活用n次单位根解清华保送题

边 欣
（天津师范大学数学科学学院 ，３００３８７） 中图分类号 ：Ｏ１２２ 文献标识码 ：Ａ 文章编号 １００５—６４１６（２０１３）０８—００１７一Ｏ１
２０１２年 爱 尔 兰数 学 奥 林 匹 克 有 这 样 一
道题 为 ：
、
题 目 记 Ｓ（１７，）表 示 整 数 ｎ的各 位 数 Leabharlann Baidu
（３）后＞ｍ． 易知 ， 比ｌ０ 的位数至少多 １． 由 ａ ＋ａ 一ｌ＋… ＋ａｍ＋口ｍ一１＋… ＋００ ＝ １０ ａ ＋１０ 一 ａ １＋… ＋ｌ０ｍ（０ｍ—１）＋
一
ｌ０ ａ １＋ … ＋ ａ０＋ １０ ， 一
贝０ ａ ＝１，ａ 一ｌ＝… ＝口ｍ＝０ｍ一１＝… ＝口１＝０． 故 ｎ—Ｓ（ｎ）＝１０ 一１＞１０ 一１０，矛 盾． 综上 ，推广 成立．
，： ｉｎ ．ｉｎ ２Ｅ
』＝８１ ｎ —— Ｓ１ ｎ …… ． ‘． 。Ｓｉ１ｎ 一
（－ 。 ） ．
的值． （２０１２，清华 大学金秋 营试 题 ）
解 设 ∞＝ｅ了．则
ｔＯ ｐ ＝ １．ｔＯ
一 一 号 ＝
一１，２ｃｏｓ２ 竺 二＝＝∞ ＋． ｔＯ
－
－ｋ
．
Ｐ
故 （１＋２ｃｏｓ ）＝付ｋ ＝ｌ
参 考 文 献 ： ［１］ 宋 宝莹 翻译．２０１２爱尔兰数学 奥林 匹克 ［Ｊ］．中等
数 学 ，２０１３（增 刊 二 ）．
令 ＝１，得 （１一 ）（１一∞ ）…［１一 ‘ ］＝ｎ．
一
．
而 ｎ 凡
一 ∞ 一
— Ｚ ｌ
一 １ ２ ｉ·
，：ｓｉｎ ．ｓｉｎ … ｓｉｎ
ｎ
ｉ／，
／－／，
（ 一１）（∞ 一１）…［ ：
一
（２ ｉ） ∞ （ ）
故 （２ ｉ） 扣（ ）：（２ ｉ） （ 号） 一 ＝ ２一 （一１）一
，＝监 等
几
一
２ 一 ‘
１６
中 等 数 学
活用 次单位根解清华保送题
中图分类号 ：Ｏ１５６．１
吕 海 柱
（江苏省宝应中学 ，２２５８００） 文献标识码 ：Ａ 文章编号 ：１００５—６４１６（２０１３）０８—００１６—０１
定义 ｌ的 ｎ次 方 根 称 为 几次 单 位 根．
令 ∞： ，则 １的 ｎ次单位根可以表示为 １，
Ⅱ ∞一 （ ＋∞ ＋１）
收稿 日期 ：２０１３一Ｏ１一ｏ５
的值（ｎ为大于 １的自然数 ）． （２０１１，清 华大 学金 秋营试 题 ）
解 设 ∞：ｃｏｓ ＋ｉ ｓｉｎ ．则 ｈ：１．
，
ｒｇ
从而 ，１，ｔＯ ，ｃｃＪ４，…， （ 均 为 抽 一１＝０
的棍
则 —ｌ
＝ （ 一１）［ ‘ 一”＋ ２‘ 一２ ＋…＋ ＋１］
＝ （ 一１）（ 一０）２）（ 一ｃ￡Ｉ４）…［ 一 ‘ ］．
故 ２（ 一 ＋ ２‘ 一２ ＋… ＋ ＋１
＝ （ 一ｔＯ ）（ 一ｔＯ ）…［ 一∞ ‘ ’］．
２０１３年第 ８期
１７
一 道 爱 尔 兰 数 学 奥 林 匹 克题 的 推 广 木
之和．证明 ：不存在正整数 ｎ，使得 ｎ一｜ｓ（ ）＝９ ９９０． 。
本文将此题推广为 ： 推 广 记 Ｓ（／／，）表示 整 数 ｎ的各 位 数 字
之 和．则 对任 意 的 整 数 ｍ（ｍ ＞１），不 存 在 正
整数 ｎ，使得
ｎ—Ｊｓ（ ）＝１０ 一１０．
①
证 明 对某 个 整数 ｍ（ｍ ＞１），假设 存在
＝ １０ Ⅱ＾＋１０ 一 ｎ 一ｌ＋… ＋１０ 口２＋
１０（ａｌ＋１）＋ａ０，
天津 师范大学校教育基金 ５２ＬＪ３６资助 收稿 日期 ：２０１３－０７—１２
则 ａ ＝０ … ＝ａ２＝ｎＩ＝９． 再由式①得 Ｓ（ｎ）≤９． 从 而 ， ＝１，ａ。＝０． 故 ｎ＝９０，Ｓ（ｎ）＝５（９０）＝９． 于 是 ，１１，一Ｓ（Ｉ１，）＝９０—９＝８１． 而ｌ０ 一１０≥１００—１０＝９０，矛 盾． （２）．ｊ ｝＝ｍ．‘ 由 ａｍ＋ａｍ一１＋… ＋ａ０ ＝ ｌ０ｍ（口ｍ一１）＋１０ｍ一 ０ｍ—ｌ＋… ＋ａ０＋ｌ０， 从而 ，ａ ＝１，ｎ 一ｌ＝… ＝ａ１＝０． 故 ｒ／，一Ｓ（ｎ）＝１０ 一１＞１０ 一ｌ０，矛 盾．
本文借助单位根 ，与大家一起探讨两道 清华 大学保 送生试 题．
例 １ 已知 Ｐ是大于 ３的素数．求
综 上 ， ｋ ＝ｌ 、 ＋２ｃ。ｓ ） ， －１．
【说明】本题将三 角的计算转 化为单位
根 的计 算 ，根据 性质 １，通 过 构造 模 Ｐ的缩 系
简 化 了求 解过 程．
例 ２ 求
又Ｐ是 大于 ３的素数 ，则 （一１） ＝１； 同时，Ｐ与 ３互素，｛１，２，… ，Ｐ一１｝和 ｛３ Ｘ １， ３×２，… ，３ Ｘ（Ｐ一１）｝均表示模 Ｐ的缩系．
从而，Ⅱ（１一∞ ）＝Ⅱ（１一∞ ）．
ｔＯ ｍ ｔＯ ｍｎ．
性质 ４ 设 ｍ是整数 ，ｎ是大于 １的整 数．则
－
＋ ＋ｔ ＯＬ，＝
２
ｎ— ｌ
ｔｏ ，ｔｏ ，… ，ｔＯ ·
：
一
付（ ＋ ＋１）
： （一１ －付 ．
若记 ｔｏ ：ｅ Ｚ睇１ ，则单位根具有如下性质． 性 质 １ ｔＯ ＋，＝ｔ Ｏ，（ｇ∈Ｎ，ｒ＝０，１，…，ｎ一１）． 性 质 ２ 任 意两 个 ｒ／，次单 位根 ｔ ｏ 、ｔｏ；的 积仍是 ｎ次单位根 ，且 ∞ ｔ ｏｊ＝ｔＯ ． 性质 ３ 对于任意的 ｎ∈ Ｚ，则
正整数 ｎ，使得式①成立．记
凡＝１０ ａ ＋１０ 一’口 ｌ＋… ＋ ｌＯａ１＋ａｏ， —
其中，ａ ，ａ ，…，ａ。均为不大于 ９的非负整
数 ，且 ａ＾≥１． 于是 ，Ｓ（ｎ）＝ａ ＋ａ —ｌ＋… ＋口０．
（１）．１｝＜ｍ． 易知 ，１０ 比 ｎ的位 数 至少 多 １．
由１Ｏ巩＋ａ ＋ａ＾一１＋… ＋ａｏ