第5章 逆向建模曲线构建技术

一般地，精确的降阶是不可能的，降阶仅能被看做 一条曲线被较低次的曲线逼近的方法。
求解问题： 给定一条由原控制顶点b0，b1，…，bn定义的n次
Bezier曲线，怎样找到一条由新控制顶点b*0， b*1，…，b*n-1定义的n-1次Bezier曲线来逼近它?
采用两个递推公式来计算b*j
这两个递推公式在数值上都是趋向不稳定的外插公 式。其中第一个递推公式在靠近b0处趋向生成较好的逼 近，而第二个递推公式在靠近bn处生成较好的逼近。综 合利用这两个趋势得：
9为什么要升阶
在某些情况下，有可能无论怎样调整顶点都达不到理想的 曲线形状。主要是由于曲线的“刚性”有余，“柔性”不足。升阶可 以降低其“刚性”，增加其“柔性”。通过增加控制顶点实现。
升阶虽增加了Bezier曲线的控制顶点，因曲线形状及定向 保持不变，所以曲线的真实次数不变。但一旦移动生成了新控 制顶点，曲线的形状也就发生了变化，曲线的真实次数也升高 至由顶点数决定的次数。
最常用的方法是最小二乘逼近法(1east square approximation)，即构造一个方程，使逼近曲线P(u)上具 有参数值uk的点P(uk)与数据点Pk间的距离的平方和最 小。即找到满足使下式最小的P(u)。
其中：
欲使J最小，应使其偏导数为零。
由上式推出告示正交方程组 若考虑各个数据点具有不同的重要性和可靠性，引入权 因子后目标函数为
在方案二里，从一个等于数据点数目的控制顶点，生成一 次B样条曲线即插值曲线，进入循环：在最大误差界E内消去 节点，升阶一次后，用其次数、节点矢量对数据点进行最小二 乘拟合得到新控制顶点，将所有数据点投影到当前曲线上，得 到并修正它们到当前曲线的距离，到指定次数为止。
5.4 样条曲线的升阶与降阶
1、Bezier曲线的升阶
9实现方法
增加一个顶点后，仍定义同一条曲线的n+2个新控制顶点，记
为：
。其值可按下式决定：
新控制多边形是在原控制多边形的凸包内，新控制多边形 比原控制多边形更靠近曲线
应用升阶方法，可以把所有曲线中低于最高次数者都提升到最 高次数，而获得统一的次数。
2、Bezier曲线的降阶
降阶是升阶的逆过程。其问题是：一条n次Bezier 曲线能否表示成n-1次?如果，n次Bezier的名义次数n高 于它的真实次数，那么它可以被精确降阶到真实次数。
可以唯一确定一条插值曲线
采用参数多项式进行：
不能唯一确定，可得到无数条曲线
根据不同的参数 u的对应情况
想一种方法唯一地确定一条插值曲线？
先给数据点Pi赋予相应的参数值，使其形成一个严格递增的序列 △u：u0< u1 <…< un ， ห้องสมุดไป่ตู้n称为关于参数的一个分割(partition)。其 中每个参数值称为节点(knot)或断点(breakpoint)，它决定了位于
插值曲线上的数据点与其参数域u∈[u0 ，…， un]内的点之间的 一种对应关系。对一组有序数据点决定一个参数分割，称之为对
这组数据点实行参数化(parameterization)。
9均匀参数化法（等距参数化法）
使每个节点区间长度(用向前差分表示)△i=ui+1一ui为正常 数，u=0，1…，n-1，即节点在参数轴上呈等距分布。
B样条插值曲线将由n+1个控制顶点di(i=0，1， …，n）与节点矢量U=[u0，u1，…，un+k+1]来定义。 根据端点插值情况可知：
接着对数据点采用积累弦长参数化法对其进行参数 化得：
所以可确定定义域内的节点值为： 由插值条件给出以n+1个控制点为未知矢量的m+1线性 方程组成的线性方程组：
两种方案的中心问题是怎样给定控制顶点的数目， 以便拟合一条对给定数据点的逼近曲线。
9最小二乘曲线逼近
设给定m+1个数据点q0，q1，…，qm（m>n-k-1），逼近曲线次 数k≥1，试图寻找一条k次B样条曲线：
该曲线满足的条件是：
（j=1，…n-1）的一个最小值
是关于n-1个控制顶点dj
其中
是数据点的参数值，可由规范积累弦
长参数化决定。
根据端点插值与曲线定义域要求，采用定义域两端节点为k+1 的重节点端点条件，即固定支撑条件，于是有：
令： α = j m +1 − int( j m +1 )
n−k +1
n−k +1
设：
将以上各式代入f，得：
欲使目标函数f最小，应使它关于n-1个控制顶点dj(j=0，1，…， n-1)的导数等于0。它的第l个导数为：
k次B样条曲线能否降阶为k-1次B样条曲线?
如果次数k既是曲线的名义次数又是它的真实次数，则该k 次B样条曲线就不能精确降阶。
如果名义次数k高于曲线的真实次数，则可以精确降阶。 逐段转换成幂基表示形式，便可逐段判断可否精确降阶， 在此基础上再判定整条曲线能否降阶及在能降阶情况下确定能 降到的统一次数即真实次数。
3、B样条曲线的升阶与降阶
B样条曲线的升阶与Bezier曲线一样，可以增加曲 线的柔性，或者说可以提高其形状控制潜在的灵活性。 通过升阶，增加了控制顶点数，也就增加了自由度。
采用升阶方法，则不论怎样移动升阶后生成的新控 制顶点，样条曲线的参数连续性将保持不变。
B样条曲线的节点消去与降阶分别是节点插入与升 阶的逆过程。这里所指精确的含义就是在节点消去或降 阶后，B样条曲线的形状保持不变。
第5章 逆向建模曲线构建技术
5.1 曲线拟合概念 5.2 参数曲线、曲面插值与逼近 5.3 B样条曲线插值与逼近 5.4 样条曲线的升阶与降阶
5.0 本章学习目的
1、了解曲线拟合的概念 2、了解B样条曲线插值与逼近 3、了解曲线升阶及降阶的概念
5.1 曲线拟合概念
构造一条曲线顺序通过这些数据点，称为对这些数 据点进行插值，所构造的曲线称为插值曲线，所采用的 数学方法称为曲线插值法。
对多项式插值，当需要满足的插值条件较多时， 一般将导致曲线的次数较高，曲线出现过多的扭摆的可 能性较大。解决的办法是将一段段低次曲线在满足一定 连续条件下逐段拼接起来。
这样以分段(piecewise)方式定义的曲线称为组合或 复合(composite)曲线，相应方式定义的曲面就是组合曲 面。事实上，大多数形状表示与设计都是用三次参数化 来实现的。由于美国波音公司的弗格森(Ferguson)首先 引入参数i次方程，因此将参数三次曲线、曲面又称为 弗格森曲线及弗格森样条曲面。曲线用幂基表示为
3、多项式插值曲线
当构造多项式插值曲线时，必须使曲线方程待定系 数的矢量个数等于数据点的数目。
对数据点实行参数化后，插值曲线方程为：
也即：
构造插值曲线时，必须解一个线性方程组。当n很 大时，系数矩阵会呈病态。
除幂基外，其他常用的多项式基还有拉格朗日 (Lagrange)基，相应的插值方法为拉格朗日插值法，其 广义形式包括牛顿(Newton)均差形式和埃尔米特 (Hermite)插值。
9几个基本概念
设给定控制顶点
，定义一条n次Bezier曲线
式中，
名义次数：Bezier在伯恩斯坦基表示中的伯恩斯坦基函数的最高 次数，它也等于最后那个控制顶点的下标值。 真实次数：将Bezier曲线的伯恩斯坦基表示转换成幂基表示，则 按幂次升序排列，加权于最后那个非零系数矢量的那个具有最 高次数的单项式函数的次数。 名义次数可能等于或高于真实次数。 Bezier曲线的升阶问题：保持Bezier曲线的形状与定向不变，增 加定义它的控制顶点数，也即增加它的名义次数，怎样从老控 制顶点求出新控制顶点的问题。
在实际构造B样条插值曲线时，对次数k，广泛采用 C2连续的三次B样条曲线作为插值曲线。
3、B样条曲线逼近
以B样条曲线作为逼近曲线，可以解决参数曲线和 Bezier曲线仅靠提高次数来满足逼近精度的要求的问 题。曲线误差界E与要被拟合的数据点一起给出，通常 预先不知道需要多少控制顶点才能达到所要的这个逼近 精度，因此，逼近一般是一个迭代的过程。
创建曲线不需要其他元素作为基础，可通过 Imageware本身具有的功能直接新建曲线，如折线、B 样条曲线和NuRBS曲线等三维样条线，以及直线、 圆、圆弧、长方体、椭圆等基本二维曲线。
用B样条曲线对数据点整体逼近可按下列两种方案 之一进行：
方案一：
①由最少的或一个小数目的控制顶点开始： ②用整体拟合方法对数据点拟合一条逼近曲线；
③检查逼近曲线对数据点的偏差； ④如果偏差处处小于给定误差界￡，返回；否则增加控制顶点的 数日，转到步骤②。
方案二：
①由最大的或一个大数目的控制顶点开始，误差为e； ②用整体拟合方法对数据点拟合一条逼近曲线； ③检查逼近曲线对数据点的偏差； ④如果不满足且步骤③未执行则转到步骤①，如③已执行过，返 回上次结果；否则减少控制顶点的数目，转到步骤②。
构造一条曲线使之在某种意义下最接近给定的数据 点，称之为对这些数据点进行逼近，所构造的曲线称为 逼近曲线，所采用的数学方法称为曲线逼近法。
构造曲线的这些点既可以是从实物测量得到的，也 可以是设计员给出的。
5.2 参数曲线、曲面插值与逼近
1、参数多项式
幂(又称单项式，monomial)基uj (j=0,1…，n)是最简 单的多项式基，相应的参数多项式曲线方程为：
4、最小二乘逼近
当给定m个点时，若其逼近曲线为n（n<m）次多项 式曲线；
其中：
为n次多项式空间的一
组基，Pk已参数化。
若用插值方法处理，由于矢量方程个数m+l超出了
未知矢量个数，方程组是超定的，一般情况下，解是不
存在的。这时只能寻求在某种意义下最接近这些数据点
的参数多项式曲线P(u)作为逼近曲线。
ui=i, i=0，1…，n