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高三基础知识天天练数学选修4-1-1人教版

选修4-1 第1节一、选择题1．若三角形三边上的高分别为a 、b 、c ，这三边长分别为6、4、3，则a ∶b ∶c ＝( )A ．1∶2∶3B ．6∶4∶3C ．2∶3∶4D ．3∶4∶6解析：由三角形面积公式： 12×6a ＝12×4b ＝12×3c ， ∴6a ＝4b ＝3c ，设3c ＝k ，则a ＝k 6，b ＝k 4，c ＝k 3，∴a ∶b ∶c ＝k 6∶k 4∶k32∶3∶4.答案：C2．如下图，DE ∥BC ，DF ∥AC ，AD ＝4 cm ，BD ＝8 cm ，DE ＝5 cm ，则线段BF 的长为( )A ．5 cmB ．8 cmC ．9 cmD ．10 cm解析：∵DE ∥BC ，DF ∥AC ， ∴四边形DECF 是平行四边形， ∴FC ＝DE ＝5 cm ， ∵DF ∥AC ，∴BF FC ＝BD DA，即BF 5＝84，∴BF ＝10 cm. 答案：D3．Rt △ABC 中，∠CAB ＝90°，AD ⊥BC 于D ，AB ∶AC ＝3∶2，则CD ∶BD ＝( )A ．3∶2B ．2∶3C ．9∶4D ．4∶9解析：由△ABD ∽△CBA 得AB 2＝BD ·BC ，由△ADC ∽△BAC 得AC 2＝DC ·BC ， ∴CD ·BC BD ·BC ＝AC 2AB 2＝49，即CD ∶BD ＝4∶9. 答案：D4．已知：如右图，正方形ABCD 的边长为4，P 为AB 上的点，且AP ∶PB ＝1∶3，PQ ⊥PC ，则PQ 的长为( )A ．1 B.54 C.32D. 2解析：∵PQ ⊥PC ，∴∠APQ ＋∠BPC ＝90°， ∴∠APQ ＝∠BCP ，∴Rt △APQ ∽Rt △PBC ， ∴AP BC ＝AQBP. ∵AB ＝4，AP ∶PB ＝1∶3，∴PB ＝3，AP ＝1， ∴AQ ＝AP ·BP BC ＝1×34＝34， ∴PQ ＝AQ 2＋AP 2＝916＋1＝54. 答案：B5．已知矩形ABCD ，R 、P 分别在边CD 、BC 上，E 、F 分别为AP 、PR 的中点，当P 在BC 上由B 向C 运动时，点R 在CD 上固定不变，设BP ＝x ，EF ＝y ，那么下列结论中正确的是( )A ．y 是x 的增函数B ．y 是x 的减函数C ．y 随x 的增大先增大再减小D ．无论x 怎样变化，y 为常数解析：∵E 、F 分别为AP 、PR 中点，∴EF 是△P AR 的中位线，∴EF ＝12AR ，∵R 固定，∴AR 是常数，即y 为常数．答案：D6．如右图所示，矩形ABCD 中，AB ＝12，AD ＝10，将此矩形折叠使点B 落在AD 边的中点E 处，则折痕FG 的长为( )A ．13 B.635 C.656D.636解析：过A 作AH ∥FG 交DG 于H ，则四边形AFGH 为平行四边形．∴AH ＝FG . ∵折叠后B 点与E 点重合，折痕为FG ， ∴B 与E 关于FG 对称．∴BE ⊥FG ，∴BE ⊥AH . ∴∠ABE ＝∠DAH ，∴Rt △ABE ∽Rt △DAH . ∴BE AB ＝AH AD. ∵AB ＝12，AD ＝10，AE ＝12AD ＝5，∴BE ＝122＋52＝13， ∴FG ＝AH ＝BE ·AD AB ＝656.答案：C 二、填空题7．在Rt △ABC 中，CD 、CE 分别是斜边AB 上的高和中线，设该图中共有x 个三角形与△ABC 相似，则x ＝________.解析：2个，△ACD 和△CBD . 答案：28．在△ABC 中，D ，E 分别为AB ，AC 上的点，且DE ∥BC ，△ADE 的面积是2 cm 2，梯形DBCE 的面积为6 cm 2，则DE ∶BC 的值为________．解析：△ADE ∽△ABC ，利用面积比等于相似比的平方可得答案．答案：1∶29．如右图，在直角梯形ABCD 中，上底AD ＝3，下底BC ＝33，与两底垂直的腰AB ＝6，在AB 上选取一点P ，使△PAD 和△PBC 相似，这样的点P 有________个．解析：设AP ＝x ，(1)若△ADP ∽△BPC ，则AD BP ＝APBC，即36－x ＝x 33，所以x 2－6x ＋9＝0，解得x ＝3. (2)若△ADP ∽△BCP ，则AD BC ＝APBP ，即333＝x 6－x ，解得x ＝32，所以符合条件的点P 有两个．答案：两三、解答题10．如右图，BD 、CE 分别是△ABC 的两边上的高，过D 作DG ⊥BC 于G ，分别交CE 及BA 的延长线于F 、H .求证：(1)DG 2＝BG ·CG ； (2)BG ·CG ＝GF ·GH .证明：(1)DG 为Rt △BCD 斜边上的高， ∴由射影定理得DG 2＝BG ·CG . (2)∵DG ⊥BC ，∴∠ABC ＋∠H ＝90°， ∵CE ⊥AB ，∴∠ABC ＋∠ECB ＝90°， ∴∠ABC ＋∠H ＝∠ABC ＋∠ECB ， ∴∠H ＝∠ECB .又∵∠HGB ＝∠FGC ＝90°， ∴Rt △HBG ∽Rt △CFG ， ∴BG GF ＝GHGC，∴BG ·CG ＝GF ·GH . 11．如右图，正方形ABCD 中，AB ＝2，P 是BC 边上与B 、C 不重合的任意一点，DQ ⊥AP 于Q .(1)试证明△DQA ∽△ABP ；(2)当点P 在BC 上变动时，线段DQ 也随之变化，设PA ＝x ，DQ ＝y ，求y 与x 之间的函数关系式．解：(1)∵DQ ⊥AP ，∴∠DQA ＝90°， ∠DAQ ＋∠ADQ ＝90°，又∵∠DAQ ＋∠BAP ＝90°， ∴∠BAP ＝∠QDA . ∴△DQA ∽△ABP .(2)∵△DQA ∽△ABP ，∴DA AP ＝DQ AB，∴DQ ＝DA ·AB PA ，即y ＝4x. 12．有一块直角三角形木板，如右图所示，∠C ＝90°，AB ＝5 cm ，BC ＝3 cm ，AC ＝4 cm.根据需要，要把它加工成一个面积最大的正方形木板，设计一个方案，应怎样裁才能使正方形木板面积最大，并求出这个正方形木板的边长．解：如图(1)所示，设正方形DEFG 的边长为x cm ，过点C 作CM ⊥AB 于M ，交DE 于N ，因为S △ABC ＝12AC ·BC ＝12AB ·CM ，所以AC ·BC ＝AB ·CM ，即3×4＝5·CM .所以CM ＝125. 因为DE ∥AB ，所以△CDE ∽△CAB . 所以CN CM ＝DE AB ，即125－x125＝x 5.所以x ＝6037.如图(2)所示，设正方形CDEF 的边长为y cm ，因为EF ∥AC ，所以△BEF ∽△BCA . 所以BF BC ＝EF AC ，即3－y 3＝y 4.所以y ＝127. 因为x ＝6037，y ＝127＝6035，所以x <y . 所以当按图(2)的方法裁剪时，正方形面积最大，其边长为127cm.。

基础知识天天练2-5. 数学数学doc

第2模块第5节[知能演练]一、选择题1．当0<a <1时，函数①y ＝a |x |与函数②y ＝log a |x |在区间(－∞，0)上的单调性为( ) A ．都是增函数 B ．都是减函数C ．①是增函数，②是减函数D ．①是减函数，②是增函数解析：①②均为偶函数，且0<a <1，x >0时，y ＝a |x |为减函数，y ＝log a |x |为减函数，当x <0时，①②均是增函数．答案：A2．函数f (x )＝a x ＋log a x 在区间[1,2]上的最大值与最小值之和为－14，最大值与最小值之积为－38，则a 等于( )A ．2B.12 C ．2或12D.23解析：a x 与log a x 具有相同的单调性，最大值与最小值在区间的端点处取得，f (1)＋f (2)＝－14，f (1)·f (2)＝－38，解得a ＝12，选B.答案：B3．已知函数f (x )＝lg(x ＋1)，用h (t )替换x ，那么不改变函数f (x )的值域的替换是( ) A ．h (t )＝t 2 B ．h (t )＝2t －2 C ．h (t )＝sin tD ．h (t )＝1t解析：原函数f (x )＝lg(x ＋1)的值域是R ，用h (t )替换x 后，要使f (x )的值域不变，应使h (t )＋1能够取遍所有正数，只有h (t )＝2t －2符合题意，故选B.答案：B4．设a >1，若对于任意的x ∈[a,2a ]，都有y ∈[a ，a 2]满足方程log a x ＋log a y ＝3，这时a 的取值的集合为( )A ．{a |1<a ≤2}B ．{a |a ≥2}C ．{a |2≤a ≤3}D ．{2,3}解析：由log a x ＋log a y ＝3，得log a (xy )＝3，即y ＝a 3x ，∵a >1且x >0，∴y ＝a 3x在x ∈[a,2a ]上单调递减，∴y max ＝f (a )＝a 3a ＝a 2，y min ＝f (2a )＝a 32a ＝a 22，由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧a 22≥a ，a >1得a ≥2.故选B.答案：B 二、填空题5．函数y ＝log 3(x 2－2x )的单调减区间是________．解析：令u ＝x 2－2x ，则y ＝log 3u .∵y ＝log 3u 是增函数，u ＝x 2－2x >0的减区间是 (－∞，0)，∴y ＝log 3(x 2－2x )的减区间是(－∞，0)．答案：(－∞，0)6．已知f (3x )＝4x log 23＋233，则f (2)＋f (4)＋f (8)＋…＋f (28)的值等于________．解析：令3x ＝t ，∴x ＝log 3t ， ∴f (t )＝4log 23·log 3t ＋233，即f (t )＝4log 2t ＋233， ∴f (2)＋f (4)＋f (8)＋…＋f (28)＝4(log 22＋log 24＋log 28＋…＋log 228)＋8×233 ＝4·log 22·22·23…28＋8×233 ＝4·log 2236＋1864. ＝4×36＋1864＝2008. 答案：2008 三、解答题7．对于正实数a ，函数y ＝x ＋a x 在(34，＋∞)上为增函数，求函数f (x )＝log a (3x 2－4x )的单调递减区间．解：∵y ＝x ＋a x 在(34，＋∞)上为增函数，∴34<x 1<x 2时y 1<y 2，即x 1＋a x 1－x 2－a x 2＝(x 1－x 2)(x 1x 2－a )x 1x 2<0⇒x 1x 2－a >0⇒a <x 1x 2，∴a ≤916恒成立，f (x )＝log a (3x 2－4x )的定义域为(－∞，0)∪(43，＋∞)，而0<a ≤916<1，∴f (x )与g (x )＝3x 2－4x 在(－∞，0)，(43，＋∞)上的单调性相反，∴f (x )的单调递减区间为(43，＋∞)．8．已知函数f (x )＝log 4(4x ＋1)＋kx (k ∈R )是偶函数． (1)求k 的值；(2)设g (x )＝log 4(a ·2x －43a )，若函数f (x )与g (x )的图象有且只有一个公共点，求实数a 的取值范围．解：(1)由函数f (x )是偶函数可知：f (x )＝f (－x )， ∴log 4(4x ＋1)＋kx ＝log 4(4－x ＋1)－kx ，log 44x ＋14－x ＋1＝－2kx ，即x ＝－2kx 对一切x ∈R 恒成立， ∴k ＝－12.(2)函数f (x )与g (x )的图象有且只有一个公共点，即方程log 4(4x ＋1)－12x ＝log 4(a ·2x －43a )有且只有一个实根，化简得：方程2x ＋12x ＝a ·2x －43a 有且只有一个实根，令t ＝2x >0，则方程(a －1)t 2－43at －1＝0有且只有一个正根，①a ＝1⇒t ＝－34，不合题意；②Δ＝0⇒a ＝34或－3，若a ＝34⇒t ＝－2，不合题意；若a ＝－3⇒t ＝12；③一个正根与一个负根，即－1a －1<0⇒a >1. 综上：实数a 的取值范围是{－3}∪(1，＋∞)．[高考·模拟·预测]1．若函数y ＝f (x )是函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)的反函数，其图象经过点(a ，a )，则f (x )＝( )A ．log 2x B.12x C ．log 12xD ．x 2解析：由题意f (x )＝log a x ，∴a ＝log a a 12＝12，∴f (x )＝log 12x .故选C.答案：C2．若不等式x 2－x ≤0的解集为M ，函数f (x )＝ln(1－|x |)的定义域为N ，则M ∩N 为( )A ．[0,1)B ．(0,1)C ．[0,1]D ．(－1,0]解析：由题意得M ＝[0,1]，N ＝(－1,1)，则M ∩N ＝[0,1)．故选A. 答案：A3．设a ＝log 3π，b ＝log 23，c ＝log 32，则( )A ．a >b >cB ．a >c >bC ．b >a >cD ．b >c >a解析：a ＝log 3π>1，b ＝log 23＝12log 23∈(12，1)，c ＝log 32＝12log 32∈(0，12)，故有a >b >c .答案：A4．若log 2a <0，(12)b >1，则( )A ．a >1，b >0B ．a >1，b <0C ．0<a <1，b >0D ．0<a <1，b <0解析：由log 2a <0⇒0<a <1，由(12)b >1⇒b <0，故选D.答案：D5．已知：f (x )＝lg(a x －b x )(a >1>b >0)． (1)求f (x )的定义域；(2)判断f (x )在其定义域内的单调性；(3)若f (x )在(1，＋∞)内恒为正，试比较a －b 与1的大小．解：(1)由a x －b x >0， ∴(a b )x >1.∵ab >1，∴x >0， ∴f (x )的定义域为(0，＋∞)． (2)设x 2>x 1>0，∵a >1>b >0， ∴a x 2>a x 1，b x 1>b x 2，－b x 2>－b x 1， ∴a x 2－b x 2>a x 1－b x 1>0，∴ax 2－bx 2ax 1－bx 1>1，∴f (x 2)－f (x 1)>0，∴f (x )在(0，＋∞)内是增函数．(3)当x ∈(1，＋∞)时，f (x )>f (1)，要使f (x )>0，须f (1)≥0，∴a －b ≥1.[备选精题]6．已知f (x )＝log a x ，g (x )＝2log a (2x ＋t －2)(a >0，a ≠1，t ∈R )． (1)当t ＝4，x ∈[1,2]，且F (x )＝g (x )－f (x )有最小值2时，求a 的值； (2)当0<a <1，x ∈[1,2]时，有f (x )≥g (x )恒成立，求实数t 的取值范围．解：(1)当t ＝4时，F (x )＝g (x )－f (x )＝log a (2x ＋2)2x ，x ∈[1,2]，令h (x )＝(2x ＋2)2x ＝4(x ＋1x＋2)，x ∈[1,2]，设u ＝x ＋1x ，x ∈[1,2]作出u (x )的图象可知u (x )＝x ＋1x 在[1,2]上为单调增函数．∴h (x )在[1,2]上是单调增函数， ∴h (x )min ＝16，h (x )max ＝18. 当0<a <1时，有F (x )min ＝log a 18，令log a 18＝2，求得a ＝32>1(舍去)；当a >1时，有F (x )min ＝log a 16，令log a 16＝2，求得a ＝4>1.∴a ＝4.(2)当0<a <1，x ∈[1,2]时，有f (x )≥g (x )恒成立，即当0<a <1，x ∈[1,2]时， log a x ≥2log a (2x ＋t －2)恒成立，由log a x ≥2log a (2x ＋t －2)可得 log a x ≥log a (2x ＋t －2)，∴x ≤2x ＋t －2，∴t ≥－2x ＋x ＋2. 设u (x )＝－2x ＋x ＋2＝－2(x )2＋x ＋2 ＝－2(x －14)2＋178，∵x ∈[1,2]，∴x ∈[1，2]．∴u (x )max ＝u (1)＝1. ∴实数t 的取值范围为t ≥1.。

基础知识天天练数学选修4-1-2

选修4-1 第2节[知能演练]一、填空题1．一平面截球面产生的截面形状是________；它截圆柱面所产生的截面形状是________．答案：圆圆或椭圆2．如下图所示，圆O 的直径AB ＝6，C 为圆周上一点，BC ＝3，过C 作圆的切线l ，过A 作l 的垂线AD ，垂足为D ，则∠DAC ＝________.解析：由弦切角定理，可知∠DCA ＝∠B ＝60°，又AD ⊥l ，故∠DAC ＝30°. 答案：30°3．一个圆的两弦相交，一条弦被分为12 cm 和18 cm 两段，另一弦被分为3∶8，则另一弦的长为________．解析：设另一弦被分的两段长分别为3k,8k (k >0)，由相交弦定理，得3k ·8k ＝12×18，解得k ＝3，故所求弦长为3k ＋8k ＝11k ＝33 cm. 答案：33 cm4．已知P A 是圆O 的切线，切点为A ，P A ＝2，AC 是圆O 的直径，PC 与圆O 交于点B ，PB ＝1，则圆O 的半径R 的长为________．解析：如右图，连接AB ，∵P A 是⊙O 的切线， ∴∠P AB ＝∠C ，又∵∠APB ＝∠CP A ， ∴△P AB ∽△PCA ， ∴P A AC ＝PB AB ，即P A 2R ＝PBAB， ∴R ＝P A ·AB 2PB ＝2×22－122×1＝ 3.答案： 35．已知如下图，⊙O 和⊙O ′相交于A 、B 两点，过A 作两圆的切线分别交两圆于C 、D .若BC ＝2，BD ＝4，则AB 的长为________．解析：∵AC 、AD 分别是两圆的切线，∴∠C ＝∠2，，1＝∠D ， ∴△ACB ∽△DAB . ∴BC AB ＝ABBD， ∴AB 2＝BC ·BD ＝2×4＝8. ∴AB ＝8＝22(舍去负值)．答案：2 26．如右图，已知EB 是半圆O 的直径，A 是BE 延长线上一点，AC 切半圆O 于点D ，BC ⊥AC 于点C ，DF ⊥EB 于点F ，若BC ＝6，AC ＝8，则DF ＝________.解析：设圆的半径为r ，AD ＝x ，连接OD ，得OD ⊥AC ，故AD AC ＝OD BC ，即x 8＝r 6，故x ＝43r . 又由切割线定理得AD 2＝AE ·AB ，即169r 2＝(10－2r )×10，故r ＝154. 由射影定理知DF ＝3. 答案：3 二、解答题7．如下图，已知AP 是⊙O 的切线，P 为切点，AC 是⊙O 的割线，与⊙O 交于B ，C 两点，圆心O 在∠P AC 的内部，点M 是BC 的中点．(1)证明：A ，P ，O ，M 四点共圆；(2)求∠OAM ＋∠APM 的大小．(1)证明：连结OP ，OM ，因为AP 与⊙O 相切于点P ，所以OP ⊥AP .因为M 是⊙O 中弦BC 的中点，所以OM ⊥BC .于是∠OP A ＋∠OMA ＝180°，由圆心O 在∠P AC 的内部，可知四边形APOM 的对角互补，所以A ，P ，O ，M 四点共圆．(2)解：由(1)，得A ，P ，O ，M 四点共圆，所以∠OAM ＝∠OPM .由(1)，得OP ⊥AP .由圆心O 在∠P AC 的内部，可知∠OPM ＋∠APM ＝90°，所以∠OAM ＋∠APM ＝90°. 8．如右图，梯形ABCD 内接于⊙O ，AD ∥BC ，过B 引⊙O 的切线分别交DA 、CA 的延长线于E 、F .(1)求证：AB 2＝AE ·BC .(2)已知BC ＝8，CD ＝5，AF ＝6，求EF 的长． (1)证明：因为BE 切⊙O 于B ，所以∠ABE ＝∠ACB .由于AD ∥BC ，所以∠BAE ＝∠ABC . 所以△EAB ∽△ABC . 所以AE AB ＝ABBC .故AB 2＝AE ·BC .(2)解：由(1)，知△EAB ∽△ABC ，所以BE AC ＝AB BC .又AE ∥BC ，所以EF AF ＝BE AC .所以AB BC ＝EFAF .又AD ∥BC ，所以AB ＝CD .所以AB ＝CD .所以58＝EF6.所以EF ＝308＝154.[高考·模拟·预测]1．如右图，已知P A 、PB 是圆O 的切线，A 、B 分别为切点，C 为圆O 上不与A 、B 重合的另一点，若∠ACB ＝120°，则∠APB ＝________.解析：连结OA 、OB ，∠P AO ＝∠PBO ＝90°， ∵∠ACB ＝120°，∴∠AOB ＝120°. 又P 、A 、O 、B 四点共圆，故∠APB ＝60°.答案：60°2．如右图，点P 在圆O 直径AB 的延长线上，且PB ＝OB ＝2，PC切圆O 于C 点，CD ⊥AB 于D 点，则CD ＝________.解析：由切割线定理知，PC 2＝P A ·PB ，解得PC ＝2 3.又OC ⊥PC ，故CD ＝PC ·OC PO ＝23×24＝ 3.答案： 33．如下图，圆O 和圆O ′相交于A 、B 两点，AC 是圆O ′的切线，AD 是圆O 的切线，若BC ＝2，AB ＝4，则BD ＝________.解析：易证△CBA ∽△ABD ，所以BC AB ＝ABBD ，BD ＝8.答案：84．如右图，点A ，B ，C 是圆O 上的点，且AB ＝4，∠ACB ＝45°，则圆O 的面积等于________．解析：根据同弧所对的圆心角是圆周角的2倍．知∠AOB ＝2∠ACB ＝90°，在Rt △OAB 中，得OA ＝22，即r ＝22，∴S ＝πr 2＝8π.答案：8π5．如右图，已知△ABC 中，AB ＝AC ，D 是△ABC 外接圆劣弧AC上的点(不与点A ，C 重合)，延长BD 到E .(1)求证：AD 的延长线平分∠CDE ；(2)若∠BAC ＝30°，△ABC 中BC 边上的高为2＋3，求△ABC 外接圆的面积．解：(1)如右图，设F 为AD 延长线上一点． ∵A 、B 、C 、D 四点共圆， ∴∠CDF ＝∠ABC .又AB ＝AC ，∴∠ABC ＝∠ACB ，且∠ADB ＝∠ACB ，∴∠ADB ＝∠CDF . 对顶角∠EDF ＝∠ADB ，故∠EDF ＝∠CDF ，即AD的延长线平分∠CDE.(2)设O为外接圆圆心，连结AO交BC于H，则AH⊥BC. 连结OC，由题意∠OAC＝∠OCA＝15°，∠ACB＝75°，∴∠OCH＝60°.设圆半径为r，则r＋32r＝2＋3，得r＝2，外接圆面积为4π.。

四年级上册数学计算天天练100题

四年级上册数学计算天天练100题【试卷】四年级上册数学计算天天练100题一、加法和减法计算题1. 15 + 7 = ________2. 38 - 19 = ________3. 54 + 28 = ________4. 73 - 29 = ________5. 93 + 17 = ________6. 62 - 37 = ________7. 84 + 29 = ________8. 47 - 16 = ________9. 68 + 36 = ________10. 81 - 43 = ________二、乘法和除法计算题11. 8 × 6 = ________12. 72 ÷ 9 = ________13. 5 × 7 = ________15. 9 × 9 = ________16. 81 ÷ 9 = ________17. 7 × 4 = ________18. 48 ÷ 6 = ________19. 6 × 8 = ________20. 72 ÷ 8 = ________三、加法和减法综合计算题21. 17 + 9 - 5 = ________22. 38 - 21 + 9 = ________23. 42 + 15 - 7 = ________24. 58 - 19 + 8 = ________25. 27 + 43 - 29 = ________26. 62 - 37 + 18 = ________27. 35 + 49 - 27 = ________28. 74 - 18 + 27 = ________29. 68 + 36 - 19 = ________30. 77 - 44 + 29 = ________四、乘法和除法综合计算题32. 72 ÷ 9 × 3 = ________33. 5 × 7 ÷ 5 = ________34. 63 ÷ 9 × 2 = ________35. 9 × 9 ÷ 3 = ________36. 81 ÷ 9 × 4 = ________37. 7 × 4 ÷ 2 = ________38. 48 ÷ 6 × 5 = ________39. 6 × 8 ÷ 8 = ________40. 72 ÷ 8 × 7 = ________五、综合计算题41. 8 × (7 + 3) = ________42. (6 + 2) × 9 = ________43. (5 + 3) ÷ 4 = ________44. (9 + 6) ÷ 3 = ________45. 7 × (4 + 2) = ________46. (8 + 2) ÷ 2 = ________47. 9 × (6 + 1) = ________48. (7 + 2) ÷ 3 = ________50. (8 + 3) ÷ 7 = ________六、找规律计算题51. 2 + 4 = ________52. 2 + 8 = ________53. 2 + 12 = ________54. 2 + 16 = ________55. 2 + 20 = ________56. 2 + 24 = ________57. 2 + 28 = ________58. 2 + 32 = ________59. 2 + 36 = ________60. 2 + 40 = ________七、填空计算题61 加法：9 + _______ = 4762 减法：_______ - 13 = 5963 加法：34 + _______ = 6564 减法：_______ - 29 = 5865 加法：19 + _______ = 8266 减法：_______ - 39 = 2867 加法：45 + _______ = 8368 减法：_______ - 23 = 4569 加法：56 + _______ = 9570 减法：_______ - 39 = 61八、解决问题71. 杨老师每天散步走了425米，周末两天她一共走了多少米？72. 电视一台需要550元，家长买了3台电视，一共需要花多少元？73. 哥哥每天读1/4小时的书，比妹妹多读了多少小时的书，如果哥哥读了5天？74. 阳台上一共放了15盆花，每盆花需要浇水500毫升，一共需要浇水多少升？75. 弟弟每天可以画10张画，他连续画3天，一共画了多少张画？九、填空计算题76. 569 - 246 = ________77. 843 + 257 = ________78. 673 × 3 = ________79. 936 ÷ 4 = ________80. 472 - 237 = ________十、填空计算题81. 468 + 567 = ________82. 738 - 468 = ________83. 527 × 2 = ________84. 864 ÷ 8 = ________85. 748 + 372 = ________86. 593 - 274 = ________87. 416 × 3 = ________88. 928 ÷ 4 = ________89. 369 + 951 = ________90. 827 - 588 = ________十一、思考题91. 按照千位、百位、个位的顺序排列，将 528、628 和 582 这三个数由小到大排序。

数学口算天天练：二年级下册(2800题)

小学数学计算练习 2024-10-28姓名：___________ 座号：__________ 情况：___________小学数学计算练习 2024-10-28姓名：___________ 座号：__________ 情况：___________小学数学计算练习 2024-10-28姓名：___________ 座号：__________ 情况：___________小学数学计算练习 2024-10-28姓名：___________ 座号：__________ 情况：___________小学数学计算练习 2024-10-28姓名：___________ 座号：__________ 情况：___________小学数学计算练习 2024-10-28姓名：___________ 座号：__________ 情况：___________小学数学计算练习 2024-10-28姓名：___________ 座号：__________ 情况：___________小学数学计算练习 2024-10-28姓名：___________ 座号：__________ 情况：___________小学数学计算练习 2024-10-28姓名：___________ 座号：__________ 情况：___________小学数学计算练习 2024-10-28姓名：___________ 座号：__________ 情况：___________小学数学计算练习 2024-10-28姓名：___________ 座号：__________ 情况：___________小学数学计算练习 2024-10-28姓名：___________ 座号：__________ 情况：___________小学数学计算练习 2024-10-28姓名：___________ 座号：__________ 情况：___________小学数学计算练习 2024-10-28姓名：___________ 座号：__________ 情况：___________小学数学计算练习 2024-10-28姓名：___________ 座号：__________ 情况：___________小学数学计算练习 2024-10-28姓名：___________ 座号：__________ 情况：___________小学数学计算练习 2024-10-28姓名：___________ 座号：__________ 情况：___________小学数学计算练习 2024-10-28姓名：___________ 座号：__________ 情况：___________小学数学计算练习 2024-10-28姓名：___________ 座号：__________ 情况：___________小学数学计算练习 2024-10-28姓名：___________ 座号：__________ 情况：___________小学数学计算练习 2024-10-28姓名：___________ 座号：__________ 情况：___________小学数学计算练习 2024-10-28姓名：___________ 座号：__________ 情况：___________小学数学计算练习 2024-10-28姓名：___________ 座号：__________ 情况：___________。

高三基础知识天天练3-3. 数学数学doc人教版

第3模块第3节[知能演练]一、选择题1．函数y ＝xsin x，x ∈(－π，0)∪(0，π)的图象可能是下列图象中的()解析：∵y ＝xsin x 是偶函数，排除A ，当x ＝2时，y ＝2sin2>2，排除D. 当x ＝π6时，y ＝π6sin π6＝π3>1，排除B.答案：C2．函数f (x )＝tan ωx (ω>0)图象的相邻的两支截直线y ＝π4所得线段长为π4，则f (π4)的值是( )A ．0B ．1C ．－1D.π4解析：由题意知T ＝π4，由πω＝π4得ω＝4，∴f (x )＝tan4x ，∴f (π4)＝tan π＝0.答案：A3．函数f (x )＝sin x －3cos x (x ∈[－π，0])的单调递增区间是( )A ．[－π，－5π6]B ．[－5π6，－π6]C ．[－π3，0]D ．[－π6，0]解析：f (x )＝sin x －3cos x ＝2sin(x －π3)∵－π≤x ≤0，∴－4π3≤x －π3≤－π3当－π2≤x －π3≤－π3时，即－π6≤x ≤0时，f (x )递增．答案：D4．对于函数f (x )＝sin x ＋1sin x(0<x <π)，下列结论中正确的是( )A ．有最大值而无最小值B ．有最小值而无最大值C ．有最大值且有最小值D ．既无最大值又无最小值解析：f (x )＝sin x ＋1sin x ＝1＋1sin x ，∵0<x <π，∴0<sin x ≤1，∴1sin x ≥1，∴1＋1sin x≥2.∴f (x )有最小值而无最大值．答案：B 二、填空题 5．函数y ＝lgsin x ＋ cos x －12的定义域为____________，函数y ＝12sin(π4－23x )的单调递增区间为________．解析：(1)要使函数有意义必须有⎩⎪⎨⎪⎧sin x >0cos x －12≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧sin x >0cos x ≥12，解得⎩⎪⎨⎪⎧2kπ<x <π＋2kπ－π3＋2kπ≤x ≤π3＋2kπ(k ∈Z )， ∴2kπ<x ≤π3＋2kπ，k ∈Z ，∴函数的定义域为{x |2kπ<x ≤π3＋2kπ，k ∈Z }．(2)由y ＝12sin(π4－23x )得y ＝－12sin(23x －π4)，由π2＋2kπ≤23x －π4≤32π＋2kπ，得 98π＋3kπ≤x ≤21π8＋3kπ，k ∈Z ，故函数的单调递增区间为 [98π＋3kπ，21π8＋3kπ](k ∈Z )．答案：{x |2kπ<x ≤π3＋2kπ，k ∈Z }[98π＋3kπ，21π8＋3kπ](k ∈Z ) 6．对于函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧sin x ，sin x ≤cos x cos x ，sin x >cos x ，给出下列四个命题：①该函数是以π为最小正周期的周期函数；②当且仅当x ＝π＋kπ(k ∈Z )时，该函数取得最小值－1； ③该函数的图象关于x ＝5π4＋2kπ(k ∈Z )对称；④当且仅当2kπ<x <π2＋2kπ(k ∈Z )时，0<f (x )≤22.其中正确命题的序号是________．(请将所有正确命题的序号都填上) 解析：画出f (x )在一个周期[0,2π]上的图象．由图象知，函数f (x )的最小正周期为2π，在x ＝π＋2kπ(k ∈Z )和x ＝32π＋2kπ(x ∈Z )时，该函数都取得最小值－1，故①②错误，由图象知，函数图象关于直线x ＝54π＋2kπ(k ∈Z )对称，在2kπ<x <π2＋2kπ(k ∈Z )时，0<f (x )≤22.故③④正确．答案：③④ 三、解答题7．已知函数y ＝f (x )＝2sin x1＋cos 2x －sin 2x.(1)求函数定义域；(2)用定义判断f (x )的奇偶性； (3)在[－π，π]上作出f (x )的图象； (4)写出f (x )的最小正周期及单调区间．解：(1)∵f (x )＝2sin x 2cos 2x＝sin x|cos x |， ∴函数的定义域是{x |x ≠kπ＋π2，k ∈Z }．(2)由(1)知f (－x )＝sin(－x )|cos(－x )|＝－sin x|cos x |＝－f (x )，∴f (x )是奇函数． (3)f (x )＝⎩⎨⎧tan x (－π2<x <π2)－tan x (－π≤x <－π2或π2<x ≤π)，y ＝f (x )(x ∈[－π，π])的图象如图所示．(4)f (x )的最小正周期为2π，单调递增区间是(－π2＋2kπ，π2＋2kπ)(k ∈Z )，单调递减区间是(π2＋2kπ，3π2＋2kπ)(k ∈Z )．8．已知a >0，函数f (x )＝－2a sin(2x ＋π6)＋2a ＋b ，当x ∈[0，π2]时，－5≤f (x )≤1.(1)求常数a ，b 的值；(2)设g (x )＝f (x ＋π2)且lg[g (x )]>0，求g (x )的单调区间．解：(1)∵x ∈[0，π2]，∴2x ＋π6∈[π6，7π6]，∴sin(2x ＋π6)∈[－12，1]，∴－2a sin(2x ＋π6)∈[－2a ，a ]，∴f (x )∈[b,3a ＋b ]，又－5≤f (x )≤1.∴⎩⎪⎨⎪⎧ b ＝－53a ＋b ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2b ＝－5. (2)f (x )＝－4sin(2x ＋π6)－1，g (x )＝f (x ＋π2)＝－4sin(2x ＋7π6)－1＝4sin(2x ＋π6)－1，又由lg[g (x )]>0，得g (x )>1， ∴4sin(2x ＋π6)－1>1，∴sin(2x ＋π6)>12，∴π6＋2kπ<2x ＋π6<56π＋2kπ，k ∈Z ，由π6＋2kπ<2x ＋π6≤2kπ＋π2，得 kπ<x ≤kπ＋π6，k ∈Z .由π2＋2kπ≤2x ＋π6<56π＋2kπ得 π6＋kπ≤x <π3＋kπ，k ∈Z . ∴函数g (x )的单调递增区间为(kπ，π6＋kπ](k ∈Z )，单调递减区间为[π6＋kπ，π3＋kπ)(k ∈Z )．[高考·模拟·预测]1．若函数f (x )＝(1＋3tan x )cos x,0≤x <π2，则f (x )的最大值为( )A ．1B ．2 C.3＋1D.3＋2解析：因为f (x )＝(1＋3tan x )cos x ＝cos x ＋3sin x ＝2cos(x －π3)，当x ＝π3时，函数取得最大值为2.故选B.答案：B2．若将函数y ＝tan(ωx ＋π4)(ω>0)的图象向右平移π6个单位长度后，与函数y ＝tan(ωx ＋π6)的图象重合，则ω的最小值为( )A.16 B.14 C.13D.12解析：将函数y ＝tan(ωx ＋π4)的图象向右平移π6个单位后，得到的函数为y ＝tan[ω(x －π6)＋π4]＝tan(ωx －πω6＋π4)，这个函数的图象与函数y ＝tan(ωx ＋π6)的图象重合，根据正切函数的周期是kπ，故其充要条件是－πω6＋π4＝kπ＋π6(k ∈Z )，即ω＝－6k ＋12(k ∈Z )，当k ＝0时，ω的最小值为12，故选D.答案：D3．已知函数f (x )＝sin(x －π2)(x ∈R )，下面结论中错误的是( )A ．函数f (x )的最小正周期为2πB ．函数f (x )在区间[0，π2]上是增函数C ．函数f (x )在图象关于直线x ＝0对称D ．函数f (x )是奇函数解析：∵f (x )＝－cos x ，∴f (x )为偶函数，故选D. 答案：D4．已知α∈(0，π4)，a ＝(sin α)cos α，b ＝(sin α)sin α，c ＝(cos α)sin α，则a 、b 、c 的大小关系是________．解析：α∈(0，π4),1>cos α>sin α>0，y ＝(sin α)x 为减函数，∴a <b .而y ＝x sin α在(0，＋∞)上为增函数，∴c >b .故c >b >a .答案：a <b <c5．已知函数f (x )＝3(sin 2x －cos 2x )－2sin x cos x . (1)求f (x )的最小正周期；(2)设x ∈[－π3，π3]，求f (x )的值域和单调递增区间．解：(1)∵f (x )＝－3(cos 2x －sin 2x )－2sin x cos x ＝－3cos2x －sin2x ＝－2sin(2x ＋π3)∴f (x )的最小正周期为π.(2)∵x ∈[－π3，π3]，∴－π3≤2x ＋π3≤π，∴－32≤sin(2x ＋π3)≤1. ∴f (x )的值域为[－2，3]．∵当y ＝sin(2x ＋π3)递减时，f (x )递增，令2kπ＋π2≤2x ＋π3≤2kπ＋3π2，则kπ＋π12≤x ≤kπ＋7π12，k ∈Z ，又x ∈[－π3，π3]，∴π12≤x ≤π3.故f (x )的递增区间为[π12，π3]．[备选精题]6．设函数f (x )＝sin(π4x －π6)－2cos 2π8x ＋1.(1)求f (x )的最小正周期；(2)若函数y ＝g (x )与y ＝f (x )的图象关于直线x ＝1对称，求当x ∈[0，43]时y ＝g (x )的最大值．解：(1)f (x )＝sin π4x cos π6－cos π4x sin π6－cos π4x ＝32sin π4x －32cos π4x ＝3sin(π4x －π3)，故f (x )的最小正周期为T ＝2ππ4＝8.(2)解法一：在y ＝g (x )的图象上任取一点(x ，g (x ))，它关于x ＝1的对称点为(2－x ，g (x ))．由题设条件，点(2－x ，g (x ))在y ＝f (x )的图象上，可知g (x )＝f (2－x )＝3sin[π4(2－x )－π3]＝3sin(π2－π4x －π3)＝3cos(π4x ＋π3)．当0≤x ≤43时，π3≤π4x ＋π3≤2π3，因此y ＝g (x )在区间[0，43]上的最大值为g (x )max ＝3cos π3＝32.解法二：因区间[0，43]关于x ＝1的对称区间为[23，2]，且y ＝g (x )与y ＝f (x )的图象关于x＝1对称，故y ＝g (x )在[0，43]上的最大值即为y ＝f (x )在[23，2]上的最大值．由(1)知f (x )＝3sin(π4x －π3)，当23≤x ≤2时，－π6≤π4x －π3≤π6. 因此y ＝g (x )在[0，43]上的最大值为g (x )max ＝3sin π6＝32.。

高三基础知识天天练数学选修4-1-2人教版

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第4模块第2节[知能演练]一、选择题1．已知向量a ＝(2,3)，b ＝(－1,2)，若m a ＋n b 与a －2b 共线，则mn等于( )A ．－12B ．2 C.12D ．－2解析：m a ＋n b ＝(2m,3m )＋(－n,2n ) ＝(2m －n,3m ＋2n )，a －2b ＝(2,3)－(－2,4)＝(4，－1)．由m a ＋n b 与a －2b 共线，则有2m －n 4＝3m ＋2n－1∴n －2m ＝12m ＋8n ，∴m n ＝－12.答案：A2．已知向量OM →＝(3，－2)，ON →＝(－5，－1)，则12MN →等于( )A ．(8,1)B ．(－8,1)C ．(4，－12D ．(－4，12)解析：∵OM →＝(3，－2)，ON →＝(－5，－1)， ∴12MN →＝12(ON →－OM →) ＝12[(－5，－1)－(3，－2)] ＝12×(－8,1)＝(－4，12)．答案：D3．在四边形ABCD 中，AB →＝a ＋2b ，BC →＝－4a －b ，CD →＝－5a －3b ，其中a ，b 不共线，则四边形ABCD 是( )A ．梯形B ．矩形C ．菱形D ．正方形解析：∵AB →＋BC →＋CD →＝a ＋2b －4a －b －5a －3b ＝－8a －2b ，∴AD →＝2(－4a －b )＝2BC →，∴AD →∥BC →且|AD →|＝2|BC →|，故四边形是梯形．答案：A4．平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知两点A (3,1)，B (－1,3)，若点C (x ，y )满足OC →＝αOA →＋βOB →，其中α、β∈R ，且α＋β＝1，则x ，y 满足的关系式为( )A ．3x ＋2y －11＝0B ．(x －1)2＋(y －1)2＝5C ．2x －y ＝0D ．x ＋2y －5＝0解析：由OC →＝αOA →＋βOB →， ∴(x ，y )＝(3α－β，α＋3β)．∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3α－β，y ＝α＋3β.∴⎩⎨⎧α＝3x ＋y10，β＝－x ＋3y10.∵α＋β＝1，∴x ＋2y －5＝0. 答案：D 二、填空题5．设向量a ＝(1,2)，b ＝(2,3)，若向量λa ＋b 与向量c ＝ (－4，－7)共线，则λ＝________. 解析：由题意得λa ＋b ＝(2＋λ，2λ＋3)，又λa ＋b 与c 共线，因此有(λ＋2)×(－7)－(2λ＋3)×(－4)＝0， ∴λ＝2. 答案：26．已知点A (1，－2)，若向量AB →与a ＝(2,3)同向，|AB →|＝213，则点B 的坐标为________．解析：∵向量AB →与a 同向， ∴设AB →＝(2t,3t )(t >0)．由|AB →|＝213，∴4t 2＋9t 2＝4×13.∴t 2＝4. ∵t >0，∴t ＝2.∴AB →＝(4,6)．设B 为(x ，y )， ∴⎩⎪⎨⎪⎧x －1＝4，y ＋2＝6.∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，y ＝4. 答案：(5,4) 三、解答题7．已知A (－2,4)，B (3，－1)，C (－3，－4)．设AB →＝a ，BC →＝b ，CA →＝c ，且CM →＝3c ，CN →＝－2b ， (1)求：3a ＋b －3c ；(2)求满足a ＝m b ＋n c 的实数m ，n . 解：由已知得a ＝(5，－5)， b ＝(－6，－3)，c ＝(1,8)． (1)3a ＋b －3c＝3(5，－5)＋(－6，－3)－3(1,8)＝(15－6－3，－15－3－24)＝(6，－42)． (2)∵m b ＋n c ＝(－6m ＋n ，－3m ＋8n )，∴⎩⎪⎨⎪⎧ －6m ＋n ＝5－3m ＋8n ＝－5，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－1n ＝－1. 8．在▱ABCD 中，A (1,1)，AB →＝(6,0)，点M 是线段AB 的中点，线段CM 与BD 交于点P .(1)若AD →＝(3,5)，求点C 的坐标； (2)当|AB →|＝|AD →|时，求点P 的轨迹．解：(1)设点C 坐标为(x 0，y 0)，又AC →＝AD →＋AB →＝(3,5)＋(6,0)＝(9,5)，即(x 0－1，y 0－1)＝(9,5)， ∴x 0＝10，y 0＝6，即点C (10,6)． (2)由三角形相似，不难得出PC →＝2MP →设P (x ，y )，则BP →＝AP →－AB →＝(x －1，y －1)－(6,0)＝(x －7，y －1)，AC →＝AM →＋MC →＝12AB →＋3MP →＝12AB →＋3(AP →－12AB →) ＝3AP →－AB →＝(3(x －1)，3(y －1))－(6,0) ＝(3x －9,3y －3)，∵|AB →|＝|AD →|，∴▱ABCD 为菱形，∴AC ⊥BD . ∴AC →⊥BP →，即(x －7，y －1)·(3x －9,3y －3)＝0. (x －7)(3x －9)＋(y －1)(3y －3)＝0， ∴x 2＋y 2－10x －2y ＋22＝0(y ≠1)． ∴(x －5)2＋(y －1)2＝4(y ≠1)．故点P 的轨迹是以(5,1)为圆心，2为半径的圆去掉与直线y ＝1的两个交点．[高考·模拟·预测]1．已知平面向量a ＝(x,1)，b ＝(－x ，x 2)，则向量a ＋b( )A ．平行于x 轴B ．平行于第一、三象限的角平分线C ．平行于y 轴D ．平行于第一、四象限的角平分线解析：a ＋b ＝(0,1＋x 2)，由1＋x 2≠0及向量的性质可知，C 正确．故选C. 答案：C2．在平行四边形ABCD 中，AC 为一条对角线，若AB →＝(2,4)，AC →＝(1,3)，则BD →等于( )A ．(－2，－4)B ．(－3，－5)C ．(3,5)D ．(2,4)解析：在平行四边形ABCD 中，AC →＝AB →＋AD →，BD →＝AD →－AB →， ∴BD →＝(AC →－AB →)－AB →＝(1,3)－2(2,4)＝(1,3)－(4,8)＝(－3，－5)．答案：B3．在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 交于点O ，E 是线段OD 的中点，AE 的延长线与CD 交于点F .若AC →＝a ，BD →＝b ，则AF →＝( )A.14a ＋12bB.23a ＋13C.12a ＋14bD.13a ＋23b 解析：由已知得DE ＝13EB ，则DF ＝13DC ，∴CF ＝23CD ，∴CF →＝23CD →＝23(OD →－OC →)＝23(12b －12a )＝13b －13a ， ∴AF →＝AC →＋CF →＝a ＋13b －13a＝23a ＋13b . 答案：B4．已知向量a ＝(3,1)，b ＝(1,3)，c ＝(k,7)，若(a －c )∥b ，则k ＝________. 解析：3－k 1＝－63⇒k ＝5.故填5.答案：55．已知向量a ＝(1,2)，b ＝(－2,1)，k ，t 为正实数，x ＝a ＋(t 2＋1)b ，y ＝－1k a ＋1t b ，问是否存在k 、t ，使x ∥y ，若存在，求出k 的取值范围；若不存在，请说明理由．解：x ＝a ＋(t 2＋1)b＝(1＋2)＋(t 2＋1)(－2,1)＝(－2t 2－1，t 2＋3) y ＝－1k a ＋1t b ＝－1k (1,2)＋1t (－2,1)＝(－1k －2t ，－2k ＋1t，假设存在正实数k ，t ，使x ∥y ，则 (－2t 2－1)(－2k ＋1t )－(t 2＋3)(－1k －2t )＝0，化简得t 2＋1k ＋1t＝0，即t 3＋t ＋k ＝0，∵k ，t 是正实数，故满足上式的k ，t 不存在． ∴不存在这样的正实数k ，t ，使x ∥y .[备选精题]6．已知向量a ＝(sin θ，cos θ－2sin θ)，b ＝(1,2)． (1)若a ∥b ，求tan θ的值； (2)若|a |＝|b |,0<θ<π，求θ的值．解：(1)因为a ∥b ，所以2sin θ＝cos θ－2sin θ，于是4sin θ＝cos θ，故tan θ＝14.(2)由|a |＝|b |知，sin 2θ＋(cos θ－2sin θ)2＝5，所以1－2sin2θ＋4sin 2θ＝5.从而－2sin2θ＋2(1－cos2θ)＝4，即sin2θ＋cos2θ＝－1，于是sin(2θ＋π4)＝－22.又由0<θ<π知，π4<2θ＋π4<9π4，所以2θ＋π4＝5π4，或2θ＋π4＝7π4.因此θ＝π2，或θ＝3π4.。

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第3模块第2节[知能演练]一、选择题1．α是第四象限角，tan α＝－512，则sin α等于 ( )A.15B ．－15 C.513D ．－513 解析：⎩⎪⎨⎪⎧sin αcos α＝－512，sin 2α＋cos 2α＝1，∴⎩⎨⎧ sin α＝513，cos α＝－1213或⎩⎨⎧ sin α＝－513，cos α＝1213.∵α是第四象限角，∴sin α<0，cos α>0.∴sin α＝－513.选D. 答案：D2．已知cos(π2＋φ)＝32，且|φ|<π2，则tan φ等于 ( )A ．－33B.33 C ．－ 3 D. 3解析：由cos(π2＋φ)＝32，得sin φ＝－32. 又|φ|<π2，∴cos φ＝12.∴tan φ＝－ 3. 答案：C3．若α是第三象限角，且cos(75°＋α)＝13，则tan(15°－α)的值为 ( )A ．－223B ．－24C.223D.24解析：cos(75°＋α)＝sin(90°－75°－α)＝sin(15°－α)＝13>0，又∵α为第三象限角， ∴－α为第二象限角．∴－α＋15°为第二象限角．∴cos(15°－α)＝－1－19＝－223. ∴tan(15°－α)＝－24. 答案：B4．若△ABC 的内角A 满足sin2A ＝23，则sin A ＋cos A 等于 ( )A.153B ．－153 C.53 D ．－53解析：在△ABC 中，2sin A cos A ＝23>0， ∴sin A >0，cos A >0. ∴sin A ＋cos A ＝(sin A ＋cos A )2＝sin 2A ＋cos 2A ＋2sin A cos A ＝1＋23＝53＝153. 答案：A二、填空题5．如果cos α＝15，且α是第四象限角，那么cos(α＋π2)＝________. 解析：由已知⇒cos(α＋π2)＝－sin α＝－(－1－cos 2α)＝265. 答案：2656．化简：sin 2(α＋π)·cos(π＋α)·cos(－α－2π)tan(π＋α)·sin 3(π2＋α)·sin(－α－2π)＝________.解析：sin 2(α＋π)·cos(π＋α)·cos(－α－2π)tan(π＋α)·sin 3(π2＋α)·sin(－α－2π) ＝(－sin α)2·(－cos α)·cos(－α)tan α·cos 3α·sin(－α)＝－sin 2α·cos α·cos αsin αcos α·cos 3α·(－sin α)＝sin 2αcos 2αsin 2αcos 2α＝1. 答案：1三、解答题7．已知cos(π＋α)＝－12，且α是第四象限角，计算： (1)sin(2π－α)；(2)sin[α＋(2n ＋1)π]＋sin[α－(2n ＋1)π]sin(α＋2nπ)·cos(α－2nπ)(n ∈Z)．解：∵cos(π＋α)＝－12，∴－cos α＝－12，cos α＝12，又∵α是第四象限角，∴sin α＝－1－cos 2α＝－32. (1)sin(2π－α)＝sin[2π＋(－α)]＝sin(－α)＝－sin α＝32. (2)sin[α＋(2n ＋1)π]＋sin[α－(2n ＋1)π]sin(α＋2nπ)·cos(α－2nπ)＝sin(2nπ＋π＋α)＋sin(－2nπ－π＋α)sin(2nπ＋α)·cos(－2nπ＋α)＝sin(π＋α)＋sin(－π＋α)sin α·cos α＝－sin α－sin(π－α)sin α·cos α＝－2sin αsin αcos α＝－2cos α＝－4. 8．已知sin(π－α)－cos(π＋α)＝23(π2<α<π)．求下列各式的值： (1)sin α－cos α；(2)sin 3(π2－α)＋cos 3(π2＋α)．解：由sin(π－α)－cos(π＋α)＝23，得sin α＋cos α＝23.① 将①式两边平方，得1＋2sin α·cos α＝29，故2sin α·cos α＝－79，又π2<α<π，∴sin α>0，cos α<0. ∴sin α－cos α>0.(1)(sin α－cos α)2＝1－2sin α·cos α＝1－(－79)＝169，∴sin α－cos α＝43. (2)sin 3(π2－α)＋cos 3(π2＋α)＝cos 3α－sin 3α ＝(cos α－sin α)(cos 2α＋cos α·sin α＋sin 2α)＝(－43)×(1－718)＝－2227.[高考·模拟·预测]1．已知tan θ＝2，则sin 2θ＋sin θcos θ－2cos 2θ＝( )A ．－43B.54 C ．－34 D.45解析：由于tan θ＝2，则sin 2θ＋sin θcos θ－2cos 2θ＝sin 2θ＋sin θcos θ－2cos 2θsin 2θ＋cos 2θ＝tan 2θ＋tan θ－2tan 2θ＋1＝22＋2－222＋1＝45，故选D. 答案：D2．已知△ABC 中，1tan A ＝－125，则cos A ＝ ( )A.1213B.513 C ．－513 D ．－1213解析：∵1tan A ＝－125，∴tan A ＝－512，∴π2<A <π，∴cos A ＝－11＋tan 2A＝－1213，选D. 答案：D3．下列关系式中正确的是( )A ．sin11°<cos10°<sin168°B ．sin168°<sin11°<cos10°C ．sin11°<sin168°<cos10°D ．sin168°<cos10°<sin11°解析：注意到sin168°＝sin(180°－12°)＝sin12°，cos10°＝sin80°，且0°<11°<12°<80°<90°，因此sin11°<sin12°<sin80°，即sin11°<sin168°<cos10°，选C. 答案：C4．若sin θ＝－45，tan θ>0，则cos θ＝________. 解析：∵sin θ<0，tan θ>0，θ在第三象限内，cos θ＝－1－sin 2θ＝－35.答案：－355．已知cos θ＝－23，θ∈(π2，π)，求2sin2θ－cos θsin θ的值．解：原式＝22sin θcos θ－cos θsin θ＝1－cos 2θsin θcos θ＝sin θcos θ. 又cos θ＝－23，θ∈(π2，π)， ∴sin θ＝1－29＝73，2sin2θ－cos θsin θ＝－142. [备选精题] 6．已知函数f (x )＝1－2sin(2x －π4)cos x. (1)求f (x )的定义域；(2)设α是第四象限的角，且tan α＝－43，求f (α)的值．解：(1)由cos x ≠0得x ≠kπ＋π2(k ∈Z)，故f (x )的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≠kπ＋π2，k ∈Z . (2)因为tan α＝－43，且α是第四象限的角，所以sin α＝－45，cos α＝35，故f (α)＝1－2sin(2α－π4)cos α ＝1－2(22sin2α－22cos2α)cos α＝1－sin2α＋cos2αcos α＝2cos 2α－2sin αcos αcos α＝2(cos α－sin α)＝145.。

2022小学四年级下册数学专项应用题知识点天天练苏教版

2022小学四年级下册数学专项应用题知识点天天练苏教版班级：________ 姓名：________ 时间：________1. 一列火车以每小时102千米的速度从西安开往北京，大约需要12时到达。

高铁开通后，同样的路程只需要5小时便可到达，高铁平均每小时行多少千米？（列综合算式计算，结果保留整数）2. 一种玩具飞机原来每架60元。

降价后，原来买8架的钱可以多买4架。

降价后每架飞机多少元？3. 小强和小明家相距2400千米，两人同时从家里出发相向而行，小明每分钟走70米，小强每分钟走50米，他们经过多长时间相遇？4. 水果店购进一批水果，每箱25千克，其中香蕉16箱，苹果14箱。

（1）一共运进多少千克水果？（2）如果香蕉和苹果都是以每千克7元购进，再以每千克11元卖出，卖完这批水果可以赚多少钱？5. 星光小学四年级比五年级多28人，两个年级共有246人．每个年级各有多少人？6. 买一台洗衣机需要780元，买一台液晶电视机的钱可以买4台洗衣机。

买一台洗衣机比买一台液晶电视机要少用多少元？7. 超市里的笔记本搞促销活动，买10本送1本，一本笔记本卖12元，李老师带了273元，最多可以买多少本笔记本？8. 某数的小数点向右移动一位，得到的新数比原来的数大27，原来的数是多少？9. 富民超市举行优惠购物活动，下面是富民超市某种水果的促销价格。

四年级同学打算举办一次联欢会，（1）班需要购买这种水果20千克，（2）班需要购买这种水果30千克，（3）班需要购买这种水果22千克。

（1）每班分别购买这种水果，一共需要多少元？（2）三个班合起来购买这种水果，一共可以节省多少元？10. 建筑工地运水泥，上午运来65吨，下午运的比上午的2倍还多15吨，这一天共运来多少吨水泥？11. 一种笔记本原价每本9.6元，降价后每本便宜了0.6元。

原来买60本的钱，现在可以买多少本？12. 天等至南宁的公路长180千米，一辆大巴车早上8：30从天等出发，以平均每小时60千米的速度开往南宁，大巴车什么时候可以到达南宁？13. 甲乙两地相距910千米。

四年级数学上册口算天天练4

=====WORD完整版----可编辑----专业资料分享=====12×4＝342×2＝51×2≈13×5＝110×4＝903×4≈30×9＝202×4＝2分15秒=（）秒70×2＝170×4＝6千米＝（）米31×2＝210×4＝2000米=（）千米40×0＝200×4＝9分=（）秒16×2＝600×6＝90厘米＝（）分米70÷5＝100×4＝2000米=（）千米11×5＝500×9＝36÷4×5＝11×2＝100×7＝9000米=（）千米40×9＝900×6＝160厘米＝（）分米40÷4＝150×4＝19＋6×7＝20×2＝213×3＝6分22秒=（）秒20×6＝170×3＝40÷5×9＝16×4＝800×4＝300秒＝（）分14×4＝215×4＝60秒＝（）分24÷2＝220×4＝3分11秒=（）秒35×2＝403×2＝8吨＝（）千克37×2＝216×4＝45厘米＝（）毫米42×2＝126×3＝18÷2×9＝12×6＝218×4＝54＋10＝72÷4＝150×4＝80分米＝（）米60×8＝207×4＝7000米=（）千米=====WORD完整版----可编辑----专业资料分享=====11×2＝200×4＝540秒＝（）分65÷5＝205×3＝2000米=（）千米64÷4＝212×4＝14＋2×6＝14×4＝210×3＝590－370＝35×2＝136×2＝40分米＝（）米80×8＝200×9＝3分=（）秒20×1＝220×3＝59×2≈16×5＝317×3＝70分米＝（）米80×1＝800×3＝2分17秒=（）秒11×3＝210×3＝49×7≈10×2＝800×2＝5分=（）秒22×4＝240×4＝65厘米＝（）毫米40×8＝130×2＝6千米＝（）米12×3＝328×3＝670－240＝18×2＝700×5＝780－230＝66÷3＝190×2＝59厘米＝（）毫米23×2＝160×2＝59×3≈28×2＝120×4＝70分米＝（）米11×5＝110×4＝190厘米＝（）分米15×4＝220×2＝9×5＋16＝14×2＝207×3＝9分32秒=（）秒12×3＝130×4＝1吨＝（）千克11×6＝107×3＝402×7≈=====WORD完整版----可编辑----专业资料分享=====16×3＝210×3＝8千米＝（）米11×4＝160×4＝15＋4×3＝24×4＝500×9＝9千米＝（）米16×2＝160×4＝81÷9＋2＝15×2＝140×2＝15＋2×8＝20×3＝305×2＝70分米＝（）米50×7＝328×3＝540秒＝（）分30×3＝800×9＝398×5≈15×4＝103×3＝7吨＝（）千克18×2＝103×4＝35厘米＝（）毫米16×4＝300×5＝50厘米＝（）分米33×2＝140×3＝190厘米＝（）分米13×4＝140×2＝510＋230＝12×5＝347×2＝14厘米＝（）毫米78÷6＝120×3＝40＋31＝19×3＝400×7＝4×7－6＝11×6＝400×2＝180厘米＝（）分米80×1＝140×2＝9000米=（）千米16×3＝100×9＝42－37＝16×3＝180×4＝56＋26＝12×3＝312×2＝298×7≈40×2＝160×3＝298×7≈17×2＝180×2＝180秒＝（）分31×3＝160×2＝100厘米＝（）分米27×2＝800×5＝480秒＝（）分28×2＝220×4＝63÷9×4＝11×6＝300×5＝5×5＋6＝17×3＝210×2＝3000米=（）千米26×2＝426×2＝79×8≈14×4＝190×3＝4×8－5＝14×5＝800×6＝702×8≈27×2＝440×2＝1分19秒=（）秒23×2＝120×4＝100厘米＝（）分米38×2＝160×4＝4÷1＋9＝14×3＝101×4＝5分=（）秒72÷6＝427×2＝10分=（）秒12×6＝200×3＝7×7－17＝12×2＝100×8＝560－380＝14×5＝300×7＝41－12＝29×2＝220×3＝803×2≈10×5＝900×6＝3千米＝（）米22×3＝218×4＝40厘米＝（）分米37×2＝418×2＝40厘米＝（）分米80×9＝700×6＝9000米=（）千米33×2＝128×2＝150厘米＝（）分米15×4＝800×4＝9×6＋8＝25×2＝240×2＝2000米=（）千米17×2＝160×3＝7千米＝（）米90÷5＝100×5＝1000米=（）千米90×7＝249×2＝12＋8×8＝13×4＝600×7＝4千米＝（）米10×0＝170×3＝48＋25＝87÷3＝900×4＝52＋26＝80÷5＝700×3＝56＋24＝23×3＝135×2＝30厘米＝（）分米10×4＝150×4＝4千米＝（）米16×3＝500×8＝7千米＝（）米60×1＝447×2＝640－10＝18×2＝500×7＝88×5≈10×3＝100×5＝303×7≈11×3＝101×4＝43－15＝90×6＝337×2＝9分=（）秒23×2＝800×5＝16÷4＋4＝13×3＝170×2＝700＋80＝70×0＝190×4＝3分=（）秒18×5＝203×3＝75厘米＝（）毫米17×3＝442×2＝2千米＝（）米80÷5＝100×8＝90分米＝（）米22×2＝120×3＝360秒＝（）分30×2＝123×3＝1分11秒=（）秒24×2＝315×3＝7分=（）秒15×4＝103×2＝55厘米＝（）毫米30×8＝201×3＝700＋70＝88÷4＝305×2＝150厘米＝（）分米72÷6＝600×6＝200厘米＝（）分米22×3＝800×8＝540秒＝（）分14×6＝210×2＝3千米＝（）米60÷5＝103×4＝9分16秒=（）秒28×2＝900×4＝610－230＝15×5＝120×3＝69×7≈15×3＝213×3＝21÷7×5＝90×1＝150×3＝7＋3×4＝15×2＝339×2＝43厘米＝（）毫米90÷6＝180×3＝40分米＝（）米90×1＝240×2＝6千米＝（）米12×3＝300×6＝8000米=（）千米70×4＝190×3＝5分=（）秒10×3＝118×3＝60厘米＝（）分米78÷6＝140×3＝54－32＝=====WORD完整版----可编辑----专业资料分享=====14×3＝110×4＝360秒＝（）分15×2＝600×8＝300秒＝（）分10×2＝900×6＝8分1秒=（）秒22×2＝500×6＝50分米＝（）米14×4＝200×6＝590＋210＝11×3＝120×2＝42＋22＝15×2＝110×4＝180秒＝（）分24×2＝211×4＝9÷9×8＝47×2＝160×2＝540秒＝（）分10×2＝400×5＝610＋270＝10×2＝223×3＝8×9＋19＝90×3＝110×2＝6000米=（）千米22×2＝220×3＝66厘米＝（）毫米19×3＝700×9＝9千米＝（）米16×5＝327×3＝59－35＝15×6＝130×4＝4千米＝（）米35×2＝100×3＝190厘米＝（）分米19×2＝425×2＝1分=（）秒14×2＝216×4＝24÷6×7＝18×2＝300×8＝570－60＝34×2＝800×9＝60分米＝（）米11×2＝218×4＝44－20＝16×4＝900×7＝7×8－16＝=====WORD完整版----可编辑----专业资料分享=====13×3＝900×6＝8×5＋14＝96÷3＝600×2＝81÷9＋6＝16×3＝800×6＝99×8≈30×9＝700×8＝9分=（）秒29×2＝230×2＝2分=（）秒90÷3＝600×2＝50＋39＝31×2＝407×2＝300秒＝（）分90×3＝160×4＝40×7≈43×2＝200×8＝37厘米＝（）毫米23×4＝220×2＝5×8＋13＝32×3＝308×3＝6吨＝（）千克10×4＝900×4＝70分米＝（）米10×3＝160×2＝7÷7＋4＝18×5＝200×7＝120厘米＝（）分米12×2＝180×4＝170厘米＝（）分米18×2＝180×2＝50分米＝（）米37×2＝400×5＝8×5－13＝27×3＝148×2＝120秒＝（）分12×5＝400×7＝120厘米＝（）分米80÷5＝500×9＝78厘米＝（）毫米23×2＝300×5＝40÷5×9＝20×2＝800×5＝190厘米＝（）分米40×8＝800×3＝8千米＝（）米=====WORD完整版----可编辑----专业资料分享=====15×4＝800×7＝603×8≈15×5＝216×4＝45－38＝17×4＝600×8＝5＋0×5＝22×2＝300×2＝9×8－16＝44×2＝110×4＝66厘米＝（）毫米64÷4＝160×3＝16＋8×4＝18×2＝200×2＝49×5≈24×2＝600×2＝21厘米＝（）毫米11×2＝240×3＝8吨＝（）千克13×2＝190×2＝60分米＝（）米16×4＝180×3＝1分15秒=（）秒70×2＝201×2＝501×2≈11×4＝200×9＝70分米＝（）米80×3＝130×2＝40厘米＝（）分米60÷6＝600×8＝10分=（）秒30×3＝170×4＝30厘米＝（）毫米42×2＝500×2＝10分米＝（）米56÷2＝700×4＝4000米=（）千米12×3＝220×4＝6吨＝（）千克14×6＝208×4＝40＋37＝22×2＝103×4＝8＋7×5＝96÷2＝240×3＝18÷9＋2＝28×3＝140×2＝1吨＝（）千克=====WORD完整版----可编辑----专业资料分享=====10×7＝214×3＝11＋4×5＝16×6＝109×2＝28×2≈26×2＝112×4＝202×2≈96÷6＝110×3＝2000米=（）千米76÷4＝600×8＝780＋350＝90×9＝300×4＝16÷2×3＝94÷2＝190×2＝30分米＝（）米30×4＝220×2＝53－15＝60÷5＝220×4＝3分=（）秒14×3＝100×8＝1000米=（）千米12×6＝212×4＝5000米=（）千米60×5＝180×2＝80分米＝（）米11×2＝218×3＝2分=（）秒17×2＝700×8＝2吨＝（）千克12×4＝220×3＝6000米=（）千米44×2＝100×8＝81×6≈13×3＝240×4＝6分32秒=（）秒31×2＝900×2＝9分5秒=（）秒13×6＝120×4＝2分12秒=（）秒10×2＝130×4＝53厘米＝（）毫米19×3＝400×9＝40分米＝（）米16×2＝218×4＝2分=（）秒15×2＝331×2＝1000米=（）千米=====WORD完整版----可编辑----专业资料分享=====12×2＝325×3＝56厘米＝（）毫米45×2＝600×7＝97×8≈72÷3＝230×2＝7000米=（）千米11×2＝900×5＝701×2≈70×0＝113×4＝30厘米＝（）分米80×6＝112×4＝100厘米＝（）分米15×5＝106×4＝20厘米＝（）分米44×2＝139×2＝80分米＝（）米60÷5＝130×4＝8×9－5＝90×1＝133×3＝59－16＝80÷5＝400×9＝8吨＝（）千克16×3＝423×2＝71×2≈22×3＝406×2＝3吨＝（）千克64÷4＝190×3＝40分米＝（）米80×0＝400×8＝48×6≈11×4＝180×4＝48×4≈11×3＝500×3＝12＋8×9＝15×5＝800×7＝500＋200＝16×6＝333×2＝60－21＝60×4＝900×5＝5×5－5＝11×5＝900×7＝20分米＝（）米22×2＝700×2＝29×6≈32×3＝900×7＝52＋33＝=====WORD完整版----可编辑----专业资料分享=====10×3＝240×4＝2000米=（）千米90×0＝120×4＝60－31＝33×2＝227×3＝6÷6＋3＝12×4＝343×2＝6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92÷4＝700×3＝60秒＝（）分18×5＝302×3＝7×5－13＝18×3＝105×2＝1分=（）秒。

数学口算天天练：二年级下册(2200题)

小学数学计算练习 2024-11-02姓名：___________ 座号：__________ 情况：___________小学数学计算练习 2024-11-02姓名：___________ 座号：__________ 情况：___________小学数学计算练习 2024-11-02姓名：___________ 座号：__________ 情况：___________小学数学计算练习 2024-11-02姓名：___________ 座号：__________ 情况：___________小学数学计算练习 2024-11-02姓名：___________ 座号：__________ 情况：___________小学数学计算练习 2024-11-02姓名：___________ 座号：__________ 情况：___________小学数学计算练习 2024-11-02姓名：___________ 座号：__________ 情况：___________小学数学计算练习 2024-11-02姓名：___________ 座号：__________ 情况：___________小学数学计算练习 2024-11-02姓名：___________ 座号：__________ 情况：___________小学数学计算练习 2024-11-02姓名：___________ 座号：__________ 情况：___________小学数学计算练习 2024-11-02姓名：___________ 座号：__________ 情况：___________小学数学计算练习 2024-11-02姓名：___________ 座号：__________ 情况：___________小学数学计算练习 2024-11-02姓名：___________ 座号：__________ 情况：___________小学数学计算练习 2024-11-02姓名：___________ 座号：__________ 情况：___________小学数学计算练习 2024-11-02姓名：___________ 座号：__________ 情况：___________小学数学计算练习 2024-11-02姓名：___________ 座号：__________ 情况：___________小学数学计算练习 2024-11-02姓名：___________ 座号：__________ 情况：___________小学数学计算练习 2024-11-02姓名：___________ 座号：__________ 情况：___________小学数学计算练习 2024-11-02姓名：___________ 座号：__________ 情况：___________小学数学计算练习 2024-11-02姓名：___________ 座号：__________ 情况：___________小学数学计算练习 2024-11-02姓名：___________ 座号：__________ 情况：___________小学数学计算练习 2024-11-02姓名：___________ 座号：__________ 情况：___________小学数学计算练习 2024-11-02姓名：___________ 座号：__________ 情况：___________。

高三基础知识天天练数学选修4-4-1人教版

选修4-4 第1节[知能演练]一、选择题1．点M (ρ，θ)关于极点对称的点的坐标为( )A ．(－ρ，－θ)B ．(ρ，π＋θ)C ．(ρ，π－θ)D ．(ρ，－θ)答案：B2．将曲线y ＝12sin3x 变为y ＝sin x 的伸缩变换是( )A.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3x ′y ＝12y ′B.⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝3x y ′＝12y C.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3x ′y ＝2y ′D.⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝3x y ′＝2y 答案：D3．设点M 的直角坐标为(－1，－3，3)，则它的柱坐标是( )A ．(2，π3，3)B ．(2，2π3，3)C ．(2，4π3，3)D ．(2，5π3，3)解析：ρ＝(－1)2＋(－3)2＝2， tan θ＝3，∴θ＝4π3，z ＝3，∴选C.答案：C4．在极坐标系中，与圆ρ＝4sin θ相切的一条直线方程为( )A ．ρsin θ＝2B ．ρcos θ＝2C ．ρcos θ＝4D ．ρcos θ＝－4解析：圆ρ＝4sin θ的圆心为(2，π2)，半径r ＝2，对于选项A ，方程ρsin θ＝2对应的直线(y ＝2)与圆相交；对于选项B ，方程ρcos θ＝2对应的直线(x ＝2)与圆相切；选项C ，D 对应的直线与圆都相离．答案：B 二、填空题5．已知点M 的极坐标为(6，11π6)，则点M 关于y 轴对称的点的直角坐标为________．解析：∵点M 的极坐标为(6，11π6)，∴x ＝6cos 11π6＝6cos π6＝6×32＝33，y ＝6sin 11π6＝6sin(－π6)＝－6×12＝－3，∴点M 的直角坐标为(33，－3)，∴点M 关于y 轴对称的点的直角坐标为(－33，－3)．答案：(－33，－3)6．在极坐标系中，点P (2，3π2)到直线l ：3ρcos θ－4ρsin θ＝3的距离为________．解析：在相应直角坐标系中，P (0，－2)，直线l 方程：3x －4y －3＝0，所以P 到l 的距离：d ＝|3×0－4×(－2)－3|32＋42＝1.答案：1 三、解答题7．说出由曲线y ＝tan x 得到曲线y ＝3tan2x 的变换过程，并求满足其图形变换的伸缩变换．解：y ＝tan x 的纵坐标不变，横坐标缩短为原来的12，得到y ＝tan2x ，再将其纵坐标伸长为原来的3倍，横坐标不变，得到曲线y ＝3tan2x .设y ′＝3tan2x ′，变换为⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝λ·x λ>0y ′＝μ·y μ>0，将其代入y ′＝3tan2x ′，得μy ＝3tan2λx与y ＝tan x 比较，可得⎩⎪⎨⎪⎧ μ＝3λ＝12，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝12xy ′＝3y.8．从极点O 作直线与另一直线l ：ρcos θ＝4相交于点M ，在OM 上取一点P ，使OM ·OP ＝12.(1)求点P 的轨迹方程；(2)设R 为l 上的任意一点，试求RP 的最小值．解：(1)设动点P 的坐标为(ρ，θ)， M 的坐标为(ρ0，θ)，则ρρ0＝12，∵ρ0cos θ＝4，∴ρ＝3cos θ即为所求的轨迹方程．(2)由(1)知P 的轨迹是以(32，0)为圆心，半径为32的圆，易得RP 的最小值为1.[高考·模拟·预测]1．极坐标方程ρ＝cos θ化为直角坐标方程为( )A ．(x ＋12)2＋y 2＝14B ．x 2＋(y ＋12)2＝14C ．x 2＋(y －12)2＝14D ．(x －12)2＋y 2＝14解析：由ρ＝cos θ得ρ2＝ρcos θ，∴x 2＋y 2＝x .选D. 答案：D2．在极坐标系中，直线ρsin(θ＋π4)＝2被圆ρ＝4截得的弦长为________．解析：直线ρsin(θ＋π4)＝2可化为x ＋y －22＝0，圆ρ＝4可化为x 2＋y 2＝16，由圆中的弦长公式得2r 2－d 2＝242－(222)2＝4 3.答案：4 33．在极坐标系中，点(1,0)到直线ρ(cos θ＋sin θ)＝2的距离为________．解析：直线ρ(cos θ＋sin θ)＝2可化为x ＋y －2＝0，故点(1,0)到直线距离d ＝|1＋0－2|2＝22.答案：224．两直线ρsin(θ＋π4)＝2008，ρsin(θ－π4)＝2009的位置关系是________．(判断垂直或平行或斜交)解析：两直线方程可化为x ＋y ＝20082，y －x ＝ 20092，故两直线垂直．答案：垂直5．圆O 1和圆O 2的极坐标方程分别为ρ＝4cos θ，ρ＝－sin θ. (1)把圆O 1和圆O 2的极坐标方程化为直角坐标方程． (2)求经过圆O 1，圆O 2两个交点的直线的直角坐标方程．解：以极点为原点，极轴为x 轴正半轴，建立平面直角坐标系，两坐标系中取相同的长度单位．(1)x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，由ρ＝4cos θ得ρ2＝4ρcos θ.所以x 2＋y 2＝4x .即x 2＋y 2－4x ＝0为圆O 1的直角坐标方程．同理，x 2＋y 2＋y ＝0为圆O 2的直角坐标方程．(2)由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－4x ＝0，x 2＋y 2＋y ＝0，相减得过交点的直线的直角坐标方程为4x ＋y ＝0.6．求经过极点O (0,0)，A (6，π2)，B (62，9π4)三点的圆的极坐标方程．解：将点的极坐标化为直角坐标，点O ，A ，B 的直角坐标分别为(0,0)，(0,6)，(6,6)，故△OAB 是以OB 为斜边的等腰直角三角形，圆心为(3,3)，半径为32，圆的直角坐标方程为(x －3)2＋(y －3)2＝18，即x 2＋y 2－6x －6y ＝0，将x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入上述方程，得ρ2－6ρ(cos θ＋sin θ)＝0，即ρ＝62cos(θ－π4)．。

高三基础知识天天练1-1. 数学数学doc人教版

第1模块第1节[知能演练]一、选择题1．满足条件M ∪{1}＝{1,2,3}的集合M 的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：满足条件M ∪{1}＝{1,2,3}的集合M 为{2,3}，{1,2,3}，共两个．答案：B2．已知集合P ＝{(x ，y )||x |＋|y |＝1}，Q ＝{(x ，y )|x 2＋y 2≤1}，则( )A ．P ⊆QB ．P ＝QC ．P ⊇QD ．P ∩Q ＝Ø 答案：A3．若集合A ＝{x |2a ＋1≤x ≤3a －5}，B ＝{x |3≤x ≤22}，则能使A ⊆B 成立的所有a 的集合是( )A ．{a |1≤a ≤9}B ．{a |6≤a ≤9}C ．{a |a ≤9}D ．Ø解析：若2a ＋1>3a －5，即a <6时，A ＝Ø⊆B ；若2a ＋1＝3a －5，即a ＝6时，A ＝{x |x ＝13}⊆B ；若2a ＋1<3a －5，即a >6时，由A ⊆B 得⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋1≥33a －5≤22，解得6<a ≤9.综上可得a ≤9. 答案：C4．已知集合A ＝{x |x <a }，B ＝{x |1<x <2}，且A ∪ (∁R B )＝R ，则实数a 的取值范围是( )A ．a ≤1B ．a <1C ．a ≥2D ．a >2解析：∁R B ＝(－∞，1]∪[2，＋∞)，又A ∪(∁R B )＝R ，数轴上画图可得a ≥2，故选C. 答案：C 二、填空题5．若集合{(x ，y )|x ＋y －2＝0且x －2y ＋4＝0} {(x ，y )|y ＝3x ＋b }，则b ＝________.解析：由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y －2＝0，x －2y ＋4＝0.⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝2.点(0,2)在y ＝3x ＋b 上，∴b ＝2.答案：26．对于集合M 、N 定义M －N ＝{x |x ∈M ，且x ∉N }，M ⊕N ＝(M －N )∪(N －M )，设A ＝{t |t ＝x 2－3x ，x ∈R }，B ＝{x |y ＝lg(－x )}，则A ⊕B ＝________.解析：∵t ＝x 2－3x ＝(x －32)2－94≥－94，∴A ＝{t |t ≥－94}．又由B 可知y ＝lg(－x )，则－x >0，得x <0， ∴B ＝{x |x <0}，∴A －B ＝{x |x ≥0}，B －A ＝{x |x <－94}，∴A ⊕B ＝(－∞，－94)∪[0，＋∞)．答案：(－∞，－94)∪[0，＋∞)三、解答题7．已知集合A ＝{x |x 2－5x ＋6＝0}，B ＝{x |mx ＋1＝0}，且B ⊆A ，求实数m 的值组成的集合．解：A ＝{x |(x －2)(x －3)＝0}＝{2,3}，若m ＝0，B ＝Ø⊆A ；若m ≠0，B ＝{x |x ＝－1m}，由B ⊆A 得－1m ＝2，或－1m ＝3，解得m ＝－12，m ＝－13，因此实数m 的值组成的集合是{0，－12，－13}．8．已知集合E ＝{x ||x －1|≥m }，F ＝{x |10x ＋6>1}．(1)若m ＝3，求E ∩F ；(2)若E ∪F ＝R ，求实数m 的取值范围； (3)若E ∩F ＝Ø，求实数m 的取值范围．解：(1)当m ＝3时，E ＝{x ||x －1|≥3}＝{x |x ≤－2或x ≥4}，F ＝{x |10x ＋6>1}＝{x |x －4x ＋6<0}＝{x |－6<x <4}．∴E ∩F ＝{x |x ≤－2或x ≥4}∩{x |－6<x <4} ＝{x |－6<x ≤－2}． (2)∵E ＝{x ||x －1|≥m }，①m ≤0时，E ＝R ，E ∪F ＝R ，满足条件． ②m >0时，E ＝{x |x ≤1－m 或x ≥1＋m }，由E ∪F ＝R ，F ＝{x |－6<x <4}，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 1－m ≥－6，1＋m ≤4，m >0，解得0<m ≤3.∴综上，实数m 的取值范围为(－∞，3]． (3)∵E ＝{x ||x －1|≥m }，①m ≤0时，E ＝R ，E ∩F ＝F ≠Ø，不满足条件．②m >0时，E ＝{x |x ≤1－m 或x ≥1＋m }，由E ∩F ＝Ø，F ＝{x |－6<x <4}， ∴⎩⎪⎨⎪⎧1－m ≤－6，1＋m ≥4，m >0，解得m ≥7.∴综上，实数m 的取值范围为[7，＋∞)．[高考·模拟·预测]1．已知全集U ＝R ，集合M ＝{x |－2≤x －1≤2}和N ＝{x |x ＝2k －1，k ＝1,2，…}的关系的韦恩(Venn)图如下图所示，则阴影部分所示的集合的元素共有( )A ．3个B ．2个C ．1个D ．无穷多个解析：∵阴影部分M ∩N ＝{x |－2≤x －1≤2}∩{x |x ＝2k －1，k ＝1,2，…}＝{x |－1≤x ≤3}∩{x |x ＝2k －1，k ＝1,2，…}＝{1,3}，∴阴影部分所示的集合的元素共有2个，故选B.答案：B 2．已知全集U ＝R ，则正确表示集合M ＝{－1,0,1}和N ＝{x |x 2＋x ＝0}关系的韦恩(Venn)图是( )解析：N ＝{x |x 2＋x ＝0}＝{－1,0}，而M ＝{－1,0,1}，故N M ，所以选B. 答案：B3．设全集U ＝A ∪B ＝{x ∈N *|lg x <1}．若A ∩(∁U B )＝{m |m ＝2n ＋1，n ＝0,1,2,3,4}，则集合B ＝______________.解析：由题意得U ＝A ∪B ＝{1,2,3,4,5,6,7,8,9}，A ∩(∁U B )＝{1,3,5,7,9}，所以B ＝{2,4,6,8}．答案：{2,4,6,8}4．设P 是一个数集，且至少含有两个数，若对任意a 、b ∈P ，都有a ＋b 、a －b 、ab 、ab∈P (除数b ≠0)，则称P 是一个数域．例如有理数集Q 是数域；数集F ＝{a ＋b 2|a ，b ∈Q }也是数域，有下列命题：①整数集是数域；②若有理数集Q ⊆M ，则数集M 必为数域； ③数域必为无限集； ④存在无穷多个数域．其中正确命题的序号是________．(把你认为正确的命题的序号都填上)解析：对于整数集Z ，a ＝1，b ＝2时，a b ＝12∉Z ，故整数集不是数域，①错；对于满足Q ⊆M 的集合M ＝Q ∪{2},1＋2∉M ，M 不是数域，②错；若P 是数域，则存在a ∈P 且a ≠0，依定义，2a,3a,4a …均是P 中的元素，故P 中有无数个无素，③正确；类似数集F ，{a ＋b 3|a ，b ∈Q }，{a ＋b 5|a ，b ∈Q }等均是数域，④正确．答案：③④5．已知集合A ＝{x |(x －2)[x －(3a ＋1)]<0}，B ＝{x |x －2ax －(a 2＋1)<0}．(1)当a ＝2时，求A ∩B ；(2)求使B ⊆A 的实数a 的取值范围．解：(1)当a ＝2时，A ＝{x |2<x <7}，B ＝{x |4<x <5}． ∴A ∩B ＝{x |4<x <5}， (2)B ＝{x |2a <x <a 2＋1}，①当B ＝Ø时，2a ≥a 2＋1，∴a ＝1，此时A ＝{x |2<x <4}，B ⊆A 符合题意．②若B ≠Ø，方程(x －2)[x －(3a ＋1)]＝0的两根为x 1＝2，x 2＝3a ＋1. ∵B ≠Ø.∴A ≠Ø∴3a ＋1≠2，即a ≠13.当3a ＋1>2，即a >13时，⎩⎪⎨⎪⎧2a ≥2a 2＋1≤3a ＋12a <a 2＋1⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ≥10≤a ≤3⇒1<a ≤3a ≠1.当3a ＋1<2，即a <13时，⎩⎪⎨⎪⎧ 2a ≥3a ＋1a 2＋1≤2⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ≤－1－1≤a ≤1⇒a ＝－1. ∴a 的取值范围为[1,3]∪{－1}．[备选精题]6．集合A ＝{x |－2≤x ≤5}，B ＝{x |m ＋1≤x ≤2m －1}． (1)若B ⊆A ，求实数m 的取值范围；(2)当x ∈Z 时，求A 的非空真子集的个数；(3)当x ∈R 时，没有元素x 使x ∈A 与x ∈B 同时成立，求实数m 的取值范围．解：(1)当m ＋1>2m －1，即m <2时，B ＝Ø满足B ⊆A . 当m ＋1≤2m －1，即m ≥2时，要使B ⊆A 成立，需⎩⎪⎨⎪⎧m ＋1≥－22m －1≤5，可得2≤m ≤3，综上，m 的取值范围是m ≤3.(2)当x ∈Z 时，A ＝{－2，－1,0,1,2,3,4,5}，所以A 的非空真子集个数为28－2＝254.(3)因为x ∈R ，且A ＝{x |－2≤x ≤5}，B ＝{x |m ＋1≤x ≤2m －1}，又没有元素x 使x ∈A 与x ∈B 同时成立．则①若B ＝Ø，即m ＋1>2m －1，得m <2时满足条件． ②若B ≠Ø，则要满足的条件是 ⎩⎪⎨⎪⎧ m ＋1≤2m －1m ＋1>5或⎩⎪⎨⎪⎧m ＋1≤2m －12m －1<－2，解得m >4. 综上，m 的取值范围是m <2或m >4.。

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第3模块第6节[知能演练]一、选择题1．若tan α＝3，tan β＝43，则tan(α－β)等于( )A ．－3B ．－13C ．3D.13 解析：tan(α－β)＝tan α－tan β1＋tan αtan β＝3－431＋3×43＝535＝13.答案：D2．已知450°<α<540°，则12＋1212＋12cos2α的值是 ( )A ．－sin α2B ．cos α2C ．sin α2D ．－cos α2解析：原式＝12＋121＋cos2α2＝12－12cos α＝⎪⎪sinα2. ∵450°<α<540°，∴225°<α2<270°.∴原式＝－sin α2.答案：A3．等式|sin αcos α|＋122α－cos 2α|＝12成立的充要条件是( )A ．α＝kπ(k ∈Z )B ．α＝kπ2(k ∈Z ) C ．α＝kπ4(k ∈Z )D ．α＝kπ8(k ∈Z )解析：由题意知：原式＝12|sin2α|＋12|cos2α|＝12∴|sin2α|＋|cos2α|＝1，∴1＋2|sin2αcos2α|＝1. |sin4α|＝0，α＝kπ4(k ∈Z )．答案：C4．设M (cos πx 3＋cos πx 5sin πx 3＋sin πx5)(x ∈R )为坐标平面内一点，O 为坐标原点，记f (x )＝|OM |，当x 变化时，函数f (x )的最小正周期是( )A ．30πB ．15πC ．30D ．15解析：f (x )＝|OM | ＝2＋2(cos π3x cos π5x ＋sin π3x sin π5x )＝2＋2cos(π3x －π5x )＝2(1＋cos 215πx )＝2(1＋2cos 2π15x －1)＝4cos 2π15x＝2|cos π15x |.所以其最小正周期T ＝ππ15＝15.答案：D 二、填空题5．求值：cos 4π8＋cos 43π8＋cos 45π8＋cos 47π8＝________.解析：原式＝2⎝⎛⎭⎫cos 4π8＋cos 43π8＝2⎝⎛⎭⎫cos 4π8＋sin 4π8＝2⎝⎛⎭⎫1－2sin 2π8cos 2π8 ＝2⎝⎛⎭⎫1－12sin 2π4＝32. 答案：326．若锐角α、β满足(1＋3tan α)(1＋3tan β)＝4，则α＋β＝________. 解析：由(1＋3tan α)(1＋3tan β)＝4，可得tan α＋tan β1－tan αtan β＝3，即tan(α＋β)＝ 3.又α＋β∈(0，π)，∴α＋β＝π3.答案：π3三、解答题7．用tan α表示sin2α，cos2α. 解：sin2α＝2sin αcos α＝2sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝2tan αtan 2α＋1，cos2α＝cos 2α－sin 2α＝cos 2α－sin 2αsin 2α＋cos 2α＝1－tan 2α1＋tan 2α.8．已知0<α<π4，β为f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π8的最小正周期，a ＝⎝⎛⎭⎫tan ⎝⎛⎭⎫α＋14，－1，b ＝(cos α，2)，且a·b ＝m ，求2cos 2α＋sin2(α＋β)cos α－sin α的值．解：因为β为f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π8的最小正周期，故β＝π.因a·b ＝cos αtan ⎝⎛⎭⎫α＋14β－2＝m ，故cos αtan ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝m ＋2.由于0<α<π4，所以2cos 2α＋sin2(α＋β)cos α－sin α＝2cos 2α＋sin(2α＋2π)cos α－sin α＝2cos 2α＋sin2αcos α－sin α＝2cos α(cos α＋sin α)cos α－sin α＝2cos α·1＋tan α1－tan α＝2cos αtan ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝4＋2m .[高考·模拟·预测]1．函数f (x )＝sin x －13－2cos x －2sin x(0≤x ≤2π)的值域为( )A ．[－22，0] B ．[－1,0] C ．[－2，0]D ．[－3，0]解析：f (x )＝sin x －13－2cos x －2sin x＝sin x －13－22sin(x ＋π4)，此函数的最大值必为0，当x ＝0时，分子为－1，分母为1，此时函数值最小，最小值为－1，故选B.答案：B2．函数f (x )＝(sin 2x ＋12009sin 2x )(cos 2x ＋12009cos 2x)的最小值是 ( )A.42009 B.22009(2010－1) C.22009D.22009(2009－1) 解析：f (x )＝(2009sin 4x ＋1)(2009cos 4x ＋1)20092sin 2x cos 2x＝20092sin 4x cos 4x ＋2009(sin 4x ＋cos 4x )＋120092sin 2x cos 2x＝20092sin 4x cos 4x ＋2009[(sin 2x ＋cos 2x )2－2sin 2x cos 2x ]＋120092sin 2x cos 2x＝sin 2x cos 2x ＋201020092sin 2x cos 2x －22009≥22009(2010－1)．答案：B3．若sin θ22cos θ2＝0，则tan θ＝________.解析：由sin θ2－2cos θ2＝0得tan θ2＝2，代入二倍角公式可得tan θ＝2tanθ21－tan 2θ2＝－43.答案：－434．俗话说“一石激起千层浪”，小时候在水上打“水漂”的游戏一定不会忘记吧．现在一个圆形波浪实验水池的中心已有两个振动源，在t 秒内，它们引发的水面波动可分别由函数y 1＝sin t 和y 2＝sin(t ＋2π3)来描述，当这两个振动源同时开始工作时，要使原本平静的水面保持平静，则需再增加一个振动源(假设不计其他因素，则水面波动由几个函数的和表达)，请你写出这个新增振动源的函数解析式：________________.解析：因为y 1＋y 2＋y 3＝sin t ＋sin(t ＋2π3)＋y 3＝sin t －12t ＋32cos t ＋y 3＝0，所以y 3＝sin(t ＋4π3)时符合题意．本题也可为y 3＝sin(t －2π3)(答案不唯一)．答案：y 3＝sin(t ＋4π3)(答案不唯一)． 5．设函数f (x )＝cos(2x ＋π3)＋sin 2x .(Ⅰ)求函数f (x )的最大值和最小正周期；(Ⅱ)设A ，B ，C 为△ABC 的三个内角，若cos B ＝13f (C 2)＝－14C 为锐角，求sin A .解：(Ⅰ)f (x )＝cos2x cos π3－sin2x sin π3＋1－cos2x2＝12cos2x －32sin2x ＋12－12cos2x ＝12－32sin2x . 所以当2x ＝－π2＋2kπ，即x ＝－π4＋kπ(k ∈Z )时，f (x )取得最大值，[f (x )]最大值＝1＋32，f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π，故函数f (x )的最大值为1＋32，最小正周期为π.(Ⅱ)由f (C 2)＝－14，即12－32sin C ＝－14，解得sin C ＝32，又C 为锐角，所以C ＝π3由cos B ＝13求得sin B ＝223.因此sin A ＝sin[π－(B ＋C )]＝sin(B ＋C ) ＝sin B cos C ＋cos B sin C ＝223×12＋13×32＝22＋36. [备选精题]6．已知A ，B 是△ABC 的两个内角，向量a ＝(2cos A ＋B 2，sin A －B 2)，若|a |＝62.(1)证明：tan A tan B 为定值；(2)当tan C 取最大值时，求△ABC 的三个内角的大小．解：(1)由条件可知32＝(62)2＝|a |2＝2cos 2A ＋B 2＋sin 2A －B 2＝1＋cos(A ＋B )＋1－cos(A －B )2，∴cos(A ＋B )＝12cos(A －B )，∴3sin A sin B ＝cos A cos B ，∵A ，B 是△ABC 的两个内角，∴tan A tan B ＝13为定值．(2)tan C ＝－tan(A ＋B )＝－tan A ＋tan B1－tan A tan B由(1)知tan A tan B ＝13，∴tan A >0，tan B >0，从而tan C ＝－32(tan A ＋tan B )≤－32·2·tan A tan B ＝－3， ∴取等号的条件是当且仅当tan A ＝tan B ＝33，即A ＝B ＝π6时，tan C 取得最大值，此时△ABC 的三个内角分别是π6，π6，2π3.。

2021小学四年级上册数学专项计算题知识点天天练部编版

2021小学四年级上册数学专项计算题知识点天天练部编版班级：_____________ 姓名：_____________1. 用计算器计算（先估算）。

986＋599＋600＋99＝________ 437＋298＋521－356＝________ 9384÷23÷12=________ 8650÷25×19=________18632÷8÷17=________ 38921－27645＝________2. 直接写得数。

20×30= 60×120= 250×4=16×400= 80×50= 260×10=3. 我的口算能力最强。

2.7+5= 5.6+4.4= 10—0.1= 0.8－0.76=1.7+0.3= 17+0.33= 9－0.26= 8.1+1.9+5=2.38+0.7= 0.26－0.12= 2－0.005= 9.6－2.8－3.6=4. 怎样简便就怎样计算。

12813-211×13 159192-297×99 27853+13582-2413174×99+74 7200÷25÷4 137×89-89×3724.56-5.7-14.3 2.53+1.5+8.5+0.47 32×1255. 先用计算器算出每组前四题的得数，再根据规律填写后两题横线上的数。

(1)8×9＝________88×99＝________888×999＝______________8888×9999＝____________________×______＝________________×______＝__________(2)(10－1)÷9＝________(200－2)÷9＝________(3000－3)÷9＝________(40000－4)÷9＝_____________________÷9＝___________________÷9＝______6. 用计算器计算。

高三基础知识天天练3-7. 数学数学doc人教版

第3模块第7节[知能演练]一、选择题1．在△ABC 中，a 2－c 2＋b 2＝ab ，则角C 为( )A ．60°B ．45°或135°C ．120°D ．30°解析：∵a 2－c 2＋b 2＝ab ，∴cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝ab 2ab ＝12.又∵0°<C <180°，∴C ＝60°.答案：A2．在△ABC 中，A ＝120°，AB ＝5，BC ＝7，则sin Bsin C的值为 ( )A.85B.58C.53D.35解析：由余弦定理得BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC ·cos A ，即72＝52＋AC 2－10AC ·cos120°，∴AC ＝3.由正弦定理得sin B sin C ＝AC AB ＝35.答案：D3．已知△ABC 的三边长分别为a ，b ，c ，且面积S △ABC ＝14(b 2＋c 2－a 2)，则A 等于( )A ．45°B ．30°C ．120°D ．15°解析：由S △ABC ＝14(b 2＋c 2－a 2)＝12bc sin A得sin A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝cos A ，∴A ＝45°.答案：A4．在△ABC 中，BC ＝2，B ＝π3，若△ABC 的面积为32，则tan C 为( )A. 3 B ．1 C.33D.32解析：由S △ABC ＝12BC ·BA sin B ＝32得BA ＝1，由余弦定理得AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ×BC cos B ，∴AC ＝3，∴△ABC 为直角三角形，其中A 为直角，∴tan C ＝AB AC ＝33.答案：C 二、填空题5．某人向正东方向走了x 千米，他右转150°，然后朝新方向走了3千米，结果他离出发点恰好3千米，那么x 的值是________．解析：如图所示，该问题转化为已知△ABC 中BC ＝3，AC ＝3，B ＝30°，求AB 的长．由正弦定理AC sin B ＝BC sin A 可求得角A ，进而可求出角C 再由AB sin C ＝ACsin B可求得AB ，即x . 答案：3或2 36．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若a ＝1，b ＝7，c ＝3，则B ＝________.解析：由余弦定理变形得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝1＋3－72×1×3＝－32.又∵B ∈(0，π)，∴B ＝5π6.答案：5π6三、解答题7．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，并且a 2＝b (b ＋c )． (1)求证：A ＝2B ；(2)若a ＝3b ，判断△ABC 的形状． (1)证明：因为a 2＝b (b ＋c )，即a 2＝b 2＋bc ，所以在△ABC 中，由余弦定理可得， cos B ＝a 2＋c 2－b 22bc ＝c 2＋bc 2ac＝b ＋c 2a ＝a 22ab ＝a 2b ＝sin A2sin B，所以sin A ＝sin2B ，∴A ＝2B 或A ＋2B ＝π，而当A ＋2B ＝π时有B ＝C 即b ＝c ，代回已知得a ＝2b ，此时a 2＝b 2＋c 2，故A ＝90°，而B ＝C ＝45°也即A ＝2B .故A ＝2B .(2)解：因为a ＝3b ，所以ab ＝3，由a 2＝b (b ＋c )可得c ＝2b ，cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝3b 2＋4b 2－b 243b 2＝32所以B ＝30°，A ＝2B ＝60°，C ＝90°. 所以△ABC 为直角三角形．8．已知a 、b 、c 是△ABC 的三边长，关于x 的方程ax 2－2c 2－b 2x －b ＝0(a >c >b )的两根之差的平方等于4，△ABC 的面积S ＝103，c ＝7. (1)求角C ； (2)求a ，b 的值．解：(1)设x 1、x 2为方程ax 2－2c 2－b 2x －b ＝0的两根，则x 1＋x 2＝2c 2－b 2a，x 1·x 2＝－b a. ∴(x 1－x 2)2＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2 ＝4(c 2－b 2)a 2＋4b a ＝4.∴a 2＋b 2－c 2＝ab .又cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝ab 2ab ＝12，又∵C ∈(0°，180°)，∴C ＝60°. (2)由S ＝12ab sin C ＝103，∴ab ＝40.①由余弦定理c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，即c 2＝(a ＋b )2－2ab (1＋cos60°)． ∴72＝(a ＋b )2－2×40×(1＋12)．∴a ＋b ＝13.又∵a >b ② ∴由①②，得a ＝8，b ＝5.[高考·模拟·预测]1．△ABC 中，a ，b ，c 分别是内角A ，B ，C 的对边，且cos2B ＋3cos(A ＋C )＋2＝0，b ＝3，则c ∶sin C 等于( )A ．3∶1 B.3∶1 C.2∶1D ．2∶1解析：cos2B ＋3cos(A ＋C )＋2＝2cos 2B －3cos B ＋1＝0，∴cos B ＝12或cos B ＝1(舍)．∴B＝π3.∴c sin C ＝b sin B ＝332＝2.故选D. 答案：D2．△ABC 中，AB ＝3，AC ＝1，B ＝30°，则△ABC 的面积等于( )A.32B.34C.32或 3D.32或34解析：1sin30°＝3sin C ，∴sin C ＝32.∴C ＝60°或120°. (1)当C ＝60°时，A ＝90°，∴BC ＝2，此时，S △ABC ＝32； (2)当C ＝120°时，A ＝30°，S △ABC ＝12×3×1×sin30°＝34，故选D.答案：D3．在锐角△ABC 中，b ＝2，B ＝π3，sin2A ＋sin(A －C )－sin B ＝0，则△ABC 的面积为________．解析：sin2A ＋sin(A －C )－sin B ＝sin2A ＋sin(A －C )－sin(A ＋C )＝sin2A －2sin C cos A ＝2cos A (sin A －sin C )＝0，∵△ABC 是锐角三角形， ∴cos A ≠0.∴sin A ＝sin C ，即A ＝C . 又B ＝π3，∴△ABC 为正三角形．∴S ＝34×22＝ 3. 答案： 34．已知△ABC 中，∠A ，∠B ，∠C 的对边分别为a ，b ，c ，若a ＝c ＝6＋2且∠A ＝75°，则b ＝( )A ．2B ．4＋2 3C ．4－2 3D.6－ 2解析：sin A ＝sin75°＝sin(30°＋45°)＝sin30°cos45°＋sin45°cos30°＝2＋64.由a ＝c ＝6＋2可知，∠C ＝75°，所以∠B ＝30°，sin B ＝12.由正弦定理得b ＝asin A ·sin B＝2＋62＋64×12＝2，故选A. 答案：A5．在△ABC 中，BC ＝5，AC ＝3，sin C ＝2sin A . (1)求AB 的值； (2)求sin ⎝⎛⎭⎫2A －π4的值．解：(1)在△ABC 中，根据正弦定理，AB sin C ＝BCsin A .于是AB ＝sin Csin A BC ＝2BC ＝2 5.(2)在△ABC 中，根据余弦定理得 cos A ＝AB 2＋AC 2－BC 22AB ·AC ＝255.于是sin A ＝1－cos 2A ＝55. 从而sin2A ＝2sin A cos A ＝45，cos2A ＝cos 2A －sin 2A ＝35.所以sin ⎝⎛⎫2A －π4＝sin2A cos π4－cos2A sin π4＝210. [备选精题]6．已知函数f (x )＝2sin x cos 2φ2＋cos x sin φ－sin x (0<φ<π)在x ＝π处取最小值．(1)求φ的值；(2)在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边．已知a ＝1，b ＝2，f (A )＝32，求角C .解：(1)f (x )＝2sin x 1＋cos φ2＋cos x sin φ－sin x＝sin x ＋sin x cos φ＋cos x sin φ－sin x ＝sin x cos φ＋cos x sin φ＝sin(x ＋φ)．因为f (x )在x ＝π时取最小值．所以sin(π＋φ)＝－1，故sin φ＝1. 又0<φ<π，所以φ＝π2.(2)由(1)知f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π2＝cos x .因为f (A )＝cos A ＝32，且A 为△ABC 的内角，所以A ＝π6.由正弦定理得sin B ＝b sin A a ＝22.又b >a ，所以B ＝π4或B ＝3π4.当B ＝π4时，C ＝π－A －B ＝π－π6－π4＝7π12，当B ＝3π4时，C ＝π－A －B ＝π－π6－3π4＝π12.综上所述，C ＝7π12或C ＝π12.。

基础知识天天练数学5-2

第5模块第2节[知能演练]一、选择题1．若x ≠y ，两个等差数列x ，a 1，a 2，y 与x ，b 1，b 2，b 3，y 的公差分别为d 1和d 2，则d 2d 1等于 ( )A.23B.32C.34D.43解析：d 1＝y －x 4－1＝y －x 3，d 2＝y －x 5－1＝y －x4.∴d 2d 1＝34. 答案：C2．{a n }为等差数列，a 10＝33，a 2＝1，S n 为数列{a n }的前n 项和，则S 20－2S 10等于( )A ．40B ．200C ．400D ．20解析：本题考查等差数列的运算．S 20－2S 10＝20(a 1＋a 20)2－2×10(a 1＋a 10)2＝10(a 20－a 10)＝100d ，又a 10＝a 2＋8d ，∴33＝1＋8d ， ∴d ＝4，∴S 20－2S 10＝400. 答案：C3．等差数列{a n }中，a 1＋a 2＋a 3＝－24，a 18＋a 19＋a 20＝78，则此数列前20项和等于( )A ．160B ．180C ．200D ．220解析：∵a 1＋a 2＋a 3＝－24，a 18＋a 19＋a 20＝78， ∴a 1＋a 2＋a 3＋a 18＋a 19＋a 20＝3(a 1＋a 20)＝54， ∴S 20＝20(a 1＋a 20)2＝20×542×3＝180.答案：B4．设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若a 5a 3＝59，则S 9S 5等于( )A ．1B ．－1C ．2D.12解析：由a 5a 3＝a 1＋a 92a 1＋a 52＝[12(a 1＋a 9)×9]×5[12(a 1＋a 5)×5]×9＝S 9S 5×59⇒5S 99S 5＝59⇒S 9S 5＝1.答案：A 二、填空题5．设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若a 12＝－8，S 9＝－9，则S 16＝________. 解析：由S 9＝－9，得a 1＋a 92＝a 5＝－1，又a 12＝－8，所以a 5＋a 12＝a 1＋a 16＝－9. 故S 16＝(a 1＋a 16)×162＝－72.答案：－726．等差数列的前n 项和为S n ，若S 7－S 3＝8，则S 10＝________；一般地，若S n －S m ＝a (n >m )，则S n ＋m ＝________.解析：设等差数列的首项为a 1，公差为d ，则 S 7－S 3S 10＝4a 1＋18d 10a 1＋45d ＝25＝8S 10⇒S 10＝20；同理S n －S mS n ＋m ＝(n －m )·(a 1＋n ＋m －12d )(n ＋m )a 1＋(n ＋m )(n ＋m －1)2d＝n －m n ＋m ＝aS n ＋m ⇒S n ＋m ＝n ＋m n －m·a . 答案：20n ＋mn －m·a 三、解答题7．等差数列{a n }中，a 4＝10，且a 3，a 6，a 10成等比数列．求数列{a n }前20项的和S 20. 解：设数列{a n }的公差为d ，则a 3＝a 4－d ＝10－d ，a 6＝a 4＋2d ＝10＋2d ， a 10＝a 4＋6d ＝10＋6d . 由a 3，a 6，a 10成等比数列得a 3a 10＝a 26，即(10－d )(10＋6d )＝(10＋2d )2，整理得10d 2－10d ＝0，解得d ＝0或d ＝1. 当d ＝0时，S 20＝20a 4＝200；当d ＝1时，a 1＝a 4－3d ＝10－3×1＝7，于是S 20＝20a 1＋20×192d ＝20×7＋190＝330.8．已知数列{a n }中，a 1＝35，a n ＝2－1a n －1(n ≥2，n ∈N *)，数列{b n }满足b n ＝1a n －1(n ∈N *)，(1)求证：数列{b n }是等差数列；(2)记S n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ，求2S n ＋8n 的最小值．(1)证明：b n ＝1a n －1＝12－1a n －1－1＝a n －1a n －1－1，而b n －1＝1a n －1－1，∴b n －b n －1＝a n －1a n －1－1－1a n －1－1＝1(n ∈N *)．∴数列{b n }是首项为b 1＝1a 1－1＝－52，公差为1的等差数列．(2)解：∵b n ＝n －72，∴S n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝n (n －6)2.则2S n ＋8n ＝(n ＋8)(n ＋2)n ＝(n ＋16n)＋10. 由基本不等式，知(n ＋16n)＋10≥216＋10＝18.当且仅当n ＝4时取等号，即n ＝4时，2S n ＋8n取最小值18.[高考·模拟·预测]1．已知S n 是等差数列{a n }的前n 项和，S 10>0并且S 11＝0，若S n ≤S k 对n ∈N *恒成立，则正整数k 构成的集合为( )A ．{5}B ．{6}C ．{5,6}D ．{7}解析：等差数列中由S 10>0，S 11＝0得， S 10＝10(a 1＋a 10)2>0⇒a 1＋a 10>0⇒a 5＋a 6>0，S 11＝11(a 1＋a 11)2＝0⇒a 1＋a 11＝2a 6＝0，故可知，等差数列{a n }是递减数列且a 6＝0，所以S 5＝S 6≥S n ，即k ＝5或6，故选C.答案：C2．等差数列{a n }的前n 项和为S n .已知a m －1＋a m ＋1－a 2m ＝0，S 2m －1＝38，则m ＝( )A ．38B ．20C ．10D ．9解析：由条件得2a m ＝a m －1＋a m ＋1＝a 2m ，从而有a m ＝0或2.又由S 2m －1＝a 1＋a 2m －12×(2m －1)＝38且2a m ＝a 1＋a 2m －1得(2m －1)a m ＝38，故a m ≠0，则有2m －1＝19，m ＝10.答案：C3．已知{a n }为等差数列，a 1＋a 3＋a 5＝105，a 2＋a 4＋a 6＝99.以S n 表示{a n }的前n 项和，则使得S n 达到最大值的n 是( )A ．21B ．20C ．19D ．18解析：∵a 1＋a 3＋a 5＝105，a 2＋a 4＋a 6＝99， ∴3a 3＝105,3a 4＝99，即a 3＝35，a 4＝33， ∴a 1＝39，d ＝－2，得a n ＝41－2n .令a n >0且a n ＋1<0，n ∈N *，则有n ＝20.故选B. 答案：B4．已知数列{a n }共有m 项，记{a n }的所有项和为S (1)，第二项及以后所有项和为S (2)，第三项及以后所有项和为S (3)，…，第n 项及以后所有项和为S (n )，若S (n )是首项为1，公差为2的等差数列的前n 项和，则当n <m 时，a n ＝________.解析：由题意得S (n )＝a n ＋…＋a m ＝n ×1＋n (n －1)2×2＝n 2，当n <m 时，S (n ＋1)＝a n ＋1＋…＋a m ＝(n ＋1)2.故a n ＝S (n )－S (n ＋1)＝n 2－(n ＋1)2＝－2n －1.答案：－2n －15．已知数列{a n }满足a 1＝1，a n >0，S n 是数列{a n }的前n 项和，对任意n ∈N *，有2S n＝p (2a 2n ＋a n －1)(p 为常数)．(1)求p 和a 2，a 3的值； (2)求数列{a n }的通项公式．解：(1)令n ＝1得2S 1＝p (2a 21＋a 1－1)，又a 1＝S 1＝1，得p ＝1；令n ＝2得2S 2＝2a 22＋a 1－1，又S 2＝1＋a 2，得2a 22－a 2－3＝0，a 2＝32或a 2＝－1(舍去)，∴a 2＝32；令n ＝3得2S 3＝2a 23＋a 3－1，又S 3＝52＋a 3，得2a 23－a 3－6＝0，a 3＝2或a 3＝－32(舍去)，∴a 3＝2. (2)由2S n ＝2a 2n ＋a n －1，得2S n －1＝2a 2n －1＋a n －1－1(n ≥2)，两式相减，得2a n ＝2(a 2n －a 2n －1)＋a n －a n －1，即(a n ＋a n －1)(2a n －2a n －1－1)＝0，∵a n >0，∴2a n －2a n －1－1＝0，即a n －a n －1＝12(n ≥2)，故{a n }是首项为1，公差为12的等差数列，得a n ＝12(n ＋1)．[备选精题]6．已知f (x )＝4＋1x 2，数列{a n }的前n 项和为S n ，点P n (a n ，1a n ＋1)(n ∈N *)在曲线y ＝f (x )上，且a 1＝1，a n >0.(1)求数列{a n }的通项公式a n ；(2)数列{b n }的首项b 1＝1，前n 项和为T n ，且T n ＋1a 2n ＝T na 2n ＋1＋16n 2－8n －3，求数列{b n }的通项公式b n .解：(1)由题意知1a n ＋1＝4＋1a 2n. ∴1a 2n ＋1＝4＋1a 2n .∴1a 2n ＋1－1a 2n ＝4，即{1a 2n }是等差数列．∴1a 2n ＝1a 21＋4(n －1)＝1＋4n －4＝4n －3. ∴a 2n ＝14n －3. 又∵a n >0， ∴a n ＝14n －3. (2)由题意知(4n －3)T n ＋1＝(4n ＋1)T n ＋(4n ＋1)(4n －3)． ∴T n ＋14n ＋1－T n4n －3＝1.设T n4n －3＝c n，则上式变为c n ＋1－c n ＝1. ∴{c n }是等差数列．∴c n ＝c 1＋n －1＝T 11＋n －1＝b 1＋n －1＝n .∴T n4n －3＝n ，即T n ＝n (4n －3)＝4n 2－3n . ∴当n ＝1时，b n ＝T 1＝1；当n ≥2时，b n ＝T n －T n －1＝4n 2－3n －4(n －1)2＋3(n －1)＝8n －7. 经验证n ＝1时也适合上式． ∴b n ＝8n －7(n ∈N *)．。

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第4模块第2节
[知能演练]
一、选择题
1．已知向量a ＝(2,3)，b ＝(－1,2)，若m a ＋n b 与a －2b 共线，则m
n
等于
( )
A ．－12
B ．2 C.12
D ．－2
解析：m a ＋n b ＝(2m,3m )＋(－n,2n ) ＝(2m －n,3m ＋2n )，
a －2
b ＝(2,3)－(－2,4)＝(4，－1)．由m a ＋n b 与a －2b 共线，则有2m －n 4＝3m ＋2n －1，
∴n －2m ＝12m ＋8n ，∴m n ＝－1
2.
答案：A
2．已知向量OM →＝(3，－2)，ON →
＝(－5，－1)，则12
MN →等于
( )
A ．(8,1)
B ．(－8,1)
C ．(4，－1
2
)
D ．(－4，1
2
)
解析：∵OM →＝(3，－2)，ON →
＝(－5，－1)， ∴12MN →＝12(ON →－OM →) ＝1
2[(－5，－1)－(3，－2)] ＝12×(－8,1)＝(－4，12)．答案：D
3．在四边形ABCD 中，AB →＝a ＋2b ，BC →＝－4a －b ，CD →
＝－5a －3b ，其中a ，b 不共线，则四边形ABCD 是
( )
A ．梯形
B ．矩形
C ．菱形
D ．正方形
解析：∵AB →＋BC →＋CD →
＝a ＋2b －4a －b －5a －3b ＝－8a －2b ，
∴AD →＝2(－4a －b )＝2BC →，
∴AD →∥BC →且|AD →|＝2|BC →
|，故四边形是梯形．答案：A
4．平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知两点A (3,1)，B (－1,3)，若点C (x ，y )满足OC →
＝αOA →＋βOB →
，其中α、β∈R ，且α＋β＝1，则x ，y 满足的关系式为
( )
A ．3x ＋2y －11＝0
B ．(x －1)2＋(y －1)2＝5
C ．2x －y ＝0
D ．x ＋2y －5＝0
解析：由OC →＝αOA →＋βOB →
， ∴(x ，y )＝(3α－β，α＋3β)．
∴⎩
⎪⎨
⎪⎧
x ＝3α－β，y ＝α＋3β.∴⎩⎨⎧
α＝3x ＋y
10
，β＝－x ＋3y
10
.
∵α＋β＝1，∴x ＋2y －5＝0. 答案：D 二、填空题
5．设向量a ＝(1,2)，b ＝(2,3)，若向量λa ＋b 与向量c ＝ (－4，－7)共线，则λ＝________. 解析：由题意得λa ＋b ＝(2＋λ，2λ＋3)，又λa ＋b 与c 共线，
因此有(λ＋2)×(－7)－(2λ＋3)×(－4)＝0， ∴λ＝2. 答案：2
6．已知点A (1，－2)，若向量AB →与a ＝(2,3)同向，|AB →
|＝213，则点B 的坐标为________．解析：∵向量AB →
与a 同向， ∴设AB →
＝(2t,3t )(t >0)．
由|AB →
|＝213，
∴4t 2＋9t 2＝4×13.∴t 2＝4. ∵t >0，∴t ＝2.∴AB →
＝(4,6)．设B 为(x ，y )，
∴⎩⎪⎨⎪⎧ x －1＝4，y ＋2＝6.∴⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝5，y ＝4.
答案：(5,4) 三、解答题
7．已知A (－2,4)，B (3，－1)，C (－3，－4)．设AB →＝a ，BC →＝b ，CA →＝c ，且CM →＝3c ，CN →
＝－2b ， (1)求：3a ＋b －3c ；
(2)求满足a ＝m b ＋n c 的实数m ，n . 解：由已知得a ＝(5，－5)， b ＝(－6，－3)，c ＝(1,8)． (1)3a ＋b －3c
＝3(5，－5)＋(－6，－3)－3(1,8)
＝(15－6－3，－15－3－24)＝(6，－42)． (2)∵m b ＋n c ＝(－6m ＋n ，－3m ＋8n )，
∴⎩⎪⎨⎪⎧ －6m ＋n ＝5－3m ＋8n ＝－5，解得⎩
⎪⎨⎪⎧
m ＝－1n ＝－1. 8．在▱ABCD 中，A (1,1)，AB →
＝(6,0)，点M 是线段AB 的中点，线段CM 与BD 交于点P .
(1)若AD →
＝(3,5)，求点C 的坐标； (2)当|AB →|＝|AD →
|时，求点P 的轨迹．解：(1)设点C 坐标为(x 0，y 0)，又AC →＝AD →＋AB →
＝(3,5)＋(6,0)＝(9,5)，即(x 0－1，y 0－1)＝(9,5)， ∴x 0＝10，y 0＝6，即点C (10,6)． (2)由三角形相似，不难得出PC →＝2MP →
设P (x ，y )，则
BP →＝AP →－AB →
＝(x －1，y －1)－(6,0)＝(x －7，y －1)，
AC →＝AM →＋MC →＝12AB →＋3MP →
＝12AB →＋3(AP →－12
AB →) ＝3AP →－AB →
＝(3(x －1)，3(y －1))－(6,0) ＝(3x －9,3y －3)，
∵|AB →|＝|AD →
|，∴▱ABCD 为菱形，∴AC ⊥BD . ∴AC →⊥BP →
，即(x －7，y －1)·(3x －9,3y －3)＝0. (x －7)(3x －9)＋(y －1)(3y －3)＝0， ∴x 2＋y 2－10x －2y ＋22＝0(y ≠1)． ∴(x －5)2＋(y －1)2＝4(y ≠1)．
故点P 的轨迹是以(5,1)为圆心，2为半径的圆去掉与直线y ＝1的两个交点．
[高考·模拟·预测]
1．已知平面向量a ＝(x,1)，b ＝(－x ，x 2)，则向量a ＋b
( )
A ．平行于x 轴
B ．平行于第一、三象限的角平分线
C ．平行于y 轴
D ．平行于第一、四象限的角平分线
解析：a ＋b ＝(0,1＋x 2)，由1＋x 2≠0及向量的性质可知，C 正确．故选C. 答案：C
2．在平行四边形ABCD 中，AC 为一条对角线，若AB →＝(2,4)，AC →＝(1,3)，则BD →
等于
( )
A ．(－2，－4)
B ．(－3，－5)
C ．(3,5)
D ．(2,4)
解析：在平行四边形ABCD 中，AC →＝AB →＋AD →，BD →＝AD →－AB →
， ∴BD →＝(AC →－AB →)－AB →
＝(1,3)－2(2,4)＝(1,3)－(4,8)＝(－3，－5)．答案：B
3．在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 交于点O ，E 是线段OD 的中点，AE 的延长线与CD 交于点F .若AC →＝a ，BD →＝b ，则AF →
＝
( )
A.14a ＋1
2
b
B.23a ＋13
b
C.12a ＋1
4b
D.13a ＋23
b 解析：由已知得
DE ＝13EB ，则DF ＝1
3DC ，
∴CF ＝2
3
CD ，
∴CF →＝23CD →＝23(OD →－OC →)
＝23(12b －12a )＝13b －1
3a ， ∴AF →＝AC →＋CF →
＝a ＋13b －13a
＝23a ＋13b . 答案：B
4．已知向量a ＝(3,1)，b ＝(1,3)，c ＝(k,7)，若(a －c )∥b ，则k ＝________. 解析：3－k 1＝－63⇒k ＝5.故填5.
答案：5
5．已知向量a ＝(1,2)，b ＝(－2,1)，k ，t 为正实数，x ＝a ＋(t 2＋1)b ，y ＝－1k a ＋1
t b ，问
是否存在k 、t ，使x ∥y ，若存在，求出k 的取值范围；若不存在，请说明理由．
解：x ＝a ＋(t 2＋1)b
＝(1＋2)＋(t 2＋1)(－2,1)＝(－2t 2－1，t 2＋3) y ＝－1k a ＋1t b ＝－1k (1,2)＋1
t (－2,1)
＝(－1k －2t ，－2k ＋1t
)，
假设存在正实数k ，t ，使x ∥y ，则 (－2t 2－1)(－2k ＋1t )－(t 2＋3)(－1k －2
t )＝0，
化简得t 2＋1k ＋1
t ＝0，即t 3＋t ＋k ＝0，
∵k ，t 是正实数，故满足上式的k ，t 不存在． ∴不存在这样的正实数k ，t ，使x ∥y .
[备选精题]
6．已知向量a ＝(sin θ，cos θ－2sin θ)，b ＝(1,2)． (1)若a ∥b ，求tan θ的值； (2)若|a |＝|b |,0<θ<π，求θ的值．
解：(1)因为a ∥b ，所以2sin θ＝cos θ－2sin θ，于是4sin θ＝cos θ，故tan θ＝1
4.
(2)由|a |＝|b |知，sin 2θ＋(cos θ－2sin θ)2＝5，所以1－2sin2θ＋4sin 2θ＝5.
从而－2sin2θ＋2(1－cos2θ)＝4，即sin2θ＋cos2θ＝－1，于是sin(2θ＋π4)＝－2
2.
又由0<θ<π知，π4<2θ＋π4<9π4，所以2θ＋π4＝5π4，或2θ＋π4＝7π
4.
因此θ＝π2，或θ＝3π
4
.。

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