这个事件中至少有一个发生的概率为
n
n
P i1 Ai 1 i1 1 P Ai
证 由于A1 A2 An A1 A2 An
故PA1 A2 An 1 P A1 A2 An
由定理2可知，当A1, A2 , , An相互独立时，
它有两个特点：
1）重复； 2）独立。
Pn (k) Cnk p k (1 p)nk (k 0,1,2, , n)
称为二项概率公式。
例 某批产品中，有 20%是次品，进行重复抽样检查，共取
5 件，求
1）恰好有 2 件次品的概率？
2）至多 复抽样检查，共取 200 件，检查发现 有 4 件废品。问能否相信该厂出废品的概率不超过 0.005。 解 设废品的概率为 p=0.005,计算 200 件中出现 4 件废品的概率
PAB PAPB
当PA 0时,虽然P(B | A)没有定义,但由 0 PAB PA 0
可知PAB 0，这时(1)式自然成立。
1、两个事件的独立性 定义1
设A, B是二事件，如果满足等式PAB PAPB
则称事件A, B相互独立，简称A, B独立。
定理1.3 若P A 0，则事件A与事件B相互独立
球}B={第二次取到白球}，求 PB，P(B | A)
PA 6 3
84
PAB 62 9
82 16
PB 8 6 3
82 4
PB
|
A
PAB PA
3 4
因此 类似地
PB | A PB
PB | A 3 PB 4
由上面的讨论可知，设A, B是试验E的两个事件， 且P( A) 0,若P(B / A) P(B),则认为A与B独立。 由此可知
2 4
1, 2
P( A2 )
P( A3 )
2 4
1. 2
P( A1 A2 )
1 4
P( A1 A3 )
P( A2 A3 ),
它们两两独立。
P( A1 A2 A3 ) 0 P( A1 )P( A2 )P( A3 ),
它们不相互独立。
利用独立性的概念简化计算
(1) 计算n个相互独立的事件A1, A2 , , An的积事件 的概率可简化为
的充要条件为
PB | A PB
若 PA 0 ，则事件A与任一事件B相互独立。
例2 甲乙二人独立地对目标各射击一次，设甲射中 目标的概率为0.5，乙射中目标的概率为0.6，求目 标被击中的概率 解 设A, B分别表示甲,乙击中目标，
则A B表示目标被击中，由于A, B独立
PA B PA PB PAB PA PB PAPB
PA PAPB
由上面结果知
PA1 PB A与B也相互独立
PAPB
故A与B相互独立
2、多个事件的独立性
定义2 设A1, A2 , A3是三个事件，如果满足等式
PA1 A2 PA1 PA2
PA2 A3 PA2 PA3
PA1 A3 PA1 PA3
PA1 A2 A3 PA1 PA2 PA3
（1）求保险公司赔付的概率；
（2）当 n为多大时，使得以上赔付的概率超过
1 2
解(1)
记 Ai {第i个投保人出现意外} i 1, 2, , n
A {保险公司赔付}
n
则由实际问题可知A1, A2 , An相互独立且A Ai
i 1
因此PA 1 P n
Ai
1
n
P Ai
1 0.99n
P200
(4)
C4 200
(0.005)
4
(0.995)196
0.015 (小概率)
若废品的概率为 p=0.005 时,检查 200 件中出现 4 件废品是一个
小概率事件，它在一次试验中竟发生了。
因此，废品率不超过 0.005 不可信。
1.4 随机事件的独立性
一、 事件的独立性
设A, B是试验E的二事件, P( A) 0,一般说来， 条件概率P(B / A) P(B),即A的发生对B发生 的概率是有影响的。 实际问题中也有可能出现P(B / A) P(B)的情形。
例1 袋中有6个白球，2个黑球，从中有放回地抽 取 两 次 ， 每 次 取 一 球 ， 记 A={ 第 一 次 取 到 白
i1
i 1
(2)
注意到PA 0.5 0.99n 0.5 n lg 2 684.16
2 lg 99
即当投保人数n 685时，保险公司有大于一半
的概率赔付。
二 n 重伯努利试验及二项概型
若随机试验 E 只有两种试验结果： A, A.
在相同条件下将 E 重复进行 n 次，若各次试验的结果互不影响， 则称该 n 次试验为 n 重独立试验。也称为 Bernoulli 试验。