数学教学案例研究的实践与认识

数学教学案例研究的实践与认识

厦门一中集美分校 吴清平

《数学课程标准》指出：“课程内容的呈现，应注意反映数学发展的规律，以及人们的认识规律，体现从具体到抽象、特殊到一般的原则。”“教材应注意创设情境，从具体实例出发，展现数学知识的发生、发展过程，使学生能够从中发现问题、提出问题，经历数学的发现和创造过程，了解知识的来龙去脉。”这些是对教材编写的建议，更是对课堂教学实践的要求。然而，在新课程的教学中，“穿新鞋走老路”仍是常见的现状，“重结果的应用，轻过程的探究”或者是应试教育遗留的祸根，却更与教材的编写，教师对《课程标准》、教材研究的深浅有关，更与课堂教学实践密切相关。

课堂教学是课程实施的主渠道，是课程目标达成的关键环节。教师的备课要综合考虑教学过程中的各个要素，着眼于优化课堂教学的全过程，抓住课堂教学过程中教与学这一对主要矛盾，重点开展教学内容的安排、教学方法的科学应用、学习方法的科学指导等方面的研究。通过实践，我们认识到，最有效的方式是教学案例研究。通过对教学案例的研究，不断改进课堂教学方法，力求教学过程的最优化，教学效益的最大化，促进学生的个性化发展。 教学案例研究就是针对教学中存在的突出问题确定课题，通过分析研究教材、进行教学设计、上课、组织听课、评课过程，对教学过程、方法和具体的教学行为进行剖析、反思、总结，形成解决问题的方法。

一、教学案例的实践

案例1：等比数列求和公式。

教科书用国际象棋为引例，一般化为求和：211111n n S a a q a q a q -=++++ ，却用“我

们发现，如果用公比q 乘……”一笔带过，这个“发现”却不是普通学生能做到的，他们只能惊叹于解法的神奇，而求知欲却会因其“技巧性太大”而逐步消退。

如何设计问题情境，才能更符合学生的认知规律呢？在不断的教学实践中，我们认为设计“从特殊到一般”即由2，3，4，…到q ，再到n a ，可以有效地引导学生发现“乘比错位

相减法”，并自主获得求和公式，其过程为：

问题1：求和：01212222n n S -=++++ 。

引导学生先求得1231,3,7S S S ===，…，再猜想21n n S =-。

完成问题1后，进一步给出：

问题2：求和：01213333n n S -=++++ 。

要猜想n S 的结果并不容易，但在教师的适时引导下及学生的共同努力下可得出

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2n n S -=。

那么01214444n n S -=++++ 呢？ 有了前面的铺垫，本题的结论是水到渠成的：41

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n n S -=。 此时便可猜想出更一般的结论：2111(1)1n n n q S q q q

q q --=++++=≠- 。 至此，等比数列的求和公式也呼之欲出：

2111111(1)(1)1n n n a q S a a q a q a q q q --=++++=≠- 。

评析：以上的过程展示了从特殊到一般的归纳猜想思想，这不仅与以前的数学结构大不相同，而且承接了前面数列递推公式的内容，符合学生的认知规律，体现了数学是自然的，数学结论的获得绝不是无中生有，而是水到渠成的。

案例2：2a b

+≤。

教科书中先给出了第24届国际数学家大会的会标，并提出探究问题：你能在这个图中找出一些相等关系或不等关系吗？

然而，在教学实践中，当我们也让学生探究时，没有一个人能发现其中所包含的不等关系，更不用说能得到不等式了22

2a b ab +≥。

重新审视教学内容，我们认为赵

爽的弦图还是要讲的，可如何导出基

本不等式呢？赵爽弦图的主要作用

是什么？其中不是隐含了勾股定理

吗？于是我们提出更具有实质性的

问题：用赵弦爽图证明勾股定理。

这个对学生来讲是比较简单的，而且是有方向性的，其证明如下：

设直角三角形的两条边长分别为a 、b ，斜边为c ，则小正方形的边长为||a b -，由面

积相等可得：2222

1

4()2c ab a b a b =⨯+-=+，即得勾股定理。 观察上式可得恒等式：2222()a b ab a b +=+-，因而有222a b ab +≥。如此，通过赵爽弦图证明了勾股定理，并由此引出重要不等式，数学结论的展现符合学生的认知规律。

案例3：异面直线所成的角。

问题1：一张纸中画有两条能相交的直线a 、b （但交点在纸外），现给你一副三角板和量角器，限定不许拼接纸片，不许延长纸上的线段。问如何

量出a 、b 所成角的大小？其理论依据是什么？

容易得出，在平面内任取一点O ，过点O 作直线a '、b '

的平行线，由等角定理知a '与b '的夹角（锐角或直角）即为直线a 、b 所成的角。

问题2：能否将上述结论推广到空间两直线？

有了上面的经验，空间两直线所成的角（异面直线所成的角）便可顺利给出，而且求解的思路（找平行线）也可轻松地获得了。

案例4：直线与圆的位置关系

教科书中设置了两个例题，例1为判断直线与圆的位置关系，例2则是由弦长求直线的方程。然而直线与圆的位置关系的内容是非常丰富的，仅有这两个例题显然是不够的，而且该部分内容可以与函数、方程、三角、不等式甚至平面区域等问题相联系的，于是我们决定对教材进行整合与拓展，分成三课时来完成：

第一课时：由例1引出判断直线与圆的位置关系的方法：判别式法及几何法，并进行变式训练及拓展，让学生感受几何法的直观与简捷。

第二课时：整理出直线与圆的三种位置关系分别对应的重要题型：（1）直线与圆相交——求弦长，并引出例2；（2）直线与圆相切——求切线方程，并与例2进行比较；（3）直线与圆相切——求圆上点到直线距离的最值。

第三课时：在第一课时的基础上，引出三角换元法，并与三角函数的问题进行联系，拓展用几何法判断方程根的个数问题。

案例5：平面与平面垂直的判定与性质

问题导思：直线a 和平面α，β有以下三种关系：①a ⊥β，②a ⊂α，③α⊥β，如果任意取其中两个作为前提，另一个作为结论构造命题，能构成几个命题？如果是真命题，请给予证明；如果是假命题，请举出一个反例，并补充条件使其成为真命题并加以证明。

学生画图形，搭模型——用课本、桌面作平面，铅笔作直线，能构成三个不同的命题：a b