二次函数-待定系数法

第 10 讲 二次函数·待定系数法

用待定系数法求二次函数的解析式常用三种形式：

1．已知抛物线过三点，选一般式y=ax ²+bx+c ．

2．已知抛物线顶点坐标及另一点，选顶点式y=a （x-h ）²+k

3．已知抛物线与x 轴有两个交点（或已知抛物线与x 轴交点的横坐标），选交点式： 12()()

y a x x x x =-- （其中12,x x 是抛物线与x 轴交点的横坐标）但不论何种形式，最后

都化为一般形式。

重点：求二次函数解析式；与坐标轴、顶点、坐标系的联系

难点：二次函数结合一元二次方程，讨论根与系数的关系

一、一般式 2()y ax bx c a =++≠0

已知二次函数图象过某三点（一般有一点在y 轴上）,通常选用一般式，将三点坐标代入即

可解出a ，b ，c 的值，从而求出该函数表达式。

【典型例题1】：已知一个二次函数的图象过点（－1,10）、（1,4）、（2,7）三点，求这个函数

的解析式？

解：设所求的二次函数为 y=ax ²+bx+c

由条件得：

解方程得： a=2, b=-3, c=5

因此所求二次函数是：y=2x ²-3x+5

二、顶点式 y=a(x-h)²+k

若已知二次函数图象顶点坐标（-h ，k ），通常选用顶点式，另一条件代入即可解出a 值，从

而求出该函数表达式。

【典型例题2】：已知抛物线的顶点为（－1，－3），与y 轴交点为（0，－5）求抛物线的解

析式？

解：设所求的二次函数为 y=a(x ＋1)²-3

由条件得：点( 0,-5 )在抛物线上

a-3=-5,得a=-2

故所求的抛物线解析式为：y=-2(x ＋1)²-3 No. 10 Date Time Name

即：y=-2x ²-4x-5

三、交点式12()()y a x x x x =--

已知二次函数图象与x 轴有两个交点，坐标分别为 12(,0),(,0)x x 通常选用交点式，再

根据其他即可解出a 值从而求出该函数表达式。

【典型例题3】、已知抛物线与x 轴交于A （－1，0），B （1,0）

并经过点M （0,1），求抛物线的解析式？ 解：设所求的二次函数为y=a(x ＋1)(x －1）

因为M （0,1）在抛物线上， 所以：a(0+1)(0-1)=1 得 ： a=-1

故所求的抛物线为 y=- (x ＋1)(x-1) 即：y=-x ²+1

思考： 用一般式怎么解？

例题1 已知抛物线过点（1，0）（3，-2）（5，0），求该抛物线所对应函数的表达式。

例题2 抛物线对称轴为直线x=-1，最高点的纵坐标为4，且与x 轴两交点之间的距离是6，

求次二次函数的解析式。

1. 抛物线y=ax ²+bx+c(a ≠0)的顶点为(2，4)，且过点(1，2)，求该抛物线的表达式．

2.已知抛物线与x 轴相交于点（-1,0），对称轴是直线x=2，顶点到x 轴的距离是12，求该抛物线所对应二

次函数的解析式。

y

o x

1.已知抛物线与x轴的两交点为（－1，0）和（3，0），且过点（2，－3）．求抛物线的解析式．

2.抛物线与x轴的两个交点横坐标为-3和1，且过点（0，-2/3），求此抛物线的解析式。

3.抛物线的顶点为（-1，-8），x轴与它的两个交点之间的距离为4，求此抛物线的解析式。

1.已知二次函数图象与x轴两交点A，B分别为（1，0），（-5,0）抛物线顶点为C，若△ABC 的面积为12，求该二次函数的表达式。

1.二次函数y=ax²+bx+c，x=6时，y=0;x=4时，y有最大值为8，求此函数的解析式。

2.若二次函数y=ax²+bx+c(a≠0)的最大值是2，图象经过点（-2,4）且顶点在直线y=-2x上，试求ab+c的值1、

2、

3、

年月日

1、抛物线y=ax²+bx+c过(－3，0)，(1，0)两点,与y轴的交点为(0，4)，求抛物线的解析式

2、抛物线y=ax²+bx+c的顶点为(2，4)，且过(1，2)点，求抛物线的解析式．

3、一条抛物线y=x²+bx+c经过点(-6,4),(0,4)与.求这条抛物线的解析式.

4.如图，抛物线与轴交于点，点，与轴交于点，点是该抛物线的顶点，连接，．

直接写出点、的坐标；

求的面积；

点是抛物线上的一动点，若的面积是面积的，求点的坐标．