习题十二 二重积分的概念与性质(2012)河海大学高数习题答案

习题十二 二重积分的概念与性质

一、比较下列各对积分值的大小，并说明理由。

（1） ≥

解：区域D 为：{}1,0,0|),(≤+≥≥=y x y x y x D ，故当D y x ∈),(时，有2)()(y x y x +≥+，从而有⎰⎰+D d y x σ)(≥⎰⎰+D

d y x σ2)(。

（2） ≤

解：区域D 位于1=+y x 上方，故当D y x ∈),(时，1≥+y x ，从而

2)()(y x y x +≤+，故⎰⎰+D d y x σ)( ≤

⎰⎰+D d y x σ2)(

（3） ≥

解：当D y x ∈),(时，21≤+≤y x ，从而1)ln(0≤+≤y x ，故2)][ln()ln(y x y x +≥+，所以⎰⎰+D d y x σ)ln( ≥⎰⎰+D

d y x σ2)][ln(。

（4） ≤

解：区域D 位于直线e y x =+ 的上方，故当D y x ∈),(时，e y x ≥+，从而1)ln(≥+y x ，所以2)][ln()ln(y x y x +≤+， 有⎰⎰+D d y x σ)ln(≤

⎰⎰+D d y x σ2

)][ln(。 二、利用二重积分的性质估计下列积分值：

（1） 0 ，2π； （2）π36，π100； （3） 51

100 ， 2 。 三、

解：⎰⎰=⨯⨯⨯⨯=

--D d y x 613111121)1(σ， 2

11121=⨯⨯=σ， 3

1),(=∴ηξf 。 四、证明：显然D D ∈αβ，因为),(y x f 在D 上连续，所以),(y x f 在αβD 上也连

续。

由积分中值定理知，至少存在一点αβηξD ∈),(使得 ⎰⎰⋅=⋅=αβπαβηξσηξσαβD f f d y x f ),(),(),(

且当+∞→+∞→βα,时，有)0,0(),(→ηξ， ⎰⎰==∴+→+→+→+→αβηξσπαββαβαD f f d y x f )0,0(),(lim ),(1

lim 0000

。