计数原理及应用

2017年国际数学竞赛集训讲义

第七讲排列与组合

一、知识提要：

1、分类相加原理：

2、分步相乘原理：

3、排列及排列数公式

4、组合及组合数公式

5、递推方法

二.典例精析

例1、一项数学测验共有三道题目，每道都可得1到10分的整数分数。若参加此项测验的学生的得分都大于15分，且任意两位学生都至少有一道题目的得分不相同。请问至多有多少位学生参加此项测验？

例2、（1）墙上有一个26

⨯的瓷砖铺

⨯的区域，现用红、白、蓝三种颜色的11

满它，且相同颜色的瓷砖不能有公共边，请问有多少种铺法？

（2）请问987654321

⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯共有多少个因子是完全平方

123456789

数？

（3）请问不超过20112012且只用到数码0、1、2的正整数共有多少个？

（4）一个圆上的24个点把圆周等分成24份，请问总共有多少个正三角形满足至少有两个顶点在以上这24个点之中？

G 例3．（1）平面上的n 条直线最多将平面分成多少多少部分？

（2）空间n 个平面将空间最多分成多少部分？

例4、（1）m 位的二进制数中，恰有r 个零的二进制数有多少个？

（2）设{}n b 是集合{}2220,,,t s r r s t r s t Z ++<<<∈中所有的数从小到大排列成的数列，已知k b =1160，求k 。

例5、 圆周上有八个点，每两点之间都连线段，以这些线段为边可组成三角形，其中三个顶点都在圆内的三角形有多少个？所有的三角形共有多少个？

例6．平面上的64个点组成一个88⨯的点阵。同一行或同一列上相邻两点间的距离都是1cm 。请问以这64个点中的4个点为顶点且面积为122cm 的长方形有多少个？

例7、平面上给定六个点（联结这些点的直线互不平行,互不垂直,也不重合）,过每一点向其余五点中任意两点的连线作垂线,则这些垂线的交点最多有多少个?

三、2017年国际数学竞赛培训------《同步训练》

1．某次乒乓球单打比赛，原计划每两名选手比赛一场，但有3名选手各比赛了2场后退出了比赛，这样全部比赛一共进行了50场，那么上述3名选手之间比赛的场数是多少？

2、（1）形如n=235i j k （i 、j 、k 为非负整数）的整数中，满足4410310n <≤⨯的个数有___________

（2）内角的度数为整数的正n 边形的个数是（ ）

A ．18

B 、20

C 、22

D 、24

（3）、ABC ∆三边上分别有l 、m 、n 个点，由每个顶点与其对边上的点连线，若这些线中无三线共点，问它们把ABC ∆划分成___________块？

3、（1）形如n=235i j k （i 、j 、k 为非负整数）的整数中，满足4410310n <≤⨯的个数有___________

（2）内角的度数为整数的正n 边形的个数是（ ）

A ．18

B 、20

C 、22

D 、24

4．在一次共有10位选手参加的国际象棋比赛中，每位选手必须与其他选手恰好对弈一局。经过数局比赛后，发现任意三位选手之间都至少有两人尚未对弈。问：截至此时，比赛最多已赛过多少局？（25）

5、将一个4

4 的棋盘中的8个小方格染成黑色，使得每行、每列都恰好有两个黑色方格，则有多少种不同的染法？

6、已知15条射线有共同的端点。请问这15条射线最多能构成多少个钝角？

180的那个角）（75个）

（任何两条射线所构成的角取为小于或等于0

7、圆被分成n个不相等的扇形，并且用红、黄、蓝三色染色，但相邻的扇形的颜色不相同，这样的染色方法有多少种？