数学经典例题集锦：数列(含答案)

数列题目精选精编

【典型例题】

（一）研究等差等比数列的有关性质 1. 研究通项的性质

例题1. 已知数列}{n a 满足

1

111,3(2)n n n a a a n --==+≥. （1）求32,a a ；

（2）证明：

312n n a -=

. 解：（1）2

1231,314,3413a a a =∴=+==+=.

（2）证明：由已知1

13--=-n n n a a ，故)()()(12211a a a a a a a n n n n n -++-+-=---

1

2

1313

3

312n n n a ---+=++

++=， 所以证得312n n a -=

.

例题2. 数列{}n a 的前n 项和记为11,1,21(1)n n n S a a S n +==+≥

（Ⅰ）求{

}n a 的通项公式；

（Ⅱ）等差数列{

}n b 的各项为正，

其前n 项和为n T ，且315T =，又112233

,,a b a b a b +++成等比数列，求n T .

解：（Ⅰ）由121n n a S +=+可得121(2)n n a S n -=+≥，

两式相减得：112,3(2)n n n n n a a a a a n ++-==≥，

又21213a S =+=∴213a a = 故{}n a 是首项为1，公比为3的等比数列

∴1

3n n a -=

（Ⅱ）设{}n b 的公比为d ，由315T =得，可得12315b b b ++=，可得25b = 故可设135,5b d b d =-=+，又1231,3,9a a a ===，

由题意可得2

(51)(59)(53)d d -+++=+，解得122,10d d ==

∵等差数列{}n b 的各项为正，∴0d > ∴2d =

∴2(1)

3222n n n T n n n -=+

⨯=+

例题3. 已知数列{}n a 的前三项与数列{}n b 的前三项对应相同，且212322...a a a +++

128n n a n -+=对任意的*N n ∈都成立，数列{}

n n b b -+1是等差数列.

⑴求数列{

}n a 与{}n b 的通项公式；

⑵是否存在N k *

∈，使得(0,1)k k b a -∈，请说明理由.

点拨：（1）2112322...28n n a a a a n -++++=左边相当于是数列{}12n n a -前n 项和的形式，

可以联想到已知n S 求n a 的方法，当2n ≥时，1n n n S S a --=.

（2）把k k a b -看作一个函数，利用函数的思想方法来研究k k a b -的取值情况.

解：（1）已知212322a a a +++…

1

2n n a -+8n =(n ∈*N ）① 2n ≥时，212322a a a +++ (2)

128(1)n n a n --+=-(n ∈*N ）②

①－②得，1

28n n a -=，求得42n n a -=，

在①中令1n =，可得得41

182a -==，

所以42

n

n a -=(n ∈N*）. 由题意18b =，24b =，32b =，所以214b b -=-，322b b -=-，

∴数列}{1n n b b -+的公差为2)4(2=---， ∴1n n

b b +-=2)1(4⨯-+-n 26n =-，

121321()()()n n n b b b b b b b b -=+-+-+

+-

(4)(2)(28)n =-+-+

+-2714n n =-+(n ∈*N ）.

（2）k k b a -=2714k k -+-42k

-，

当4k ≥时，

277

()()24f k k =-+-42k

-单调递增，且(4)1f =， 所以4k ≥时，2()714f k k k =-+-421k

-≥， 又(1)(2)(3)0f f f ===，

所以，不存在k ∈*N ，使得(0,1)k k b a -∈.

例题4. 设各项均为正数的数列{a n }和{b n }满足：a n 、b n 、a n+1成等差数列，b n 、a n+1、b n+1成等比数列，且a 1 = 1， b 1 = 2 ， a 2 = 3 ，求通项a n ，b n 解： 依题意得：

2b n+1 = a n+1 + a n+2 ① a 2n+1 = b n b n+1 ②

∵ a n 、b n 为正数， 由②得21211,+++++==n n n n n n b b a b b a ， 代入①并同除以1

+n b 得：

212+++=n n n b b b ， ∴

}{n b 为等差数列

∵ b 1 = 2 ， a 2 = 3 ，

29,22122=

=b b b a 则 ，

∴ 2)1(),1(22)229)(1(22

+=

∴+=--+=n b n n b n n ，

∴当n ≥2时，

2)

1(1+=

=-n n b b a n n n ， 又a 1 = 1，当n = 1时成立， ∴2)1(+=

n n a n

2. 研究前n 项和的性质

例题5. 已知等比数列}{n a 的前n 项和为

2n

n S a b =⋅+，且13a =.