线性变换的核与像

线性变换的核与像

设是向量空间V的一个线性变换，称

为的核，记为或称

为的像（或值域），记为或.

可证得与都是V的子空间. 称为的秩，称

为的零度.

结论1 设是F上维向量空间V的线性变换，是V的一个基，关于此基的矩阵是A，则

(i);

(ii)秩A;

(iii)+.

结论2 设是F上向量空间的线性变换，则

是满射；(ii)是单射.

结论3 设是维向量空间V的线性变换，则

是单射是满射.

结论4 设是V的线性变换，则

(i);

(ii);

(iii)

例1 设, 试证明，存在一个正整数k，使得

. 且对一切正整数t，均有.

证明：1）

这时是单射，且是满射，故可逆，从而均可逆，即有

因而结论成立.

2)

由结论4得，

由于不超过n的正整数只有n个，因此由上式知，必存在正整数，使

，当然有

即.

下面用数学归纳法来证明，对一切正整数t，有

当时，结论已证.

设，且显然. 反之

，由归纳假设

，因此，即，这

说明，所以，即有

.

由例1立得

推论设, 试证明，存在一个正整数k，使

，且对一切正整数t，均有

例2 设皆为F上向量空间V的线性变换，且

(i)

(ii)

证明：(i) ()显然.

()故，使.

.

因而

上述过程中的与对调，即得

(ii) ()显然.

(), 因而

，由于，因此，故

=0,

∴

∴

将上述过程中的与对调，即得

例3 设, 证明下述条件诸款彼此等价：(i);

(ii)

证明：(i)(ii):

且，使

, 由知，

故.

即有

(i)(ii):

由知，是直

和..

所以

，使

,

而是中任取的一向量，故. 至于是显

然的.因此

注：与(i) 等价的条件还有“”

与(ii) 等价的条件有“”及

当时，有. 反之，当时，未必有

比如设, 为基，选择V的一个线性变换，使

，, j=2,3,…,n. 这能办到. 显然，但，而，即有.

例4 设, ，W是V的子空间. 证明

.

证当W是V的零子空间时，结论显然成立

下设dim

1)

令则f为线性映射，

=

∴f 为单射.

显然f 为满射. 故f 为W 到的同购映射，故 结

论为真. 2)

令

① 如果

，即

，此时(W)={0}，显然有

.

② 下设

，即 设为的一个基，扩

充为W 的一个基

显然

=

.

设1+r b δ(1+r α)+…+s b δ(s α)=0,即

δ(1+r b 1+r α+…+s b s α)=0

∴1+r b 1+r α+…+s b s α∈ker δ⋂w

∃1b ,…, r b ∈F,使

1+r b 1+r α+…+s b s α=1b 1α+…+r b r α 1b 1α+…+r b r α-1+r b 1+r α-…-s b s α=0 由于1α,…,r α,1+r α,…,s α线性无关，因此

1b =…=r b =1+r b =…=s b =0

所以δ(1+r α),…,δ(s α)线性无关,是

δ(w)的一个基，

故dimW=s=s-r+r=dim δ(w)+dim(ker δ⋂w) 例5设δ∈L(V F ),f(x),g(x)∈F[X],h(x)=f(x)g(x) （ⅰ）ker f(δ)+ker g(δ)⊆ker h(δ)

(ⅱ)(f(x),g(x))=1⇒ ker f(δ)+ker g(δ)⊆ker h(δ) 例6设dim V F =n>0,τ δ∈L(V),则

（ⅰ）dim Im(δτ)≥dim Im(δ)+dim Im(τ)-n

（ⅱ）dim ker(δτ)≤dim ker δ+dim ker τ例7设1ϕ,2ϕ,…,t ϕ ∈L(V F ),且 （ⅰ）2i ϕ=i ϕ(i=1,2,…,t); （ⅱ）i ϕj ϕ=θ,i ≠j(i,j=1,2,…,t) 试证明,v=Im 1ϕ⊕ Im 2ϕ⊕…⊕Im t ϕ⊕ t

i i

1ker =

ϕ

证1)先证Im 1ϕ⋂( Im 2

ϕ⊕…⊕Im t ϕ⊕ t i i

1

ker =ϕ)={0} ∀ξ∈ Im 1ϕ⋂( Im 2

ϕ⊕…⊕Im t ϕ⊕ t i i 1

ker =ϕ),∃1

ξ

∈v,2ξ,…,t ξ∈v,η∈

t

i i

1

ker =ϕ

使ξ=1ϕ(1ξ)=2ϕ(2ξ)+…+t ϕ(t ξ)+η,

用1ϕ作用上式两端，得1ϕ(1ϕ(1ξ))= 1ϕ (2ϕ(2ξ))+…+1ϕ (t ϕ(t ξ))+1ϕ(η), 即21ϕ(1ξ)=θ(2ξ)+…+θ(t ξ)+0

亦即ξ=1ϕ(1ξ)=0 故Im 1ϕ⋂( Im 2ϕ⊕…⊕Im t ϕ⊕

t

i i

1

ker =ϕ

)={0}

2)类似于1)的证法，可得∀k ∈{1,2,…,t}有Im k ϕ⋂(Im 1ϕ+…+Im 1-k ϕ +Im k ϕ+ Im 1+k ϕ…+Im t ϕ+ t

i i 1

ker =ϕ)={0} 3) (Im 1ϕ+Im 2ϕ…+Im t ϕ+ t

i i 1

ker =ϕ)={0} 任取上式左端集合中的一个向量ξ，

∃1ξ,2ξ,…,t ξ ∈v,使ξ=1ϕ(1ξ)=2ϕ(2ξ)+…+t ϕ(t ξ), 且i ϕ (ξ)=0,i=1,2,…,t.

0=i ϕ(ξ)=i ϕ(1ϕ(1ξ)=2ϕ(2ξ)+…+t ϕ(t ξ))=2i ϕ(ξ)=i ϕ(i ξ)i=1,2,…,t.因此ξ=0 综合1），2），3）知，和Im 1ϕ+Im 2ϕ…+Im t ϕ+ t

i i 1

ker =ϕ是直和， 4）最后，只需证明v=∑=t

j j 1Im ϕ+ t

i i 1

ker =ϕ

∀ ξ∈v, ∀ ∈{1,2,…,t},有

ϕ（ξ-1ϕ(1ξ)-2ϕ(2ξ)-…-t ϕ(t ξ)）= ϕ（ξ）- ϕ ϕ（ξ）= ϕ（ξ）-2 ϕ（ξ）

=0

令η=ξ-1ϕ(1ξ)-2ϕ(2ξ)-…-t ϕ(t ξ)，即有η∈ t

i i 1ker =ϕ 所以ξ=1ϕ(1ξ)=2ϕ(2ξ)+…+t ϕ(t ξ)+η 综上所述，结论得证 例8

设 v={f(x)∈F[x]︱0∂f(x)

δ(f(x))=x 1f (x)-f(x)

（ⅰ）δ是的v 的线性变换；