三角函数公式大全及其推导方法

三角函数公式大全及其推导

1. 三角函数的定义

由此，我们定义：

如Figure I, 在ΔABC 中

sin (

) cos () tan ()1

1 cot ()tan 11 sec ()cos 11 csc ()sin b c a

c b

a a

b b a

c a a c

c b b c

θθθθθθθθθθθθθθθ

∠=∠=

∠=

∠=

==∠=

==∠=

==对边

的正弦值：斜边邻边的余弦值：斜边对边的正切值：邻边

邻边的余切值：对边斜边的正割值：邻边斜边的余割值：对边 备注：当用一个字母或希腊字母表示角时，可略写∠符号，但用三个子母表示时，不能省略。在本文中，我们只研究sin 、cos 、tan 。 2. 额外的定义

222222sin (sin )cos (cos )tan (tan )θθθθθθ===

A c b θ

C a B Figure I

3. 简便计算公式

22sin cos cos(90)cos sin sin(90)

111

tan tan tan(90)sin cos 1b

A c c

A b b a a A b

θθθθθθθθ=

==-∠===-∠====

-∠+= 证明：

222

22

2222290

1sin sin 1

sin cos 1ABC ABC a b c a b c c

B A θθ∆∠=∴+=∴+=∴+=∴+=在中,

证完

222

222sin tan cos sin cos 1tan 1cos cos cos b b c a a c

θθθ

θθθθθθ

===

+=+=

4. 任意三角形的面积公式

如Figure II ,

C

a b h

d e

B c A Figure II

121

sin 21

sin ()2

ABC S ah ab C ac B ∆=

==两边和其夹角正弦的乘积 5. 余弦定理：任意三角形一角的余弦等于两邻边的平方和减对边的平方之差与两邻边积的两倍之比。 证明： 如Figure II,

222

22

22222222222222222

(cos )(sin )2cos cos sin =2cos (cos sin )2cos cos 22b d h a c B c B a ac B c B c B

a ac B c B B a c ac B

b a

c a c b B ac ac

=+=-+=-++-++=+---+-⇒==

-

证完

6. 海伦公式 证明： 如Figure II ,

1

sin 2

1

21

21212ABC S ab C ∆=

==

=====

()()()()

()()()2222222

22222222222=

2

ABC a b c c a b c b a b c a a b c a b c c a b c b a b c a a b c

a b c a b c a b c a b c a b c a b c s S s s a s b s c ∆++-++-++-++=⨯⨯⨯++-++-++-++=⨯⨯⨯++++++++⎛⎫⎛⎫⎛⎫

=--- ⎪⎪⎪

⎝⎭⎝⎭⎝⎭++=---设：

7. 正弦定理

如 Figure III ,

c 为ΔABC 外接圆的直径,

sin 2 sin a A c

a

c r r ABC A =

∴==∆（为的外接圆半径）

同理：

, sin sin 2sin sin sin b c c c B C

a b c r A B C =

=∴===

A c

O B a C Figure III

8. 加法定理

(1) 两角差的余弦

如 Figure IV ,

AOC BOC AOB αβαβ∠=∠∠=∠∠=∠-∠

令AO=BO=r

点A 的横坐标为cos A x r α= 点A 的纵坐标为sin A y r α= 点B 的横坐标为cos B x r β= 点B 的纵坐标为sin B y r β=

()()

()()

()()22

22

2

222222222222222222222sin sin cos cos sin sin 2sin sin cos cos 2cos cos sin sin 2sin sin cos cos 2cos cos sin cos sin cos 2sin sin 2cos cos 112s A B A B AB y y x x r r r r r r r r r r r r r αββααβαβαβαβαβαβαβαβααββαβαβ=-+-=-+-=+-++-=+-++-=+++--=+-()()()22in sin cos cos 22sin sin cos cos 21sin sin cos cos r r αβαβαβαβαβαβ+⎡⎤⎣⎦=-+⎡⎤⎣⎦=-+⎡⎤⎣⎦

y A

B O

C x β (α-β) α Figure IV