现代控制理论(第三章)

x1 x2
1 0u
有全零行 系统不可控！
x1 8 0 0 x1 0 1
2、
x2
0
10x2来自30ux3 0 0 2x3 0 2
没有全零行 系统可控！
x1 4 1 0 x1 0
3、
x2
0
4
0
x2
4
u
x3 0 0 2 x3 3
状态完全能控
4、
x1 4 1
(1)
或 (2)
式中
EAST CHINA INSTITUTE OF TECHNOLOgy
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为简明起见，下面列举三个具有上述类型的二阶系统，对其能控性加以 剖析。
(3)
(4)
(5)
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性之间的关系
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初步了解可控性和可观测性 20世纪60年代初，由卡尔曼提出，与状态空间描述相对应。
可控性：反映了控制输入对系统状态的制约能力。 输入能否控制状态（控制问题）
可观测性：反映了输出对系统状态的判断能力。 状态能否由输出反映（估计问题）
3.1 能控性的定义
3.2 线性定常系统的能控性判别 3.3 线性连续定常系统的能观性 3.4* 离散时间系统的能控性与能观性 3.5* 时变系统的能控性与能观性 3.6 能控性与能观性的对偶关系 3.7 状态空间表达式的能控标准型与能观标准型 3.8 线性系统的结构分解 3.9 传递函数阵的实现问题 3.10 传递函数中零极点对消与状态能控性和能观
是能控的。若系统的所有状态都是能控的，则称此系统是状态完全能控的，
或简称系统是能控的。
几点说明：
1)在线性定常系统中，为简便计，可以假定初始时刻 为 ，而任意终端状态就指定为零状态。即
，初始状态
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2)也可以假定 =0，而工 为任意终端状态，换句话说，若存在
x2
0
4
x3
x4
0
0 1
1
x1 1
x2
0
x3 0
0
1
x4
0
0 0 0 1
1 2 u 0 0
状态完全能控
教材[例3-2；3-3]：当状态空间表达式不为约当标准型时，先进行线性变换！
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3.2.2 直接从A与B判别系统的能控性
1．单输入系统 线性连续定常单输入系统：
其能控的充分必要条件是由 A、b 构成的能控性矩阵：
满秩，即
。否则，当
(14) 时，系统为不能控的。
例[3-4]----------三阶能控标准型，无论系数如何取，都可控。
注：输入与状态矢量间的传递函数也可以判断能控性：无零极点对消的情况
[例3-6；3-7]
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•系统矩阵A有相同特征值时— T1B 中与互异特征值部分对应的行中无全 零行；T1B 中与相同特征值部分（即约当块）最后一行对应的行非全零行。
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[例3-1]：判别下列对角标准型线性定常系统的可控性。
1、
x1 x2
2
0
0 1
例：已知系统的动态方程，理解--可控性、可观测性提出的目的。
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x1
x2
4 0
0 5
x1 x2
1 2u
y 0
6
x1 x2
x1 4x1 u x2 5x2 2u y 6x2
u
u可以控制 x1, x2
y无法反映 x1
(3) (4)
(5)
1)对于式(3)的系统，系统矩阵A为对角线型，其标量微分方程形式为（图3-3）
(6)
不可控
(7)
2)对于式(4)的系统，系统矩阵A为约旦型，微分方程组为（图3-4）
(8) 可控
(9)
3)对于式(5)的系统，系统矩阵虽也为约旦型，但控制矩阵第二行的元素
却为0，其微分子方程组为（图3-5）：
(10)
(11)
不可控
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2．具有一般系统矩阵的多输入系统
系统的状态方程为：
(12)
若进行非奇异线性变换将其变换为约当标准型：令 x Tz
z Jz T 1Bu
非奇异线性变换不改变系统的能控性！
一般系统的能控性判据：
•系统矩阵A的特征值互异，则 T1B 无全零行；
3.2.2 直接从A与B判别系统的能控性
2．多输入系统
对多输入系统，其状态方程为：
式中,B 为
阶矩阵； 为 r 维列矢量。
其能控的充分必要条件是矩阵：
(15) 的秩为 。
注： •1.因M可能非方阵，在实际中考虑到rank(M)=rank(MM’),通过 求rank(MM’)判断系统的能控性。 •2.按能控性定义，找到u(t)将初始状态转移到零点。实际中u(t)并 不唯一。
一个无约束控制作用
，在有限时间
内，能将 由零状态驱
动到任意
。在这种情况下，称为状态的能达性。
3)在讨论能控性问题时，控制作用从理论上说是无约束的，其取值并非
唯一的，因为我们关心的只是它能否将
驱动到
，而不计较
的轨迹如何。
2．线性连续时变系统的能控性定义
线性连续时变系统：
3．离散时间系统 这里只考虑单输入的n阶线性定常离散系统：
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3.2 线性定常系统的能控性判别
线性定常系统能控性判别准则有两种形式，一种是先将系统进行状态变
换，把状态方程化为约旦标准型
，再根据 阵，确定系统的能控性；
另一种方法是直接根据状态方程的 A 阵和 B 阵，确定其能控性。
3.2.1 具有约旦标准型系统的能控性判别 1．单输入系统 具有约旦标准型系统矩阵的单输入系统，状态方程为：
4
x1 x1
系统完全可控！ 系统不完全可观！
x2 x2 6 y
5
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3.1 能控性的定义
1．线性连续定常系统的能控性定义 线性连续定常系统：
如果存在一个分段连续的输入 ，能在有限时间区间
内，使
系统由某一初始状态 ，转移到指定的任一终端状态工 ，则称此状态