高中数学 第五章《数列》数学竞赛讲义 苏教版
苏教版高中数学必修五课件2.1数列(2)
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建构教学 合作探究
例2 判断数列{2n-1}的单调性,并说明理由.
数列是特殊的函数,怎样判断数列的单调性? 设 D是由连续的正整数构成的集合,若对于 D 中的每
一个 n 都有 an1 an(或 an1 an ),则数列 {an }
3.已知一个数列的前4项分别为1,2,4,8,试写出这个数列的一个通项 公式.
.
例题剖析
例1 写出下列数列的一个通项公式:
(1)1,4,9,16,… , (2)-1,3,-5,7,…, (3) 1 , 4 , 9 ,16 ,
357 9
(4) 1 , 1 , 1 , 1 , ;
1 2 23 3 4 45
单调递增(或单调递减).
例3 试判断下列各数是否是数列{5n+4}的项,并说明理由: (1)29; (2)31.
例4 求数列{n2+3n-4}的最小项.
练习
1. 用图象法表示数列{
2n 1 3
}(n5).
2.an=cos是否n2是数列{
1} (的1)一n 个通项公式?请说明理由.
2
课后作业
课本P32习题2.1-1,2,3,4,5,6.
高中情境 忆一忆:
(1)数列的概念; (2)数列的表示方法; (3)数列的函数特征.
复习
1.分别用列表法、图象法表示数列:
我国参加次奥运会获金牌数: 15 ,5,16,16,28,32.
2.若数列{an}的通项公式为an=2n-3,试写出这个数列的前4项.
2021高考数学(苏教,理科)复习课件:第五章 数列第一节 数列的概念与简单表示法.ppt
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(2)这个数列的前4项的绝对值都等于序号与序号加1的积的倒数,且奇数 项为负,偶数项为正,所以它的一个通项公式an=(-1)n×nn1+1. (3)这是一个摆动数列,奇数项是a,偶数项是b,所以此数列的一个通项 公式an=ab,,nn为为奇偶数数,. (4)这个数列的前4项可以写成10-1,100-1,1 000-1,10 000-1, 所以它的一个通项公式an=10n-1.
数学
第一节 数列的概念与简单表示法
[类题通法] 用观察法求数列的通项公式的技巧
(1)根据数列的前几项求它的一个通项公式,要注意观察每 一项的特点,观察出项与 n 之间的关系、规律,可使用添项、 通分、分割等办法,转化为一些常见数列的通项公式来求.对 于正负符号变化,可用(-1)n 或(-1)n+1 来调整.
数学
第一节 数列的概念与简单表示法
2.根据数列的前几项,写出各数列的一个通项公式: (1)4,6,8,10,…; (2)-1×1 2,2×1 3,-3×1 4,4×1 5,…; (3)a,b,a,b,a,b,…(其中 a,b 为实数); (4)9,99,999,9 999,….
数学
第一节 数列的概念与简单表示法
数学
第一节 数列的概念与简单表示法
1.数列是按一定“次序”排列的一列数,一个数列不仅与 构成它的“数”有关,而且还与这些“数”的排列顺序有关.
2.易混项与项数两个不同的概念,数列的项是指数列中某 一确定的数,而项数是指数列的项对应的位置序号.
数学
第一节 数列的概念与简单表示法
[试一试] 1.已知数列{an}的前 4 项为 1,3,7,15,写出数列{an}的一个通项
高考数学第五章第一节数列的概念课件理苏教
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23 . 2
【拓展提升】部分特殊数列的通项
(1)a,aa,aaa,aaaa,…,其中1≤a≤9,a∈N*.
方法一:aa…a= a ×99…9= a (10n-1);
n个a n个a
9
n个9
9
方法二:aa…a=a×10n-1+a×10n-2+…+a×10+a,根据等比数列 的求和公式即得结果为
a (10n-1). 9
3.an与Sn的关系
若数列{an}的前n项和为Sn, S1 , __ 则a n=
n=1,
Sn-Sn-1 ,n≥2. ______
判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”). (1)所有数列的第n项都能使用公式表达.( )
(2)根据数列的前几项归纳出数列的通项公式可能不止一 个.( )
(3)已知an+2=f(an+1,an)时,如果要确定这个数列,则必须知道 初始值a1,a2.( )
a n 1
∴{an}是首项为1,公比为2的等比数列,
可得an=2n , , , , , ,…. 2 4 8 16 32 64
1 10 n
【规范解答】(1)符号可通过(-1)n表示,后面的数的绝对值总 比前面的数的绝对值大6,故通项公式为
6.已知数列{an},Sn为{an}的前n项和,且有Sn=2an-1,则an=
_______.
【解析】当n=1时,a1=S1=2a1-1,∴a1=1.
∵Sn=2an-1,
∴当n≥2时,Sn-1=2an-1-1,
∴Sn-Sn-1=2an-2an-1,
∴an=2an-2an-1,
∴an=2an-1,∴ a n =2,
(4)如果数列{an}的前n项和为Sn,则对∀n∈N*,都有an+1= Sn+1-Sn.( ) )
数列课件(40张) 高中数学 必修5 苏教版
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13 . 是________
解析:观察可知该数列从第3项开始每一项都等于它相邻前面 两项的和,故x=5+8=13.
n n + 1 2 3 4 n+1 . 4.数列 1 ,2 ,3 ,4 ,…的一个通项公式是 an=________
2
3
4
5
解析:每一项的整数部分和分子部分都是项数 n,分母比项数 n 大 1,故 an=n+ . n+1
n 20 . 1.数列{n+2 }中的第 4 项是________
解析:第4项为4+24=20.
2.已知数列 2, 10,4,…, 2(3n-1),…,则 8 是该
11 数列的第 ________ 项.
解析:令 2(3n-1)=8,得 n=11.
3.在数列1,1,2,3,5,8,x,21,34,55,…中,x的值
方法归纳 运用数列的定义判断一组元素是否为数列的一般步骤是:① 判断这组元素是否都是数;②判断这组元素是否按照一定次 序排列.注意:按一定次序不表示该数列具有规律性,即数 列中的每一项可以是有规律的,也可以是无规律的.
1.下列哪些表示数列?哪些不表示数列? (1){1,5,2,3,6,7}; (2)方程x(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)=0的解; (3)当f(x)=x2-x+2时,f(-1),f(0),f(1),f(2); (4)当x=1时,x,x+1,x-2,x2,2x. 解:(1){1,5,2,3,6,7}表示的是一个数集,而不是数列. (2)表示的是方程的解.虽然是数,却没有一定的顺序,不能 叫数列. (3)f(-1),f(0),f(1),f(2)是有次序的一列数,是数列. (4)当x=1时,x,x+1,x-2,x2,2x都是数,而且具有次序, 故是数列.
分类 标准
高考数学一轮总复习 第五章 数列 5.1 数列的概念与简单表示法课件 苏教苏教高三全册数学课件
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数的一类特殊函数.
2.命题形式多种多样,三种题
型都有可能出现,试题难度中等.
第三页,共四十六页。
01知识梳理 诊断自测 02考点探究 明晰规律 课时作业
第四页,共四十六页。
01 知识梳理 诊断自测
课前热身 稳固根基
第五页,共四十六页。
知识点一
数列的概念
1.数列的定义:按照一定顺序排列的一列数叫做数列,数列中的 每一个数叫做这个数列的项.
第九页,共四十六页。
2.递推公式:如果已知数列{an}的第 1 项(或前几项),且从第二项 (或某一项)开始的任一项 an 与它的前一项 an-1(或前几项)间的关系可以 用一个公式来表示,那么这个公式就叫做这个数列的递推公式.
第十页,共四十六页。
1.思考辨析 判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)
第二十九页,共四十六页。
(3)构造法 ∵an+1=3an+2,∴an+1+1=3(an+1),∴aan+n+1+11=3, ∴数列{an+1}为等比数列,公比 q=3,又 a1+1=2, ∴an+1=2·3n-1,∴an=2·3n-1-1(n∈N*).
第三十页,共四十六页。
方法技巧
第三十一页,共四十六页。
第二十二页,共四十六页。
方法技巧 已知 Sn 求 an 的常用方法是利用 an=SSn1-,Snn=-11,,n≥2 转化为关于 an 的关系式,再求通项公式.主要分三个步骤完成: (1)先利用 a1=S1,求得 a1. (2)用 n-1 替换 Sn 中的 n 得到一个新的关系式,利用 an=Sn-Sn- 1(n≥2)便可求出当 n≥2,n∈N*时的通项公式. (3)对 n=1 时的结果进行检验,看是否符合 n≥2,n∈N*时 an 的表 达式,如果符合则可以把数列的通项公式合写;如果不符合,则应该分 n=1 与 n≥2 两段来写.
苏教版高中数学必修5同步讲义 2.1数列
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第二章 数列【本章引入】毕达哥拉斯和他的学派在数学上有很多创造,尤其对整 数的变化规律感兴趣.传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经 常在沙滩上研究数学问题,他们在沙滩上画点或用小石子或用 一些小棍来表示数.他们研究过的三角形数1,3,6,10,…和 正方形数1,4,9,16,… .这些数列各有什么特点呢?如何运 用这些数列的特点来解决有关实际生活中的问题呢?本章我们将一起来学习两种特殊的数列---等差数列和等比数列. 【综合解说】等差、等比数列的性质是等差、等比数列的概念,通项公式,前n 项和公式的引申.应用等差等比数列的性质解题,往往可以回避求其首项和公差或公比,使问题得到整体地解决,能够在运算时达到运算灵活,方便快捷的目的,故一直受到重视. 数列是特殊的函数,而不等式则是深刻认识函数和数列的重要工具,三者的综合解题是对基础和能力的双重检验,而三者的求证题所显现出的代数推理是近年来高考命题的新热点.2.1 数列情景导入学校在操场的正前方准备建造一个看台,现该看台的座 位是这样排列的:第一排有100个座位,从第二排起每一排 都比前一排多20个座位,你能用公式表示第n 排的座位数吗? 第20排能坐多少个人? 知识技能详解知识点1:数列的概念1、数列定义:按一定次序排列的一列数叫做数列(sequsnce of number). (1)数列的数是按一定次序排列的,因此,如果组成两个数列的数相同而排列次序不同, 那么它们就是不同的数列;(2)定义中并没有规定数列中的数必须不同,因此,同一个数在数列中可以重复出现. 2.数列的项:数列中的每一个数叫做数列的项(term)(1)数列中的第i 项用序号表示,序号为 i 对应的项为第i 项,记作:i a ,第一项记为1a ; (2)“项”与“项数”是不同概念:“项数”是该数列的所有项的个数; (3)数列的第n 项一般简记为n a a .3.数列的分类(1)根据数列的项数的多少分有穷数列:如数列1,2,3,4,5,6是有穷数列;无穷数列:如数列1,2,3,4,5,6,……是无穷数列。
高中数学必修5《数列的递推公式》竞赛课PPT
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数列的递推公式
让我们从一个古老的传说开始…… ?
梵天塔婆罗门法则:
• “每次只能移动1个赤金盘,小圆盘只能 放在大圆盘上面”的要求,把圆盘从现在 所在的柱子上移动到另一根柱子上。首先 要问的是:移动n个圆盘,至少需要移动 几次?
n
a1 1,an 2an1 1n 2
那么
a2 2a1 1 1,
2an ,0 an
2an
1,
1 2
an
1
2 ,若a1 1
4 5
,则a2015
_____ .
例3.已知数列{an }满足a1
1,an
an1
1
nn 1
n
2,
则an ____
谈谈你的收获吧!
根 据 数 字 之 间 的 规 律 填 空 :1 ,1 ,2 ,3 ,5 ,8 ,
,
21,34,…。你 能 用 数学 语 言 归 纳 出 它 的规 律 吗 ?
a3 2a2 1 7,
...
像这样给出数列的方法叫做递推法,其中
an 2an1 1n 2
称为递推公式。递推公式也是数列的一种表示方法。
递推公式与数列的通项公式的区一数每个图形中所有三角形的总个数依次为多少? 你能写出它的递推公式吗?
例2.数列an 满足a n1
2019_2020学年高中数学第2章数列2.1数列讲义苏教版必修5
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2.1 数列1.数列的概念按照一定次序排列的一列数称为数列,数列中的每个数都叫做这个数列的项.项数有限的数列叫做有穷数列,项数无限的数列叫做无穷数列.2.数列的表示数列的一般形式可以写成a 1,a 2,a 3,…,a n ,…,简记为{a n },其中a 1称为数列{a n }的第1项(或称为首项),a 2称为第2项,…,a n 称为第n 项.思考1:数列1,2,3与数列3,2,1是同一个数列吗? [提示] 不是,顺序不一样.思考2:数列的记法和集合有些相似,那么数列与集合的区别是什么?[提示] 数列中的数讲究顺序,集合中的元素具有无序性;数列中可以出现相同的数,集合中的元素具有互异性.3.数列与函数的关系数列可以看成以正整数集N *(或它的有限子集{1,2,…,k })为定义域的函数a n =f (n ),当自变量按照从小到大的顺序依次取值时,所对应的一列函数值.4.数列的通项公式如果数列{a n }的第n 项与序号n 之间的关系可以用一个公式来表示,那么这个公式叫做这个数列的通项公式.数列可以用通项公式来描述,也可以通过列表或图象来表示.思考3:数列的通项公式a n =f (n )与函数解析式y =f (x )有什么异同?[提示] 如图,数列可以看成以正整数集N *(或它的有限子集{1,2,…,n })为定义域的函数a n =f (n ),当自变量按照从小到大的顺序依次取值时所对应的一列函数值.不同之处是定义域,数列中的n 必须是从1开始且连续的正整数,函数的定义域可以是任意非空数集.1.数列3,4,5,6,…的一个通项公式为( ) A .a n =n B .a n =n +1 C .a n =n +2D .a n =2nC [经验证可知,它的一个通项公式为a n =n +2.] 2.600是数列1×2,2×3,3×4,4×5,…的第________项. 24 [a n =n (n +1)=600=24×25,所以n =24.]3.数列{a n }满足a n =log 2(n 2+3)-2,则log 23是这个数列的第________项. 3 [令a n =log 2(n 2+3)-2=log 23, 解得n =3.]4.数列1,2, 7,10,13,…中的第26项为________. 219 [因为a 1=1=1,a 2=2=4,a 3=7,a 4=10,a 5=13,所以a n =3n -2,所以a 26=3×26-2=76=219.]【例1(1)12,2,92,8,252,…; (2)9,99,999,9 999,…;(3)22-11,32-23,42-35,52-47,…;(4)-11×2,12×3,-13×4,14×5,….思路探究:观察―→归纳a n 与n 的关系―→验证结论―→ 得出答案[解] (1)数列的项,有的是分数,有的是整数,可将各项都统一成分数再观察:12,42,92,162,252,…,所以它的一个通项公式为a n =n 22(n ∈N *).(2)各项加1后,变为10,100,1 000,10 000,….此数列的通项公式为10n,可得原数列的通项公式为a n =10n -1(n ∈N *).(3)数列中每一项由三部分组成,分母是从1开始的奇数列,可用2n -1表示;分子的前一部分是从2开始的自然数的平方,可用(n +1)2表示,分子的后一部分是减去一个自然数,可用n 表示,综上,原数列的通项公式为a n =(n +1)2-n 2n -1(n ∈N *).(4)这个数列的前4项的绝对值都等于项数与项数加1的积的倒数,且奇数项为负,偶数项为正,所以它的一个通项公式是a n =(-1)n1n (n +1)(n ∈N *).用观察法求数列的通项公式的一般规律 (1)一般数列通项公式的求法(2)对于符号交替出现的情况,可先观察其绝对值,再用(-1)k处理符号问题. (3)对于周期出现的数列,可考虑拆成几个简单数列和的形式,或者利用周期函数,如三角函数等.1.写出下列数列的一个通项公式. (1)3,5,9,17,33,…; (2)12,34,78,1516,3132,…; (3)23,-1,107,-179,2611,-3713,…. [解] (1)中3可看做21+1,5可看做22+1,9可看做23+1,17可看做24+1,33可看做25+1,….所以a n =2n+1.(2)每一项的分子比分母少1,而分母组成数列为21,22,23,24,…,所以a n =2n-12n .(3)偶数项为负而奇数项为正,故通项公式必含因式(-1)n +1,观察各项绝对值组成的数列,从第3项到第6项可见,分母分别由奇数7,9,11,13组成,而分子则是32+1,42+1,52+1,62+1,按照这样的规律第1,2两项可分别改写为12+12+1,-22+12×2+1,所以a n =(-1)n +1n 2+12n +1.【例2】 n n (1)写出数列的前3项;(2)判断45是否为{a n }中的项?3是否为{a n }中的项? 思路探究:(1)令n =1,2,3求解即可; (2)令a n =45或a n =3解n 便可.[解] (1)在通项公式中依次取n =1,2,3,可得{a n }的前3项分别为:1,6,15. (2)令2n 2-n =45,得2n 2-n -45=0, 解得n =5或n =-92(舍去),故45是数列{a n }中的第5项. 令2n 2-n =3,得2n 2-n -3=0,解得n =-1或n =32,即方程没有正整数解,故3不是数列中的项.1.如果已知数列的通项公式,只要将相应项数代入通项公式,就可以写出数列中的指定项.2.判断某数是否为数列中的一项,步骤如下: (1)将所给的数代入通项公式中; (2)解关于n 的方程;(3)若n 为正整数,说明所给的数是该数列的项;若n 不是正整数,则不是该数列的项. 提醒:数列项的取值为正的自然数,是离散的,解题时要关注n 的取值特点.2.已知数列{a n }的通项公式为a n =n 2-21n2(n ∈N *).(1)0和1是不是数列{a n }中的项?如果是,那么是第几项?(2)数列{a n }中是否存在连续且相等的两项?若存在,分别是第几项?[解] (1)令a n =0,得n 2-21n =0,∴n =21或n =0(舍去),∴0是数列{a n }中的第21项.令a n =1,得n 2-21n2=1,而该方程无正整数解, ∴1不是数列{a n }中的项.(2)假设存在连续且相等的两项为a n ,a n +1, 则有a n =a n +1, 即n 2-21n 2=(n +1)2-21(n +1)2,解得n =10,所以存在连续且相等的两项,它们分别是第10项和第11项.[探究问题]1.数列是特殊的函数,能否利用函数求最值的方法求数列的最大(小)项?[提示] 可以借助函数的性质求数列的最大(小)项,但要注意函数与数列的差异,数列{a n }中,n ∈N *.2.如何定义数列{a n }的单调性?[提示] 对于数列的单调性的判断一般要通过比较a n +1与a n 的大小来判断,若a n +1>a n ,则数列为递增数列,若a n +1<a n ,则数列为递减数列.【例3】 设数列{a n }的通项公式为a n =n 2+kn (n ∈N *).数列{a n }是单调递增的,求实数k 的取值范围.思路探究:利用二次函数的单调性,求得k 的取值范围. [解] ∵a n =n 2+kn ,其图象的对称轴为n =-k2,∴当-k2≤1,即k ≥-2时,{a n }是单调递增数列.另外,当1<-k2<2且⎝ ⎛⎭⎪⎫-k 2-1<2-⎝ ⎛⎭⎪⎫-k 2,即-3<k <-2时,{a n }也是单调递增数列(如图所示). ∴k 的取值范围是(-3,+∞).1.(变结论)求本例中k =-13时数列{a n }的最小项.[解] 由题意知n 2-13n =⎝⎛⎭⎪⎫n -1322-1694,由于函数f (x )=⎝ ⎛⎭⎪⎫x -1322-1694在⎝ ⎛⎦⎥⎤0,132上是减函数,在⎣⎢⎡⎭⎪⎫132,+∞上是增函数,故当n=6或7时,f (n )=n 2-13n 取得最小值-42.所以数列{a n }的最小项为a 6=a 7=-42.2.(变条件)本例中“单调递增”改为“单调递减”,那么这样的实数k 是否存在?如果存在,求实数k 的范围,若不存在说明理由.[解] 要使{a n }是单调递减数列, 必须a n >a n +1恒成立,即n 2+kn >(n +1)2+k (n +1)对任意n ∈N *恒成立. 整理得k <-2n -1对任意n ∈N *恒成立, 因为f (n )=-2n -1(n ∈N *)没有最小值, 故不存在实数k 使a n =n 2+kn 单调递减.1.函数的单调性与数列的单调性既有联系又有区别,即数列所对应的函数若单调则数列一定单调,反之若数列单调,其所对应的函数不一定单调.2.求数列的最大(小)项,还可以通过研究数列的单调性求解,一般地,若⎩⎪⎨⎪⎧a n -1≤a n ,a n +1≤a n ,则a n 为最大项;若⎩⎪⎨⎪⎧a n -1≥a n ,a n +1≥a n ,则a n 为最小项.1.与集合中元素的性质相比较,数列中的项也有三个性质(1)确定性:一个数在不在数列中,即一个数是不是数列中的项是确定的. (2)可重复性:数列中的数可以重复.(3)有序性:一个数列不仅与构成数列的“数”有关,而且也与这些数的排列次序有关. 2.并非所有的数列都能写出它的通项公式.例如,π的不同近似值,依据精确的程度可形成一个数列3,3.1,3.14,3.141,…,它没有通项公式.根据所给数列的前几项求其通项公式时,需仔细观察分析,抓住其几方面的特征:①分式中分子、分母的特征;②相邻项的变化特征;③拆项后的特征;④各项的符号特征和绝对值特征.并对此进行联想、转化、归纳.3.如果一个数列有通项公式,则它的通项公式可以有多种形式.1.判断正误(1)数列1,1,1,…是无穷数列.( )(2)数列1,2,3,4和数列1,2,4,3是同一个数列.( ) (3)有些数列没有通项公式.( ) [答案] (1)√ (2)× (3)√[提示] (1)正确.每项都为1的常数列,有无穷多项.(2)错误.虽然都是由1,2,3,4四个数构成的数列,但是两个数列中后两个数顺序不同,不是同一个数列.(3)正确.某些数列的第n 项a n 和n 之间可以建立一个函数关系式,这个数列就有通项公式,否则,不能建立一个函数关系式,这个数列就没有通项公式.2.在数列1,1,2,3,5,8,x,21,34,55中,x 等于( ) A .11 B .12 C .13D .14C [观察可知该数列从第3项开始每一项都等于它前面相邻两项的和,故x =5+8=13.] 3.已知数列2,10,4,…,2(3n -1),…,则8是该数列的第________项. 11 [令2(3n -1)=8,得n =11.]4.已知数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫9n 2-9n +29n 2-1. (1)求这个数列的第10项;(2)98101是不是该数列中的项,为什么? (3)求证:数列中的各项都在区间(0,1)内. [解] 设f (n )=9n 2-9n +29n 2-1 =(3n -1)(3n -2)(3n -1)(3n +1)=3n -23n +1.(1)令n =10,得第10项a 10=f (10)=2831.(2)令3n -23n +1=98101,得9n =300.此方程无正整数解,所以98101不是该数列中的项.(3)证明:∵a n =3n -23n +1=3n +1-33n +1=1-33n +1,又n ∈N *,∴0<33n +1<1,∴0<a n <1.即数列中的各项都在区间(0,1)内.。
苏教版必修5高中数学2.1数列1课件.ppt
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(5)各年树木的枝干数: 1,1, 2,…3,5,8,
序变了之后所 表达的意思变
化了吗?
(6)我国参加次奥运会获金牌数: 15,5,16,16…, 28,32,
数学应用
想一想
an 1.数列的概念和记号 与集合概念和记号的区别是什么?
数列中的项是有序的,而集合中的项是无序的;数列中的项可以重 复,而集合中的元素不能重复. 2.数列与函数有什么样的关系?
根据数列的有序性,项数与项构成单值对应,所以数列是特殊的函 数,定义域是正整数集,数列的函数图象是离散点.
建构教学
数列的通项公式:
n
一般地,如果数列 an的第 项与序号之间的关系可以用一个公式
来表示.那么这个公式叫做这个数列的通项公式.
数列的通项公式就是相应函数的解析式.
数学应用
例1 已知数列的第 n 项 an 为 2n 1,写出这个数列的首项、第2
357 9
⑥ 1 , 1 , 1 , 1
1 2 23 3 4 45源自.巩固练习1.已知数列 an通项公式为
an
2 ,那么 n2 n
1 是它的第 10
项.
2.写出数列的一个通项公式,使它的前几项分别是下列各数:
(1)1, 0,1, 0,1,…; (2)1, 1 , 1 , 1 , 234
(3)0.9, 0.99, 0.999, 0.99……9,
中小学精编教育课件
问题情境
(1)剧场座位:
20, 22, 24, 26, 28
(2)彗星出现的年份:
,… …
1740,1823,1906,1989, 2072,
1, 2(, 43,)8细,16胞, 分裂的个数:
…
(4)“一尺之棰”每日剩下的部分:
苏教版学高中数学必修五数列章末复习课讲义
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等差(比)数列的基本运算【例1】n14(1)求数列{a n}的通项公式;(2)若a3,a5分别为等差数列{b n}的第3项和第5项,试求数列{b n}的通项公式及前n项和S n. [解] (1)设{a n}的公比为q,由已知得16=2q3,解得q=2,∴a n=2×2n—1=2n.(2)由(1)得a3=8,a5=32,则b3=8,b5=32.设{b n}的公差为d,则有错误!解得错误!所以b n=—16+12(n—1)=12n—28.所以数列{b n}的前n项和S n=错误!=6n2—22n.在等差数列和等比数列的通项公式a n与前n项和公式S n中,共涉及五个量:a1,a n,n,d或q,S n,其中a1和d或q为基本量,“知三求二”是指将已知条件转换成关于a1,d q,a n,S n,n 的方程组,利用方程的思想求出需要的量,当然在求解中若能运用等差比数列的性质会更好,这样可以化繁为简,减少运算量,同时还要注意整体代入思想方法的运用.1.已知等差数列{a n}的公差d=1,前n项和为S n.(1)若1,a1,a3成等比数列,求a1;(2)若S5>a1a9,求a1的取值范围.[解] (1)因为数列{a n}的公差d=1,且1,a1,a3成等比数列,所以a错误!=1×(a1+2),即a错误!—a1—2=0,解得a1=—1或a1=2.(2)因为数列{a n}的公差d=1,且S5>a1a9,所以5a1+10>a错误!+8a1,即a错误!+3a1—10<0,解得—5<a1<2.求数列的通项公式【例2】n n n n(2)数列{a n}的前n项和为S n且a1=1,a n+1=错误!S n,求a n.思路探究:(1)已知S n求a n时,应分n=1与n≥2讨论;(2)在已知式中既有S n又有a n时,应转化为S n或a n形式求解.[解] (1)当n≥2时,a n=S n—S n—1=3+2n—(3+2n—1)=2n—1,当n=1时,a1=S1=5不适合上式.∴a n=错误!(2)∵S n=3a n+1,1∴n≥2时,S n—1=3a n. 21—2得S n—S n—1=3a n+1—3a n,∴3a n+1=4a n,∴错误!=错误!,又a2=错误!S1=错误!a1=错误!.∴n≥2时,a n=错误!·错误!错误!,不适合n=1.∴a n=错误!数列通项公式的求法1定义法,即直接利用等差数列或等比数列的定义求通项的方法叫定义法,这种方法适用于已知数列类型的题目.2已知S n求a n.若已知数列的前n项和S n与a n的关系,求数列{a n}的通项a n可用公式,求解.3累加或累乘法,形如a n—a n—1=f n n≥2的递推式,可用累加法求通项公式;形如错误!=f n n≥2的递推式,可用累乘法求通项公式.2.设数列{a n}是首项为1的正项数列,且a n+1—a n+a n+1·a n=0(n∈N*),求{a n}的通项公式.[解] ∵a n+1—a n+a n+1·a n=0,∴错误!—错误!=1.又错误!=1,∴错误!是首项为1,公差为1的等差数列.故错误!=n.∴a n=错误!.等差(比)数列的判定【例3】数列{n n1n+1n*(1)设b n=a n+1—2a n,求证:{b n}是等比数列;(2)设c n=错误!,求证:{c n}是等差数列.思路探究:分别利用等比数列与等差数列的定义进行证明.[证明] (1)a n+2=S n+2—S n+1=4a n+1+2—4a n—2=4a n+1—4a n.错误!=错误!=错误!=错误!=2.因为S2=a1+a2=4a1+2,所以a2=5.所以b1=a2—2a1=3.所以数列{b n}是首项为3,公比为2的等比数列.(2)由(1)知b n=3·2n—1=a n+1—2a n,所以错误!—错误!=3.所以c n+1—c n=3,且c1=错误!=2,所以数列{c n}是等差数列,公差为3,首项为2.等差数列、等比数列的判定方法1定义法:a n+1—a n=d常数⇔{a n}是等差数列;错误!=q q为常数,q≠0⇔{a n}是等比数列.2中项公式法:2a n+1=a n+a n+2⇔{a n}是等差数列;a\o\al(2,n+1)=a n·a n+2a n≠0⇔{a n}是等比数列.3通项公式法:a n=kn+b k,b是常数⇔{a n}是等差数列;a n=c·q n c,q为非零常数⇔{a n}是等比数列.4前n项和公式法:S n=An2+Bn A,B为常数,n∈N*⇔{a n}是等差数列;S n=Aq n—A A,q为常数,且A≠0,q≠0,q≠1,n∈N*⇔{a n}是等比数列.提醒:1前两种方法是判定等差、等比数列的常用方法,而后两种方法常用于选择、填空题中的判定.2若要判定一个数列不是等差比数列,则只需判定其任意的连续三项不成等差比即可.3.数列{a n}的前n项和为S n,若a n+S n=n,c n=a n—1.求证:数列{c n}是等比数列.[证明] 当n=1时,a1=S1.由a n+S n=n,1得a1+S1=1,即2a1=1,解得a1=错误!.又a n+1+S n+1=n+1,22—1得a n+1—a n+(S n+1—S n)=1,即2a n+1—a n=1,3因为c n=a n—1,所以a n=c n+1,a n+1=c n+1+1,代入3式,得2(c n+1+1)—(c n+1)=1,整理得2c n+1=c n,故错误!=错误!(常数).所以数列{c n}是一个首项c1=a1—1=—错误!,公比为错误!的等比数列.数列求和[探究问题]1.若数列{c n}是公差为d的等差数列,数列{b n}是公比为q(q≠1)的等比数列,且a n=c n+b n,如何求数列{a n}的前n项和?[提示] 数列{a n}的前n项和等于数列{c n}和{b n}的前n项和的和.2.有些数列单独看求和困难,但相邻项结合后会变成熟悉的等差数列、等比数列求和.试用此种方法求和:12—22+32—42+…+992—1002.[提示] 12—22+32—42+…+992—1002=(12—22)+(32—42)+…+(992—1002)=(1—2)(1+2)+(3—4)(3+4)+…+(99—100)(99+100)=—(1+2+3+4+…+99+100)=—5050.3.我们知道错误!=错误!—错误!,试用此公式求和:错误!+错误!+…+错误!.[提示] 由错误!=错误!—错误!得错误!+错误!+…+错误!=1—错误!+错误!—错误!+…+错误!—错误!=1—错误!=错误!.【例4】已知数列{a n}的前n项和S n=kc n—k(其中c、k为常数),且a2=4,a6=8a3.(1)求a n;(2)求数列{na n}的前n项和T n.思路探究:(1)已知S n,据a n与S n的关系a n=错误!确定a n;(2)若{a n}为等比数列,则{na n}是由等差数列和等比数列的对应项的积构成的新数列,可用错位相减法求和.[解] (1)当n≥2时,a n=S n—S n—1=k(c n—c n—1),则a6=k(c6—c5),a3=k(c3—c2),错误!=错误!=c3=8,∴c=2.∵a2=4,即k(c2—c1)=4,解得k=2,∴a n=2n.当n=1时,a1=S1=2.综上所述,a n=2n(n∈N*).(2)na n=n·2n,则T n=2+2·22+3·23+…+n·2n,2T n=1·22+2·23+3·24+…+(n—1)·2n+n·2n+1,两式作差得—T n=2+22+23+…+2n—n·2n+1,T n=2+(n—1)·2n+1.1.(变结论)例题中的条件不变,(2)中“求数列{na n}的前n项和T n”变为“求数列{n+a n}的前n项和T n”.[解] 由题知T n=1+2+2+22+3+23+…+n+2n=(1+2+3+…+n)+(2+22+…+2n)=错误!+错误!=2n+1—2+错误!.2.(变结论)例题中的条件不变,将(2)中“求数列{na n}的前n项和T n”变为“求数列错误!的前n项和T n”.[解] 由题知T n=错误!+错误!+错误!+…+错误!,1错误!T n=错误!+错误!+…+错误!+错误!,21—2得:错误!T n=错误!+错误!+错误!+…+错误!—错误!=错误!—错误!=1—错误!n—错误!,∴T n=2—错误!—错误!=2—错误!=2—错误!.数列求和问题一般转化为等差数列或等比数列的前n项和问题或已知公式的数列求和,不能转化的再根据数列通项公式的特点选择恰当的方法求解.一般常见的求和方法有:(1)公式法:利用等差数列或等比数列前n项和公式.(2)分组求和法:把一个数列分成几个可以直接求和的数列.(3)裂项(相消)法:有时把一个数列的通项公式分成两项差的形式,相加过程消去中间项,只剩有限项再求和.(4)错位相减法:适用于一个等差数列和一个等比数列对应项相乘构成的数列求和.(5)倒序相加法:例如,等差数列前n项和公式的推导.。
高中数学竞赛专题精讲11数列(含答案)
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11数列一、数列的基础知识1.数列{a n }的通项a n 与前n 项的和S n 的关系它包括两个方面的问题:一是已知S n 求a n ,二是已知a n 求S n ;2.递推数列,解决这类问题时一般都要与两类特殊数列相联系,设法转化为等差数列与等比数列的有关问题,然后解决。
常见类型:类型Ⅰ:⎩⎨⎧=≠+=+为常数)a a a n p n q a n p a n n ()0)(()()(11(一阶递归) 其特例为:(1))0(1≠+=+p q pa a n n (2))0()(1≠+=+p n q pa a n n(3))0()(1≠+=+p q a n p a n n解题方法:利用待定系数法构造类似于“等比数列”的新数列。
类型Ⅱ:⎩⎨⎧==≠≠+=++为常数)b a b a a a q p qa pa a n n n ,(,)0,0(2112(二阶递归) 解题方法:利用特征方程x 2=px+q ,求其根α、β,构造a n =Aαn +Bβn ,代入初始值求得B A ,。
类型Ⅲ:a n+1=f (a n )其中函数f (x )为基本初等函数复合而成。
解题方法:一般情况下,通过构造新数列可转化为前两种类型。
二、等差数列与等比数列1.定义:2.通项公式与前n 项和公式:函数的思想:等差数列可以看作是一个一次函数型的函数;等比数列可以看作是一个指数函数型的函数。
可以利用函数的思想、观点和方法分析解决有关数列的问题。
三.等差数列与等比数列数列问题的综合性和灵活性如何表现?数列问题的综合性主要表现在1.数列中各相关量的关系较为复杂、隐蔽.2.同一问题中出现有若干个相关数列,既有等差或等比数列,也有非等差,非等比的数列,需相互联系,相互转换.数列问题的灵活性表现在:1.需灵活应用递推公式,通项公式,求和公式,寻求已知与所求的关系,减少中间量计算.2.需灵活选用辅助数列,处理相关数列的关系.例题讲解1.已知(b -c )log m x +(c -a )log m y +(a -b )log m z =0 ①(1) 若a 、b 、c 依次成等差数列,且公差不为0,求证x 、y 、z 成等比数列;(2) 若x 、y 、z 依次成等比数列,且公比不为1,求证a 、b 、c 成等差数列.2. 数列{a n }的 前 n 项 和S n =a · 2n + b (n ∈N ),则{a n }为等比数列的充要条件是________.3.设等差数列{a n}的前n项和为S n,若S7=56,S n=420,a n-3=34,则n=________.4. 等差数列中,a3+a7-a10=8,a11-a4=4,求S135. 各项均为实数的等比数列{an}的前n项之和为S n,若S10=10,S30=70,求S40。
苏教版高中数学必修五课件2.1数列
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3、细胞分裂
细胞分裂过程
细胞个数
一次
2
二次
4
三次
…………
8
把每次分裂后所得细胞个数写成一列数:
21, 22, 23, ……
五组数据共同点是什么?
15,5,16,28,32
①
1,2,3,4,… , 49
②
21, 22, 23, ….③
1/2, 1/3, 1/4,… .④
1,1,1,1,….
⑤
都是按照一定次序排列的数。
六、发展性练习
在庆祝第20个教师节活动中,学校为烘 托节日气氛,在200米长的校园主干道一侧, 从起点开始,每隔3米插一面彩旗,由近及 远排成一列,迎风飘扬。问最后一面旗子 会插在终点处吗?一共应插多少面旗子?
?
03 6 9
…
200
…
若从距离起点2米开始,每隔3米插一面 彩旗,则在距离起点80米处是否应该插旗? 若是,是第几面旗子?
(1)an
n n 1
(2)an (1)n1 (3n 2)
(1)
1 2
,
2 3
,
3 4
,
4 5
,
5 6
(2)1,
-
4,7,
-
10,13
an1
n 1 n2
an1 (1)n2 (3n 1)
2、观察下面数列的特点,用适当的数填 空,并写出该数列的一个通项公式。
(1)( 1 ) , 2, 4 , 8 , ( 16 ) , 32.
↓↓↓ ↓
项 1 1 1 1
23
↓↓ ↓ ↓
11
45
不要写成
11
an=1/n哦!
苏教版高中数学必修五知识讲解_《数列》全章复习巩固
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《数列》全章复习巩固: :【学习目标】1.系统掌握数列的有关概念和公式;2.掌握等差数列与等比数列的概念、性质、通项公式与前n 项和公式,并运用这些知识解决问题; 3.了解数列的通项公式n a 与前n 项和公式n S 的关系,能通过前n 项和公式n S 求出数列的通项公式n a ;4.掌握常见的几种数列求和方法. 【知识网络】【要点梳理】要点一:数列的通项公式 数列的通项公式一个数列{}n a 的第n 项n a 与项数n 之间的函数关系,如果可以用一个公式()n a f n =来表示,我们就把这个公式叫做这个数列的通项公式.要点诠释:①不是每个数列都能写出它的通项公式.如数列1,2,3,―1,4,―2,就写不出通项公式; ②有的数列虽然有通项公式,但在形式上又不一定是唯一的.如:数列―1,1,―1,1,…的通项公式可以写成(1)nn a =-,也可以写成cos n a n π=;③仅仅知道一个数列的前面的有限项,无其他说明,数列是不能确定的. 通项n a 与前n 项和n S 的关系:任意数列{}n a 的前n 项和12n n S a a a =+++;11(1)(2)n n n S n a S S n -=⎧⎪=⎨-≥⎪⎩要点诠释:由前n 项和n S 求数列通项时,要分三步进行: (1)求11a S =,(2)求出当n≥2时的n a ,(3)如果令n≥2时得出的n a 中的n=1时有11a S =成立,则最后的通项公式可以统一写成一个形式,否则就只能写成分段的形式.数列的递推式:如果已知数列的第一项或前若干项,且任一项n a 与它的前一项1n a -或前若干项间的关系可以用一个公式来表示,那么这个公式就叫做这个数列的递推公式,简称递推式.要点诠释:利用递推关系表示数列时,需要有相应个数的初始值,可用凑配法、换元法等. 要点二:等差数列判定一个数列为等差数列的常用方法①定义法:1n n a a d +-=(常数)⇔{}n a 是等差数列; ②中项公式法:122(*){}n n n n a a a n N a ++=+∈⇔是等差数列; ③通项公式法:n a pn q =+(p ,q 为常数)⇔{}n a 是等差数列;④前n 项和公式法:2n S An Bn =+(A ,B 为常数)⇔{}n a 是等差数列.要点诠释:对于探索性较强的问题,则应注意从特例入手,归纳猜想一般特性. 等差数列的有关性质:(1)通项公式的推广:+(n m n m a a =-)d(2)若*()m n p q m n p q N +=+∈、、、,则m n p q a a a a +=+;特别,若2m n p +=,则2m n p a a a +=(3)等差数列{}n a 中,若*m n p m n p N ∈、、(、、)成等差数列,则m n p a a a 、、成等差数列.(4)公差为d 的等差数列中,连续k 项和232,,k k k k k S S S S S --,… 组成新的等差数列. (5)等差数列{}n a ,前n 项和为n S①当n 为奇数时,12n n S n a +=⋅;12n S S a +-=奇偶;11S n S n +=-奇偶; ②当n 为偶数时,122()2n nn a a S n ++=⋅;12S S dn -=偶奇;212nn a S S a +=奇偶.(6)等差数列{}n a ,前n 项和为n S ,则m n m nS S S m n m n+-=-+(m 、n ∈N*,且m≠n ). (7)等差数列{}n a 中,若m+n=p+q (m 、n 、p 、q ∈N*,且m≠n ,p≠q ),则p qm n S S S S m n p q--=--.(8)等差数列{}n a 中,公差d ,依次每k 项和:k S ,2k k S S -,32k k S S -成等差数列,新公差2'd k d =.等差数列前n 项和n S 的最值问题: 等差数列{}n a 中① 若a 1>0,d <0,n S 有最大值,可由不等式组10n n a a +≥⎧⎨≤⎩来确定n ;② 若a 1<0,d >0,n S 有最小值,可由不等式组100n n a a +≤⎧⎨≥⎩来确定n ,也可由前n 项和公式21()22n d dS n a n =+-来确定n. 要点诠释:等差数列的求和中的函数思想是解决最值问题的基本方法. 要点三 :等比数列判定一个数列是等比数列的常用方法 (1)定义法:1n na q a +=(q 是不为0的常数,n ∈N*){}n a ⇔是等比数列; (2)通项公式法:nn a cq =(c 、q 均是不为0的常数n ∈N*){}n a ⇔是等比数列; (3)中项公式法:212n n n a a a ++=⋅(120n n n a a a ++⋅⋅≠,*n N ∈){}n a ⇔是等比数列.等比数列的主要性质:(1)通项公式的推广:n mn m a a q -=(2)若*()m n p q m n p q N +=+∈、、、,则m n p q a a a a ⋅=⋅.特别,若2m n p +=,则2m n p a a a ⋅=(4)等比数列{}n a 中,若*m n p m n p N ∈、、(、、)成等差数列,则m n p a a a 、、成等比数列. (5)公比为q 的等比数列中,连续k 项和232,,k k k k k S S S S S --,… 组成新的等比数列. (6)等比数列{}n a ,前n 项和为n S ,当n 为偶数时,S S q =偶奇.(7)等比数列{}n a 中,公比为q ,依次每k 项和:k S ,2k k S S -,32k k S S -…成公比为q k 的等比数列.(8)若{}n a 为正项等比数列,则{log }a n a (a >0且a≠1)为等差数列;反之,若{}n a 为等差数列,则{}n aa (a >0且a≠1)为等比数列.(9)等比数列{}n a 前n 项积为n V ,则(1)21(*)n n nn V a q n N -=∈等比数列的通项公式与函数:11n n a a q -=①方程观点:知二求一; ②函数观点:111n nn a a a qq q-==⋅ 01q q >≠且时,是关于n 的指数型函数;1q = 时,是常数函数;要点诠释:当1q >时,若10a >,等比数列{}n a 是递增数列;若10a <,等比数列{}n a 是递减数列; 当01q <<时,若10a >,等比数列{}n a 是递减数列;若10a <,等比数列{}n a 是递增数列; 当0q <时,等比数列{}n a 是摆动数列; 当1q =时,等比数列{}n a 是非零常数列. 要点四:常见的数列求和方法 公式法:如果一个数列是等差数列或者等比数列,直接用其前n 项和公式求和.分组求和法:将通项拆开成等差数列和等比数列相加或相减的形式,然后分别对等差数列和等比数列求和.如:a n =2n+3n .裂项相消求和法:把数列的通项拆成两项之差,正负相消,剩下首尾若干项的方法.一般通项的分子为非零常数,分母为非常数列的等差数列的两项积的形式.若1()()n a An B An C =++,分子为非零常数,分母为非常数列的等差数列的两项积的形式,则)11(1))((1C An B An B C C An B An a n +-+-=++=,如a n = 1(1)n n +111n n =-+ 错位相减求和法:通项为非常数列的等差数列与等比数列的对应项的积的形式:n n n c b a ⋅=, 其中 {}n b 是公差d≠0等差数列,{}n c 是公比q≠1等比数列,如a n =(2n-1)2n .一般步骤:n n n n n c b c b c b c b S ++⋯++=--112211,则 1211n n n n n qS b c b c b c -+=+⋯⋯++所以有13211)()1(+-⋯⋯+++=-n n n n c b d c c c c b S q要点诠释:求和中观察数列的类型,选择合适的变形手段,注意错位相减中变形的要点. 要点五:数列应用问题数列应用问题是中学数学教学与研究的一个重要内容,解答数学应用问题的核心是建立数学模型,有关平均增长率、利率(复利)以及等值增减等实际问题,需利用数列知识建立数学模型.建立数学模型的一般方法步骤.①认真审题,准确理解题意,达到如下要求: ⑴明确问题属于哪类应用问题; ⑵弄清题目中的主要已知事项; ⑶明确所求的结论是什么.②抓住数量关系,联想数学知识和数学方法,恰当引入参数变量或适当建立坐标系,将文字语言翻译成数学语言,将数量关系用数学式子表达.③将实际问题抽象为数学问题,将已知与所求联系起来,据题意列出满足题意的数学关系式(如函数关系、方程、不等式).要点诠释:数列的建模过程是解决数列应用题的重点,要正确理解题意,恰当设出数列的基本量. 【典型例题】类型一:数列的概念与通项 例1.写出数列:15-,103,517-,267,……的一个通项公式. 【思路点拨】从各项符号看,负正相间,可用符号(1)n-表示;数列各项的分子:1,3,5,7,……是个奇数列,可用21n -表示;数列各项的分母:5,10,17,26,……恰是221+,231+, 241+,251+,…可用2(1)1n ++表示;【解析】通项公式为:221(1)(1)1nn n a n -=-++. 【总结升华】①求数列的通项公式就是求数列中第n 项与项数n 之间的数学关系式.如果把数列的第1,2,3,…项分别记作(1)f ,(2)f ,(3)f ,…,那么求数列的通项公式就是求以正整数n (项数)为自变量的函数()f n 的表达式;②通项公式若不要求写多种形式,一般只写出一个常见的公式即可;③给出数列的构造为分式时,可从各项的符号、分子、分母三方面去分析归纳,还可联想常见数列的通项公式,以此参照进行比较.举一反三:【变式】根据下列条件,写出数列中的前4项,并归纳猜想其通项公式: (1)113,21+==+n n a a a ; (2)111,2+==-n na a a a ; 【答案】(1)12343,7,15,31a a a a ====, 猜想得121n n a +=-; (2)a 1=a,a 2=a -21,a 3=a a 232--,a 4=a a 3423--, 猜想得a n =an n an n )1()2()1(-----;类型二:等差、等比数列概念及其性质例2.已知等差数列{}n a ,公差0d ≠,{}n a 中部分项组成的数列1k a ,2k a ,3k a ,…,n k a ,…恰为等比数列,且知11k =,25k =,317k =.(1)求n k ;(2)证明: 12...31nn k k k n +++=--.【解析】依题意:11k a a =,2514k a a a d ==+,317116k a a a d ==+.∵1k a ,2k a ,3k a 为等比数列,∴2111(4)(16)a d a a d +=+,解得12a d =.∴等比数列{}n k a 的首项112k a a d ==,公比511143a a d q a a +===, ∴11123n n n k k a a qd --=⋅=⋅又n k a 在等差数列{}n a 中是第n k 项, ∴1(1)(1)n k n n a a k d k d =+-=+ ∴1(1)23n n k n a k d d -=+=⋅(0d ≠), 解得1231n n k -=⋅-.(2)12...n k k k +++11211(231)(231)...(231)n ---=⋅-+⋅-++⋅-0112(33...3)31n nn n -=+++-=--【总结升华】题目中已经给出了是等差数列和等比数列,所以应用等差等比数列的定义来求解即可.举一反三:【数列综合381084 例1】【变式1】已知两个等比数列{}n a ,{}n b ,满足1(0)a a a =>,111b a -=,222b a -=,333b a -=.(1)若1a =,求数列{}n a 的通项公式; (2)若数列{}n a 唯一,求a 的值.【答案】(1)1(2n n a -=或1(2n n a -=-(2)13a =例3. 如果一个等差数列的前12项和为354,前12项中偶数项的和与奇数项的和之比为32:27,求公差.【解析】设等差数列首项为1a ,公差为d ,则⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧==⇒⎩⎨⎧=-=+⇒=⋅⨯⨯+⋅⨯⨯++=⋅⨯⨯+520253546612273225621625621)(635411122112111111d a d a d a da d d a d a 【总结升华】1. 恰当地选择设未知数,列方程(组)求解.方程思想在数列中很重要.2. 等差(比)数列的首项和公差(比)是关键. 举一反三:【数列综合381084 例2】【变式】在数列{}n a 中,121,2a a ==,11(1)n n n a q a qa +-=+-(2,0)n q ≥≠(1)设*1()n n n b a a n N +=-∈,证明{}n b 是等比数列.(2) 求数列{}n a 的通项公式.(3) 若3a 是6a 与9a 的等差中项,求q 的值;并证明:对任意的*n N ∈,n a 是3n a +与6n a +的等差中项.【答案】(1)利用定义证明1n n b qb -=(2)1,111,11n n nq a q q q -=⎧⎪=-⎨+≠⎪-⎩(3)证明1q =时,n a n =不合题意1q ≠时,111,1n n q a q--=+- 由3a 是6a 与9a 的等差中项可求32q =- 又2521361122211221111n n n n n n q q q q a a q q q q+++-++--+-+=+++=+=+----112(1)21n n q a q--=+=-即n a 是3n a +与6n a +的等差中项. 类型三:n a 与n S 的关系式的综合运用例4. 在数列{a n }中,S n 是其前n 项和,若a 1=1,a n +1=13S n (n ≥1),则a n =________.【思路点拨】n a 与n S 的关系式的综合运用,如果已知条件是关于n a 、n S 的关系式(,)0n n f a S =,可利用n ≥2时1n n n a S S -=-,将条件转化为仅含n a 或n S 的关系式。
(江苏专用)高考数学总复习 第五章第1课时 数列的概念课件
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第五章 数 列
第五章 数 列
第1课时 数列的概念
回归教材•夯实双基
基础梳理 1.数列的定义 数列是按_一__定__次__序__排成的一列数,从
函数观点看,数列是定义域为正整数 集(或它的有限子集)的函数f(n),
当自变量n从1开始依次取正整数时所 对应的一列函数值f(1),f(2),…,f(n) ,….通常用an代替f(n).于是数列的 一般形式为a1,a2,…,an,…,简记 为___{a_n_}__.
•15、纪律是集体的面貌,集体的声音,集体的动作,集体的表情,集体的信念。
•16、一个人所受的教育超过了自己的智力,这样的人才有学问。
•17、好奇是儿童的原始本性,感知会使儿童心灵升华,为其为了探究事物藏下本源。2022年1月2022/1/302022/1/302022/1/301/30/2022
•18、人自身有一种力量,用许多方式按照本人意愿控制和影响这种力量,一旦他这样做,就会影响到对他的教育和对他发生作用的环境。
【解】 (1)把点(n,Snn)代入函数 y=3x -2, ∴Snn=3n-2,∴Sn=3n2-2n,
当 n=1 时,a1=S1=1,
当n≥2时,an=Sn-Sn-1=3n2-2n- [3(n-1)2-2(n-1)]=6n-5. 又a1=1符合该式, ∴an=6n-5(n∈N*).
(2)bn
=
3 anan+1
பைடு நூலகம்
=
3 6n-56n+1
=
1 2
6n1-5-6n1+1,
∴Tn=b1+b2+b3+…+bn
=12[(1-17)+(17-113)+(113-119)+…+
(6n1-5-6n1+1)]=12(1-6n1+1).
2021年最新高中数学竞赛教材讲义第五章数列教师版
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x0 成立,则称 x0 为 f ( x) 的
定理 1 设 f ( x) ax b( a 0,1) ,且 x0 为 f (x) 的不动点, { an } 满足递推关系 an f ( an 1) ,
n 2,3, ,证明 { an x0} 是公比为 a 的等比数列。 例 1 已知数列 an 的前 n 项和为 Sn ,且 Sn n 5a n 85 , n N *
an 与前 n 项和 Sn 是确定次数的多项式 (关于 n 的 ),先设出多项
(3) 裂项相消法:其出发点是 an 能写成 an=f(n+1)-f(n) (4) 化归法:把高阶等差数列的问题转化为易求的同阶等差数列或低阶等差数列的问题,达到简化的目的
例 1.数列 { an} 的二阶差数列的各项均为 16,且 a63=a89=10,求 a51
例 2.一个三阶等差数列 { an} 的前 4 项依次为 30,72,140,240,求其通项公式
解:由性质 (2), an 是 n 的三次多项式,可设
A B C D 30
A1
8 A 4 B 2C D 72
B7
解得
27 A 9 B 3 C D 140
C 14
64 A 16 B 4 C D 240
D8
(3) 如果数列 {an} 是 p 阶等差数列,则其前 n 项和 Sn 是关于 n 的 p+1 次多项式
5.高阶等差数列中最重要也最常见的问题是求通项和前
n 项和,更深层次的问题是差分方程的求解,解决问题的基
本方法有:
(1)逐差法:其出发点是
n1
an=a1+ (ak 1 ak )
k1
(2) 待定系数法:在已知阶数的等差数列中,其通项 式的系数,再代入已知条件解方程组即得
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第五章 数列一、基础知识定义1 数列,按顺序给出的一列数,例如1,2,3,…,n ,…. 数列分有穷数列和无穷数列两种,数列{a n }的一般形式通常记作a 1, a 2, a 3,…,a n 或a 1, a 2, a 3,…,a n …。
其中a 1叫做数列的首项,a n 是关于n 的具体表达式,称为数列的通项。
定理1 若S n 表示{a n }的前n 项和,则S 1=a 1, 当n >1时,a n =S n -S n -1. 定义2 等差数列,如果对任意的正整数n ,都有a n +1-a n =d (常数),则{a n }称为等差数列,d 叫做公差。
若三个数a , b , c 成等差数列,即2b =a +c ,则称b 为a 和c 的等差中项,若公差为d, 则a =b -d, c =b +d.定理2 等差数列的性质:1)通项公式a n =a 1+(n -1)d ;2)前n 项和公式:S n =d n n na a a n n 2)1(2)(11-+=+;3)a n -a m =(n -m)d ,其中n , m 为正整数;4)若n +m=p +q ,则a n +a m =a p +a q ;5)对任意正整数p , q ,恒有a p -a q =(p -q )(a 2-a 1);6)若A ,B 至少有一个不为零,则{a n }是等差数列的充要条件是S n =An 2+Bn . 定义3 等比数列,若对任意的正整数n ,都有q a a nn =+1,则{a n }称为等比数列,q 叫做公比。
定理3 等比数列的性质:1)a n =a 1q n -1;2)前n 项和S n ,当q ≠1时,S n =qq a n --1)1(1;当q =1时,S n =na 1;3)如果a , b , c 成等比数列,即b 2=ac (b ≠0),则b 叫做a , c 的等比中项;4)若m+n =p +q ,则a m a n =a p a q 。
定义4 极限,给定数列{a n }和实数A ,若对任意的ε>0,存在M ,对任意的n >M(n ∈N ),都有|a n -A |<ε,则称A 为n →+∞时数列{a n }的极限,记作.lim A a n n =∞→定义5 无穷递缩等比数列,若等比数列{a n }的公比q 满足|q |<1,则称之为无穷递增等比数列,其前n 项和S n 的极限(即其所有项的和)为qa -11(由极限的定义可得)。
定理3 第一数学归纳法:给定命题p (n ),若:(1)p (n 0)成立;(2)当p (n )时n =k 成立时能推出p (n )对n =k +1成立,则由(1),(2)可得命题p (n )对一切自然数n ≥n 0成立。
竞赛常用定理定理4 第二数学归纳法:给定命题p (n ),若:(1)p (n 0)成立;(2)当p (n )对一切n ≤k 的自然数n 都成立时(k ≥n 0)可推出p (k +1)成立,则由(1),(2)可得命题p (n )对一切自然数n ≥n 0成立。
定理5 对于齐次二阶线性递归数列x n =ax n -1+bx n -2,设它的特征方程x 2=ax +b 的两个根为α,β:(1)若α≠β,则x n =c 1a n -1+c 2βn -1,其中c 1, c 2由初始条件x 1, x 2的值确定;(2)若α=β,则x n =(c 1n +c 2) αn -1,其中c 1, c 2的值由x 1, x 2的值确定。
二、方法与例题 1.不完全归纳法。
这种方法是从特殊情况出发去总结更一般的规律,当然结论未必都是正确的,但却是人类探索未知世界的普遍方式。
通常解题方式为:特殊→猜想→数学归纳法证明。
例1 试给出以下几个数列的通项(不要求证明);1)0,3,8,15,24,35,…;2)1,5,19,65,…;3)-1,0,3,8,15,…。
例2 已知数列{a n }满足a 1=21,a 1+a 2+…+a n =n 2a n , n ≥1,求通项a n .例3 设0<a <1,数列{a n }满足a n =1+a , a n -1=a +na 1,求证:对任意n ∈N +,有a n >1.2.迭代法。
数列的通项a n 或前n 项和S n 中的n 通常是对任意n ∈N 成立,因此可将其中的n 换成n +1或n -1等,这种办法通常称迭代或递推。
例4 数列{a n }满足a n +pa n -1+qa n -2=0, n ≥3,q ≠0,求证:存在常数c ,使得121+++n n pa a ·a n +.02=+n n cq qa例5 已知a 1=0, a n +1=5a n +1242+n a ,求证:a n 都是整数,n ∈N +.3.数列求和法。
数列求和法主要有倒写相加、裂项求和法、错项相消法等。
例6 已知a n =100241+n (n =1, 2, …),求S 99=a 1+a 2+…+a 99.例7 求和:43213211⨯⨯+⨯⨯=n S +…+.)2)(1(1++n n n例8 已知数列{a n }满足a 1=a 2=1,a n +2=a n +1+a n , S n 为数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧n n a 2的前n 项和,求证:S n <2。
4.特征方程法。
例9 已知数列{a n }满足a 1=3, a 2=6, a n +2=4n +1-4a n ,求a n .例10 已知数列{a n }满足a 1=3, a 2=6, a n +2=2a n +1+3a n ,求通项a n .5.构造等差或等比数列。
例11 正数列a 0,a 1,…,a n ,…满足212----n n n n a a a a =2a n -1(n ≥2)且a 0=a 1=1,求通项。
例12 已知数列{x n }满足x 1=2, x n +1=nn x x 222+,n ∈N +, 求通项。
三、基础训练题1. 数列{x n }满足x 1=2, x n +1=S n +(n +1),其中S n 为{x n }前n 项和,当n ≥2时,x n =_________.2. 数列{x n }满足x 1=21,x n +1=232+n n x x ,则{x n }的通项x n =_________. 3. 数列{x n }满足x 1=1,x n =121-n x +2n -1(n ≥2),则{x n }的通项x n =_________.4. 等差数列{a n }满足3a 8=5a 13,且a 1>0, S n 为前n 项之和,则当S n 最大时,n =_________.5. 等比数列{a n }前n 项之和记为S n ,若S 10=10,S 30=70,则S 40=_________.6. 数列{x n }满足x n +1=x n -x n -1(n ≥2),x 1=a , x 2=b , S n =x 1+x 2+…+ x n ,则S 100=_________.7. 数列{a n }中,S n =a 1+a 2+…+a n =n 2-4n +1则|a 1|+|a 2|+…+|a 10|=_________.8. 若12531332211-+==+=+=+n x x x x x x x x n n ,并且x 1+x 2+…+ x n =8,则x 1=_________. 9. 等差数列{a n },{b n }的前n 项和分别为S n 和T n ,若132+=n nT S n n ,则nn n b a ∞→lim =_________. 10. 若n !=n (n -1)…2·1, 则!1)1(220071n n n n n++-∑==_________.11.若{a n }是无穷等比数列,a n 为正整数,且满足a 5+a 6=48, log 2a 2·log 2a 3+ log 2a 2·log 2a 5+log 2a 2·log 2a 6+ log 2a 5·log 2a 6=36,求⎭⎬⎫⎩⎨⎧n a 1的通项。
12.已知数列{a n }是公差不为零的等差数列,数列{nb a }是公比为q 的等比数列,且b 1=1, b 2=5,b 3=17, 求:(1)q 的值;(2)数列{b n }的前n 项和S n 。
四、高考水平训练题1.已知函数f (x )=⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥-⎪⎭⎫⎝⎛<<-⎪⎭⎫ ⎝⎛≤+)1(1121122121x x x x x x ,若数列{a n }满足a 1=37,a n +1=f (a n )(n ∈N +),则a 2006=_____________.2.已知数列{a n }满足a 1=1, a n =a 1+2a 2+3a 3+…+(n -1)a n -1(n ≥2),则{a n }的通项a n =⎩⎨⎧≥=)2()1(1n n .3. 若a n =n 2+n λ, 且{a n }是递增数列,则实数λ的取值范围是__________.4. 设正项等比数列{a n }的首项a 1=21, 前n 项和为S n , 且210S 30-(210+1)S 20+S 10=0,则a n =_____________.5. 已知31)1(33lim 1=-++∞→n n n n a ,则a 的取值范围是______________. 6.数列{a n }满足a n +1=3a n +n (n ∈N +) ,存在_________个a 1值,使{a n }成等差数列;存在________个a 1值,使{a n }成等比数列。
7.已知402401--=n n a n (n ∈N +),则在数列{a n }的前50项中,最大项与最小项分别是____________.8.有4个数,其中前三个数成等差数列,后三个数成等比数列,并且第一个数与第四个数的和中16,第二个数与第三个数的和是12,则这四个数分别为____________. 9. 设{a n }是由正数组成的数列,对于所有自然数n , a n 与2的等差中项等于S n 与2的等比中项,则a n =____________.10. 在公比大于1的等比数列中,最多连续有__________项是在100与1000之间的整数. 11.已知数列{a n }中,a n ≠0,求证:数列{a n }成等差数列的充要条件是11143322111111++=++++n n n a a a a a a a a a a (n ≥2)①恒成立。
12.已知数列{a n }和{b n }中有a n =a n -1b n , b n =2111---n n a b (n ≥2), 当a 1=p , b 1=q (p >0, q >0)且p +q =1时,(1)求证:a n >0, b n >0且a n +b n =1(n ∈N );(2)求证:a n +1=1+n na a ;(3)求数列.lim n nb ∞→13.是否存在常数a , b , c ,使题设等式 1·22+2·32+…+n ·(n +1)2=12)1(+n n (an 2+bn +c ) 对于一切自然数n 都成立?证明你的结论。