趣味数学素材：有趣的位置几何问题

有趣的位置几何问题
山东刘正中
有一种只研究图形各部分位置的相对次序，而不考虑他们尺寸大小的新几何学，叫做拓扑学．有时人们也称它是橡皮膜上的几何学．因为橡皮膜上的图形，随着橡皮膜的拉动，其长度、曲直、面积等等都将发生变化，但也有一些图形的性质保持不变．例如点变化后还是点，线变化后依旧是线；相交的图形决不因橡皮的拉伸和弯曲而变得不相交．拓扑学正是研究诸如此类，使图形在橡皮膜上保持不变的性质．在这种几何中，扭曲和拉长（但不包括撕
开和接合）称为拓扑变换．图形在拓扑变换下保持不变的性质，称为图形的拓扑性质．三角形和圆是两种截然不同的图形，但他们都是简单的封闭曲线．在拓扑变换下，三角形能变成圆，三角形的内部变成了圆的内部，三角形的外部变成了圆的外部．这就是说，简单封闭曲线的内部和外部具有拓扑性质．
图１显示了画在一块矩形橡皮膜上的三角形，被拉成了圆的情形．
从图２的三个图形可以想象出他们各自表示什么东西．在拓扑变换下，他们中的每一个图形都能变成另一个图形．
传说穆罕默德的继承人哈立发，为了挑女婿，曾经给络绎不绝的求婚者出过这样一个题
目：请用线把图３中写有相同数字的小圆圈连接起来，但所连的线不许相交．这个问题似乎很简单，但实际上没有一个求婚者能够如愿以偿．事实上，如图4，我们很容易把①-①、②-②连起来，从而得到一条简单的封闭曲线，这条曲线把整个平面分为内部（阴影部分）和外部这两个区域．其中一个③在内部区域，而另一个③却在外部区域．要想从闭曲线内部的③，画一条线与外部的③相连，而与已画的闭曲线不相交，这是不可能的！因而，这位漂亮的公主最终也没有嫁出去．。