信号系统习题解答3版-3

cos
⎛ ⎜
⎝
Ωτ 2
⎞ ⎟ ⎠
而
F1 (
jΩ)
=π
⎡⎢⎣δ
(Ω
+
π τ
)
+δ
(Ω
−
π τ
)⎤⎥⎦
，
F2
(
jΩ)
=
EτSa
⎛ ⎜⎝
Ωτ 2
⎞ ⎟⎠
故
F(
jΩ)
=
1 2π
⎧⎨π ⎩
⎡⎢⎣δ
(Ω
+
π τ
)+δ
(Ω
−
π τ
)⎤⎥⎦ ∗
Eτ Sa
⎛ ⎜ ⎝
Ωτ 2
⎞⎫ ⎟⎬ ⎠⎭
=
Eτ 2
Sa
⎡⎛ ⎢⎣⎜⎝
图 题 3-32
解：
(1)
∵
F0
(
jΩ)
=
Eτ
Sa
⎛ ⎜⎝
Ωτ 2
⎞ ⎟⎠
=
2Sa
(Ω)
∴ Fn
=
F0( jΩ) T1
Ω=nΩ1
=
F0 ( jΩ) 4
Ω=π n 2
=
1 2
Sa
(nΩ1
)
=
1 2
Sa
⎛ ⎜⎝
nπ 2
⎞ ⎟⎠
∑ ∑ 指数形式的傅里叶级数为：
f̃ (t ) =
∞
F e jnΩ1t n
n= −∞
3-21
已知三角脉冲信号 f1(t) 如图题 3-21(a)所示。试利用有关性质求图题 3-21(b)中的 f2 (t) =
f1
⎛ ⎜⎝
t
−
τ 2
⎞ ⎟⎠
cos
Ω
0t
的傅里叶变换
解：设
F[
f1(t)]
=
F1(
jΩ)
=
Eτ 2
Sa 2
⎛ ⎜ ⎝
Ωτ 4
⎞ ⎟ ⎠
则
F
⎡ ⎢⎣
f1(t
−
τ) 2
⎤ ⎥⎦
=
ττ
τ
3-10 求图题 3-10 所示 F (jΩ ) 的傅里叶逆变换 f (t) 。
图 题 3-10
解：（a） F ( jΩ) = Ae jΩt0 (−Ω0 < Ω < Ω0)
∫ f (t ) = 1
2π
Ω0 Ae e jΩt0 d jΩt Ω = 1
−Ω0
2π
A j(t + t0)
⎡⎣e j (t +t0 )Ω0
dΩ
（4）F ⎡⎢⎣t
df (t) ⎤ dt ⎥⎦
=
j
d [ jΩF ( jΩ)]
dΩ
=
−
⎡⎢⎣Ω
dF( jΩ) dΩ
+ F ( jΩ)⎤⎥⎦
（5）F [ f (1−t )] = F{ f [−(t −1)]} = F(− jΩ)e− jΩ
3-29 根据附录 B 中给出的频谱公式，粗略地估计图题 3-29 所示各脉冲的频带宽度 Bf (图中时间单位为 µs )。
T 2
,
T
⎤ ⎥⎦
内的波形与它在
⎡⎢⎣0,
T 2
⎤ ⎥⎦
内的波形相同。根据上述分析可画出
f
(t
)
在
[0,
T
]
内的波形。按
方法可画出（2）和（3）。
f (t)
（2） （3）
f (t)
0
T
T
4
2
0
T
T
4
2
f (t)
T
t
T
t
0
T
T
3T
T
t
3-8 求图题 3-8 所示半波余弦4 脉冲的傅2 里叶变换4 ，并画出频谱图。
1 5π
3-6
中各周期信号的傅里叶级数中所含有的频率分量。
3-7 已知周期函数 f̃(t) 前四分之一周期的波形如图题 3-7 所示。根
( 0 < t < T )的波形。 （1） f̃(t) 是偶函数，只含有直流分量和偶次谐波分量； （2） f̃(t) 是偶函数，只含有奇次谐波分量； （3） f̃(t) 是偶函数，含有直流分量、偶次和奇次谐波分量。
E
⎡⎢⎣cos(πτ
+ Ω)t
+
cos(π τ
−
Ω)t
⎤ ⎥⎦
dt
=
Eτ 2
⎡⎢⎣Sa(
Ωτ 2
+
π )+ 2
Sa( Ωτ 2
−
π 2
)⎤⎥⎦
=
Eτ 2
Sa
⎡⎛ ⎢⎣⎜⎝
Ω+
π τ
⎞τ ⎟⎠ 2
⎤ ⎥⎦
+
Eτ 2
Sa
⎡⎛ ⎢⎣⎜⎝
Ω
−π τ
⎞τ ⎟⎠ 2
⎤ ⎥⎦
化简得： F( jΩ) = 2Eτ ⋅
F1(
j
−
Ω)e
j
Ωτ 2
= F12( j Ω)
图 题 3-21
{ } 而
F
[
f
2
(t
)]
=
F
⎡ ⎢⎣
f1(t
−
τ) 2
cos
Ω0t
⎤ ⎥⎦
=
1 2
[ F12 j(Ω + Ω 0) ]+ F12 [ j(Ω − Ω 0) ]
=
[ ] [ ] 1 ⎧
=
2
⎨ F1 ⎩
− j ( Ω + Ω0) τ
j (Ω + Ω 0 ) e 2 + F1
图 题 3-8
解法一：按定义求
∫ ∫ F( jΩ) =
∞ f (t )e− jΩtdt =
−∞
τ
2 τ − 2
E
cos
π τ
t
⋅ e−
jΩ tdt
由于 f (t)是偶函数，所以
∫ ∫ F( jΩ) =
τ
2 τ − 2
E
cos
π τ
t
cos Ωtdt
=
2
τ 2
E
cos
π
t
cos
Ωtdt
0
τ
∫=
τ 2 0
=
E 2
所以，
f
(t )的三角形式的傅里叶级数为：
f
(t) =
E π
+
E 2
cos Ω1t
+
2E 3π
cos 2Ω1t
2E −
15π
cos 4Ω1t
+⋯
cn
E
E
2 2E
π
3π
4 Ω1
8Ω1
⋯
Ω1 2Ω1 3Ω1
来自百度文库
5Ω1 6Ω1 7Ω1
9Ω1 10Ω1 Ω
3-6
利用信号
f̃ (t )
的对称性−，2定E 性判断图题
第 3 章习题答案
3-1 已知周期矩形脉冲信号的重复频率 f = 5 kHz ，脉宽 τ = 20 µs ，幅度 E =10V ，如图题 3-1 所示。用可变中心频率的选频回 周期矩形脉冲信号中选取出 5，12，20，50，80 及 100 kHz 频率分量来？要求画出图题 3-1 所示信号的频谱图。
=
1 2
∞ Sa⎛⎜ ⎝ n= −∞
nπ 2
⎞ ⎟
e
j
nπ 2
t
⎠
频谱图如下图所示，图中：
Ω1
=
π 2
1 Fn
2
⋯
−5Ω
−3Ω
3Ω1 4Ω1
⋯
− Ω1
Ω1 2Ω1
5Ω
Ω
3-33 求下列函数的拉氏变换，设 L [ f (t)] = F (s) 。
（1） (1 + 2t)e−t
（4） e−(t +α) cos Ω 0t
⎤ dΩ⎥
⎦
=
−
AΩ0 π
sin
Ω0t 2
Sa
Ω0t 2
=
A πt
(cos
Ω
0t
−
1)
3-13 求函数 Sa(Ω ct) 的傅里叶变换。 解：利用对偶性求
Ωτ 因为 EGτ (t) ↔ Eτ Sa( 2 ) ，所以
Eτ
Sa(tτ 2
)
↔
2π
EGτ
(−Ω)
=
2π
EGτ
(Ω)
Sa(tτ ) ↔ 2π Gτ (Ω)
=
2 T1
T1
4 − T1
E
cos
Ω1t
⋅e
−
dt jnΩ1t
4
=
E π
⎡
⎢ ⎢ ⎢
sin n +1π 2
n +1
+
sin n −1π 2
n −1
⎤
⎥ ⎥ ⎥
=
−
2E π
1 cos
n2 −1
nπ 2
⎣
⎦
n = 3, 5, 7⋯
∫2
a1 = c1 = T1
T1
2 −T1
2
f
(t )e − jΩ1tdt
（6）
t −
ea
f
t () a
e−3t − e−5t （8） t
解：（1）
(1 +
2t )e −t
↔
1 +
s +1
2 (s + 1)
2
=
s+3 (s + 1) 2
(∵ t ↔
1 s2)
（4） e −(t+a) cos Ω 0t = e −a e −t cosΩ 0t
↔
e
−a
(s
s + 1)
+1 2+Ω
− e− j (t +t0 )Ω0
⎤⎦
=
AΩ0 π
Sa [Ω0 (t + t0 )]
⎧ −jπ
（b）
F
(
jΩ)
=
⎪ ⎨ ⎪ ⎩
Ae Ae
jπ 2
2
(−Ω0 < Ω < 0) (0 < Ω < Ω0 )
∫ ∫ f
(t)
=
1 2π
⎡ ⎢ ⎣
0
−
Ae
j
π 2
e
jΩt
dΩ
+
−Ω0
Ω0 0
jπ
Ae 2
e jΩt
解：
图 题 3-3
f (t)在一个周期（0，T1）内的表达式为：
f
(t
)
=
−
E T1
(t
−T1 )
∫ ∫ 1
Fn = T1
T1 f (t)e− dt jnΩ1t = 1
0
T1
T1 − E 0 T1
(t
−T1)e − dt jnΩ1t
=
− jE 2nπ
(n = ±1, ±2, ±3⋯)
∫ ∫ 1
F0 = T1
（1） f (t) = e−tu (t − 2)
（2） f (t ) = e−(t−2)u(t − 2)
（3）
f (t) = e −tu(t − 2) = e −2e −(t−2)u(t − 2)
F (s) = e −2e −2s
1
e −2(s +1) =
s +1 s +1
e −tu（(t2−）2) f=(te) =−2e −(t−2)u(t − 2)
0
2
(∵
cos Ω
0t
↔
s
2
s +Ω
0
2
)
（6）
e
t −
a
f
(
t
)
↔
aF(a(s +
1 ))
=
aF(as+ 1)
(∵ f ( t ) ↔ aF( as))
a
a
a
∫ （8）
e −3t − e −5t ↔
t
∞
( sη
1 +3
− η
1 )dη +5
= ln
⎛ ⎜ ⎝
s s
+ 5⎞
+
3
⎟ ⎠
3-35 求下列函数的拉氏变换，注意阶跃函数的跳变时间。
T ）内的表达式为： 2
f
(t ) =
⎧ ⎪⎪
E
cos
Ω1t
⎨
⎪0
t
t< > T1
T1 4
⎪⎩
4
其中： Ω1
=
2π T1
∫ ∫ 1
a0 = T1
T1
2 − T1
2
f
(t )dt
=
1 T1
T1
4 − T1
4
E
cosΩ1tdt
=
E π
∫ ∫ 2
an = cn = T1
T1
2 − T1
2
f
(t )e − dt jnΩ1t
T1 f (t)dt = 1
0
T1
T1 − E 0 T1
(t
−T1)dt
=
E 2
傅氏级数为：
f (t) = E − jE e jΩ1t + jE e− jΩ1t − jE e j2Ω1t + jE e− j2Ω1t − ⋯
2 2π
2π
4π
4π
Fn
=
E 2nπ
(n = ±1, ±2,±3⋯)
ϕn
=
⎧⎪⎪−
F (s) = e −2s
⎫ − j ( Ω −Ω0) τ j (Ω − Ω 0 ) e 2 ⎬
⎭
=
Eτ 4
⎡ ⎢Sa ⎣
2
⎛ ⎜⎝
Ω
+Ω 4
0
τ
⎞ ⎟
e
−
j
Ω 0τ 2
⎠
+
Sa
2
⎛ ⎜⎝
Ω
− Ω0 4
τ
⎞ ⎟
e
j
Ω 0τ 2
⎤ ⎥
e
−
j
Ωτ 2
⎠⎦
3-23 利用傅里叶变换的微分与积分特性，求图题 3-23 所示信号的傅里叶变换。
π 2
⎨⎪π
⎪⎩ 2
(n > 0) (n < 0)
频谱图为：
E 2
⋯ −5Ω1 −4Ω1 − 3Ω 1 −2Ω1 −Ω1
Fn E 2π
Ω1
E
4π
E 6π
E
8π
E
10π
⋯
2Ω1 3Ω 1 4Ω1 5Ω1
Ω
ϕn
π
2
⋯
图 题 3-4
解：由于 f (t)是偶函数，所以展开式中只有余弦分量，故傅氏级数中 bn = 0 ，另由图可知 f (t)有直流分量， f (t)在一个
图 题 3-1
解：
f
= 5kHz ，τ
= 20μs， E = 10V ，T1
=
1 f
= 200µs ， Ω1
=
2π
f
= 104 π
频谱图为
2 cn
1
5 20
50
80 100
150 f (kHz)
从频谱图看出，可选出 5、20、80kHz 的频率分量。
3-3 求图题 3-3 所示周期锯齿信号指数形式的傅里叶级数，并大致画出频谱图。
Ω+
π τ
⎞ ⎟⎠
τ 2
⎤ ⎥ ⎦
+
Eτ 2
Sa
⎡⎛ ⎢⎣⎜⎝
Ω
π −
τ
⎞τ ⎟⎠ 2
⎤ ⎥ ⎦
F(
jΩ) 的频谱是将矩形脉冲的频谱
Eτ
Sa
⎛ ⎜ ⎝
Ωτ 2
⎞ ⎟
分别向左、右移动
⎠
π τ
（幅度乘以 1 2
）后叠加的结果。
F ( jΩ)
2Eτ / π
Eτ / 2
Ω
5π 3π
−
−
τ
τ
−π τ
π 3π
5π
图 题 3 -29
解：（a）若时间单位为 µs ，则频带为 1 MHz，即 250KHz 4
（b）若时间单位为 µs ，则频带为 1 MHz，即 250KHz
4 （d）若时间单位为 µs ，则频带为 1 MHz
（f）频若时间单位为 µs ，则带为 1 MHz，即 500KHz 2
3-32 周期矩形脉冲信号 f̃(t) 如图题 3-32 所示。 （1）求 f̃(t) 的指数形式的傅里叶级数，并画出频谱图 Fn ； （2）求 f̃(t) 的傅里叶变换 F( jΩ ) ，并画出频谱图 F ( jΩ ) 。
解：（3）
ϕ3 (t )
=
df3 (t dt
)
=
4[u(t
−1)
−u
(t
−
2)]
Φ3
(
jΩ)
=
4Sa
⎛ ⎜⎝
Ω 2
⎞ ⎟⎠
−
e
j
3 Ω
2
f3(∞) = 3, f3( −∞) = −1
图 题 3-23
解：（2）F [(t − 2) f (t )] = F [tf (t )− 2 f (t )] = j dF( jΩ) − 2F (j Ω)
图 题 3-7
据下 列各种情 况的要求 画出 f̃(t
解：（1）由
f
(−t )
=
f
(t )
画出
f
(t )在
⎡⎢⎣−
T 4
,
0⎤⎥⎦ 内的波形，由
f
(t) 在
⎡⎢⎣−
T 4
,
0⎤⎥⎦ 内的波形及
f
(t) 是偶谐函数，它在
⎡T ⎢⎣ 4
,
T 2
⎤ ⎥⎦
内的
⎡⎢⎣−
T 4
,
0⎤⎥⎦
内的波形相同，它在
⎡ ⎢⎣
3-15 对图题 3-15 所示波形，若已知 F [ f1(t)] = F1(jΩ ) ，利用傅里叶变换的性质求图中 f2(t) , f3(t) 和 f4 (t) 的傅里叶变换。
图 题 3-15
解：已知 F [ f1(t)] = F1( jΩ)
∵ f2 (t ) = f1 (t + T ) ，∴ F2 ( jΩ) = F1 ( jΩ) ⋅e jΩT ∵ f3(t ) = f1(−t ) ， ∴ F3( jΩ) = F1(− jΩ) ∵ f4 (t ) = f1[−(t − T )] = f3 (t −T ) ∴ F4 ( jΩ) = F1 (− jΩ)e− jΩT