例说一元二次方程中的数学思想方法
一元二次方程中的数学思想
一元二次方程中的数学思想数学思想是数学的灵魂。
它是数学解题的指南针，是学习数学的方向盘。
只要真正理解这些数学思想，并在解题的过程中灵活应用，就会在解决数学问题的过程中起到举一反三，触类旁通的目的，更会达到事半功倍的效果。
现把在“一元二次方程”这一章的学习中用到的数学思想进行归纳如下。
一、转化思想通常可把复杂的问题转化为简单问题，把实际问题转化为数学问题，把陌生问题转化为熟悉的，已经解决过的问题。
从而达到化繁为简的目的，顺利地解决有关问题，培养学生解决问题的能力。
例1、 经计算，整式（x+5）与（x-2）的乘积为1032-+x x ，则一元二次方程01032=-+x x 的解是（）A 51-=x 22-=xB 51-=x 22=xC 51=x 22=xD 51=x 22-=x 思路解析：通过已知条件，可以把方程转化为01032=-+x x 转化为（x+5）（x-2）=0，从而就有x+5=0或x-2=0。
解得51-=x ； 22=x 故选答案B 。
二、数形结合思想数与形是对立统一的，数是形的具体描述，形是数的直观表示，把数与形有机的结合起来，就可以充分利用图形的直观性找到问题的突破口，从而达到化抽象为具体的目的。
便于学生理解、应用所学知识解决相关问题。
例2、如图，矩形ABCD 的周长为20，（AB ＞AD ）以AB ，AD 的边向外做正方形ABEF 和正方形ADGH ，若正方形ABEF 和正方形ADGH 的面积之和为68，那么矩形ABCD 的面积是（）。
思路分析：仅仅观察图形无法发现矩形ABCD 的面积与两正方形的面积之间的关系，考虑到数形结合思想，设AB=x ，则AD=10-x ，由于正方形ABEF 和正方形ADGH 面积之和为68，得FDBCHG方程68)10(22=-+x x ，解得81=x ；22=x （不符合题意，舍去）所以，矩形ABCD的面积为x(10-x)=16，故问题得解。
三、分类讨论思想。
一元二次方程的意义及解法
一元二次方程的解法探究目标链接：1、 掌握用直接开平方法、因式分解法、配方法、求根法等方法解一元二次方程。
2、 通过对一元二次方程的解法，体会数学中有简单到复杂，再由复杂到简单的转化思想。
知识要点：知识点1：直接开方法形式：形如（x+h ）2=k 2（k 是常数）的方程知识点2：配方法配方法是一元二次方程的重要方法，熟练地掌握完全平方式是配方法解题的基础。
对于二次项系数为1的方程，在方程两边同时加上一次项系数一半的平方即可配方。
若二次项系数不为1，一般应先将二次项系数变为1，然后配方比较简便。
知识点3：一元二次方程的球根公式形如ax 2+bx+c=0（a ≠0），当b 2-4ac ≥0时，x=a ac b b 242-±- b 2-4ac ＜0时，原方程无解知识点4：用公式法解一元二次方程的一般步骤（1） 化为一般式（2）确定a 、b 、c 的值；（3）求出b 2-4ac 的值（4）代入公式求解。
知识点5：一元二次方程的根的判别式。
代数式b 2-4ac 叫做一元二次方程ax 2+bx+c=0的根的判别式，通常用“△”表示。
知识点6：因式分解法这种方法的依据是，若a-b=0，则a=0或b=0其形式就是把已知方程通过因式分解把它们化成A-B=0的形式。
例如（x-2）（x+1）=0可用此法解之，其步骤：（1）将方程右边化为零（2）将左边分解因式（3）令每个因式为零（4）解每一个一元一次方程，它的解就是原方程的解。
典型例题：例1 用直接开平方法解下列方程（1）x 2-9=0 (2)4(x-2)2-36=0 (3)21(x+3)2=4例2 用配方法解下列方程（1）x 2-4x-3=0 (2)x 2+3x-1=0例3 用公式法解下列方程（1）2x 2+7x=4 (2) 21x 2+ 21x=81 (3)x 2+3=22x例4 不解方程，判别下列方程根的情况。
（1）x 2+9=6x (2)x 2+3x=-1 (3)3x 2+3=26x例5 已知关于x 的方程kx 2-4kx+k-5=0有两个相等实数根，求k 的值并解这个方程。
初中数学教学课例一元二次方程课程思政核心素养教学设计及总结反思
解法;第5节在求根公式的基础上，探索一元二次方程的根与系数的关系；第6节再次通过几个问题情境加强一元二次方程的应用.一、知识与技能 1. 了解一元二次方程及有关概念.2,会用配方法、公式法、因式分解法解一元二次方程.3.掌握依据实际问题建立一元二次方程的数学模型的方法.4.提出问题、分析问题，建立一元二次方程的数学模型，并用该模型解决实际问题.二、过程与方法1.通过丰富的实例，让学生合作探讨，老师点评分析，建教学目标立数学模型,根据数学模型恰如其分地给出一元二次方程的概念.2.通过掌握形如(x+m)2=n(nN0)的一元二次方程的解法一一直接开平方法，导入用配方法解一元二次方程，再通过大量的练习巩固配方法解一元二次方程.3.通过用已学的配方法解方程ax2+bx + c = 0(aW0)推导出一元二次方程的求根公式,导入用公式法解一元二次方程.4.通过实例探索一元二次方程的根与系数的关系.三、情感态度与价值观1.经历由事实问题中抽象出一元二次方程等有关概念的过程,使同学们体会到一元二次方程也是刻画现实世界中的数量关系的一个有效数学模型.2.经历用配方法、公式法、因式分解法解一元二次方程的过程，使同学们体会到转化等数学思想.3.经历设置丰富的问题情境,使学生体会到建立数学模型解决实际问题的过程，从而更好地理解方程的意义和作用，激发学生的学习兴趣.联系已有的相关知识，如一次方程、方程组，以及函数知识，进一步提高学生整体应用数学建模思想的意识和能力.一元二次方程的解法中，渗透“降次”的转化学生学习能思想，体会不同解法的优缺点与相互的联系，培养学生力分析灵活解一元二次方程的能力与扎实的运算功底,对实际问题的探索不要以繁、难、偏、旧的问题作为学生探究性学习的题材.1.对于“一元二次方程的根的判别式”，为了教学，应适当添加习题，使学生理解一元二次方程的根的教学策略选存在情况与系数的关系.择与设计 2.对于“一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）”，为了后续学习（包括初、高中函数的学习）的方便，可根据学生情况，在教学中安排1-2课时，组织学生进行这方面的简单探究活动.3.对于含字母系数的一元二次方程的解法,建议老师们应以至少一节课的内容加以补充,添加适当的习题.下面给出的方程与我们学习过的方程存在哪些相同点和不同点(x-4)2+(x-2)2 = x2； (30-2x)(20-2x)=200.先让学生在小组内讨论交流，然后回答问题.教师总结:①相同点:都是整式方程，都只含有一个未知数.②不同点：一元一次方程中未知数的最高次数是1,而这些方程中未知数的最高次数是2.问题:类比一元一次方程，你能给这样的方程起个教学过程名字吗带着这个问题，请大家填写下面的空格：像这样,等号两边都是式，只含有个未知数（一元）,并且未知数的最高次数是（二次）的方程叫做一元二次方程.强调：一元二次方程必须是整式方程,且一元二次方程和一元一次方程都属于一元方程.【师生活动】现在请同学们观察下列方程，然后判断哪些是一元二次方程.(1)x2 + 2x-4 = 0；(2)3x3+4x = 9；(3)3y2-5x =［设计意图］通过问题的设计与讲解，类比一元一次 方程和分式方程的定义学习一元二次方程，可使学生深 刻理解一元二次方程的定义，掌握定义中的三要素，实 现对定义由认识、记忆到理解、掌握的过渡，以达到质 的飞跃. 在实际教学中，有的学生对概念背得很熟，但在准 确和熟练应用方面较差,缺乏应变能力.针对学生存在 的这些问题,本节课突出对概念形成过程的教学，采用 探索发现的方法研究概念，并引导学生进行创造性学 习.教学中，运用启发引导的方法让学生从实际的问题 出发，观察发现并归纳出一元二次方程的概念，启发学不大，但写出它的二次项系数、一次项系数和常数项时, 部分学生容易忽略符号，作为第一次学习，这是难免的.本课时设计的教学内容主要是一元二次方程的概 念的推导和应用.在课堂教学中，可先从具体的背景出 发，激发学生的学习兴趣,体会一元二次方程的使用价 值，然后通过例题和练习进一步巩固对概念的理解. 课例研究综述 生发现规律,并总结规律,最后达到解决问题的目的. 学生对于将一元二次方程化为一般形式感觉困难。
一元二次方程的解法例析
元二次方程的解法例析【要点综述】：一元二次方程和一元一次方程都是整式方程，它是初中数学的一个重点内容，也是学生今后学习数学的基础。
在没讲一元二次方程的解法之前，先说明一下它与一元一次方程区别。
根据定义可知，只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程，一般式为:一元二次方程有三个特点：(1)只含有一个未知数；(2)未知数的最高次数是2；(3)是整式方程。
因此判断一个方程是否为一元二次方程，要先看它是否为整式方程，若是, 再对它进行整理，如能整理为曲'+处的形式，那么这个方程就是一元二次方程。
下面再讲一元二次方程的解法。
解一元二次方程的基本思想方法是通过“降次”，将它化为两个一元一次方程。
一元二次方程的基本解法有四种：1、直接开平方法；2、配方法；3、公式法；4、因式分解法。
如下表：【举例解析】"9 2，解关于|开|的方程（&-9）;?-4总卞+ 1二九-2必2-2b -1|= 2的住I 的值将使原方程成为哪一类方程。
当盘三3时，原方程为-6『-血+1 = ^-朋-2 3X —17当《 = -1时，原方程为卜10蛊7+4^ + 1= 5工+2畫'一2，即12/ +北一3 =0 , -1+Ji45 -1-7145简= ---- -- 心= --- -------解得 24 ，2 24 例1:已知 分析：注意满足 解: b 一 1》2得：或& = -1，，解得说明：由本题可见，只有 护项系数不为0,且为最高次项时，方程才是一元 二次方程， 才能使用一元二次方程的解法，题中对一元二次方程的描述是不完整的，应 该说明最高次项系数不为0。
通常用一般形式描述的一元二次方程更为简明， 即形如也* +加+ 的方程叫作关于X 的一元二次方程。
^■^1=2,就必须在整理后对只|项的字母系数分情况进行:用开平方法解下面的一元二次方程。
（2）（弘-2） 妒张2_24卄 16 = 121 ； （4） （% + 可（3工-2） = 4分析：直接开平方法就是用直接开平方求解一元二次方程的方法。
初中数学教学课例《一元二次方程——分解因式法》课程思政核心素养教学设计及总结反思
说明：在课本的基础上例题又补充了一题,目的是 练习使用公式法分解因式。
第四环节：巩固练习 内容：1、解下列方程：（1）(X+2)(X-4)=0 (2)X2-4=0 (3)4X(2X+1)=3(2X+1)
（按最新版《课程标准》中的目标维度）
1、能根据具体一元二次方程的特征，灵活选择方
程的解法，体会解决问题方法的多样性；
2、会用分解因式法（提公因式法、公式法）解决
某些简单的数字系数的一元二次方程；
教学目标
3、通过分解因式法的学习，培养学生分析问题、
解决问题的能力，并体会转化的思想。
4、通过小组合作交流，尝试在解方程过程中，多
学生 H：解方程（2）时因为方程的左、右两边都 有(x-2),所以我把(x-2)看作整体，然后移项，再分解 因式求解。
解：(2)原方程可变形为 （X-2）-X(X-2)=0 ∴(X-2)(1-X)=0 ∴X-2=0 或 1-X=0 ∴X1=2，X2=1 学生 K：老师，解方程（2）时能否将原方程展开 后再求解 师：能呀，只不过这样的话会复杂一些，不如把 (x-2)当作整体简便。 学生 M：方程(x+1)2-25=0 的右边是 0，左边 (x+1)2-25 可以把(x+1)看做整体，这样左边就是一个 平方差，利用平方差公式即可分解因式。 解：(3)原方程可变形为 [(X+1)+5][(X+1)-5]=0 ∴(X+6)(X-4)=0 ∴X+6=0 或 X-4=0 ∴X1=-6，X2=4 师：好﹗这个题实际上我们在前几节课时解过，当 时我们用的是开平方法，现在用的是因式分解法。由此
一元二次方程公式法、配方法[修改版]
![一元二次方程公式法、配方法[修改版]](https://img.taocdn.com/s3/m/f056b22ea58da0116d174968.png)
第一篇：一元二次方程公式法、配方法一元二次方程公式法、配方法【主体知识归纳】4．直接开平方法形如x＝a(a≥0)的方程，因为x是a的平方根，所以x＝±，即x1＝a，x2＝－a．这种解一元二次方程的方法叫做直接开平方法．2b2b4ac25．配方法将一元二次方程ax＋bx＋c＝0(a≠0)化成(x＋)＝的形式后，当b－4ac≥0时，用直22a4a22接开平方法求出它的根，这种解一元二次方程的方法叫做配方法．用配方法解已化成一般形式的一元二次方程的一般步骤是：(1)将方程的两边都除以二次项的系数，把方程的二次项系数化成1；(2)将常数项移到方程右边；(3)方程两边都加上一次项系数一半的平方；(4)当右边是非负数时，用直接开平方法求出方程的根．b24ac26．公式法用一元二次方程ax＋bx＋c＝0(a≠0)的求根公式x＝(b－4ac≥0)，这种解一元二2a2次方程的方法叫做公式法．【例题精讲】2例1：用配方法解方程2x＋7x－4＝0．剖析：此题考查对配方法的掌握情况．配方法最关键的步骤是：(1)将二次项系数化为1；(2)将常数项与二次项、一次项分开在等式两边；2(3)方程两边都加上一次项系数一半的平方，即可化为(x＋a)＝k的形式，然后用开平方法求解．解：把方程的各项都除以2，得x＋即(x＋277772728122x－2＝0．移项，得x＋x＝2．配方，得x＋x＋()＝2＋()＝，22244167281)＝．416817791＝±，x＋＝±．即x1＝，x2＝－4．164442解这个方程，得x＋说明：配方法是一种重要的数学方法，除了用来解一元二次方程外，还在判断数的正、负，代数式变形、恒等式22的证明中有着广泛的应用，例如证明不论x为何实数，代数式2x－4x＋3的值恒大于零，可以做如下的变形：2x－224x＋3＝2x－4x＋2＋1＝2(x－1)＋1．例6：用公式法解下列方程：2(1)2x＋7x＝4；2解：(1)方程可变形为2x＋7x－4＝0．22∵a＝2，b＝7，c＝－4，b－4ac＝7－4×2×(－4)＝81＞0，77242(4)791∴x＝．∴x1＝，x2＝－4．2 242【同步达纲练习】1．选择题(1)下列方程中是一元二次方程的是()x2x＝0B．23(2)下列方程不是一元二次方程的是()24A．2＝0xxA．C．x＋2xy＋1＝0D．5x＝3x－112x＝1B．0.01x2＋0．2x－0.1＝0C．2 x2－3x＝02(3)方程3x－4＝－2x的二次项系数、一次项系数、常数项分别为()D．121x－x＝(x2＋1) 22A．3，－4，－2B．3，2，－4C．3，－2，－4D．2，－2，0(4)一元二次方程2x－(a＋1)x＝x(x－1)－1的二次项系数为1，一次项系数为－1，则a的值为() A．－1B．1C．－2D．222(5)若方程(m－1)x＋x＋m＝0是关于x的一元二次方程，则m的取值范围是()A．m≠0B．m≠1C．m≠1且m≠－1D．m≠1或m≠－1 (6)方程x(x＋1)＝0的根为()A．0B．－1C．0，－1D．0，1(7)方程3x－75＝0的解是()A．x＝5B．x＝－5C．x＝±5D．无实数根(8)方程(x－5)＝6的两个根是() A．x1＝x2＝5＋6B．x1＝x2＝－5＋6 D．x1＝5＋6，x2＝5－6C．x1＝－5＋6，x2＝－5－6(9)若代数式x－6x＋5的值等于12，那么x的值为()A．1或5B．7或－1C．－1或－5(10)关于x的方程3x－2(3m－1)x＋2m＝15有一个根为－2，则m的值等于() A．2B．－D．－7或112C．－2D．1 22．把下列方程化成一元二次方程的一般形式，再写出它的二次项系数、一次项系数及常数项：(1)4x＋1＝9x；(2)(x＋1)(x－3)＝2x－3；(3)(x＋3)(x－3)＝2(x－3)；(4)3y－2y＝2y－3y＋5．223．当m满足什么条件时，方程(m＋1)x－4mx＋4m－2＝0是一元二次方程?当x＝0时，求m的值．4．用直接开平方法解下列方程：(1)x＝229；4(2)x＝1．96；(5)(x－1)＝144；(3)3x－48＝0；(6)(6x－7)－9＝0．(4)4x－1＝0；5．用配方法解下列方程：(1)x＋12x＝0；(4)9x＋6x－1＝0；(2)x＋12x＋15＝0(3)x－7x＋2＝0；(5)5x－2＝－x；(6)3x－4x＝2．6．用公式法解下列方程：(1)x－2x＋1＝0；(5)4x－1＝0；22(2)x(x＋8)＝16；(3)x－x＝2；3(4)0．8x＋x＝0．3；(6)x＝7x；(7)3x＋1＝23x；(8)12x＋7x＋1＝0．7．(1)当x为何值时，代数式2x＋7x－1与4x＋1的值相等?22(2)当x为何值时，代数式2x＋7x－1与x－19的值互为相反数?8．已知a，b，c均为实数，且a22a1＋｜b＋1｜＋(c＋3)＝0，解方程ax＋bx＋c＝0．9．已知a＋b＋c＝0．求证：1是关于x的一元二次方程ax＋bx＋c＝0的根．10．用配方法证明：22(1)3y－6y＋11的值恒大于零；(2)－10x－7x－4的值恒小于零．2211．证明：关于x的方程(a－8a＋20)x＋2ax＋1＝0，不论a为何实数，该方程都是一元二次方程．参考答案【同步达纲练习】1．(1)B (2)D (3)B (4)B (5)C (6)C(7) C (8)D (9)B (10)D2．(1)9x2－4x－1＝0，9，－4，－1；(2)x2－4x＝0，1，－4，0；(3)x2－12x＋27＝0，1，－12，27；(4)(－2)y2＋(－2)y－5＝0，－2，3－2，－．3．m≠－1，m＝4．(1)x1＝，x2＝－；(2)x1＝－1．4，x2＝1．4；(3)x1＝－4，x2＝4；(4)x1＝－，x2＝；(5)x1＝13，x2＝－11；(6)x1＝，x2＝．5．(1)x1＝0，x2＝－12；(2)x1＝－6－21，x2＝－6＋21；741741，x2＝；22121 2(4)x1＝，x2＝；33141141(5)x1＝，x2＝；101022(6)x1＝，x2＝．33323212122353(3)x1＝6．(1)x1＝x2＝1；(2)x1＝－4－42，x2＝－4＋42；597513，x2＝；(4)x1＝，x2＝－；664211(5)x1＝，x2＝－；(6)x1＝0，x2＝7；22(7)x1＝x2＝；311(8)x1＝－，x2＝－．347．(1)x＝－2或x＝；25(2)x＝－4或x＝．(3)x1＝8．x1＝11，x2＝．229把1代入ax2＋bx＋c中，得ax2＋bx＋c＝a＋b＋c＝0∴1是方程ax2＋bx＋c＝0的一个根．10(1)∵3y2－6y＋11＝3y2－6y＋3＋8＝3(y－1)2＋8又(y－1)2≥0，∴3(y－1)2＋8＞0．即3y2－6y＋11的值恒大于零．(2)∵－10x2－7x－4＝－10(x2＋72111)＋］400207111＝－10(x＋)2－．20407又－10(x＋)2≤0，201117∴－10(x＋)2－＜0．402074x＋) 1010＝－10［(x＋即－10x2－7x－4的值恒小于零．11∵a2－8a＋20＝(a－4)2＋4＞0∴该方程是一元二次方程第二篇：用配方法和公式法解一元二次方程用配方法和公式法解一元二次方程一.教学内容：用配方法和公式法解一元二次方程1.知道配方法的意义及用配方法解一元二次方程的主要步骤，能够熟练地用配方法解系数较简单的一元二次方程．2.理解用配方法推导出一元二次方程的求根公式，了解求根公式中的条件b2－4ac≥0的意义，知道b2－4ac的值的符号与方程根的情况之间的关系．3.能熟练地运用求根的公式解简单的数字系数的一元二次方程．二. 知识要点：1.形如x2＝p或（mx＋n）2＝p（p≥0）的方程用开平方法将一元二次方程降次转化为两个一元一次方程．通过配方，方程的左边变形为含x的完全平方形式（mx＋n）＝p（p≥0），可直接开平方，将一个一元二次方程转化为两个一元一次方程．这样解一元二次方程的方法叫做配方法．3.用配方法解一元二次方程的步骤：（1）把二次项系数化为1；（2）移项，方程的一边为二次项和一次项，另一边为常数项；（3）方程两边同时加上一次项系数一半的平方；（4）用直接开平方法求出方程的根．2（3）当b－4ac＜0时，方程没有实数根．2三. 重点难点：本讲重点是用配方法和公式法解一元二次方程，难点是配方的过程和对求根公式推导过程的理解．例2. 用配方法解方程：（1）x2＋2x－5＝0；（2）4x2－12x－1＝0；（3）（x＋1）2－6（x＋1）2－45＝0．分析：方程（1）是一元二次方程的一般形式，且二次项系数为1，所以直接移项、配方、求解即可；方程（2）要先把二次项系数化为1；方程（3）不要急于打开括号，可把（x＋1）2看成一个整体合并，可避免重复配方．（3）将方程整理得（x＋1）2－6（x＋1）2＝45，－5（x＋1）2＝45，（x＋1）2＝－9，由于x取任意实数时（x＋1）2≥0，则上式都不成立，所以原方程无实数根．评析：配方法作为一种求解的方法，与其他方法比显得复杂些，为此，除非题目有特别指明用配方法解外，一般不用这种方法，但配方法是一种重要的数学方法，应用很广，应力争掌握好．例4. 不解方程判断下列方程根的情况．（1）4x2－11x＝2；（2）4x2－x＋5＝0；（3）y2＋14y＋49＝0；（4）x2＋（m＋2）x＋m＝0．分析：判断一元二次方程的根的情况应先把方程转化成一般形式，再计算b2－4ac的值．解：（1）原方程化为4x2－11x－2＝0，a＝4，b＝－11，c＝－2，b2－4ac＝（－11）2－4×4×（－2）＝153＞0，所以原方程有两个不相等的实数根．（2）a＝4，b＝－1，c＝5，b2－4ac＝（－1）2－4×4×5＝－79＜0，所以原方程没有实数根．（3）a＝1，b＝14，c＝49，b2－4ac＝142－4×1×49＝0，原方程有两个相等的实数根．（4）a＝1，b＝m＋2，c＝m，b2－4ac＝（m＋2）2－4×1×m＝m2＋4m＋4－4m＝m2＋4，无论m取何值，m2＋4＞0，∴b2－4ac ＞0，原方程有两个不相等的实数根．评析：（1）b2－4ac是对一元二次方程一般形式而言的，计算前必须把方程化成一般形式；（2）当讨论含有字母系数的方程根的情况时，通常把计算结果化成（通过配方）（m＋n）2＋p的形式，由平方数的非负性说明它的符号．例5. 先用配方法说明：不论x取何值，代数式x2－5x＋7的值总大于0．再求出当x取何值时，代数式x2－5x＋7的值最小？最小值是多少？分析：准确配方，利用完全平方公式的非负性确定值的非负性及最小值．解：x2－5x＋7＝（x－2.5）2＋0.75＞0．当x＝2.5时，代数式x2－5x＋7的值最小，最小值是例6. 某农场要建一个矩形的养鸭场，养鸭场的一边靠墙，竹栏长为40m．（1）养鸭场的面积能达到150m2吗？能达到200m2吗？（2）能达到250m2吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由．分析：根据题意列出方程，利用配方法或求根公式解方程，义，则满足要求，否则，不能满足要求．解：设与墙垂直的一边长为x m，则另一边长（40（1）当面积为150m2时，x（40－2x）＝150，整理得：x2－20x＋75＝0，即（x－10）2＝25．解得x1＝5，x2＝15．此时的设计方案为：与墙垂直的一边长为5m，另一边长为15m，另一边长为10m．而当面积为200m2时，x（40－2x）＝200，解得x1＝x2＝10．此时的设计方案为：与墙垂直的边长为10m，另一边长为（2）当面积为250m2时，x（40－2x）＝250，此方程无解．所以养鸭场的面积不能达到250m2．0.75．墙长25m，另三边用竹栏围成，如果方程有解且符合实际意2x）m．30m，或与墙垂直的边长为20m．－【预习导学】（用因式分解法解一元二次方程）一. 预习前知1. 想一想，因式分解有几种方法？2. 分解因式：（1）25（7x－3）2－16；（2）5x（2x＋7）－3（2x＋7）；（3）x2－4x＋4；（4）（x－1）2＋2x（x－1）．二. 预习导学1. 根据“ab＝0，则a＝0或b＝0”解下列方程．（1）（x－1）（2x＋3）＝0；（2）x（x＋1）＝0；（3）（x－2）（x＋1）＝0．2. 用因式分解法解下列方程．（1）x2＋x＝0；（2）（3x－1）2－1＝0；（3）x2－2x＋1＝0．反思：（1）用因式分解法适合解什么样的一元二次方程？（2）用因式分解法解一元二次方程的基本步骤是什么？【模拟试题】（答题时间：60分钟）一. 选择题1. 下列方程不能用开平方法求解的是（）A. x2－6x＋9＝0B. （x－5）2＝7C. 4x2＝1D. 2y2＋4y＋4＝0 3. 用配方法解方程x＋3＝4x时，这个方程可化为（）2A. （x－2）2＝7 B. （x＋2）2＝1 C. （x－2）2＝1 D. （x＋2）2＝2 *4. 方程x2＋x－1＝0的根精确到0.1的近似值是（）A. 0.6，1.6B. 0.6，－1.6C. －0.6，1.6D. －0.6，－1.6 5. 一元二次方程x2－2x－3＝0的根是（）A. x1＝1，x2＝3B. x1＝－1，x2＝3C. x1＝－1，x2＝－3D. x1＝1，x2＝－3 *6. 用配方法解方程时，下列配方错误的是（）*7. 下列关于x的一元二次方程中有两个不相等的实数根的是（）A. x2＋1＝0B. x2＋2x＋1＝0C. x2＋2x＋3＝0D. x2＋2x－3＝0 **8. 若x2－2（k＋1）x＋k2＋5是一个完全平方式，则k等于（）A. －1B. 2C. 1D. －2 二. 填空题1. 如果（x－2）2＝9，则x＝__________．2. 方程（2y＋1）2－16＝0的根是__________．3. 方程（x＋m）2＝n有解的条件是__________．4. 填空：（1）x2＋10x＋__________＝（x＋__________）2；（2）m2－8m＋__________＝（m－__________）2；（3）x2＋3x＋__________＝（x＋__________）2；（4）x2＋1/2x＋__________＝（x＋__________）2；（5）x2－mx＋__________＝（x－__________）2．*5. 把下列各式化为（x＋m）2＋n的形式：（1）x2－4x＋7＝__________；（2）x2＋2x－3＝__________；6. 方程x＋5x＋3＝0中，b－4ac＝_______，由求根公式可得方程的根是x1＝_______，x2＝_______．7. 如果关于x的方程x2＋4x＋a＝0有两个相等的实数根，那么a＝__________．三. 解答题1. 用直接开平方法解下列一元二次方程：（1）（x－1）2＝4；（2）4m2－4m＝－1；（3）3（4x－1）2＝48；（4）y2－2y－8＝0．2. 用配方法解方程：（1）x2－6x－7＝0；（2）x2－2x－1＝0；（3）2x2＋x＝0；（4）（x＋1）2＝x－1．3. 关于x的二次三项式x2＋2mx＋4－m2是一个完全平方式，求m的值．4. 如图，一个5m长的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距离地面3m，如果顶端下滑1m，那么，梯子的底端也将滑动1m吗？请你用所学知识来解释．25. 若关于x的方程x＋（2k－1）x＋k－7/4＝0有两个相等的实数根，求k的值．6. 方程x2＋kx－6＝0的一个根是2，试求另一个根及k的值．7. 用100m长的铁丝围成一个长方形，面积是600m2，长、宽分别是多少？能否再围成一个面积是800m2的长方形呢？22第三篇：初三数学一元二次方程解法练习题配方法公式法分解因式法配方法1、x22x802、x242x3、3y26y2404、4x27x205、12x22x906、2x23x507、2x25x308、用配方法证明：方程x2x10无解9、用配方法证明：方程x2x10的值恒大于零公式法1、32t24t102、x23、x23x1104、2x23x 185、3x212x6、已知x23x40的根为x1,x2，求x1x2，x1x2，1122x，x1x2 1x2配方法1、4x2x32x2、9x26x103、x2 293x124、2x2 24x25、92x3 242x5 24x1207、4x3 254x3608、2x1x13x1x19、x x1x20第四篇：配方法解一元二次方程“配方法解一元二次方程”说课于晓静：北京市十一学校中学高级一、教材的地位和作用配方法是以配方为手段、以平方根定义为依据解一元二次方程的一种基本方法，其中所涉及的完全平方式、求一个非负数的平方根以及解一元一次方程等都是学生已有的知识与技能，为本节课的学习奠定了知识技能方面的基础。
初中数学细说解一元二次方程中的转化思想专题辅导
初中数学细说解一元二次方程中的转化思想在遇到解具体的一元二次方程时，我们必须认真分析方程的特征，灵活选择解法。
公式法是解一元二次方程的通法，配方法是公式法的基础，直接开平方法、分解因式法解决某些特殊的一元二次方程非常简便，掌握各种解法中内在的转化思想才是把握了解方程的根本。
一. 未知向已知的转化——直接开平方法、配方法例1. 解方程：()x +=252分析：方程的左边是关于x 的完全平方式，右边是一个非负实数，能运用直接开平方法求解。
解：方程两边同时开平方得：x +=25或x +=-25，∴=-+=--x x 122525, 说明：直接开平方法是求解一元二次方程的四种解法中最基本的一种方法，它适用于形如：()()x m n m +=≥20的一元二次方程，这种解法充分体现了将方程中的未知数向已知数的成功转化，同时又是后继解法的基础。
例2. 解方程：44302x x +-=分析：在运用配方法时，一般要求是先将方程的二次项系数化为1，然后再在方程两边同时加上一次项系数的一半的平方。
解：方程两边都除以4得：x x 2340+-=，移项得：x x 234+=，两边同时加上14得：x x 2141++=，左边配方得：(),x x +=∴+=1211212或x x x +=-∴==-121123212,,。
说明：在配方法的应用中，一方面将方程的形式向直接开平方所要求的形式转化，即实施了式的转化，另一方面也实施了方法上的由已知向未知的转化。
二. 复杂向简单的转化——公式法例3. 解方程：ax bx c a b ac 220040++=≠-≥(,)分析：运用配方法可推导出方程的求根公式。
解：略。
说明：在寻求公式法的过程中，我们也对方程实施了形式、解法的转化，而公式法的运用最终是解决了一元二次方程求解方法从复杂向简单的转化，只要能确定一元二次方程的各项系数，利用公式就可求解方程，从这一点讲也奠定了公式法在求解一元二次方程中的重要地位。
重视一元二次方程解法中的数学思想
重视一元二次方程解法中的数学思想作者：卢霞来源：《文理导航》2013年第23期【摘要】一元二次方程是初中数学中的重要内容，在初中代数中占有重要地位。
但是，解一元二次方程却一直被认为是一个难点。
究其原因，是未能很好的掌握解法中的数学思想。
对于学生而言，很少人能够系统的掌握。
为此，结合教学实践，将其中的四种数学思想陈列如下并配以例题说明。
【关键词】一元二次方程；转化思想；整体思想；分类讨论思想；方程思想课标要求“人人学有价值的数学”。
“有价值的数学”就是数学思想方法，数学思想方法是数学基础知识、基本技能的本质体现，在解一元二次方程中，也蕴含了一定的数学思想。
一、转化思想著名的数学家，莫斯科大学教授C.A.雅洁卡娅曾在一次向数学奥林匹克参赛者发表《什么叫解题》的演讲时提出：“解题就是把要解题转化为已经解过的题”。
数学的解题过程，就是从未知向已知、从复杂到简单的化归转换过程。
转化，是一种重要的思想方法，它能给人带来思维的闪光点，找到解决问题的突破口。
解一元二次方程的基本思路是运用了“转化”的思想，即把待解决的问题（一元二次方程），通过转化，归结为已解决的问题（一元一次方程）。
直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法中都渗透了这一思想。
直接开平方法：两个一元一次方程，把“未知”转化为“已知”；配方法：一元二次方程，两个一元一次方程，体现了数学形式的转化；因式分解法：一元二次方程两个一元一次方程；公式法：直接用公式把把“未知”转化为“已知”。
这些都体现了转化的思想。
例1 方程x2+4x=2的正根为（）.A.2-B.2+C.-2-D.-2+解析：x2+4x+4=2+4.因此（x+2）2=6，x+2=± .例2 若2x2-5x+ ，则2x2-5x-1的值为 .解析：把原式中2x2-5x为一个未知数，令2x2-5x=y，用换元法得到分式方程求出y，则可得到所求的值。
二、整体思想整体的思想方法，就是将注意力和着眼点放在问题的整体上或把一些相互联系的量作为整体，从而使问题巧妙的解决的方法称之为整体思想。
第3讲数学第2章《一元二次方程》
八年级数学下第3讲《一元二次方程》()重点难点分析：1、一般形式中的a ，b ，c 分别是二次项的系数，一次项系数和常数项。
2、因式分解法是解一元二次方程的最常用的方法。
3、“a ≠0”是一元二次方程的前提，是一个重要的隐含条件。
4、因式分解法将一元二次方程转化成一元一次方程来解，体现了“转化化归”的数学思想。
例题精选：例1、把方程（2x －1）（3x+2）＝x 2+2化成一般形式，并指出二次项系数、一次项系数和常数项.例2、已知关于x 的方程()()012112=--+++x m x m m，问：（1）m 取何值时，它是一元二次方程？并猜测方程的解； （2）m 取何值时，它是一元一次方程？例3、用因式分解法解方程：（1）2x 2－5x ＝0 （2）x （2x －7） + （2x －7）＝0（3）4x 2－9＝0 （4）25（x+3）2－16＝0（5）（2x+1）2＝2（2x+1） （6）4x 2－4x+1＝0（7）4（y －1）2＝（3y+1）2 （8）（3x+2）2－2（3x+2）－3＝0例4（1）若一元二次方程ax2－bx－2017＝0有一个根是－1，则a+b＝ . （2）若关于x的一元二次方程（m－1）x2+5x+m2－3m+2＝0的常数项为0，则m的值为（）A. 1B. 2C. 1或2D. 0（3）解方程3x（x+2）＝5（x+2）时，两边同除以x+2，得3x＝5.你认为对还是错： . （4）若x＝n是关于x的方程x2+mx+2n＝0的非零实数根，则m+n的值为 .（5）已知实数m，n满足3m2+6m－5＝0，3n2+6n－5＝0，且m≠n，则nm + mn＝ .例5、已知a，b为实数，关于x的方程x2-（a-1)x+b+3＝0的一个根为a+1，（1）用含a的代数式表示b；（2）求代数式b2－4a2+10b的值.例6、（1）已知m是方程x2-x-2=0的一个实数根，求代数式（m2－m）（m－2m+ 1）的值. （2）已知m2+m－1＝0，求m3+2m2－2018的值.（3）已知3x2－x＝1，求9x4+12x3－2x2－7x +2018 的值学生练习：1关于x的一元二次方程（m2－m－2）x2+mx+1＝0成立的条件是（）A.m≠－1B. m≠2C. m≠－1 或 m≠2 D . m≠－1 且 m≠22、下列方程中，一元二次方程共有（）①x2－2x－1＝0；②1y+ 3y－5＝0；③－x2＝0④(x+1)2+y2＝2；⑤(x－1)(x－3)＝x2.A. 1个B. 2个C. 3个D. 4 个3、若关于x的一元二次方程()1-a x2+x+a-1=0的一个根是0，则实数a的值为（）A.-1B. 0C. 1D.-1或14、利用平方法可以构造一个整系数方程.如：当x=12+时，移项得x-1＝2，两边平方得（x-1）2＝()22，所以得x 2－2x －1＝0.依照上述方法，当x ＝216-时，可以构造出一个整系数方程是（ ） A. 4x 2+4x+5＝0 B. 4x 2+4x －5＝0 C. x 2+x+1＝0 D. x 2+x －1＝05已知一元二次方程ax 2+bx+c ＝0，若4a －2b+c ＝0，则它的一个根是（ ）A.－2B. －12 C. －4 D. 26若关于x 的方程x 2+(m+1)x + 12＝0的一个实数根的倒数恰好是它本身，则m 的值为（ ）A.－52B. 12C.－ 52或12 D. 17、若x 0是方程ax 2+2x+c ＝0的一个根，设M ＝1－ac ，N ＝（ax 0+1)，则M 与N 的大小关系正确的是（ ） A .M>N B. M ＝N C. M<N D. 不确定8、若a 是方程x 2－2x －1＝0的解，则代数式2a 2－4a+2017的值为 .9、已知关于x 的方程()()012342=-++---m x m x m m m是一元二次方程，则m = .10、已知m ，n 都是方程x 2+2017x －2019＝0的根，则（m 2+2017m －2018)(n 2+2017n －2020)＝－ .11、若关于x 的方程a(x+m)2+b ＝0的解是x 1＝－2，x 2＝1 （a ≠0),则方程a(x+m+2)2+b ＝0的解是 .12、解方程：（1）2x 2－6＝0 （2）（x －4）2＝16（3）2（3x －2）2＝34 （4）3（x+5）2＝11（5）（x －1)2－2(x －1)＝0 (6)(2x+1)2＝6x+3（7）（3x－4)(x+1)+4＝0 (8)x(x－10)+25＝02 是方程x2－4x+c＝0的一个根，求c的值.13、已知x＝514、若方程x2－6x－k－1＝0与x2－kx－7＝0仅有一个公共的实数根，试求k的值和公共的根.15、已知m是方程x2－2x－5＝0的一个根，求下列代数式的值：（1）m3－2m2－5m－9；（2）m3+m2－11m－916、设a>2,b>2，试判断关于x的方程x2－(a+b)x+ab＝0与x2－abx+(a+b)＝0有没有公共根，请说明理由.17、选取二次三项式ax2+bx+c（a0）中的两项，配成完全平方式的过程叫配方.例如：①选取二次项和一次项配方：x2-4x+2＝（x－2）2－2；②选二次项和常数项配方：x2-4x+2＝（x－2）2+（22－4）x或原式＝（x+2）2+（22+4）x③选取一次项和一次项配方：x2-4x+2＝（2x－2）2－x2.根据以上材料，解决下列问题：（1）写出x2-8x+4的两种不同形式的配方；（2）已知x2+y2+xy－3y+3＝0，求y x的值.八年级数学下第3讲《一元二次方程》()重点难点分析：1、一般形式中的a ，b ，c 分别是二次项的系数，一次项系数和常数项。
一元二次方程 最小二乘法 克莱姆法则
一元二次方程最小二乘法克莱姆法则最小二乘法是一种常用的数学方法，用于求解一元二次方程的最优解。
而克莱姆法则是一种用于求解线性方程组的方法。
本文将介绍最小二乘法和克莱姆法则的原理及应用。
最小二乘法是一种通过最小化误差平方和来求解一元二次方程的方法。
它的基本思想是，通过找到一个最优解，使得方程的计算结果与观测值的差别最小化。
最小二乘法可用于拟合一条曲线到一组离散的数据点，以求得最优的拟合曲线。
最小二乘法的具体步骤如下：1. 假设一元二次方程的形式为 y = ax^2 + bx + c，其中a、b、c 为待求解的系数。
2. 假设有n个观测点，记为(x1, y1)，(x2, y2)，...，(xn, yn)。
3. 将观测点带入方程，得到n个方程：a(x1^2) + b(x1) + c = y1a(x2^2) + b(x2) + c = y2...a(xn^2) + b(xn) + c = yn4. 将这n个方程合并为一个矩阵形式：AX = Y，其中A为一个n×3的矩阵，X为一个3×1的矩阵，Y为一个n×1的矩阵。
5. 使用最小二乘法的原理，可以得到一个最优解X*，使得误差平方和最小。
最小二乘法的解析解为X* = (A^T A)^(-1) A^T Y。
6. 求得系数a、b、c后，即可得到拟合的一元二次方程。
克莱姆法则是一种用于求解线性方程组的方法。
它的基本思想是，通过求解方程组的行列式来得到未知数的值。
克莱姆法则适用于线性方程组的系数矩阵的行列式不为零的情况。
克莱姆法则的具体步骤如下：1. 假设有n个线性方程，形如：a11x1 + a12x2 + ... + a1nxn = b1a21x1 + a22x2 + ... + a2nxn = b2...an1x1 + an2x2 + ... + annxn = bn2. 将这n个方程的系数矩阵记为A，常数矩阵记为B，未知数矩阵记为X，即AX = B。
初中数学“一元二次方程”中的数学思想 知识精讲
初中数学“一元二次方程”中的数学思想 知识精讲张立旺数学思想是数学知识的精髓，它在学习和运用数学知识的过程中，起指导作用。
下面举例说明一元二次方程中的数学思想。
一、转化思想有一些题目按照一般的解题思路去思考，往往比较繁琐。
若根据知识间的内在联系，恰当地把题目中的某些关系从一种形式转化为另一种形式，问题就能比较顺利地得到解决，这就是转化思想。
它能够帮助同学们打开思路，把一个较复杂或陌生的问题转化成较简单或熟悉的问题。
例1. 解方程49)10x )(4x (-=-+解：整理，得09x 6x 2=+-即0)3x (2=-所以3x x 21==二、整体思想整体思想，就是将注意力和着眼点放在问题的整体上或把一些相互联系的量作为整体来处理的思想。
有些一元二次方程问题，若根据其特点，采用整体处理的方法，不仅能避免复杂的计算，而且能达到解决问题的目的。
例2. 已知5x 3x 2++的值为9，则代数式2x 9x 32-+的值为（ ）A. 4B. 6C. 8D. 10解：由95x 3x 2=++得4x 3x 2=+所以102432)x 3x (32x 9x 322=-⨯=-+=-+故选D三、分类讨论思想当研究的问题包含多种可能情况时，必须按所有可能出现的情况来分别讨论，从而得出各种情况下相应的结论，这种处理问题的思想称为分类讨论思想。
它既是一种数学思想，又是一种重要的解题策略。
例3. 当a 为何值时，关于x 的方程0a ax 2x )1a (2=+++有实数根？解：因为题中没明确方程的次数，故需分类讨论：（1）当01a ≠+，即1a -≠时，方程为一元二次方程因为方程有实数根，所以0a )1a (4)a 2(2≥+-解得0a ≤所以当0a ≤且1a -≠时，一元二次方程0a ax 2x )1a (2=+++有实数根（2）当01a =+，即1a -=，方程为01x 2=-- 解得21x -=，即方程有实数根 综上可知，当0a ≤时，方程0a ax 2x )1a (2=+++有实数根四、建模思想建模思想是一种常见的解决实际问题的思想，其实质是从实际问题中提取出关键性的基本量，再将其转化为数学问题来进行推理、计算、论证等，最后得出结论。
利用数学思想解决实际问题——以一元二次方程组的应用为例
３
下 面 笔 者 通 谈 及 利 润 问 题 我 们 首 先 要 区 分开 利 润 和 利
，
“
”
“
道 题总 结 了 二 元
一
次 方 程 组 在 实 际 问 题 中 的 应 润 率 这 两个 概 念 所 谓 利 润 指 的 是 产 品 出 售 后 的
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用 以 引 导 学 生 进 行 二元
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次方 程 的 应用 中 学 习 了
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与 标 价 的 关 系 打 几折 就是 占 标 价 的 百分 之 几 十 将会 出 现 用 于 构 建方 程 组的 两个 等 例 ２ Ａ Ｂ 两 款 汽 车 在 上 市 初 期 预定 市 场 反 应 量 关 系 即 在 路 程 速 度 和 时 间 这 三 个元 素 中 同 向 时 强 烈 经 销 商 决 定 分别 加 价 ２ ０ ％ 和 ０ ％ 标 价 出 售 在 路 程 等 于 速 度 的 和 乘 以 时 间 反 向 时 路 程 等 于 速 度 的
程问题的题
，
目
中
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本市 车 展 期 间 为 继续 提高 销 量 经销 商决 定分 别 按 标 般 倾 向 于 对 速 度 元 素 的 购 价 的 九 折 和 九 五 折进 行销 售 车 展 时 两 名 车 友 分 别 考 查 也 就是 方程 中 的 未知 数 买 了 两 款 新 车 共计 付 款 ２３ ３４ 万 元 经 销 商 告 知 共 计 例 大 华 号 渡 轮 负 责 位 于 航 道 上 下 游 Ａ Ｂ Ｂ ８６ 万元 问 Ａ 俩 款 车 的进 价各 是多 少 ？ 优 惠 了 两 座 城 市 的 通 航 工 作 已 知 Ａ Ｂ 两 座 城 市 通 航 上 的
一元二次方程解法
∴x=[(-b±√（b²-4ac)]/（2a)∴原方程的解为x?=,x?= .4．因式分解法（十字相乘法）：把方程变形为一边是零，把另一边的二次三项式分解成两个一次因式的积的形式，让两个一次因式分别等于零，得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程所得到的根，就是原方程的两个根。
这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法。
（老教材中这种方法称为十字相乘法）例4．用因式分解法解下列方程：⑴ (x+3）（x-6）=-8 ⑵ 2x²+3x=0 ⑶ 6x²+5x-50=0 （选学）⑷x²-4x+4=0 （选学）⑴解：（x+3）（x-6）=-8化简整理得x²-3x-10=0（方程左边为二次三项式，右边为零）（x-5）（x+2）=0（方程左边分解因式）∴x-5=0或x+2=0（转化成两个一元一次方程）∴x1=5,x2=-2是原方程的解。
⑵解：2x²+3x=0 x（2x+3）=0（用提公因式法将方程左边分解因式）∴x=0或2x+3=0 （转化成两个一元一次方程）∴x1=0，x2=-是原方程的解。
注意：有些同学做这种题目时容易丢掉x=0这个解，应记住一元二次方程有两个解。
⑶解：6x²+5x-50=0（2x-5）（3x+10）=0 （十字相乘分解因式时要特别注意符号不要出错）∴2x-5=0或3x+10=0∴x1=,x2=- 是原方程的解。
⑷解：x²-4x+4 =0（∵4 可分解为2 ·2 ，∴此题可用因式分解法）（x-2）（x-2）=0∴x1=2,x2=2是原方程的解。
小结：一般解一元二次方程，最常用的方法还是因式分解法，在应用因式分解法时，一般要先将方程写成一般形式，同时应使二次项系数化为正数。
直接开平方法是最基本的方法。
公式法和配方法是最重要的方法。
公式法适用于任何一元二次方程（有人称之为万能法），在使用公式法时，一定要把原方程化成一般形式，以便确定系数，而且在用公式前应先计算判别式的值，以便判断方程是否有解。
初中数学教学课例《一元二次方程的概念》课程思政核心素养教学设计及总结反思
学，让每一个学生都得到不同的发展。 为了真正做到有效的合作学习，我在活动中大胆地
让学生自主完成，先让学生把问题提出来，然后让学生 带着问题去讨论，这样学生在讨论时就有目的，就会事 半功倍。也让不同层次的学生得到不同的了展。也符合 新课程的教学理念。
教学过程 产量为 a，翻一番的意思就是 a 变为 2a,那么 （1）用代数式表示 2006 年的产量； （2）2007 年蔬菜的产量比 2005 年增加了 2x，对
吗？为什么？你能用代数式表示出来吗？ 学生思考交流得出方程 a(1+x)2=2a 整理得，x2+2x-1=0…………① 二、通过得出的方程都是一元二次方程，与以前所
通过这节课的点评与自我反思,以后要在师生交流 方面都下工夫,重视学生的想法,多给学生一点"自主" 学习的时间,同时加强板书教学,提高学生课堂学习的" 实效"。
学生练习 1．说出下列一元二次方程的二次项系数、一次项 系数、常数项：（由学生以抢答的形式来完成此题,并 让学生找出错误理由.） （1）x2 十 3x 十 2＝O （2）x2—3x 十 4＝0； （3）3x2-5＝0 （4）4x2 十 3x—2＝0； （5）3x2—5=0； （6）6x2—x=0。 讲解例 1 后学生练习 1、把下列方程化成一般形式，并写出它的二次项 系数、一次项系数和常数项： ⑴2（x2－1）=3x ⑵3（x－3）2=（x＋2）2＋7 六、设计简单练习题以理解一元二次方程的概念。 复习一元一次方程的概念和一般形式,为后面学习 一元二次方程的有关内容做好铺垫 例 1 把方程 3x(x-1)＝2(x 十 2)—4 先化成二元二次方程的一般形式，再写出它的二次 项系数、一次项系数、常数项
谈《一元二次方程》教学中数学思想的渗透
次 方 程 》 式方 程 等 基 础 上学 习 的 ， 这一 章里 隐含 分 在
着 许 多 重要 思 想 和 方 法 。在 教 学 过 程 中 若 能 将 这 些 数 解 决 实 际 问 题 。 因而 ， 是 问题 解 决 的重 要 方 面 。 ， 它 如 在 学 方 法和 思想 与教 学 内容 有 机 地 结 合 起 来 ，不仅 能使 应 用 题 中 ， 常 就 是 建 立 方 程 、 通 函数 模 型 来 解 决 。在 本
３２ ｍ ｃ
一 ０ ＋ １５ ０ ７ｘ １ ２ ＝ Ｘ＝ ５ｘ＝ ５ ４ （ 去） １２ ２４ ＞ ０舍 ・
当 日产 量 为 ２ 时 ． 日利 润 为 １５ ５只 每 ７ ０元 。
②设每日产量Ｘ只， 每日的利润为ｙ 元
２ －２ ０ ｘ ２ ｍ ０ｃ
由此 可 得 出 ｖ与 Ｘ 的 函 数 关 系 为 ：
根 据 题 意 有 ： ７ — ｘ ・一５０ ３ｘ＝ ７ ０ （ ０ ２ ）ｘ （ ＋ ０ ） １ ５ １ ０ 整 理得 ： 解 之得 ：
。 ． ．
与 纵 向 互 相 垂 直）把 耕 地 分 成 大 小 不等 的 ６块 作试 验 田 ． 使 试 验 田 占地 面 积 为 ５０ｍ２ 道 路 应 多 宽？ 要 ７ｃ 问
杂 问题 转 化 为简 单 问题 来 处理 。 未 知 问题 转化 为 已 知 将
① 当日产量为多少只时 ， 目的利润 为 １５ 每 ７０元？ ② 当日产量为多少只时 ， 可获得最 大利润 ， 最大利
问题 来 处 理 。 《 元 二次 方 程 》 转 化 ” 想像 一 条 红 在 一 中“ 思
ａ ｂ
解 ： ｘ Ｏ 时 ： 程 变 为 ｘ一 一 ＝ 当 ＞ 方 ２Ｘ ２ ０
初三数学一元二次方程的解法知识精讲
初三数学一元二次方程的解法知识精讲一元二次方程的解法一元二次方程是中学代数的重要内容。
同学们可以在中学的学习过程中逐步体会到相当的数学问题转化为方程后是二次方程。
并且最后归结为一元二次方程解决问题，而且一元二次方程是进一步学习其他方程、不等式、函数等的基础。
本讲主要介绍一元二次方程的基本解法。
方程ax bx c a 200++=≠()称为一元二次方程。
一元二次方程的基本解法有直接开平方法、配方法、公式法和因式分解法。
直接开平方法：对于形如a x m n a ()()+=≠20的方程，可利用平方根的定义，直接开平方。
()x m n a+=2 如果n a≥0，则x m n a x m n a +=±∴=-±， 如果n a<0，则方程无解。
对一般的一元二次方程，若想应用直接开平方法，需首先配方。
配方法：用配方法解一般形式的一元二次方程。
ax bx c a 200++=≠()首先，把方程的两边都除以二次项的系数a ，使二次项系数化为1，得x b a x c a20++= 其次移项，把常数项移到方程另一边x b a x c a2+=- 然后配方，在方程的两边同时加上一次项系数b a ⎛⎝ ⎫⎭⎪的一半的平方，得 x b a x b a c a b a 22222++⎛⎝ ⎫⎭⎪=-+⎛⎝ ⎫⎭⎪ ∴+⎛⎝ ⎫⎭⎪=-x b a b ac a 244222 最后，当b ac 240-≥时，开平方，得x b a b ac a +=±-24422x b a b ac a x b b ac ab ac =-±-=-±--≥2424240222() 公式法：利用求根公式x b b ac ab ac =-±--≥224240()解一元二次方程的方法叫做公式法。
使用公式法，在确定a 、b 、c 的值时，一定要先将方程化为一般形式，并注意符号，另外只有在b ac 240-≥时方可使用公式。
九上数学公式法解一元二次方程
九上数学公式法解一元二次方程一元二次方程是数学中的一种常见形式，它的一般形式为a某²+b某+c=0，其中a，b，c均为已知系数，且a≠0。
求解一元二次方程的一种常见方法是公式法。
公式法的核心思想是利用求根公式来求解方程的解。
对于一元二次方程a某²+b某+c=0，我们可以利用求根公式来求得其解。
求根公式为：某 = (-b ± √(b² - 4ac)) / 2a其中，±表示两个解，分别对应加号和减号，√表示平方根。
具体求解步骤如下：1.将方程化为标准形式：a某²+b某+c=0。
2. 判断方程的解的情况：通过计算判别式Δ = b² - 4ac的值来判断方程的解的情况。
a)如果Δ>0，则方程有两个不相等的实数解。
b)如果Δ=0，则方程有两个相等的实数解。
c)如果Δ<0，则方程无实数解，但可能有复数解。
3.根据判别式的情况来求解方程的解：a)当Δ>0时，方程的两个实数解分别为某₁=(-b+√Δ)/2a和某₂=(-b-√Δ)/2a。
b)当Δ=0时，方程的两个实数解相等，均为某=-b/2a。
c)当Δ<0时，方程无实数解，但可以使用复数解的形式来表示。
在实际应用中，公式法可以帮助我们快速求解一元二次方程的解。
除了直接应用求根公式，我们还可以利用公式法来解决一些相关问题，如求解方程根的范围、判断方程是否有解等。
总结起来，公式法是一种有效的求解一元二次方程的方法，它通过利用求根公式来求解方程的解，具有简单、直观的特点。
在解题过程中，我们需要注意判别式的值以及了解方程解的情况，从而选择合适的求解方式。
公式法解一元二次方程
公式法的局限性
对字母敏感
公式法中的参数都是字母，因此对字母的取值和性质比较敏 感，需要注意使用条件。
计算复杂
由于公式法需要进行开方和分母有理化等复杂的计算，因此 使用起来比较繁琐。
公式法的证明
• 数学归纳法：可以通过数学归纳法来证明公式法的正确性，证明过程比较复杂，需要一定的数学基础。
04
公式法的证明方法
THANKS
谢谢您的观看
解方程
解方程是找出能使方程左右两边相等的未知数的值的过程。 对于一元二次方程，常用的解法有直接开平方法和公式法。
背景知识
一元二次方程的应用广泛，如几何作图、物理模型、经济学 模型等。
直接开平方法和公式法是解一元二次方程的两种基本方法。 直接开平方法是通过将方程化简为一元一次方程来求解，而 公式法则通过将方程化为一元一次方程再求解。
一元二次方程的公式法解 法
xx年xx月xx日
目 录
• 公式法的定义和背景 • 一元二次方程的一般形式和系数 • 公式法的解法及应用 • 公式法的证明方法 • 公式法的拓展 • 公式法的误差分析 • 应用实例和数学建模
01
公式法的定义和背景
数学概念
方程
方程是用来表示两个量相等的数学式子，其中含有未知数。 一元二次方程是指只含有一个未知数，且未知数的最高次
一元二次方程的一般形式
• ax² + bx + c = 0，其中a、b、c为常数，且a≠0
一元二次方程的系数
一次项系数b：表示 x的线性影响
常数项c：表示常数 项
二次项系数a：表示 x²的二次影响
03
公式法的解法及应用
公式法的推导
推导过程
根据一元二次方程的定义，将方程进行配方并化简，得到公式法的推导过程 。
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例说一元二次方程中的数学思想方法
作者：丁建生
来源：《初中生世界·九年级》2015年第10期
数学思想方法是学习的重点，也是解题的关键.《一元二次方程》中蕴含着许多思想方法，现举例说明.
一.转化思想
转化就是将复杂的、陌生的、未知的问题转变为简单的、熟悉的、已知的问题，使得问题顺利解决.
例1. 已知关于x的方程x -3x+m=0的一个根是-1，求m及另一个根.
分析：-1是方程的根，由根的定义，-1就满足了方程. 故将-1代入后，就转化为关于m的一元一次方程.
解：∵-1是方程x -3x+m=0的根
∴（-1） -3（-1）+m=0 ∴m=-4
把m=-4代入方程得 x -3x-4=0 解此方程得 x=-1， 4 故另一根是4.
反思：用方程根的定义，问题就转变成了m的方程；当求出m后，方程就具体化了，问题又转变成了解一元二次方程。
当然求另一根时，还可用根与系数关系-1+x =3，此时问题就变成了解简单的一元一次方程.事实上，数学学习中解决问题的过程就是不断将问题转化的过程.
二.分类讨论
分类讨论就是根据问题中的对象的差异，分别对各种不同的情况予以分析，从而将“大”问题分解为几个“小”问题去解决.
例2.已知关于x的方程x -2（k-1）x+k =0有两个实数根x 、x
（1）求k的取值范围
（2）若︱x +x ︱=x x -1，求k的值
解析：（1）由题意得△≥0
即[-2（k-1）] -4k ≥0，解得k≤
（2）解法一依题意 x +x =2（k-1）， x x =k
以下分两种情况讨论
①当x +x ≥0时，则有x +x = x x -1
即2（k-1）= k -1 解得k =k =1
∵ k≤ ∴k =k =1不合题意，舍去
②当x +x
即 -2（k-1）= k -1 解得 k =1，k = -3
∵ k≤ ∴ k = -3
综合①②可得 k=-3
解法二：依题意 x +x =2（k-1）
由（1）可知k≤
∴2（k-1）
∴ -2（k-1）= k -1
解得 k =1，k = -3
∵ k≤ ∴ k = -3
反思：本题（2）的解法一中为了去掉绝对值符号，需对绝对值号里面的式子的值的“+、-”进行讨论。
若对题目“已知方程
kx -（2k+1）x+k-1=0有实数根，求k的取值范围”，则需对k=0或k≠0的两种情况进行讨论.
三.整体思想
整体思想就是指从问题整体性质出发，发现问题的整体结构特征，把某些式子或图形看成整体，使问题得到有目的的整体处理.
例3.（1）已知a、b是方程x2-x-3=0的两个根，则代数式2a3+b2+3a2-11a-b+5的值是多少？
（2）若x1、x2是一元二次方程x2+2x-6=0的两根，求x1 +x2 的值.
分析：如果直接求a、b或x1、x 的值，将其代入所求式子，则很繁琐。
若根据方程根的定义和根与系数的关系进行整体代入，就方便些.
解：（1）∵a、b是方程x2-x-3=0的两个根，∴a -a-3=0 b -b-3=0
∴ a -a=3 b -b=3 及a =a+3
∴2a3+b2+3a2-11a-b+5=2a·a +3a2-11a+
（b2 –b）+5=2a （a+3） +3a2-11a+3+5
=5（a -a）+8=23
（2）∵ x1、x2是 x2+2x-6=0的两根
∴x +x =-2 x x =-6
∴ x1 +x =（x +x ） -2x x
=（-2） -2·（-6）=4+12+16
反思：对问题（1）的条件也可改为x- =1，其本质是一样的.但用它可迅速求出类似x + 等式子的值。
对问题（2）我们可继续x +x 等式子的值.
四.方程思想
方程思想就是从问题的数量关系入手，将问题中的条件转化为方程问题，然后通过解方程（组）来使问题获解.
例4.（1）若关于x的一元二次方程x2-6x-m=0有两个相等实根，则m=
（2）已知关于x的一元二次方程x +（m-1）x-2m +m=0（m为实数）
有两个实数根x 、x
①当m为何值时，x ≠x ②若x +x =2，求m的值.
解：（1）∵方程x2-6x- m=0有两个相等实根∴△=（-6） +4m=0
∴m=-9
（2）①由x ≠x ，得方程有两个不等实根，所以△>0
∴△=（m-1） -4（-2m +m）=（3m-1） >0
∴ m≠
②∵x +x =-（m-1）. x x =-2m +m x +x =2
∴（x +x ） -2 x x
=[-（m-1）] -2（-2m +m）=2
即 5m -4m-1=0 ∴m = - m =1
反思：两个等式△=0 ，x +x =2是建立方程的依据.所以，寻找并充分运用问题中的相等关系是方程思想的关键.
五.建模思想
数学建模就是构造数学模型的过程.是将实际问题抽象成数学问题，再继续将其变为方程、函数、不等式等问题.
例5 某工厂生产的某种产品按质量分为10个档次，第1档次（最低档次）的产品一天能生产95件，每件利润6元. 每提高一个档次，每件利润增加2元，但一天产量减少5件.
（1）若生产第x档次的产品一天的总利润为y元（其中x为正整数，且1≤x≤10），求出y关于x的函数关系式.
（2）若生产第x档次的产品一天的利润为1120元，求该产品的质量档次.
解析：（1）因为第1档次的产品一天能生产95件，每件利润6元.每提高一个档次，每件利润增加2元，但一天产量减少5件. 所以第x档次时，实际提高了x-1档，所以
y=[6+2（x-1）][95-5（x-1）]
即y=-10x +180x+400
（其中x是正整数，且1≤x≤10）
（2）由题意可得 -10x +180x+400=1120
整理得x -18x+72=0
所以 x =6 x =12（舍去）
反思：本题的背景是一个实际问题.在（1）中，根据条件，理清数量关系，建立了档次x 与利润y间的函数模型；在（2）中，由利润的具体数值，形成了等量关系，建立了方程模型.建立模型的关键就是分析问题、转化问题，最终解决问题.
（作者单位：南师大第二附属初级中学）。