胡夫金字塔运用的数学
胡夫金字塔
胡夫金字塔金字塔介绍金字塔哈夫拉金字塔胡夫金字塔位于埃及首都开罗西南约1 0公里的吉萨高地。
胡夫金字塔是埃及现存规模最大的金字塔，又称吉萨大金字塔[1]，位于埃及吉萨，是古埃及第四王朝的法老胡夫的金字塔，主要作为其陵墓，也是世界上最大、最高的埃及式金字塔。
约建于前2580年，完工于前2560年。
位于吉萨金字塔群的中央一座，也是最为高大的，被喻为“世界古代八大奇迹”之一[2]。
在埃及境内已发现的110座金字塔中，吉萨高地的祖孙三代金字塔——胡夫金字塔、海夫拉金字塔和门卡乌拉金字塔是最古老的金字塔。
金字塔，形状像“金”字，它是一种方底尖顶的石砌建筑物，是古代埃及埋葬国王、王后或王室其他成员的陵墓。
它既不是金子做的，也不是我们通常所见的宝塔形。
是由于它规模宏大，从四面看都呈等腰三角形，很像汉语中的'金'字，故中文形象地把它翻译为'金字塔'。
埃及迄今发现的金字塔共约80座，其中最大的是以高耸巍峨而居古代世界八大奇观之首的胡夫大金字塔。
在公元519年（北魏熙平元年）永宁寺塔（塔高147米）建成之前，胡夫大金字塔一直是世界上最高的建筑物。
哈夫拉金字塔外观据一位名叫彼得的英国考古学者估计，胡夫大金字塔大约由230万块石块砌成，外层石块约11.5万块，平均每块重2.5吨，像一辆小汽车那样大，而大的甚至超过15吨。
假如把这些石块凿成平均一立方英尺的小块，把它们沿赤道排成一行，其长度相当于赤道周长的2\3。
据古希腊历史学家希罗多德的估算，修建胡夫金字塔一共用了20年时间，每年用工10万人．金字塔一方面体现了古埃及人民的智慧与创造力，另一方面也成为法老专制统治的见证。
1798年拿破仑入侵埃及时，于当年7月21日在金字塔地区与土耳其和埃及军队发生了一次激战，战后他观察了胡夫金字塔。
据说他对塔的规模之大佩服得五体投地。
他估算，如果把胡夫金字塔和与它相距不远的胡夫的儿子哈夫拉和孙子孟卡乌拉的金字塔的石块加在一起，可以砌一条三米高、一米厚的石墙沿着国界把整个法国围成一圈。
数学小故事50字
数学小故事50字趣味数学小故事30字1.巧测金字塔高度金字塔是埃及的著名建筑，尤其胡夫金字塔最为著名，整个金字塔共用了230万块石头，10万奴隶花了30年的时间才建成这个建筑。
金字塔建成后，国王又提出一个问题，金字塔倒底有多高，对这个问题谁也回答不上来。
国王大怒，把回答不上来的学者们都扔进了尼罗河。
当国王又要杀害一个学者崐的时候，著名学者塔利斯出现了，他喝令刽子手们住手。
国王说：“难道你能知道金字塔的高度吗？”塔利斯说：“是的，陛下。
”国王说：“那么它高多少？”塔利斯沉着地回答说：“147米。
”国王问：“你不要信口胡说，你是怎么测出来的？”塔利斯说：“我可以明天表演给你看。
”第二天，天气晴朗，塔利斯只带了一根棍子来到金字塔下，国王冷笑着说：“你就想用这根破棍子骗我吗？你今天要是测不出来，那么你也将要被扔进尼罗河！”塔利斯不慌不忙地回答：“如果我测不出来，陛下再把我扔进尼罗河也为时不晚。
”接着，塔利斯便开始测量起来，最后，国王也不得不服他的测量是有道理的。
小朋友，你知道塔利斯是如何进行测量的吗？2.蜗牛何时爬上井？一只蜗牛不小心掉进了一口枯井里。
它趴在井底哭了起来。
一只癞蛤蟆爬过来，瓮声瓮气的对蜗牛说：“别哭了，小兄弟！哭也没用，这井壁太高了，掉到这里就只能在这生活了。
我已经在这里过了多年了，很久没有看到过太阳，就更别提想吃天鹅肉了！”蜗牛望着又老又丑的癞蛤蟆，心里想：“井外的世界多美呀，我决不能像它那样生活在又黑又冷的井底里！”蜗牛对癞蛤蟆说：“癞大叔，我不能生活在这里，我一定要爬上去！请问这口井有多深？”“哈哈哈??，真是笑话！这井有10米深，你小小的年纪，又背负着这么重的壳，怎么能爬上去呢？”“我不怕苦、不怕累，每天爬一段，总能爬出去！”第二天，蜗牛吃得饱饱的，喝足了水，就开始顺着井壁往上爬了。
它不停的爬呀，到了傍晚终于爬了5米。
蜗牛特别高兴，心想：“照这样的速度，明天傍晚我就能爬上去。
”想着想着，它不知不觉地睡着了。
胡夫金字塔隐藏的数学难题
胡夫金字塔隐藏的数学难题胡夫金字塔是古埃及金字塔中最大的金字塔。
塔高146.59米，因年久风化，顶端剥落10米，现高136.5米，相当于40层大厦高。
大小不等的石料重达1.5吨至50吨，塔的总重量约为684万吨，它的规模是埃及至今发现的110座金字塔中最大的。
上个世纪初期以来，随着科学的发展和考古学的蓬勃兴起。
人们对金字塔的考察与研究越来越深人和全面。
许多学者和考古学家对胡夫金字塔进行了许多侧量，他们有意无意地发现了胡夫金字塔里许多奇妙的数字。
例如，胡夫金字塔高度的平方正好等于它的每个三角形斜面的面积;胡夫金字塔塔高扩大10亿倍，约等于太阳到地球的距离;塔高与塔基周长的比例就是地球半径与周长的比例;用胡夫金字塔塔高来除底边的两倍，相当于圆周率的近似值 3.14;胡夫金字塔塔重乘以10的15次方，等于地球的重量;胡夫金字塔塔基的周长相当于一年的天数，把大金字塔底面正方形的对角线延长，恰好能将尼罗河口三角洲包括在内，而延伸正方形的纵平分线，则正好把尼罗河口三角洲平分。
大金字塔的底面周长为362。
31库比特(古埃及一种长度单位），这个数字与一年的天数相近。
大金字塔高度的平方，约为21520米，而其侧面积为21481平方米，这两个数字几乎相等。
从大金字塔的方位来看，4个侧面分别朝向正东、正南、正西、正北，误差不超过0.5度……胡夫金字塔除了这些奇特的数字外，还有一些有趣的现象：胡夫金字塔底面从东北角到西南角的对角线如果延长出去。
就可以和哈佛拉金字塔同样的对角线重合;如果把其两条对角线往北延伸，恰好是尼罗河三角洲的两个腰;而延长底面正方形中央的纵平分线，则正好通过三角洲的顶点，并把它平分、再把这条线继续延伸下去。
就成为地球的子午线，把整个大陆分成相等的两半。
胡夫金字塔这些数字和现象因仅仅是巧合呢，还是有意为之?难道这些都是外星人的杰作?不少人认为这绝非偶然，埃及人建造胡夫金字塔的目的。
不单单是为了掩埋法老的尸体，而是把他们已掌握的天文学、数学与几何知识保存于塔的设计中，代代相传下去。
埃及金字塔中的数学知识
在开罗郊外的胡夫金字塔，距今约4500 年了。金字塔为四角锥体，四面均为等腰 三角形，每一面与地面的夹角为52° ，而 金字塔的底部却是一个正方形。
这就是位于开罗郊外的胡夫金字塔，它是埃及现存 规模最大的金字塔，被喻为“世界古代七大奇迹”之一
同学们，这是从空中航拍胡夫金字塔的样子
物高1：物高2=影长1ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ影长2
那么，亲爱的同学们，我的问题来了—— 如果你的身高是150CM，中午12:00阳光下你的影子是1米，学校的国旗
杆影子是8米，那么你能算出来学校的国旗杆是多少米吗？
胡夫金字塔大约由块石块砌成，如果用火车来运输需要600000节火车 皮；
如果把这些石头凿碎，铺成一条一尺宽的道路，大约可以绕地球一周， 也就是沿赤道周长40075.7km。 据说,100000人用了30年的时间才得以建成。
这就是位于开罗郊外的胡夫金字塔它是埃及现存规模最大的金字塔被喻为世界古代七大奇迹之一同学们这是从空中航拍胡夫金字塔的样子金字塔修成后不久很多人都好奇它到底有多高但没有先进的测量仪器而塔身是斜的即使爬到塔尖上去也无法测量出它的高度
埃及金字塔中的数学知识
暑假里，我读了许多有趣的数学故事，比如李毓佩爷爷
亲爱的同学们，蕴藏在金字塔里的数学奥秘是不是很 有趣呢，让我们学妤数学，用好数学，体验数学带来的乐 趣吧！谢谢大家！！
学习 使我 快乐
结语
谢谢大家！
金字塔修成后不久，很多人都好奇它到底有多 高，但没有先进的测量仪器，而塔身是斜的，即使 爬到塔尖上去，也无法测量出它的高度。一时间成 为了难题。
古希腊几何学家、天文学家泰勒斯，通过长期细心观察发现一个数 学现象： “一天中某个特定时刻，阳光下影子等于身高”，也就是“相 似三角形”原理” ，从而测出胡夫金字塔为146米，相当于45层楼高。
生活中的数学之十大具有数学美的建筑
数学，在生活中应用广泛，因而显得平常，建筑则更是普遍存在于视野里，但是如果建筑和数学结合起来，那成果肯定会让你叹为观止。
接下来我们来盘点一下，那些具有“数学美”的建筑吧！1.赵州桥——圆弧河北省赵县的赵州桥只用单孔石拱跨越洨河，由于没有桥墩，既增加了排水功能，又方便舟船往来，石拱的跨度为37．7米，连南北桥堍（桥两头靠近平地处），总共长50．82米。
采取这样巨型跨度，在当时是一个空前的创举。
石拱跨度很大，但拱矢（石拱两脚连线至拱顶的高度）只有7．23米。
拱矢和跨度的比例大约是1比5。
可见桥高比拱弧的半径要小得多，整个桥身只是圆弧的一段。
这样的拱，叫做“坦拱”。
2.湖南长沙龙王港中国结大桥——莫比乌斯带和“中国结“Next建筑事务所为湖南长沙龙王港设计的人行桥梁同样以莫比乌斯带为原型，与凤凰国际传媒中心不同的是，大桥还融入了中国结元素。
其独特的莫比乌斯带(中国结)造型为坚固的桥梁注入柔美气质，如缎带般优美柔和的人行桥，仿佛舞者的水袖掠过梅西河。
设计采用多种工艺，行人可在不同高度选取路线过桥。
其实此桥设计不只是杂糅中国结和莫比乌斯带，行人在行走路线的选择中，也在向著名的七桥问题致敬。
3.北京凤凰国际传媒中心——莫比乌斯环凤凰国际传媒中心采用的是钢结构体系，设计和施工难度都比较大。
它运用的是现代先进的参数化非线性设计，打破了传统的思维，不是通过画图，而是借助设计师的经验和数字技术协同工作，运用编程来完成大楼的设计和施工的。
凤凰国际传媒中心钢结构工程是一个技术创新型工程，在“莫比乌斯环”内，每一个钢结构构件弯曲的方向、弧度以及长度都是不一样的，而这所有的不一样，成就了这座雄伟的、独一无二的建筑。
4.山西太原双塔——数列说起这个，就很有意思了。
古人在没有3D打印，参数化软件的条件下，居然创造出了丰富的曲线形态，其中一个非常重要的数学基础就是——数列。
中国的古人，有时候将之称为叠涩，叠涩是一种古代砖石结构建筑的砌法，用砖、石，有时也用木材通过一层层堆叠向外挑出，或收进，向外挑出时要承担上层的重量。
埃及胡夫金字塔建造上存在着怎么样的数学规律？
埃及胡夫金字塔建造上存在着怎么样的数学规律？英国《伦敦观察家报》有一位编辑名叫约翰·泰勒，是天文学和数学的业余爱好者。
他曾根据文献资料中提供的资料对大金字塔进行了研究。
经过计算，他发现胡夫大金字塔令人难以置信地包含着非常多数学上的原理。
他首先注意到胡夫大金字塔底角不是60°，而是51°51'，从而发现每壁三角形的面积等于其高度的平方。
另外，塔高与塔基周长的比就是地球半径与周长之比，因而，用塔高来除底边的2倍，即可求得圆周率。
泰勒以为这个比例绝不是偶然的，它证明了古埃及人已晓得地球是圆形的，还晓得地球半径与周长之比。
泰勒还借助文献资料中的资料研究古埃及人建金字塔时使用何种长度单位。
当他把塔基的周长化为英寸为单位联络。
他由此想到。
英制长度单位与古埃及人使用的长度单位是否有一定关系？泰勒的观念受到了英国数学家查尔斯·皮奇·史密斯教授的支援。
1864年史密斯实地考查胡夫大金字塔后声称他发现了大金字塔更多的数学上的奥祕。
例如，塔高乘以10亿就等于地球与太阳之间的距离。
后来，另一位英国人费伦德齐·彼特里带着他父亲用20年心血精心改进的测量仪器又对着大金字塔进行了测绘。
在测绘中，他惊奇地发现，大金字塔线上条、角度等方面的误差几乎等于零，在350英尺的长度中，偏差不到0.25英寸。
它的周长正好是362.31库位元单位（320米）跟地球一年的时间差不多，它周长×2又是赤道的时分度，塔底周长（320.36×4）除以2倍的塔高（未塌落时，146.591米）就等于3.1416，和圆周率差不多，把它的自重×1015万就是地球的自重，塔高×10亿，约是地球到太阳的平均距离。
地球的子午线正好从金字塔的中心通过。
两极轴心每隔25827年它们正好转一圈，金字塔的两条对角线的和，就是25826.6厘米。
这座金字塔规模巨大，气势雄伟，令人叹为观止。
2020高考数学胡夫金字塔是什么意思
2020高考数学胡夫金字塔是什么意思
今年数学题不容易做，大家对金字塔印象最为深刻——今年文科和理科的数学都以世界建筑奇迹古埃及胡夫金字塔为背景，设计了正四棱锥的计算题，那么高考数学胡夫金字塔是什么意思？
原题
埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥，以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为（）
答案是C选项。
高二的同学们自己动手，尝试一下，看看能不能拿下来5分！
今年数学题不容易做，大家对金字塔印象最为深刻——今年文科和理科的数学都以世界建筑奇迹古埃及胡夫金字塔为背景，设计了正四棱锥的计算题。
胡夫金字塔 圆周率
胡夫金字塔与圆周率之间存在一定的关系。
具体来说，如果将胡夫金字塔的底边周长除以其高度的两倍，得到的商即为圆周率π，其精确度远远超过希腊人算出的圆周率，与中国的祖冲之算出的圆周率也几乎完全一致。
此外，胡夫金字塔内部的直角三角形厅室，各边之比为3：4：5，这体现了勾股定理的数值。
而胡夫金字塔的所有数据都与天文地理的数字有关，相关数据与地日距离、圆周率等吻合，这显示了古埃及人在没有现代测量工具的条件下，如何达到如此高的测量精度，至今仍是考古学家难以解开的谜题。
趣味数学小故事30字
趣味数学小故事30字1.巧测金字塔高度金字塔是埃及的著名建筑，尤其胡夫金字塔最为著名，整个金字塔共用了230万块石头，10万奴隶花了30年的时间才建成这个建筑。
金字塔建成后，国王又提出一个问题，金字塔倒底有多高，对这个问题谁也回答不上来。
国王大怒，把回答不上来的学者们都扔进了尼罗河。
当国王又要杀害一个学者崐的时候，著名学者塔利斯出现了，他喝令刽子手们住手。
国王说：“难道你能知道金字塔的高度吗？”塔利斯说：“是的，陛下。
”国王说：“那么它高多少？”塔利斯沉着地回答说：“147米。
”国王问：“你不要信口胡说，你是怎么测出来的？”塔利斯说：“我可以明天表演给你看。
”第二天，天气晴朗，塔利斯只带了一根棍子来到金字塔下，国王冷笑着说：“你就想用这根破棍子骗我吗？你今天要是测不出来，那么你也将要被扔进尼罗河！”塔利斯不慌不忙地回答：“如果我测不出来，陛下再把我扔进尼罗河也为时不晚。
”接着，塔利斯便开始测量起来，最后，国王也不得不服他的测量是有道理的。
小朋友，你知道塔利斯是如何进行测量的吗？2.蜗牛何时爬上井？一只蜗牛不小心掉进了一口枯井里。
它趴在井底哭了起来。
一只癞蛤蟆爬过来，瓮声瓮气的对蜗牛说：“别哭了，小兄弟！哭也没用，这井壁太高了，掉到这里就只能在这生活了。
我已经在这里过了多年了，很久没有看到过太阳，就更别提想吃天鹅肉了！”蜗牛望着又老又丑的癞蛤蟆，心里想：“井外的世界多美呀，我决不能像它那样生活在又黑又冷的井底里！”蜗牛对癞蛤蟆说：“癞大叔，我不能生活在这里，我一定要爬上去！请问这口井有多深？”“哈哈哈……，真是笑话！这井有10米深，你小小的年纪，又背负着这么重的壳，怎么能爬上去呢？”“我不怕苦、不怕累，每天爬一段，总能爬出去！”第二天，蜗牛吃得饱饱的，喝足了水，就开始顺着井壁往上爬了。
它不停的爬呀，到了傍晚终于爬了5米。
蜗牛特别高兴，心想：“照这样的速度，明天傍晚我就能爬上去。
”想着想着，它不知不觉地睡着了。
胡夫金字塔黄金比例
黄金分割比例,是公元前6世纪古希腊数学家毕达哥拉斯发现的,后来古希腊美学家柏拉图将此称为黄金分割。
这其实是一个数字的比例关系,即把一条线分为两部分,此时长段与短段之比恰恰等于整条线与长段之比,其数值比为0.618:1或1:0.618,也就是说长段的平方等于全长与短段的乘积。
而这个比值其实是一个无理数,具体的数值是0.6180339…为了使用方便,人们常常取前3位数字的近似值0.618,于是0.618就成为人们常用的黄金分割比例数值。
那为什么说这个比例是最美丽的比例呢?这是因为它简直就是一个奇迹。
谁也说不清楚为什么,但按照这个比例设计来的图形都很美丽。
因此,黄金分割就被许多艺术家广泛应用于绘画、雕塑、音乐、建筑等领域。
黄金比例是一个定义为(√5-1)/2的无理数。
所被运用到的层面相当的广阔，例如：数学、物理、建筑、美术甚至是音乐。
黄金比例的独特性质首先被应用在分割一条线段上。
如果有一条线段的总长度为黄金比例的分母加分子的单位长，若我们把他分割为两半，长的为分母单位长度，短的为分子单位长度则短线长度与长线长度的比值即为黄金比例。
黄金比例（以下简称“黄金比”）约为：0.618:1建造于公元前3000年的胡夫大金字塔,和公元前5世纪的雅典巴特农神殿,这些让世人惊讶并着迷的建筑,就是建筑大师们巧妙利用黄金分割率创造出的伟大杰作。
经过测量,人们惊奇地发现,胡夫大金字塔原高度与底部的边长比、巴特农神殿的正面高度与宽度的比,均是1.6:1,比值就是0.618。
黄金分割在美术上的运用同样也非常广泛,达·芬奇就是其中最善于应用黄金分割的画家之一。
他最让人猜不透的两幅画《维特鲁威人》和《蒙娜丽莎的微笑》,就是将黄金分割成功地融入其中的效果。
欣赏过《维特鲁威人》这幅画的人,都会震撼于它巧妙绝伦的构图。
其实它的画面并不复杂,主要由一个圆、一个正方形和一个裸体的人构成,然后圆与正方形相切,圆、正方形又与人体以不同的姿态相切,整个画面显得和谐、对称而精美。
胡夫金字塔圆周率公式
胡夫金字塔圆周率公式
1 什么是胡夫金字塔圆周率公式？
胡夫金字塔圆周率公式，也称哈勒普-乔马斯圆周率公式，是一个
由犹太数学家萨芬·胡夫提出的以圆周率π 为变量的复杂数学公式。
公式可以以无穷多项发展成熟并最终获得圆周率的值。
现在，这个方
程式已经被测试到极限，显示它在2.7兆位以上的精度，不一定是正
确的。
2 公式原理
胡夫金字塔圆周率公式是通过参考金字塔单元（P），来计算圆周
率（π）的公式，其中包含两个变量：金字塔体积（V）以及圆的直径
积（T＝d^2×π）。
该公式认为：V÷T=π
V=1/3 的时候，V÷T=π，这就是胡夫金字塔圆周率公式的核心原理。
实际中，可以证明当两个物体的体积比等于3的时候，它们的直
径积因子为π（也就是说，金字塔的体积等于一个球的体积的1/3，
那么它们的直径积因子也必然为π）。
3 实际性
胡夫金字塔圆周算法有其实际性，它建立在许多金字塔和汉萨金
字塔的基础上。
胡夫数学家在创立这一公式时，发现了金字塔全息图
对体积比和直径积因子的影响，从而发现了这一公式。
因此，胡夫金
字塔圆周率算法不仅有数学意义，而且有其实际意义，能够应用于各学科的建模和计算，如建筑、机械、材料、金融风险管理等。
4 其他功能
除了用以计算圆周率之外，胡夫金字塔圆周率算法还在其他方面具有一定的现实意义，而圆周率的发现更是推动了科学发展，使得各国家开展科技研究，从而推动了社会进步。
除此之外，胡夫圆周率算法还可以检测错误算法，以验证实际数据的正确性，确保最终结果的准确性。
2020高考数学模拟试题(理)《立体几何》分类汇编(含答案)
2020高考数学模拟试题（理）《立体几何》分类汇编1．（2020•广州一模）陀螺是中国民间最早的娱乐工具，也称陀罗．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某个陀螺的三视图，则该陀螺的表面积为( )A ．(722)π+B ．(1022)π+C ．(1042)π+D ．(1142)π+2．（2020•桥东区校级模拟）胡夫金字塔是底面为正方形的锥体，四个侧面都是相同的等腰三角形．研究发现，该金字塔底面周长除以2倍的塔高，恰好为祖冲之发现的密率355113π≈．若胡夫金字塔的高为h ，则该金字塔的侧棱长为( )A ．221h π+B ．224h π+C ．216hπ+ D ．2216h π+ 3．（2020•桥东区校级模拟）已知P 为一圆锥的顶点，AB 为底面圆的直径，PA PB ⊥，点M 在底面圆周上，若M 为¶AB 的中点，则异面直线AM 与PB 所成角的大小为( )A ．6πB ．4πC ．3πD ．2π 4．（2020•梅河口市校级模拟）如图，某几何体的三视图是由三个边长为2的正方形和其内部的一些虚线构成的，则该几何体的体积为( )A ．23B ．163C ．6D ．与点O 的位置有关5．（2020•东宝区校级模拟）如图，已知四面体ABCD 为正四面体，22AB =，E ，F 分别是AD ，BC 中点．若用一个与直线EF 垂直，且与四面体的每一个面都相交的平面α去截该四面体，由此得到一个多边形截面，则该多边形截面面积最大值为( )A ．1B 2C ．2D ．226．（2020•宜昌模拟）已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，点M 为棱1DD 的中点，则平面ACM 截该正方体的内切球所得截面面积为( )A ．3πB ．23πC ．πD ．43π 7．（2020•龙岩一模）已知四棱锥S ABCD -的所有顶点都在球O 的球面上，SA SB =，SA SB ⊥，底面ABCD 是等腰梯形，//AB CD ，且满足222AB AD DC ===，则球O 的表面积是( )A ．43πB ．823C ．4πD ．8π8．（2020•眉山模拟）已知腰长为3，底边长2为的等腰三角形ABC ，D 为底边BC 的中点，以AD 为折痕，将三角形ABD 翻折，使BD CD ⊥，则经过A ，B ，C ，D 的球的表面积为( )A ．10πB ．12πC ．16πD ．20π9．（2020•五华区校级模拟）已知圆锥SO 的底面半径为3，母线长为5．若球1O 在圆锥SO 内，则球1O 的体积的最大值为( )A ．92πB ．9πC ．323πD ．12π10．（2020•垫江县校级模拟）过球的一条半径的中点，作与该半径所在直线成30︒的平面，则所得截面的面积与球的表面积的比为( )A ．15256B ．45256C ．1564D ．456411．（2020•内蒙古模拟）如图：空间四边形P ABC -中，13PM AN PB AC ==，4PA BC ==，3MN =，异面直线PA 与BC 所成角的余弦值为( )A ．14-B ．164-C ．164D ．1412．（2020•凯里市校级模拟）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有阳马，广五尺，袤七尺，高八尺，问积几何？“其意思为：“今有底面为矩形，一侧棱垂直于底面的四棱锥，它的底面长、宽分别为7尺和5尺，高为8尺，问它的体积是多少？”若以上的条件不变，则这个四棱锥的体积为( )A ．140立方尺B ．280立方尺C ．2803立方尺D ．1403立方尺 13．（2020•龙岩一模）已知正三棱柱111ABC A B C -的底面边长为2，用一平面截此棱柱与侧棱1AA ，1BB ，1CC 分别交于M ，N ，Q ，若MNQ ∆为直角三角形，则MNQ ∆面积的最小值为( )A 7B ．3C ．27D ．614．（2020•咸阳二模）正四棱锥P ABCD -的五个顶点在同一个球面上，6，高为3，则它的外接球的表面积为( )A ．4πB ．8πC ．16πD ．20π15．（2020•重庆模拟）如图，四棱柱1111ABCD A B C D -中，ABCD 为平行四边形，E ，F 分别在线段DB ，1DD 上，且112DE DF EB FD ==，G 在1CC 上且平面//AEF 平面1BD G ，则1(CG CC = )A ．12B ．13C ．23D ．1416．（2020•邯郸模拟）如图一，在ABC ∆中，AB AC =，120A ∠=︒，D 为BC 中点，DE AC ⊥，将CDE ∆沿DE 翻折，得到直二面角C DE B --，连接BC ，F 是BC 中点，连接AF ，如图二，则下列结论正确的是( )A ．AD CD ⊥B ．//AF DEC ．DE ⊥平面ACED ．//AF 平面CDE17．（2020•福清市一模）已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，1AC ⊥平面α．平面α截此正方体所得的截面有以下四个结论：①截面形状可能是正三角形②截面的形状可能是正方形③截面形状可能是正五边形④截面面积最大值为33则正确结论的编号是( )A ．①④B ．①③C ．②③D ．②④18．（2020•道里区校级一模）已知三棱锥S ABC -的外接球为球O ，SA 为球O 的直径，且2SA =，若面SAC ⊥面SAB ，则三棱锥S ABC -的体积最大值为( )A ．13B ．23C ．1D ．219．（2020•焦作一模）某三棱柱的平面展开图如图，网格中的小正方形的边长均为1，K 是线段DI 上的点，则在原三棱柱中，AK CK +的最小值为( )A ．65B ．73C ．45D ．8920．（2020•吉林二模）等腰直角三角形BCD 与等边三角形ABD 中，90C ∠=︒，6BD =，现将ABD ∆沿BD 折起，则当直线AD 与平面BCD 所成角为45︒时，直线AC 与平面ABD 所成角的正弦值为( )A ．3B ．2C ．3D ．2321．（2020•眉山模拟）如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，1224AB BC AA ===，E 为11A D 的中点，N 为BC 的中点，M 为线段11C D 上一点，且满足11114MC D C =u u u u r u u u u u r ，F 为MC 的中点． （1）求证：//EF 平面1A DC ；（2）求三棱锥1C FCN -的体积；（3）求直线1A D 与直线CF 所成角的余弦值．22．如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，1:224AB BC AA ===，E 为11A D 的中点，N 为BC的中点，M 为线段11C D 上一点，且满足11114MC D C =u u u u r u u u u u r ，F 为MC 的中点． （1）求证：//EF 平面1A DC ；（2）求二面角1N AC F --的余弦值．23．（2020•宜昌模拟）如图，在四棱锥M ABCD -中，AB AD ⊥，2AB AM AD ===，22MB MD ==．（1）证明：AM ⊥平面ABCD ；（2）若//CD AB ，2CD AB =，E 为线段BM 上一点，且2BE EM =，求直线EC 与平面BDM 所成角的正弦值．24．（2020•五华区校级模拟）如图所示的几何体中，正方形ABCD 所在平面垂直于平面APBQ ，四边形APBQ 为平行四边形，G 为PC 上一点，且BG ⊥平面APC ，2AB =．（1）求证：平面PAD ⊥平面PBC ；（2）当三棱锥P ABC -体积最大时，求平面APC 与平面BCQ 所成二面角的正弦值．25．（2020•龙岩一模）如图，在四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 是等腰梯形，//AB CD ，4AB =，2BC CD ==，顶点1D 在底面ABCD 内的射影恰为点C ．（1）求证：BC ⊥平面1ACD ；（2）若直线1DD 与底面ABCD 所成的角为4π，求平面11ABC D 与平面ABCD 所成锐二面角的余弦值．答案解析1．（2020•广州一模）陀螺是中国民间最早的娱乐工具，也称陀罗．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某个陀螺的三视图，则该陀螺的表面积为( )A ．(722)π+B ．(1022)π+C ．(1042)π+D ．(1142)π+【解答】解：由题意可知几何体的直观图如图：上部是圆柱，下部是圆锥， 几何体的表面积为：1442223(1042)2ππππ+⨯⨯+⨯=+． 故选：C ．2．（2020•桥东区校级模拟）胡夫金字塔是底面为正方形的锥体，四个侧面都是相同的等腰三角形．研究发现，该金字塔底面周长除以2倍的塔高，恰好为祖冲之发现的密率355113π≈．若胡夫金字塔的高为h ，则该金字塔的侧棱长为( )A 221h π+B 224h π+C 216hπ+ D 2216h π+ 【解答】解：设该金字塔的底面边长为a ，则42a h π=，可得：2h a π=． ∴该金字塔的侧棱长22222222162()244a h h h ππ+=+=+⨯=． 故选：D ．3．（2020•桥东区校级模拟）已知P 为一圆锥的顶点，AB 为底面圆的直径，PA PB ⊥，点M 在底面圆周上，若M 为¶AB 的中点，则异面直线AM 与PB 所成角的大小为( )A ．6πB ．4πC ．3πD ．2π 【解答】解：如图所示，建立直角坐标系．不妨设1OB =．PA PB ⊥Q ，OP OB OA ∴==，OP ⊥底面AMB ．则(0O ，0，0)，(0B ，1，0)，(1M ，0，0)，(0P ，0，1)，(0A ，1-，0)， ∴(1AM =u u u u r ，1，0)，(0PB =u u u r ，1，1)-，cos AM ∴<u u u u r ，1222PB >==⨯u u u r ， AM ∴<u u u u r ，3PB π>=u u u r ， ∴异面直线AM 与PB 所成角的大小为3π． 故选：C ．4．（2020•梅河口市校级模拟）如图，某几何体的三视图是由三个边长为2的正方形和其内部的一些虚线构成的，则该几何体的体积为( )A ．23B ．163C ．6D ．与点O 的位置有关【解答】解：如图：还原后的几何体，是由棱长为2的正方体挖去一个四棱锥构成的，正方体的体积为8，四棱锥的底面是边长为2的正方形，顶点O 在平面11ADD A 上，高为2，所以四棱锥的体积为184233⨯⨯=，所以该几何体的体积为816833-=， 故选：B ．5．（2020•东宝区校级模拟）如图，已知四面体ABCD 为正四面体，22AB =，E ，F 分别是AD ，BC 中点．若用一个与直线EF 垂直，且与四面体的每一个面都相交的平面α去截该四面体，由此得到一个多边形截面，则该多边形截面面积最大值为( )A ．1B 2C ．2D ．22【解答】解：把正四面体补为正方体，如图，根据题意，//KL BC ，//LM GH ，,KL AL LM BL BC AB AD AB==， 所以KL AL =，LM BL =，故22KL LM AL BL +=+=， 2()22KL LM S KL LM +=⋅=截面…，当且仅当KL LM =时成立， 故选：C ．6．（2020•宜昌模拟）已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，点M 为棱1DD 的中点，则平面ACM 截该正方体的内切球所得截面面积为( ) A ．3πB ．23π C ．π D ．43π 【解答】解：设圆心到截面距离为d ，截面半径为r ，由O ACM M AOC V V --=，即111112222233323AMC AOC S d S ∆∆==g g g g g g gg g ，2ACM d S ∆∴=， 122362ACM S ∆==g g故6d =221d r +=，213r ∴=，所以截面的面积为23r ππ=，故选：A ．7．（2020•龙岩一模）已知四棱锥S ABCD -的所有顶点都在球O 的球面上，SA SB =，SA SB ⊥，底面ABCD 是等腰梯形，//AB CD ，且满足222AB AD DC ===，则球O 的表面积是( ) A ．43πB 82C ．4πD ．8π【解答】解：底面ABCD 是等腰梯形，//AB CD ，且满足222AB AD DC ===， 可知底面ABCD 的外心为AB 的中点O ，到顶点的距离为1，因为SA SB =，SA SB ⊥，2AB =，所以2SA SB ==，AB 的中点O 到S 的距离为1， 所以O 是四棱锥的外接球的球心，外接球的半径为1， 所以球O 的表面积是：2414ππ⨯=． 故选：C ．8．（2020•眉山模拟）已知腰长为3，底边长2为的等腰三角形ABC ，D 为底边BC 的中点，以AD 为折痕，将三角形ABD 翻折，使BD CD ⊥，则经过A ，B ，C ，D 的球的表面积为( ) A ．10πB ．12πC ．16πD ．20π【解答】解：如图所示，由题意可得：DB ，DC ，DA 两两相互垂直． 222318AD =-=．设经过A ，B ，C ，D 的球的半径为R ． 则222411810R =++=．∴球的表面积10π=．故选：A ．9．（2020•五华区校级模拟）已知圆锥SO 的底面半径为3，母线长为5．若球1O 在圆锥SO 内，则球1O 的体积的最大值为( ) A ．92πB ．9πC ．323πD ．12π【解答】解：设圆锥SO 的轴截面为等腰SAB ∆，则球1O 的体积最大时，球1O 的轴截面是SAB ∆ 的内切圆，所以11()22SAB S AB SO SA SB AB r ∆==++g g g ， 解得：32r =，所以球1O 的体积的最大值为3439()322ππ=，故选：A．10．（2020•垫江县校级模拟）过球的一条半径的中点，作与该半径所在直线成30︒的平面，则所得截面的面积与球的表面积的比为()A．15256B．45256C．1564D．4564【解答】解：画大圆O，设半径为R，取半径OB的中点A，过A做截面，CD为直径，取中点E，连接OE，OE⊥截面CD，由题意可得30OAE∠=︒，所以33132224AE OA R R===g，在三角形OAC中，2222cosOC OA AC OA AC OAC=+-∠g g g，即222()2cos15022R RR AC AC=+-︒g g g，整理可得：2242330AC R AC R+-=g，解得：23124831584R RAC R-++-+==，所以331515444CE AC AE R R R-+=+=+=，所以所得截面的面积与球的表面积的比为2215()154464RRπ=，故选：C．11．（2020•内蒙古模拟）如图：空间四边形P ABC-中，13PM ANPB AC==，4PA BC==，3MN=，异面直线PA与BC所成角的余弦值为()A ．14-B ．164-C ．164D ．14【解答】解：如图，过N 作//ND BC ，交AB 于D ，并连接MD ，则AN ADAC AB=， Q13PM AN PB AC ==， ∴13PM AD PB AB ==， //MD AP ∴，23MD PA =，13DN BC =， ∴84,33MD DN ==，且3MN =， MDN ∴∠为异面直线PA 与BC 所成角或其补角，∴在MDN ∆中，根据余弦定理得，64169199cos 8464233MDN +-∠==-⨯⨯，∴异面直线PA 与BC 所成角的余弦值为164． 故选：C ．12．（2020•凯里市校级模拟）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有阳马，广五尺，袤七尺，高八尺，问积几何？“其意思为：“今有底面为矩形，一侧棱垂直于底面的四棱锥，它的底面长、宽分别为7尺和5尺，高为8尺，问它的体积是多少？”若以上的条件不变，则这个四棱锥的体积为( ) A ．140立方尺B ．280立方尺C ．2803立方尺 D ．1403立方尺 【解答】解：由题意可得：这个四棱锥的体积128075833=⨯⨯⨯=立方尺，故选：C ．13．（2020•龙岩一模）已知正三棱柱111ABC A B C -的底面边长为2，用一平面截此棱柱与侧棱1AA ，1BB ，1CC 分别交于M ，N ，Q ，若MNQ ∆为直角三角形，则MNQ ∆面积的最小值为( ) A ．7B ．3C ．27D ．6【解答】解：如图，以AC 中点O 为坐标原点，OB 所在直线为x 轴，AC 所在直线为y 轴， 建立空间直角坐标系，设(0M ，1-，)a ，(3N ，0，)b ，(0Q ，1，)c ， 不妨设N 为直角，(3,1,)MN b a =-u u u u r ，(3,1,)QN b c =--u u u r， ∴()()20MN QN b a b c =--+=u u u u r u u u rg， 2211||||4()4()22S MN QN b a b c ==+-+-u u u u r u u u r g g 2221164[()()][()()]2b a bc b a b c =+-+-+-- 11616432++=…． 故选：B ．14．（2020•咸阳二模）正四棱锥P ABCD -的五个顶点在同一个球面上，6，高为3，则它的外接球的表面积为( ) A ．4πB ．8πC ．16πD ．20π【解答】解：正四棱锥P ABCD -的五个顶点在同一个球面上，6，高为3，设它的外接球的半径为R ，球心为O ，底面ABCD 的中心为M ． 设OM x =．则222(3)R x =+，3R x +=．解得：24R =． 可得球的表面积为16π． 故选：C ．15．（2020•重庆模拟）如图，四棱柱1111ABCD A B C D -中，ABCD 为平行四边形，E ，F 分别在线段DB ，1DD 上，且112DE DF EB FD ==，G 在1CC 上且平面//AEF 平面1BD G ，则1(CGCC =)A ．12B ．13C ．23D ．14【解答】解：Q 四棱柱1111ABCD A B C D -中，ABCD 为平行四边形，E ，F 分别在线段DB ，1DD 上，且112DE DF EB FD ==， 1//EF BD ∴，平面11//ADD A 平面11BCC B ，G Q 在1CC 上且平面//AEF 平面1BD G ，//AF BG ∴，∴1113CG DE CC DD ==． 故选：B ．16．（2020•邯郸模拟）如图一，在ABC ∆中，AB AC =，120A ∠=︒，D 为BC 中点，DE AC ⊥，将CDE ∆沿DE 翻折，得到直二面角C DE B --，连接BC ，F 是BC 中点，连接AF ，如图二，则下列结论正确的是()A ．AD CD ⊥B ．//AF DEC ．DE ⊥平面ACED ．//AF 平面CDE【解答】解：Q 在ABC ∆中，AB AC =，120A ∠=︒，D 为BC 中点，DE AC ⊥， 将CDE ∆沿DE 翻折，得到直二面角C DE B --，连接BC ，F 是BC 中点，连接AF ，DE AE ∴⊥，DE CE ⊥，AE CE E =Q I ，DE ∴⊥平面ACE ．故选：C ．17．（2020•福清市一模）已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，1AC ⊥平面α．平面α截此正方体所得的截面有以下四个结论： ①截面形状可能是正三角形 ②截面的形状可能是正方形 ③截面形状可能是正五边形 ④截面面积最大值为33 则正确结论的编号是( ) A ．①④B ．①③C ．②③D ．②④【解答】解：对①当α截此正方体所得截面为11B CD 时满足，故①正确．对②，由对称性得截面形状不可能为正方形，故②错误． 对③，由对称性得截面形状不可能是正五边形，故③错误． 对④，当截面为正六边形时面积最大，为36233=故选：A ．18．（2020•道里区校级一模）已知三棱锥S ABC -的外接球为球O ，SA 为球O 的直径，且2SA =，若面SAC ⊥面SAB ，则三棱锥S ABC -的体积最大值为( )A ．13B ．23C ．1D ．2【解答】解：如图，连接OC ，OB ，则S ABC S OBC A OBC V V V ---=+， 两三棱锥高的和的最大值为2SA =． 要使三棱锥S ABC-的体积最大，则OBC ∆面积最大为111sin 111222OB OC BOC ⨯⨯⨯∠=⨯⨯⨯=． ∴三棱锥S ABC -的体积最大值为1112323⨯⨯=． 故选：A ．19．（2020•焦作一模）某三棱柱的平面展开图如图，网格中的小正方形的边长均为1，K 是线段DI 上的点，则在原三棱柱中，AK CK +的最小值为( )A ．65B ．73C ．45D ．89【解答】解：将展开图折成立体图形，如图①，然后再把空间最短距离问题转化为平面两点间的距离最短问题，如图②所示． 因为8AJ =，3CJ =，所以223873AC =+=，即AK CK +的最小值为73． 故选：B ．20．（2020•吉林二模）等腰直角三角形BCD 与等边三角形ABD 中，90C ∠=︒，6BD =，现将ABD ∆沿BD 折起，则当直线AD 与平面BCD 所成角为45︒时，直线AC 与平面ABD 所成角的正弦值为( )A 3B 2C 3D 23【解答】解：设E 为BD 中点，连接AE 、CE ， 由题可知AE BD ⊥，CE BD ⊥， 所以BD ⊥平面AEC ，过A 作AO CE ⊥于点O ，连接DO ，则AO ⊥平面BDC ， 所以ADO ∠即为直线AD 与平面BCD 所成角的平面角， 所以2sin 2AOADO AD∠==，可得32AO = 在AOE ∆中可得3OE =， 又132OC BD ==，即点O 与点C 重合，此时有AC ⊥平面BCD ， 过C 作CF AE ⊥于点F ，又BD ⊥平面AEC ，所以BD CF ⊥， 所以CF ⊥平面ABD ，从而CAE ∠即为直线AC 与平面ABD 所成角，33sin 333CE CAE AE ∠===． 故选：A ．21．（2020•眉山模拟）如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，1224AB BC AA ===，E 为11A D 的中点，N 为BC 的中点，M 为线段11C D 上一点，且满足11114MC D C =u u u u r u u u u u r，F 为MC 的中点．（1）求证：//EF 平面1A DC ； （2）求三棱锥1C FCN -的体积；（3）求直线1A D 与直线CF 所成角的余弦值．【解答】（1）证明：在长方体1111ABCD A B C D -中，建立如图所示空间直角坐标系， 由1224AB BC AA ===，E 为11A D 的中点，N 为BC 的中点，M 为线段11C D 上一点，且满足11114MC D C =u u u u r u u u u u r ，得(0D ，0，0)，(1E ，0，2)，(0F ，72，1)，1(2A ，0，2)，(0C ，4，0)，1(2,0,2)DA =u u u u r ，(0DC =，4，0)，(1EF =-u u u r ，72，1)-．设平面1A DC 的一个法向量为(,,)n x y z =r．由122040n DA x z n DC y ⎧=+=⎪⎨==⎪⎩u u u u r r g u u u r r g ，取1z =-，得(1,0,1)n =-r ， Q 0EF n =u u u r rg ，且EF ⊂/平面1A DC ，//EF ∴平面1A DC ；（2）解：设F 到平面1CC N 的距离为d ，则12d =． ∴111111111233226C FCN F CC N CC N V V S d --===⨯⨯⨯⨯=V g ； （3）解：由（1）知，1(2,0,2)DA =u u u u r，又1(0,,1)2CF =-u u u r ，11110cos ,||||5222DA CF DA CF DA CF ∴<>===⨯u u u u r u u u ru u u u r u u u r g u u uu r u u u r g ． ∴直线1A D 与直线CF 所成角的余弦值10．22．如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，1:224AB BC AA ===，E 为11A D 的中点，N 为BC 的中点，M 为线段11C D 上一点，且满足11114MC D C =u u u u r u u u u u r，F 为MC 的中点．（1）求证：//EF 平面1A DC ； （2）求二面角1N AC F --的余弦值．【解答】解：（1）证明：作1DD 的中点H ，连接EH ，FH ， 又E 为11A D 的中点，EH ∴为△11A DD 的中位线，1//EH A D ∴，又F 为MC 的中点，FH ∴为梯形1D DCM 的中位线，//FH CD ∴，在平面1A DC 中，1A D CD D =I ，在平面EHF 中，EH FH H =I ，∴平面1//A DC 平面EHF ，又EF 在平面EHF 内， //EF ∴平面1A DC ．（2）以点D 为坐标原点，DA ，DC ，1DD 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，则17(1,4,0),(2,0,2),(0,4,0),(0,,1)2N A C F ，设平面1A CN 的一个法向量为(,,)m x y z =r ，则11(,,)(1,4,2)420(,,)(2,4,2)2420m A N x y z x y z m AC x y z x y z ⎧=--=-+-=⎪⎨=--=-+-=⎪⎩u u u u r r g g u u u u rr g g ，可取(0,1,2)m =r，同理可求得平面1A FC 的一个法向量为(3,2,1)n =r，∴270cos ,||||m n m n m n <>==r r g r rr r ，又二面角1N AC F --的平面角为钝角，故二面角1N AC F --的余弦值为27023．（2020•宜昌模拟）如图，在四棱锥M ABCD -中，AB AD ⊥，2AB AM AD ===，22MB MD ==．（1）证明：AM ⊥平面ABCD ；（2）若//CD AB ，2CD AB =，E 为线段BM 上一点，且2BE EM =，求直线EC 与平面BDM 所成角的正弦值．【解答】（1）证明：Q 在四棱锥M ABCD -中，AB AD ⊥，2AB AM AD ===，22MB MD ==222AB AM BM ∴+=，222AD AM DM +=，AB AM ∴⊥，AD AM ⊥，AD AB A =Q I ，AM ∴⊥平面ABCD ．（2）解：AB AD ⊥Q ，AM ⊥平面ABCD ，∴以A 为原点，AD 为x 轴，AM 为y 轴，AB 为z 轴，建立空间直角坐标系，//CD AB Q ，2CD AB =，E 为线段BM 上一点，且2BE EM =，2AB AM AD ===，22MB MD ==．(0E ∴，43，2)3，(2C ，0，1)，(2D ，0，0)，(0B ，0，2)，(0M ，2，0)， (2EC =u u u r ，43-，1)3，(2BD =u u u r ，0，2)-，(0BM =u u u u r ，2，2)-，设平面BDM 的法向量(m x =r，y ，)z ，则220220m BD x z m BM y z ⎧=-=⎪⎨=-=⎪⎩u u u r r g u u u u r r g ，取1x =，得(1m =r ，1，1)， 设直线EC 与平面BDM 所成角为θ， 则直线EC 与平面BDM 所成角的正弦值为：||159sin ||||5339m EC m EC θ===u u u r r g u u u r r g g．24．（2020•五华区校级模拟）如图所示的几何体中，正方形ABCD 所在平面垂直于平面APBQ ，四边形APBQ 为平行四边形，G 为PC 上一点，且BG ⊥平面APC ，2AB =．（1）求证：平面PAD ⊥平面PBC ；（2）当三棱锥P ABC -体积最大时，求平面APC 与平面BCQ 所成二面角的正弦值．【解答】（1）证明：因为平面ABCD ⊥平面APBQ ，平面APBQ ⋂平面ABCD AB =， 四边形ABCD 为为正方形，即BC AB ⊥，BC ⊂平面ABCD ， 所以BC ⊥平面APBQ ，又因为AP ⊂平面APBQ ，所以AP BC ⊥， 因为BG ⊥面APC ，AP ⊂平面PAC ， 所以AP BG ⊥，因为BC BG B =I ，BC ，BG ⊂平面PBC ， 所以AP ⊥平面PBC ， 因为AP ⊂平面PAD ， 所以平面PAD ⊥平面PBC ．（2）解：111323P ABC C APB V V PA PB BC PA PB --===g g g g ，求三棱锥P ABC -体积的最大值，只需求PA PB g 的最大值． 令PA m =，PB n =， 由（1）知AP PB ⊥，所以224m n +=，当且仅当2m n = 即2PA PB =时，22112()3323P ABC minm n V mn -+==g …． 以AB 中点O 为坐标原点建立空间直角坐标系如图，则 (0A ，1-，0)，(0B ，1，0)，(0C ，1，2)，(1P ，0，0)． 设1(,,)n x y z =u u r为平面APC 的一个法向量，则110220n AP x y n BP x z ⎧=+=⎪⎨=+=⎪⎩u u r u u u r g u u r u u u r g ，可取1x =，则1(1,1,1)n =-u u r，因为四边形APBQ 为平行四边形，APB ∆为等腰直角三角形，所以四边形APBQ 为正方形，取平面BCQ 的一个法向量为2(1,1,0)n BP ==-u u r u u u r，所以1cos n <u u r ，1221263||||n n n n n >==u u r u u ru u r g u u r u u r g ，所以1sin n <u u r ，233n >=u u r ，即平面APC 与平面BCQ 所成二面角的正弦值为3325．（2020•龙岩一模）如图，在四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 是等腰梯形，//AB CD ，4AB =，2BC CD ==，顶点1D 在底面ABCD 内的射影恰为点C ．（1）求证：BC ⊥平面1ACD ；（2）若直线1DD 与底面ABCD 所成的角为4π，求平面11ABC D 与平面ABCD 所成锐二面角的余弦值．【解答】解：（1）证明：如图，连接1D C ，则1D C ⊥平面ABCD ， BC ⊂Q 平面ABCD ，1BC D C ∴⊥，在等腰梯形ABCD 中，连接AC ，过点C 作CG AB ⊥于点G ，4AB =Q ，2BC CD ==，//AB CD ，则3AG =，1BG =，CG =AG ∴=， 因此满足22216AC BC AB +==，BC AC ∴⊥， 又1D C ，AC ⊂平面1AD C ，1D C AC C =I ， BC ∴⊥平面1AD C ．（2）解：由（1）知AC ，BC ，1D C 两两垂直， 1D C ⊥Q 平面ABCD ，∴14D DC π∠=，12D C CD ∴==，以C 为坐标原点，分别以CA ，CB ，1CD ，所在直线为x 轴，y 轴，z 轴， 建立如图所示的空间直角坐标系，则(0C ，0，0)，A ，0，0)，(0B ，2，0)，1(0D ，0，2)，∴(AB =-u u u r ，2，0)，1(AD =-u u u u r 0，2)，设平面11ABC D 的法向量(n x =r，y ，)z ，由12020AB n y AD n z ⎧=-+=⎪⎨=-+=⎪⎩u u u r r g u u u u r r g ，取1x =，得n =r ， 又1(0CD =u u u u r ，0，2)为平面ABCD 的一个法向量，设平面11ABC D 与平面ABCD 所成锐二面角为θ，则11||cos 7||||CD n CD n θ===u u u u r rg u u u u r r g ．∴平面11ABC D 与平面ABCD所成锐二面角的余弦值为7．。
趣味数学小故事30字
趣味数学小故事30字1.巧测金字塔高度金字塔是埃及的著名建筑，尤其胡夫金字塔最为著名，整个金字塔共用了230万块石头，10万奴隶花了30年的时间才建成这个建筑。
金字塔建成后，国王又提出一个问题，金字塔倒底有多高，对这个问题谁也回答不上来。
国王大怒，把回答不上来的学者们都扔进了尼罗河。
当国王又要杀害一个学者崐的时候，著名学者塔利斯出现了，他喝令刽子手们住手。
国王说：“难道你能知道金字塔的高度吗？”塔利斯说：“是的，陛下。
”国王说：“那么它高多少？”塔利斯沉着地回答说：“147米。
”国王问：“你不要信口胡说，你是怎么测出来的？”塔利斯说：“我可以明天表演给你看。
”第二天，天气晴朗，塔利斯只带了一根棍子来到金字塔下，国王冷笑着说：“你就想用这根破棍子骗我吗？你今天要是测不出来，那么你也将要被扔进尼罗河！”塔利斯不慌不忙地回答：“如果我测不出来，陛下再把我扔进尼罗河也为时不晚。
”接着，塔利斯便开始测量起来，最后，国王也不得不服他的测量是有道理的。
小朋友，你知道塔利斯是如何进行测量的吗？2.蜗牛何时爬上井？一只蜗牛不小心掉进了一口枯井里。
它趴在井底哭了起来。
一只癞蛤蟆爬过来，瓮声瓮气的对蜗牛说：“别哭了，小兄弟！哭也没用，这井壁太高了，掉到这里就只能在这生活了。
我已经在这里过了多年了，很久没有看到过太阳，就更别提想吃天鹅肉了！”蜗牛望着又老又丑的癞蛤蟆，心里想：“井外的世界多美呀，我决不能像它那样生活在又黑又冷的井底里！”蜗牛对癞蛤蟆说：“癞大叔，我不能生活在这里，我一定要爬上去！请问这口井有多深？”“哈哈哈……，真是笑话！这井有10米深，你小小的年纪，又背负着这么重的壳，怎么能爬上去呢？”“我不怕苦、不怕累，每天爬一段，总能爬出去！”第二天，蜗牛吃得饱饱的，喝足了水，就开始顺着井壁往上爬了。
它不停的爬呀，到了傍晚终于爬了5米。
蜗牛特别高兴，心想：“照这样的速度，明天傍晚我就能爬上去。
”想着想着，它不知不觉地睡着了。
埃及金字塔与数学.doc
埃及金字塔与数学摘要：数学，作为人类文明的重要组成部分，有着非常悠久的历史，那么，数学这门学科究竟是何时诞生的呢？古埃及作为人类文明的四大发源地之一，其优越的地理位置促使了他们发展农业。
由于从事农业生产的需要，从控制洪水和灌溉，测量田地的面积、计算仓库的容积、推算适合农业生产的历法以及相关的财富计算、产品交换等等长期实践活动中积累了丰富的经验，并逐渐形成了相应的技术知识和有关的数学知识。
客观的讲，就国外数学发展的源头还是首推古埃及。
关键词：金字塔数据建筑知识（几何）埃及数学一·古代埃及的历史文化背景古埃及(Ancient Egypt)，一般指公元前32世纪左右至公元前343年波斯灭亡埃及这段时间内尼罗河下游地区的埃及文明。
早在公元前3100年，由南方的美尼斯统一了上埃及和下埃及，建立第一个奴隶制王朝，拥有世界上最长河流之一尼罗河的古埃及是典型的水力帝国。
其地理位置和现在的埃及区别不大。
打猎、渔业及畜牧业是古埃及人最初的谋生方式。
一年一度的尼罗河的洪水给这片谷地带来了肥沃的淤泥，那些以游牧为生的古埃及人便在这块土地上定居下来，由狩猎转向耕种。
在发展农业的同时，手工业与贸易也随之速度发展起来，这些都带动了自然科学各学科知识的积累。
埃及作为世界四大文明古国之一，其具有悠久历史和古老文化。
二、金字塔的神秘数据提到埃及，大家都会自然想到作为世界七大奇迹之一的金字塔，位于开罗附近吉萨省的胡夫金字塔——法老胡夫（Khufu）的陵墓——是埃及最大的金字塔，大约建于公元前2500年左右，该金字塔大约由230万块石块砌成，外层石块约115000块，平均每块重2．5吨，像一辆小汽车一样大，而大的甚至超过15吨，如果把这些石块凿成平均一立方英尺的小块，把它们沿赤道排成一行，其长度相当于赤道周长的三分之二。
金字塔整体成正四棱锥形，底面正方形面向东西南北四个正方向，边长230.5m，误差不到20厘米；塔高146.6m(现高约137m)，相当于40层楼高。
胡夫金字塔隐藏的数学难题
胡夫金字塔隐藏的数学难题胡夫金字塔被评为“世界七大奇迹”之一，最主要的原因是在于它的建造难度。
一度被人怀疑是外星人建造的。
那么胡夫金字塔本身，隐藏着哪些秘密呢？建造方式胡夫金字塔塔高146.59米，现高136.5米，相当于40层大厦高。
推测有230万块巨石堆砌而成，每块重约2.5吨，如果用火车装，能装60多万个车皮。
4500年前，建造如此庞大的建筑，怎么做到的？也一直是科学家研究的话题。
建造精度胡夫金字塔四边正对着东南西北四个方向，误差少于1度。
底部角度不是60°，而是51°51'，如此每壁三角形的面积等于其高度的平方。
以2倍的塔高去除塔的底面积，恰好等于圆周率3.14159。
1864年史密斯精心测量后发现，塔高乘以10亿就等于地球与太阳之间的距离。
大金字塔在线条、角度等方面的误差几乎等于零，在350英尺的长度中，偏差不到0.25英寸。
它的周长正好是362.31库比特单位(320米)跟地球一年的时间差不多，它周长×2又是赤道的时分度，把它的自重×1015万就是地球的自重。
地理位置地球的子午线正好从金字塔的中心通过，恰好把地球的陆地和海洋分成相等的两部分。
两极轴心每隔25827年它们正好转一圈，金字塔的两条对角线的和，就是25826.6厘米。
以当时的技术，能做到如此精准，让人难以置信。
就现在来说，建造这么一个金字塔，那也算得上是一个“超级工程”，更别说是在4500年前，而且其中还包括天文地理，高精度的数学算法，高超的建筑工艺等。
2020年高考数学题埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥，以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为（C）。
题解：令四棱锥的高为h,侧面三角形的高为h1，底面正方形的边长为a，求h1:a由题意和勾股定理得：①代入②得：解一元二次方程得：（舍去负根）。
数学日记(3篇)
数学，我国古代叫算术，后来叫算学。
“数学”一词是来自希腊语，它意味着某种“通过学习可获得的知识”。
当代数学已经远不止是算术和几何，而是一门丰富多彩的学科，是计算和演绎的创造性结合。
动物与数学数学无时无刻无地存在于我们的生活中，就连动物世界中也成就着不少的数学天才，它们的数学成果甚至达到了人类之上。
丹顶鹤总是成群结队迁飞，而且排成“人”字形。
“人”字形的角度是110度。
更精确地计算还表明“人”字形夹角的一半——即每边与鹤群前进方向的夹角为54度44分8秒！而金刚石结晶体的角度正好也是54度44分8秒！是巧合还是某种大自然的“默契”？ 真正的数学“天才”是珊瑚虫。
珊瑚虫在自己的身上记下“日历”，它们每年在自己的体壁上“刻画”出365条斑纹，显然是一天“画”一圈。
奇怪的是，古生物学家发现3亿5千万年前的珊瑚虫每年“画”出400幅“水彩画”。
天文学家告诉我们，当时地球一天仅21.9小时，一年不是365天，而是400天。
冬天猫睡觉时总是把身体抱成一个球形----这其间也有数学，因为球形使身体的表面积（S数学日记110。
球面=4πR2）较小，从而散发的热量也最少。
狗本领也不逊色,当你站在一角呼唤它时，它会沿对角线，向你奔来!你看:它也知道"两点之间线段最短”走捷径呢!蜘蛛结的“八卦”形网，是既复杂又美丽的八角形几何图案，人们即使用直尺和圆规也很难画出像蜘蛛网那样匀称的图案。
数字与生活你知道身份证号码所包含的信息吗？数学与金字塔墨西哥、希腊、苏丹都等国都有金字塔，但名声最为显赫的是埃及的金字塔，阿拉伯文意为“方锥体”，它是一种方底，尖顶的石砌建筑物，是古代埃及埋葬国王、王后或王室其他成员的陵墓。
它既不是金子做的，也不是我们通常所见的宝塔形。
是由于它规模宏大，从四面看都呈等腰三角形，很像汉语中的“金”字，故中文形象地把它译为“金字塔”。
胡夫金字塔是埃及金字塔中最大的金字塔。
胡夫大金字塔底边原长230米，由于塔的外层石灰石脱落，现在底边减短为227米。
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随堂练习
一、连连看（P93）：
古代巴比伦文明 古代埃及文明 古代印度文明 古代中国文明
黄河流域和长江流域
尼罗河流域 底格里斯河和幼发拉底河流域 印度河流域
二、古代埃及最重要的文化遗产是（ 金字塔 ）
三、世界上第一部体系完备的法典是（ 《汉谟拉比法典》 ） 四、世界三大宗教中最早产生的是（ 印度 ）的（佛教 ）
——最大的金字塔
高146.5米 边长230多米 230万块巨石 每块2.5吨
胡夫金字塔内部示意图
胡夫金字塔运用的数学、天文学、建筑学
1、用以砌塔的巨石达230万块之多，它们的重量从2.5吨到5.８万吨。如果用载重７吨的卡车来装载，需要９ ７８ ２８６辆呢。 2、延长在底面中央的纵平分线，就是地球的子午线 。这条线 正好把地球的大陆和海洋平分成相等的两半 。 3、金字塔的塔基正位于地球各大陆引力中心 。
读一读：
在古代印度的城市里，经常会听到一 阵阵的敲击瓦罐的声音，路上行人就 会像要避开瘟疫一样纷纷躲在路旁。 这是为什么？同样是人，他们却要远 离城市居住，同样是人，他们却被看 成是不可接触的“贱民”。就连死了， 也要埋到人迹不到的地方。这是一种 什么制度？
种姓制度从中作梗 印度灾民六种待遇
4、其塔底每边长230米，误差小于20厘米；塔高146.5米，东 南角与西北角的高度误差仅1.27厘米。这样的精确度，是现代 建筑也望尘莫及的。
阅读资料： 为修筑胡夫金字塔，埃及法 老驱使了大量的农民和奴隶分批 进行劳动。每批10万人，工作3个 月。他们头顶烈日，在监工的皮 鞭之下劳动，用了10年的时间修 筑了运石的道路和地下的墓室， 又用了20年的时间才砌成塔身， 整个工程用了30年的时间。
哈夫拉金字塔 （狮子身人面像）
底格里斯河 幼发拉底河
古巴比伦文明：
1、古巴比伦的建立 约公元前1894年
2、《汉谟拉比法典》—— 世界上第一部体系完备的法典
汉 谟 拉 比 法 典
“倘自由民损毁任何自由民之子之眼， 则应毁其眼。” “倘自由民击落与之同等之自由民 之齿，则应击落其齿。” ——以眼还眼、以牙抵牙 “倘自由民之奴隶打自由民之颊， 应割其一耳。” “倘理发师未告知奴隶之主人而剃 去非其奴隶之奴隶标识者，则此理 发师应断指。” ——维护奴隶主的利益
佛教的发源地
佛教的产生
时间： 公元前6世纪 产生： 创立者： 乔达摩· 悉达多
主张： 众生平等（进步性？）
佛 教 于 汉 朝 传 入 中 国
课堂小结
思考：
通过这节课的学习，同学们知道了文明古国都有哪些共同点？
思考：
四大文明古国都有哪些共同点？
1、都发源于大河流域； 2、都创造了辉煌灿烂的文化； 3、都给人类留下了宝贵的历史遗产； 4、都是奴隶制国家，都残酷剥削和 压迫劳动人民。
2001年02月09日
本报综合消息 强烈地震之后，灾民领取救济品却仍受限于阶 级制度，救援人员不由慨叹“地震震垮房舍却无法撼动无形的种姓 制度”。 、、、、、、上个月受地震严重摧残的古吉拉特省几个乡村， 阶级差别仍是不可逾越的鸿沟，而这也造成了救援工作上的困扰。 以拉孔德镇为例，该镇无家可归的灾民，依印度教的五个种姓和 少数民族伊斯兰教徒的差别，分住在六个泾渭分明的帐篷区。每次 救助团体出现当地，要发放毛毯等救济物资，镇领导人就得提出六 份灾民清单。 这种情形普见于1月26日受强震袭击 的西印度地区。种姓制度对救灾的危害， 就在于它可能让位居最下层的贱民拿不 到救济物资。
——神秘的古代埃及
——东方神韵的古巴比伦
——佛音缭绕的古代印度
底格里斯河 黄 河
啊，尼罗河，我赞美你， 你从大地涌流而出，养活着埃及…… 一旦你的水流减少，人们就停止了呼吸。
一、神奇的金字塔
金字塔的国度
一切都怕时间 而时间却怕金字塔
迄今埃及共发现金字塔97座。金字塔的建筑，从古到今 都给人留下了许多不解之谜。传统的说法，都认为是依靠奴 隶的集体劳动建成的。 近年来，有位叫戴维杜维斯的法国化学家，得到5块从胡夫 金字塔上取下的小石块，他把每块化石都进行了化验，结果证明， 这些石块由贝壳石灰石组成。 因为在这之前的考古活动曾证明过，人类在几千年前就已掌 握混凝土制作技术，所以戴维杜维斯推测，古埃及人建造金字塔 是将搅拌好的混凝土装进筐子，抬上或背上正在建造中的金字塔。 更出乎意料之外的是，他还在石块中 发现了一缕一英寸长的人头发，这缕 头发可能就是古埃及人辛勤劳动和灿 烂智慧的见证。