二次函数-待定系数法
第10 讲二次函数·待定系数法
用待定系数法求二次函数的解析式常用三种形式：
1．已知抛物线过三点，选一般式y=ax2+bx+c．
2．已知抛物线顶点坐标及另一点，选顶点式y=a（x-h）2+k
3．已知抛物线与x轴有两个交点（或已知抛物线与x轴交点的横坐标），选交点式：
12
()()
y a
x x x x
=--
（其中12
,
x x是抛物线与x轴交点的横坐标）但不论何种形式，最后都化为一般形式。
重点：求二次函数解析式；与坐标轴、顶点、坐标系的联系
难点：二次函数结合一元二次方程，讨论根与系数的关系
一、一般式
2()
y ax bx c a
=++≠0
已知二次函数图象过某三点（一般有一点在y轴上）,通常选用一般式，将三点坐标代入即可解出a，b，c的值，从而求出该函数表达式。
【典型例题1】：已知一个二次函数的图象过点（－1,10）、（1,4）、（2,7）三点，求这个函数的解析式？
解：设所求的二次函数为y=ax2+bx+c
由条件得：
解方程得：a=2, b=-3, c=5
因此所求二次函数是：y=2x2-3x+5
二、顶点式y=a(x-h)2+k
若已知二次函数图象顶点坐标（-h，k），通常选用顶点式，另一条件代入即可解出a值，从而求出该函数表达式。
【典型例题2】：已知抛物线的顶点为（－1，－3），与y轴交点为（0，－5）求抛物线的解析式？
解：设所求的二次函数为y=a(x＋1)2-3
由条件得：点( 0,-5 )在抛物线上
a-3=-5,得a=-2
故所求的抛物线解析式为：y=-2(x＋1)2-3
No. 10
Date
Time
Name
即：y=-2x 2-4x-5
三、交点式12()()y a x x x x =--
已知二次函数图象与x 轴有两个交点，坐标分别为 12(,0),(,0)x x 通常选用交点式，再
根据其他即可解出a 值从而求出该函数表达式。
【典型例题3】、已知抛物线与x 轴交于A （－1，0），B （1,0）
并经过点M （0,1），求抛物线的解析式？ 解：设所求的二次函数为y=a(x ＋1)(x －1）
因为M （0,1）在抛物线上， 所以：a(0+1)(0-1)=1 得 ： a=-1
故所求的抛物线为 y=- (x ＋1)(x-1) 即：y=-x 2+1
思考： 用一般式怎么解？
例题1 已知抛物线过点（1，0）（3，-2）（5，0），求该抛物线所对应函数的表达式。
例题2 抛物线对称轴为直线x=-1，最高点的纵坐标为4，且与x 轴两交点之间的距离是6，
求次二次函数的解析式。
1. 抛物线y=ax 2+bx+c(a ≠0)的顶点为(2，4)，且过点(1，2)，求该抛物线的表达式．
2.已知抛物线与x 轴相交于点（-1,0），对称轴是直线x=2，顶点到x 轴的距离是12，求该抛物线所对应二
次函数的解析式。
y
o x
1.已知抛物线与x轴的两交点为（－1，0）和（3，0），且过点（2，－3）．求抛物线的解析式．
2.抛物线与x轴的两个交点横坐标为-3和1，且过点（0，-2/3），求此抛物线的解析式。
3.抛物线的顶点为（-1，-8），x轴与它的两个交点之间的距离为4，求此抛物线的解析式。
1.已知二次函数图象与x轴两交点A，B分别为（1，0），（-5,0）抛物线顶点为C，若△ABC 的面积为12，求该二次函数的表达式。
1.二次函数y=ax2+bx+c，x=6时，y=0;x=4时，y有最大值为8，求此函数的解析式。
2.若二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的最大值是2，图象经过点（-2,4）且顶点在直线y=-2x上，试求ab+c的值
1、
2、
3、
年月日
1、抛物线y=ax2+bx+c过(－3，0)，(1，0)两点,与y轴的交点为(0，4)，求抛物线的解析式
2、抛物线y=ax2+bx+c的顶点为(2，4)，且过(1，2)点，求抛物线的解析式．
3、一条抛物线y=x2+bx+c经过点(-6,4),(0,4)与.求这条抛物线的解析式.
4.如图，抛物线与轴交于点，点，与轴交于点，点是该抛物线的顶点，连接，．
直接写出点、的坐标；
求的面积；
点是抛物线上的一动点，若的面积是面积的，求点的坐标．
用待定系数法解二次函数解析式教案
用待定系数法解二次函数 解析式教案 Prepared on 24 November 2020
宝坻区中学课堂教学教案
教学教学内容教师活动学生活动 例题讲解合 作 探 究 通过例题讲解让学生 熟悉二次函数解析式的求 法。 例1、已知一个二次函数 的图象过点三点，求这个 函数的解析式 例2、已知抛物线的顶点 为，与轴交点为求抛物线 的解析式 例3、已知抛物线与轴交 于并经过点，求抛物线的 解析式 教师出示问题，引导让学 生先以小组为单位自学、 讨论。 师板书：根据题意 a-b+c=10 a+b+c=4 4a+2b+c=7 去解这个三元一次方程组 得： a=2，b=-3，c=5； 所求二次函数 5 3- 22+ =x x y 师分析：二次函数y＝ax2 ＋bx＋c通过配方可得y ＝a(x-h)2＋k的形式称为 顶点式，(h，k)为抛物线 的顶点坐标，因为这个二 次函数的图象顶点坐标是 -1，-3)，因此，可以设 函数关系式为：y＝ a(x+1)2-3 由于二次函数的图象过点 (0，-5)，代入所设函数 关系式，即可求出a的 值。 师：二次函数y＝ax2＋bx ＋c与x轴的两个交点为 所以应设二次函数y=a （x-x1）（x-x2） （a≠0）再把01 M（，） 代入求a的值。 锻炼学生会根据题目中不 同条件设不同的解析式的 能力。 学生动手自主操解出二次函 数解析式 锻炼学生的计算能力
教学环节教学内容教师活动学生活动 巩固提升达标检测课堂小结1.已知二次函数当x＝－3时， 有最大值－1，且当x＝0时，y ＝－3，求二次函数的关系式。 1.已知抛物线的顶点坐标为(－ 1，－3)，与y轴交点为(0，－ 5)，求二次函数的关系式。 2．函数y＝x2＋px＋q的最小值 是4，且当x＝2时，y＝5，求 p和q。 3．若抛物线y＝－x2＋bx＋c的 最高点为(－1，－3)，求b和 c。 4．已知二次函数y＝ax2＋bx＋ c的图象经过A(0，1)，B(－ 1，0)，C(1，0)，那么此函数 的关系式是______。如果y随x 的增大而减少，那么自变量x 的变化范围是______。 5．已知二次函数y＝ax2＋bx＋ c的图象过A(0，－5)，B(5， 0)两点，它的对称轴为直线x＝ 2，求这个二次函数的关系式。 小结：让学生讨论、交流、归 纳得到：已知二次函数的最大 值或最小值，就是已知该函数 顶点坐标，应用顶点式求解方 便，用一般式求解计算量较 大。 教师与学生一起回顾本节课内容， 并请学生回答：想一想,你的收获是 什么困惑有哪些说出来,与同学们分 享。 1． 让学生体验用不 同的方法解决问 题。 教师适时引导、 点拨，然后由小 组推荐学生板书 问题，其他小组 学生评价。 让学生理清求二 次函数 c bx ax y+ + =2 解析式的研究内 容和方法，让学 生会分析问题、 解决问题的方 法。 学生在自主探究的 基础上，尝试解决 问题。 学生梳理本节课学 习内容，方法及获 得结果，感受过程 体验成功。
专题用待定系数法求二次函数的解析式
精心整理 精心整理 专题1-用待定系数法求二次函数的解析式 二次函数的解析式常见的三种表达形式： 一般式：y ＝ax 2＋bx ＋c （a ≠0） 顶点式：y=a(x －h)2+k （a ≠0，（h ，k ）是抛物线的顶点坐标） 交点式：y=a(x －x 1)(x －x 2)（a ≠0，x 1、x 2是抛物线与x 轴交点的横坐标） 例1.如果二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象的顶点坐标为（－2，4），且经过原点，求二次函数解析式. 求二次4例2x=－1x=－11. 2.3.4.二次函数y=ax 2+bx+c 的对称轴为x=3，最小值为－2，，且过（0，1），求此函数的解析式。 5.已知二次函数的图象与x 轴的交点为（－5，0），（2，0），且图象经过（3，－4），求解析式 6.抛物线的顶点为（－1，－8），它与x 轴的两个交点间的距离为4，求此抛物线的解析式。 7.二次函数的图象与x 轴两交点之间的距离是2，且过（2，1）、（－1，－8）两点，求此二次函数的解析式。 8.把二次函数25 3212++=x x y 的图象向右平移2个单位，再向上平移3个单位，求所得二次函数的
精心整理 精心整理 解析式。 9.二次函数y=ax 2+bx+c ，当x ＜6时y 随x 的增大而减小，x ＞6时y 随x 的增大而增大，其最小值为－12，其图象与x 轴的交点的横坐标是8，求此函数的解析式。 10.已知一个二次函数的图象过（1，5）、（1,1--）、（2，11）三点，求这个二次函数的解析式。 11.已知二次函数图象的顶点为（2,k ）,在一次函数y=x+1上，并且点（1,1）在图像上，求此二次函数解析式 12.已知二次函数y=ax 2-2ax+c(a 不为0)的图像与x 轴交于A 、B 两点，A 左B 右，与y 轴正半轴交于点C ，AB=4，OA=OC,求二次函数的解析式 13. 2且x 114.3,0）， （1Q 点坐15（1（2）
待定系数法求二次函数解析式的十种类型
待定系数法求二次函数解析式的十种类型 一、 三点型----一般式 y=ax2+bx+c 即已知抛物线经过确定的三点,求其解析式.这时可以设解析式为标准形式y=ax 2+bx+c 然后将三点坐标代入解析式得三元一次方程组,求出a 、b 、c 即得解析式 已知一个二次函数图象经过（-1，10）、（2，7）和（1，4）三点，那么这个函数的解析式是_______。 分析 已知二次函数图象上的三个点，可设其解析式为y=ax 2+bx+c,将三个点的坐标代入，易得a=2,b=-3,c=5 。故 所求函数解析式为y=2x 2-3x+5. 这种方法是将坐标代入y=ax 2+bx+c 后，把问题归结为解一个三元一次方程组，求出待定系数 a, b , c, 进而获得解析 式y=ax 2+bx+c. 二、交点型----交点式 y=a(x-x1)(x-x2) 即已知抛物线与X 轴的两个交点的坐标A(x 1 ,0 ) ,B(x 2, 0) 或交点间的距离及对称轴,求抛物线的解析式.这时可以设解析式为y=a(x —x 1)(x — x 2),求出a 即得解析式 例2 已知抛物线y=-2x 2+8x-9的顶点为A ，若二次函数y=ax 2 +bx+c 的图像经过A 点，且与x 轴交于B （0，0）、C （3，0）两点，试求这个二次函数的解析式。 分析 要求的二次函数的图象与x 轴的两个交点坐标，可设y=ax(x-3),再求也y=-2x 2+8x-9 的顶点A （2，-1）。将A 点的坐标代入y=ax(x-3),得到a=21 ∴y=21x(x-3),即 y= x x 23212-. 三、顶点型------y=a(x-h)2 +k 即已知抛物线的顶点坐标( h, k ),求其解析式.这时可设解析式为顶点形式 y=a ( x —h )2 +k ，求出a 、k 可即得解析式 。 例 3 已知抛物线y=ax 2 +bx+c 的顶点是A(-1,4)且经过点(1,2)求其解析式。 分析 此类题型可设顶点坐标为(h,k)，故解析式为y=a(x-m)2+k.在本题中可设y=a(x+1)2+4.再将点(1,2)代入求得a=-21 ∴y=-,4)1(212++x 即y=-.272 12+-x x 由于题中只有一个待定的系数a ，将已知点代入即可求出，进而得到要求的解析式。 四、平移型 左加右减自变量，上加下减常数项 例 4 二次函数y=x 2+bx+c 的图象向左平移两个单位，再向上平移3个单位得二次函数,122 +-=x x y 则b 与c 分别等于 (A)2,-2;(B)-6,6;(c)-8,14;(D)-8,18. 分析 逆用平移分式，将函数y=x 2 -2x+1的顶点（1，0）先向下平移3个单位，再向右平移两个单位得原函数的图象的顶点为（3，-3）。 ∴y=x 3)3(22--=++x c bx =x .662+-x ∴b=-6,c=6. 因此选（B ） 五、弦比型（设两根为x1, x2, 则弦长=|x1-x2|
二次函数待定系数法求解析式
专题复习一、待定系数法求解析式 1、根据条件求二次函数的解析式 （1）抛物线过（－1，－22），（0，－8），（2，8）三点； （2）抛物线过（－1，0），（3，0），（1，－5）三点； （3）已知抛物线的顶点坐标是（－2，1），且过点 （4）二次函数的图象经过点（－1，0），（3，0）， （1，－2），求抛物线的解析式。 且最大值是3。 （5）抛物线在x 轴上截得的线段长为4，且顶点坐标 （6）已知抛物线的对称轴平行于y 轴，顶点为M 是（3，－2）； （2，—3），且过点（0，1）。 2、如图，二次函数的图象与x 轴相交于A 、B 两点，与y 轴相交于点C ，点C 、D 是二次函数图象上的一对对称点，一次函数的图象过点B 、D. （1）、求二次函数的解析式，并求此二次函数的顶点坐标. （2）、求D 点的坐标. （3）、求一次函数的表达式. （4）、根据图象写出当二次函数值0≥y 时，x 的取值范围是 .当 二次函数值3≥y 时，x 的取值范围是 。 (5)、根据图象写出使一次函数值大于二次函数值的x 的取值范围 .
3．一座隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形的长为8m ，宽为2m ，隧道最高点P 位于AB 的中央且距地面6m ，建立如下图所示的坐标系。（1）求抛物线的表达式；（2）一辆货车高4m ，宽2m ，能否从该隧道内通过，为什么？ 4、某商场经营一批进价为3元一件的小商品，物价部门规定此种商品每件售价不得高于7元，在销售中发现此商品的日销售单价x （元）与日销售量y （件） 间有如下关系： x （元） 4 5 6 7 y （件） 16 14 12 10 ⑴根据上表提供的数据，在坐标系中画出y 与x 的函数图象,猜测并确定．．．．． 日销 售量y （件）与日销售单价x （元）间的函数关系式； ⑵设经营此商品的日销售利润为P 元，试写出日销售利润P （元）与日销售单 价x （元）的函数表达式，并求出日销售单价为多少元时，才能获得最大日销 售利润，最大日销售利润为多少元？ 5、如图所示，在直角坐标系中，矩形ABCD 的边AD 在x 轴上，点A 在原点，AB ＝3，AD ＝5．若矩形以每秒2个单位长 度沿x 轴正方向作匀速运动．同时点P 从A 点出发以每秒1个单位长度沿A －B －C －D 的路线作匀速运动．当P 点运动 到D 点时停止运动，矩形ABCD 也随之停止运动． （1）求P 点从A 点运动到D 点所需的时间； （2）设P 点运动时间为t （秒）。求：①当t ＝5时，求出点P 的坐标； ②若⊿OAP 的面积为s ，试求出s 与t 之间的函数关系式（并写出相应的自变量t 的取值范围）． x y B C A P O
二次函数待定系数法求函数解析式
精心整理 专题训练求二次函数的解析式 一、已知三点求解析式 1.抛物线y＝ax2＋bx＋c经过（－1，－22），（0，－8），（2，8）三点，求它的开口方 2. 3. 4. 5. 6. 7. 线的顶点记为M，它的对称轴与x轴的交点记为N.（1）求抛物线C的解析式；（2）求点M的坐标； 8.已知：如图，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象经过A，B，C三点.求此抛物线的解析式.
9.如图所示，求此抛物线的解析式。 10.如图，抛物线c bx x y ++-=2 2 1与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，且OA ＝2，OC ＝3．求抛物线的解析式． 11．如图所示，抛物线y ＝ax 2＋bx －4a 经过点A （－1，0），C （0， 4）. （1（212.. 13.3）. 和y 二、已知顶点或对称轴求解析式 1.在平面直角坐标系内，二次函数图象的顶点为A （1，－4），且过点B （3，0），求该二次函数的解析式. 2.已知二次函数图象的顶点是（1，－3），且经过点M （2，0），求这个函数的解析式.
3.如果抛物线的顶点坐标是（3，－1），与y 轴的交点是（0，－4），求它的解析式。 4.已知抛物线y ＝x 2＋kx ＋k ＋3，若抛物线的顶点在y 轴上，求此抛物线的解析式。 5.已知抛物线经过点A （1，0），B （0，3），且对称轴是直线x ＝2，求该抛物线的解析式. 6.已知某二次函数，当x =3时，函数有最小值－2，且函数图象与y 轴交于)2 5 ,0(，求此二次函数的解析式。 7. 8.9.10.直线x ＝1的函 11.如图，已知抛物线的顶点为A （1， 4），抛物线与y 轴交于点B （0，3），与x 轴交于C ，D 两点.P 是x 轴上的一个动点.（1）求此抛物线的解析式；（2）当P A ＋PB 的 1 0 1 2 3 10 5 2 1 2
待定系数法求二次函数解析式(讲义)
??? ?? 待定系数法求二次函数解析式（讲义） 一、【基础知识精讲】 (一）、中考导航图 1.二次函数的意义; 2.二次函数的图象; 3.二次函数的性质?? ????? 顶点 对称轴 开口方向增减性 顶点式：y=a(x-h) 2 +k(a ≠0) 4.二次函数 待定系数法确定函数解析式 一般式：y=ax 2+bx+c(a ≠0) 两根式：y=a(x-x 1)(x-x 2)(a ≠0) 5.二次函数与一元二次方程的关系。 6.抛物线y=ax 2 +bx+c 的图象与a 、b 、c 之间的关系。 （二）、中考知识梳理 1.二次函数的图象 在画二次函数y=ax 2 +bx+c(a ≠0)的图象时通常先通过配方配成y=a(x+b 2a )2+ 4a 2 4ac-b 的形式,先确定顶点(-b 2a ,4a 2 4ac-b ),然后对称找点列表并画图,或直接代用顶点公式来求 得顶点坐标. 2.理解二次函数的性质 抛物线的开口方向由a 的符号来确定,当a>0时,在对称轴左侧y 随x 的增大而减小;在 对称轴的右侧,y 随x 的增大而增大;简记左减右增,这时当x=-b 2a 时,y 最小值=4a 2 4ac-b ;反之 当a
二次函数-用待定系数法求解二次函数解析式专题讲义
待定系数法求解析式 一、知识要点 近年高频考点中考频率所占分值 1、用待定系数法求解二次函数解析式 5~10分 1、设一般式y＝ax2＋bx＋c_用待定系数法求二次函数解析式 2、设顶点式y＝a(x－h)2＋k _用待定系数法求二次函数解析式 3、设交点式y＝a(x－x1)(x－x2)_用待定系数法求二次函数解析式 知识点回顾： 二次函数的表达形式有那些？ 二、知识要点详解 1、知识点一：设一般式y＝ax2＋bx＋c_用待定系数法求二次函数的解析式 什么叫做待定系数法？ 一种求未知数的方法。将一个多项式表示成另一种含有待定系数的新的形式，这样就得到一个恒等式。然后根据恒等式的性质得出系数应满足的方程或方程组，其后通过解方程或方程组便可求出待定的系数，或找出某些系数所满足的关系式，这种解决问题的方法叫做待定系数法。 根据定义待定系数法求二次函数的解析式步骤如下： （1）、找出符合方程的点； （2）、根据相应的点设不同形式的函数方程； （3）、将相应点的坐标带入（2）步骤所设的函数方程得到关于系数关系的方程或方程组； （4）、解出方程或方程组得到相应的系数 （5）、将系数带入所设方程得到二次函数的解析式
如题： 二次函数的顶点为（2,1），函数图像经过点（1,0），求此二次函数的解析式。 解：∵二次函数的定点为（2,1）找点（1）∴设二次函数的解析式为： y＝a(x－2)2＋1 根据相应的点设立方程（2）∵点（1,0）在函数图像上，即（1,0）满足方程y＝a(x－2)2＋1 ∴0＝a(1－2)2＋1 将点带入得方程（3） 解之得：a=-1 解方程（4） ∴二次函数解析式为：y＝-(x－2)2＋1 将所求系数代入得方程解析式（5） 一般式y＝ax2＋bx＋c的求解方法： 若是已知条件是图像上的三个点，则设所求二次函数y＝ax2＋bx＋c，将已知条件代入解析式，得到关于a、b、c的三元一次方程组，解方程组求出a、b、c的值，代入方程求得解析式 例题一 1．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象经过点(－1，0)，(0，－2)，(1，－2)，则这个二次函数的解析式为____________． 2．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c，当x＝0时，y＝1；当x＝－1时，y＝6；当x＝1时，y＝0.求这个二次函数的解析式． 3．已知二次函数的图象经过(1，0)，(2，0)和(0，2)三点，则该函数的解析式是( ) A．y＝2x2＋x＋2B．y＝x2＋3x＋2 C．y＝x2－2x＋3 D．y＝x2－3x＋2 4．如图，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象经过A，B，C三点， 求出抛物线的解析式． 5.已知抛物线C1：y＝ax2＋bx＋c经过点A(－1，0)，B(3，0)，C(0，－3)． (1)求抛物线C1的解析式； (2)将抛物线C1向左平移几个单位长度，可使所得的抛物线C2经过坐标原点，并写出C2的解析式．
用待定系数法求二次函数的解析式
22.1.4（2）用待定系数法求二次函数的解析式 ?自主学习、课前诊断 一、温故知新： （1）二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象及其性质. （2）如何求出一次函数y=kx+b的解析式？需要几个条件？这种求函数解析式的方法叫做什么？ 二、设问导读： 阅读课本P39-40，完成下列问题： 1.求二次函数y＝ax2＋bx＋c的解析式，需要先确定________的值，由____个点的坐标可以确定？这些点要满足什么条件？ 2.（1）一个二次函数的图象经过（-1,10），（1,4），（2,7）三点，如何运用待定系数法求出这个二次函数的解析式？ （2）归纳运用待定系数法求二次函数的解析式的一般步骤.三、自学检测： 1.抛物线y=ax2经过点（1,2），则a=___. 2. 抛物线y=x2-mx+3的对称轴为x=3,则m=________. 3．已知二次函数的图象经过(0，0)，(1，2)，(-1，-4)三点，求这个二次函数的解析式. 4．已知二次函数图象与x轴交点是（2,0），(-1,0).与y轴交点是（0，-2），求这个二次函数的解析式. ?互动学习、问题解决 一、导入新课 二、交流展示
?学用结合、提高能力 一、巩固训练： 1.已知抛物线y＝x2+px+q 过点(5,0),(-5,0),则p＋q＝__________． 2.函数y＝－2(x＋1)(x－2)与x 轴的交点坐标是_______________,与y 轴的交点坐标是______________． 3．已知二次函数的图象过A(0，9)，B(1，0)两点，它的对称轴为直线x＝2，求这个二次函数的解析式. 4．已知二次函数y＝x2＋px＋q的图象的顶点是(5，－2)，求这个二次函数解析式. 二、当堂检测： 1. 已知抛物线y＝x2-2x+c与y轴的交点是（0,3），则c=_________. 2.已知抛物线y＝ax2-2x+c的顶点坐标为（-1,0），则a=______；c=_______. 3.已知二次函数的图象过点（0,0），（-1，-1），（1,9），求这个二次函数的解析式. 三、拓展延伸： 1.抛物线y＝ax2＋bx－3经过点(2,4),则代数式8a＋4b＋1的值为( )． A.3 B.9 C.15 D.-15 2．已知二次函数的图象的顶点是（-1，2），且经过（1，-6），求这个二次函数的解析式. ?课堂小结、形成网络 __________________________________ __________________________________ __________________________________ __________________________________
二次函数待定系数法求函数解析式(供参考)
专题训练求二次函数的解析式 一、已知三点求解析式 1.抛物线y＝ax2＋bx＋c经过（－1，－22），（0，－8），（2，8）三点，求它的开口方向、对称轴和顶点. 2.一个二次函数的图像经过(0，0)，(－1，－1)，(1，9)三点．求这个二次函数的解析式． 3. 已知二次函数的图象经过点（－1，－6），（1，－2）和（2，3），求这个二次函数的解析式，并求它的开口方向、对称轴和顶点坐标. 4.已知抛物线y＝ax2＋bx＋c经过（1，0），（2，0），（3，4）三点，则求抛物线的解析式。 5.已知抛物线y＝ax2＋bx＋c经过点（－1，10），（2，7），且3a＋2b＝0，求该抛物线的解析式。 6.抛物线y＝ax2＋bx＋c经过点（0，0）与（12，0），最高点的纵坐标是3，求这条抛物线的解析式.
7. 已知抛物线C ：y ＝－x 2＋bx ＋c 经过A （－3，0）和B （0，3）两点，将这条抛物线的顶点记为M ，它的对称轴与x 轴的交点记为N.（1）求抛物线C 的解析式；（2）求点M 的坐标； 8.已知：如图，二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象经过A ，B ，C 三点.求此抛物线的解析式. 9. 如图所示，求此抛物线的解析式。 10. 如图，抛物线c bx x y ++- =22 1与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，且OA ＝2，OC ＝3．求抛物线的解析式．
11．如图所示，抛物线y＝ax2＋bx－4a经过点A（－1，0），C（0，4）. （1）求抛物线的解析式； （2）已知点D（m，m＋1）在第一象限的抛物线上，求点D关于x轴对称的点的坐标. 12.如图，已知二次函数y＝x2＋bx＋c的图象过点A（1，0），C（0，－3）. （1）求此二次函数的解析式； （2）在抛物线上存在一点P，使△ABP的面积为10，请直接写出点P的坐标. 13. 如图①，已知抛物线y＝ax2＋bx＋c经过点A（0，3），B（3，0），C（4，3）. （1）求抛物线的解析式； （2）求抛物线的顶点坐标和对称轴； （3）把抛物线向上平移，使得顶点落在x轴上，直接写出两条抛物线、对称轴和y轴围成的图形的面积S（图②中阴影部分）.
第一讲 二次函数与待定系数法、配方法
第一讲 二次函数的认识与待定系数法、配方法 【问题探索】 某果园有100棵橙子树，每一棵树平均结600个橙子，现准备多种一些橙子树以提高产量，但是如果多种树，那么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少．根据经验估计，多种一棵树，平均每棵树就会少结5个橙子． (1)假设果园增种x 棵橙子树，那么果园共有多少棵橙子树?这时平均每棵树结多少个橙子? (2)如果果园橙子的总产量为y 个，那么请你写出y 与x 之间的关系式． 答案：（1）共有(100)x +棵橙子树，平均每棵树结(6005)x -个橙子； （2）y 与x 之间的关系式为：(100)(6005)y x x =+-化简得：2 510060000y x x =-++。 【新课引入】 提问： 1、在式子2 510060000y x x =-++中，y 是x 的函数吗？若是，与我们以前学过的函数相同吗？若不相同，那是什么函数呢？ 答案：根据函数的定义，可知y 是x 的函数，与以前学过的一次函数和反比例函数不同，猜想它是二次函数。 2、请写一个一次函数关系式和一个反比例函数关系式，通过比较三个函数关系式，猜想 2510060000y x x =-++是什么函数，并说出该函数的式子特征。 （其中） 答案：比较结果见上表，由表格可猜想该函数是二次函数，该式子的特征是①含两个变量x （自变量）、y （因变量）；②式子右边有三项：二次项、一次项、常数项，最高次项是2次。 总结：一般地，形如2 y ax bx c =++(,,a b c 是常数，0a ≠)的函数叫做x 的二次函数. 注意：定义中只要求二次项系数a 不为零（必须存在二次项），一次项系数b 、常数项c 可以为零。因此，最简单的二次函数形式是2 (0)y ax a =≠ 举例：2 510060000y x x =-++和2 100200100y x x =++都是二次函数．我们以前学过的正方形面积A 与边长a 的关系2A a =，圆面积S 与半径r 的关系2 S r π=等，都是二次函数． 3、(100)(6005)y x x =+-是二次函数吗？ 答案：是，因为化简能变成2 y ax bx c =++（0a ≠）的形式。
用待定系数法求二次函数解析式案例
《用待定系数法求二次函数解析式》教学案例《用待定系数法求二次函数解析式》，“待定系数法”是数学思想方法中的一种重要的方法，在实际生活和生产实践中有着广泛的应用．学生对于“待定系数法”的学习渗透在不同的学习阶段，在初中七、八年级学生学习了正比例函数、反比例函数、一次函数时已经初步学会了用待定系数法求函数解析式；．因此这节课的学习既是前面知识的延续和深化，又为后面的学习奠定基础，起着承前启后的作用．另外，待定系数法作为解决数学实际问题的基本方法和重要手段，在其他学科中也有着广泛的应用． 一．教学目标： 1、理解二次函数的三种不同形式，并选择恰当的形式用待定系数法确定其解析式。 2、掌握给定不共线三点的坐标确定一个二次函数。 3、了解顶点式、交点式确定二次函数的解析式。 二．教学重点 设一般式，顶点式确定二次函数的解析式 三．教学难点 选择恰当的形式用待定系数法确定二次函数的解析式 四．教学过程 （一)“创设情境启迪思维”
教师通过提问：我们学过了几种函数？它们的解析式各是什么？使学生熟悉今天要用的知识.然后继续用学生熟悉的两个问题将学生引入到本节课要学的知识中： 问题1、已知一个正比例函数图象点(1,3)，求这个函数的解析式． 问题2、已知一个反比例函数图象过(1,3),求这个函数的解析式．问题给出后，学生回答，老师板书解题过程.同时总结学生的解题思路. 回顾初中学过的待定系数法——先根据条件设出函数的解 析式，再根据条件列出方程． 设计意图：两道题设计了相同的已知条件，不同的结论，目的是使学生不去关注点的坐标的变化，而是将注意力转移到函数解析式的变化上，为后面的问题的深化埋下伏笔．通过旧有的知识引出新的问题，引导学生在不知不觉中将新知识纳入到旧有的知识网络系统之中，促进学生对新知识的掌握． （二)“深入探究获得新知” 问题3、已知一个一次函数图象过(1,3),试求这个函数解析式. 在给出问题3的时候，学生在思考后产生了困惑，继而质疑——能做吗？是不是老师将题目出错了？最后学生意识到：要想解出这个问题，还差一个条件！ 针对学生的质疑，我设计了三个问题： 问题一：“题目哪里出错了？” 学生回答：“只给了一个条件，还差一个条件”
二次函数的性质及待定系数法
二次函数的性质 1、小军从所给的二次函数图象中观察得出了下面的信息：①a＜0； ②c=0；③函数的最小值是-3；④当x ＜0时y ＞0；⑤当0＜x 1＜x 2＜2时y 1＞y 2．你认为其中正确的个数为（ ） A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 2、（1）抛物线y=-（x+2）2+3的顶点坐标是（ ） A ．（-2，3） B ．（2，3） C ．（2，-3） D ．（-2，-3） (2)二次函数y=（2x-1）2+2的顶点的坐标是（ ） A ．（1，2） B. ??? ??2,21 C ．（1，-2） D.? ?? ??-2,21 (3)二次函数y=ax 2+bx+c 图象上部分点的坐标满足下表： x … -3 -2 -1 0 1 … y … -3 -2 -3 -6 -11 … 则该函数图象的顶点坐标为（ ） A ．（-3，-3） B ．（-2，-2） C ．（-1，-3） D ．（0，-6） 3、（1）在二次函数y=-x 2+2x+1的图象中，若y 随x 的增大而增大，则x 的取值范围是（ ） A.x>1 B.x<1 C.x>-1 D.x<-1 （2）若二次函数y=（x-m ）2-1，当x≤1时，y 随x 的增大而减小，则m 的取值范围是（ ） A.m≥1 B.m≤1 C.m=1 D.m>1 4、若一次函数y=ax+b （a≠0）的图象与x 轴的交点坐标为（-2，0），则抛物线y=ax 2+bx 的对称轴为（ ） A ．直线x=1 B ．直线x=-2 C ．直线x=-1 D ．直线x=-4 5、二次函数y=ax 2+bx+c 的图象如图所示，则下列判断中错误的是（ ） A ．图象的对称轴是直线x=1 B ．当x ＞1时，y 随x 的增大而减小 C ．一元二次方程ax 2+bx+c=0的两个根是-1，3 D ．当-1＜x ＜3时，y ＜0 6、关于二次函数y=-2x 2+3，下列说法中正确的是（ ） A ．它的开口方向是向上 B ．当x ＜-1时，y 随x 的增大而增大 C ．它的顶点坐标是（-2，3） D ．当x=0时，y 有最小值是3 7、已知二次函数y=2（x-3）2+1．下列说法： ①其图象的开口向下； ②其图象的对称轴为直线x=-3； ③其图象顶点坐标为（3，-1）； ④当x ＜3时，y 随x 的增大而减小．则其中说法正确的有（ ）（填序号）
二次函数-待定系数法
第10 讲二次函数·待定系数法 用待定系数法求二次函数的解析式常用三种形式： 1．已知抛物线过三点，选一般式y=ax2+bx+c． 2．已知抛物线顶点坐标及另一点，选顶点式y=a（x-h）2+k 3．已知抛物线与x轴有两个交点（或已知抛物线与x轴交点的横坐标），选交点式： 12 ()() y a x x x x =-- （其中12 , x x是抛物线与x轴交点的横坐标）但不论何种形式，最后都化为一般形式。 重点：求二次函数解析式；与坐标轴、顶点、坐标系的联系 难点：二次函数结合一元二次方程，讨论根与系数的关系 一、一般式 2() y ax bx c a =++≠0 已知二次函数图象过某三点（一般有一点在y轴上）,通常选用一般式，将三点坐标代入即可解出a，b，c的值，从而求出该函数表达式。 【典型例题1】：已知一个二次函数的图象过点（－1,10）、（1,4）、（2,7）三点，求这个函数的解析式？ 解：设所求的二次函数为y=ax2+bx+c 由条件得： 解方程得：a=2, b=-3, c=5 因此所求二次函数是：y=2x2-3x+5 二、顶点式y=a(x-h)2+k 若已知二次函数图象顶点坐标（-h，k），通常选用顶点式，另一条件代入即可解出a值，从而求出该函数表达式。 【典型例题2】：已知抛物线的顶点为（－1，－3），与y轴交点为（0，－5）求抛物线的解析式？ 解：设所求的二次函数为y=a(x＋1)2-3 由条件得：点( 0,-5 )在抛物线上 a-3=-5,得a=-2 故所求的抛物线解析式为：y=-2(x＋1)2-3 No. 10 Date Time Name
即：y=-2x 2-4x-5 三、交点式12()()y a x x x x =-- 已知二次函数图象与x 轴有两个交点，坐标分别为 12(,0),(,0)x x 通常选用交点式，再 根据其他即可解出a 值从而求出该函数表达式。 【典型例题3】、已知抛物线与x 轴交于A （－1，0），B （1,0） 并经过点M （0,1），求抛物线的解析式？ 解：设所求的二次函数为y=a(x ＋1)(x －1） 因为M （0,1）在抛物线上， 所以：a(0+1)(0-1)=1 得 ： a=-1 故所求的抛物线为 y=- (x ＋1)(x-1) 即：y=-x 2+1 思考： 用一般式怎么解？ 例题1 已知抛物线过点（1，0）（3，-2）（5，0），求该抛物线所对应函数的表达式。 例题2 抛物线对称轴为直线x=-1，最高点的纵坐标为4，且与x 轴两交点之间的距离是6， 求次二次函数的解析式。 1. 抛物线y=ax 2+bx+c(a ≠0)的顶点为(2，4)，且过点(1，2)，求该抛物线的表达式． 2.已知抛物线与x 轴相交于点（-1,0），对称轴是直线x=2，顶点到x 轴的距离是12，求该抛物线所对应二 次函数的解析式。 y o x
用待定系数法求二次函数解析式
用待定系数法求二次函 数解析式 Revised as of 23 November 2020
用待定系数法求二次函数解析式 1、二次函数解析式常见形式： （1）一般式：y=ax2+bx+c（a,b,c为常数，a≠0）； （2）顶点式：y=a(x?h)2+k（a,h,k为常数，a≠0）； （3）交点式：y=a(x?x1)(x?x2)（x1，x2为抛物线与x轴交点的横坐 标，a≠0） 2、用待定系数法求二次函数解析式的步骤： 第一步，设：先设出二次函数的解析式，如：y=ax2+bx+c或y=a(x?h)2+k或y=a(x?x1)(x?x2)，其中a≠0； 第二步，代：根据题中所给条件，代入设的二次函数的解析式中，得到关 于待定系数的方程（或方程组）； 第三步，解：解此方程或方程组，求待定系数； 第四步，还原：将求出的待定系数还原到解析式中。 3、解题思路： 根据题中所给的条件选择合适的形式： ①当已知抛物线上的三点坐标时，可设函数解析式为y=ax2+bx+c； ②当已知抛物线的顶点坐标或对称轴与最大（小）值时，可设函数解析式为y=a(x?h)2+k；
③当已知抛物线与x轴的两个交点（x1，0），（x2，0）时，可设函数解析式为y=a(x?x1)(x?x2) 二次函数与一元二次方程 1、二次函数与一元二次方程的转化： 当二次函数y=ax2+bx+c的y为定值时，二次函数y=ax2+bx+c化为一元二次方程。例如，当y=0时，化为方程ax2+bx+c=0。 2、抛物线y=ax2+bx+c与x轴交点个数可由方程ax2+bx+c=0根的情况来判断： ①当>0时，方程有两个不相等的实数根，抛物线与x轴有两个交点； ②当＝0时，方程有两个相等的实数根，抛物线与x轴有一个交点； ③当<0时，方程无实数根，抛物线与x轴没有交点。 特别地，以上说法反之也成立。 3、二次函数y=ax2+bx+c的y>0，y=0，y<0时，图像的特征： ①当y>0时，观察抛物线位于x轴上方的部分； ②当y=0时，观察抛物线与X轴的交点； ③当y<0时，观察抛物线位于X轴下方的部分。
时用待定系数法求二次函数的解析式教案
第2课时用待定系数法求二次函数的解析式 教学目标 【知识与技能】 利用已知点的坐标用待定系数法求二次函数的解析式. 【过程与方法】 通过介绍二次函数的三点式，顶点式，交点式，结合已知的点，灵活地选择恰当的解析式求法. 【情感态度】 经历用待定系数法求解二次函数解析式的过程，发现二次函数三点式、顶点式与交点式之间的区别及各自的优点，培养学生思维的灵活性. 教学重点 待定系数法求二次函数的解析式. 教学难点 选择恰当的解析式求法. 教学目标 一、情境导入，初步认识 问题我们知道，已知一次函数图象上两个点的坐标，可以用待定系数法求出它的解析式，试问：要求出一个二次函数的表达式，需要几个独立的条件呢？ 【教学说明】对于问题，教师应与学生一起交流，明确确定一个一次函数表达式为什么需要两个独立的条件的原因，进而获得确定一个二次函数表达式需要三个独立的条件. 二、思考探究，获取新知 在前面的情境导入中，同学们已经知道确立一个二次函数需要三个条件.事实上，求二次函数y=ax2+bx+c的解析式，关键是求出待定系数a、b、c的值.由已知条件（如二次函数图象上的三个点的坐标）列出关于a、b、c的方程组，并求出a、b、c,就可以写出二次函数表达式. 回顾前面学过的知识，已知学过y=ax2，y=ax2+k,y=a(x-h)2,y=a(x-h)2+k等几种形式的二次函数，所以在利用待定系数法求二次函数解析式时，一般也可分以下几种情况：
（1）顶点在原点，可设为y=ax2; （2）对称轴是y轴（或顶点在y轴上），可设为y=ax2+k; （3）顶点在x轴上，可设为y=a(x-h)2; （4）抛物线过原点，可设为y=ax2+bx; (5)已知顶点（h,k）时，可设顶点式为y=a(x-h)2+k; （6）已知抛物线上三点时，可设三点式为y=ax2+bx+c; （7）已知抛物线与x轴两交点坐标为（x1,0）,(x2,0)时，可设交点式为 y=a(x-x1)(x-x2). 【教学说明】教师在教学时，可由浅入深进行讲解.对每一种情形，可先让学生自主思考探索交流想法后，再共同总结出各情况的设法，学生在思考中加深对知识的理解、记忆与掌握. 三、典例精析，掌握新知 例根据下列条件，分别求出对应的二次函数解析式. （1）已知二次函数y=ax2+bx+c的图象过点（1,0），（-5,0），顶点的纵坐标为92，求这个二次函数的解析式. （2）已知二次函数的图象经过（-1，10），（1，4），（2，7）； （3）已知二次函数的图象的顶点为（-1，3），且经过点（2，5）. 分析： (1)由已知的两点（1,0），（-5,0）的纵坐标知，这两点是关于对称轴对称的两个点，即对称轴为直线x=-2,由此可知顶点坐标为（-2，9/2），可用交点式和顶点式两种方法求解. (2)已知三点坐标，即直接给出了三组对应关系，可通过设三点式用待定系数法求解. （3）由条件初看起来似显不足，因为只给出经过图象上的两点的坐标，但 若注意到顶点坐标实际上存在着两个独立等式，即有 2b a - =-1, 2 4 4 ac b a - =3,因此仍 可求出相应二次函数解析式.这时可利用一般式，代入求值得到结果，也可设这个二次函数解析式为y=a（x-h）2+k，其中h，k可直接由顶点坐标得到，即h=-1，k=3，再把（2，5）代入求出a值，可快速获得该二次函数表达式.
待定系数法求二次函数的解析式—知识讲解(提高)
待定系数法求二次函数的解析式—知识讲解（提高） 【学习目标】 1. 能用待定系数法列方程组求二次函数的解析式； 2. 经历探索由已知条件特点，灵活选择二次函数三种形式的过程，正确求出二次函数的解析式，二次函数三种形式是可以互相转化的． 【要点梳理】 要点一、用待定系数法求二次函数解析式 1.二次函数解析式常见有以下几种形式 ： (1)一般式：2 y ax bx c =++(a ，b ，c 为常数，a ≠0)； (2)顶点式：2 ()y a x h k =-+(a ，h ，k 为常数，a ≠0)； (3)交点式：12()()y a x x x x =--(1x ，2x 为抛物线与x 轴交点的横坐标，a ≠0)． 2.确定二次函数解析式常用待定系数法，用待定系数法求二次函数解析式的步骤如下 第一步，设：先设出二次函数的解析式，如2 y ax bx c =++或2 ()y a x h k =-+， 或12()()y a x x x x =--，其中a ≠0； 第二步，代：根据题中所给条件，代入二次函数的解析式中，得到关于解析式中待定系数的方程(组)； 第三步，解：解此方程或方程组，求待定系数； 第四步，还原：将求出的待定系数还原到解析式中． 要点诠释： 在设函数的解析式时，一定要根据题中所给条件选择合适的形式：①当已知抛物线上的三点坐标时，可设函数的解析式为2 y ax bx c =++；②当已知抛物线的顶点坐标或对称轴或最大值、最小值时．可设函数的解析式为2()y a x h k =-+；③当已知抛物线与x 轴的两个交点(x 1，0)，(x 2，0)时，可设函数的解析式为12()()y a x x x x =--． 【典型例题】 类型一、用待定系数法求二次函数解析式 1. 已知抛物线经过A ，B ，C 三点，当时，其图象如图1所示.求抛物线的 解析式，写出顶点坐标.
用待定系数法求二次函数的解析式
22.1.4.2用待定系数法求二次函数的解析式 回顾：用待定系数法求解析式 已知一次函数经过点（1，3）和（-2，-12），求这个一次函数的解析式。 学习目标： 1、知道二次函数的三种表达式 顶点式： 一般式： 两根式： 2、会用待定系数法求二次函数的表达式. 3、根据已知条件选择恰当的函数表达式。 用待定系数法求二次函数的解析式 例1 已知一个二次函数的图象过点（－1，10）、（1，4）、（2，7）三点，求这个函数的解析式. 分析 已知一般三点，用待定系数法设为一般式求其解析式. 用待定系数法确定二次函数的解析式的基本方法分四步完成一设、二代、三解、四还原。一设：指先设出二次函数的解析式 二代：指根据题中的条件代入二次函数的解析 式，得到关于a、b、c的方程组。 三解：指解此方程或方程组 四还原：指将求出的a、b、c还原回原解析式中 例2 已知抛物线的顶点为（－1，－3），与y轴的交点为（0，－5），求抛物线的解析式。方法一 方法二分析：设抛物线的解析式为顶点式，再根据另一个点（非顶点）坐标求出a的值。例3.已知抛物线与X轴交于A（－1，0），B（1,0）并经过点M（0,1），求抛物线的解析式. 方法一略 方法二 总结：用待定系数法求二次函数的解析式 ?求二次函数y=ax2+bx+c的解析式，关键是求出待定系数a，b，c的值。 1.已知条件给出二次函数图象上三个点的坐标时，常用一般式，列出关于a，b，c的方程组，并求出a，b，c，就可以写出二次函数的解析式。 2.当已知条件给出抛物线的顶点坐标时，常用顶点式： 3.当抛物线与x轴有两个交点或抛物线与x轴两交点的横坐时，选用两根式y=a(x-x1)(x-x2),其中x1，x2是抛物线与x轴两交点的横坐标。 备注：确定二次函数的解析式时，应该根据条件的特点，恰当地选用一种函数表达式，最后要化为一般式 达标测评 1.求经过有三点A（-2，-3），B（1，0），C（2，5）的二次函数的解析式. 2 .已知抛物线的顶点为D(-1，-4)，又经过点C(2，5)，求其解析式。