导数在经济方面的应用边际分析(参考课件)
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高数课件3-6导数在经济上的应用举例
边际收益：增 加一单位产量 所增加的收益
边际利润：边 际收益减去边
际成本
边际分析在经 济决策中的应 用：通过比较 边际成本和边 际收益，确定 最优产量和价
格
弹性分析
需求弹性：衡量消费者对价格变化的敏感程度 供给弹性：衡量生产者对价格变化的敏感程度 交叉弹性：衡量两种商品之间的替代关系 收入弹性：衡量消费者收入变化对消费需求的影响
公司
导数在经济上的应 用举例
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01
导数在经济分析中的应用
02
导数在金融领域的应用
03
导数在市场分析中的应用
04
导数在生产决策中的应用
05
导数在资源分配中的应用
06
01
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01
导数在经济分析中的应用
边际分析
边际成本：增 加一单位产量 所增加的成本
导数在风险评估中的局限性：导数只能预测短期趋势，不能预测长期趋势，因此需要结合其他方 法进行风险评估。
风险评估的实际应用：在金融领域，风险评估被广泛应用于股票、债券、期货等投资产品的风险 评估。
投资组合优化
导数在投资组合优化中的应 用：通过计算导数，找到最 优的投资组合
投资组合：将资金分散到不 同的资产中，以降低风险
资源利用和环境保护的平衡
导数在经济学中的应用：通过导数分析资源分配的优化问题
资源利用和环境保护的关系：资源利用过度会导致环境破坏，而保护环境 需要限制资源利用 导数在资源分配中的应用：通过导数分析，找到资源利用和环境保护的平 衡点
案例分析：某地区如何通过导数分析，实现资源利用和环境保护的平衡
资源分配的效率和公平性
第15讲导数概念在经济中的应用
定义： 定义：
设某商品的市场需求量为Q，价格为P，
需求函数Q＝Q（P）可导，则称
EQ p dQ = • EP Q( p ) dp
为该商品的价格弹性，――需求弹性，记为
εp
ε p＝ 时为单位弹性，ε p＞1或ε p＜－1时为高弹性 1
－ ＜ε p＜ 时为低弹性 1 1
表示：当某商品的价格上涨（或下跌）1%时，
为 y = f ( x )在 点 x0与 x0 + ∆ x之 间 的 弧 弹 性
Ey ⇒ Ex
x = x0
x0 dy = f ( x0 ) dx
x = x0
如果y = f ( x)在区间( a, b)内可导且f ( x) ≠ 0
Ey x dy 则称 = • 为 函 数 f ( x )在 区 间 Ex f ( x) dx （ a,b） 内 的 点 弹 性 － 弹 性 函 数
∆R ≈ (1 − ε p )Qdp = (1 − ε p
例
设某产品生产x单位的总收入 R(x) = 200x − 0.01x2 求生产50单位产品时的总收入、平均单位产品 收入、边际收入
由于 R(x) = 200x − 0.01x2 解
则
R(50) = ( 200x − 0.01x2 ) R(x) x
高等院校非数学类本科数学课程
大 学 数 学（一）
—— 一元微积分学
导数概念在经济中的应用
一、边际与边际分析
1、边际成本――平均成本变化率
C ( x + ∆x ) − C ( x ) C ′( x ) = lim ∆x → 0 ∆x
再生产一个单位的产品所需要增加的成本
2、边际收益――－平均收益变化率
导数
导数在经济学中的应用教学课件ppt
导数在生产函数研究中的应用
生产函数
描述生产过程中投入要素与产 出之间的关系。
弹性分析
研究产出对于各投入要素的弹 性变化。
总结词
生产函数、边际分析、弹性分 析、最优生产要素组合
边际分析
分析投入要素的边际产量与最 优要素组合。
最优生产要素组合
确定使生产成本最低或利润最 大的要素组合。
导数在时间序列分析中的应用
导数在经济学中的意义
导数可以描述函数的变化率和极限状态，可以帮助经济 学研究者更好地了解经济变量的变化规律和趋势，为政 策制定提供重要的参考依据。
导数在经济学中的未来研究方向
研究主题1
如何将导数与其他经济学理论相结合，进一步完善经济学理论框 架，更好地解释现实经济现象。
研究主题2
如何运用导数研究具有复杂特征的经济问题，例如金融市场波动 、能源供需变化等。
导数在弹性分析中的应用
01
02
03
弹性分析是经济学中用于研究函数因 变量对自变量敏感度的概念。
导数可以用于计算弹性和弹性系数， 研究经济变量的变化对经济整体的影 响。
例如，在国际贸易中，出口商品的弹 性系数可以帮助国家制定贸易政策。
导数在优化问题中的应用
优化问题是经济学中需要找到函数极值点的问 题。
导数在政策分析中的应用
01
政策分析是经济学中用于评估 政策效果和制定政策建议的工 具。
02
导数可以用于建立政策分析模 型，分析政策变动对经济的影 响。
03
例如，可以利用导数分析税收 政策变动对经济增长的影响。
03
导数的数学基础
导数的定义与运算规则
导数的定义
导数是由函数在某一点的斜率来定义的。对于给定的 函数f(x)，f'(x)表示函数在x点的斜率。
导数在经济中的应用 PPT
x 与 y f ( x0 x) f ( x0 )
x0
y0
f ( x0 )
分别为自变量 x与ƒ(x)在点 x0处的相对增量.
定义
设y =ƒ(x)当x 0 时, 极限
y lim x0 x
y0 x0
存在,
则称此
极限值为函数 f ( x) 在点 x0 处的弹性, 记为 ( x0 ).
是降价还是提价均对收益没有明显的影响.
由此对例36 而言: 当p = 4时, p 0.92 1 (低弹性),
2019/1此2/3 时降价使收益减少; 提价使收益增加;
14
当 p = 4.35 时, p 1(单位弹性), 此时, 降价、提价对 收益没有明显的影响;
当 p = 5 时, p 1.15 1 (高弹性), 此时降价使收益增加;
2019/12/3
p
, 均满足 p 0.
12
在商品经济中, 商品经营者关心的的是提价(Δp>0) 或降价(Δp<0)对总收益的影响.下面利用需求弹性的概念, 可以得出价格变动如何影响销售收入的结论.
p
Q( p) p
Q( p)
p dQ Q( p) dp
价格p的微小变化(即 p 很小时)而引起的需求量的改变为
济上的应用.
1.平均成本最小
例38 某工厂生产产量为 x (件)时, 生产成本函数(元)为
C( x) 9000 40x 0.001x2
求该厂生产多少件产品时, 平均成本达到最小? 并
求出其最小平均成本和相应的边际成本.
解 2019/12/3 平均成本函数是 C ( x) C( x) 9000 40 0.001x
导数在经济分析中的应用举例教学课件ppt
03
高阶导数的经济学意义
高阶导数可以用来描述一个函数的变化率，从而在经济学中 可以用来分析成本、收益、利润等变量的变化率。但是，高 阶导数的解释和应用相对复杂，需要一定的数学基础和专业 知识。
高阶导数的计算困难
高阶导数的计算涉及到多次求导，需要一定的计算能力和技 术。同时，对于非线性函数，高阶导数的计算可能更加复杂 和困难。
导数在经济分析中的未来发展
导数与其他经济理论的结合
未来可以将导数与其他经济理论进行结合，例如与博弈 论、产业组织理论等结合，从而更好地解释和分析经济 现象和问题。
导数的应用范围拓展
随着数学和计算机技术的发展，导数的应用范围可能会 进一步拓展。例如，可以利用计算机程序实现导数的计 算和分析，从而更好地服务于经济分析和决策。
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导数与经济增长的研究
总结词
导数可以用于研究经济增长的速度和趋势，为政策制定者提供参考依据。
详细描述
经济增长是一个国家发展的重要指标，而其增长速度和趋势往往受到多种因素的影响。通过导数分析，我们可 以研究经济增长的变化率及其影响因素，为政策制定者提供参考依据。例如，通过求导可以分析一个国家的 GDP增长速度是上升还是下降，从而制定相应的经济政策。
04
导数在经济分析中的实证研究
导数与经济增长的实证研究
导数与经济增长动态
利用导数分析经济增长的动态变化，探讨导数对经济产出的影响。
导数对经济增长趋势的预测
通过导数的计算，对经济增长的趋势进行预测和分析。
导数与消费关系的实证研究
导数与消费倾向的关系
研究导数与消费倾向之间的关系，探讨导 数对消费的影响。
导数与劳动力市场的研究
35导数在经济分析中的应用课件
一、边际与边际分析
1.边际成本
设生产q个单位某产品时，总成本为C = C ( q )，当产量增量为 ，q 在 [q,q q] 时，相应的总成本的增量为
平均成本为： 则导数
C C(q q) C(q)
C C C(q q) C(q)
q
q
C(q) lim C(q q) C(q)
q0
q
称为产量为q个单位时的边际成本，一般记为：CM (q) C(q)
RM (q) R(q).
例2 设某种电器的需求价格为：q=120-4p 其中p为销售 价格，q为需求量。求销售量为60件时的总收入、平均 收入以及边际收入。销售量为70件时，边际收入如何？ 并作出相应的经济解释。
解 由已知总收入函数为： R pq q(30 1 q) 4
所以销售量为60件时的总收入为：
2.边际收入 设某产品的销售量为q个单位某产品时，总收入为R= R( q )， 当产量增量为 ∆q时，在[q,∆q]相应的总利润的增量为
R R(q q) R(q)
平均收入为： R R R(q q) R(q)
q
q
则导数
R(q) lim R(q q) R(q)
q0
q
称为销售量为q个单位时的边际利润，一般记为：
R(60) 60(30 15) 900(元）
销售量为60件时的平均收入为：
R R(60) / 60 1（5 元 / 件）
销售量为60时的边际收入
为：
RM
(60)
R(60)
30
1 2
60
0
这说明当销售量为60件时，再增加一件的销量不会增加 收入。
销售量为70时的边际收入
为：
RM
(70)
1.边际成本
设生产q个单位某产品时，总成本为C = C ( q )，当产量增量为 ，q 在 [q,q q] 时，相应的总成本的增量为
平均成本为： 则导数
C C(q q) C(q)
C C C(q q) C(q)
q
q
C(q) lim C(q q) C(q)
q0
q
称为产量为q个单位时的边际成本，一般记为：CM (q) C(q)
RM (q) R(q).
例2 设某种电器的需求价格为：q=120-4p 其中p为销售 价格，q为需求量。求销售量为60件时的总收入、平均 收入以及边际收入。销售量为70件时，边际收入如何？ 并作出相应的经济解释。
解 由已知总收入函数为： R pq q(30 1 q) 4
所以销售量为60件时的总收入为：
2.边际收入 设某产品的销售量为q个单位某产品时，总收入为R= R( q )， 当产量增量为 ∆q时，在[q,∆q]相应的总利润的增量为
R R(q q) R(q)
平均收入为： R R R(q q) R(q)
q
q
则导数
R(q) lim R(q q) R(q)
q0
q
称为销售量为q个单位时的边际利润，一般记为：
R(60) 60(30 15) 900(元）
销售量为60件时的平均收入为：
R R(60) / 60 1（5 元 / 件）
销售量为60时的边际收入
为：
RM
(60)
R(60)
30
1 2
60
0
这说明当销售量为60件时，再增加一件的销量不会增加 收入。
销售量为70时的边际收入
为：
RM
(70)
导数在经济学中的简单应用教学课件ppt
04 详细描述
导数可以用于计算经济函数的极值 、最优化问题、弹性、曲线的单调 性和拐点等问题，这些应用有助于 我们更好地分析和解释经济现象。
导数的局限性
总结词
导数使用范围的局限性
详细描述
虽然导数在经济学中有很多 应用，但它也有其局限性。 例如，导数要求函数可导， 而一些非线性函数可能不可 导或难以求导
边际成本
导数可以用来分析产品的边际收益，帮助企 业制定最优定价策略。
导数可以用来分析生产过程中的边际成本， 帮助企业优化生产计划。
导数在经济模型中的应用
消费模型
导数可以用来分析消费模型，例如 线性消费函数、指数消费函数等， 预测消费者的消费行为。
投资模型
导数可以用来分析投资模型，例如 现值投资函数、未来价值投资函数 等，预测投资者的投资行为。
生产者行为决策
生产者在进行生产决策时，需要考虑市场供求关系、自身生产能力、要素价格变动等多种 因素的影响，利用导数可以对这些因素进行分析和优化。
05
导数的经济学意义与局限性
导数的经济学意义
01 总结词
了解导数在经济学中的重要性
02 详细描述
03 总结词
掌握导数的经济学应用
导数在经济学中具有广泛的应用， 它可以帮助我们更好地理解经济变 量的变化率和边际效应等经济学概 念
消费者最优选择
在一定预算约束下，消费者如何选择商品以获得最大化的效 用满足程度，可以通过构造效用函数，利用导数求极值的方 法来求解。
生产者行为分析
边际产量递减规律
在生产过程中，可变要素的投入量增加时，边际产量会逐渐减小，可以用导数来描述边际 产量的变化率。
生产者最优选择
在一定的成本约束下，生产者如何选择要素组合以获得最大化的利润，可以通过构造成本 函数和收益函数，利用导数求极值的方法来求解。
3.6导数在经济学中的简单应用
需求价格弹性函数及当p 10时的需求价格弹性
解：
1 p 1400(ln 4) p( ) p 4 p ln 4 E p q( p) 1 p q 1400( ) 4
p 10
Ep
10 ln 4 20 ln 2
【3-6-11】
例2 设某商品的需求价格函数为q=42-5p，求（1）边际需求函数 和需求价格弹性，（2）当p=6时，若价格上涨1%，总收益是增加还是 减少？ 解：
若提价，则有： 若降价，则有：
1 Ep
0
p 0, q 0, 此时R 0, 收益上升
p 0, q 0, 此时R 0, 收益下降
从而企业可以根据具体情况采用降价或提价来增加收益。
【3-6-10】
5 弹性举例
1 p 例1 已知某商品的需求价格函数为q 1400( ) , 求该商品的 4
C (q 1) C (q) C (q)
【3-6-1】
（4）举例
x2 设生产某商品x个单位的成本函数为C ( x ) 100 6 x , 4
求当x 10时的总成本, 平均成本和边际成本
解： 总成本为C (10) 185,
C (10) 平均成本为C (10) 18.5, 10
试求当p 4时的边际需求及需求价格弹性
结束
【3-6-13】
含义为 : 当收入增加一个百分点时,需求量将上升EM 个百分点
【3-6-8】
4 边际与弹性的关系 （1）关系：
R pq( p), dR pdq qdp,
p dq pdq 而E p ,q Ep
dR 1 1 边际收益MR (1 ) p (1 )P dq Ep Ep
§3.6 导数在经济中的应用
含义：函数当自变量在 x=2 处改变1%时，函数值从f(2)=22处 改变了 8 %，负号说明改变的方向相反。
11
6
例3
某商品的需求函数为 Q 10 P ，求：
2
（1）需求价格弹性函数；
（2）当P=3时的需求价格弹性；
（3）当P=3时，若价格上涨1%,其收益是增加还 是减少？将变化百分之几？
解：
（1）需求价格弹性函数为：
Q(P) P Q(P)
1 P 2 10
P
P P 20
2
（2） P
3
P3
P 20 P3
17Βιβλιοθήκη 7经济意义：价格上涨1%，则需求下降3/17%。
（3）总收益：
R
PQ
10P
P2 2
收益价格弹性函数为： ER R(P) P 2(10 P)
（2）边际利润 L( x )
（3）产量为多少时，利润最大？
解：（1） L( x ) R( x ) C( x ) xP( x ) C( x ) 50000 260x 1 x2
( 2 ) L( x ) 260 1 x 20 10
( 3 ) 令L( x ) 0 得：x 2600 此时L( x ) 0
§3.6 导数在经济中的应用
3.6.1 边际分析
定义3.6.1 设函数 f ( x ) 可导，导函数 f ( x ) 称为边际函数。 f ( x0 ) 称为在 x= x0 点的边际函数值。
1、边际成本：成本函数 C(x) 的导函数 C( x ) 2、边际收益：收益函数 R (x) 的导函数 R( x ) 3、边际利润：利润函数 L (x) 的导函数 L( x )
导数与微分在经济学中的简单应用(讲课)
. 边际
导数与微分在经济学中的简单应用
.边际分析
在经济学中,边际概念是与导数密切相关的一个经济学概念,它反映一种经济变量y对另一种经济变量x的变化率.以导数为工具研究经济变量的边际变化的方法，就是边际分析方法。
*
总成本、平均成本、边际成本
“总成本”是生产一定量的产品所需要的成本总额，通常由固定成本和可变成本两部分构成，用C(x)表示，其中x表示产品的产量，C(x)表示当产量为x时的总成本。
*
综上所述，总收益的变化受需求弹性的制约，高弹性商品适合采取薄利多销经济策略；低弹性商品采取提高价格增加经济收益的策略。
当 时，需求量增加(减少)的百分比小于价格下降(上浮)的百分比，降低价格 会使消费者用于购买商品的支出减少，这时销售者的收益减少 ,提高价格会使总收益增加。
（3）当 时，称为低弹性，这时当商品价格增加(减少)1%时,需求量相应地减少(增加) %, 即需求量变动的百分比小于1%，价格变动对需求量的影响不大。
*
在商品经济中，商品经营者关心的是提价 或降价 对总收益的影响，下面我们利用弹性的概念来分析需求的价格弹性与销售者的收益之间的关系。
*
定义设函数y=f(x)在点x=x0
称为函数f(x)从x=x0到点x=x0+△x两点间的平均相对变化率,经济上也叫做这两点间的“弧弹性”.
的某邻域内有定义，
且 ，如果极限
存在,则称此极限为函数y=f(x)在点 处的点弹性， 记为
而称比值
表示f(x)在x=x0处的相对变化率
*
由定义可知
如果函数y=f(x)在(a,b)内可导,且f(x)0，则称 为函数y=f(x)在(a,b)内的点弹性函数，简称为弹性函数。 相对变化率 平均相对变化率
微积分3-5. 导数在经济学中的应用ppt课件
解 因为 y 300e3x ，于是
Ey Ex
300e3
x
x 100e3x
3x
f (x) 0
所以
Ey Ex
x2 6
弹性的实际意义是在x 2 处当自变量改变1％时，
的函数值改变6％
18
弹性在经济学中常应用于研究需求量与价格之间的变化关系. 需求是指在一定价格条件下，消费者愿意购买并且有支付能力 购买的商品量. 商品的需求量一般与价格有关，描述需求量与价格关系的函数 称为需求函数.
加（减少） R x0 个单位。
9
例.某商品销售量 x与价格 P之间的函数关为 P 10 0.01x 。
求当销售量分别为400，500，600时的总收益和边际收益，并说明 边际收益的经济意义
解 因为总收益函数为 R(x) x P(x) 10x 0.01x2 所以，当销售量 x 400,500, 600 时的总收益分别为
弹性
因变量变动的比率 自变量变动的比率
1144
利用函数与自变量的相对改变量之比研究经济变量对另一 个经济变量变化的反应程度的方法称为弹性分析.
定义 设 y f (x) 在点 x0 量的相对增量(变化率)，y
y0
处可导，且 x0 0,
f x0 x f x0 f x0
x 为自变 x0 为函数的相
x x0
x0
x
L x表0 示产量为 时x0的边际利润，其经济意义是当产量为 x时0， 每增加（减少）一个产量，利润将增加（减少） L x0个单位.
11
由L x R x C x ，显然边际利润可由边际收益与边际成本决定. 即当 R x C x 时，L(x) 0；当 R x C x时，L(x) 0； 当 R x C x 时 ，L(x) 0
导数在经济方面的应用边际分析
1200
总成本、平均成本及边际成本，并解释边际
成本的经济意义.
解 生产 900 个单位时的总成本为
C(Q)
Q900
1100
9002 1200
1775
平均成本
C(Q
)Q9
0
1 7 7 5 900
1.97
边际成本为 C(Q)
Q .5 ，它表示当
产量为 900 个单位时，再增产（或减产）一个单位，
益的平均变化率为
R R(20) R(15) 320 255 13
Q
20 15
5
返回
案例 2.5 某工厂对其产品的情况进 行了大量的统计分析后，得出总利润 L(Q) （元）与每月产量 Q（吨）的关系为 L L(Q) 250Q 5Q2 ，试确定每月生产 20 吨，25 吨，35 吨的边际利润，并作出 经济解释.
参考答案
解 设圆面积为 A ，圆半径为 R ，则
A R2
方程两边对时间 T 求导数，得
dA 2 R dR
dT
dT
当 R 为2厘米，dR 为0.01厘米/秒时，
dT
dA 0.04
dT
即圆板面积的增长速度为0.04 平方厘米/秒。
课堂练习
2、一个平放的水槽长12米，横截 面为等腰梯形，下底宽3米，口宽9米， 深4米．现以每分钟10立方米的速度将 水注入，试求当水深2米时，水面上升 的速度.
解 边际利润函数为 L( Q) 2 50
L(Q) Q20 L(20) 50
L(Q) Q25 L(25) 0
L(Q) Q30 L(35) 100
1Q，0则
上述结果表明当生产量为每月 20 吨时，再增加 一吨，利润将增加 50 元；当产量为每月 25 吨时，再 增加一吨，利润不变；当产量为 35 吨时，再增加一 吨利润减少 100 元.此处亦说明，对厂家来说，并非生 产的产品数量越多，利润就越高.所以我们可以利用边 际函数来作出相应的产量决策.
总成本、平均成本及边际成本，并解释边际
成本的经济意义.
解 生产 900 个单位时的总成本为
C(Q)
Q900
1100
9002 1200
1775
平均成本
C(Q
)Q9
0
1 7 7 5 900
1.97
边际成本为 C(Q)
Q .5 ，它表示当
产量为 900 个单位时，再增产（或减产）一个单位，
益的平均变化率为
R R(20) R(15) 320 255 13
Q
20 15
5
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案例 2.5 某工厂对其产品的情况进 行了大量的统计分析后，得出总利润 L(Q) （元）与每月产量 Q（吨）的关系为 L L(Q) 250Q 5Q2 ，试确定每月生产 20 吨，25 吨，35 吨的边际利润，并作出 经济解释.
参考答案
解 设圆面积为 A ，圆半径为 R ，则
A R2
方程两边对时间 T 求导数，得
dA 2 R dR
dT
dT
当 R 为2厘米，dR 为0.01厘米/秒时，
dT
dA 0.04
dT
即圆板面积的增长速度为0.04 平方厘米/秒。
课堂练习
2、一个平放的水槽长12米，横截 面为等腰梯形，下底宽3米，口宽9米， 深4米．现以每分钟10立方米的速度将 水注入，试求当水深2米时，水面上升 的速度.
解 边际利润函数为 L( Q) 2 50
L(Q) Q20 L(20) 50
L(Q) Q25 L(25) 0
L(Q) Q30 L(35) 100
1Q，0则
上述结果表明当生产量为每月 20 吨时，再增加 一吨，利润将增加 50 元；当产量为每月 25 吨时，再 增加一吨，利润不变；当产量为 35 吨时，再增加一 吨利润减少 100 元.此处亦说明，对厂家来说，并非生 产的产品数量越多，利润就越高.所以我们可以利用边 际函数来作出相应的产量决策.
最新导数在经济学中的应用
导数在经济学中的应用导数与微分在经济中的简单应用一、边际和弹性（一）边际与边际分析边际概念是经济学中的一个重要概念，通常指经济变量的变化率，即经济函数的导数称为边际。
而利用导数研究经济变量的边际变化的方法，就是边际分析方法。
1、总成本、平均成本、边际成本总成本是生产一定量的产品所需要的成本总额，通常由固定成本和可变成本两部分构成。
用c(x)表示，其中x 表示产品的产量，c(x)表示当产量为x 时的总成本。
不生产时，x=0，这时c(x)=c(o)，c(o)就是固定成本。
平均成本是平均每个单位产品的成本，若产量由x 0变化到x x ∆+0，则：xx c x x c ∆-∆+)()(00 称为c(x)在)(00x x x ∆+，内的平均成本，它表示总成本函数c(x)在)(00x x x ∆+，内的平均变化率。
而x x c /)(称为平均成本函数，表示在产量为x 时平均每单位产品的成本。
例1，设有某种商品的成本函数为：x x x c 30135000)(++=其中x 表示产量（单位：吨），c(x)表示产量为x 吨时的总成本（单位：元），当产量为400吨时的总成本及平均成本分别为：（元）1080040030400135000)(400=⨯+⨯+==x x c 吨）（元/2740010800)(400===x x x c 如果产量由400吨增加到450吨，即产量增加x ∆=50吨时，相应地总成本增加量为：4.686108004.11468)400()450()(=-=-=∆c c x c728.13504.686)()(500400==∆∆+=∆∆=∆=x x xx x c x x c这表示产量由400吨增加到450吨时，总成本的平均变化率，即产量由400吨增加到450吨时，平均每吨增加成本13.728元。
类似地计算可得：当产量为400吨时再增加1吨，即x ∆=1时，总成本的变化为：7495.13)400()401()(=-=∆c c x c7495.1317495.13)(1400=∆∆=∆=x x x x c 表示在产量为400吨时，再增加1吨产量所增加的成本。
导数在经济学中的简单应用.ppt
求销售量为30个单位时的总收益、平均收益与边际收益。
总收益： R(Q)
PQ
Q30
Q30
10
Q 5
Q
120
Q30
平均收益 R(Q)
R(Q)
120 4ຫໍສະໝຸດ Q30Q Q30 30
边际收益 R(Q)
10 2Q
2
Q30
5 Q30
11/14/2019
显然，边际利润为
L(Q) R(Q) C(Q).
11/14/2019
9
二.弹性分析
边际函数描述了函数的变化率, 为定义变化率引入了 变量的改变量概念. 在经济问题中有时仅仅考虑变量的改 变量还不够,
例如, 某商品价格上涨了 1 元, 价格的改变量为 1, 若 商品原来的价格为 10 元, 则表明商品价格上涨了 10%, 若 商品原价为 100 元, 则商品价格上涨了 1%,
12
例4 求函数 y 3e2x在 x 1处的弹性。
解
Ex
x f (x)
f
(
x)
=
x 3e 2
x
6e2x 2x
Ex x1 2
经济问题中通常要考虑的是需求与供给对价格的弹性.
11/14/2019
13
(1) 需求弹性.
设需求函数为 Q f (P),为单调减函数，故P与Q异号，
一般来说，销售 Q单位产品的总收益为销售量 Q与价格 P之
积，即
R(Q) QP QP(Q),
式中，P P(Q)是需求函数 Q Q(P)的反函数，也称需求函
数，于是有，R(Q) [QP(Q)] P(Q) QP(Q).
总收益： R(Q)
PQ
Q30
Q30
10
Q 5
Q
120
Q30
平均收益 R(Q)
R(Q)
120 4ຫໍສະໝຸດ Q30Q Q30 30
边际收益 R(Q)
10 2Q
2
Q30
5 Q30
11/14/2019
显然，边际利润为
L(Q) R(Q) C(Q).
11/14/2019
9
二.弹性分析
边际函数描述了函数的变化率, 为定义变化率引入了 变量的改变量概念. 在经济问题中有时仅仅考虑变量的改 变量还不够,
例如, 某商品价格上涨了 1 元, 价格的改变量为 1, 若 商品原来的价格为 10 元, 则表明商品价格上涨了 10%, 若 商品原价为 100 元, 则商品价格上涨了 1%,
12
例4 求函数 y 3e2x在 x 1处的弹性。
解
Ex
x f (x)
f
(
x)
=
x 3e 2
x
6e2x 2x
Ex x1 2
经济问题中通常要考虑的是需求与供给对价格的弹性.
11/14/2019
13
(1) 需求弹性.
设需求函数为 Q f (P),为单调减函数，故P与Q异号，
一般来说，销售 Q单位产品的总收益为销售量 Q与价格 P之
积，即
R(Q) QP QP(Q),
式中，P P(Q)是需求函数 Q Q(P)的反函数，也称需求函
数，于是有，R(Q) [QP(Q)] P(Q) QP(Q).
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§2.2 导数在经济方面的应用(1) ——边际分析
§2.2.1 边际成本
前面我们提到边际成本的问题，从边际成本的表示上可
以知道边际成本即为成本函数的导数，即
C(Q) lim C(Q Q) C(Q) .经济学家的解释：边际成本
Q0
Q
C (Q) 是产量为 Q 单位时，再增加(或减少)一个单位的产品
Q 2015
5
返回
案例 2.5 某工厂对其产品的情况进 行了大量的统计分析后，得出总利润 L(Q) （元）与每月产量 Q（吨）的关系为 L L(Q) 250Q 5Q2 ，试确定每月生产 20 吨，25 吨，35 吨的边际利润，并作出 经济解释.
解 边际利润函数为 L( Q) 2 50
L(Q) Q20 L(20) 50
参考答案
解 设圆面积为 A ，圆半径为 R ，则
A R2
方程两边对时间 T 求导数，得
dA 2 R dR
dT
dT
当 R 为2厘米，d R 为0.01厘米/秒时，
dT
dA 0.04
dT
即圆板面积的增长速度为0.04 平方厘米/秒。
6
课堂练习
2、一个平放的水槽长12米，横截 面为等腰梯形，下底宽3米，口宽9米， 深4米．现以每分钟10立方米的速度将 水注入，试求当水深2米时，水面上升 的速度.
返回
案例 2.2 某厂生产某种产品，总成本 C 是产量 Q 的函数
C C(Q) 200 4Q 0.05Q2（单位：
元），（1）指出固定成本、可变成本；（2） 求边际成本函数及产量为 Q=200 时的边际 成本，并说明其经济意义；（3）如果对该厂 征收固定税收，问固定税收对产品的边际成 本是否会有影响？为什么？试举例说明。
L(Q) Q25 L(25) 0
L(Q) Q30 L(35) 100
1Q，0则
上述结果表明当生产量为每月20 吨时，再增加 一吨，利润将增加50元；当产量为每月25吨时，再 增加一吨，利润不变；当产量为35 吨时，再增加一 吨利润减少100元.此处亦说明，对厂家来说，并非生 产的产品数量越多，利润就越高.所以我们可以利用边 际函数来作出相应的产量决策.h(t) 2
dV 10 dt
dh 5 dt 36
故水面上升的速度为 5
36
米/分钟。
9
参考答案
1、0.04π厘米2/秒 2、5/36 米/分
返回
案例 2.1 设某产品生产Q 单位的总成
本为C(Q) 1100 Q2 ，求生产 900 个单位时
1200
总成本、平均成本及边际成本，并解释边际
使总成本增加（或减少）的数量.
案例2.1
案例2.2
案例2.3
§2.2.2 边际收益
边际收益即为收益函数 R(Q) 的导数 R(Q) .经济学家的解释：边际收益是当产量
为 Q 单位产品时，再增加（或减少）一个单
位产品使总收益增加（或减少）的数量.
案例2.4
§2.2.3 边际利润
边际利润即为利润函数 L(Q) 的导数 L(Q) ，经济学家的 解释：边际利润是当产量为Q 单位产品时，再增加（或减少） 一个单位产品使总利润增加（或减少）的数量.
增 产 （ 或 减 产 ） 一 个 单 位 ， 需 增 加 （ 或 减 少 ）
成 本 2 5个 单 位 .
返回
案 例 2.4 设 某 产 品 的 需 求 函 数 为
P
20
Q 5
，其中
P
为价格，Q
为销售量，问
（1）销售量为 15 个单位时的总收益、平均
收益与边际收益；（2）销售量从 15 个单位
增加到 20 个单位时收益的平均变化率。
参考答案
解 设体积为V ，则 L
V(t)1(ab(t))h(t)L 2
b (t)
h (t)
a
其中，常量 a3 L12
V ( t ) 、h ( t ) 、b ( t ) 是随时间 t 变化的
变量，且 (b(t)a)/2(93)/23
h(t)
44
V(t)36h(t)9h2(t)
dV dh
dh
36 18h(t)
案例2.5
§2.2.4 边际需求
边际需求即为需求函数 Q(P) 的导数 Q(P) .经济学家的解释：边际需求是当价格
为 P 时，价格上涨（或下降）1 个单位时，
使需求量将减少（或增加）的数量.
案例2.6
课堂练习
1、一金属圆板因加热膨胀，当其 半径为2厘米时，半径的增加率为0.01厘 米／秒，试求此圆板面积的增长速度.
解 （1）总收益 R Q P(Q) 20Q Q2
5
销售
15
个单位时，总收益
R
Q15
(20Q
Q2 5
)
Q15
255
平均收益 R
Q15
R(Q) Q
Q15
255 15
17
边际收益
R(Q)
Q15
(20
2 Q) 5
Q15
14
（2）当销售量从15个单位增加到20个单位时收
益的平均变化率为
RR(20)R(15)32025513
解 （1）固定成本为 200，可变成本为 4Q 0.05Q2 ；
（2）边际成本函数为
C(Q)40.1Q C(200)40.120024
当产量Q=200时的边际成本为24，在经济上说 明在产量为200单位的基础上， 再增加一个单位产品， 总成本要增加24元；
（3） 因国家对该厂征收的固定税收与产量Q无关，
这种固定税收可列入固定成本，因而对边际成本没有
影响。例如，国家征收的固定税收为100，则总成本
为C(Q)(200100)4Q0.05Q2，边际成本函数仍
为C(Q)40.1Q.
返回
案例 2.3 已知某厂生产某种商品的固定
成本
C0
1000
（元），可变成本 C1
Q2 4
（
Q
表
示商品件数），最大生产能力为 100 件，问该厂
成本的经济意义.
解 生产 900 个单位时的总成本为
C(Q)
Q900
1100
9002 1200
1775
平均成本
C(Q
)Q9
0
1 7 7 5 900
1.97
边 际 成 本 为 C(Q )Q 9006Q 00Q 9001.5， 它 表 示 当 产 量 为 900个 单 位 时 ， 再 增 产 （ 或 减 产 ） 一 个 单 位 ， 需 增 加 （ 或 减 少 ） 1.5个 单 位 的 成 本 .
生产 50 件商品时的总成本 C，平均成本C 、边
际成本 C 及边际成本的经济意义.
解 总成本函数C(Q ) 1 00Q02
4
边际成本
C(Q) 1 Q 2
当 Q 50 时 ， C(50) 1625 （ 元 ），
C(50) 1625 32.5 50
C (5 0 ) 2 5 ， 它 表 示 当 产 量 为 5 0个 单 位 时 ， 再
§2.2.1 边际成本
前面我们提到边际成本的问题，从边际成本的表示上可
以知道边际成本即为成本函数的导数，即
C(Q) lim C(Q Q) C(Q) .经济学家的解释：边际成本
Q0
Q
C (Q) 是产量为 Q 单位时，再增加(或减少)一个单位的产品
Q 2015
5
返回
案例 2.5 某工厂对其产品的情况进 行了大量的统计分析后，得出总利润 L(Q) （元）与每月产量 Q（吨）的关系为 L L(Q) 250Q 5Q2 ，试确定每月生产 20 吨，25 吨，35 吨的边际利润，并作出 经济解释.
解 边际利润函数为 L( Q) 2 50
L(Q) Q20 L(20) 50
参考答案
解 设圆面积为 A ，圆半径为 R ，则
A R2
方程两边对时间 T 求导数，得
dA 2 R dR
dT
dT
当 R 为2厘米，d R 为0.01厘米/秒时，
dT
dA 0.04
dT
即圆板面积的增长速度为0.04 平方厘米/秒。
6
课堂练习
2、一个平放的水槽长12米，横截 面为等腰梯形，下底宽3米，口宽9米， 深4米．现以每分钟10立方米的速度将 水注入，试求当水深2米时，水面上升 的速度.
返回
案例 2.2 某厂生产某种产品，总成本 C 是产量 Q 的函数
C C(Q) 200 4Q 0.05Q2（单位：
元），（1）指出固定成本、可变成本；（2） 求边际成本函数及产量为 Q=200 时的边际 成本，并说明其经济意义；（3）如果对该厂 征收固定税收，问固定税收对产品的边际成 本是否会有影响？为什么？试举例说明。
L(Q) Q25 L(25) 0
L(Q) Q30 L(35) 100
1Q，0则
上述结果表明当生产量为每月20 吨时，再增加 一吨，利润将增加50元；当产量为每月25吨时，再 增加一吨，利润不变；当产量为35 吨时，再增加一 吨利润减少100元.此处亦说明，对厂家来说，并非生 产的产品数量越多，利润就越高.所以我们可以利用边 际函数来作出相应的产量决策.h(t) 2
dV 10 dt
dh 5 dt 36
故水面上升的速度为 5
36
米/分钟。
9
参考答案
1、0.04π厘米2/秒 2、5/36 米/分
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案例 2.1 设某产品生产Q 单位的总成
本为C(Q) 1100 Q2 ，求生产 900 个单位时
1200
总成本、平均成本及边际成本，并解释边际
使总成本增加（或减少）的数量.
案例2.1
案例2.2
案例2.3
§2.2.2 边际收益
边际收益即为收益函数 R(Q) 的导数 R(Q) .经济学家的解释：边际收益是当产量
为 Q 单位产品时，再增加（或减少）一个单
位产品使总收益增加（或减少）的数量.
案例2.4
§2.2.3 边际利润
边际利润即为利润函数 L(Q) 的导数 L(Q) ，经济学家的 解释：边际利润是当产量为Q 单位产品时，再增加（或减少） 一个单位产品使总利润增加（或减少）的数量.
增 产 （ 或 减 产 ） 一 个 单 位 ， 需 增 加 （ 或 减 少 ）
成 本 2 5个 单 位 .
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案 例 2.4 设 某 产 品 的 需 求 函 数 为
P
20
Q 5
，其中
P
为价格，Q
为销售量，问
（1）销售量为 15 个单位时的总收益、平均
收益与边际收益；（2）销售量从 15 个单位
增加到 20 个单位时收益的平均变化率。
参考答案
解 设体积为V ，则 L
V(t)1(ab(t))h(t)L 2
b (t)
h (t)
a
其中，常量 a3 L12
V ( t ) 、h ( t ) 、b ( t ) 是随时间 t 变化的
变量，且 (b(t)a)/2(93)/23
h(t)
44
V(t)36h(t)9h2(t)
dV dh
dh
36 18h(t)
案例2.5
§2.2.4 边际需求
边际需求即为需求函数 Q(P) 的导数 Q(P) .经济学家的解释：边际需求是当价格
为 P 时，价格上涨（或下降）1 个单位时，
使需求量将减少（或增加）的数量.
案例2.6
课堂练习
1、一金属圆板因加热膨胀，当其 半径为2厘米时，半径的增加率为0.01厘 米／秒，试求此圆板面积的增长速度.
解 （1）总收益 R Q P(Q) 20Q Q2
5
销售
15
个单位时，总收益
R
Q15
(20Q
Q2 5
)
Q15
255
平均收益 R
Q15
R(Q) Q
Q15
255 15
17
边际收益
R(Q)
Q15
(20
2 Q) 5
Q15
14
（2）当销售量从15个单位增加到20个单位时收
益的平均变化率为
RR(20)R(15)32025513
解 （1）固定成本为 200，可变成本为 4Q 0.05Q2 ；
（2）边际成本函数为
C(Q)40.1Q C(200)40.120024
当产量Q=200时的边际成本为24，在经济上说 明在产量为200单位的基础上， 再增加一个单位产品， 总成本要增加24元；
（3） 因国家对该厂征收的固定税收与产量Q无关，
这种固定税收可列入固定成本，因而对边际成本没有
影响。例如，国家征收的固定税收为100，则总成本
为C(Q)(200100)4Q0.05Q2，边际成本函数仍
为C(Q)40.1Q.
返回
案例 2.3 已知某厂生产某种商品的固定
成本
C0
1000
（元），可变成本 C1
Q2 4
（
Q
表
示商品件数），最大生产能力为 100 件，问该厂
成本的经济意义.
解 生产 900 个单位时的总成本为
C(Q)
Q900
1100
9002 1200
1775
平均成本
C(Q
)Q9
0
1 7 7 5 900
1.97
边 际 成 本 为 C(Q )Q 9006Q 00Q 9001.5， 它 表 示 当 产 量 为 900个 单 位 时 ， 再 增 产 （ 或 减 产 ） 一 个 单 位 ， 需 增 加 （ 或 减 少 ） 1.5个 单 位 的 成 本 .
生产 50 件商品时的总成本 C，平均成本C 、边
际成本 C 及边际成本的经济意义.
解 总成本函数C(Q ) 1 00Q02
4
边际成本
C(Q) 1 Q 2
当 Q 50 时 ， C(50) 1625 （ 元 ），
C(50) 1625 32.5 50
C (5 0 ) 2 5 ， 它 表 示 当 产 量 为 5 0个 单 位 时 ， 再