质点弹簧

如果dist不为0，则：
F0= (dist) * m_MouseForceKs+p1->f
（其中m_MouseForceKs为弹簧的阻尼系数, p1->f为m_Pick[0]标记的质点本来受到的力） 如果拉动m_Pick[1]标记的质点，计算此质点F1（计 算方法同上）
仿真控制主函数：
计算仿真的总时间Time： 如果使用固定步长，则：
在质点-弹簧模型中，有三种类型的弹簧：
结构性弹簧(structural spring)：连接紧密相连的横向和纵 向质点，起到固定布料结构的作用。 扭曲弹簧(shear spring)：也叫剪切弹簧，连接在一个对 角线上的相邻质点，起到防止布料扭曲变形的作用。 拉伸性弹簧(flexion spring)：也叫弯曲弹簧，连接纵向和 横向相隔一个质点的两质点，使布料在折叠时边缘圆滑。
具体结果如下图所示：
现阶段质点-弹簧模型的主要应用领域
虚拟手术仿真
人体软组织形变的仿真是虚拟手术的关键技术之一， 此模型可用于对人体活性软组织器官进行物理计算机 建模。 下图是用镊子进行软组织表面夹取：
布料仿真
布料模拟结果真实，已经在影视特效制作、计算机 辅助三维服装设计和视频游戏领域获得了越来越广泛 的应用。
Time = m_LastTime + (m_MaxTimeStep * m_TimeIterations);
（其中m_MaxTimeStep为最大时间步长， m_TimeIterations 为迭代次数， m_LastTime为上一次仿真结束时间） 否则， Time = GetTime() * m_TimeIterations; （GetTime()为获取此系统开始时间）
如果有阻尼系数未知，则阻尼系数用定值阻尼系数 DEFAULT_DAMPING，则F=DEFAULT_DAMPING*V
用户力 外界施加给质点的力，这里称为用户力，用Fu表示； 计算每个弹簧对各质点力的作用
在计算各个弹簧时，p1为弹簧的左端点，p2为弹 簧的右端点； 计算弹簧此时的长度dist，则弹簧的弹性力为： Hterm=Ks * (dist - rest) （其中Ks为胡克系数，rest为弹簧原长）； 计算弹簧的阻尼力 Dterm=(DotProduct(&deltaV,&deltaP) * spring->Kd) / dist （其中 deltaV为p1,p2点速度之差，deltaP为p1,p2 点位置之差，kd为阻尼系数， DotProduct 内积）
质点-弹簧模型
结构简单易用、 算法容易实现且效率较高
有限元模型
它把形变体划分成许多个有限单元，并在各个有限单元 内实现形变体几何和物理的连续特性。能准确地模拟物 体变形，但是其计算过程很复杂，且其能准确模拟的变 形幅度一般不到物体尺寸的1 鉴于现在对于变形效率及效果的综合要求一般采用质点-弹 簧模型
质点-弹簧模型介绍 （以布料模拟为例子）
质点-弹簧模型将一张布料看作成一张由质点构成的网，质 点的位置代表布料上某一点的空间位置。 质点没有大小，但有一定的质量，且质量均匀分布。 在这个模型中，是一种虚拟的弹簧：每一根弹簧连接两个质 点，而每个质点可能连接任意根弹簧。这里的弹簧是拥有线 性弹性系数的遵循胡克定律的可伸缩弹簧 下面分别是面模型和体模型拓扑结构：
质点-弹簧模型
主要内容
研究背景 质点-弹簧模型介绍 应用到文字变形
研究背景
图形的变形过程仿真和可视化是计算机图形学的一个重要研 究课题。在布料模拟、医学手术模拟等许多领域中都有广泛 的应用。 目前主要的变形模拟模型主要分以下几种：
几何模型：
物体的形状完全用数学函Байду номын сангаас来描述，通过几何插值的 方法直接改变物体表面的控制点从而改变物体形状，这 种方法计算速度快，相对容易实现，但是不具有物理意 义，只能模拟一些简单的模型 。
弹簧力为： springForce= -(Hterm + Dterm)； 质点p1受到的力： p1->f= p1->f +springForce= p1->f -(Hterm + Dterm) 质点p2受到的力： p2->f= p2->f -springForce= p2->f +(Hterm + Dterm) 计算鼠标拉力对质点的作用 计算鼠标力作用的长度： dist= m_MouseDragPos[0]- p1->pos （m_MouseDragPos[0]为鼠标的位置， p1->pos为m_Pick[0]标记的质点的位置）；
仿真
点击运行菜单，当：
m_LastTime < Time ∆t = Time - m_LastTime；
如果 ∆t大于最大步长m_MaxTimeStep， 则 ∆t =m_MaxTimeStep； 仿真时间 ∆t 内图像的变化情况；
m_LastTime=m_LastTime+ ∆t ；
否则仿真∆t 时间内图像的变化情况；
物理模型：
物体的模型用微分方程来描述，结合物体的物理属性， 运用力学理论建立微分方程。该方法能反应物体的真实 情况，但速度相对较慢。
混合模型：
结合几何模型与物理模型，其速度及逼真度介于两种 模型中间。 由于可以结合物理属性且获得更逼真的模拟效果，现在的研 究中一般采用物理模型，常用的物理模型有以下两种：
受力分析
前面介绍了质点-弹簧模型中质点的连接方式，为使模型能够运动起来， 必须对它进行受力分析，下面就来看看质点的受力情况。 质点的位置受内部弹簧的弹性力（包括结构力，剪切力，弯曲力）和 物体外部受力（如重力，惩罚力，阻尼力，空气阻力和用户自定义的 力等）影响。 在某一时刻多个力同时作用于物体上，每个力的向量之和为最后的合 力，对于布料上的每个质点，可以将所有作用于质点上的力相加，来 决定加速度：
X X表示质点的位置矢量， ∈ R 3是求解目标，m表示质点的质量， 合 表示 F 物体所受合力。而质点所受的内外力之和分别随着时间和位置的变化 而变化。
关于文字变形受力分析：
首先，对所有的质点计算力F； 初始化每个顶点力为0，即F=0； 计算质点的重力（质量均匀）； 如果有阻尼系数给出，则F=kd*V（kd为阻尼系数，V为振子 速度），阻尼力与速度大小成正比，速度方向成反比；