高考数学一轮复习第二章函数的概念及其基本性质2.2.2函数的最值课件理
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高考数学一轮总复习 第2章 函数的概念与基本初等函数 第二节 函数的基本性质课件(理)
奇偶性
定义
图象特点
如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x， 偶函数 都有 f(－x)＝f(x) ，那么函数f(x)是偶 关于
y轴
对
称
函数
奇函数
如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x， 都有 f(－x)＝－f(x) ，那么函数f(x)是奇 关于
原点
对
称
函数
2.周期性 (1)周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使 得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝ f(x) ，那么就 称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期. (2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最 小的正数，那么这个 最小 正数就叫做f(x)的最小正周期.
数f(x)在区间D上是减函数
(2)单调性、单调区间的定义 若函数f(x)在区间D上是增函数或 减函数 ，则称函数f(x)在这 一区间上具有(严格的)单调性，区间D叫做f(x)的单调区间. 2.函数的最值
前提 设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足
条件
对于任意x∈I，都有 f(x)≤M ；
2
减函数，故 f(x)的单调递增区间为(－∞，－1).故选 C.
答案 C [点评] 判断函数的单调性，应首先求出函数的定义域，在定
义域内求解.
函数的奇偶性解题方略 奇偶性的判断 (1)定义法
答案 [－2，＋∞)
►单调性的两个易错点：单调性；单调区间.
(2)[函数的单调递增(减)区间有多个时，不能用并集表示，：可
以 用 逗 号 或 “ 和 ”] 函 数
f(x)
＝xBiblioteka ＋1 x的
单
调
递
增
(北京专用)高考数学一轮复习第二章函数的概念与基本初等函数2.2函数的基本性质课件
(x 1)2
∴f(x)在[2,+∞)上单调递减, ∴f(x)在[2,+∞)上的最大值为f(2)=2.
评析 本题考查函数的最值,有多种解法,属中档题.
考点二 函数的奇偶性与周期性
1.(2015北京文,3,5分)下列函数中为偶函数的是 ( ) A.y=x2sin x B.y=x2cos x C.y=|ln x| D.y=2-x
4
,
2
单调递增的是
(
)
A. f(x)=|cos 2x| B. f(x)=|sin 2x|
C. f(x)=cos|x| D. f(x)=sin|x|
答案 A 本题考查三角函数的图象与性质;通过三角函数的周期性和单调性考查运算求解
能力以及数形结合思想;考查的核心素养为逻辑推理、数学运算.
对于选项A,作出f(x)=|cos
,
0
x
等.
2
8.(202X北京文,10,5分)函数f(x)= x (x≥2)的最大值为
.
x 1
答案 2
解析 解法一:∵f(x)= x = x 11 =1+ 1 ,
x 1 x 1
x 1
∴f(x)的图象是将y= 1 的图象向右平移1个单位,再向上平移1个单位得到的.∵y= 1 在[2,+∞)上
x
x
单调递减,
任取x∈(-1,1), f(-x)=ln(1-x)-ln(1+x)=-f(x),
则f(x)是奇函数.
当x∈(0,1)时,
f
'(x)= 1
1
x
+1
1
x
=
1
2 x2
>0,
∴f(x)在(0,1)上是增函数.综上,选A.
∴f(x)在[2,+∞)上单调递减, ∴f(x)在[2,+∞)上的最大值为f(2)=2.
评析 本题考查函数的最值,有多种解法,属中档题.
考点二 函数的奇偶性与周期性
1.(2015北京文,3,5分)下列函数中为偶函数的是 ( ) A.y=x2sin x B.y=x2cos x C.y=|ln x| D.y=2-x
4
,
2
单调递增的是
(
)
A. f(x)=|cos 2x| B. f(x)=|sin 2x|
C. f(x)=cos|x| D. f(x)=sin|x|
答案 A 本题考查三角函数的图象与性质;通过三角函数的周期性和单调性考查运算求解
能力以及数形结合思想;考查的核心素养为逻辑推理、数学运算.
对于选项A,作出f(x)=|cos
,
0
x
等.
2
8.(202X北京文,10,5分)函数f(x)= x (x≥2)的最大值为
.
x 1
答案 2
解析 解法一:∵f(x)= x = x 11 =1+ 1 ,
x 1 x 1
x 1
∴f(x)的图象是将y= 1 的图象向右平移1个单位,再向上平移1个单位得到的.∵y= 1 在[2,+∞)上
x
x
单调递减,
任取x∈(-1,1), f(-x)=ln(1-x)-ln(1+x)=-f(x),
则f(x)是奇函数.
当x∈(0,1)时,
f
'(x)= 1
1
x
+1
1
x
=
1
2 x2
>0,
∴f(x)在(0,1)上是增函数.综上,选A.
高考数学第一轮复习：2.2.2 第2课时 对数函数及其性质的应用
第2课时 对数函数及其性质的应用
学习目标 1.进一步理解对数函数的性质(重点).2.能运用对数 函数的性质解决相关问题(重、难点)．
课堂互动
课堂反馈
题型二 与对数函数有关的值域和最值问题
【例 2】 (1)函数 f(x)＝log1 (x2＋2x＋3)的值域是________．
2
(2)若函数 f(x)＝ax＋loga(x＋1)在[0,1]上的最大值和最小值
课堂互动
课堂反馈
方向3 与对数函数有关的复合函数的单调性
【例 3－3】 (1)求函数 y＝log0.3(3－2x)的单调区间； (2)函数 f(x)＝log1 (3x2－ax＋7)在[－1，＋∞)上是减函数，
3
求实数 a 的取值范围． 解 (1)由 3－2x>0，解得 x<32，设 t＝3－2x，x∈－∞，32， ∵函数 y＝log0.3t 是减函数，且函数 t＝3－2x 是减函数， ∴函数 y＝log0.3(3－2x)在－∞，32上是增函数，即函数 y＝ log0.3(3－2x)的单调递增区间是－∞，32,没有单调递减区间．
课堂反馈
规律方法 1.两类对数不等式的解法 (1)形如logaf(x)<logag(x)的不等式． ①当0<a<1时，可转化为f(x)>g(x)>0； ②当a>1时，可转化为0<f(x)<g(x)． (2)形如logaf(x)<b的不等式可变形为logaf(x)<b＝logaab. ①当0<a<1时，可转化为f(x)>ab； ②当a>1时，可转化为0<f(x)<ab.
A.(－∞，－2)
B.(－∞，1)
C.(1，＋∞)
D.(4，＋∞)
学习目标 1.进一步理解对数函数的性质(重点).2.能运用对数 函数的性质解决相关问题(重、难点)．
课堂互动
课堂反馈
题型二 与对数函数有关的值域和最值问题
【例 2】 (1)函数 f(x)＝log1 (x2＋2x＋3)的值域是________．
2
(2)若函数 f(x)＝ax＋loga(x＋1)在[0,1]上的最大值和最小值
课堂互动
课堂反馈
方向3 与对数函数有关的复合函数的单调性
【例 3－3】 (1)求函数 y＝log0.3(3－2x)的单调区间； (2)函数 f(x)＝log1 (3x2－ax＋7)在[－1，＋∞)上是减函数，
3
求实数 a 的取值范围． 解 (1)由 3－2x>0，解得 x<32，设 t＝3－2x，x∈－∞，32， ∵函数 y＝log0.3t 是减函数，且函数 t＝3－2x 是减函数， ∴函数 y＝log0.3(3－2x)在－∞，32上是增函数，即函数 y＝ log0.3(3－2x)的单调递增区间是－∞，32,没有单调递减区间．
课堂反馈
规律方法 1.两类对数不等式的解法 (1)形如logaf(x)<logag(x)的不等式． ①当0<a<1时，可转化为f(x)>g(x)>0； ②当a>1时，可转化为0<f(x)<g(x)． (2)形如logaf(x)<b的不等式可变形为logaf(x)<b＝logaab. ①当0<a<1时，可转化为f(x)>ab； ②当a>1时，可转化为0<f(x)<ab.
A.(－∞，－2)
B.(－∞，1)
C.(1，＋∞)
D.(4，＋∞)
高考数学全程一轮复习第二章函数第一节函数的概念及表示课件
第一节 函数的概念及表示
课前自主预习案
课堂互动探究案
课前自主预习案
必备知识 1.函数的概念 一般地，设A，B是非空的__实__数_集___，如果对于集合A中的___任_意____ 一个数x，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有_唯__一_确__定__的数y 和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作y＝ f(x)，x∈A. 2．函数的三要素 (1)函数的三要素：__定_义__域___、_对_应__关__系__和__值__域____. (2)两个函数只有当__定__义_域___和_对_应__关__系__分别相同时，这两个函数才
问题思考·夯实技能 【问题1】 若两个函数的定义域和值域都相同，那么这两个函数是 同一函数吗？请举例说明．
提示：不是．例如函数y＝x与函数y＝2x的定义域和值域都是R，但这两个函数 不是同一函数．
【问题2】 请你将函数f(x)＝|x＋1|用分段函数形式表示？并用图象 法表示．
提示：f(x)＝ቊx−+x −1，1，x ≥x <−1−，1.
22，则f(f(1))＝(
)
A．2 C．4
B．3 D．5
答案：A
解析：当x＝1时，f(1)＝21＋1＝3，当x＝3时，f(3)＝|3－5|＝2，所以f(f(1))＝f(3) ＝2.
相同．
3．函数的表示法
表示函数的常用方法有解析式法、列表法、图象法． 4．分段函数 在一个函数的定义域中，对于自变量x的不同取值范围，有着不同的 对应关系，这样的函数叫分段函数．
【常用结论】 1．直线x＝a(a是常数)与函数y＝f(x)的图象至多有1个交点． 2．几种常见函数的定义域 (1)f(x)为分式型函数时，定义域为使分母不为零的实数集合． (2)f(x)为偶次根式型函数时，定义域为使被开方式非负的实数的集 合． (3)f(x)为对数式时，函数的定义域是使真数为正数、底数为正且不 为1的实数集合． (4)若f(x)＝x0，则定义域为{x|x≠0}． (5)f(x)为指数式时，函数的定义域是使底数大于0且不等于1的实数 集合．
课前自主预习案
课堂互动探究案
课前自主预习案
必备知识 1.函数的概念 一般地，设A，B是非空的__实__数_集___，如果对于集合A中的___任_意____ 一个数x，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有_唯__一_确__定__的数y 和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作y＝ f(x)，x∈A. 2．函数的三要素 (1)函数的三要素：__定_义__域___、_对_应__关__系__和__值__域____. (2)两个函数只有当__定__义_域___和_对_应__关__系__分别相同时，这两个函数才
问题思考·夯实技能 【问题1】 若两个函数的定义域和值域都相同，那么这两个函数是 同一函数吗？请举例说明．
提示：不是．例如函数y＝x与函数y＝2x的定义域和值域都是R，但这两个函数 不是同一函数．
【问题2】 请你将函数f(x)＝|x＋1|用分段函数形式表示？并用图象 法表示．
提示：f(x)＝ቊx−+x −1，1，x ≥x <−1−，1.
22，则f(f(1))＝(
)
A．2 C．4
B．3 D．5
答案：A
解析：当x＝1时，f(1)＝21＋1＝3，当x＝3时，f(3)＝|3－5|＝2，所以f(f(1))＝f(3) ＝2.
相同．
3．函数的表示法
表示函数的常用方法有解析式法、列表法、图象法． 4．分段函数 在一个函数的定义域中，对于自变量x的不同取值范围，有着不同的 对应关系，这样的函数叫分段函数．
【常用结论】 1．直线x＝a(a是常数)与函数y＝f(x)的图象至多有1个交点． 2．几种常见函数的定义域 (1)f(x)为分式型函数时，定义域为使分母不为零的实数集合． (2)f(x)为偶次根式型函数时，定义域为使被开方式非负的实数的集 合． (3)f(x)为对数式时，函数的定义域是使真数为正数、底数为正且不 为1的实数集合． (4)若f(x)＝x0，则定义域为{x|x≠0}． (5)f(x)为指数式时，函数的定义域是使底数大于0且不等于1的实数 集合．
高考数学一轮复习 第2章 函数的概念与基本初等函数 第2讲 函数的单调性与最值课件 文
12/11/2021
第十一页，共四十一页。
所以 x2－x1＞0，x1－1＜0，x2－1＜0， 故当 a＞0 时，f(x1)－f(x2)＞0，即 f(x1)＞f(x2)， 函数 f(x)在(－1，1)上递减； 当 a＜0 时，f(x1)－f(x2)＜0，即 f(x1)＜f(x2)， 函数 f(x)在(－1，1)上递增．
【解析】 根据 f(1＋x)＝f(－x)，可知函数 f(x)的图象关于直 线 x＝12对称． 又函数 f(x)在12，＋∞上单调递增， 故 f(x)在－∞，12上单调递减， 则函数 f(x)在[－2，0]上的最大值与最小值之和为 f(－2)＋f(0) ＝f(1＋2)＋f(1＋0)＝f(3)＋f(1)＝log28＋log22＝4.故选 C. 【答案】 C
第三十二页，共四十一页。
当 a－1a<0，即 0<a<1 时，f(x)在[0，1]上是减函数， g(a)＝f(0)＝1a. 当 a－1a＝0，即 a＝1 时，g(a)＝1. 所以 g(a)＝1a，0<a<1，
a，a≥1，
12/11/2021
第三十三页，共四十一页。
图象为
g(a)min＝g(1)＝1.
第二章 函数的概念与基本(jīběn)初等函数
第2讲 函数(hánshù)的单调性与最值
12/11/2021
第一页，共四十一页。
1．函数的单调性
(1)单调函数的定义
增函数
减函数
一般地，设函数 f(x)的定义域为 I，如果对于定义域 I
内某个区间 D 上的任意两个自变量的值 x1，x2
定义 当 x1＜x2 时，都有 f(x1)＜ 当 x1＜x2 时，都有 f(x1)＞
12/11/2021
第十一页，共四十一页。
所以 x2－x1＞0，x1－1＜0，x2－1＜0， 故当 a＞0 时，f(x1)－f(x2)＞0，即 f(x1)＞f(x2)， 函数 f(x)在(－1，1)上递减； 当 a＜0 时，f(x1)－f(x2)＜0，即 f(x1)＜f(x2)， 函数 f(x)在(－1，1)上递增．
【解析】 根据 f(1＋x)＝f(－x)，可知函数 f(x)的图象关于直 线 x＝12对称． 又函数 f(x)在12，＋∞上单调递增， 故 f(x)在－∞，12上单调递减， 则函数 f(x)在[－2，0]上的最大值与最小值之和为 f(－2)＋f(0) ＝f(1＋2)＋f(1＋0)＝f(3)＋f(1)＝log28＋log22＝4.故选 C. 【答案】 C
第三十二页，共四十一页。
当 a－1a<0，即 0<a<1 时，f(x)在[0，1]上是减函数， g(a)＝f(0)＝1a. 当 a－1a＝0，即 a＝1 时，g(a)＝1. 所以 g(a)＝1a，0<a<1，
a，a≥1，
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第三十三页，共四十一页。
图象为
g(a)min＝g(1)＝1.
第二章 函数的概念与基本(jīběn)初等函数
第2讲 函数(hánshù)的单调性与最值
12/11/2021
第一页，共四十一页。
1．函数的单调性
(1)单调函数的定义
增函数
减函数
一般地，设函数 f(x)的定义域为 I，如果对于定义域 I
内某个区间 D 上的任意两个自变量的值 x1，x2
定义 当 x1＜x2 时，都有 f(x1)＜ 当 x1＜x2 时，都有 f(x1)＞
12/11/2021
(浙江专用)高考数学一轮复习 第二章 函数 2.2 函数的基本性质课件.pptx
x
对5于, 选1 项x C3,同; 样存在如图(2)所示的函数图象,此
2
时可构造函数f(x)=tan ,x满足12 题 意.由以上分析知,此题选择D.
图(1)
图(2)
8
评析 本题考查函数的概念和单调性,以及函数的三种表示方法,考查学生的转化与化归思想、 数形结合思想和推理论证能力.解题的关键在于理解题中的“存在”二字,以及构造函数的方 法,可以写出解析式,也可画出图象.
7
答案 D 由(i)知函数f(x)的定义域为集合S,值域为集合T;由(ii)知f(x)在定义域上单调递增,故选 项A中,函数f(x)=x-1即满足题意;对于选项B,由图(1)知, f(-1)=-8,当-1<x≤3时,必存在单调递增的
8, x 1,
连续函数f(x)满足题意,如:f(x)=
5 2
1 2
x
为减函数,排除C;因为y=log0.5t为减
函数,t=x+1为增函数,所以y=log0.5(x+1)为减函数,排除D;y= t和t=x+1均为增函数,所以y= 为x 1
增函数,故选A.
3.(2014陕西,7,5分)下列函数中,满足“f(x+y)=f(x)f(y)”的单调递增函数是 ( )
1
A.f(x)= x2
B.f(x)=x3
ห้องสมุดไป่ตู้
C.f(x)=
1 2
x
D.f(x)=3x
答案 D ∵f(x+y)=f(x)f(y),∴f(x)为指数函数模型,排除A,B;又∵f(x)为单调递增函数,∴排除C, 故选D.
3
4.(2013安徽,4,5分)“a≤0”是“函数f(x)=|(ax-1)x|在区间(0,+∞)内单调递增”的 ( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
高考数学一轮总复习第二章函数 2函数的基本性质第2课时函数的奇偶性与周期性课件
所以 不具有奇偶性.
9 − 2 ≥ 0,
（2）由ቊ 2
得 = ±3.
− 9 ≥ 0,
所以 的定义域为{−3,3}，关于原点对称.
又 3 + −3 = 0， 3 − −3 = 0.
所以 = ± − .
所以 既是奇函数，又是偶函数.
（3）（方法一）（定义法）当 > 0时， = − 2 + 2 + 1，− < 0,
1−
;
1+
（2） = 9 − 2 + 2 − 9；
− 2 + 2 + 1, > 0,
（3） = ቊ 2
+ 2 − 1, < 0;
（4） = ln
1−
.
1+
1−
解：（1）由
1+
≥ 0，且1+ ≠ 0，得−1 < ≤ 1，
的定义域为(−1,1]，不关于原点对称，
A. − 1 − 1
B. − 1
√
解：由题意，得 =
1−
1+
1−
，则下列函数中为奇函数的是(
1+
+1
= −1 +
C. + 1 − 1
D. + 1 + 1
2
.
1+
2
对于A， − 1 − 1 = − 2不是奇函数.
2
对于B， − 1 + 1 = 是奇函数.
（2）偶函数图象不一定过原点，奇函数的图象一定过原点.
( ×)
( ×)
（3）若函数 = + 是偶函数，则函数 = 的图象关于直线 = 对称.
9 − 2 ≥ 0,
（2）由ቊ 2
得 = ±3.
− 9 ≥ 0,
所以 的定义域为{−3,3}，关于原点对称.
又 3 + −3 = 0， 3 − −3 = 0.
所以 = ± − .
所以 既是奇函数，又是偶函数.
（3）（方法一）（定义法）当 > 0时， = − 2 + 2 + 1，− < 0,
1−
;
1+
（2） = 9 − 2 + 2 − 9；
− 2 + 2 + 1, > 0,
（3） = ቊ 2
+ 2 − 1, < 0;
（4） = ln
1−
.
1+
1−
解：（1）由
1+
≥ 0，且1+ ≠ 0，得−1 < ≤ 1，
的定义域为(−1,1]，不关于原点对称，
A. − 1 − 1
B. − 1
√
解：由题意，得 =
1−
1+
1−
，则下列函数中为奇函数的是(
1+
+1
= −1 +
C. + 1 − 1
D. + 1 + 1
2
.
1+
2
对于A， − 1 − 1 = − 2不是奇函数.
2
对于B， − 1 + 1 = 是奇函数.
（2）偶函数图象不一定过原点，奇函数的图象一定过原点.
( ×)
( ×)
（3）若函数 = + 是偶函数，则函数 = 的图象关于直线 = 对称.
高考数学全程一轮复习第二章函数第二节函数的单调性与最值课件
提示：第一步：设x1，x2是该区间内的任意两个值，且x1<x2. 第二步：作差f(x1)－f(x2)，并通过因式分解、通分、配方、有理化等手段，转 化为易判断正负的式子． 第三步：确定f(x1)－f(x2)的符号． 第四步：根据f(x1)－f(x2)的符号及定义判断函数的单调性．
关键能力·题型剖析 题型一 求函数的单调区间
例1 (1)f(x)＝－x2＋2|x|＋3； (2)f(x)＝log1 (－x2＋4x＋5)；
2
(3)f(x)＝x－ln x.
题后师说
(1)求函数单调区间的方法：①定义法；②图象法；③利用已知函数 的单调性法；④导数法．
(2)求函数的单调区间，定义域优先．
巩固训练1 (1)函数f(x)＝|x2－3x＋2|的单调递减区间是( ) A．[32，＋∞) B．[1，32]和[2，＋∞) C．(－∞，1]和[32，2] D．(－∞，32)和[2，＋∞)
故该选项不符合题意．故选C.
3
．
(
教
材
改
编
)
已
知
函
数
f(x)
＝
2 x−1
，
x∈[2
，
6]
，
则
f(x)
的
最
大
值
为
2
____2____，最小值为____5____．
解析：易知函数f(x)＝x−21在x∈[2，6]上单调递减， 故f(x)max＝f(2)＝2，f(x)min＝f(6)＝25.
4．(易错)函数f(x)＝11−+xx的单调递减区间为(
2．(教材改编)下列四个函数中，在(0，＋∞)上单调递增的是( )
A．f(x)＝3－x
B．f(x)＝x2－3x
关键能力·题型剖析 题型一 求函数的单调区间
例1 (1)f(x)＝－x2＋2|x|＋3； (2)f(x)＝log1 (－x2＋4x＋5)；
2
(3)f(x)＝x－ln x.
题后师说
(1)求函数单调区间的方法：①定义法；②图象法；③利用已知函数 的单调性法；④导数法．
(2)求函数的单调区间，定义域优先．
巩固训练1 (1)函数f(x)＝|x2－3x＋2|的单调递减区间是( ) A．[32，＋∞) B．[1，32]和[2，＋∞) C．(－∞，1]和[32，2] D．(－∞，32)和[2，＋∞)
故该选项不符合题意．故选C.
3
．
(
教
材
改
编
)
已
知
函
数
f(x)
＝
2 x−1
，
x∈[2
，
6]
，
则
f(x)
的
最
大
值
为
2
____2____，最小值为____5____．
解析：易知函数f(x)＝x−21在x∈[2，6]上单调递减， 故f(x)max＝f(2)＝2，f(x)min＝f(6)＝25.
4．(易错)函数f(x)＝11−+xx的单调递减区间为(
2．(教材改编)下列四个函数中，在(0，＋∞)上单调递增的是( )
A．f(x)＝3－x
B．f(x)＝x2－3x
2025版高考数学一轮总复习第2章函数概念与基本初等函数Ⅰ第1讲函数的概念及其表示课件
逻辑思维 应用性 数学运算 数学运算
运算求解 综合性 逻辑推理 数学运算
运算求解 创新性 逻辑推理
考题
考点
考向
关键能力 考查要求 核心素养
2021新高 函数奇偶性 利用奇偶性求 运算求解 基础性 数学运算
考Ⅰ，13 与周期性 解参数的值
2021新高 函数奇偶性 函数奇偶性的 运算求解 基础性 数学运算
(2)如果两个函数的定义域相同，并且___对__应__关__系___完全一致，则这
两个函数为相等函数．
3．函数的表示法 表示函数的常用方法有___解__析__法___、图象法和列表法．
知识点二 分段函数 1．若函数在其定义域的不同子集上，因对函数称为分段函数．分段函数表示的是一个 函数． 2．分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于 各段函数的值域的__并__集____.
第一讲 函数的概念及其表示
知识梳理 · 双基自测
知识梳理 知识点一 函数的概念及其表示 1．函数的概念
函数
两个集合A，B
设A，B是两个__非__空__数__集____
如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中 对应关系f：A→B 的__任__意____一个数x，在集合B中都有__唯__一__确__定___
x (5)函数 y＝ x－1定义域为 x>1.( × )
题组二 走进教材 2．(必修1P67T1改编)若函数y＝f(x)的定义域为M＝{x|－2≤x≤2}， 值域为N＝{y|0≤y≤2}，则函数y＝f(x)的图象可能是( B )
[解析] A中函数的定义域不是[－2,2]；C中图象不表示函数；D中 函数的值域不是[0,2]．
的定义域为x2<x<3，且x≠52 .
运算求解 综合性 逻辑推理 数学运算
运算求解 创新性 逻辑推理
考题
考点
考向
关键能力 考查要求 核心素养
2021新高 函数奇偶性 利用奇偶性求 运算求解 基础性 数学运算
考Ⅰ，13 与周期性 解参数的值
2021新高 函数奇偶性 函数奇偶性的 运算求解 基础性 数学运算
(2)如果两个函数的定义域相同，并且___对__应__关__系___完全一致，则这
两个函数为相等函数．
3．函数的表示法 表示函数的常用方法有___解__析__法___、图象法和列表法．
知识点二 分段函数 1．若函数在其定义域的不同子集上，因对函数称为分段函数．分段函数表示的是一个 函数． 2．分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于 各段函数的值域的__并__集____.
第一讲 函数的概念及其表示
知识梳理 · 双基自测
知识梳理 知识点一 函数的概念及其表示 1．函数的概念
函数
两个集合A，B
设A，B是两个__非__空__数__集____
如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中 对应关系f：A→B 的__任__意____一个数x，在集合B中都有__唯__一__确__定___
x (5)函数 y＝ x－1定义域为 x>1.( × )
题组二 走进教材 2．(必修1P67T1改编)若函数y＝f(x)的定义域为M＝{x|－2≤x≤2}， 值域为N＝{y|0≤y≤2}，则函数y＝f(x)的图象可能是( B )
[解析] A中函数的定义域不是[－2,2]；C中图象不表示函数；D中 函数的值域不是[0,2]．
的定义域为x2<x<3，且x≠52 .
高考数学总复习(一轮)(人教A)教学课件第二章 函 数第1节 函数的概念及其表示
5.(2024·江苏泰州模拟)已知函数f(x)= -
, ≥ ,
4
则f(f(-2))=
.
解析:由 f(x)=
+ (-), < 1,
- ,ห้องสมุดไป่ตู้ ≥ ,
所以f(-2)=1+log2[2-(-2)]=1+log24=3,
所以f(f(-2))=f(3)=23-1=22=4.
- , ≤ ,
(2)(角度二)(2024·河南郑州模拟)设函数f(x)=则满足 , > ,
f(x+1)<f(2x)的x的取值范围是 (-∞,0)
.
-
,
≤
,
解析:(2)函数 f(x)=
的图象如图所示,
, >
满足f(x+1)<f(2x)可得2x<0≤x+1或2x<x+1≤0.
(4)方程思想:已知关于f(x)与
f( ) 或f(-x)等的表达式,可根据已
知条件再构造出另外一个等式组成方程组 ,通过解方程组求出
f(x).
[针对训练]
(1)已知 f( +1)=lg x,则f(x)的解析式为
解析:(1)令 +1=t(t>1),则 x= ,
-
所以 f(t)=lg
函数解析式的求法
(1)配凑法:由已知条件f(g(x))=F(x),可将F(x)改写成关于g(x)的
表达式,然后以x替代g(x),便得f(x)的表达式.
(2)待定系数法:若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)可用
待定系数法.
(3)换元法:已知复合函数f(g(x))的解析式,可用换元法,此时要注
, ≥ ,
4
则f(f(-2))=
.
解析:由 f(x)=
+ (-), < 1,
- ,ห้องสมุดไป่ตู้ ≥ ,
所以f(-2)=1+log2[2-(-2)]=1+log24=3,
所以f(f(-2))=f(3)=23-1=22=4.
- , ≤ ,
(2)(角度二)(2024·河南郑州模拟)设函数f(x)=则满足 , > ,
f(x+1)<f(2x)的x的取值范围是 (-∞,0)
.
-
,
≤
,
解析:(2)函数 f(x)=
的图象如图所示,
, >
满足f(x+1)<f(2x)可得2x<0≤x+1或2x<x+1≤0.
(4)方程思想:已知关于f(x)与
f( ) 或f(-x)等的表达式,可根据已
知条件再构造出另外一个等式组成方程组 ,通过解方程组求出
f(x).
[针对训练]
(1)已知 f( +1)=lg x,则f(x)的解析式为
解析:(1)令 +1=t(t>1),则 x= ,
-
所以 f(t)=lg
函数解析式的求法
(1)配凑法:由已知条件f(g(x))=F(x),可将F(x)改写成关于g(x)的
表达式,然后以x替代g(x),便得f(x)的表达式.
(2)待定系数法:若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)可用
待定系数法.
(3)换元法:已知复合函数f(g(x))的解析式,可用换元法,此时要注
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则 M 是 y＝f(x)的最大值
则 M 是 y＝f(x)的最小值
注意点 正确理解函数的最值
函数的最值是函数在其定义域上的整体性质，即函数的值域中最大的一个值和最小的一个值.
1．思维辨析 (1)定义在 R 上的函数一定存在最大值或最小值．( × ) (2)y＝1x(x>0)的最小值为 0.( × ) (3)函数 y＝f(x)可能只有最大值，没有最小值．( √ ) (4)定义在某开区间上的单调函数一定没有最值．( √ ) (5)函数 y＝11－ ＋xx22的最大值为 1.( √ )
撬法·命题法 解题法
[考法综述] 确定函数 f(x)的值域或最值必须首先探求函数在定义域内的单调情况．若 f(x)是基本初 等函数，应先考虑采用特殊方法，如不等式法、配方法、几何法、换元法，也可直接利用函数图象和性质 求解；若 f(x)为其他函数，可利用单调性定义或导数法确定其性质，再求值域，通常在选择题、填空题中出 现，有时也在解答题中与恒成立、有解问题综合考查，属于中高档题目．
命题法 利用函数的单调性求函数的最值
典例 (1)定义新运算⊕：当 a≥b 时，a⊕b＝a；当 a<b 时，a⊕b＝b2，则函数 f(x)＝(1⊕x)x－(2⊕x)，
x∈[－2,2]的最大值等于( )
A．－1
B．1
C．6
D．12
(2)如果函数 f(x)对任意的实数 x，都有 f(1＋x)＝f(－x)，且当 x≥12时，f(x)＝log2(3x－1)，那么函数 f(x)
在[－2,0]上的最大值与最小值之和为( )
A．2
B．3
C．4
D．－1
[解析] (1)由已知得当－2≤x≤1 时，f(x)＝x－2； 当 1<x≤2 时，f(x)＝x3－2. ∵f(x)＝x－2，f(x)＝x3－2 在定义域内都为增函数． ∴f(x)的最大值为 f(2)＝23－2＝6. (2)根据 f(1＋x)＝f(－x)，可知函数 f(x)的图象关于直线 x＝12对称．又函数 f(x)在21，＋∞上单调递增， 故 f(x)在－∞，21上单调递减，则函数 f(x)在[－2,0]上的最大值与最小值之和为 f(－2)＋f(0)＝f(1＋2)＋f(1 ＋0)＝f(3)＋f(1)＝log28＋log22＝4.
2．已知函数 f(x)＝1x在区间[1,2]上的最大值为 A，最小值为 B，则 A－B＝( )
1 A.2
B．－12
C．1
D．－1
解析 函数 f(x)＝1x在区间[1,2]上为单调递减函数，所以当 x＝1 时，f(x)取最大值 A＝1，当 x＝2 时， f(x)取最小值 B＝12，所以 A－B＝1－12＝12，故选 A.
a，a≤b， 3．对于任意实数 a，b，定义 min{a，b}＝b，a>b. 设函数 f(x)＝－x＋3，g(x)＝log2x，则函数 h(x) ＝min{f(x)，g(x)}的最大值是___1_____．
解析 依题意，h(x)＝l－ogx2＋x，3，0<xx>≤2.2， 当 0<x≤2 时，h(x)＝log2x 是增函数；当 x>2 时，h(x)＝3－x 是减函数，则 h(x)在 x＝2 时，取得最大 值 h(2)＝1.
第二章 函数的概念及其基本性质
第2讲 函数的单调性及其最值
考点二 函数的最值
撬点·基础点 重难点
函数的最小值最大值定义
前提 设函数 f(x)的定义域为 I，如果存在实数 M x∈I，都有 f(x)≤M ②存在 x0∈I，使得f(x0)＝M
①对于任意的 x∈I，都有 f(x)≥M ②存在 x0∈I，使得 f(x0)＝M