第五章拉姆的半经典激光理论

考虑线性近似
⎛ μ En ⎞ (ω − ωn ) + iγ ⊥ Pn ( t ) = − ⎜ D ⎟μ 2 2 ⎝ ⎠ ( ω − ωn ) + γ ⊥
ωn + φn = Ω n + σ n
σ n ≡ F1L (ω − ωn )(ω − ωn ) / γ ⊥ ,
频率牵引
考虑线性近似和三阶近似
Pn ( t ) = Pn (1) ( t ) + Pn (3) ( t )
光强
I n (t ) = I n (0)e −2κ nt
′ = 2κ n = κn
ωn
Qn
, κn =
ωn
2Qn
频率
ωn = Ωn
（2）对线性介质 ′ + iχn ′′) En Pn = ε 0 χ n En = ε 0 ( χ n 将此极化强度代入场方程 1 ωn 1 ′′En En + En = − ωn χn 2 Qn 2 1 ′ ωn + φn = Ωn − ωn χn 2 d 1 2 ′′) En 2 ( En ) = −( + χ n dt Qn 吸收介质
两个模式都振荡 其中
I1 =
α1′′ / β1
1− C
, I2 =
α 2′′ / β 2
1− C
.
α2 ′′ α1 = α1 − θ12
β2 α α 2′′ = α 2 − 1 θ 21 β1
C=
模1的有效增益系数 模2的有效增益系数 耦合系数，表示两个 模间耦合的强弱
θ12θ 21 β1β 2
C >1 C <1 C =1
2
5.3 单模激光器
拉姆的场方程
1 ωn Im ( Pn ) , En + κ n En = − 2 ε0 1 ωn 1 Re ( Pn ) , ωn + φn = Ωn − 2 ε 0 En
⎛ μ En ⎞ (ω − ωn ) + iγ ⊥ 2 L U n ( x ) D0 Pn ( t ) = − ⎜ dx. ⎟μ 2 ∫ 2 ⎝ ⎠ (ω − ωn ) + γ ⊥ L 0 1 + R ( x ) / Rs 线性近似 2 ⎛ μ En ⎞ (ω − ωn ) + iγ ⊥ 2 L Pn ( t ) = − ⎜ U n ( x ) D0 ( x)dx. ⎟μ 2 ∫ 2 ⎝ ⎠ ( ω − ωn ) + γ ⊥ L 0
Rs = γ aγ b /(γ a + γ b )
2 γ⊥ 1 ⎛ μ En ⎞ R≡ ⎜ ⎟ Un ( x) 2 2 2⎝ ⎠ ω ω γ − + ( ) n ⊥ 2
驻波
空间烧孔效应
ρ ab ( x, t ) = − i
ρ aa − ρbb 1 μ En − + i ω t φ U x exp ⎡ ⎤ ( n n )⎦ n ( ) ⎣ i ( ω − ωn ) + γ ⊥ 2 =
双模激光器无量纲光强的方程 I1 = 2 I1 (α1 − β1 I1 − θ12 I 2 ) , I = 2 I (α − β I − θ I ) .
2 2 2 2 2 21 1
稳态下
I1 = I2 = 0
α1 − β1 I1 − θ12 I 2 = 0 α 2 − β 2 I 2 − θ 21 I1 = 0
对双模激光器
强耦合 弱耦合 中间耦合
稳态解和稳定性条件
I1
0 0
I2
0
稳定性条件
α1 < 0, α 2 < 0 α1′′ < 0, α 2 > 0
′′ < 0 α1 > 0, α 2
α2 β2
0
α1 β1
α1′′ / β1
1− C
α 2′′ / β 2
1− C
′′ > 0 C < 1, α1′′ > 0, α 2
aa = 0 ρ bb = 0 ρ
aa = λa − γ a ρ aa − R ( ρ aa − ρbb ) = 0 ρ bb = λb − γ b ρbb + R ( ρ aa − ρbb ) = 0 ρ
解得 其中
d0 d = ( ρ aa − ρbb ) = R 1+ Rs
d 0 = ( ρ aa − ρbb )0 = λa / γ a − λb / γ b
aa = λa − γ a ρ aa − ( i= −1Vab ρ ba + c.c.) , ρ bb = λb − γ b ρ bb + ( i= −1Vab ρ ba + c.c.) . ρ
考虑第n个模的作用
1 Vab ( x, t ) = − μ En ( t ) exp ⎡ −i ( ω n t + φ n ) ⎤ Un ( x) ⎣ ⎦ 2 考虑绝热近似 κ << γ , γ , γ
R≡ ⎜ 2⎝ 1 ⎛ μ En ⎞
2
⎟ Un ( x) ⎠
2
2
γ⊥ 2 2 (ω − ω n ) + γ ⊥
2 1 1 ⎛ μ En ⎞ = ⎜ L ( ω − ωn ) , ⎟ Un ( x) γ⊥ 2⎝ ⎠
γ ⊥2 L ( ω − ωn ) = 2 2 ω − ω + γ ( ) ⊥ n 考虑绝热近似
2 2 2 2 2 21 1
稳态下 两个模式都不振荡 只有一个模式振荡
I1 = I2 = 0
I1 = 0, I 2 = 0.
α2 I1 = 0, I 2 = . β2
I1 =
α1 I1 = , I 2 = 0. β1
α 2′′ / β 2
1− C .
两个模式都振荡
α1′′ / β1
1− C
, I2 =
2
其中
⎛ μ En ⎞ (ω − ωn ) + iγ ⊥ Pn ( t ) = − ⎜ D ⎟μ 2 2 ⎝ ⎠ ( ω − ωn ) + γ ⊥ 1 L D = ∫ D0 ( x)dx L 0
线性近似时
+ κ E = − 1 ωn Im ( P ) E n n n n 2 ε0
得到
=α E E n n n
第五章 拉姆的半经典激光理论
5.1 激光器的场方程
用n标记，并考虑非共振情况
+ (+) ( + ) iωn En = ( −iΩ n − κ n ) En + Pn ( ) , 2ε 0
En ( ) = En e − iωn t − iφn ,
+
Pn ( + ) = Pn e − iωn t − iφn ,
⊥
a
b
ab e−iω t ρab = ρ =0 ρ ab
n
ρ aa − ρbb 1 μ En ρ ab ( x, t ) = − i Un ( x) exp ⎡ −i (ωnt + φn ) ⎤ ⎣ ⎦ i ( ω − ωn ) + γ ⊥ 2 =
aa = λa − γ a ρ aa − R ( ρ aa − ρbb ) ρ bb = λb − γ b ρbb + R ( ρ aa − ρbb ) , ρ
ω − ωn ) + iγ ⊥ ( ⎛ μ En ⎞ = −⎜ ⎟ μD 2 ⎝ ⎠ ( ω − ωn ) + γ ⊥ 2
⎡ 3 ⎤ γ abγ ⊥ I n ⎢1 − ⎥ 2 2 ⎢ ⎣ 2 ( ω − ωn ) + γ ⊥ ⎥ ⎦
ω n + φn = Ω n + σ n − ρ n I n ,
其中
σ n ≡ F1L (ω − ωn )(ω − ωn ) / γ ⊥ , ρ n ≡ F3L2 (ω − ωn )(ω − ωn ) / γ ⊥ ,
σn
− ρn I n
频率牵引 频率推移
5.4 双模激光器
考虑到三阶近似后的双模激光器场方程
2 ′ E2 E1 = E1 (α1 − β1′E12 − θ12 ), 2 ′ E2 ′ E12 ) . − θ 21 E2 = E2 (α 2 − β 2
得到
2 L * Pn ( x ) = 2 N ′μ exp ⎡ ⎣ i ( ω n t + φn ) ⎤ ⎦ L ∫0 U n ρ ab ( x, t ) dx
将原子偶极矩代入
⎛ μ En ⎞ (ω − ωn ) + iγ ⊥ 2 L U n ( x ) D0 Pn ( t ) = − ⎜ dx. ⎟μ 2 ∫ 2 ⎝ ⎠ (ω − ωn ) + γ ⊥ L 0 1 + R ( x ) / Rs
光强
χ ′′ > 0
χ ′′ < 0 放大介质
光强被放大或者吸收的临界条件
1 ′′ = −χn Qn
频率
= Ω − ω χ′ ωn + φ n n n n ′ ωn = Ωn − ωn χn 1 2
1 2
1 ′ 模的振荡频率相对于腔的本征模式的频率有牵移量 − ωn χn 2 对比空腔和有介质时，光场场模的波长由腔的几何长度决定
ω − ωn ) + iγ ⊥ ( ⎛ μ En ⎞ = −⎜ ⎟ μD 2 ⎝ ⎠ ( ω − ωn ) + γ ⊥ 2
⎡ 3 ⎤ γ abγ ⊥ I n ⎢1 − ⎥ 2 2 ⎢ ⎣ 2 ( ω − ωn ) + γ ⊥ ⎥ ⎦
其中
γ ab = (γ a + γ b )
1 ⎛ μ En ⎞
2
1 2
其中
α1 , α 2
′ β1′, β 2
′ , θ 21 ′ θ12
线性增益 自饱和系数 交叉饱和系数
将场方程写成无量纲光强的方程
I1 = 2 I1 (α1 − β1 I1 − θ12 I 2 ) , I = 2 I (α − β I − θ I ) .
2 2 2 2 2 21 1
双模激光器无量纲光强的方程 I1 = 2 I1 (α1 − β1 I1 − θ12 I 2 ) , I = 2 I (α − β I − θ I ) .
d0 d = ( ρ aa − ρbb ) = R 1+ Rs
进而可求得原子偶极矩
d0 1 μ En 1 ρ ab ( x, t ) = − i −i (ωnt + φn ) ⎤ Un ( x) exp ⎡ ⎣ ⎦ 2 = i ( ω − ωn ) + γ ⊥ 1 + R Rs
均匀加宽介质的极化强度
其中
γ⊥ 1 ωn 1 ωn μ 2 + D αn = − 2 Qn 2 ε 0 = (ω − ωn )2 + γ ⊥2
得到阈值
共振时
1 ε 0= (ω − ωn )2 + γ ⊥2 Dt = γ⊥ Qn μ 2 1 ε 0= Dt′ = γ⊥ 2 Qn μ
三阶近似
Pn ( t ) = Pn (1) ( t ) + Pn (3) ( t )
L=q 空腔 有介质时 介质折射率 对于气体介质
λq
2Biblioteka Baidu
λ = 2π c / Ω λ = 2π v / ω
′) ηn = Ωn /(Ωn − ωn χn ′ ηn 1 + χ n 1 2 1 2
5.2 增益介质的宏观极化强度的计算
布洛赫方程 ρ ab = − ( iω + γ ⊥ ) ρ ab + i= −1Vab ( x, t )( ρ aa − ρbb ) ,
In ≡ ⎜ 2⎝
⎟ ⎠ γ aγ b
1
代入场方程，得到 En = En (α n − β n I n ) 其中
1 α n = F1L (ω − ω n ) − ω n / Qn , 2 β n = F3L2 (ω − ω n ) , 1 ωn μ 2 F1 = D, 2 ε0 γ ⊥ ⎛ 3 γ ab ⎞ F3 = ⎜ ⎟ F1 , ⎝ 2 γ⊥ ⎠ L (ω − ω n ) ≡
拉姆的场方程
1 ωn Im ( Pn ) , En + κ n En = − 2 ε0 1 ωn 1 Re ( Pn ) , ωn + φn = Ωn − 2 ε 0 En
对场方程的讨论 （1）空腔，无激活介质 Pn = 0
+κ E = 0 E n n n =Ω ω +φ
n n n
(ω − ω )
n
2 γ⊥
2
2 +γ⊥
.
稳态光强
En = En (α n − β n I n ) = 0
α n L (ω − ωn ) − ( Dt′ / D) In = = β n 3 (γ / γ )L2 ω − ω ( ⊥ ab n)
2
均匀加宽的激光器的 光强与频率的关系
拉姆的场方程
1 ωn Im ( Pn ) , En + κ n En = − 2 ε0 1 ωn 1 ωn + φn = Ωn − Re ( Pn ) , 2 ε 0 En
* ⎤ P ( x, t ) = N ′μ ⎡ ρ x , t ρ + ( ) ab ( x, t ) ⎦ ⎣ ab
将极化强度对驻波模式展开
1 P ( x, t ) = ∑ Pn ( t ) exp ⎡ −i ( ω n t + φn ) ⎤ U n ( x ) + c.c. ⎣ ⎦ 2 n
* ⎤ ρ x t ρ , = N ′μ ⎡ + ( ) ab ( x, t ) ⎦ . ⎣ ab