1.4 随机事件的独立性

2 4
1, 2
P( A2 )
P( A3 )
2 4
1. 2
P( A1 A2 )
1 4
P( A1 A3 )
P( A2 A3 ),
它们两两独立。
P( A1 A2 A3 ) 0 P( A1 )P( A2 )P( A3 ),
它们不相互独立。
利用独立性的概念简化计算
(1) 计算n个相互独立的事件A1, A2 , , An的积事件 的概率可简化为
的充要条件为
PB | A PB
若 PA 0 ，则事件A与任一事件B相互独立。
例2 甲乙二人独立地对目标各射击一次，设甲射中 目标的概率为0.5，乙射中目标的概率为0.6，求目 标被击中的概率 解 设A, B分别表示甲,乙击中目标，
则A B表示目标被击中，由于A, B独立
PA B PA PB PAB PA PB PAPB
PA1 A2 An PA1 PA2 PAn
(2) 计算n个相互独立的事件A1, A2 , , An的和事件 的概率可简化为
n
PA1 A2 An 1 P Ai i 1
例3（保险赔付）设有 n个人向保险公司购买人身意
外保险（保险期为1年），假定投保人在一年内发生
意外的概率为0.01，
（1）求保险公司赔付的概率；
（2）当 n为多大时，使得以上赔付的概率超过
1 2
解(1)
记 Ai {第i个投保人出现意外} i 1, 2, , n
A {保险公司赔付}
n
则由实际问题可知A1, A2 , An相互独立且A Ai
i 1
因此PA 1 P n
Ai
1
n
P Ai
1 0.99n
0.5 0.6 0.5 0.6
0.8
定理1.4 若事件A与事件B相互独立，
则A与B，A与B，A与B也分别相互独立
证 因为PAB PAPB，所以
PAB PA B 由对称性知
注：事件的独立 性与事件的互不 相容是两个完全 不同的概念
P A AB
A与B相互独立
P A P AB
1.4 随机事件的独立性
一、 事件的独立性
设A, B是试验E的二事件, P( A) 0,一般说来， 条件概率P(B / A) P(B),即A的发生对B发生 的概率是有影响的。 实际问题中也有可能出现P(B / A) P(B)的情形。
例1 袋中有6个白球，2个黑球，从中有放回地抽 取 两 次 ， 每 次 取 一 球 ， 记 A={ 第 一 次 取 到 白
PAB PAPB
当PA 0时,虽然P(B | A)没有定义,但由 0 PAB PA 0
可知PAB 0，这时(1)式自然成立。
1、两个事件的独立性 定义1
设A, B是二事件，如果满足等式PAB PAPB
则称事件A, B相互独立，简称A, B独立。
定理1.3 若P A 0，则事件A与事件B相互独立
利用数学归 纳法，可把 定理1推广 至有限多个
则称事件A1, A2 , A3相互独立。 事件的情形
注1：
如果n n 2个事件A1, A2 L An相互独立，则将
其中任何m(1 m n)个事件改为相应的对立事 件，形成的n个新的事件仍相互独立。
设5个事件A1 A2 A3 A4 A5相互独立
则
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A1 A2 A3 A4 A5 也相互独立
注2：
若A1, A2 , , An是n个相互独立的事件， 则这个事件中至少有一个发生的概率为
n
n
P i1 Ai 1 i1 1 P Ai
证 由于A1 A2 An A1 A2 An
故PA1 A2 An 1 P A1 A2 An
由定理2可知，当A1, A2 , , An相互独立时，
A1，A2， ，An也相互独立，故
P n Ai 1 n P Ai
n
1 1 PAi
i1
i 1
i 1
注3： 相互独立一定两两独立，两两独立不一定相互独立。
例 四张卡片上分别写着 110,011,101,000,从中任取一张，
记 Ai={第 i 个数字为 1} i=1,2,3.
则
P( A1 )
i1
i 1
(2)
注意到PA 0.5 0.99n 0.5 n lg 2 684.16
2 lg 99
即当投保人数n 685时，保险公司有大于一半
的概率赔付。
二 n 重伯努利试验及二项概型
若随机试验 E 只有两种试验结果： A, A.
在相同条件下将 E 重复进行 n 次，若各次试验的结果互不影响， 则称该 n 次试验为 n 重独立试验。也称为 Bernoulli 试验。
P200
(4)
C4 200
(0.005)
4
(0.995)196
0.015 (小概率)
若废品的概率为 p=0.005 时,检查 200 件中出现 4 件废品是一个
小概率事件，它在一次试验中竟发生了。
因此，废品率不超过 0.005 不可信。
它有两个特点：
1）重复； 2）独立。
Pn (k) Cnk p k (1 p)nk (k 0,1,2, , n)
称为二项概率公式。
例 某批产品中，有 20%是次品，进行重复抽样检查，共取
5 件，求
1）恰好有 2 件次品的概率？
2）至多 3 件次品的概率？
例 对工厂产品进行重复抽样检查，共取 200 件，检查发现 有 4 件废品。问能否相信该厂出废品的概率不超过 0.005。 解 设废品的概率为 p=0.005,计算 200 件中出现 4 件废品的概率
球}B={第二次取到白球}，求 PB，P(B | A)
PA 6 3
84
PAB 62 9
82 16
PB 8 6 3
82 4
PB
|
A
PAB PA
3 4
因此 类似地
PB | A PB
PB | A 3 PB 4
由上面的讨论可知，设A, B是试验E的两个事件， 且P( A) 0,若P(B / A) P(B),则认为A与B独立。 由此可知
PA PAPB
由上面结果知
PA1 PB A与B也相互独立
PAPB
故A与B相互独立
2、多个事件的独立性
定义2 设A1, A2 , A3是三个事件，如果满足等式
PA1 A2 PA1 PA2
PA2 A3 PA2 PA3
PA1 A3 PA1 PA3
PA1 A2 A3 PA1 PA2 PA3