高二【数学(人教A版)】《空间向量基本定理》【教案匹配版】最新国家级中小学精品课程

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Q
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问题2 通过这道例题的解题过程，同学们能否总结出用 基向量表示空间向量的方法呢？
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用基向量表示空间向量的方法
结合图形特征，利用三角形法则、平行四边形 法则、向量数乘等线性运算法则，将待求向量逐步 转化为基向量，将未知化归为已知.
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|
4
b ||
c
|
B
cos 60
0.
所以 MN 所以 MN
AC1 AC1.
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证明：设 AB a, AD b, AA1 c. 选取基底(不共面且已知长度夹角)
这三个向量不共面，{a，b，c}是空间的一个基底．
则 MN
MC1
C1N
1 2
a
1 2
b,
AC1 AB BC AA1 a b c,
例2 如图，在平行六面体 ABCD－A1B1C1D1中，AB＝4，
AD＝4， AA1＝5，∠DAB＝60°，∠BAA1＝60°，
∠DAA1＝60°，M，N 分别为D1C1，C1B1的中点．
求证 MN⊥AC1．
D1
M
C1
N
问：证明异面直线垂直，你能想到 A1 哪些方法？
B1
答：综合几何方法：
5
证明异面直线所成角为直角； D 线面垂直的定义和性质等． 4
p＝xa＋yb＋zc. 我们把{a，b，c}叫做空间的一个基底(base)，a，b， c 都叫做基向量(base vectors) .
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特别地，如果空间的一个基底中的三个基向量两两 垂直，且长度都为1，那么这个基底叫做单位正交基底， 常用{i，j，k}表示．
把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量，叫做 把空间向量进行正交分解．
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空间向量基本定理（2）
年 级：高二 主讲人：
学 科：数学（人教A版） 学 校：
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问题1 你能用自己的语言复述空间向量基本定理吗？
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空间向量基本定理
如果三个向量 a，b，c 不共面，那么对任意一个空 间向量 p，存在唯一的有序实数组 (x，y，z)，使得
则 MN
MC1
C1N
1 2
a
1 2
b,
AC1 AB BC AA1 a b c,
D1 A1
M
C1
N B1
所以
MN
AC1
(
1 2
a
1 2
b)
(a
b
c)
1 a2 1 a c 1 b2 1 b c
5 D 4
C
2 1 2
|
a
|2
2
1 2
|
a
||
2 c|
2 cos 60
1 2
|
b
A
|2
1 2
用基向量表示 相关向量
所以
MN
AC1
(
1 2
a
1 2
b)
(a
b
c)
1 a2 1 a c 1 b2 1 b c
把相关向量的运算转 化为基向量的运算
22
22
1 2
|
a
|2
1 2
|
a
||
c
|
cos 60
1 2
|
b
|2
1 2
|
b
||
c
|
cos 60
0.
所以 MN 所以 MN
AC1 AC1.
向量问题的解 还原为几何问题的解
C
向Leabharlann Baidu方法．
A
4
B
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例2 如图，在平行六面体 ABCD－A1B1C1D1中，AB＝4，
AD＝4， AA1＝5，∠DAB＝60°，∠BAA1＝60°，
∠DAA1＝60°，M，N 分别为D1C1，C1B1的中点．
求证 MN⊥AC1．
D1
M
C1
N
问：如何使用向量方法解决立体几何 A1 问题？
求证 MN⊥AC1．
D1
M
C1
N
问：如何计算 MN AC1 ？
A1
B1
| MN || AC1 | cos MN , AC1 ？
向已知条件转化．
5
D
C
4
A
4
B
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证明：设 AB a, AD b, AA1 c. 选取基底(不共面且已知长度夹角)
这三个向量不共面，{a，b，c}是空间的一个基底．
B1
答：可以转化为向量问题
求证 MN AC1. 只需证 MN AC1 0.
5
D 4
A
4
C B
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例2 如图，在平行六面体 ABCD－A1B1C1D1中，AB＝4，
AD＝4， AA1＝5，∠DAB＝60°，∠BAA1＝60°，
∠DAA1＝60°，M，N 分别为D1C1，C1B1的中点．
运算法则，如三角形法则、 A 平行四边形法则等．
PN C
M
B
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解： OP OA AP
O
OA 3 AN 4
OA 3 (ON OA)
4
1 OA
3 ON
A
PN C
44
1
OA
3
2 (
OM
)
M
4 43
B
1 OA 1 (1 OB 1 OC) 4 22 2
1 OA 1 OB 1 OC.
PN C
空间向量基本定理保证了可行性．
M
B
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例1 如图，M 是四面体 OABC 的棱 BC 的中点，点 N
在线段 OM 上，点 P 在线段 AN 上，且 MN 1 ON ，
AP
3 4
AN ，用向量 OA,
OB,
OC 表示OP.
2 O
问：如何进行表示？
答：可以利用向量线性运算的
B1
答：可以转化为向量问题
5
D 4
A
4
C B
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例2 如图，在平行六面体 ABCD－A1B1C1D1中，AB＝4，
AD＝4， AA1＝5，∠DAB＝60°，∠BAA1＝60°，
∠DAA1＝60°，M，N 分别为D1C1，C1B1的中点．
求证 MN⊥AC1．
D1
M
C1
N
问：如何使用向量方法解决立体几何 A1 问题？
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用向量方法解决立体几何问题的路径
立体几何问题
转
①适当选取基底
化
向
向量问题
向量 运算
②用基向量表示相关向量 量
③将相关向量的问题转化
方 法
为基向量的问题
向量问题的解
转
理论基础：空间向量基本定理
化
立体几何问题的解
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例3 如图，正方体 ABCD－A'B'C'D'的棱长为1，E，F，
G分别为C'D'， A'D'， D'D的中点．
（1）求证：EF∥AC ;
D' E C'
问：单位正方体这个条件对解题 A' F
有什么作用？
B' G
答：可以取单位正交基底．
单位：基向量长度为1．
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例1 如图，M 是四面体 OABC 的棱 BC 的中点，点 N
在线段 OM 上，点 P 在线段 AN 上，且 MN 1 ON，
AP
3 4
AN ，用向量 OA,
OB,
OC 表示OP.
2 O
问：是否一定能做到？
答：OA, OB, OC 不共面，
可以构成空间的一个基底． A