2-1线性方程组和矩阵
线性代数 2-1
3 − 1 1 2 0 − 1 −6 2 − 2 −5 −4 5 = − 1 0 − 1 − 5 − 2 − 4 3 0 −2 2 0 2
三、矩阵的乘法运算
某企业有三个生产车间，各车间都生产甲、乙两种产品， 某企业有三个生产车间，各车间都生产甲、乙两种产品， 矩阵A表示一年中各车间生产的各种产品的数量 矩阵B表 表示一年中各车间生产的各种产品的数量， 矩阵 表示一年中各车间生产的各种产品的数量，矩阵 表 示各种产品的单位价格和单位利润（万元），矩阵C表示 ），矩阵 示各种产品的单位价格和单位利润（万元），矩阵 表示 各车间的总收入和总利润， 各车间的总收入和总利润，即： c11 c12 1 a11 a12 1 b b 甲 C = c21 c22 2 A = a21 a22 2 B = 11 12 b b 乙 c c32 3 a 3 21 22 31 31 a32 单价 单利 总收入 总利润 甲 乙
a11b11 + a12b21 a11b12 + a12b22 1 C = a21b11 + a22b21 a21b12 + a22b22 2 a b + a b a b + a b 3 31 11 32 21 31 12 32 22 总收入 总利润
分析A、 、 之间的关系 之间的关系。 分析 、B、C之间的关系。
... a1n ... a2n ... ... ... amn
b 1 b2 ... bm
n个 x m 变量 1, y2 ,⋯, ym之 y 变量 1, x2 ,⋯, xn与 个 间的 关系 式 y1 = a11x1 + a12x2 +⋯+ a1n xn , y = a x + a x +⋯+ a x , 2 21 1 22 2 2n n ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ym = am1x1 + am2 x2 +⋯+ amn xn
《线性代数》第1章线性方程组与矩阵
记为 En 或 E即，
1 0 L 0
E
0
1L
0
.
L L O M
0
0L
1
定义2 两个矩阵的行数相等、列数也相等，则称这两个矩阵为同型矩阵.
如果两个同型矩阵
A (aij )mn 和 B (bij )mn 中所有对应位置的元素都相等， 即 aij bij ，其中
该线性方程组由常数 aij i 1,2,L ,m ; j 1,2,L ,n 和 bi i 1, 2,L , m完全确定， 可以用一个 mn 1 个数排成的 m 行 n 1列的数表
a11 a12 L
°A
a21
a22
L
M M
am1
am2
L
a1n b1
a2n
b2
M M
amn bm
一、矩阵的定义
得到的 n m 矩阵称为矩阵 A 的转置矩阵，记为 AT ，即
a11 a21 L
AT
a12
L
a22 L LL
a1n
a2n L
am1
am 2
.
L
anm
矩阵的转置满足下面的运算规律（这里 k 为常数， A 与 B 为同型矩阵）：
数 aij 位于矩阵aij 的第 i 行第 j 列，称为矩阵的i, j 元素， 其中 i 称为元素 aij 的行标， j 称为元素 aij 的列标.
一般地，常用英文大写字母 A, B,L 或字母, , ,L 表示矩阵.
一、矩阵的定义
第1章 线性方程组与矩阵 6
元素是实数的矩阵称为实矩阵， 元素是复数的矩阵 称为复矩阵. 本书除特别指明外，都是指实矩阵.
线性方程组与矩阵的特征值与特征向量
线性方程组与矩阵的特征值与特征向量线性方程组和矩阵理论是线性代数的重要分支，它们在各个领域都有广泛的应用。
本文将介绍线性方程组与矩阵的特征值与特征向量的概念、性质以及应用。
一、线性方程组线性方程组是由线性方程组成的方程集合，其中每个方程都是关于变量的一次多项式，并且每个方程中的系数都是常数。
线性方程组可以表示成矩阵的形式，即Ax = b，其中A是一个m×n的矩阵，x是一个n维列向量，b是一个m维列向量。
解线性方程组的方法有很多，例如高斯消元法、矩阵的逆等。
但解析解的存在与否与方程组的特征有关。
二、特征值与特征向量的定义设A是一个n阶方阵，如果存在一个非零向量x使得Ax = λx，其中λ是一个常数，那么称λ为矩阵A的特征值，x称为矩阵A对应于特征值λ的特征向量。
三、特征值与特征向量的性质1. 矩阵A的特征值满足特征方程|A-λI|=0，其中I是单位矩阵。
2. 矩阵A的特征向量x对应于特征值λ的充要条件是(A-λI)x=0，其中0是零向量。
3. 矩阵A的特征值之和等于其主对角线元素之和，即tr(A) = λ₁ + λ₂ + … + λₙ，其中tr(A)表示矩阵A的迹。
4. 矩阵A的特征值之积等于其行列式的值，即|A| = λ₁λ₂…λₙ。
四、求解特征值与特征向量的方法对于一个n阶方阵A，求解特征值与特征向量的方法有很多，最常用的方法是求解特征方程|A-λI|=0，通过解特征方程可以求得特征值。
然后将特征值带入(A-λI)x=0，通过高斯消元法求解得到特征向量。
五、特征值与特征向量的应用特征值与特征向量在许多领域都有广泛的应用，主要包括以下几个方面：1. 特征值分解：将一个对称矩阵分解为特征值和特征向量的乘积形式，可以用于数据降维、图像处理等。
2. 特征值在几何学中的应用：特征向量可以表示几何变换的方向和比例关系，例如在二维平面上的旋转变换。
3. 特征值在电力系统中的应用：特征值与特征向量可以用于电力系统的稳定性分析和系统校正。
矩阵与线性方程组的数学模型和解法
矩阵与线性方程组的数学模型和解法矩阵和线性方程组是线性代数中常见的数学概念，广泛应用于各个学科领域，包括工程、科学、经济等。
本文将介绍矩阵和线性方程组的数学模型以及常见的解法。
1. 矩阵的数学模型矩阵是由数字排列成的矩形阵列。
一个m×n的矩阵表示为：[A] = [a_ij]其中，a_ij是矩阵中第i行第j列的元素。
矩阵按行数和列数分别称为行数和列数，即m×n的矩阵有m行n列。
2. 线性方程组的数学模型线性方程组是一组以线性关系描述的方程组。
形式如下：a_11x_1 + a_12x_2 + ... + a_1nx_n = b_1a_21x_1 + a_22x_2 + ... + a_2nx_n = b_2......................a_m1x_1 + a_m2x_2 + ... + a_mnx_n = b_m其中，x_1, x_2, ..., x_n是未知数，a_ij是系数矩阵的元素，b_1, b_2, ..., b_m是常数项。
3. 线性方程组的解法解一个线性方程组的目标是找到一组满足所有方程的未知数值的解。
下面介绍两种常见的解法：高斯消元法和矩阵求逆法。
a. 高斯消元法高斯消元法是一种通过消元和回代的操作来求解线性方程组的方法。
具体步骤如下：Step 1: 构造增广矩阵[A|b]，其中A为系数矩阵，b为常数项矩阵。
Step 2: 利用初等行变换将增广矩阵化简为上三角矩阵。
Step 3: 从最后一行开始，利用回代法求出未知数的值。
b. 矩阵求逆法矩阵求逆法是利用逆矩阵的性质来求解线性方程组的方法。
具体步骤如下：Step 1: 构造增广矩阵[A|I]，其中A为系数矩阵，I为单位矩阵。
Step 2: 利用初等行变换将增广矩阵化简为[I|B]，其中B为所求逆矩阵。
Step 3: 利用逆矩阵的性质，将常数项矩阵变换为解的矩阵。
4. 矩阵与线性方程组的应用矩阵和线性方程组在各个学科领域都有广泛的应用。
矩阵与线性方程组的关系
矩阵与线性方程组的关系在线性代数中，矩阵和线性方程组是两个重要的概念。
矩阵是一个具有矩形排列的数的集合，而线性方程组是一组方程，其中的每个方程都是关于未知数的线性表达式。
本文将探讨矩阵与线性方程组之间的关系及其应用。
一、矩阵的定义与基本操作矩阵是由数域上的元素按照一定规律排列而成的矩形阵列。
一个矩阵通常用大写字母表示，例如A。
矩阵的行数和列数分别表示为m和n，可以记作A(m*n)。
矩阵中的每个元素用小写字母表示，并由其所在的行号和列号来指定。
例如A(i,j)表示矩阵A中位于第i行第j列的元素。
矩阵有一些基本的运算和操作，例如矩阵加法、矩阵数乘、矩阵乘法等。
矩阵加法的定义是，对于同型矩阵A和B，它们的和定义为相应位置元素相加得到的矩阵。
矩阵数乘的定义是，对于任意矩阵A和标量k，它们的乘积定义为将矩阵A的每个元素乘以标量k得到的矩阵。
矩阵乘法的定义是，对于矩阵A(m*p)和B(p*n)，它们的乘积AB 定义为矩阵C(m*n)，其中C(i,j)等于A的第i行和B的第j列对应元素的乘积之和。
二、线性方程组的定义与解法线性方程组是一个或多个关于未知数的线性方程组成的集合。
一个线性方程组通常用大括号包围，并用系数矩阵和常数向量来表示。
例如，以下是一个包含三个方程和三个未知数的线性方程组：{a11x1 + a12x2 + a13x3 = b1a21x1 + a22x2 + a23x3 = b2a31x1 + a32x2 + a33x3 = b3要解线性方程组，可以使用矩阵的逆运算或高斯消元法等方法。
其中，矩阵的逆运算是通过求解逆矩阵来得到线性方程组的解。
逆矩阵的定义是，对于一个矩阵A，如果存在一个矩阵B使得AB=BA=I，其中I是单位矩阵，则称B为A的逆矩阵。
三、矩阵与线性方程组的关系矩阵和线性方程组之间存在着密切的关系。
对于一个由m个方程和n个未知数组成的线性方程组，可以使用矩阵的形式来表示。
设系数矩阵为A(m*n)，未知数向量为X(n*1)，常数向量为B(m*1)，则线性方程组可以表示为AX=B。
矩阵与二元一次方程组
矩阵与二元一次方程组
我们明白，关于x ，y 的二元一次方程组
⎩⎨⎧=+=+②①n dy cx m by ax
能够用下述方法来求解：将①×d -②×b ，得
〔ad -bc 〕x =dm -bn
再将②×a -①×c ，得
〔ad -bc 〕y =an -cm
当ad -bc ≠0时，方程组的解为
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧--=--=bc ad cm an y bc ad bn dm x 观看上述结果，我们能够发明x ，y 的分母是一样的，是将线性方程组的系数矩阵a b c d ⎛⎫ ⎪⎝⎭
中主对角线上两数的积减去副对角线上两数之积得到的结果、我们将矩阵A =a b c d ⎛⎫ ⎪⎝⎭两边的“⎛⎫ ⎪⎝⎭”
改为“”，引进以下定义：我们把a b c d ⎛⎫ ⎪⎝⎭
称为二阶行列式，它的运算结果是一个数值〔或多项式〕，记为：
det 〔A 〕=d c b
a =ad -bc
有了上述二阶行列式的定义，我们就能够将前述二元一次方程组的一般解改写为
x ＝m b n d
a b
c d y ＝a m c n a b c d 为研究方便起见，我们常常将d c b
a 记为D ，将m
b n d 记为D X ，将a m
c n 记为
D y ，因此，
x ＝D
D x ，y ＝D D y 那个公式是高等数学中克莱姆法那么的一个特别情形、克莱姆，瑞士数学家、。
线性代数目录
线性代数⽬录第⼀章 线性⽅程组与矩阵 1第⼀节 矩阵的概念及运算 1 ⼀、矩阵的定义 1 ⼆、矩阵的线性运算 3 三、矩阵的乘法 4 四、矩阵的转置 6习题1-1 7第⼆节 分块矩阵 8 ⼀、分块矩阵的概念 8 ⼆、分块矩阵的运算 10习题1-2 13第三节 线性⽅程组与矩阵的初等变换 14 ⼀、矩阵的初等变换 14 ⼆、求解线性⽅程组 18习题1-3 22第四节 初等矩阵与矩阵的逆矩阵 23 ⼀、⽅阵的逆矩阵 24 ⼆、初等矩阵 25 三、初等矩阵与逆矩阵的应⽤ 26习题1-4 29本章⼩结 31拓展阅读 32测试题⼀ 33第⼆章 ⽅阵的⾏列式 35第⼀节 ⾏列式的定义 35 ⼀、排列 35 ⼆、ｎ 阶⾏列式 37 三、⼏类特殊的ｎ 阶⾏列式的值 39习题2-1 41第⼆节 ⾏列式的性质 41 ⼀、⾏列式的性质 41 ⼆、⾏列式的计算举例 45 三、⽅阵可逆的充要条件 48习题2-2 50第三节 ⾏列式按⾏(列)展开 51 ⼀、余⼦式与代数余⼦式 52 ⼆、⾏列式按⾏(列)展开 52习题2-3 57第四节 矩阵求逆公式与克莱默法则 58 ⼀、伴随矩阵与矩阵的求逆公式 58 ⼆、克莱默法则 59习题2-4 62本章⼩结 63拓展阅读 64测试题⼆ 65第三章 向量空间与线性⽅程组解的结构 67第⼀节 向量组及其线性组合 67 ⼀、向量的概念及运算 67 ⼆、向量组及其线性组合 69 三、向量组的等价 71习题3-1 74第⼆节 向量组的线性相关性 74⼀、向量组的线性相关与线性⽆关 75⼆、向量组线性相关性的⼀些重要结论 77习题3-2 80第三节 向量组的秩与矩阵的秩 81 ⼀、向量组秩的概念 81 ⼆、矩阵秩的概念 82 三、矩阵秩的求法 83 四、向量组的秩与矩阵的秩的关系 85习题3-3 87第四节 线性⽅程组解的结构 88 ⼀、线性⽅程组有解的判定定理 88 ⼆、齐次线性⽅程组解的结构 90 三、⾮齐次线性⽅程组解的结构 94习题3-4 96第五节 向量空间 97 ⼀、向量空间及其⼦空间 97 ⼆、向量空间的基、维数与坐标 99 三、基变换与坐标变换 101习题3-5 103本章⼩结 105拓展阅读 106测试题三 107第四章 相似矩阵及⼆次型 109第⼀节 向量的内积、长度及正交性 109 ⼀、向量的内积、长度 109 ⼆、正交向量组 110 三、施密特正交化过程 112 四、正交矩阵 113习题4-1 115第⼆节 ⽅阵的特征值与特征向量 115 ⼀、⽅阵的特征值与特征向量的概念及其求法 116 ⼆、⽅阵的特征值与特征向量的性质 119习题4-2 121第三节 相似矩阵 122 ⼀、⽅阵相似的定义和性质 122 ⼆、⽅阵的相似对⾓化 123习题4-3 124第四节 实对称矩阵的相似对⾓化 125 ⼀、实对称矩阵的特征值和特征向量的性质 125 ⼆、实对称矩阵的相似对⾓化 126习题4-4 129第五节 ⼆次型及其标准形 129 ⼀、⼆次型及其标准形的定义 130 ⼆、⽤正交变换化⼆次型为标准形 131 三、⽤配⽅法化⼆次型为标准形 134习题4-5 135第六节 正定⼆次型与正定矩阵 136 ⼀、惯性定理 136 ⼆、正定⼆次型与正定阵 137习题4-6 138本章⼩结 139拓展阅读 140测试题四 141第五章 线性空间与线性变换 143第⼀节 线性空间的定义与性质 143 ⼀、线性空间的定义 143 ⼆、线性空间的性质 145 三、线性空间的⼦空间 146习题5-1 147第⼆节 维数、基与坐标 147 ⼀、线性空间的基、维数与坐标 147 ⼆、基变换与坐标变换 149习题5-2 150第三节 线性变换 151 ⼀、线性变换的定义 151 ⼆、线性变换的性质 153 三、线性变换的矩阵表⽰式 154习题5-3 158本章⼩结 161拓展阅读 162测试题五 163部分习题答案 165。
矩阵与线性方程组
矩阵与线性方程组在数学中，矩阵与线性方程组有着密切的联系。
矩阵是线性代数中的基本工具之一，通过矩阵的运算可以解决线性方程组，或者将其转化为更简单的形式。
本文将介绍矩阵的定义、性质以及其与线性方程组的关系，并通过实例来说明其应用。
一、矩阵的定义和基本运算矩阵由数个数值排列成的矩形阵列组成，其中每个数值称为矩阵的元素，用小写字母表示。
一个m×n的矩阵具有m行和n列。
矩阵可以用方括号或圆括号来表示，如A=[a_ij]或A=(a_ij)，其中a_ij表示矩阵中第i行第j列的元素。
矩阵的运算包括加法、减法、数乘和乘法。
矩阵的加法和减法只能在行数和列数相同的矩阵之间进行，即如果A和B是m×n的矩阵，则A±B也是m×n的矩阵。
数乘是指将一个矩阵的每个元素乘以一个常数，即如果A是m×n的矩阵，k是一个常数，则kA也是m×n的矩阵。
矩阵的乘法是指将一个矩阵的行与另一个矩阵的列相乘再相加得到一个新的矩阵，即若A是m×n的矩阵，B是n×p的矩阵，则AB是m×p的矩阵。
二、矩阵的性质矩阵有许多重要的性质，包括可逆矩阵、特征值与特征向量、转置矩阵等。
其中，可逆矩阵是指存在一个同阶的矩阵与之相乘等于单位矩阵的矩阵，记作A^{-1}。
特征值与特征向量是指当一个n×n的矩阵A与一个非零向量x满足Ax=λx时，λ称为A的特征值，x称为A的对应于特征值λ的特征向量。
转置矩阵是指将一个矩阵的行和列互换得到的新的矩阵，记作A^T。
三、矩阵与线性方程组的关系线性方程组是指由一组线性方程组成的方程组，其中未知数的最高次数为1。
线性方程组可以用矩阵形式表示，即Ax=b，其中A是一个m×n的矩阵，x是一个n×1的矩阵，b是一个m×1的矩阵。
这个方程组的解可以通过求解矩阵方程Ax=b来得到。
通过矩阵的运算，我们可以将线性方程组转化为更简单的形式进行求解。
线性方程组的解法与矩阵的特征值与特征向量
线性方程组的解法与矩阵的特征值与特征向量线性方程组是数学中的重要概念，它描述了线性关系的一种形式。
解决线性方程组可以帮助我们理解和解决各种实际问题，并且在数学和工程等领域有着广泛的应用。
而矩阵的特征值与特征向量则是矩阵理论中的重要内容，它们与线性方程组之间有着密切的联系。
本文将介绍线性方程组的解法以及矩阵的特征值与特征向量的相关知识。
一、线性方程组的解法1.1. 高斯消元法高斯消元法是解决线性方程组的基本方法之一。
它通过消元操作将线性方程组化为最简形式，从而求出方程组的解。
具体步骤如下：步骤一：写出线性方程组的增广矩阵。
步骤二：利用初等行变换将增广矩阵化为阶梯形式。
步骤三：从最后一个非零行开始，利用回代法求解方程组的解。
1.2. 矩阵的逆另一种解决线性方程组的方法是使用矩阵的逆。
如果矩阵A可逆，那么我们可以通过左乘矩阵A的逆来求解线性方程组Ax=b，即x=A^(-1)b。
1.3. 克拉默法则克拉默法则是解决线性方程组的另一种方法。
它利用矩阵的行列式来求解方程组的解。
具体步骤如下：步骤一：计算系数矩阵A的行列式D。
步骤二：计算替换掉系数矩阵A的第i列为常数向量b后的行列式D_i。
步骤三：方程组的解为x_i=D_i/D。
二、矩阵的特征值与特征向量2.1. 特征值与特征向量的定义给定n阶矩阵A，如果存在非零向量x使得Ax=λx，其中λ为常数，那么向量x称为矩阵A的特征向量，常数λ称为矩阵A的特征值。
2.2. 特征值与特征向量的计算要计算矩阵A的特征值与特征向量，可以通过以下步骤进行：步骤一：求解矩阵A-λI的零空间，其中I为单位矩阵。
步骤二：将零空间中的向量标准化，得到单位特征向量。
步骤三：通过将特征向量代入矩阵A-λI的定义式，计算对应的特征值。
2.3. 特征值与特征向量的应用特征值与特征向量在矩阵理论中有着广泛的应用。
例如，它们可以用于矩阵的对角化，从而简化矩阵的计算；它们还可以用于解决微分方程和差分方程等应用问题。
线性方程组的矩阵表示与应用
线性方程组的矩阵表示与应用线性方程组是数学中重要且常见的概念，它可以通过矩阵的形式进行表示和求解。
本文将详细介绍线性方程组的矩阵表示方法以及其在实际应用中的意义。
一、线性方程组的矩阵表示线性方程组是由一组线性方程组成的数学模型。
通常情况下，线性方程组可以表示为：a₁₁x₁ + a₁₂x₂ + ... + a₁ₙxₙ = b₁a₂₁x₁ + a₂₂x₂ + ... + a₂ₙxₙ = b₂...aₙ₁x₁ + aₙ₂x₂ + ... + aₙₙxₙ = bₙ其中，a₁₁、a₁₂、...、aₙₙ为已知系数，x₁、x₂、...、xₙ为未知数，b₁、b₂、...、bₙ为已知常数。
为了方便表示和计算，我们可以将线性方程组转化为矩阵的形式。
假设 A 是一个 m×n 的矩阵，其中 aᵢₙ表示线性方程组中第 i 个方程中未知数 xₙ 的系数。
并且，b 是一个 m 维列向量，表示线性方程组中的常数项。
则线性方程组可以表示为矩阵乘法的形式：Ax = b其中，x 是一个 n 维列向量，表示线性方程组的解。
二、线性方程组的矩阵应用1. 线性方程组的解线性方程组的矩阵表示使得求解过程更加简便。
通过将线性方程组表示为矩阵形式，可以利用矩阵的性质和运算方法求解方程组的解。
一般来说，我们可以使用高斯消元法、矩阵的逆等方法来求解线性方程组的解。
2. 线性方程组的唯一性线性方程组的解不一定存在，但如果线性方程组的系数矩阵 A 是满秩的，即矩阵 A 的秩等于其行数或列数，那么该线性方程组必然存在唯一解。
这是因为满秩的矩阵 A 能够通过初等行变换得到行最简形式的矩阵，从而唯一确定解的值。
3. 线性方程组与向量空间线性方程组的解空间与矩阵的零空间有密切关系。
线性方程组的所有解构成一个向量空间，称为齐次方程组的解空间。
这个解空间是由零空间中的一个特解加上齐次方程组的基础解系所张成的。
4. 线性方程组的应用线性方程组的矩阵表示在许多实际问题中具有广泛的应用。
初中数学知识点线性方程组的矩阵表示与解法
初中数学知识点线性方程组的矩阵表示与解法线性方程组是初中数学中一个重要的知识点，它在实际问题中有着广泛的应用。
在解决线性方程组的过程中，矩阵的表示和解法是常用的工具和方法。
下面将介绍线性方程组的矩阵表示以及一些解法。
一、线性方程组的矩阵表示线性方程组可以用矩阵表示，这样能够简化计算过程，使得问题更加清晰。
假设有一个包含m个方程和n个未知数的线性方程组，可以用如下形式表示：A · X = B其中，A是一个m行n列的矩阵，称为系数矩阵；X是一个n行1列的矩阵，称为未知数矩阵；B是一个m行1列的矩阵，称为常数矩阵。
二、线性方程组的解法解线性方程组的方法有很多种，常见的有高斯消元法、逆矩阵法和克拉默法则。
1. 高斯消元法高斯消元法是解线性方程组最常用的方法之一。
它的基本思想是通过一系列的行变换将系数矩阵A化为一个上三角矩阵R，进而求得未知数矩阵X的解。
具体步骤如下：（1）将方程组写成增广矩阵形式，即[A | B]。
（2）选取第一个非零元素a11为主元素，将第1行整行乘以1/a11，使主元素成为1。
（3）利用第一个方程的倍数和减去其他方程的相应倍数，使得第1列的其他元素变为0。
（4）选取第2列第2个非零元素a22为主元素，重复步骤（2）和（3），依此类推，直到完成将A化为上三角矩阵R。
（5）通过回代法求解未知数矩阵X。
2. 逆矩阵法逆矩阵法是利用矩阵的逆来求解线性方程组的方法。
当系数矩阵A可逆时，可以通过以下公式求解未知数矩阵X：X = A⁻¹ · B其中，A⁻¹表示矩阵A的逆矩阵。
但需要注意的是，当系数矩阵A不可逆时，逆矩阵法无法使用。
3. 克拉默法则克拉默法则是一种利用行列式求解线性方程组的方法。
对于一个n个未知数的线性方程组，如果系数矩阵A的行列式不等于0，则可以通过以下公式求解未知数矩阵X：Xi = |Ai| / |A|其中，Xi表示未知数矩阵X的第i个元素；|Ai|表示将第i列的元素替换为常数矩阵B后，系数矩阵A的行列式；|A|表示系数矩阵A本身的行列式。
2-1线性方程组的求解
交换后两个方程, 然后将第二个方程的 - 4 倍加到第 三个方程，再将第三个方程等号两边同乘以 1/3，得到
2 x1 x2 3 x3 1 x2 x3 5 3 x3 18
x3 = - 6, x2 = - 1,
2 x1 x2 3 x 3 1 x2 x3 5 x 3 6
x2 = - 1,
x1 = 9
其中B为行阶梯形矩阵，C为行最简形矩阵 16
例5 解线性方程组
x1 x2 x3 x4 x5 1 3x 2 x x x 3x 0 1 2 3 4 5 x2 2 x3 2 x4 6 x5 3 5 x1 4 x2 3 x3 3 x4 x5 2
解 对增广矩阵作行初等变换, 将其化为行最简形矩阵
1 3 A, 0 5
17
1 2 1 4
1 0 r3 r2 r4 ( 1) r2 0 0
1 1 0 0
1 2 0 0
1 2 0 0
1 6 0 0
1 1 0 r2 ( 1) 3 r1 ( 1) r2 0 0 0 0
有非零解, 试求常数k的值. 解 由定理2.1.2知该方程组系数行列式必为零 ,即 的值.
2 A 3 1 1 3 4 7 2
r1 2r3
有非零解, 试求常数
0
3 3 2k
0 2 7 3k r 3r3 k 2 1 2 k
2
3 3 2k 7 3k
5 k 3 0
2
1 1
2
0 1
又 B1 1 4 1 20 B2 2
3
B2 A
1 1 0 1 2 3
基本矩阵方程
基本矩阵方程1. 简介矩阵方程是指形如Ax=b的方程，其中A是一个已知的矩阵，x和b是待求的向量。
基本矩阵方程则是指其中的特殊形式。
基本矩阵方程在许多领域中都有广泛应用，包括线性代数、数学物理、统计学等。
通过解决这些方程，我们可以得到一系列重要的结果和结论。
2. 常见形式基本矩阵方程有几种常见的形式，下面将介绍其中三种。
2.1 线性方程组线性方程组是最简单也是最常见的一种基本矩阵方程形式。
它可以表示为Ax=b，其中A是一个m×n的已知矩阵，x是一个n维未知向量，b是一个m维已知向量。
解线性方程组就是要找到满足该等式的x向量。
如果存在唯一解，则称线性方程组为可逆的；如果不存在解，则称其为不可逆的；如果存在多个解，则称其为非唯一可逆的。
2.2 特征值问题特征值问题也是一种常见的基本矩阵方程形式。
它可以表示为Ax=λx，其中A是一个n×n的已知矩阵，x是一个n维未知向量，λ是一个标量。
在特征值问题中，我们要找到满足该等式的特征向量x和对应的特征值λ。
特征值问题在矩阵的谱分析、振动问题等领域中有重要应用。
2.3 线性回归问题线性回归问题是一种基本矩阵方程形式，用于拟合数据和预测。
它可以表示为y=Xβ+ε，其中y是一个m维已知向量，X是一个m×n的已知矩阵，β是一个n维未知向量，ε是一个m维误差向量。
在线性回归问题中，我们要找到满足该等式的β向量。
通过最小化误差向量ε的平方和，我们可以得到最佳拟合解。
3. 解法和性质解决基本矩阵方程有多种方法和技巧。
下面将介绍其中两种常见的解法，并讨论一些基本矩阵方程的性质。
3.1 线性方程组解法对于线性方程组Ax=b，如果A可逆，则可以通过求解逆矩阵来得到x的解。
具体地，我们可以通过左乘A的逆矩阵，即x=A^(-1)b来求解。
如果A不可逆，则线性方程组可能没有解，或者有无穷多个解。
在这种情况下，我们可以使用最小二乘法来得到一个近似解。
3.2 特征值问题解法对于特征值问题Ax=λx，我们需要求解特征向量x和对应的特征值λ。
线性方程组的解法与矩阵求逆
线性方程组的解法与矩阵求逆线性方程组是数学中的重要概念，它可以描述多个线性方程的关系。
解线性方程组的方法有很多种，其中一种常用的方法是矩阵求逆。
本文将介绍线性方程组的解法以及矩阵求逆的原理和步骤。
一、线性方程组的解法线性方程组可以用矩阵形式表示。
比如，我们有如下的线性方程组：```2x + 3y = 74x - 2y = 2```可以看出，这是一个二元一次线性方程组，其中未知数是x和y，常数项分别是7和2。
我们可以将方程组的系数写成一个矩阵A，未知数写成一个矩阵X，常数项写成一个矩阵B。
那么，上述线性方程组可以表示为下面的形式：```A*X = B```要求解这个线性方程组，可以使用消元法、代入法、剩余定理等多种方法。
在这里，我们将重点介绍矩阵求逆法。
二、矩阵求逆要使用矩阵求逆法解线性方程组，首先需要知道矩阵的逆。
一个n阶方阵A的逆矩阵记作A^-1，具有以下性质：```A * A^-1 = I```其中，I是n阶单位矩阵。
如果我们将线性方程组的系数矩阵A进行求逆操作，再将方程组的常数项矩阵B乘以矩阵A的逆矩阵，就可以得到未知数矩阵X的值。
具体求解步骤如下：1. 计算系数矩阵A的行列式D。
如果D=0，则矩阵A没有逆矩阵，线性方程组无解。
2. 计算A的伴随矩阵Adj(A)，即将A的每个元素的代数余子式组成的矩阵取转置。
3. 计算A的逆矩阵A^-1，使用如下公式：```A^-1 = (1/D) * Adj(A)```其中，D为A的行列式。
4. 将矩阵B乘以矩阵A的逆矩阵A^-1，即得到未知数矩阵X：```X = A^-1 * B```通过以上步骤，我们可以求解出线性方程组的未知数矩阵X。
需要注意的是，如果A的行列式D为0，则方程组无解或者有无穷解。
三、示例我们以一个三元一次线性方程组为例，来演示矩阵求逆法的求解过程：```2x + y - z = 7x - 3y + 2z = -113x + y - 4z = 5```首先，将系数矩阵A和常数项矩阵B写成矩阵形式：```A = | 2 1 -1 || 1 -3 2 || 3 1 -4 |B = | 7 ||-11 || 5 |```然后，按照矩阵求逆法的步骤进行计算：1. 计算A的行列式D，有D = -42。
用矩阵求解线性方程组
用矩阵求解线性方程组在数学中，线性方程组是描述多个未知量和它们之间关系的方程组。
如果未知量数目等于方程数目，并且每个方程都是线性的，则方程组称为“线性方程组”。
解决线性方程组的常用方法之一是使用矩阵。
在本文中，我们将讨论使用矩阵求解线性方程组的方法。
1. 线性方程组和矩阵线性方程组可以用矩阵形式表示。
例如，以下线性方程组：2x + 3y - z = 1x - y + 2z = 3x + 2y - z = 0可以表示为矩阵方程：\begin{bmatrix} 2 & 3 & -1 \\ 1 & -1 & 2 \\ 1 & 2 & -1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 1 \\ 3 \\ 0 \end{bmatrix}其中，矩阵\begin{bmatrix} 2 & 3 & -1 \\ 1 & -1 & 2 \\ 1 & 2 & -1 \end{bmatrix}称为系数矩阵，向量\begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix}称为未知向量，向量\begin{bmatrix} 1 \\ 3 \\ 0 \end{bmatrix}称为常向量。
2. 矩阵求解线性方程组的基本思路将线性方程组转换为矩阵方程后，可以使用矩阵的逆来求解未知向量。
具体来说，对于实数域上的矩阵方程AX = B如果矩阵A可逆，则可以将等式两边左乘A的逆矩阵A^-1，得到X = A^(-1)B其中，X和B都是列向量，A^-1是A的逆矩阵。
逆矩阵的定义是，如果存在一个矩阵A^-1，使得A^-1A = I其中，I是单位矩阵，则称A是可逆的，A^-1是A的逆矩阵。
对于实数域上的矩阵，如果矩阵的行列式不为0，则该矩阵可逆。
线性代数第二章矩阵及其运算
ann 0
0
5. 形如 下面两个矩阵 的方阵称为下三角矩阵(lower triangular matrix)．
a11 0 a21 a22
an1
an2
0 0
0
0
ann
an1
0 a1n
a2n1
a2n
ann1 ann
6. 若方阵 A (aij )n 中 aij a ji , 则称为对称矩阵 (symmetric matrix)． 即
一、线性方程组
定义1 设有 n 个未知数 m 个方程的线性方
程组
a11 x1 a12 x2 L a1n xn b1 ,
a21 x1 a22 x2 L LLL
a2n xn L
b2 ,
am1 x1 am2 x2 L amn xn bm .
（1）
其中aij 表示第i个方程第j个未知数的系数(coefficient), bi 是第i个方程的常数项(constant)，i=1,2,…，m， j =1,2,…, n.
a11 b11
A
B
a21
b21
L
a12 b12 L a22 b22 L
LL
am1 bm1 am2 bm2 L
L
L
L
L
称为单位阵(unit
matrix),
记作 En ． 0 0 L 1
4. 形如 下面两个矩阵 的方阵称为上三角矩阵(upper triangular matrix)．
a11a12 0 a22
0 0
a1n
a2n
ann
a11 a1n1 a1n
a21
a2n1
0
a11 a12 L a1n
平面向量的线性方程组和矩阵方程组
平面向量的线性方程组和矩阵方程组平面向量是解决几何和代数问题的重要工具之一。
在平面向量的应用中，线性方程组和矩阵方程组起到了关键作用。
本文将介绍平面向量的线性方程组和矩阵方程组的概念、求解方法以及应用实例。
一、线性方程组与矩阵方程组的概念1. 线性方程组线性方程组是一组线性方程的集合。
在平面向量中，线性方程组通常表示向量之间的线性关系。
线性方程组的一般形式如下：a1x + b1y = c1a2x + b2y = c2其中，x和y为未知数，a1、b1、c1、a2、b2、c2为给定的常数。
2. 矩阵方程组矩阵方程组是以矩阵形式表示的线性方程组。
在平面向量中，矩阵方程组常用于表示多个向量之间的线性关系。
矩阵方程组的一般形式如下：AX = B其中，A为系数矩阵，X为未知向量，B为已知向量。
二、线性方程组的解法1. 克拉默法则克拉默法则是解决线性方程组的一种常用方法。
该方法通过求解系数矩阵的行列式和未知数向量的行列式来得到方程组的解。
2. 矩阵消元法矩阵消元法是解决线性方程组的另一种常见方法。
该方法通过对系数矩阵进行初等行变换，将其化为行阶梯形矩阵，进而求解方程组的解。
三、矩阵方程组的解法1. 逆矩阵法逆矩阵法是解决矩阵方程组的一种常见方法。
该方法通过求解系数矩阵的逆矩阵，将矩阵方程组表示为X = A^-1B的形式，进而求解方程组的解。
2. 列主元素消去法列主元素消去法是解决矩阵方程组的另一种常用方法。
该方法通过对系数矩阵进行列主元素消去，将其化为上三角矩阵，进而求解方程组的解。
四、案例分析下面通过一个简单的案例，介绍线性方程组和矩阵方程组的应用。
假设有两个平面向量a = (2, 1)和b = (-1, 3)，求解以下线性方程组：2x - y = 5-x + 3y = 13首先，我们可以通过克拉默法则或矩阵消元法求解该线性方程组，得到解x = 4和y = -3。
接下来，我们将该线性方程组表示为矩阵方程组形式：(2 -1) (x) (5)(-1 3) (y) = (13)通过逆矩阵法或列主元素消去法，我们可以求解矩阵方程组，得到相同的解x = 4和y = -3。
线性代数第二章2-1, 2-2
称为mn线性方程组，m=n 时，称为n元方程组
... a11 a 12 系 ... 数 a a 21 22 矩A ............ 阵 ... a a m2 m1
增 广 矩 阵
2n a mn
a a
1n
x1 未 x 知 2 量 X 阵 xn
矩阵A与B的差记作 ：A - B
a11 b11 a12 b12 a b a b 21 21 22 22 A B a b a b m1 m1 m 2 m 2
a1n b1n a2n b2n amn bmn
矩阵加法满足下列运算规律
数乘矩阵满足下列运算规律 （设A、B为mn矩阵，、为常数）
(i). （）A = （A）
(ii). （+）A = A + A (iii). （A + B）=A + B
3.矩阵与矩阵相乘
设矩阵 A = (aij ) ms ， B = (bij ) sn， 则矩阵A与B的乘积矩阵C =(cij)mn，其中
第1节 矩阵的概念
引：线性方程组的一些性质反映在它的 系数矩阵和增广矩阵上，解线性方程组的过 程也表现为变换这些矩阵的过程。除线性方 程组外，还有大量的各种各样问题也都提出
矩阵的概念，且这些问题的研究常常表现为
对矩阵的某些方面的研究。甚至于某些性质
完全不同的，表面上无联系的问题，归结成
矩阵后却是相同的。这使矩阵有着广泛的应用
0 a 0
0 0 a
3）单位矩阵 主对角线元素都是 1, 其他元素都是零 的矩阵称为单位矩阵,记为
I
1 0 0 1 I 0 0
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Y P1 x1, y1
Px, y
O
X
例2 设 A 1 2 3, 3 1 2
B 1 x 3, y 1 z
已知 A B,求 x, y, z. 解 A B,
x 2, y 3, z 2.
三、小结
a11 a12
a1n b1
a21
a22
a2n
b2
对线性方程组的 研究可转化为对
am1
am 2
பைடு நூலகம்
amn
bm
这张表的研究. B
例. 某航空公司在A,B,C,D四
城市之间开辟了若干航线 ,
如图所示表示了四城市间的 A
C
航班图,如果从A到B有航班,
则用带箭头的线连接 A 与B.
排成的 m行 n列的数表
a11 a12 a1n
a21 a22 a2n
am1 am2 amn
称为 m n矩阵.简称 m n 矩阵. 记作
主对角线 a11
A
a21
副对角线 am1
a12 a22 am1
a1n a2n amn
am1 am1
a1n a2n 系数矩阵 amn
线性变换与矩阵之间存在着一一对应关系.
若线性变换为
y1 x1,
y2
x2
,
yn xn
y1 x1,
y2
x2
,
yn xn
称之为恒等变换.
y1 a11x1 a12 x2 a1n xn ,
y2 a21x1 a22 x2 a2n xn ,
ym am1 x1 am2 x2 amn xn .
表示一个从变量x1, x2, , xn 到变量 y1, y2, , ym的 线性变换. 其中 aij为常数.
矩阵A的
m , n元
简记为
A Amn
aij
mn
aij
.
这m n个数称为A的元素,简称为元.
元素是实数的矩阵称为实矩阵,
元素是复数的矩阵称为复矩阵.
例如
1 9
0 6
3 4
5 3
是一个 2 4 实矩阵,
13 2
6 2
2i 2
是一个
3 4
为同型矩阵.
3 7 3 9
2.两个矩阵 A aij 与B bij 为同型矩阵,并且
对应元素相等,即
aij bij i 1,2, ,m; j 1,2, ,n,
则称矩阵 A与B相等,记作 A B.
例1 n个变量x1, x2, , xn与m个变量y1, y2, , ym之 间的关系式
对应
1 0 0
0
1
0
单位阵.
0 0 1
线性变换
x1 y1
cosx sinx
siny, cosy.
对应 cos sin sin cos
这是一个以原点为中心
旋转 角的旋转变换.
第二章 矩阵及其运算
第一节 线性方程组和矩阵
一、线性方程组
a11x1 a12 x2 L a1n xn b1
设线性方程组
a21x1 LLL
a22x2 L LLLL
L
a2n xn b2 LLLL
am1x1 am2x2 L amn xn bm
0
0
0
0.
0 0 0 0
(5)方阵
1 0
E
En
0
1 O
0 0
O
0 0
1
称为单位矩阵（或单位阵）.
全为1
同型矩阵与矩阵相等的概念
1.两个矩阵的行数相等,列数相等时,称为同 型矩阵.
例如
1 5
62 与 184
若常数项b1,b2,L ,bm不全为零, 则称此方程组为非
齐次线性方程组; 若常数项b1, b2,L ,bm 全为零,
此时称方程组为齐次线性方程组.
线性方程组
的解取决于
系数 aij i 1,2,L ,m, j 1,2,L ,n,
常数项 bi i 1,2, ,n
线性方程组的系数与常数项按原位置可排为
33
复矩阵,
1 2
2 2 2
4
2 3 5 9
是一个 3 1 矩阵,
4
是一个 1 4 矩阵,
是一个 11 矩阵.
几种特殊矩阵
(1)行数与列数都等于 n 的矩阵 A ，称为 n 阶
方阵.也可记作 An .
例如
13 2
6 2
2i 2
O0
的方阵,称为对角
n
矩阵(或对角阵）.
记作 A diag1,2 , ,n .
（4）元素全为零的矩阵称为零矩阵，m n 零
矩阵记作 omn 或 o .
注意 不同阶数的零矩阵是不相等的.
例如
0 0 0 0
0 0
0 0
0 0
0 0
y1 a11x1 a12 x2 a1n xn ,
y2 a21x1 a22 x2 a2n xn ,
ym am1 x1 am2 x2 amn xn .
a11 a12
A
a21
a22
是一个3 阶方阵.
2 2 2
(2)只有一行的矩阵
A a1,a2 , ,an ,
称为行矩阵(或行向量).
只有一列的矩阵
a1
B
a2 ,
an
称为列矩阵(或列向量). 不全为0
1 0
（3）形如
0
2
0 O 0
0
D
四城市间的航班图情况常用表格来表示: 到站
A
B
C
D
A
发站 B C
D
其中 表示有航班.
为了便于计算,把表中的 0,就得到一个数表:
改成1,空白地方填上
A
B
C
D
A B
C D
0
1
1
0
1
0
1
0
1
0
0
1
0
1
0
0
这个数表反映了四城市间交通联接情况.
二、矩阵的定义
由 m n 个数 aij i 1,2, ,m; j 1,2, ,n