毕业导数在经济学中的应用

1 引言

对经济学家来说，对其经济环节进行定量分析是非常必要的，而将数学作为分析工具，不仅可以给企业经营者提供客观、精确的数据，而且在分析的演绎和归纳过程中，可以给企业经营者提供新的思路和视角，也是数学应用性的具体体现[1]。因此，在当今国内外，越来越多地应用数学知识，使经济学走向了定量化、精密化和准确化。

导数的概念是从良多现实的科学问题抽象而发生的,在经济剖析、经济抉择妄想、经济打点中,有着普遍的应用意义[2]。其作为数学剖析课程中最主要的根基概念之一,反映了一个变量对另一个变量的转变率。在经济学中，也存在转变率问题，如：边际问题和弹性问题。运用导数可以对经济活动中的实际问题进行边际分析、需求弹性分析和最值分析，从而为企业经营者科学决策提供量化依据。导数在经济领域中的应用非常之泛，其中“边际”和“弹性”是导数在经济分析应用中的两个重要概念。随着市场经济的不断发展，利用数学知识解决经济问题显得越来越重要，而导数是高等数学中的重要概念，是经济分析的重要工具。把经济活动中一些现象归纳到数学领域中，用数学知识进行解答，对很多经营决策起了非常重要的作用。

数学在现代经济学中的作用越来越重要，导数作为高等数学中的一个重要概念，是经济学应用的一个重要工具[3]。导数在经济学中有许多应用，其中边际分析、弹性分析是导数在经济学中的两个重要应用。如今许多企业在判断一项经济活动对企业的利弊时，仅仅依据它的全部成本。而我认为还应当依据它所引起的边际收益与边际成本的比较。在讨论经济问题时绝对数分析问题常常被作为首要因素考虑。我认为应当进一步研究相对变化率。

总而言之，当代研究文学中分别研究了弹性和边际函数对经济的影响，缺乏从总体上深入研究经济过程中每个环节中导数的应用情况。在商品经济活动中进行编辑分析和弹性分析是非常重要的，导数作为边际分析与弹性分析的工具，可以为企业决策者做出合理的决策。

在此我想用导数作为分析工具，对每个经济环节进行定量分析。通过研究成本所引起的边际收益与边际成本的的比较，分析绝对数相对变化率的经济问题，特别具体分析因缺乏弹性的商品和富有弹性的商品的价格变动所产生的影响。同时将弹性分析与边际分析有机结合，衡量出如何确定最优的价格，获得最大的利润。从而帮助企业做出更精明的决策，为其提供精确的数值和创新思路。

导数的概念：设函数y=f （x ）在点0x 的某个邻域内有定义，当自变量 x 在点0x 处取得增量x ∆（点0x +x ∆仍在该邻域内）时，相应地函数y 取得增量y ∆=f （0x +x ∆）-f （0x ）；如果y ∆与x ∆之比当x ∆→0时的极限存在，则称函数y=f （x ）在点0x 处可

导，并称这个极限为函数y=f （x ）在点0x 处的导数，记为f'（0x ），即

x x f x x f x y x x x ∆-∆+=∆∆=→∆→∆)()(lim lim )('f 00000。 若函数 y=f （x ）在某区间内每一点都可导，则称 y=f （x ）在该区间内可导，记 f'（x ）为y=f （x ）在该区间内的可导函数（简称导数）。

2 经济分析中常用的函数

2.1 需求函数与供给函数 （1）需求函数。作为市场上的一

种商品，其需求量受到很多因素影响，

如商品的市场价格、消费者的喜好等。

为了便于讨论我们先不考虑其他因

素，假设商品的需求量尽受市场价格的影响，即Q 表示某种商品的需求量，P 表示此种商品的价格，则用 Q=f （P ）表示对某种商品的需求函数。例如，

某空调的价格从3000元/台降到2000

元/台时，相应的需求量就从600台增

到1000台，显然需求是和价格相关的

一个变量。一般来说，对某种商品的需

求量Q 随价格减少而增加，随价格增加

而减少，所以需求函数是单调减少的函

数（如图1）。

（2）供给函数。站在卖方的立场

上，设Q 表示对某种商品的供给量，P

表示此种商品的价格，则用Q=F （P ）表

示某种商品的供给函数。一般来说，

作为卖方，对某种商品的供给量Q 是

随价格P 的增加而增加，随价格P 的

减少而减少，所以供给函数是单调增

加的函数（如图2）。

图1 需求曲线 图2 供给曲线 D p Q p 1

Q 1 p 2

Q 2 0 S P Q P 2 Q 1 P 1 Q 2 0 供给曲线的特征： １、因变量Q 放在横轴，而自变量价格p 放在纵轴 ２、供给曲线的斜率为正且凸向原点 需求曲线的特征： 1、因变量Q 放在横轴，而自变量价格p 放在纵轴

2、需求曲线的斜率为负。

3、需求曲线不会凹向原点

2.2 成本函数与平均成本函数

（1）成本函数。产品的成本一般有两类：一类随产品的数量变化，如需要的劳动力，消耗的原料等；这种生产成本称为可变成本。另一类成本无论生产水平如何都固定不变，如房屋 设备的折旧费、保险费等，称为固定成本。设Q 为某种产品的产量，C 为生产此种产品的成本，生产每个单位产品的成本为a ，固定成本为0C ，则成本函数为C =C （Q ）=aQ+0C 。

（2）平均成本函数。用Q

Q C Q C C )()(==表示每单位的平均成本函数[2]。

2.3 价格函数、收入函数和利润函数

（1）价格函数。一般来说，价格是销售量的函数。生活中随处可见，买的东西越多 消费者就可以把价格压得更低。例如，某批发站批发100件衣服给零售商，批发定价，30元，若每次多批发10件衣服，相应的批发价格就降低2元，显然价格是和销售量相关的一个变量。在厂商理论中，强调的是既定需求下的价格。在这种情况下，价格是需求量的函数，表示为P=P （Q ）。要注意的是需求函数 Q=f （P ）与价格函数 P=P （Q ）是互为反函数的关系。

（2）收入函数。在商业活动中，一定时期内的收益，就是指商品售出后的收入，记为R 。销售某商品的总收入取决于该商品的销售量和价格。因此，收入函数为R=R （Q ）=PQ 。其中 Q 表示销售量，P 表示价格。

（3）利润函数。利润是指收入扣除成本后的剩余部分，记为L 。则L=L （Q ）=R （Q ）-C （Q ）。其中Q 表示产品的的数量，R （Q ）表示收入，C （Q ）表示成本。总收入减去变动成本称为毛利，再减去固定成本称为纯利润。

3 导数的经济学意义及其在经济分析中的应用

3.1 边际分析