用换元法解无理方程
利用换元法解方程组
4
【解析】
试题分析:
这是一个根号里含有分式的无理方程，也可通过换元后求解，通过变形发现
xபைடு நூலகம்
与互为倒数，可设.1y,则原方程变形为y,无理方程化为有理方程
x
试题解析:
常用换元方法有局部换元、均值换元、倒数换元、常数换元等.
82，使方程变得易解，这是均值换元法
（四）本讲注重研究用换元法解方程的技能、技巧•拓宽学生知识面，培养学生学习和
研究数学的兴趣•
二、应用举例
类型一局部换元
（高次方程）
【例题1】解方程：X43x220
【答案】捲1，x21，x3、、2，x42
【解析】
【难度】较易
（分式方程）
【例题2】解方程：
【答案】x13
4
【解析】
试题分析：
括号里的分式相同，由这个特点，可以用换元法来解
试题解析：
解：设亠
x1
y，于
F是原方程变形为
2
y
5y60
解得y1
3,
y22
当y1
3时，
X3,
解得
X1
3
x1
4
当y2
2时，
X
2,
解得
X2
2
x1
3
经检验x1
3
,X2
4
2
2均为原方程的根•
第
、方法技巧
（一）换元法解方程是用新元代替方程中含有未知数的某个部分，达到化简的目的.
（二）运用换元法解方程，主要有三种类型：分式方程、无理方程、整式（高次）方程 解分式方程、无理方程、整式（高次）方程的基本思想是将分式方程化为整式方程、 无理方程化为有理方程、整式（高次）方程逐步降次
用换元法解各种复杂方程
用换元法解各种复杂方程用换元思想探索双二次方程、无理方程、分式方程这三类方程的解法。
[内容综述]“换元法”是一种重要的数学方法，它可以把较复杂的问题转化为较简单的问题去解决。
在解高次方程、分式方程、无理方程的过程中都可以应用换元方法，其要点是把方程中的一些表达形式相同的部分看成一个整体并设新的字母表示，从而达到化简方程并把原方程化归为已经会解的一元一次或一元二次方程的目的。
[问题精讲]1.在中学课程中,只要求学生会解一些特殊的高次方程,最常见的就是“双二次方程”，即只含有未知数的四次项、二次项和常数项的方程。
对于这类方程,可以经过对二次项的换元转化为一元二次方程。
例1，解方程(x 2+1)2=x 2+3分析:思路1：以x 2+1为一个整体进行换元，因此要对方程右边进行变形使其含有x 2+1。
思路2：把方程展开成标准的双二次方程，再对x 2进行换元。
解法一：原方程可化为(x 2+1)2-(x 2+1)-2=0，设x 2+1=y 得y 2-y-2=0，解得 y 1=2，y 2=-1，x 2+1=-1无实根，由x 2+1=2解得x 1=1，x 2=-1。
解法二：由原方程得x 4+x 2-2=0，设x 2=y （解题熟练时，这一换元过程也可以不写出） 得y 2+y-2=0，解得y 1=1，y 2=-2，x 2=-2无实根，由x 2=1解得x 1=1，x 2=-1。
注意：换元的关键是善于发现或构造方程中表达形式相同的部分作为换元的对象。
在解方程的过程中换元的方法常常不是唯一的，解高次方程时，只要能达到降次目的的换元方法都可以应用。
例如在牛刀小试题1中，可以设4x 2+2=y ，则原方程化为y 2+y-12=0；也可以设4x 2+1=y ，则原方程化为y 2+3y-10=0（选C ），（还可以设4x 2=y 等等，学生可以自己练习）。
但是无论采用哪一种换元方法，所得方程的解都是相同的。
2.解无理方程时，常把原方程中的一个含有未知数的根式作为整体进行换元，达到化去根号转化为可解方程的目的。
无理方程的十种特殊解法
作者： NULL
出版物刊名： 玉溪师范学院学报
页码： 104-106页
摘要：解无理方程,中学课本主要讲述了“两边平方法”和“换元法”解一些简单的无理方程。
实际上,很多无理方程仅用这两种常规方法是不易解出的,必须根据不同形式的无理方程,寻求其特殊解法。
现举例介绍无理方程的十种特殊解法,供教学参考。
一、利用定义域例1 解方程2ｘ-3-4-5ｘ=6ｘ。
解:由2ｘ-3≥0得ｘ≥32;由4-5ｘ≥0得ｘ≤45。
因两者矛盾,故原方程无解。
二、利用非负数性质例2 解方程ｘ+ｙ-4+9ｘ2+ｙ2=6ｘｙ。
解:原方程变形为ｘ+ｙ-4+(3ｘ-ｙ)2=0∵两个非负数之和为零,必然两个数均为零,∴ｘ+ｙ=43ｘ-ｙ=0。
解之ｘ=1ｙ=3即为原方程的解。
三、分段讨论法例3 解方程ｘ2-3ｘ+ｘ2-6ｘ+9=2。
解:按ｘ2-3ｘ≥0的解集ｘ≤0或ｘ≥3,分两段讨论。
当ｘ≤0时,原方程为ｘ2-3ｘ=2-(3-ｘ),解之ｘ=-1。
经检验ｘ=-1是增根;当ｘ≥3时,原方程为ｘ2-3ｘ=2-(ｘ-3),解之ｘ=257。
经检验ｘ=257是原方程的解。
四、配方法例4 解方程22ｘ(ｘ+7)-2ｘ-ｘ+7=13-3ｘ。
解:围绕中间项22ｘ(ｘ+7)进行配方,即(2ｘ)2+22ｘ(ｘ+7)+(ｘ+7)2-3ｘ-7-13+3ｘ...。
运用换元法解几类特殊的无理方程(组)
( 武汉 师 院 汉
口
分院
汤 光宋
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解 无 理 方程 ( 组 通 常 的方 法 是
两 边 乘方
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将方 程 可 降低
化 为 有 理 方 程求 解
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( 五 ) 运 用换 元 法 引 入 两 个 新 变 元
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倒数 的情形
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( 一 ) 利 用 根号 内
外有 关项 系数 成 比
其 中 f ( 幼 为 有 理分式
。
巧解几类无理方程
巧解几类无理方程
陈尚弟
【期刊名称】《教学与管理》
【年(卷),期】1995(000)006
【摘要】无理方程的常规解法是首先将无理方程化归为有理方程,而化归的方法是通过移项、把根式尽可能地均匀分布在方程两边,对两边同次乘方。
若化归后仍是无理方程,则按上法再进行,直至化为有理方程求解,最后验根。
常规角法尽管是通法,但常使方程的次数增高、运算量增大。
本文对几类无理方程给以巧妙的解法,使解题效率大大提高。
本文以下用f(x),g(x),h(x)等表示x的有理函数、用a,b,c,d等表示常数。
【总页数】1页(P52-52)
【作者】陈尚弟
【作者单位】山西教育学院
【正文语种】中文
【中图分类】G633.6
【相关文献】
1.运用换元法解几类特殊的无理方程(组) [J], 汤光宋;
2.几类无理方程的简捷解法 [J], 王耀富
3.几类无理方程的简捷解法 [J], 王耀富
4.巧解无理方程——等差中项的视角 [J], 程汉波
5.巧解无理方程 [J], 赵良勇
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初中数学八年级无理方程详细教程(沪教版)
无理方程【学习目标】1、理解无理方程的概念，会区分有理方程和无理方程。
2、会用在方程两边平方的方法解可以化为一元一次方程或一元二次方程的无理方程，并会验根。
3、知道用换元法解无理方程的条件，会用换元法把某些特殊的无理方程化为有理方程。
4、通过无理方程有理化的过程，知道验根是解无理方程的必要步骤，领会转化思想在解无理方程中的作用，掌握无理方程验根的基本方法。
5、会正确判定无理方程是否有实数解。
【例题精讲】例1：以下关于x 的方程，为无理方程的是〔 〕 A 、02332=+-x x B 、12112=-+-x x C 、0755122=+-x x D 、c bx x a =+1 考点：无理方程的概念分析：根据无理方程的定义进行解答，根号内含有未知数的方程为无理方程． 解答：选项A 中的根号内不含未知数，此方程为整式方程； 选项B 中的根号内不含未知数，此方程为分式方程；选项D 中的根号内虽含有字母，但只是常数并非未知数，所以也不是无理方程，此 方程为分式方程；选项C 中的根号内含有未知数x ，符合无理方程的定义，所以该题答案为C 。
点评：此题主要考查无理方程的定义，关键在于分析各方程的根号内是否含有未知数．例2：解方程：1212-=-x x考点：解无理方程分析：两边直接平方把根号去掉，把无理方程转化为有理方程来求解，最后把所得的解代回 原方程中进行检验。
解答：两边平方得1212-=-x x ， 整理后得022=-x x ，解得2,021==x x检验：分别代入原方程检验得01=x 时根号内的数为负数不成立，为增根舍去， 故原方程的根为x =2。
点评：解无理方程的基本方法是把方程两边同时平方，这样可能使未知数的允许取值范围扩大，于是就有可能产生增根，所以在解答此类题目时一定要注意验根。
例3：解方程：x x =++1052考点：解无理方程分析：把方程移项后，两边平方求解，最后把所得的解代回原方程中进行检验。
初中数学方程与不等式之无理方程技巧及练习题含答案
故答案为：x=12．
4．方程 x 11 2 x 5的根为_____．
【答案】﹣2 或﹣7 【解析】 【分析】 把无理方程转化为整式方程即可解决问题． 【详解】
两边平方得到：13+2 x 112 x =25，
∴ x 112 x =6，
∴（x+11）（2-x）=36， 解得 x=-2 或-7， 经检验 x=-2 或-7 都是原方程的解． 故答案为-2 或-7 【点睛】 本题考查无理方程，解题的关键是学会把无理方程转化为整式方程．
(x 6)(x 5) 0 ， (x 6) 0或 (x 5) 0 ， 解得 x1 5, x2 6 ， 检验：当 x 5 时， x 30 5 x ， 当 x 6 时， x 30 6 x ，
所以 x=-5， 故答案为：-5． 【点睛】 本题考查无理方程，解一元二次方程．能将无理方程转化成一元二次方程是解决此题的关 键．需注意：因为一个数的算术平方根是非负的，所以一元二次方程的解中可能有不符合 无理方程的解，结果一定要检验．
在 Rt△ABE 中， ∵∠BAE=30°，AB=x，
∴BE= 1 AB= 1 x，AE= 3 BE= 3 x，
22
2
∵AB=AC，Biblioteka H⊥BC，∴CH=BH=6， 在 Rt△AHB 中，AH2=x2-62，
在 Rt△DBE 中，DE= BD2 BE2 132 1 x2 ， 4
在 Rt△ADH 中，AD= AH 2 DH 2 x2 62 72 ．
12．请将方程(x-3) x 7 =0 的解写在后面的横线上：______
【答案】x=7 【解析】 【分析】 先根据已知方程得出 x-3=0 或 x-7=0，求出 x 的值，再进行检验即可． 【详解】 解：(x-3) x 7 =0， x-3=0 或 x-7=0， x=3 或 x=7， 检验：当 x=3 时， x 7 无意义，所以 x=3 不是原方程的解； x=7 是原方程的解， 故答案为：x=7． 【点睛】 本题考查了解无理方程，能把无理方程变成有理方程是解此题的关键，注意解无理方程一 定要进行检验．
第5讲 代数方程(二)学生版
第5讲 代数方程（二）知识精要一、无理方程1、方程中含有根式，且被开方数是含有未知数的代数式，这样的方程叫做无理方程或根式方程。
2、求解无理方程的一般步骤：1）利用两边平方把无理方程转化为有理方程； 2）求解有理方程； 3）检验； 4） 写结论。
二、二元二次方程组1、仅含有两个未知数，并且含有未知数的项的最高次数是2的整式方程叫做二元二次方程；仅含有两个未知数，各方程是整式方程，并且含有未知数的项的最高次数是2，像这样的方程组叫做二元二次方程组。
2、解法：代入消元法和因式分解法【典型例题】类型一、无理方程概念1．已知下列关于x 的方程：.3231)6(;21)5(;721)4(;071)3(;015)2(;015122=-++=+=+-=-+=++=++xx x x x x a x x x x x ）（其中无理方程是____________________(填序号).【思路点拨】判断无理方程的唯一依据就是看看根式中是否还有未知数.【答案与解析】（2），（3），（5）【总结升华】判断无理方程的唯一依据是无理方程的定义：方程中含有根式，且被开方数是含有未知数的代数式，这样的方程叫做无理方程.举一反三：【变式】下列方程哪些是无理方程？(1)=0； (2)=0； (3).=0；（4）（是常数）．【答案】（1）（2）（3）是无理方程．类型二、判断无理方程解的情况2．不解方程，你能判断出下列方程的根的情况吗？①；②； ③.【思路点拨】不解方程直接判断它的解的情况，主要看该方程能否成立，依据是“对于二次根式，有.” 【答案与解析】（1，所以方程无解（2，所以方程无解（3所以x ≥5且x ≤2，所以方程无解【总结升华】对于某些特殊的无理方程，可以不解方程直接判断它的解的情况，主要依据是“对于二次根式，有.”类型三、解无理方程3．解方程【答案与解析】两边平方得：移项，合并同类项得：解得：或检验：把代入原方程，左边右边，所以是增根．把代入原方程，左边 = 右边，所以是原方程的根． 所以，原方程的解是． 11=+-x x 325=-+-x x a 0,0≥≥a a 010＞0≤0≥0a 0,0≥≥a a 71x x +=1x =+2721x x x +=++260x x +-=3x =-2x =3x =-≠3x =-2x =2x =2x =【总结升华】解含未知数的二次根式恰有一个的无理方程的一般步骤：①移项，使方程的左边只保留含未知数的二次根式，其余各项均移到方程的右边；②两边同时平方，得到一个整式方程；③解整式方程；④验根．举一反三：【变式】方程的根是 ．【答案】解：方程两边同时平方得：x+1=4，解得：x=3．检验：x=3时，左边==2，则左边=右边， 故x=3是方程的解．故答案是：x=3．4、【答案与解析】x=23原方程变形为两边平方得 x+2=81-+x-7整理得再两边平方得 x-7=16 解得 x=23检验：把x=23代入原方程得，左边=右边所以，原方程的根是 x=23【总结升华】由于在方程的一边含有两个根式，直接平方将很困难．这时通常采用把一个根式移到另一边再平方的方法，这样就可以转化为上例的模式.举一反三：【变式】（20164=.【答案】4=5163x x +=--1=31x -=4x =经检验4x =是原方程的根，所以原方程的根为4x =．类型四、“换元法”解无理方程5、（杨浦区校级期中）解方程：4x 2﹣10x+=17．972=-++x x【思路点拨】利用换元法解方程：设=t ，原方程转化为2t 2+t ﹣21=0，解此一元二次方程得到t 1=3，t2=﹣，再分别解=3和=﹣，然后把解得的结果进行检验即可得到原方程的解．【答案与解析】解：方程变形为2（2x 2﹣5x+2）﹣﹣21=0 设=t ，则原方程转化为2t 2+t ﹣21=0，（t ﹣3）（2t+7）=0，解得t 1=3，t2=﹣，当t=3时，=3，则2x 2﹣5x+2=9， 整理得2x 2﹣5x ﹣7=0，解得x 1=，x 2=﹣1；当t=﹣时，=﹣，则方程无解，经检验原方程的解为x 1=，x 2=﹣1．【总结升华】本题考查了无理方程：方程中含有根式，且开方数是含有未知数的代数式，这样的方程叫做无理方程．解无理方程的基本思想是把无理方程转化为有理方程来解，在变形时要注意根据方程的结构特征选择解题方法．解无理方程，往往会产生增根，应注意验根．举一反三：【变式】解方程x 2+3x －=1.【答案】解：设 换元后，整理得方程是，解得，，，所以， ，，解这两个方程得，，，，，检验：把，，，代入原方程得，，是原方程的根， 所以，原方程的根是，. 1x 6x 22++2+3y x x =y 1=4y 2=0y 2+3=4x x 2+3=0x x 1=-4x 2=1x 3=-3x 4=0x 1=-4x 2=1x 3=-3x 4=0x 1=-4x 2=1x 1=-4x 2=1x类型五、二元二次方程（组）判断1．下列方程中，哪些是二元二次方程？是二元二次方程的请指出它的二次项、一次项和常数项. 【思路点拨】该题主要依据二元二次方程的定义。
利用换元法解方程(组)
第6讲 利用换元法解方程一、方法技巧（一）换元法解方程是用新元代替方程中含有未知数的某个部分，达到化简的目的.（二）运用换元法解方程，主要有三种类型：分式方程、无理方程、整式（高次）方程.解分式方程、无理方程、整式(高次)方程的基本思想是将分式方程化为整式方程、无理方程化为有理方程、整式（高次）方程逐步降次.（三）换元的方法是以所讨论方程的特有性质为依据的，不同的方程就有不同的换元方法，因此，这种方法灵活性大，技巧性强．恰当地换元，可将复杂方程化简，以便寻求解题的途径．常用换元方法有局部换元、均值换元、倒数换元、常数换元等．例如：① 256011x x x x ⎛⎫⎛⎫++= ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭ ，可使用局部换元法，设1x y x =+ ②22110x x x x +++=，变形后也可使用局部换元法，设1x t x +=③222212219116x x x x x x x +++++=+++，看着很繁冗，变形整理成222211191116x x x x x x +++++=+++时，就可使用局部换元法. ④()()443182x x +++=，可设()()3122x x y x +++==+，方程变成()()441182y y ++-=，使方程变得易解，这是均值换元法.⑤4326538560x x x x +-++=，符合与中间项等距离的项的系数相等，如46x 与6，35x 与5x 系数相等，可构造1x x+换元，是倒数换元法.⑥32310x x +++=，不易求解，若反过来看，把设x 看作已t ，则方程就变成()()2232110x t x t x ⋅+++-=，数字换元法不常用，但不失为一种巧妙的解题方法.有时根据方程各部分特点可设双元，达到化繁为简，求解的目的.例如：()()()()()222222223232321321451x x x x x x x x x x -++-+--+--=-+观察发现()()22232321451x x x x x x -++--=-+，故可设232x x u -+=，2321x x v --=，原方程变为()222u uv v u v ++=+，方程由繁变简，可得解.（四）本讲注重研究用换元法解方程的技能、技巧．拓宽学生知识面，培养学生学习和研究数学的兴趣.二、应用举例类型一 局部换元（高次方程）【例题1】解方程：42320x x -+=【答案】11x =，21x =-，3x =4x =【解析】试题分析：通过观察发现()242x x =，故设2x y =，原方程变形为2320y y -+=，可把高次方程降次，转化为可解的一元二次方程.试题解析：解：设2x y =，则原方程变形为2320y y -+=， 解得，11y =，22y =，由11y =得21x =，解得11x =，21x =-，由22y =得22x =，解得3x =，4x =∴方程的解是11x =，21x =-，3x =4x =【难度】较易（分式方程）【例题2】解方程：256011x x x x ⎛⎫⎛⎫++= ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭【答案】134x =-，223x =- 【解析】试题分析：括号里的分式相同，由这个特点，可以用换元法来解.试题解析： 解：设1x y x =+，于是原方程变形为2560y y ++= 解得13y =-，22y =-当13y =-时，31x x =-+，解得134x =-， 当22y =-时，21x x =-+，解得223x =- 经检验134x =-，223x =-均为原方程的根. ∴方程的解是134x =-，223x =- 【难度】较易【例题3】已知实数x 满足22110x x x x +++=，那么1x x+的值是（ ） 【答案】2-【解析】试题分析： 由于222112x x x x ⎛⎫+=+- ⎪⎝⎭，故设1x t x +=，可解. 试题解析： 解：设1x t x+=， 原方程化简得21120x x x x ⎛⎫+-++= ⎪⎝⎭， ∴220t t -+=，解得11t =，22t =- 由11x x+=化简得210x x -+=，△＜0 ，无解，舍去 ∴12x x +=- 点评 ：方程中并无“相同”的部分时，可通过代数式间的关系变形构造出“相同”部分，设元.【难度】一般（无理方程）【例题4103= 【答案】114x =，294x =- 【解析】试题分析： 这是一个根号里含有分式的无理方程，也可通过换元后求解，通过变形发现221x x x++=，与2x x +互为倒数，y =，则原方程变形为1103y y +=，无理方程化为有理方程. 试题解析：()0y y = ＞，则原方程变形为1103y y +=整理得231030y y -+=解得13y =，213y =当13y =3=，解得114x =当213y =13=，解得294x =- 经检验114x =，294x =-都是原方程的根. 原方程的解是114x =，294x =- 【难度】一般【例题510=【答案】11x =21x = 【解析】试题分析：1=，可设两个未知数，利用韦达定理求解.试题解析：m = n = ，原方程变为1m n +=又∵()2222m n m n mn +=++∴142mn =+，即32mn =- 根据韦达定理，m n 、是方程2302z z --=的根解得1z =2z =0， ∴2z 舍去即m =n =12= 12=解得112x =+， 212x =-经检验11x =+212x =-是原方程的解∴ 方程的解是11x =+21x =- 【难度】一般类型二 均值换元【例题6】解方程：()()443182x x +++= 【答案】10x =，24x =-【解析】试题分析：观察方程可知()()312x x +-+=，适合使用均值法换元，故设()()3122x x y x +++==+可达到降次目的.试题解析：解：设()()3122x x y x +++==+， 原方程变为()()441182y y ++-=整理得()()()()222221121182y y y y ⎡⎤++--+-=⎣⎦ ()()2222412182y y +--=426400y y +-= 解得210y =-（舍），24y =即12y =，12y =-由22x +=，得10x =由22x +=-，得24x =-∴原方程的解为10x =，24x =-点评：一般形如()()44x a x b c +++=的方程可用均值法，设22x a x b a b y x ++++==+进行代换，化原方程为双二次方程求解.【难度】较难类型三 倒数换元【例题7】解方程：4326538560x x x x +-++= 【答案】112x =，22x =, 33x =-，413x =- 【解析】试题分析：本题的特点是：按x 降幂排列后，与中间项等距离的项的系数相等，如46x 与6，35x 与5x 系数相等，可构造1x x +换元. 试题解析：解：显然0x =不是方程的解，故用2x 除方程两边， 整理得221165380x x x x ⎛⎫⎛⎫+++-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，设1y x x =+，则22212x y x+=-， 上式变为()2625380y y -+-=，整理得265500y y +-= 解得152y =，2103y =-， 由152x x +=，解得112x =，22x = 由1103x x +=-，解得33x =-，413x =- 点评：形如4320ax bx cx bx a ++++=的方程称为倒数方程，其特点是，按某一字母降幂排列后，与中间项等距离的项的绝对值相等，其解法是，用2x 除各项，构造1x x±，使原方程变为一元二次方程得解.【难度】较难类型四 常数换元【例题8】解方程32310x x ++=【答案】11x =，212x -=，312x --= 【解析】试题分析：这是三次方程，且系数中含无理数，不易求解，若反过来看，把设x 设为设t ，则方程就变成关于t 的一元二次方程.试题解析：t=则原方程变形为322210x x t xt t +++-=即()()2232110x t x t x ⋅+++-= ()()2110x t x x t x ⎡⎤⋅++++-=⎡⎤⎣⎦⎣⎦ ()()2110x x x x ⎡⎤⎤++-=⎣⎦⎦整理得)21110x x x ⎡⎤⎡⎤+++=⎣⎦⎣⎦)2110x x ++=或10x +=解得11x =，2x =，3x = 【难度】困难三、实战演练类型一 局部换元（高次方程）1.已知()()2222138x y x y ++++=，则22x y +的值为（ ）【答案】1【解析】试题分析：解题时把22x y +当成一个整体考虑，再求解就比较简单.试题解析：解：设22x y t +=，()0t ≥，则 原方程变形为()()138t t ++=，整理得()()510t t +-=，解得15t =-，21t =，∵0t ≥∴1t =∴22x y +的值是1【难度】较易2.解方程：()2222360x x x x +--=【答案】10x =，22x =-，33x =-，41x =【解析】试题分析：观察可知，方程整理后()()2222320x xx x +-+=，可用换元法降次.试题解析：解：方程整理后()()2222320x xx x +-+=设22x x y +=，则 原方程变为230y y -= 解得10y =，23y =由10y =，得220x x +=，解得10x =，22x =-由23y =，得223x x +=，解得33x =-，41x =∴原方程的解是10x =，22x =-，33x =-，41x =【难度】较易3.方程()()22235320x x ---+=，如果设23x y -=，那么原方程可变形为（ ） A ．2520y y -+= B. 2520y y +-= C. 2520y y --= D. 2520y y ++=【答案】D【解析】试题分析:注意到23x -与23x -互为相反数，只有符号要变化，可利用换元法变形.试题解析：解：设23x y -=，则23x y -=-用y 表示23x -后代入方程得2520y y ++=故选D.【难度】较易4.解方程：()22213x x +=+【答案】11x =，21x =- 【解析】 试题分析：1.以21x +为一个整体换元，因此要对方程进行变形使其含有21x +.2.把方程展开成标准的双次方程，再对2x 进行换元.试题解析：解法一：原方程可化为()()2221120x x +-+-=，设21x y +=，得220y y --=， 解得12y =，21y =-由212x +=，解得11x =，21x =-由211x +=-，22x =-无实根∴方程的解是11x =，21x =-解法二：由方程得4220x x +-=，设2x y =得220y y +-=，解得11y =，22y =-（舍去）由21x =，解得11x =，21x =-∴方程的解是11x =，21x =-点评：换元的关键是善于发现或构造方程中表达形式相同的部分作为换元对象.在解方程的过程中换元的方法常常不是唯一的，解高次方程时，只要能达到将次目的的换元方法都可以应用. 【难度】较易（分式方程）5.解方程2261x x x x=+++ 【答案】12x =-，21x =【解析】试题分析：方程左边分式分母为2x x +，可将右边2x x +看成一个整体，然后用换元法解.试题解析：解：设2x x y +=，则原方程变形为61y y=+ 解得13y =-，22y =当13y =-时，23x x +=-，△＜0，此方程无实根当22y =时， 22x x +=， 解得12x =-，21x =经检验，12x =-，21x =都是原方程的根.【难度】较易【解析】试题分析：整理后发现()222x x x x +=+，故()()2211x x x ++=+，就可换元解题了 试题解析：设()21x y +=，则整理得220y y --=解得12y =，21y =-（舍去）【难度】较易7.解方程222212219116x x x x x x x +++++=+++【答案】121x x ==，332x -+=，432x --= 【解析】试题分析： 观察到()2222222112211111x x x x x x x x x x x x +++++++==+++++++，设2211x x y x ++=+，原方程可化为11916y y ++=，由繁变简，可解. 试题解析： 解：原方程变形得222211191116x x x x x x +++++=+++， 即22221113116x x x x x x ++++=+++ 设2211x x y x ++=+，则原方程变为1136y y += 整理得261360y y -+= 解得132y =，223y = 由132y =得221312x x x ++=+，解得121x x ==由223y =得221213x x x ++=+，解得3x =，4x =经检验121x x ==，3x =4x =.∴原方程的解是121x x ==，332x -+=，432x --= 【难度】一般8.解方程：22272720x x x x+-++=【答案】11x =，21x =， 312x =-，42x = 【解析】试题分析： 观察可发现22222711272272x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫+-++=+--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，而222112x x x x ⎛⎫+=-+ ⎪⎝⎭，故可设1x x -为辅助元，可得解. 试题解析： 解：将原方程转化为21122720x x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-+--+=⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦设1x y x-=，则 原方程转化为22760y y -+=解得12y =，232y =当12y =时，12x x-=，解得11x =，21x = 当232y =时，132x x -=，解得312x =-，42x =经检验11x =21x = 312x =-，42x =都是原方程的解所以，原方程的解是11x =，21x =， 312x =-，42x = 【难度】一般9.解方程:222322322x x x x-+=-【答案】1x =2x = 【解析】试题分析： 这个方程左边两个分式互为倒数关系，抓住这一特点，可设2232x y x =- 试题解析：解：设2232x y x =-，则原方程可化为12y y +=， 即2210y y -+=∴()210y -=，解得1y = 由22132x x =-，得23220x x --=解得：1x =，213x =经检验1x =，2x =都是原方程的根 点评：解有倒数关系的分式方程时，常把原方程中的一个分式作为整体进行换元，换元时要注意分子、分母互换时分式可以用一个新元和它的倒数来表示，即形如()()0b a f x c f x ++=的方程，可设()y f x = 【难度】较易10.解方程：222122272221x x x x x x +=+-+-+-【答案】11x =-21x =-【解析】试题分析：观察方程的分母，发现各分母均是关于x 的二次三项式，仅常数项不同，抓住这一特点，可设22y x x =+ 试题解析：解：设22y x x =+，原方程可化为122721y y y +=---，即()()12721y y y -=---， 即2120y y --=，解得：14y =，23y =-由224x x +=，解得11x =-21x =- 由223x x +=-，△＜0，方程无解经检验11x =-21x =-.∴方程的解是11x =-21x =-【难度】较难11.解方程：222111011102101310x x x x x x ++=++++-+ 【答案】15x =，22x =，35x =-，42x =-【解析】试题分析：观察方程的分母，发现三个分母都是关于x 的二次三项式，仅一次项不同，抓住这一特点，可设2210y x x =++试题解析：解：设2210y x x =++， 则原方程可化为1110915y x y y x ++=+-整理得：224450y xy x --=解得：19y x =，25y x =-由22109x x x ++=，解得15x =，22x =由22105x x x ++=-，解得35x =-，42x =-经检验知，它们都是原方程的解.点评：以上三个例子可以看出，换元时必须对原方程仔细观察、分析，抓住方程的特点，恰当换元，花繁为简，达到解方程的目的.【难度】较难（双元换元） 12.解方程： 213134211x x x x x x --⎛⎫+= ⎪++⎝⎭【答案】11x =，26x =，33x =，43x =【解析】试题分析： 本题整理后2213134211x x x x x ⎛⎫⎛⎫-+= ⎪⎪++⎝⎭⎝⎭，发现221313131313111x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫-+++== ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭，设2131x x a x -=+，2131x b x +=+，可得13a b +=，42ab =，利用韦达定理可求解. 试题解析： 解：设2131x x a x -=+，2131x b x +=+ 可得13a b +=，42ab =由韦达定理，知a ，b 是方程213420z z -+=的两根解得16z =，27z =即67a b =⎧⎨=⎩或76a b =⎧⎨=⎩即2213611371x x x x x ⎧-=⎪⎪+⎨+⎪=⎪+⎩或2213711361x x x x x ⎧-=⎪⎪+⎨+⎪=⎪+⎩ 经检验11x =，26x =，33x =，43x =.所以方程的解是11x =，26x =，33x =，43x =【难度】较难13()()()()()222222223232321321451x x x x x x x x x x -++-+--+--=-+ 【答案】131x x ==，22x =，413x =-【解析】试题分析： 观察发现()()22232321451x x x x x x -++--=-+，故可设232x x u -+=，2321x x v --=，原方程变为()222u uv v u v ++=+，方程由繁变简，可得解试题解析：解：∵()()22232321451x x x x x x -++--=-+设232x x u -+=，2321x x v --= 原方程变为()222u uv v u v ++=+∵()2222u uv v u v ++=+∴0uv =，即0u =或0v =即2320x x -+=或23210x x --=解得11x =，22x =，31x =，413x =-∴方程的解是131x x ==，22x =，413x =- 点评：对于本题这样繁冗的方程，直接展开求解不可取，可通过观察，找到代数式间的联系，不妨设两个辅助元，将方程变形，目的是使方程有繁变简，可解.【难度】较难（无理方程）14.1=【答案】1x =-【解析】试题分析：解无理方程的基本思想是将其转化为有理方程，通常是设根式为元，本题的两根式存在()()1+12x x +=+的关系，故设一个辅助元即可.试题解析：解：设y =21x y +=，即221x y +=+1y =1y =-两边平方，并整理得0y =0=，解得1x =-经检验1x =-是原方程的解点评：解无理方程时，常把方程中的一个含有未知数的根式作为整体换元，达到化去根号转化为可解的方程的目的.【难度】一般15.解方程组：183x y +=⎧⎪-=【答案】191x y =⎧⎨=-⎩【解析】试题分析：此题是整式方程与无理方程合并的方程组，解题时应从无理方程出发，将其化为有理方程求解.试题解析：u =v =，则原方程组可化为：22173u v u v ⎧+=⎨-=⎩()()12 由（2）得，3u v =+，（3）将（3）代入（1），得()22317v v ++=，解得，11v =，24v =-∴4u =得41==，解得191x y =⎧⎨=-⎩经检验，知191x y =⎧⎨=-⎩是原方程组的解 ∴原方程组的解为191x y =⎧⎨=-⎩点评：妙用换元法，将无理方程组化为有理方程组，从而把繁杂而生疏的问题转化为简单而熟悉的问题.【难度】一般16.解方程：22650x x --=【答案】15x =，22x =-【解析】试题分析：由于根号里面23x x -与根号外面226x x -，对应系数成比例，故可以将其变形()223130x x ---=， 不难找到辅助元.试题解析：y =，则原方程可以化为22530y y --=解得112y =-（舍去），23y =3=，解得15x =，22x =-经检验15x =，22x =-是原方程的解.点评：以前学过的取平方去根号法解无理方程，是种普遍方法.现在的换元法必须构造出根号内外两个相同的式子才行.【难度】较难类型二 均值换元17.解方程：()()()()214719x x x x -+++=【答案】1x =2x =3x =，4x = 【解析】试题分析：方程的左边是四个二项式乘积，故展开求解不可取，应通过观察找突破口，左边重组后，()()()()2714x x x x -+++⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦()()2251454x x x x =+-++，可设元求解.试题解析：解：原方程变形后()()()()271419x x x x -+++=⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦整理后得()()225145419x x x x +-++=设()()22251454552x x x x y x x +-+++==+-方程可变为()()9919y y -+=，即2100y =解得110y =，210y =-由110y =得25510x x +-=，解得1x =2x =由210y =-得25510x x +-=-，解得3x =4x =∴方程的解是152x -=，252x --=，352x -+=，452x --= 点评：本题也可设25x x +为辅助元，但没有均值法计算快捷，恰当的重组变形得到()()()()2714x x x x -+++⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦是解本题的关键.【难度】一般18.解方程：()()()2673416x x x +++= 【答案】123x =-，253x =- 【解析】试题分析：方程左边四个二次项的乘积，显然展开求解不可取，可尝试变形后()()()267686672x x x +++=，取均值，将其由繁变简.试题解析：解：方程变形为()()()267686672x x x +++= 设()()()()67676866674x x x x y x +++++++==+原方程变成()()21172yy y +-= 整理得42720y y --=解得29y =或28y =-（舍去）∴13y =，23y =-即673x +=或673x +=- 解得123x =-，253x =- 【难度】较难类型三 倒数换元19.解方程：4322316320x x x x +-++=【答案】12x =-，22x =-32x =，412x = 【解析】试题分析：此题符合倒数方程的特点：按x 降幂排列后，与中间项等距离的项的系数相等，两边同时除以2x ，可构造1x x+为元得解. 试题解析：解：∵这是个倒数方程，且知0x ≠，两边除以2x ，并整理得221123160x x x x ⎛⎫⎛⎫+++-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 设1x y x +=，则22212x y x+=- 原方程化为223200y y +-=解得14y =-，252y =由14y =-得14x x+=-，解得12x =-，22x =- 由252y =得152x x +=，解得32x =，412x =∴方程的解是12x =-，22x =-32x =，412x = 【难度】较难20.解方程((5598y y ++-= 【答案】2y =±【解析】试题分析：此题无法用通常的方法解决，但注意到5+5-互为倒数且指数均为y ，因此，利用换元法换元后再利用根与系数的关系就可以顺利解决此题了.试题解析：解：设(5y a =+，(5y b =-， 则981a b ab +=⎧⎨=⎩a 、b 可看作29810t t -+=的根解得149t =+，249t =-则4949a b ⎧=+⎪⎨=-⎪⎩4949a b ⎧=-⎪⎨=+⎪⎩∴(((2254955y a ±=+=±=±=+∴2y =±点评：本题是指数方程，不是中考考点，但解法巧妙，可用来拓展思路，不妨试试！【难度】较难。
浅谈换元法在数学解题中的应用
浅谈换元法在数学解题中的应用数学解题是人们巩固旧有知识、获取新的知识、培养思维的一种重要的方法,面对繁杂多变的数学问题,人们常常把复杂的、不熟悉的未知问题,转化为简单的、熟悉的已知问题,这就是化归思想,而换元法是体现这一思想的最重要的方法之一。
换元法是指引入一个或几个数的变量代替原来某些变量(或代数式),通过对新的变量的探究,反馈探索原有变量所蕴含问题的一种解题方法。
它体现了化繁为简、化难为易的思想。
它在方程问题、不等式问题、函数解析式问题、函数值域与最值问题等方面都有广泛的运用。
一、换元法在解方程中的运用例1:解无理方程:2x2+6x+-1=0分析:无理方程的解法,关键是有理化,考虑把看成一个整体t,化原方程为与t 相关的一元二次方程,再由t求x。
解:令=t(①),则x2+3x+1=t2(t≥0)原方程可化为:2t2+t-3=0解得t=1或t=(舍去)由t=1代入①知:x2+3x=0故x=0或x=-3∴原方程组的解为x=0或x=-3例2:解方程组分析:这是一个分式方程组,若直接去分母,将会变得异常复杂,但若把、、看成一个整体,则可看成一个三元一次方程组,这时极易求解。
解:令=a,=b,=c,则方程组可化为:解这个三元一次方程得:a=1,b=2,c=3故原方程组的解为:x=1,y= ,z=二、换元法在不等式证明中的运用例3:若a,b,c∈R+,求证:++≥分析:a,b,c∈R+,这是均值不等式a+b≥2成立的充分条件。
但如何运用这一不等式呢?考虑把各分母整体看待,并用之表示出分子,这时可裂项后用均值不等式。
证明:设,则x,y,z∈R+且则左边=++=+++++-≥3-=左边≥右边,即原不等式成立例4:若a2+b2≤1,c2+d2≤4,求证:|ac+bd|≤2。
分析:考虑到cos 2θ+sin 2θ=1这一特点,得用三角换元。
证明:令a=rcosθ,b=rsinθ,则|r|≤1令c=Rcosφ,d=Rsinφ,则|R|≤2故|ac+bd|=|rcosθ·Rcosφ+rsinθ·Rsinφ|=|r|·|R|·|cosθ·cosφ+sinθ·sinφ|=|r|·|R|·|cos(θ-φ)≤2即原不等式成立三、换元法在求函数值域与最值中的运用例5:求函数y=的最小值。
谈谈换元法在解题中的妙用
数学篇解法荟萃在解答比较复杂的代数问题时，我们通常会采用换元法来帮助我们理清题目中的数量关系，使问题化难为易、化繁为简，然后顺利获解.运用换元法解题首先要根据问题的特征或数量关系引进新的辅助元来替换原问题中的数、字母、式子等，然后求出新元的值，再将求得的值带回所设的换元式，带入替换关系中，求出原来的未知量或变量，最后对解出的答案进行检验.本文主要介绍换元法在因式分解、解方程以及整式运算中的应用.一、换元法在因式分解中的妙用当我们在进行因式分解时，如果一个多项式的项数、字母较多，次数较高或含有代数式乘积的项时，可对多项式中某些相同的部分设辅助元进行代换，让整个题干的因式项数减少或因数次数降低，从而方便解题.例1分解因式(x 2+4x +6)(x 2+6x +6)+x 2.分析：本题中所提供的因式中存在一部分相同的多项式x 2+6，因此在进行因式分解的过程中可以将这部分的多项式利用新元代替，设：x 2+6=y ，因此原式中的x 2+4x +6=4x +y ；x 2+6x +6=6x +y .解：设x 2+6=y ，原式(x 2+4x +6)(x 2+6x +6)+x 2=(4x +y )(6x +y )+x 2，化简得出y 2+10xy +25x 2=(y +5x )2，将x 2+6=y 代入(y +5x )2可得，（x 2+6+5x ）2=[（x +2）（x +3）]2=（x +2）2（x +3）2.评注：用换元法分解因式时，不必将原式中的元都用新元代换，根据题目需要，引入必要的新元，原式中的变元和新的变元可以一起变形.换元法的本质就是简化多项式．二、换元法在解方程中的妙用当我们遇到分式方程、无理方程、高次方程等直接求解比较困难的方程问题时，可考虑运用换元法，把方程中的某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，通过变量代换实现降次、无理式转化为有理式、分式转化为整式的目的，从而使较繁难的问题变为较简易的问题.例2解方程式2x 2-6x -1+3x 2-3x +2=0.分析：要利用换元法解答这题，首先需要让根号内的代数式和根号外的部分代数式相同.如果将x 2-3x +2设为y ，那么就可以将2x 2-6x -1化成与根号内相同的式子，以此来谈谈换元法在解题中的妙用盐城市新洋初级中学林正坤32数学篇解法荟萃换元，就可以把这个无理方程转化为有理方程.解：设x 2-3x +2=y ，那么x 2-3x +2=y 2.原方程式2x 2-6x -1+3x 2-3x +2=0可化为2(x 2-3x +2)+3x 2-3x +2-5=0，将新元代入可将方程式转换为2y 2+3y -5=0，解得y 1=-52，y 2=1，当y =-52的时候，原方程无解，舍去，所以y =1，即x 2-3x +2=1，同理得到x 2-3x +2=1.解得x 1=3-5；x 2=3+5.评注：如果用开平方的方式解答无理方程，会导致整个方程的次方数过高，使解题过程更加困难.因此我们可以根据题目的要求和代数式的特性，利用换元法把无理方程巧妙地转化为有理方程.三、换元法在整式运算中的妙用在整式运算中，对一些较为复杂的题目，直接求解显然不易入手时，同学们可以考虑整体换元.整体换元的关键是要构造元和设元，就是要将已知式中结构相同的某个部分看作一个整体，用一个新的变量去替代它，然后再结合题目形式进行变形求值，从而使问题得以简化.例3求（1+2+3+…+998）（2+3+4+…+999）-（1+2+3+…+999）（2+3+4+…+998）的值.分析：从整式的整体上来看，我们需要找寻其中的共同点，将这些共同点利用新元进行代替，让整个式子得以简化.通过观察我们可以将第一个式子（1+2+3+…+998）设为x ，将（1+2+3+…+999）设为y ，然后就可以将其带入后面两个式子中将整式进行简化.1+2+3+…+999=y .将x ,y 代入原式后可得x (y -1)-y (x -1)=(xy -x )-(xy -y )=y -x =999.评注：本题中每一个代数式都可以用新元替代原有的式子，但是取不同的代数式换元后，运算难度会有所不同，所以我们在利用换元法解题的时候需要仔细观察，寻找规律，找到最合适设置新元的位置代入换算.上期《<勾股定理>拓展精练》参考答案1.B ；2.D ；3.A ；4.C ；5.(0,0)或(94,0)或(-3,0)；6.16；7.7；8.10，4；9.解：（1）∠BAC =90°；理由略；（2）当△ACP 为等腰三角形时，有三种情况：①当AC =AP 时，CP =2CD =2；②当AC =CP 时，∵AC =12+22=5，∴CP =5；③当CP =AP 时，CP =12BC=2.5；因此，当△ACP 为等腰三角形时，CP 的长为2或5或2.5．10.解：（1）设半圆O 的半径为R ，则R =2，作弦EF ∥AD ，且EF =2.8，OH ⊥EF 于H ，连接OF ，图略，由OH ⊥EF ，得HF =1.4，又OH =22-1.42=2.04>1.96=1.4，∴此时隧道的高AB +OH >2.6+1.4=4米，∴这辆卡车能通过此隧道；（2）当车高3.9米时，OH =3.9-2.6=1.3米，此时HF =22-1.32=2.31米，∵通道正中间有一个0.4米宽的隔离带，∴HM =0.2米，。
第七讲 无理方程 -【寒假预习】八年级数学核心考点+重难点讲练与测试(沪教版)(原卷版)
第07讲无理方程目录考点一：无理方程的概念和解法考点二：无理方程的根的讨论考点三：无理方程的应用【基础知识】一、无理方程的概念和解法1．无理方程的概念方程中含有根式，且被开方数是含有未知数的代数式，这样的方程叫做无理方程．2．解无理方程的方法通过平方把无理方程转化为整式方程，再求解．3．解无理方程的一般步骤（1）方程两边平方，化成整式方程；（2）解这个整式方程，求出整式方程的根；（3）检验．直接代入原方程中，看其是否成立．如果成立，则这个根为原方程的根，从而解出原方程的解；如果不成立，则这个根为增根，方程无解．二、无理方程的根的讨论增根的概念无理方程在化整式方程求解过程中，整式方程的解如果使得无理方程左右两边不相等，那么这个解就是方程的增根.三、无理方程的应用应用寻找题目中的等量关系，列方程，求解，根据实际情况进行取舍．【考点剖析】【考点1】无理方程的概念和解法例1.下列方程是哪些是关于x 的无理方程?（1）33429x ； （2）2236250x --=； （3）1211x -=；（4241x a x -=； （5）2137x a -=；（6）22113x x x --=例2.下列哪个方程有实数解（ ）A 110x x +-=B 530x ++=C 142x x ---=D 2x x -=-例3.若方程12x k -=有解，则k 的取值范围是________．例4.不解方程，说明下列方程是否有实数根：（112120x x --=；（2）22()4()()a b x x a b a b ---≤．例5.用换元法解方程223351x x x x --+时，设235x x y -+=．则该方程转换整式方程是____________． 例6.解下列方程：（123x x +； （21263x x x -+=．【变式1】解下列方程：（1）2510x x +=-； （2）()310x x +-=；【变式2】.解下列方程：（12721x x +=-+；（2）5415x x -=．例7.1113113x x x x -++-．【变式1】解方程：（1）222352393x x x x +-++-；（2）22513(5)2x x x x +++=．例8.解下列方程：（1437x x +-=； （22151x x -+．【变式1】2116x x x ---例9.解下列方程：2266220x x x x x -----．【考点2】无理方程的根的讨论例1.关于x 241x x a -+有一个增根x =4，求：（1） a 的值；（2） 方程的根．【变式1】2222x m x m +-有一个根是1x =，求实数m 的值．【变式2】.若关于x 4220x kx -+=有实数根，求k 的取值范围．【变式3】.若关于x 320x x m +++=只有一个实数根，求m 的取值范围．【考点3】无理方程的应用例1.用一根56厘米的细铁丝弯折成一个直角三角形，使它的一条直角边长为7厘米，求这个直角三角形的另两条边的长度．例2.建一块场地，用600块正方形的砖头铺成，如果把场地的面积扩大到原来面积的2 倍还多0.6平方米，且正方形的砖头的边长增加10厘米，则需要铺540块方砖，求原场地的面积．例3.若Q 点在直线21y x =+上，且Q 到点P (0，2)的距离为2，求Q 点的坐标．例4.1l 与2l 为两条互相垂直的大路，小李和老王从十字路口O 点同时出发，分别沿着 图示的方向以1千米/小时和2千米/小时的速度前进，到达A 与B 地，一座学校座落于 距1l 8千米，距2l 5千米的P 处，问：经过多少时间，两人距离学校的路程刚好相等？ 是几千米？例5.有一群蜜蜂，一部分飞进了枸杞里，其个数等于总数的一半的平方根，还有全体的89遗留在后面，此外，这群里还有一个小蜜蜂在莲花旁徘徊着，它被一个坠入香花陷阱的同伴的呻吟声所吸引．试问：这群蜜蜂共有多少个?例6.m 、n 为两段互相垂直的笔直的公路，工厂A 在公路n 上，距离公路m 为1千米．工 厂B 距离公路m 为2千米，且距离公路n 为3千米，现在要在公路m 上选一个地址造 一个车站P ，使它与A 、B 两厂的距离和为5P 的位置?【过关检测】一、单选题1．（2022秋·上海奉贤·八年级校考期末）下列关于x 的方程中，没有实数解的是（ ）A ．(1)20x x --=；B (1)(2)0x x --=；C 120x x --=；D (1)(2)0x x --．2．（2022秋·上海宝山·八年级校考阶段练习）下列方程中，有实数解的方程是（ ）A ．2+2=0xB ．2222x x x x +=--C ．320x +=D 320x -=3．（2022春·上海静安·八年级新中初级中学校考期末）下列说法正确的是（ ）A ．22x y +=B ．20x x -=是二项方程C ．223x x -=是分式方程D ．22x x x-= 二、填空题4．（2022秋·上海浦东新·31x x +=+的根是______．5．（2022春·上海虹口·八年级上外附中校考阶段练习）2482x x --时采用了下面的方法：由()()2224824824824816x x x x x x x x ----=---=---=，2482x x --=2488x x --=，将这两式相加可得24583x x -=-=， 245x -两边平方可解得=1x -，经检验=1x -是原方程的解．请你学习小明的方法，解决下列问题：（122221032a a --222210a a --___________．（2224654254x x x x x +---=，得方程的解为___________．6．（2022秋·上海杨浦·1x -x ﹣2）＝0的根是 _____．7．（2022秋·上海普陀·21x k -=无实数解，那么k 的取值范围是______．三、解答题8．（2022秋·上海浦东新·282x x +-．9．（2022秋·上海杨浦·1x +2x =1．10．（2022秋·上海·八年级校考期中）解方程：11x x -=．11．（2022秋·上海·279x x +-=．12．（2022秋·上海·八年级专题练习）解方程(1)5x+x1；(2)已知关于x2m x-m+x＝3有一个实数根是x＝1，试求m的值．13．（2022秋·上海·八年级专题练习）下面是小明同学解无理方程323x-x的过程：原方程可变形为3﹣x23x-（第一步）两边平方，得3﹣x＝2x﹣3……（第二步）整理，得﹣3x＝6……（第三步）解得x＝2……（第四步）检验：把x＝2分别代入原方程的两边，左边＝323x-2，右边＝2，左边＝右边，可知x＝2是原方程的解．……（第五步）所以，原方程的解是x＝2．……（第六步）请阅读上述小明的解题过程，并完成下列问题：（1）以上小明的解题过程中，从第步开始出错；（2）请完成正确求解方程323x-x的过程．14215212 x xx x-=-15.有一个数，它的平方根比它的倒数的正平方根的3倍多2，求这个数．16.已知点P是x轴上一点，它与点A(-9，3)之间的距离是15，求点P的坐标．17.某学校修建两块面积相等的绿地，一块是长方形，另一块是正方形．已知长方形绿地的长比宽多14米，且这两块绿地的周长之和为196米，那么长方形绿地的宽是多少?11。
换元法解无理方程例题
换元法解无理方程例题换元法是解决数学问题的一种常用策略，特别是在处理复杂或难以直接解决的方程时。
以下是一个使用换元法解决无理方程的例子：例题：解无理方程√(x+1) + √(x-1) = 3解：1.设定新变量我们设定新变量以简化方程。
令：√(x+1) = a√(x-1) = b由此，我们可以将原方程转换为：a +b = 32.构建新方程组根据我们设定的新变量，我们可以构建另一个方程来表示x：a^2 = x + 1b^2 = x - 1将这两个方程相减得到：a^2 - b^2 = 23.解新方程组现在我们有了一个新的方程组：a +b = 3a^2 - b^2 = 2解这个方程组，我们首先可以将第一个方程表示为a = 3 - b，然后代入第二个方程得到：(3-b)^2 - b^2 = 2展开并整理得：9 - 6b + b^2 - b^2 = 2进一步整理得：6b = 7从中解出b = 7/6。
代入a = 3 - b得到a = 11/6。
4.验证并求解x将得到的a和b的值代回原设定的等式中求解x：√(x+1) = 11/6 => x+1 = (11/6)^2 => x = (11/6)^2 - 1 √(x-1) = 7/6 => x-1 = (7/6)^2 => x = (7/6)^2 + 1注意这里出现了一个问题，两个表达式得出的x值不一致，这意味着我们前面在解方程组的过程中出现了错误。
实际上，在这个步骤中我们应该验证我们的解是否符合原方程，而不是试图从a和b的值中解出两个不同的x值。
正确的做法是选择其中一个表达式求解x，然后验证这个x值是否满足原方程。
由于我们在步骤3中计算错误，导致得到了不正确的b值。
实际上，我们应该重新检查步骤3并正确地解出a和b的值。
5.修正并重新解方程组回到步骤3中的方程组：a +b = 3a^2 - b^2 = 2我们可以使用差平方公式重写第二个方程为：(a+b)(a-b) = 2。
初中数学方程与不等式之无理方程技巧及练习题含答案(1)
初中数学方程与不等式之无理方程技巧及练习题含答案(1)一、选择题1．无理方程(0x -=的根是____.【答案】x=2.【解析】【分析】根据0乘任何数都得零，可得方程的解，根据被开方数是非负数，可得答案．【详解】解：由(0x -=，∴x-5=0或2-x=0，解得：x=5，x=2，∵20x -≥，∴2x ≤，当x=5时，被开方数无意义；故方程的解为：x=2，故答案为：x=2．【点睛】本题考查了无理方程，利用0乘任何数都得零是解题关键，注意被开方数是非负数．2．如果关于x x =有实数根2，那么k =________．【答案】1-【解析】【分析】把x=2代入方程中进行求解即可得.【详解】，2-2k=4，解得：k=-1，经检验k=-1符合题意，所以k=-1，故答案为-1.【点睛】本题考查了方程的解，熟练掌握方程解的定义是解题的关键.3．0的根是____．【答案】x=1【解析】【分析】将无理方程化为一元二次方程，然后求解即可．【详解】原方程变形为x（x-1）=0，∴x=0或x-1=0，∴x=0或x=1，∴x=0时，被开方数x-1=-1＜0，∴x=0不符合题意，舍去，∴方程的根为x=1，故答案为x=1．【点睛】本题考查了无理方程，将无理方程化为一元二次方程是解题的关键．4．方程=0的解为__________．【答案】【解析】【分析】将原方程两边平方得出关于x的整式方程，解之求得x的值，再由二次根式有意义的条件可确定x的最终结果．【详解】解：将原方程两边平方得（x−5）（x−4）＝0，则x−5＝0或x−4＝0，解得：x＝5或x＝4，∵x−5≥0，x−4≥0，解得：x≥5，∴x＝5，故答案为：x＝5．【点睛】本题主要考查解无理方程，解无理方程的基本思想是把无理方程转化为有理方程来解，在变形时要注意根据方程的结构特征选择解题方法．常用的方法有：乘方法，配方法，因式分解法，设辅助元素法，利用比例性质法等．5．2x x-=-的解________x=-【答案】2【解析】【分析】两边平方后解此无理方程可得.【详解】解：两边同时平方可得：2-x=x2,解得：x 1=-2，x 2=1，检验得x 2=1不是方程的根，故1a =-，故答案为1a =-【点睛】本题主要考查解无理方程的知识点，去掉根号把无理方程化成有理方程是解题的关键，注意无理方程需验根．需要同学们仔细掌握．6．方程0x =的解是___________。
换元法在代数中的应用
,从而2 (x-丄)2 2 - x2=0 .① 换元法在代数中的妙用A 层次材料：基础巩固换元法是数学中重要的解题方法，对于一些较繁较难的数学问题，若能根据问题的特点, 进行巧妙的换元，则可以收到事半功倍的效果，现举例说明1. 用换元法分解因式例 1.分解因式:(m • n)2 -2(1 m • n) _ 1.解：设m • n = y ，则原式=y 2 一2(1 y) -1= y 2 — 2 —2y — 1= y 2 —^2y —3=(y-3)(y 1)(m n -3)(m n 1).点评：运用换元法分解因式，是将原多项式中的某一部分巧用一个字母进行代换 使原多项式的结构简化，进而便于分解因式.2. 用换元法解分式方程和无理方程例2.解方程：2 27(1) 2x 2 亍 - 7x 2 = 0 ； x x ⑵ 3(x -2)2 - 2 x 2 -4x 7 1 = 0 .解:(1)原方程可化为：1设X -1二y ,则方程①化为：x2y 2 —7y 亠 6 = 0解方程②，得力知2拧y 1 =2时,x -丄=2.x解得，X =1 一..2 .3t当y2 =2时，1 3x .x 21解得，x 或x = 2.2经检验,知x1 = V , 2 , x2 = . 2 ,2所以，原方程的解为X j =1 •、、2 , x2=1 - 2 , x3 = -1, x4 =2.2点评：运用换元法解分式方程，主要有三种情况.一是原方程可化为关于某一个分式的.次方程（如，本例题）,这时,只须设这一分式为辅助元即可；二是原方程中含有未知数的几x — 4 3x个分式，除数字系数外，互为倒数关系（如，解方程：一-—^^=2），这时，只须x x -4设其中一个分式为辅助元即可；三是含有未知数的各个分式的分母都是关于未知数的二次三1 1 1项式，且二次项系数和一次项系数对应成比例（如，解方程飞2），x+2x + 1 x+2x + 2 2这时，只须设二次项系数的绝对值最小的多项式为辅助元即可（2）原方程可化为：3（x2- 4x 7）一2 . x2-4x 7 一8 = 0 .①设一x2- 4x • 7 = y,则方程①化为：3y2—2y—8 = 0.②解万程②,得屮=2,^2二当y i = 2时,解得,x^ 1, x2 = 3.4当y2 =一3时,3、x2-4x 7 二此方程无解.经检验，知& =1, x2 = 3都是原方程的解所以，原方程的解为x^ = 1,x2 =3.点评：解比较复杂的无理方程时，如果用两边平方的方法，将出现高次方程，增加解题难度，此时若能根据方程的特点，灵活地应用换元法，则可以实现化繁为简、化难为易的目的在采用换元法解无理方程时，一般设整个根式为辅助元，这样不仅能简化方程，而且往往能直接把无理方程化为有理方程•B层材料：能力提升3. 用换元法解高次方程例 3.解方程：(x 1)(x 2)(x 3)(x - 4) =3.解:原方程可化为：(x 1)(x 4) l(x 2)(x 3)1 = 3.即(x2 5x 4)( x2 5x 6) = 3.①设x2 5x y，则方程①化为：(y i)(y -1) =3.解得，y = ：2当y =2时，x2 5x 5=2.②解方程②，得-5 士x .2当y二-2时，x2 5x 5 - -2.③寫心v 0，方程③无实数根.因此，原方程的根为Xi二二5^，x^—卫.2 2点评：解一元高次方程的基本思想是降次，而换元法是降次的一种基本方法4. 用换元法解方程组J x y =18，例4.解方程组: --- ----- --------W'x—3 —訂+ 2 =3.,从而把繁杂而生疏的问题转化为简解：设..x - 3二u, .. y • 2二v ,则原方程组可化为< 2 2u +v =17,(1) u -v = 3.(2)由⑵得，u = 3 v . (3)将⑶代入(1),得 (3 v)2 v 2 =17.解得，v1 =tv^ -4^._ y 2不能为负，舍去）.解得,/=19, y =^.经检验，知丿x =19是原方程组的解 y = —1x = 19 所以,原方程组的解为丿. y = -1 点评：妙用换元法，将无理方程组化为有理方程组单而熟悉的问题. C 层材料：拓展升华2006二 u =4. ,.y 2 =1.5.用换元法求值1 1 例5.计算：(丄• 1 •23 -(1 - 2 1 1 解：设 1 ■ - ■1 ■ ■" 2 3 1 1 )(1 - 2006 2 1 1 1 )( 3 2006 2 1x ,则 2006 1 —) 2005 —). 2005 原式= (x 「1)(x )「x(x 「1 2006 2 x 丄1 2丄」= x x x x 2006 2006 2006点评: 在计算求值时,常妙用换元法, 把一个代数式用一个新元进行代换关. 以新元参与有运算, 大大简化了计算过程.。
换元法解无理方程
换元法解无理方程一、引言解无理方程是数学学习过程中的一个重要内容。
在过去，求解无理方程的方法非常有限。
相反，在现代数学中，换元法是解无理方程的一个重要技巧。
本文将给出使用换元法来解无理方程的方法，易懂且具体。
二、什么是无理方程通俗来说，无理方程就是含有一个或多个根号的方程。
例如，在方程$x^2 - 3=0$中，方程的解为根号3。
无理方程的解一般是一个有理数和一个无理数的和。
三、换元法解方程对于一个一次的无理方程，我们可以使用简单的代入法来求解。
而对于一个高次的无理方程，推荐使用换元法。
例如，我们考虑如何解方程$x^2+1=2x+3\sqrt{x-1}$。
我们首先将方程两边都平方，得到$x^4-4x^3+6x^2+8x-15=0$。
然后，我们将$x-2$代入方程，得到$(x-2)^4-15=0$。
最终，我们得到$x=\sqrt[4]{15}+2$这个解。
换元法的步骤为：1. 找到一个合适的替换变量。
2. 将原方程用替换变量的平方进行转化。
这个时候，替换变量需要满足一定的条件。
例如，对于$x^2+px+q=0$，替换变量为$x=y-\frac{p}{2}$。
3. 将方程用替换变量转化为具有正整数次幂的多项式方程。
4. 求出解，并将解用替换变量表示，再用原始变量替换回。
四、换元法解方程的例子下面，我们来看几个例子，更加明确的理解换元法的过程。
例子1：解方程$3\sqrt{x-1}-\sqrt{3x+1}=1$解析：我们可以设$y=\sqrt{x-1}$，方程变为$3y-\sqrt{3y^2+10y+4}=1$。
将方程两边平方，消去根号得到$y^2-2y-1=0$。
解这个二次方程，得到$y=1\pm\sqrt{2}$。
将$y$带回替换变量$x$，得到$x=2\pm3\sqrt{2}$。
例子2：解方程$x=\sqrt{1+\sqrt{1+x}}$解析：对于这个方程，设$y=\sqrt{1+x}$，然后将$x$和$y$消去，得到$y^4-y^2-2y+1=0$。
谈无理方程的解法
谈无理方程的解法宿城区中扬中学 张家旭根号下含有未知数的方程叫无理方程。
解无理方程的指导思想是通过乘方把无理方程转化为有理方程。
由于在乘方过程中扩大了方程中未知数的取值范围，可能会产生增根，所以，解无理方程一定要验根，验根是必不可少的步骤。
但对一些特殊的方程可考虑用特殊的方法来解，比较方便。
现将解无理方程的基本方法和几种特殊方法归纳如下，供参考。
一、观察法例1、 解方程 )2(5222+-=+x x解：无论x 取什么值时，522+x 恒为正，而)2(2+-x 恒为负，矛盾。
所以，此方程无解。
例2、 解方程 53-=-x x解：根据算术根的定义，要保证x -3有意义，必须要x ≤3，而要使53-=-x x 有意义，必须要使x ≥5，这显然矛盾。
所以，原方程无解。
例3、解方程 638=---x x解：要使8-x 有意义，x ≥8，要使x -3有意义，x ≤3，显然不存在同时满足这两个条件的x 值。
故此方程无解。
例4、解方程 x x x 21679-=-+-分析：这个方程的特点是：左边两个根号下的被开方式的和等于右边根号下的被开方式。
所以，由观察可得其解。
解：原方程可化为)7()9(79x x x x -+-=-+- 由观察得x=7或者x=9 显然x=9是增根。
所以，原方程的解为x=7。
注：我们对一些较为简单的或者是有特殊关系的无理方程，可通过观察，根据算术根的定义或利用根式的有关性质，直接判断它们解的情况。
这样，可不必盲目的去解方程，避免走弯路。
二、直接平方法例5、解方程 x x x =-+2722解：移项得，=+x x 722x+2 两边平方整理得，0432=-+x x 解得，4,121-==x x经检验，42-=x 是增根。
所以，原方程的解为x=1 。
注：含有一个根式的无理方程，通过整理后，通常要进行一次平方，即可把无理方程转化为有理方程。
例6、解方程 1542=+--x x 解：移项、两边平方并整理得，5210+=-x x 两边再平方并整理得， 080242=+-x x 解得x =20， 或者x=4， 经检验，x=4是增根。
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例 ６：
解 设
．
万 一
摘 要： 无理方程类型很 多， 的方法也是多种多样 ， 解 本文根据 无理 方程和有理 方程 、 无理方程和方程组之间的
内在联 系， 介绍 了用换元解一类无理方程的方法。
关键 词 ： 无理 方程 ； 方程 解 ； 元 法 换
中图分类号： ６ ３６ Ｇ３．
文献标识码： Ａ
文章编 号：６ １９ ４ ２ １） — ０ ９ ０ １７ — １Ｘ（０ ０ ０ ０ ２ — ２ ４
（ ÷ （ ） Ｕ ｖ ２ ２） １得 —＝ ．
解 得 ｘ＝ ，２５ ｌ０ｘ＝ ． （ ｖ ｘ ２， 得 完 全 一 样 的 结 果 ） 由 ＝－ 亦 而 Ｘ＝ 时 ， ＝ ２５ ｕ ４＞ Ｏｖ Ｏ ，＞ ，
・
． ．
Ｓ１（得ｕ ３１＝ （１ ｈ ）３ ＝ ｘ ） 手ｘ ） （ 、） （＋， 一． ｖ
用 换元 来解 无理方 程 主要是 把一 元无 理方 程转
化 为 二 元 ， 至 多 元 的有 理 方 程 组 。 种 方 法 揭 示 了 乃 这
无 理 方 程 与 有 理 方 程 、 无 理 方 程 与 方 程 组 之 间 的 内
解
。
设 ｆ＋ ： 。 ｕ ｖ ｘ
一， ｕ
一 （） １
ｆ＋ ＝ ， ｕ ｖ ６
．
（ ） １
一 【 ２ｖ＝１ ． ｕ一 ２ ２
（ ２）
由
＝１ Ｘ－ －・ ０ｘ 得 ２Ｘ ＿ ，＝
．
（ ÷ （ ） Ｅ ｖ ２ （ ２） １ 得 １ ＝ ． ３） 一
由 （ ） （ 得 ｕ ４ｖ ２它 满 足 ｕ ０， ≥ ０ １ 、３） ＝ ，＝ ． ≥ ｖ ．
・ ． ．
由 原 方 程 可 知 ， ＞Ｏ， ｘ
・
． ．
２ ２３ ＋ ＝１ ｘ ｘ ７ ６或 ２ ２ ３ 一 ＝ ． ｘ ｘ ５ ４
ｘ＝
上
为增 根 。
是 原 方 程 的根 。
解得 ｘ ３ 一 都是原方程的解 。 Ｉ ，＝ 睾 ＝ｘ
・
． ．
ｘ＝
例 ２： ／ 、
解 设、
： ，／ ｕ、
（ ） １
＝ ，／ ＝ｒ－ ｖ、 － ＇ Ｗ
（ ，， Ｕ ｖ Ｗ均 应 取 非 负 值 ） ．
ｆ — 一 ｗ Ｏ ｕｖ ２ ＝ ，
・
．
Ｉ＋ ＝ ＋ 、 ８ ｘ ４ ／ｘ ＋ ． ｘ ４
ｆ ０ ｘ≥ ，
‘ ．
｛ ２ｖ＝ ， Ｕ一 ２ ４
Ｉ２ ３ ＝ ． Ｖ— ｗ２２
一 Ｉ２Ｖ： ｘ ３ ｕ－ ２２ 一 ．
易 解 得 ｕ ｘ １Ｖ － ２ ＝ 一 ，￣ 一 ． － Ｘ
（） ２
．
’
‘
［＋ ＝ ｘ １ ｕ ｖ ３一 ， ｌ２ｖ ６ 一 ． ｕ一 ２ ｘ ２ ＝
（） １ （） ２
（） ３
由 ｕ ｘ ， ２ ２７ ＋１ ｘ ）． ： 一１ 即 ｘ－ ｘ ＝（ 一１
丽
丽
一 — ２９ ＋ ＝１ Ｖ＇ｘ－— ４ ２ ｘ
－ （ ≥０ ， ＵＵ ）
＝ｖ
例 ４：ｖ—＋ Ｘ １ ＋、 二 ￣／２ ５ － Ｘ — ／ 解 设 、 ／
＝ｘ １ ３ 一
＝ （ ≥０ ， ｕｕ ）
＝ （ ≥ ０） ｖｖ ．
（ ≥ ０） ｖ ．
（ ） １
ｆ— ＝ ， ｕ ｖ ｌ
．
（ ２ ）
（ ３）
。 ≠０（ ÷（ ） ｘ 。２） １ 得
ｕ — ｖ：
解 设、
！ 二
一 ｕ ｕ≥ ０） （
（ ） ３） ２ ＝ － １ ＋（ 得 ｕ ｘ 一＋ ： １ １ ｕ＋ ， 即 （ 一１ ０ ｕ １ Ｕ ） ，＝ ． ＝
Ｎ —ｘ－ —－ ＝ （ ≥ ０） ／ ２３ ５ ｖ ｖ ２ ｘ
均 有 ５ ２ １ ｘ ５ ０， Ｘ－ ４ ＋ ＝ 解 得 ｘ 丁＋ Ｎ － Ｆ ７ ２ ／６
．
ｘ ５是 原 方 程 的解 。 ＝
例 ： 一 Ｖ － ３／｝＋＇ ｘ 、 ｘ １
收 稿 日期 ：０ ０ ０ — １ ２ １ — ４ ２
．
．
．
：
是原 方程 的根 。
作者简介 ： 叶忠国 （９ ４ ） 男， １５ 一 ， 湖北随州人 副教授 ， 研究方 向： 数学教学 。
襄樊职业技术 学院学报 第 ９卷 第 ４期
双 月 刊 ２ １ ０ ０年 ７月
ｄ ｉ０３ ６ ６ｉ ｎ１７ — １Ｘ２ １． ． ９ ｏ： ．９ ９ ．ｓ． １９ ４ ． ００ ０ １ ｓ ６ ０ ４２
用换元法解无理方程
叶忠 国
（ 樊职 业技 术 学院 公共 课部 ，湖北 襄 樊 ４ １２ ） 襄 ４０ １
・
．
．
以上 均 为 同解 变形 ，ｉ－ ， ＝ 是 原方 程 的根 。 ）ｍ １ ２ － 【 ￣ Ｘ － 例 ８ 、 ：／ 一、 ／
原 方 程 可 化 为 ｙ－ ＋ ＝ 取 正 根 ｙ ２ ２６ ｙ ０， ＝．
．
‘、 ＝、 ． ／干 厂 ＋ ． ２
ｆ ０ ｘ≥ ，
解 设 、丽 ／
叶忠国
例 ５： （ ＋ ） ２ ＇（ ￣ ３＋、 ＿ 俪 ２ ｘ １ ＝ ｖ － Ｚ ｇ－ ／ Ｚ 、
由 ｖ： １ 得 ｘ ２ ｚ ＋ ＝１
，
，
即 ：１ ． ｘ一 ＝｝
ｒ一 、 ２／ ＝ｆ Ｏ’ １
解 设 ｙ 、 ＝／
一
， ｙ 则 ＞Ｏ，
．
且 ｙ＝ ｘ ８ ２ ／ 丽 ２２＋ — 、
・
。
在 联系 ， 深 我们 对解无 理方 程途 径 与方法 的认 识 。 加 下面通 过具 体 的例子来 介绍 这钟 方法 。
例 １ Ｎ — ２３ ＋ ＋ ， ｘ－ —－ ＝ ： ／ ｘ－ — ７ Ｎ — ｅ ３ ５ ６ ２ ｘ ／ ２ ｘ
・
．
ｉ—＝ １ ｕｖ， ． ｚ：一 ｘ
兰 ！：１ １ 二 —
（ ２）
（ ３）
【
‘ ． ．
＝． １
ｘ １ ＝ ．
由 （ ） 得 ｕ ｖ ２ 代 人 （ ） Ｗ＋ Ｖ １（ 、 １解 ＝＋ｗ ２得 Ｗ ＝ ．４）
・ ． ．
ｘ 是 原方程 的根 。 ＝ｌ
（ ） （ 联 立 ， 加 减 法 消 去 常 数 项 ， Ｗ ｖ的 二 次 ３ 、 ４） 用 得 ，