第二节中心极限定理(概率论与数理统计)
中心极限定理
N −120 −120 N −120 ≈Φ −Φ ≈Φ 48 48 48
N −120 由 Φ : ≥ 0.999, 48
N−120 − 查正态分布函数表得: Φ 查正态分布函数表得 (3.1) = 0.999, 故 , ： ≥ 3.1
: ,由 而 X = ∑Xk ,由 理可 随 变 : 定 , 知 机 量
k=1 近 地 似
400
概率论
X
400
~ N(400×1.1,400×0.19)
k
∑X
有 即 :
k=1
−400×1.1
400 0.19
X −400×0.8近似地 01 ) = ~ N（ ， 400 0.19
X −400×0.8 450−400×0.8 是 于 :P{X > 450 = P } > 400 0.19 400 0.19 X −400×0.8 =1− P ≤1.147 400 0.19
一 学 无 长 1名 长 2名 长 参 会 的 率 别 : 设 个 生 家 、 家 、 家 来 加 议 概 分 为 0.05、 、 若 校 有 名 生 0.8 0.15. 学 共 400 学 , 各 生 加 议 家 数 互 立 服 同 分 . 设 学 参 会 的 长 相 独 ,且 从 一 布
1 ） 参 会 的 长 X 过 的 率 （ 求 加 议 家 数 超 450 概 ； （ 求 1 家 来 加 议 学 数 多 的 率 2 ） 有 名 长 参 会 的 生 不 340 概 .
2) 独 同 布 心 限 理 另 种 式 写 : 立 分 中 极 定 的 一 形 可 为
似 近 地 似 σ2 X −µ 近 地 1 n 中 ~ N(0,1); X ~ Nµ, n , 其 X = n∑Xk . σ n k=1
概率论与数理统计：中心极限定理
中心极限定理无论随机变量12,,,,n X X X 服从什么分布，当n 充分大时，其和的极限分布是正态分布，这就是我们今天要讲的中心极限定理。
定理 5.5（独立同分布中心极限定理）设随机变量12,,,,n X X X 相互独立,服从同一分布,且具有数学期望和方差2(),()0,i i E X D X μσ==>1,2,i =,则随机变量之和1ni i X =∑的标准化变量nin Xn Y μ-=∑的分布函数()n F x 对于任意X 满足2/2lim ()lim d ()n i x t n n n X n F x P x t x μΦ-→∞→∞⎧⎫-⎪⎪⎪=≤==⎬⎪⎪⎩⎭∑⎰定理 5.5表明,对于均值为,μ方差为20σ>的独立同分布的随机变量的和1ni i X =∑的标准化随机变量,不论12,,,,n X X X 服从什么分布,当n 充分大时,都有~(0,1)nin Xn Y N μ-=∑近似,从而,当n 充分大时21~(,)nii XN n n μσ=∑近似.定理5.5′ 设随机变量列12,,,,n X X X 相互独立,服从同一分布,且具有数学期望和方差2(),()0,i i E X D X μσ==>1,2,i =,令11nn i i X X n ==∑,则当n 充分大时~(0,1)N 近似,即2~(,/)n X N n μσ近似.例5.3 一盒同型号螺丝钉共有100个,已知该型号的螺丝钉的重量是一个随机变量,期望值是100 g,标准差是10 g,求一盒螺丝钉的重量超过10.2 kg 的概率.解 设i X 为第i 个螺丝钉的重量,,100,,2,1 =i Y 为一盒螺丝钉的重量,则1001,i i Y X ==∑12100,,,X X X 相互独立,由()100,i E X=10,σ= 100n =知()100()10 000,i E X E X =⨯=()100()10 000,i D X D X =⨯=由独立同分布中心极限定理,~(10000,10000)Y N 近似,{}{10 200}110 200P Y P Y >=-≤10 00010 20010 0001100100Y P --⎧⎫=-≤⎨⎬⎩⎭1(2)10.977 20.022 8.Φ≈-=-=定理5.6（李雅普诺夫定理）设随机变量 ,,,,21n X X X 相互独立,它们具有数学期望和方差2(),()0,1,2,k k k kE X D X k μσ==>=，记.122∑==nk k nB σ若存在正数δ,使得当∞→n 时,,0}|{|1122→-∑=++nk k knXE B δδμ则随机变量之和∑=n k k X 1的标准化变量nnk kn k kn k k n k k nk k n B X X D X E X Z ∑∑∑∑∑=====-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=11111μ的分布函数)(x F n 对于任意x ,满足2/211lim ()lim d ().n nk k x t k k n n n n X F x P x t x B μΦ-==→∞→∞⎧⎫-⎪⎪⎪⎪=≤==⎨⎬⎪⎪⎪⎪⎩⎭∑∑⎰ 定理5.7（棣莫佛—拉普拉斯定理）设随机变量(1,2,)~(,)(01),n n b n p p η=<<则对任意x ,有22lim d ().t x n P x t x Φ--∞→∞⎧⎫⎪≤==⎬⎪⎭⎰证明 由于n η可视为n 个相互独立、服从同一参数p 的(01)-分布的随机变量12,,,n X X X 的和,即有1nn i i X η==∑,其中(),()(1),i i E X p D X p p ==-1,2,i =,故由独立同分布中心极限定理可得22lim lim d ().n i n n t xX np P x P x t x Φ→∞→∞-⎧⎫-⎪⎪⎧⎫⎪⎪≤=≤⎬⎬⎪⎪⎭⎪⎭==∑⎰, 定理5.7表明:若随机变量n η服从二项分布，即~(,)n b n p η，则当n 充分大时,有~(0,1)npN η-近似,从而,当n 充分大时~(,(1))n N np np p η-近似例5.4 假如某保险公司开设人寿保险业务，该保险有1万人购买（每人一份），每人每年付100元保险费,若被保险人在年度内死亡, 保险公司赔付其家属1万元.设一年内一个人死亡的概率为0.005试问:在此项业务中保险公司亏本的概率有多大？保险公司每年利润不少于10万的概率是多少？解 设X 表示一年内被保险人的死亡人数，则,~(10000,0.005)X b ,于是()100000.00550,()100000.0050.99549.75E X D X =⨯==⨯⨯=由棣莫佛—拉普拉斯定理,~(50,49.75)X N 近似.保险公司亏本,也就是赔偿金额大于10 000100100⨯=万元,即死亡人数大于100人的概率所以保险公司亏本的概率为(){100}1{100}117.050P X P X P Φ>=-≤=-≈-= 这说明,保险公司亏本的概率几乎是零.如果保险公司每年的利润不少于10万元,即赔偿人数不超过90人，则保险公司每年利润不少于10万的概率为(){90} 5.671P X ≤≈Φ≈Φ=.可见,保险公司每年利润不少于10万元的概率几乎是100%.。
概率与数理统计 第五章-2-中心极限定理
14 14
2
/ 10
1
P
X
n 14 0.2
0
1 (0) 0.5.
例2 计算机在进行数字计算时，遵从四 舍五入原则。为简单计，现在对小数点后面
第一位进行舍入运算，则舍入误差X可以认 为服从[－0.5 , 0.5]上的均匀分布。若独立进 行了100次数字计算，求平均误差落在区间
3 20
在这里，我们只介绍其中两个最基本 的结论。
1. 当n无限增大时，独立同分布随机变量“之 和”的极限分布是正态分布；
2. 当n 很大时，二项分布可用正态分布近似。
为方便，我们研究 n 个随机变量之和标 准化的随机变量
n
n
Xk E( Xk )
Yn k 1
k 1 n
D( Xk )
k 1
的极限分布。
(3) (3) 0.9973
2. 二项分布的极限分布
定理2.2 (棣莫佛——拉普拉斯定理):
设随机变量X1, X2, …, Xn, … 相互独立，
并且都 服从参数为 p 的两点分布(0<p<1) ，则
对任意 x∈(-∞,+∞)，有 E(Xi ) p.
n
lim
P
i 1
Xi
np
x
n
i1
i1
lim
P
i
1
Xi
n
x
x
1
-t2
e 2 dt
(x) ，
n n
- 2
其中Φ(x)是标准正态分布N(0, 1)的分布函数。
n
lim
P
i 1
Xi
n
x
x
n n-1Fra bibliotek- t2
概率论与数理统计_20_中心极限定理
练习2解答（续）
方法二：把二项分布看成多个独立 同分布的1-0分布之和，再根据中心 极限定理用标准正态分布近似计算
练习2解答（续2）
方法二续
小结：当n很大时，二项分布 B(n,p)可看成是很多独立同分布 的1-0分布之和，从而可以用正 态分布的CDF连续函数来近似原 来二项分布的CDF（离散值）。 用Mathematica作图来对比，这 个近似很优秀。
k 1 n
练习1解答
练习2
某车间有200台车床，它们独立地工作着，开工 率为0.6,开工时耗电各为1千瓦，问供电所至少要 供给这个车间多少电力才能以99.9%的概率保证 这个车间不会因供电不足而影响生产？
练习2求。
……
用Mathematica可求得 r_min = 141
n
讨论Yn的极限分布是否为标准 正态分布
独立同分布的中心极限定理 设 X1,, X n , 是独立同分布的随机变量序 列，且 EX k ，DX k 2 0, (k 1,2,) 则 { X n } 服从中心极限定理，即：
lim P{
X
k 1
n
k
n x}
n
n
则 { X n } 服从中心极限定理，即：
lim P{
X
k 1 k k 1
n
n
k
n
DX k
k 1
n
1 x} 2
e
x
t2 2
dt
中心极限定理是概率论中最著名的结果之一， 它不仅提供了计算独立随机变量之和的近似概率的 简单方法，而且有助于解释为什么很多自然群体的 经验频率呈现出钟形曲线这一值得注意的事实.
概率论与数理统计
中心极限定理
EX np DX np(1 p ) npq
当n =1时，即为0－1分布的期望和方差。
实验背景：n重伯努利试验
独立重复试验的特征： 1、每次试验都在相同条件下进行； 2、每次试验的结果是相互独立的； 3、每次试验有有限个确定的结果； 4、每次试验的结果发生的概率相同； 如果试验共进行n次，称为n重独立重复试验.
一次试验中事件A出现的次数。
在n重贝努利试验中， 若令Xi表示第i次试验中事件A发生的次数， 则 X i 服从0-1分布.
若令X表示n次试验中事件A发生的总次数， n 则X服从二项分布，即 X ~ B(n, p). 且 X X i .
i 1
另一方面，由于 X1 , X 2 , X n 独立同分布， 由独立同分布中心极限定理知，当n充分大时， 近似地有 X ~ N (np, np(1 p))
Sn np k np l np k Sn l np(1 p) np(1 p) np(1 p)
利用中心极限定理可知，当n比较大时，近 似的有 Sn np
np(1 p) ~ N (0,1)
所以
k np P (k Sn l ) P np(1 p) S n np np(1 p) l np np(1 p)
自从高斯指出测量误差服从正态分布 之后，人们发现，正态分布在自然界中 极为常见.
观察表明，如果一个量是由大量相 互独立的随机因素的影响所造成，而每 一个别因素在总影响中所起的作用不大 . 则这种量一般都服从或近似服从正态 分布.
高斯
(1777—1855) 德国
随机向量
6
这仅仅是经验之谈呢，还是确有理论依据呢？ 对于这样一个重要问题，在长达两个世纪内一直成 为概率论研究的中心问题。数学家们经过卓越的工 作建立了一系列定理，解决了这一问题. 这一类定理都叫做中心极限定理。
第五章 中心极限及大数定理《概率论与数理统计》西南交大峨眉校区剖析
A 在每次试验中发生的概率为 p ，则对任意正数 ，有
lim
n
P(
fn (A)
p
)
1，
即 fn ( A) P p P(A) （ n ）。
（5.3）
伯努利大数定理说明，在 n 时，随机事件 A 发 生 的 频 率 fn ( A) 依 概 率 收 敛 于 事 件 A 发 生 的 概 率
P(8 Y
2) P( Y EY
5) P( Y EY
5)
1
DY 52
1 8 17 25 25
例 3：进行 100 次重复独立试验，事件 A 在每次试验中发生的概率为 0.5 ，试利用切比雪夫 不等式估计 100 次试验中事件 A 发生的次数在 40 至 60 次之间的概率。
解：设随机变量 X 表示 100 次重复独立试验中事件 A 发生的次数，则 X ～ B(100, 0.5) ，
2．依概率收敛
定义 1：设 X1, , Xn, 是一个随机变量序列，如果对于任意的正数 ，
事件 Xn a 的概率当 n 时趋于 1，即
lim P
n
Xn a
1
则称随机变量序列Xn 当 n 时依概率收敛于数 a ，
记为 X n P a （ n ）。
二、大数定理
大数定理是由“频率稳定于概率”这个概率的统计定义引申而来， 它叙述在什么条件下随机变量序列的算术平均值收敛于其均值的 算术平均值。 所谓“大数”，就是指涉及大量数目的观测，它表明定理中所指 的现象，只有在大量次数的试验和观测之下才能成立
，试验证随机变量序列 X1,
, Xn,
满足
概率论与数理统计§中心极限定理
• 引言 • 中心极限定理的基本概念 • 中心极限定理的证明 • 中心极限定理的应用 • 中心极限定理的扩展与推广 • 案例分析与实践应用 • 总结与展望
01
引言
主题简介
中心极限定理是概率论与数理统计中的重要概念，它描述了在独立同分布的随机 变量序列下，无论这些随机变量的分布是什么，它们的平均值的分布将趋近于正 态分布。
03
中心极限定理的证明
证明方法概述
方法一：基于特征函数的 证明
方法二：基于概率密度函 数的证明
ABCD
通过对特征函数的性质进 行分析，利用泰勒展开和 收敛性质，证明中心极限 定理。
通过分析概率密度函数的 性质，利用大数定律和收 敛定理，证明中心极限定 理。
重要极限公式
公式一： $lim_{{n to infty}} frac{S_n}{sqrt{n}} = N(0,1)$
中心极限定理的应用范围广泛，不仅限于金融、保险、医学等领域，还涉来研究的展望
01
随着大数据时代的到来，中心极限定理在处理大规模数据和复杂 随机现象方面的应用价值将更加凸显。未来研究可以进一步探索 如何优化中心极限定理的应用，提高其在实际问题中的适用性和 准确性。
02
随着数学和其他学科的交叉融合，中心极限定理与其他理 论或方法的结合应用将成为一个重要的研究方向。例如， 如何将中心极限定理与机器学习、人工智能等新兴技术相 结合，以解决更加复杂和具体的问题。
03
中心极限定理的理论基础和证明方法仍有进一步完善的空 间。未来研究可以深入探讨中心极限定理的数学原理，发 现新的证明方法和技巧，推动概率论与数理统计理论的进 一步发展。
07
总结与展望
中心极限定理【概率论与数理统计+浙江大学】
k 1
k 1
近似地
Zn ~ N (0,1)
2、随机变量X k 无论服从什么分布，只要满足
定理条件，随即变量之和
n
X
k，当n很大时，就近
k 1
似服从正态分布，这就是为什么正态分布在概率论
中所占的重要地位的一个基本原因.
定理3(棣莫佛－拉普拉斯（De Laplace定理）
设随机变量n(n=1,2,‥‥)服从参数n,p(0<p<1)
自从高斯指出测量误差服从正态 分布之后，人们发现，正态分布在 自然界中极为常见.
高斯
如果一个随机变量是由大量相互独立的随机因 素的综合影响所造成，而每一个别因素对这种综合 影响中所起的作用不大. 则这种随机变量一般都服 从或近似服从正态分布.
现在我们就来研究独立随机变量之和所特有 的规律性问题. 当n无限增大时，这个和的极限分布是什么呢？
P(Y>1920)=1-P(Y1920) 1- (1920 1600) 400
=1-(0.8) =1-0.7881=0.2119
例2解答：
（1)解：设应取球n次，0出现频率为
1 n
n k 1
Xk
E(
1 n
n k 1
Xk
)
0.1,
D(
1 n
n k 1
Xk
)
0.09 n
n
Xk
近似地
~
N
(n , n
2
)
;
k 1
n
X k n 近似地
k 1
n
~ N (0,1).
2、独立同分布中心极限定理的另一种形式可写为
近似地
西北工业大学《概率论与数理统计》4-2 中心极限定理
(
)
2⎞ ⎛ 1 σ ⎟ ⎜ X = ∑ X i ~ AN ⎜ µ , ⎟ n i =1 n ⎠ ⎝ 3° 定理4.6表明n个相互独立同分布的随机变量
的和近似服从正态分布.
例1 一加法器同时收到20个噪声电压Vk (k=1, 2,…, 20). 设它们是相互独立的随机变量,
且都在区间 (0， 10 )上服从均匀分布 , 记V =
下面的图形表明:正态分布是二项分布的逼近.
例3 某车间有200台机床,它们独立地工作着, 开工 开工率均为0.6, 开工时耗电均为1000W, 问供电所 至少要供给这个车间多少电力才能以99.9%的概率 保证这个车间不会因供电不足而影响生产. 解 设
⎧1, 第i台机床工作 Xi = ⎨ ⎩0, 第i台机床不工作
内容小结
独立同分布情形 独立同分布情形
⎧林德贝格 − 列维中心极限定理 ⎪ 独立不同分布情形 独立不同分布情形 ⎪ ⎪ ⎨李雅普诺夫定理 ⎪ 二项分布的正态近似 二项分布的正态近似 ⎪ ⎪ ⎩棣莫佛 − 拉普拉斯定理
中心极限定理
备用题
例1-1 设随机变量X1, X2,…, Xn相互独立, 且 Xi 在区间(−1, 1) 上服从均匀分布(i=1, 2,…, n), 试证 n 1 当 n充分大时, 随机变量 Z n = ∑ X 2 近似服从 i n i =1 正态分布并指出其分布参数. 证 记 Yi = X i2 , ( i = 1,2, , n) E ( Yi ) = E ( X i2 ) = D( X i )
注 1° 定理4.7是独立不同分布情形的中心极限 定理, 该定理表明: 当n充分大时, 有
∗ Yn ~ AN (0, 1)
而
n ⎛ n ⎞ 2 ⎟ µ , σ ∑ X i ~ AN ⎜ ∑ ∑ i i ⎟ ⎜ ⎝ i =1 i =1 ⎠ i =1 n
概率论与数理统计第5章第2节
P(940 X 1060 )
用正态分布近似计算
由中心极限定理,
1000, 5000 X ~ N 6
近似
1000, 5000 X ~ N 6 1 X P(940 X 1060 ) P 0.01 6000 6 1060 1000 940 1000 5000 6 5000 6
1 令 Xi 0
第i位顾客选择了甲 i 1,2 2000 否则
1 令 Xi 0
第i位顾客选择了甲 否则
1 X i ~ (0 1)分布 P( X i 1) P ( X i 0) 2 1 即 X i ~ B (1, ) 诸Xi独立同分布,
2
设 Y Xi
由题给条件知，诸Xi独立同分布，
E(Xi)=100,
D(Xi)=10000
16 k 1
16只元件的寿命的总和为 Y X k
解: 设第i只元件的寿命为Xi , i=1,2, …,16 诸Xi独立同分布, E(Xi)=100,D(Xi)=10000 16 16只元件的寿命的总和为 Y X
分析： 求的是100个独立且均服从均匀分布的 随机变量和的概率分布问题 解： 设 X i 为第i段的误差 i=1,2,…100 由题给条件知,诸Xi独立同分布, 1 X i ~ U (1,1) 则 EXi 0, DX i
总误差Y X i
i 1 100
100 则 EY 0, DY 3
在概率论中，习惯于把和的分布收敛于正 态分布这一类定理都叫做中心极限定理. 我们只讨论几种简单情形. 下面给出的独立同分布随机变量序列 的中心极限定理, 也称列维一林德伯格 （Levy－Lindberg）定理.
概率论与数理统计 6.2 中心极限定理
则X～B(n,0.005), 近似地，X ~ N(0.005n,0.005 0.995n)
PX 5 1 PX 5
1
P
X 0.005n
5 0.005n
0.005 0.995n 0.005 0.995n
1
5 0.005n 0.005 0.995n
0.005n 5
0.005
近似地，X ~ N(10000 0.005,10000 0.0050.995)
即 X ~ N(50,49.75), 设死亡人数超过k人的概率小于0.003,
PX k 1 PX k
1
P
X
50
49.75
k 50 49.75
1
k 50 49.75
0.003
k 50 49.75
( x)
2
n
Xi n
定理表明，n足够大时，r.v. i1
近似服从N (0,1)，
n
注意到E n X i n, D n X i n 2 ,
i1
i1
n
从而 X i近似服从 N (n , n 2 ). i 1
中心极限定理是概率论中最重要的一类极限定理，此定 理告诉我们，在一定条件下，相互独立的随机变量之和在个 数很多时近似服从正态分布，揭示了为什么正态分布是最
P( i1 n/3
3n) 2( 3n ) 1
(2)当n 36, 1时， 所求概率为
6
P(
1 36
36 i 1
Xi
a
1) 2(1.732) 1 0.92 6
(3)要求n， 使得
P(
1 n
n i 1
Xi
a
) 2(
3n ) 1 0.95
02-5.2中心极限定理
第五章大数定律和中心极限定理第二节中心极限定理【学习目标】1、了解中心极限定理产生的背景、条件和意义；2、理解和掌握两个中心极限定理的条件和结论、计算方法、应用及近似计算.【学习重点】要求了解几个主要大数定律的条件和结论，并会用于判断（包括数理统计中参数估计量的一致性）和计算。
掌握几个主要的中心极限定理，并会利用中心极限定理求简单的独立同分布变量和的近似分布，以及应用题中概率的近似计算。
在上述极限定理基础上，了解频率稳定性的含义和根据，以及正态分布的特别重要性。
【学习难点】1、理解两个中心极限定理的条件和结论；2、掌握两个中心极限定理的应用和计算.【学习任务清单】一、课前导学1、让学生在了解大数定律的基础上，了解中心极限定理产生的背景.2、如何理解中心极限定理产生的条件和怎样掌握中心极限定理的应用？二、学习视频第二十八讲中心极限定理视频1：二中心极限定理产生的背景和定义1.1 中心极限定理产生的背景（0分23秒）在自然界很多随机变量的分布都服从或者近似服从正态分布.1.2 举例：步枪射击问题来介绍中心极限定理的背景（2分19秒）例题1：步枪射击问题（一个变量由很多微小的误差和的影响引起）.1.3 给出中心极限定理的定义（8分55秒）视频2：服从中心极限定理的条件2.1提出问题：服从中心极限定理的条件是什么呢？（0分20秒）给出一个例子说明，随机变量只具有独立性、存在均值和方差是不够的。
视频3：独立同分布中心极限定理3.1独立同分布中心极限定理（0分10秒）在视频2的疑惑中，提出满足中心极限定理的一个条件：独立同分布中心极限定理。
视频4：棣莫弗—拉普拉斯中心极限定理4.1 给出棣莫弗—拉普拉斯中心极限定理的结论（0分24秒）它是独立同分布中心极限定理的一个特例4.2 对棣莫弗—拉普拉斯中心极限定理的证明（2分33秒）在二项分布的背景下利用独立同分布中心极限定理证明结论。
视频5：中心极限定理的意义视频6：中心极限定理的应用6.1：二项分布和正态分布的关系（0分40秒）离散分布（二项分布）和连续分布（正态分布）之间的关系6.2：从例题上理解二项分布和正态分布的关系（1分32秒）6.3：高尔顿板试验（4分57秒）高尔顿板试验最后落下的小球会呈现中间高两头低的形状对高尔顿板试验的解释（6分40秒）利用中心极限定理对实验结果进行解释视频7：利用中心极限定理进行近似计算7.1 中心极限定理对概率的近似计算非常有用（0分2秒）7.2 例题1：电话交换机问题（0分27秒）三、随堂测试（见慕课每一讲最后一节）四、讨论区和慕课堂上在线提问交流五、线下辅助教学1、课后作业2、QQ群在线答疑。
概率论与数理统计课件：极限定理
n
n k 1
1 n
P
即 X k
n k 1
极限定理
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1 n
1 n
1 n
证： E ( X k ) E ( X k )
n k 1
n k 1
n k 1
1 n
1
D( X k ) 2
n k 1
n
n
1
1 2
2
D ( X k ) 2 n
极限定理
第一节 大数定律
第二节 中心极限定理
极限定理
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第一节 大数定律
一、问题的背景
二、随机变量序列的收敛性
三、常用的大数定律
极限定理
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§5.1
大数定律
5.1.1 问题的背景
在实践中，人们发现，在随机现象的大量重复
出现中，往往呈现出必然的规律性. 即，要从随机现
象中去寻求规律，应该在相同的条件下观察大量重
就会得到
σ= −
~ ,
即独立同分布随机变量的算术平均近似地服从正态
分布，这是大样本统计推断的理论基础。
极限定理
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例2 已知某高校的在校学生数服从泊松分布，期望
为100.现开设一门公共选修课，按规定，选课人数超过
120人（含120人）就需分两个班授课，否则就一个班上
=1−
24
=0.0228
24
= 0.9772 = 2
∴ =12
84 − 72
60 − 72
60 ≤ ≤ 84 =
概率论与数理统计 五大数定理
,
i
1,2, , n, .
设Yn
Xi,
i 1
n
n
则： E Yn
i , D Yn
2 i
sn2 .
i 1
i 1
Zn
Yn
Yn
EYn DYn
1 sn
n i1
Xi
n i 1
i
1 n
sn i1
Xi i ,
则有：E(Zn ) 0, D( Zn ) 1.
11
林德伯格定理:
显然， 当n 时，P(Bn ) 1.
[注] 小概率事件尽管在个别试验中不可能发生，但在大量试验
中几乎必然发生。 10
第二节 中心极限定理
概率论中有关论证随机变量的和的极限分布是正态分布的定
理叫做中心极限定理。
设
X1
,
X
, , X , 是独立随机变量，并各有
2
n
n
EX i
i ,
DX i
2 i
的频率作为事件 A 的概率近似值时, 误差小于0.01的概率.
解
设事件A 在每次试验中发生的概率为 p，
在这10000次试验
中发生了X 次, 因此，所求事件的概率为
则 EX np 10000 p, DX 10000 p1 p,
P
X 10000
p
0.01 P
X 10000 p
100
P X EX 100 1 DX 1002
DX n
1 n2
nK
K n
由此，
当 n 充分大时，
随机变量
也就是说，
X 的值较紧密地聚集在它的数学期望 n
分散程度是很小的，
Xn
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,k P ( X k ) p 1 p 1 , 2 , i
(几何分布)
1 1 p E ( X ) 3 ,D ( X ) 2 6 i i p pp p 1 / 3 1 / 3
X , X , , X 相互独立, X X k 1 2 100
由此解得
n5 1 0 5
定理7: (李雅普诺夫定理)设随机变量X1 ,X2 ,…,Xn ,…相
互独立,它们具有数学期望和方差:
E (X k) k D (X 0 ( k 1 ,2 ,...) k)
2 k
设 B , 若存 在 , 使 正 得 n 数 时 当 ,
的分布函数 F (x ) 对于任意 x ,满足 n
n
2 t x 2
1 1 lim F ( x ) lim P { ( X ) x } edt n k k n n B 2 k 1 n
例6 某保险公司有10000个同龄又同阶层的人参加人寿 保险，已知该类人在一年内死亡的概率为0.006，每 个参加保险的人在年初付12元保险费，而在死亡时 家属可向公司领得1000元。问在此项业务活动中： (1) 保险公司亏本的概率是多少？
dt
例4 某车间有200台车床，每台独立工作， 开工率为0.6. 开工时每台耗电量为 r 千瓦. 问供 电所至少要供给这个车间多少电力, 才能以 99.9% 的概率保证这个车间不会因 供电不足而影响生产？
解 设至少要供给这个车间 a 千瓦的电力， X 为开工的车床数 , 则 X ~ B(200,0.6) ,
k
或近似服从正态分布.
对此现象还 可举个有趣 的例子—— 高尔顿钉板 试验—— 加 以说明.
N(0, n )
n—
钉子层数
3
0
3
例1 炮火轰击敌方防御工事 100 次, 每次 轰击命中的炮弹数服从同一分布, 其数学 期望为 2 , 均方差为1.5. 若各次轰击命中 的炮弹数是相互独立的, 求100 次轰击
k 1
100
E ( X ) 300 ,D ( X ) 600
由独立同分布中心极限定理, 有
X ~ N ( 300 , 600 )( 近似 )
320 300 280 30 P ( 280 X 320 ) 600 60
Xk
P
10 0.5
20 0.5
E ( X ) 15 ,D ( X ) 25 k k
X , X , , X 相互独立同分布, X X k 1 2 1900
k 1 1900
E (X ) 1900 15 28500 D (X ) 1900 25 47500
近似
X~N ( 28500 , 47500 )
5.2 中心极限定理
定理5: (独立同分布的中心极限定理)设随机变量 X1 ,X2 ,…,Xn ,…相互独立,服从同一分布,且具有数学 期望和方差，E(Xk)=, D(Xk)= 20( k=1,2,…).则随 机变量
k 1 Y n
X E(X ) X n
k k 1 k
n
n
n
D ( X k)
{X120 } P{X>120}=1- P
X 60 120 60 1 P { } 59 . 64 59 . 64
1 ( 7 . 7693 ) 0
X 60 80 60 P { X 80 } P { } ( 2 . 5898 ) 0 . 995 59 . 64 59 . 64
由德莫佛—拉普拉斯中心极限定理, 有
X ~ N (120, 48) (近似)
问题转化为求 a , 使 P ( 0 rX a ) 99 . 9 %
a / r 120 0 120 P ( 0 rX a ) 48 48
例2 设每次试验中，事件 A 发生的概率为 0.75, 试用 中心极限定理估计, n 多大
时, 才能在 n 次独立重复试验中, 事件 A 出
现的频率在0.74 ~ 0.76 之间的概率大于 0.90? 解 设 X 表示 n 次独立重复试验中事件 A
发生的次数 , 则
X ~ B(n,0.75)
E ( X ) 0 . 75 n , D ( X ) 0 . 1875 n
200 200 0 20 (2) P ( 0 X 200 ) 15 15
( 0 ) ( 13 . 33 ) 0 . 5
例2 售报员在报摊上卖报, 已知每个过路 人在报摊上买报的概率为1/3. 令X 是出售 了100份报时过路人的数目，求 P (280 X 320). 解 令Xi 为售出了第 i – 1 份报纸后到售出 第i 份报纸时的过路人数, i = 1,2,…,100
20 2 0 . 8165 1 0 . 587 2 1 600
例3 检验员逐个检查某产品,每查一个需 用10秒钟. 但有的产品需重复检查一次， 再用去10秒钟. 若产品需重复检查的概率 为 0.5, 求检验员在 8 小时内检查的产品多 于1900个的概率. 解 若在 8 小时内检查的产品多于1900个, 即检查1900个产品所用的时间小于 8 小时. 设 X 为检查1900 个产品所用的时间(秒) 设 Xk 为检查第 k 个产品所用的时间 (单位：秒), k = 1,2,…,1900
解 设 X 表示6000粒种子中的良种数 , 则 X ~ B( 6000 , 1/6 )
由德莫佛—拉普拉斯中心极限定理, 近似 5000 有 X~N 1000 , 6
X 1 X 100 60 P 0 .01 P 6 6000
1060 1000 940 1000 6 5000 6 5000
0 . 9162
(n1 ,2 ,...) 定理6: (德莫佛-拉普拉斯定理)设随机变量 n
服从参数为 n , p(0<p<1) 的二项分布，则对于任意 x,有
np 1 n lim P { x } e n np ( 1 p ) 2
2 t x 2
P ( 10 1900 X 3600 8 ) p ( 19000 X 28800 )
28800 28500 19000 2850 47500 47500
1 . 376 43 . 589
中心极限定理
X 1 P 0 . 01 0 . 962 6 6000
Poisson 分布
X 1 P 0 . 01 0 . 937 6 6000
X 1 0 . 01 0 . 768 Chebyshev 不等式 P 6 6000
100 k 1
X X ,E ( X ) 200 ,D ( X ) 225 , k
由独立同分布中心极限定理, 有
X ~N ( 200 , 225 )
近似
180 200 (1) P ( X 180 ) 1 15
1 ( 1 . 3 ) ( 1 . 3 ) 0 . 91
60 60 6 6 5000 5000
60 2 1 0 . 9624 6 5000
比较几个近似计算的结果
X 1 0 . 01 0 . 959 二项分布(精确结果) P 6 6000
k 1
n
k1
k
n
的分布函数Fn(x) , 对于任意x ,有
n X n x t2 k 1 2 k 1 lim F ( x ) lim P x e dt n n n n 2
中心极限定理的意义
2 n k 1 2 n
n
1 n 2 lim E { X } 0 k k 2 n B 1 n k
k 1 则随机变量 Z n
X E ( X) X
k k 1 k
n
n
n
n
D ( X k)
k 1
n
1 k
k
k 1
k
B n
(1) 至少命中180发炮弹的概率; (2) 命中的炮弹数不到200发的概率.
解 设 X k 表示第 k 次轰击命中的炮弹数
X , X , , X 相互独立， 1 2 100
2 E ( X ) 2 , D ( X ) 1 . 5 , k 1 , 2 , , 10 k k
设 X 表示100次轰击命中的炮弹数, 则
X 0 . 7 5 n 0 . 0 1 P n . 1 8 7 5 n 0 . 1 8 7 5 0
. 0 1 0 2 n 1 0 . 9 0 . 1 8 7 5 0
0 .0 1 由此可得 n0 .9 5 .1 8 7 5 0 0.01 查表可得 n 1.65 0.1875
a/ r 120 48
(17.32) 0
反查标准正态函数分布表，得
3 . 09 99 . 9 %
令
a 120 r 3.09 48
解得
a ( 3 . 09 48 120 ) r 141 r (千瓦)
例5 设有一批种子，其中良种占1/6. 试估计在任选的6000粒种子中，良种 比例与 1/6 比较上下不超过1%的概率.