数学分析第五章 导数和微分

lim y lim sin(x) lim sin x 1
x x 0
x 0
x
x0 x
故 lim y 不存在， 即f在x 0不可导。
x0 x
三 单侧导数的概念
1) 右导数
定义2:设函数y f (x) 在点x0 的某邻域[x0 , x0 ) 上
有定义, 若右极限
lim y lim f(x0 x) f(x0 )
数学分析第五章 导数和微分
一 导数的定义及几何意义
问题的提出:
在中学里我们学习过，物体作匀速直线运动，其速度等 于位移除以时间。而物体的运动往往不可能总是匀速的， 通常人们所说的物体运动速度是指物体在一段时间内的 平均速度。平均速度不能反映物体的瞬时速度。如果我 们已知物体的运动规律，如何计算它的瞬时速度?
定理4.1 若f在点x0可导， 则f在点x0连续。
分析 : y f '(x0 )x o(x) 0(x 0)
注 : f在点x0可导不一定 f在点x0连续。
例5 证明函数 f (x) x2D(x)仅在点x0 0 处可导, 其中D(x) 为狄利克雷函数.
证 当 x0 0时,由归归结原理可得f (x) 在点x0 0 处不连续, 所以f (x) 在点 x x0处不可导.
例3 求函数 f (x) x2在点x 1处的导数,并求曲线在 点(1 , 1) 处的切线方程.
解: 由定义求得
f '(1) lim f(1 x) f(1) lim (1 x)2 1
x 0
x
x x0
x
lim 2x x2 lim (2 x) 2
x0 x
x 0
由此知道抛物线 y x2在点(1 , 1)处的切线斜率为
k f (1) 2
所以切线方程为
y 1 2(x 1) 即
y 2x 1.
例4 求曲线y x3 在点P(x0 , y0 ) 处的切线方程与
法线线方程. 解 由于
y x
3x02
3x0x
x2 ,
f x0 xlim0(3x02 3x0x x2 ) 3x02.
所以,曲线y x3 在点P的切线方程为
y y0 f x0 x x0
法线方程为:
1 y y0 f (x0 ) (x x0 )
注: 若函数f (x)在x0不可导, 则曲线y f (x)在点(x0, f (x0 ))
可能存在切线.因为函数f (x)在x0不可导, 它的导数可能 是无穷大, 即曲线y f (x)在点(x0, f (x0 ))可能存在与x轴 垂直的切线.
1 两个例子
1). 瞬时速度
设一质点作直线运动，其运动规律为s s(t). 若t0为某一确定的时刻，求其在该时刻的速度. 设t为邻近于t0的时刻，则
v s(t) s(t0 ) t t0
是质点在时间段 [t0, t（] 或[t, t0 ]）上的平均速度.
则物体在时刻 t 0 的瞬时速度定义为
y y0 3x02 (x x0 )
曲线y x3 在点P的法线方程为
y
x03
1 3x02
(x
x0 )
二 可导与连续的关系
若f (x)在x0可导， 则
f
' (x0 )
lim
x 0
y x
y x
f
' (x0 )
是x 0时的无穷小， 于是
y f ' (x0 )x o(x)
称为f在x0有限增量公式(此外x 0仍成立)。
v(t0 )
lim v
t 0
lim
t 0
s t
lim s(t0 t) s(t0 )
t 0
t
速度反映了路程对时间变化的快慢程度
2). 切线的斜率
曲线 y f (x) 在其上一点 P(x0, y0 )
曲线y f (x)在其上一点P(x0, y0 )处的切线PT是割线PQ当动点 Q沿曲线无限接近与点P时的位置.因为割线PQ的斜率为
存在, 则称函数f在点x0处可导, 并称该极限为函数f在点x0
处的导数,记作f (x0 ).
即
f
(x0
)
lim
x0
y x
lim f(x0 x) f(x0 )
(1)
x0
x
lim f(x) f(x0 ) xx0 x x 0
若上 式极极限不存在，则 f在点 x 0处不可导.
3 求函数在某点的导数值
x0 x x0
x
lim f(x) f(x0 )
xx
0
Hale Waihona Puke Baidu
x -x0
当x0 0时,由于D(x)为有界函数, 因此得到
f (0) lim f (x) f (0) lim xD(x) 0.
x0 x 0
x0
例6 函数f (x) sin x 在x 0连续,讨论其在x 0可导性.
解
:由于
y x
f (0 x) x
f (0)
sin x x
lim y lim sin x 1 x0 x x0 x
例2
证明函数f
(
x)
x
sin
1 x
证 因为 0
x 0, 在点x0 0 处不可导. x 0.
f (x) f (0) x0
x sin x
1 x
sin
1, x
当 x 0时极限不存在 , 所以f
在点x 0
0 处不可导.
注:
利用导数的定义可证, 常量函数在任何点的导数为零,
即 C 0.
3 导数的几何意义 f (x0 )等于曲线 y f x在点x0, y0 处切线的斜率, 所以曲线y f x在点x0, y0 处切线方程为：
(1) 给x0改变量x， 计算函数值f (x0 x),
(2) 计算y f (x0 x) f (x0 ),
(3)
作商
y x
,
(4) 求极限 lim y . x0 x
例1求函数 f (x) x3在点x 1处的导数.
解 (1) f (1 x) (1 x)3 1 3x 3x2 x3 (2)y f (1 x) f (1) (1 x)3 1 3x 3x2 x3 (3) y 3 3x x2 x (4) f '(1) lim y lim (3 3x x2 ) 3 x0 x x0
k f (x) f (x0 ) , x x0
y
所以当x x0时如果k的极限存在 , 则极限
Q T
k lim f (x) f (x0 )
x x0
x x0
P
O
x
即为曲线在点 P的切线的斜率.
2 导数的定义
定义1: 设函数y f(x) 在点 x 0的某邻某邻域内有定义 ,极限
lim f (x) f (x0 ) xx0 x x0