九年级数学上册专题突破讲练相似中的“射影定理”试题新版青岛版
青岛版九年级上册数学第1章 图形的相似 含答案
青岛版九年级上册数学第1章图形的相似含答案一、单选题(共15题，共计45分)1、下列语句正确是( )A.在△ABC和△A′B′C′中,∠B=∠B′=90°,∠A=30°,∠C′=60°,则△ABC 和△A′B′C′不相似;B.在△ABC和△A′B′C′中,AB=5,BC=7,AC=8,A′C′=16,B′C′=14,A′B ′=10,则△ABC∽△A′B′C′; C.两个全等三角形不一定相似; D.所有的菱形都相似2、将一个三角形改成与它相似的三角形，如果面积扩大为原来的9倍，那么周长扩大为原来的（）A.9倍B.3倍C.81倍D.18倍3、如图，已知△ABC在平面直角坐标系中，点A的坐标为（0，3），若以点B 为位似中心，在平面直角坐标系内画出△A′BC′，使得△A′BC′与△ABC位似，且相似比为2：1，则点C′的坐标为（）A.（0，0）B.（0，1）C.（1，﹣1）D.（1，0）4、下列判断中，正确的是（）A.相似图形一定是位似图形B.位似图形一定是相似图形C.全等的图形一定是位似图形D.位似图形一定是全等图形5、如图，在△ABC中，AC＝BC，E是内心，AE的延长线交△ABC的外接圆于点D，以下四个结论：①BE＝AE；②CE⊥AB；③△DEB是等腰三角形；④.其中正确的个数是( )A.1个B.2个C.3个D.4个6、如图，在△ABC中，∠ABC=90°，DE垂直平分AC，垂足为O，AD∥BC，且AB=3，BC=4，则AD的长为（）A. B. C. D.7、下列说法正确的是（）A.菱形都相似B.正六边形都相似C.矩形都相似D.一个内角为80°的等腰三角形都相似8、如图，在正方形ABCD中，点E，F，G分别是AB，BC，CD上的点，EB=3,GC=4，∠FEG=60°．∠EGF=45°，则BC的长为（）A. B. C.4+ D.3+49、如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，且BD＝2AD，CE＝2AE，则下列结论中不成立的是（）A.△ABC∽△ADEB.DE∥BCC.DE：BC＝1：2D.S△ABC ＝9S△ADE10、如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点G，点F是CD上一点，且满足，连接AF并延长交⊙O于点E，连接AD，DE，若CF=2，AF=3．给出下列结论：①△ADF∽△AED；②FG=2；③tan∠E= ；④S△DEF=4 ，其中正确的是（）A.①②③B.①②④C.②③④D.①②③④11、如果△ABC∽△DEF，且相似比为2：3，则它们对应边上的高之比为（）A.2：3B.4：9C.3：5D.9：412、如图，A，B，C是直角坐标系中的三个点，现以坐标原点O为位似中心，作与△ABC的位似比为的位似图形△A'B'C'.若点A的坐标为（-1，1），则点 A'的坐标为（）A.（，）B.（，）或（，- ）C.（，-） D.（，）或（ - ，- ）13、已知两点A（7，4），B（5，2），先将线段AB向左平移一个单位，再以原点O为位似中心，在第一象限内将其缩小为原来的得到线段CD，则点A的对应点C的坐标为（）A.（2，3）B.（3，2）C.（2，1）D.（3，3）14、如图，在中，，将绕点C按逆时针方向旋转得到，使，分别延长，相交于点D，则线段的长为（）A.6B.8C.9D.15、如图，F为正方形ABCD的边CD上一动点，AB=2,连接BF,过A作AH⊥BF 交BC于H，交BF于G，连接CG，当CG为最小值时，CH的长为（）A. B. C. D.二、填空题(共10题，共计30分)16、如图，在边长为10cm的正方形ABCD中，P为AB边上任意一点（P不与A、B两点重合），连结DP，过点P作PE⊥DP，垂足为P，交BC于点E，则BE 的最大长度为________cm．17、如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝2AC，D，E，F分别为BC，AC，AB 边上的点，BF＝3AF，∠DFE＝90°，若△BDF与△FEA的面积比为3：2，则△CDE与△DEF的面积比为________．18、如图，在已建立直角坐标系的4×4的正方形方格纸中，△ABC是格点三角形（三角形的三个顶点都是小正方形的顶点），若以格点P，A，B为顶点的三角形与△ABC相似（C点除外），则格点P的坐标是________．19、为了测量一根电线杆的高度，取一根2米长的竹竿竖直放在阳光下，2米长的竹竿的影长为1米，并且在同一时刻测得电线杆的影长为7.3米，则电线杆的高为__________米.20、如图，△ABC∽△ADE，∠BAC=∠DAE=90°，AB=6，AC=8，F为DE中点，若点D在直线BC上运动，连接CF，则在点D运动过程中，线段CF的最小值是________．21、如图，△OAB与△OCD是以点O为位似中心的位似图形，相似比为3：4，∠OCD=90°，∠AOB=60°，若点B的坐标是（6，0），则点C的坐标是________．22、如图，在△ABC中，点D，E，F分别在边AB，AC，BC上，DE∥BC，DF∥AC，,△BDF的面积为9，则四边形DFCE的面积为________．23、如图，正方形ABCD中点E为AD的中点，连接CE，将△CDE绕点C逆时针旋转得△CGF，点G在CE上，作DM⊥CE于点M，连接BM交CF于N，已知四边形GFNM面积为27，则正方形ABCD的边长为________．24、已知△ABC∽△DEF，若△ABC与△DEF的相似比为2：3，则△ABC与△DEF 对应边上中线的比为________．25、如图，在矩形ABCD内放入四个小正方形和两个小长方形后成中心对称图形，其中顶点E，F分别在边AD，BC上，小长方形的长与宽的比值为4，则的值为________．三、解答题(共5题，共计25分)26、已知：如图，△ABC∽△ACD，CD平分∠ACB，AD ＝2，BD ＝3，求AC、DC 的长．27、已知，如图，在四边形ABCD中，∠ADB=∠ACB，延长AD、BC相交于点E．求证：（1）△ACE∽△BDE；（2）BE•DC=AB•DE．28、如图所示，在矩形ABCD中，AB=10cm，AD=20cm，两只小虫P和Q同时分别从A，B出发沿AB，BC向终点B，C方向前进，小虫P每秒走1cm，小虫Q每秒走2cm，请问它们同时出发多少秒时，以P、B、Q为顶点的三角形与以A、C、D 为顶点的三角形相似？29、如图，△ABC中，D为AB上一点．已知△ADC与△DBC的面积比为1：3，且AD=3，AC=6，请求出BD的长度，并完整说明为何∠ACD=∠B的理由．30、如图，∠1=∠2=∠3,试找出图中两对相似三角形，并说明为什么?参考答案一、单选题(共15题，共计45分)1、B2、B3、D4、B5、D6、B7、B8、A9、C10、B11、A12、B13、B14、C15、C二、填空题(共10题，共计30分)16、17、18、19、20、21、22、23、24、25、三、解答题(共5题，共计25分)29、。
青岛版九年级数学上册专题突破练习(共28套含答案)
青岛版九年级数学上册专题突破练习（共28套含答案）圆中辅助线添加技巧 1. 辅助线方法：连半径、作垂直、构造直角三角形。
说明：此方法多用于求半径或弦长，利用勾股定理求长度。
方法依据：（垂径定理）垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧。
2. 辅助线方法：连中点说明：在圆中如果出现弦的中点或弧的中点，连接圆心和中点的线段。
方法依据：（垂径定理推论）①平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。
②平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。
3 . 与切线有关的辅助线作法：（1）点已知，连半径，证垂直说明：当直线和圆有一个公共点时，把圆心和这个公共点连接起来,则得到半径，然后证明直线垂直于这条半径。
（2）点未知，作垂直，证半径说明：当直线和圆的公共点没有明确时，过圆心作直线的垂线，再证圆心到直线的距离（d）等于半径(r)。
（3）见切线，连半径，得垂直说明：有圆的切线时，常常连接圆心和切点得切线垂直半径。
方法依据：切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径。
例题1 ⊙O的弦AB、CD相交于点P，且AC=BD。
求证：PO平分∠APD。
解析：由等弦AC=BD可得出弧AC等于弧BD，进一步得出弧AB等于弧CD，从而可证等弦AB=CD，由同圆中等弦上的弦心距相等且分别垂直于它们所对应的弦，因此可作辅助线OE⊥AB，OF⊥CD，易证△OPE≌△OPF，得出PO平分∠A PD。
答案：证明：作OE⊥AB于E，OF⊥CD于F ∵AC=BD ∴ ∴ ∴AB=CD ∴ ∴∠OPE=∠OPF ∴ PO平分∠APD. 点拨：在解决与弦、弧有关的问题时，常常需要作出弦心距、半径等辅助线，以便应用于垂径定理和勾股定理解决问题。
例题2（鞍山一模）如图，在等腰三角形ABC中，AB=AC，以AC为直径作圆O，与BC交于点E，过点E作ED⊥AB，垂足为点D 。
求证：DE为⊙O的切线。
解析：连接OE，根据等边对等角，由AB=AC得到∠B=∠C，再由半径OC与OE相等得到∠C=∠CEO，利用等量代换得到∠B=∠CEO，由同位角相等两直线平行，得到AB与EO平行，再根据两直线平行内错角相等，由角BDE为直角得到角DEO为直角，又OE为圆O的半径，根据切线的判断方法得到DE为⊙O的切线。
九年级数学上册 专题突破讲练 巧添辅助线证相似三角形试题 (新版)青岛版-(新版)青岛版初中九年级上
巧添辅助线证相似三角形一、添加平行线构造“A ”、“8”型1.定理：平行于三角形一边的直线和其它两边（或两边延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似。
（1）定理的基本图形：（2）燕尾图形辅助线的添加方法G FEDCBAGFEDCBA G E DC B ADEFCBA注意：（1）选择构造平行线的点的原则为不破坏已知条件中的数量关系； （2）一般会出现两组三角形相似，注意相似三角形的对应边； （3）通过线段比例之间的等量代换求解。
2. 方法归纳：（1）遇燕尾，作平行，构造“A ”字“8”字一般行。
（2）引平行线应注意以下几点：①选点：一般选已知（或求证）中线段的比的前项或后项，以同一直线的线段的端点作为引平行线的点。
②引平行线时，不破坏已知条件中的数量关系，尽量使较多已知线段、求证线段成比例。
二、作垂线构造相似直角三角形 1.基本图形2. 所用知识点（1）等量代换——等角的余角相等。
（2）相似三角形对应高线的比等于相似比。
注意：（1）相似三角形中对应边要找准。
（2）利用高线解决问题，一般会用到设未知数，列方程的思想。
例题平行四边形ABCD 中，CE ⊥AE ，CF ⊥AF ，求证：2··AB AE AD AF AC =＋。
解析：作BM ⊥AC 于点M ，可证△ABM ∽△ACE ，则AB •AE ＝AM •AC ，易得△BCM ∽△CAF ，则BC •AF ＝CM •AC ，故得出结论。
答案：作BM ⊥AC 于点M ，则∠AMB ＝∠AEC ＝90°，∵∠BAM ＝∠CAE ，∴△ABM ∽△ACE ， ∴AB •AE ＝AM •AC ，∵∠BCM ＝∠CAF ，易得△BCM ∽△CAF ， ∴BC •AF ＝CM •AC ，∴()2••••AB AE BC AF AM AC CM AC AC AM CM AC +=+=+=。
∵AD ＝BC ，∴2··AB AE AD AF AC =＋。
九年级数学 图形的相似 提高专项训练(“A”字和“8”字模型、射影定理、 三垂直模型、三平行模型)
九年级数学 图形的相似 提高专项训练（“A”字和“8”字模型、射影定理、 三垂直模型、三平行模型）1、如图，在中，E 是边BC 上的点，AE 交BD 于点F ，如果，，ABCD Y BE BC 4=7BD =8则___________．BF =2、如图，中，，，，延长、的角平分线BD 、△ABC 7AB =6BC =8AC =ABC ∠ACB ∠CE 分别交过点A 且平行于BC 的直线于N 、M ，BD 与CE 相交于点G ，则与△BCG 的面积之比是______．△MNG3、已知菱形的边长是6，点在直线上，，连接与对角线AC 相交ABCD E AD DE =3BE 于点，则的值是 ．M MC AM4、如图，，，，，则________．C E ∠=∠=90︒AC =3BC =4AE =2AD =5、如图，点D 、E 分别在AB 、AC 上，且，若，，ABC AED ∠=∠DE =4AE =5BC =8，则AB 的长为________．6、如图，，若，，，则AC 的长为________．ABC ACD ∠=∠DC =6BC =8BD =47、如图，AB //CD ，，E 为BC 上一点，且．若，，90B ∠=︒AE ED ⊥3AB =4BE =，则DE 的长为____________．8DC =8、如图，在正方形ABCD 中，E 为AB 边的中点，G 、F 分别为AD 、BC 边上的点，若，，，则点E 到GF 的距离为____________．1AG =2BF =90GEF ∠=︒9、如图，已知□ABCD 中，过点B 的直线顺次与AC 、AD 及CD 的延长线相交于点E 、F 、G ，若，，则FG 的长为____________．BE =5EF =210、如图，已知在□ABCD 中，M 、N 为AB 的三等分点，DM 、DN 分别交AC 于P 、Q 两点，则AP:PQ:QC =____________．11、如图，矩形ABCD 中，由8个面积均为1的小正方形组成的L 型模板如图放置，则矩形ABCD 的周长为____________．12、如图，在直角坐标系中，矩形ABCO 的边OA 在x 轴上，边OC 在y 轴上，点B 的坐标为，将矩形沿对角线AC 翻折，使得B 点落在D 点的位置，且AD 交y 轴于点E ，(1,3)则D 点坐标为___________．13、如图，在四边形ABCD 中，，，，，P 为线段4AB =10BC =6CD =60B C ∠=∠=︒OC 上一动点，当时，则___________．60APD ∠=︒=BP14、如图，设P 是等边的边BC 上一点，且，连接AP ，作AP 的垂直平ABC △2CP BP =分线交AB 、AC 于M 、N ．则的值为___________．:AM AN15、如图，中，正方形EFGH 的两个顶点E 、F 在BC 上，另两个顶点G 、H 分别△ABC 在AC 、AB 上，，BC 边上的高，求．BC =15AD =10正方形EFGH S16、如图所示，中，AD 是BC 边上的中线，F 是AD 边上一点，射线CF 交AB 于ABC △E 点，且，则等于___________．AE EB 1=4AF FD17、如图，点D 、E 分别在边BC 、AC 上，连接线段AD 、BE 交于点F ，若ABC △，，则___________．:1:3AE EC =:2:3BD DC =:EF FB =18、如图，在中，，E 、F 分别是AB 、AC 的中点，动点P 在射线EF 上，ABC △BC =6BP 交CE 于点D ，的平分线交CE 于Q ，当时，CBP ∠CQ CE 1=3EP BP +=___________．QD P F EC BA B AD C EF B A D C E F 第16题图 第17题图 第18题图19、如图，已知在平行四边形ABCD 中，E 、F 分别为边AB 、AD 上的点，EF 与对角线AC 交于点P ．若，F 是AD 的中点，则的值是__________．AE BE 1=2AP PC20、如图，在中，D 为边BC 上一点，已知，E 为AD 的中点，延长BE 交ABC △DC BC 3=7AC 于F ，则的值是__________．AF FC A D CE B FP B C AE F 第19题图第20题图21、如图，已知中，四边形DEGF 为正方形，D ，E 在线段AC ，BC 上，F ，G 在△ABC AB 上，如果，，求的面积．ADF CDE S S ∆∆==1BEG S ∆=3△ABC22、已知如图，在中，，AD 是垂线，P 为AD 上一点，过C 做CF//AB ，ABC △AB AC =延长BP 交AC 于E ，交CF 于F ．求证：．2BP PE PF =⋅B AFEPD C23、如图，在四边形ABCD 中，．过C 点做对角线BD 的垂线，分别BAD BCD ∠=∠=90︒交BD ，AD 于点E 、F ，连接AC ，求证：．DCF DAC △∽△24、如图，已知AD 、CF 是的两条高，与E ，交CB 延长线于G ，交AD ABC △EF AC ⊥于H ，求证：．EF EH EG 2=⋅B F ADEC25、如图，在中，于D ，于E ，于F ．求证：ABC △CD AB ⊥DE AC ⊥DF BC ⊥．CEF CBA △∽△26、在中，AD 是斜边BC 上的高，于E ，于F ，求证：Rt ABC △DE AC ⊥DF AB ⊥．AB FB FD AC EC ED44⋅=⋅27、如图，是等边三角形，点D ，E 分别在BC ，AC 上，且，AD 与BE ABC △BD CE =相交于点F ．求证：①；②；③．BD AD DF 2=⋅AF AD AE AC ⋅=⋅BF BE BD BC ⋅=⋅28、如图，四边形ABCD 是菱形，交BD 于E ，交BC 于F ．求证：AF AD ⊥．AD DE DB 21=⋅2 A B DEF C29、4、如图，中，D 为BC 边的中点，延长AD 至E ，延长AB 交CE 的延长线于ABC △P ．若，求证：．AD DE =23AP AB =P ABDE C30、如图，中，D 、E 是BC 边上的点，，M 在AC 边上，ABC △::3:2:1BD DE EC =，BM 交AD 、AE 于H 、G ，求．:1:2CM MA =::BH HG GM AB H GMD E C31、如图，已知中，，，，四边形DEGF 为正方形，其中ABC △AC =3BC =4C ∠=90︒D 、E 在边AC 、BC 上，F 、G 在AB 上，求正方形的边长．G F ED CB A32、如图，在中，AD 的垂直平分线交AD 于E ，交BC 的延长线于F ，ABC △，求证：AD 平分．FD FB FC 2=⋅BAC ∠AB E33、如图，中，、的角平分线相交于点O ，过O 引AO 的垂线，与边ABC △ABC ∠ACB ∠AB ，AC 分别相交于D 、E ．求证：．2OD BD CE =⋅O EDCAB。
图形的位似 培优提升专题突破训练 2021-2022学年青岛版九年级数学上册
2021-2022学年青岛版九年级数学上册《1.4图形的位似》培优提升专题突破训练（附答案）一．选择题（共10小题）1．在平面直角坐标系中，已知点E（﹣4，2），F（﹣2，﹣2），以原点O为位似中心，相似比为2：1，把△EFO缩小，则点E的对应点E′的坐标是（）A．（﹣2，1）B．（﹣8，4）C．（﹣2，1）或（2，﹣1）D．（﹣8，4）或（8，﹣4）2．如图，△ABC和△A1B1C1是以点O为位似中心的位似三角形，若C1为OC的中点，S＝3，则△ABC的面积为（）A．15B．12C．9D．63．如图，矩形EFGO的两边在坐标轴上，点O为平面直角坐标系的原点，以y轴上的某一点为位似中心，作位似图形ABCD，且点B，F的坐标分别为（﹣4，4），（2，1），则位似中心的坐标为（）A．（0，3）B．（0，2.5）C．（0，2）D．（0，1.5）4．如图，在坐标系中，以A（0，2）为位似中心，在y轴右侧作△ABC放大2倍后的位似图形△AB'C'，若C的对应点C'的坐标为（m，n），则点C的坐标为（）A．（m，n+3）B．（m，n﹣3）C．（m，n+2）D．（m，n﹣2）5．如图，在平面直角坐标中，正方形ABCD与正方形BEFG是以原点O为位似中心的位似图形，且相似比为，点A，B，E在x轴上，若正方形BEFG的边长为12，则C点坐标为（）A．（6，4）B．（6，2）C．（4，4）D．（8，4）6．如图，△ABO缩小后变为△A′B′O，其中A、B的对应点分别为A′，B′，A′，B′均在图中格点上，若线段AB上有一点P（m，n），则点P在A′B′上的对应点P′的坐标为（）A．（，n）B．（m，n）C．（，）D．（m，）7．如图，△ABC与△DEF位似，点O是它们的位似中心，其中OE＝2OB，则△ABC与△DEF的周长之比是（）A．1：2B．1：4C．1：3D．1：98．如图，在△ABC中，A，B两个顶点在x轴的上方，点C的坐标是（﹣1，0）．以点C为位似中心，在x轴的下方作△ABC的位似图形△A'B'C，使得△A'B'C的边长是△ABC的边长的2倍．设点B的横坐标是﹣3，则点B'的横坐标是（）A．2B．3C．4D．59．如图，线段CD两个端点的坐标分别为C（1，2），D（2，0），以原点为位似中心，将线段CD放大得到线段AB，若点B的坐标为（6，0），则点A的坐标为（）A．（2，5）B．（2.5，5）C．（3，5）D．（3，6）10．如图，以点O为位似中心，将△ABC缩小后得到△A'B'C'，已知OB＝3OB'，则△A'B'C'与△ABC的面积的比为（）A．1：3B．1：4C．1：5D．1：9二．填空题（共10小题）11．如图，以点C（0，1）为位似中心，将△ABC按相似比1：2缩小，得到△DEC，则点A（1，﹣1）的对应点D的坐标为．12．如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD与正方形BEFG是以原点O为位似中心的位似图形，且位似比为．点A、B、E在x轴上，若正方形BEFG的边长为6，则C点坐标为．13．如图，正方形OABC与正方形ODEF是位似图形，点O为位似中心，位似比为2：3，点A的坐标为（0，2），则点E的坐标是．14．如图，△AOB三个顶点的坐标分别为A（5，0），O（0，0），B（3，6），以点O为位似中心，相似比为，将△AOB缩小，则点B的对应点B'的坐标是．15．如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，建立平面直角坐标系，△ABC的三个顶点均在格点（网格线的交点）上．以原点O为位似中心，画△A1B1C1，使它与△ABC的相似比为2，则点B的对应点B1的坐标是．16．在平面直角坐标系中，△ABC和△A1B1C1的相似比等于，并且是关于原点O的位似图形，若点A的坐标为（2，4），则其对应点A1的坐标是．17．在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别是A（6，8），B（7，0），C（7，8）以原点O为位似中心，相似比为，把△ABC缩小，得到△A1B1C1，则点A的对应点A1的坐标为．18．如图，△OAB与△OCD是以点O为位似中心的位似图形，相似比为1：2，∠OCD＝90°，CO＝CD，若B（1，0），则点C的坐标为．19．如图，在平面直角坐标系xOy中，有两点A（2，4），B（4，0），以原点O为位似中心，把△OAB缩小得到△OA'B'．若B'的坐标为（2，0），则点A'的坐标为．20．△ABC与△A′B′C′是位似图形，且△ABC与△A′B′C′的位似比是1：2，已知△ABC的面积是3，则△A′B′C′的面积是．三．解答题（共6小题）21．如图，已知O是坐标原点，AB两点的坐标分别为（3，﹣1），（2，1）．（1）以点O为位似中心，在y轴的左侧将△OAB放大2倍；（2）分别写出A，B两点的对应点A'，B'的坐标．22．如图，在平面直角坐标系中，△ABC和△A1B1C1关于点E成中心对称，（1）在图中标出点E，且点E的坐标为；（2）点P（a，b）是△ABC边AB上一点，△ABC经过平移后点P的对应点P′的坐标为（a﹣6，b+2），请画出上述平移后的△A2B2C2，此时A2的坐标为，C2的坐标为；（3）若△A1B1C1和△A2B2C2关于点F成位似三角形，则点F的坐标为．23．已知△ABC三顶点的坐标分别为A（0，2）、B（3，3）、C（2，1）．（1）画出△ABC；（2）以B为位似中心，将△ABC放大到原来的2倍，在右图的网格图中画出放大后的图形△A1BC1；（3）写出点A的对应点A1的坐标：．24．如图，在6×8的网格图中，每个小正方形边长均为1，原点O和△ABC的顶点均为格点．（1）以O为位似中心，在网格图中作△A′B′C′，使△A′B′C′与△ABC位似，且位似比为1：2；（保留作图痕迹，不要求写作法和证明）（2）若点C的坐标为（2，4），则点A′的坐标为（，），点C′的坐标为（，），S△A′B′C′：S△ABC＝．25．如图，在平面直角坐标系中，△ABC和△A'B'C'是以坐标原点O为位似中心的位似图形，且点B（3，1），B′（6，2）．（1）若点A（，3），则A′的坐标为；（2）若△ABC的面积为m，则△A′B′C′的面积＝．26．如图，在边长均为1的小正方形网格纸中，△ABC的顶点A、B、C均在格点上，O为直角坐标系的原点，点A（﹣1，0）在x轴上．（1）以O为位似中心，将△ABC放大，使得放大后的△A1B1C1与△ABC的相似比为2：1，要求所画△A1B1C1与△ABC在原点两侧；（2）分别写出B1、C1的坐标．参考答案一．选择题（共10小题）1．解：∵点E（﹣4，2），以O为位似中心，按2：1的相似比把△EFO缩小为△E′F′O，∴点E的对应点E′的坐标为：（2，﹣1）或（﹣2，1）．故选：C．2．解：∵△ABC和△A1B1C1是以点O为位似中心的位似三角形，∴△ABC≌△A1B1C1，BC∥B1C1，∴△OBC≌△OB1C1，∴＝＝，∴＝（）2，∵S＝3，∴△ABC的面积＝3×4＝12，故选：B．3．解：如图，连接BF交y轴于P，∵四边形ABCD和四边形EFGO是矩形，点B，F的坐标分别为（﹣4，4），（2，1），∴点C的坐标为（0，4），点G的坐标为（0，1），∴CG＝3，∵BC∥GF，∴＝＝，∴GP＝1，PC＝2，∴点P的坐标为（0，2），故选：C．4．解：过点A作x轴的平行线DD′，作CD⊥DD′于D，作C′D′⊥DD′于D′，设C（x，y），则CD＝y﹣2、AD＝﹣x，C′D′＝2﹣n，AD′＝m，∵△AB′C′与△ABC的位似比为2：1，∴＝＝，即＝＝，解得：x＝﹣m，y＝﹣n+3，∴点C的坐标为（﹣m，﹣n+3），故选：A．5．解：∵正方形ABCD与正方形BEFG是以原点O为位似中心的位似图形，且相似比为，∴＝，∵BG＝12，∴AD＝BC＝4，∵AD∥BG，∴△OAD∽△OBG，∴＝，∴＝，解得：OA＝2，∴OB＝6，∴C点坐标为：（6，4），故选：A．6．解：∵△ABO缩小后变为△A′B′O，其中A、B的对应点分别为A′、B′点A、B、A′、B′均在图中在格点上，即A点坐标为：（4，6），B点坐标为：（6，2），A′点坐标为：（2，3），B′点坐标为：（3，1），∴线段AB上有一点P（m，n），则点P在A′B′上的对应点P′的坐标为：（，）．故选：C．7．解：∵△ABC与△DEF位似，∴△ABC∽△DEF，BC∥EF，∴△OBC∽△OEF，∴＝＝，即△ABC与△DEF的相似比为1：2，∴△ABC与△DEF的周长之比为1：2，故选：A．8．解：作BD⊥x轴于D，B′E⊥x轴于E，则BD∥B′E，由题意得CD＝2，B′C＝2BC，∵BD∥B′E，∴△BDC∽△B′EC，∴＝，即＝，解得，CE＝4，则OE＝CE﹣OC＝3，∴点B'的横坐标是3，故选：B．9．解：∵以原点为位似中心，将线段CD放大得到线段AB，D（2，0），点B的坐标为（6，0），∴＝，∴位似比为，∵C（1，2），∴点A的坐标为：（3，6）．故选：D．10．解：由位似变换的性质可知，A′B′∥AB，A′C′∥AC，∴＝＝，∴＝＝，∴△A'B'C'与△ABC的相似比为1：3，∴△A'B'C'与△ABC的面积的比1：9，故选：D．二．填空题（共10小题）11．解：把△ABC向下平移1个单位得到A点的对应点的坐标为（1，﹣2），点（1，﹣2）以原点为位似中心，在位似中心两侧的对应点的坐标为（﹣，1），把点（﹣，1）先上平移1个单位得到（﹣，2），所以D点坐标为（﹣，2）．故答案为（﹣，2）．12．解：∵正方形ABCD与正方形BEFG是以原点O为位似中心的位似图形，且位似比为．∴＝＝，而BE＝EF＝6，∴＝＝，∴BC＝2，OB＝3，∴C（3，2）．故答案为（3，2）13．解：∵四边形ABCO为正方形，而A（0，2），∴B（2，2），∵正方形OABC与正方形ODEF是位似图，点O为位似中心，位似比为2：3，∴E点坐标为（2×，2×），即E（3，3）．故答案为（3，3）．14．解：如图，∵△OAB∽△OA′B′，相似比为3：2，B（3，6），∴B′（2，4），根据对称性可知，△OA″B″在第三象限时，B″（﹣2，﹣4），∴满足条件的点B′的坐标为（2，4）或（﹣2，﹣4）．故答案为（2，4）或（﹣2，﹣4）．15．解：如图所示：△A1B1C1和△A′B′C′与△ABC的相似比为2，点B的对应点B1的坐标是：（4，2）或（﹣4，﹣2）．故答案为：（4，2）或（﹣4，﹣2）．16．解：∵△ABC和△A1B1C1的相似比等于，并且是关于原点O的位似图形，而点A的坐标为（2，4），∴点A对应点A1的坐标为（2×2，2×4）或（﹣2×2，﹣2×4），即（4，8）或（﹣4，﹣8）．故答案为（4，8）或（﹣4，﹣8）．17．解：∵以原点O为位似中心，相似比为，把△ABC缩小，得到△A1B1C1，点A的坐标为（6，8），∴则点A的对应点A′的坐标为（6×，8×）或（﹣6×，﹣8×），即（3，4）或（﹣3，﹣4），故答案为：（3，4）或（﹣3，﹣4）．18．解：∵∠OAB＝∠OCD＝90°，AO＝AB，CO＝CD，等腰Rt△OAB与等腰Rt△OCD 是位似图形，点B的坐标为（1，0），∴BO＝1，则AO＝AB＝，∴A（，），∵等腰Rt△OAB与等腰Rt△OCD是位似图形，O为位似中心，相似比为1：2，∴点C的坐标为：（1，1）．故答案为：（1，1）．19．解：点B的坐标为（4，0），以原点O为位似中心，把△OAB缩小得到△OA'B'，B'的坐标为（2，0），∴以原点O为位似中心，把△OAB缩小，得到△OA'B'，∵点A的坐标为（2，4），∴点A'的坐标为（2×，4×），即（1，2），故答案为：（1，2）．20．解：∵△ABC与△A′B′C′是位似图形，位似比是1：2，∴△ABC∽△A′B′C′，相似比是1：2，∴△ABC与△A′B′C′的面积比是1：4，又△ABC的面积是3，∴△A′B′C′的面积是12，故答案为：12．三．解答题（共6小题）21．解：（1）如图所示：△OA′B′，即为所求；（2）A'的坐标是（﹣6，2），B'的坐标是（﹣4，﹣2）．22．解：（1）如图，线段BB1的中点即为点E，∵B（1，1），B1（﹣1，﹣3）∴E（0，﹣1）；（2）如图，∵点P（a，b）是△ABC边AB上一点，△ABC经过平移后点P的对应点P′的坐标为（a﹣6，b+2），又∵A（3，2），C（4，0），∴A2（﹣3，4），C2（﹣2，2）；（3）∵对应顶点A1A2与B1B2的连线交于点（﹣3，0），∴F（﹣3，0）．23．解：（1）根据A（0，2）、B（3，3）、C（2，1）．在坐标系中找出连接即可；（2）把原三角形的三边对应的缩小或放大一定的比例即可得到对应的相似图形．所画图形如下所示：它的三个对应顶点的坐标分别是：（﹣3，1）、（3，3）、（1，﹣1）．（3）利用（2）中图象，直接得出答案．故答案为：（﹣3，1）．24．解：（1）如图所示：△A′B′C′即为所求；（2）A′（﹣1，0），C′（1，2），S△A′B′C′：S△ABC＝1：4．故答案为：﹣1，0；1，2；1：4．25．解：（1）∵B（3，1），B′（6，2）．∴点A（，3），则A′的坐标为：（×2，3×2）即（5，6）；（2）∵△ABC的面积为m，∴△A′B′C′的面积为4m．故答案为：（1）（5，6）（2）4m．26．解：（1）所画图形如下所示：（2）B1、C1的坐标分别为：（4，﹣4），（6，﹣2）．。
青岛版九年级上册数学第1章 图形的相似含答案(含解析)
青岛版九年级上册数学第1章图形的相似含答案一、单选题(共15题，共计45分)1、将铁丝围成的△ABC铁框平行地面（水平）放置，并在灯泡的垂直照射下，在地面上的影子是△A′B′C′，那么△ABC与△A′B′C′之间是属于（）A.对称变换B.平移变换C.位似变换D.旋转变换2、如果两个相似三角形对应边的比为2：3，那么这两个相似三角形面积的比是（）A.2：3B. ：C.4：9D.8：273、在△ABC中，∠A＞∠B＞∠C，∠A≠90°，画直线使它把△ABC分成两部分，且使其中一部分与△ABC相似，这样的互不平行的直线有（）条．A.3B.4C.5D.64、如图，在△ABC中，点D在AB上，BD=2AD，DE∥BC交AC于E，则下列结论错误的是（）A.BC=3DEB. =C.△ADE∽△ABCD.S△ADE = S△ABC5、如图，面积为16的正方形ABCD中，有一个小正方形EFGH，其中E，F，G 分别在AB，BC，FD上．若BF=1，则小正方形的周长为（）A.7B.6C.5D.46、阳光通过窗口AB照射到室内，在地面上留下2.7米的亮区DE，（如图所示），已知亮区到窗口下的墙角的距离EC=8.7米，窗口高AB=1.8米，则窗口底边离地面的高BC为（）A.4米B.3.8米C.3.6米D.3.4米7、如图1，在三角形纸片ABC中，∠A=78°，AB=4，AC=6．将△ABC沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形相似的有（）A.①②③B.①②④C.①③④D.②③④8、下列说法错误的是（）A.有一个角等于60°的两个等腰三角形相似B.有一个角等于100°的两个等腰三角形相似C.有一个角等于90°的两个等腰三角形相似D.有一个角等于30°的两个等腰三角形相似9、如图，在矩形中，在上，，交于，连结，则图中与一定相似的三角形是（）A. B. C. D. 和10、如图，已知矩形ABCD中，AB=3，BE=2，EF⊥BC．若四边形EFDC与四边形BEFA相似而不全等，则CE=（）A.3B.3.5C.4D.4.511、如图，以点O为位似中心，将放大得到，若的面积为4，则的面积为（）A.2B.8C.16D.2412、如图，平面直角坐标系中，矩形ABCD的边AB：BC＝3：2，点A（3，0），B（0，6）分别在x轴，y轴上，反比例函数y＝的图象经过点D，则k值为（）A.﹣14B.14C.7D.﹣713、如图，在矩形中，E是上的一点，是等边三角形，交于点F，则下列结论不成立的是（）A. B. C. D.14、已知△ABC∽△DEF，若△ABC与△DEF的相似比为3：4，则△ABC与△DEF 的面积比为( )A.4：3B.3：4C.16：9D.9：1615、如图是孔明设计用手电来测量某古城墙高度的示意图．点P处放一水平的平面镜，光线从点A出发经平面镜反射后刚好射到古城墙CD的顶端C处，已知AB⊥BD，CD⊥BD，且测得AB=6米，BP=9米，PD=15米，那么该古城墙的高度是（）A.6米B.8米C.10米D.15米二、填空题(共10题，共计30分)16、如图，矩形EFGH内接于△ABC，且边FG落在BC上，若AD⊥BC，BC＝3，AD＝2，EF＝EH，那么EH的长为________．17、如图所示的网格是正方形网格，点A，B，C，D，E，F是网格线的交点，则的面积与的面积比为________．18、在平行四边形ABCD中，E是CD上一点，DE：EC=1：3，连AE，BE，BD且AE，BD交于F，则S△DEF ：S△EBF：S△ABF=________．19、如图，⊙O的半径为4，AB为⊙O的直径，∠ABC=90°，直线CE与⊙O相切于点D，交BA的延长线于点E，A为OE的中点，则AC的长是________.20、如图，△ABC的中线AE，BD交于点G，过点D作DM∥BC交AE于点M，则△AMD，△DMG和△BEG的面积之比为________．21、如图，E是▱ABCD的边CD上一点，连接AE并延长交BC的延长线于点F，且AD=4，，则CF的长为________ ．22、如图，小红作出了面积为1的正△ABC，然后分别取△ABC三边的中点A 1， B1， C1，作出了正△A1B1C1，用同样的方法，作出了正△A2B2C2，….由此可得，正△A8B8C8的面积是________．23、如图，在平面直角坐标系中，一点光源位于A（0，5）处，线段CD⊥x 轴，垂足为点D，点C坐标为（3，1），则CD在x轴上的影子长为________．24、四边形ABCD与四边形A'B'C'D'位似，点O为位似中心.若AB：A'B'＝2：3，则OB：OB'＝________.25、小明用这样的方法来测量某建筑物的高度：如图，在地面上放一面镜子，调整位置，直至刚好能从镜子中看到建筑物的顶端．如果此时小明与镜子的距离是2m，镜子与建筑物的距离是20m. 他的眼睛距地面1.5m，那么该建筑物的高是________．三、解答题(共5题，共计25分)26、已知：如图，△ABC∽△ACD，CD平分∠ACB，AD ＝2，BD ＝3，求AC、DC 的长．27、周末，小华和小亮想用所学的数学知识测量家门前小河的宽．测量时，他们选择了河对岸边的一棵大树，将其底部作为点A，在他们所在的岸边选择了点B，使得AB与河岸垂直，并在B点竖起标杆BC，再在AB的延长线上选择点D竖起标杆DE，使得点E与点C、A共线．已知：CB⊥AD，ED⊥AD，测得BC＝1m，DE＝1.5m， BD＝8.5m．测量示意图如图所示．请根据相关测量信息，求河宽AB．28、如图，小华和同伴在春游期间，发现在某地小山坡的点E处有一棵盛开的桃花的小桃树，他想利用平面镜测量的方式计算一下小桃树到山脚下的距离，即DE的长度，小华站在点B的位置，让同伴移动平面镜至点C处，此时小华在平面镜内可以看到点E，且BC＝2.7米，CD＝11.5米，∠CDE＝120°，已知小华的身高为1.8米，请你利用以上的数据求出DE的长度．（结果保留根号）29、正方形ABCD中，点E是CD的中点，点F在BC上，且CF：BC＝1：4，你能说明AE：EF＝AD：EC吗？30、如图，点C为线段AB上任意一点（不与A、B两点重合），分别以AC、BC 为一腰在AB的同侧作等腰△ACD和等腰△BDE，CA=CD，CB=CE，∠ACD与∠BCE 都是锐角且∠ACD=∠BCE，连接AE交CD于点M，连接BD交CE于点N，AE与BD 交于点P，连接PC．（1）求证：△ACE≌△DCB；（2）请你判断△AMC与△DPM的形状有何关系，并说明理由．参考答案一、单选题(共15题，共计45分)1、C2、C3、C4、D5、C6、A7、B8、D9、B10、D11、C12、B13、B14、D15、C二、填空题(共10题，共计30分)17、18、19、20、21、22、23、24、25、三、解答题(共5题，共计25分)30、。
青岛版九年级上册数学第1章 图形的相似含答案
青岛版九年级上册数学第1章图形的相似含答案一、单选题(共15题，共计45分)1、已知二次函数的图象与x轴交于A、B两点（点A 在点B的左侧），与y轴交于点C，且，则m的值为（）A.±2B.±4C.D.2、下列图形中不一定是相似图形的是( )A.两个等边三角形B.两个等腰直角三角形C.两个正方形D.两个长方形3、如图所示，在中，，若，，则的值为（）A. B. C. D.4、在中，，，，则的长为（）A.2B.3C.D.5、如图，在中，点D、E分别在、边上，，若，，则等于（）A.10B.12C.16D.206、如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝12，点D，E分别是边AB，BC的中点，CD与AE交于点O，则OD的长是( )A.1.5B.1.8C.2D.2.47、如图，DE∥BC，在下列比例式中，不能成立的是（）A. =B. =C. =D. =8、两个相似多边形的周长比是3：4，其中小多边形的面积为18cm2，则较大多边形的面积为（）．A.16cm 2B.54cm 2C.32cm 2D.48cm 29、下列各组条件中，一定能推得△ABC与△DEF相似的是（）A.∠A=∠E且∠D=∠FB.∠A=∠B且∠D=∠FC.∠A=∠E且D.∠A=∠E且10、如图，在△ABC中，点D ， E分别在AB ， AC上，DE∥BC ，AD=CE ．若AB：AC=3：2，BC=10，则DE的长为（）A.3B.4C.5D.611、如图，过菱形ABCD的顶点C的直线与AB的延长线交于点E，与AD的延长线交于点F，若菱形的边长为x，BE＝a，DF＝b，则a，b，x满足的关系是（）A.2x＝a+bB.x 2＝a•bC.x（a+b）＝a•bD.2x 2＝a 2+b 212、如图，有一块三角形余料ABC，BC=120mm，高线AD=80mm，要把它加工成一个矩形零件，使矩形的一边在BC上，点P，M分别在AB，AC上，若满足PM：PQ=3：2，则PM的长为( )A.60mmB. mmC.20mmD. mm13、下列结论正确的个数是（）⑴一个多边形的内角和是外角和的3倍，则这个多边形是六边形；（2）如果一个三角形的三边长分别为6、8、10，则最长边上的中线长为5；（3）若△ABC∽△DEF，相似比为1：4，则S△ABC ：S△DEF=1：4；（4）若等腰三角形一个角为80°，则底角为80°或50°．A.1B.2C.3D.414、△ABC与△DEF相似，且相似比是，则△DEF与△ABC的相似比是（）A. B. C. D.15、如图，BD、CE分别是△ABC的中线，BD与CE交于点O，则下列结论中正确的是（）A. B. C.D.二、填空题(共10题，共计30分)16、如图，抛物线（）与轴交于，两点，与轴正半轴交于点，点的坐标为，作轴交抛物线于点，轴于点，连结，则与的面积之比为________.17、如图，在中，，CD是斜边AB上的高.下列结论①CD2=AD·BD②AC2=AD·AB③BC2=AB·BD④BD2=AC·BC错误的是________18、如图，阳光通过窗口照到室内，在地面上留下1.6m宽的亮区DE ，已知亮区一边到窗下的墙脚距离CE=3.6m，窗高AB=1.2m，那么窗口底边离地面的高度BC=________m．19、如图，有一张直径（BC）为1.2米的圆桌，其高度为0.8米，同时有一盏灯A距地面2米，圆桌的影子是DE，AD和AE是光线，建立图示的平面直角坐标系，其中点D的坐标是（2，0）.那么点E的坐标是________.20、如图，菱形的边长为2，过点C的直线交的延长线于M，交的延长线于N，则的值为________.21、《九章算术》是我国古代数学名著，书中有下列问题：“今有勾五步，股十二步，问勾中容方几何？”其意思为：“今有直角三角形，勾（短直角边）长为5步，股（长直角边）长为12步，问该直角三角形能容纳的正方形边长最大是多少步？”该问题的答案是________步．22、如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点G，点F是CD上一点，且满足= ，连接AF并延长交⊙O于点E，连接AD、DE，若CF=2，AF=3．给出下列结论：=4 ．①△ADF∽△AED；②FG=2；③tan∠E= ；④S△DEF其中正确的是________（写出所有正确结论的序号）．23、如图，正方形中，E，F分别在边，上，，相交于点G，若，，则________．24、两个相似三角形的相似比为2：5，周长差为12厘米，则较大三角形的周长为________.25、如图，锐角△ABC内接于⊙O，于点，于点，且OM=3，CD=4，BD=12, 则的半径为 ________.三、解答题(共5题，共计25分)26、已知：如图，△ABC∽△ACD，CD平分∠ACB，AD ＝2，BD ＝3，求AC、DC 的长．27、一天晚上,李明和张龙利用灯光下的影子来测量一路灯D的高度,如图,当李明走到点A处时,张龙测得李明直立时身高AM与影长AE正好相等,接着李明沿AC方向继续向前走,走到点B处时,李明直立时身高BN的影子恰好是线段AB,并测得AB=1.25 m.已知李明直立时的身高为1.75 m,求路灯的高CD的长.(结果精确到0.1 m)28、生活中存在大量的形状相同的图形，试举出几例．29、如图，AB是⊙O的弦，D为半径OA的中点，过D作CD⊥OA交弦AB于点E，交⊙O于点F，且CE=CB．（1）求证：BC是⊙O的切线；（2）连接AF、BF，求∠ABF的度数；（3）如果CD=15，BE=10，sinA=，求⊙O的半径．30、已知关于x的方程x2﹣2（a+b）x+c2+2ab=0有两个相等的实数根，其中a、b、c为△ABC的三边长．（1）试判断△ABC的形状，并说明理由；（2）若CD是AB边上的高，AC=2，AD=1，求BD的长．参考答案一、单选题(共15题，共计45分)1、C2、D3、B4、C5、A6、C7、B8、C9、C10、B11、B12、A13、B14、A15、C二、填空题(共10题，共计30分)16、18、19、20、21、22、23、24、25、三、解答题(共5题，共计25分)27、30、。
青岛版九年级数学上册1.3相似三角形的性质自主学习基础过关训练题2(附答案详解) (1)
青岛版九年级数学上册1.3相似三角形的性质自主学习基础过关训练题2（附答案详解） 1．如图，Rt ABC 中，90ACB ∠=，CD AB ⊥于点D ，下列结论中错误的是（ ）A ．AC 2=AD ⋅AB B ．CD 2=CA ⋅CBC ．CD 2=AD ⋅DBD ．BC 2=BD ⋅BA2．如图，在ABC 中，AB AC =，BD 平分ABC ∠，36ABD ∠=，则图中相似三角形的对数有（ ）A ．0B ．1C ．2D ．33．如图，在△ABC 中，点D 、E 分别在AB 、AC 上，DE ∥BC ，若AD ＝2，DB ＝1，△ADE 、△ABC 的面积分别为S 1、S 2，则12SS 的值为( )A ．23B ．12C ．49D ．24．如图，矩形纸片ABCD 中，AB =4，AD =3，折叠纸片使AD 边与对角线BD 重合，折痕为DG ，记与点A 重合的点为A′，则△A′BG 的面积与该矩形面积的比为（ ）A ．112B ．19C ．18D ．165．如图，在平行四边形ABCD 中，AE ：EB=1：2，E 为AB 上一点，AC 与DE 相交于点F ， S △AEF =3，则S △FCD 为（ ）A ．6B ．9C ．12D ．276．已知：如图，小明在打网球时，要使球恰好能打过网，而且落在离网5米的位置上， 则球拍击球的高度h 应为 ( )A ．0.9mB ．1.8mC ．2.7mD ．6m7．如图，在梯形ABCD 中，//AB CD ，若1AB =，2DC =，那么①ABO CDO ∽；②ADO BCO ∽；③ABO 与ADO 的面积比是1:2．上述三个结论中正确的是（ ）A ．①②B ．①③C ．②③D ．①②③8．如图，在正方形ABCD 中，AD=6，点E 是边CD 上的动点（点E 不与端点C ，D 重合），AE 的垂直平分线FG 分别交AD ，AE ，BC 于点F ，H ，G ，当14FH HG =时，DE 的长为（ ）A ．2B ．125C ．185D ．49．如图，在ABC 中，中线BE 、CD 相交于点G ，则DEBC=________；:DEGABCS S=________．10．如图，在ABC 中，点D 在边AB 上，满足ACD ABC ∠∠=，则________∽________，若AC 2=，AD 1=，则DB =________．Z11．平面直角坐标系中，原点O 关于直线y=﹣43x+4对称点O 1的坐标是_____． 12．如图，在等边三角形ABC 中，P 为BC 上一点，D 为AC 上一点，且∠APD ＝60°，BP ＝1，CD ＝23，则△ABC 的边长为____．13．如图，n 个全等三角形排列在一条直线BC 上，P n 为A n C n 的中点，若BP n 交A 1C 1于Q ，则C 1Q 与A 1Q 的等量关系_____．14．如图，在ABC 中，90BAC ∠=，6AB =，8AC =，N 是AC 上的点，且AN AB =，连接BN ，作AD BN ⊥于D ，点M 是BC 上的动点，则当BM =________时，BMD BCN ∽．15．如图，//AD BC ，90D ∠=，2AD =，6BC =，8DC =，若在边DC 上有点P ，使PAD 与PBC 相似，则这样的点P 有________个．16．如图，路灯距离地面8.5米，身高1.7米的小军从距离灯的底部（点O ）6米的点B 处，沿OA 所在直线行走至B 处14米的A 点时，人影长度变长________米．17．如图，一条东西走向的笔直公路，点A、B表示公路北侧间隔150米的两棵树所在的位置，点C表示电视塔所在的位置．小王在公路PQ南侧直线行走，当他到达点P的位置时，观察树A恰好挡住电视塔，即点P、A、C在一条直线上，当他继续走180米到达点Q的位置时，以同样方法观察电视塔，观察树B也恰好挡住电视塔．假设公路两侧AB∥PQ，且公路的宽为60米，求电视塔C到公路南侧PQ的距离．18．如图，在⊙O中，M是弦AB的中点，过点B作⊙O的切线，与OM延长线交于点C．（1）求证：∠A=∠C；（2）若OA=5，AB=8，求线段OC的长．19．(1)如图1，粗线表示嵌在透明的玻璃正方体内的一条铁丝，请指出右边的两个视图的名称；(2)如图2，粗线表示嵌在透明玻璃正方体内的一根铁丝，画出该正方体的主视图、左视图、俯视图.20．在矩形ABCD中，AB=12，P是边AB上一点，把△PBC沿直线PC折叠，顶点B 的对应点是点G，过点B作BE⊥CG，垂足为E且在AD上，BE交PC于点F（1）如图1，若点E是AD的中点，求证：△AEB≌△DEC；（2）如图2，①求证：BP=BF；②当AD=25，且AE＜DE时，求cos∠PCB的值；③当BP=9时，求BE•EF的值．21．钟楼是西安标志性的建筑之一，建于1384年，是中国古代遗留下来众多钟楼中保存最完整的一座．为了对钟楼有基本的认识，小明和小亮运用所学的数学知识对钟楼进行了测量，由于无法直接测量出它的高度，他们先在地面选择了一点C放置平面镜，小明到F点时正好在平面镜中看到顶尖A，小明的眼睛距地面的高度EF=1.5米；然后在点D处放置平面镜小亮到H点时正好在平面镜中看到顶尖A（点B、C、F、D、H共线）．小亮的眼睛距地面的高度GH=1.6米，此时测得俯角∠KGD=39°，如图，已知CF=1米，DF=20米，AB⊥BH，EF⊥BH，GH⊥BH测量时所使用的平面镜的厚度忽略不计，请你根据以上测量数据及信息，计算钟楼的高度，（参考数据：sin39°≈0.6，cos39°≈0.8，tan39°≈0.8）22．如图，已知直线PT与⊙O相切于点T，直线PO与⊙O相交于A，B两点．求证：PT2＝P A·PB.23．如图所示，△PQR是等边三角形，△P AQ∽△BPR.(1)请写出两个相似三角形对应边的比例式；(2)试找出AQ，QR，BR三条线段之间的关系．24．以四边形ABCD的边AB、AD为底边分别作等腰三角形ABE和等腰三角形ADF. （1）当四边形ABCD为正方形时（如图①），以边AB、AD为斜边分别向外侧作等腰直角△ABE和等腰直角△ADF，连接BF、ED，线段BF和ED的数量关系是_____________；（2）当四边形ABCD为矩形时（如图②），以边AB、AD为斜边分别向矩形内侧、外侧作等腰直角△ABE和等腰直角△ADF，连接EF、BD，线段EF和BD具有怎样的数量关系？请说明理由；（3）当四边形ABCD为平行四边形时，以边AB、AD为底边分别向平行四边形内侧、外侧作等腰△ABE和等腰△ADF，且△ABE和△ADF的顶角均为β，连接EF、BD，交点为G.请用β表示出∠FGD，并说明理由.参考答案1．B 【解析】 【分析】直接根据射影定理对各选项进行判断． 【详解】解：∵90ACB ∠=，CD ⊥AB 于点D ， ∴222,,.AC AD AB CD DA DB BC BD BA =⋅=⋅=⋅ 故选B. 【点睛】考查了射影定理，熟记射影定理是解题的关键. 2．B 【解析】 【分析】根据三角形内角和定理求出，∠ABC=∠C=72o , 根据角平分线的定义求出∠CBD=36o , 从而入得到∠CBD=∠A,然后利用两组角对应相等, 两三角形相似得到△BDC 和△ABC 相似. 【详解】 解:AB=AC, ∠A=36o ,∴∠ABC=∠C=12(180o -36o )=72o , BD 平分∠ABC,∴ ∠CBD=12∠ABC=12⨯72o =36o , ∴∠CBD=∠A, ∴△BDC ∽ △ABC, ∴相似三角形的对数有1对.故选:B. 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定,等腰三角形两底角相等的性质, 角平分线的定义, 识别两三角形相似, 除了要掌握定义外, 还要注意正确找出两三角形的对应边、对应角. 3．C【分析】根据相似三角形的判定定理得到△ADE ∽△ABC ，根据相似三角形的性质计算即可． 【详解】 解：∵DE ∥BC ， ∴△ADE ∽△ABC ， ∴12s s =（AD AB）2=49 ， 故选C ． 【点睛】本题考查的是相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键． 4．C 【解析】 【分析】根据已知条件可求得BD=5，再根据折叠的性质可知A′D=AD=3, A′B=2.根据~'ABD A BG 可得面积之间的比值，再进一步求与矩形面积的比.【详解】解：∵矩形纸片ABCD 中，AB =4，AD =3， ∴BD =5. ∵A’D=AD , ∴A′B =2.∵∠BA’G =∠A =90︒, ∠BA’G =∠ABD , ∴~'ABD A BG ,∴':A BG ABD S S =2'14A B AB ⎛⎫=⎪⎝⎭, ∵ABDS :1:2,ABCD S =矩形∴:1:8.A BGABCD SS 矩形'=故选C .本题考查了图形的折叠变换，同时考查了相似三角形的判定和性质，正确运用相似三角形的判定和性质是解题的关键. 5．D 【解析】 【分析】先根据AE ：EB=1：2得出AE ：CD=1：3，再由相似三角形的判定定理得出△AEF ∽△CDF ，由相似三角形的性质即可得出结论. 【详解】解：∵四边形ABCD 是平行四边形，AE ：EB=1：2， ∴AE ：CD=1：3， ∵AB ∥CD ， ∴∠EAF=∠DCF ， ∵∠DFC=∠AFE ， ∴△AEF ∽△CDF ， ∵S △AEF =3， ∴AEF FCDS S＝3FCDS＝(13)2， 解得S △FCD =27． 故选D. 【点睛】本题考查的是相似三角形的判定与性质，熟知相似三角形面积的比等于相似比的平方是解答此题的关键. 6．C 【解析】 【分析】发现图形中的相似三角形，并利用相似三角形的性质定理解题 【详解】很容易可以发现图中的两个直角三角形相似，由性质定理得直角边对应成比例，即h 0.91055=+，解得h=2.7m ，故答案选C. 【点睛】熟练掌握相似三角形的性质定理并学会应用是解答本题的关键. 7．B 【解析】 【分析】由条件可证△ABO ∽△CDO ，可判断①；从而可求得12BO DO =，则可判断③；由条件无法判定△ADO ∽△BCO ；则可求得答案． 【详解】 ∵AB ∥CD ，∴∠OAB=∠OCD ，∠OBA=∠ODC ， ∴△ABO ∽△CDO ，故①正确；∴12BO AB DO CD ==， ∴12S ABO BO S ADO DO ==，故③正确； 由①可得AO BOOC OD=， 若△ADO ∽△BCO ， 则AO BODO CO=， 则可得OC=OD ，但由条件无法得出该结论，故△ADO 与△BCO 不一定相似，故②不正确； 综上可知结论正确的是①③， 故选B. 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定与性质. 8．B 【解析】如下图，过点H 作HM ⊥AD 于点M ，延长MH 交BC 于点N ，由此易得MN=AB=6，△MHF ∽△NHG ，结合FH ：HG=1：4可得MH=65；再证△AMH ∽△ADE ，结合点H是AE的中点可求得DE=2MH=12 5.详解：如下图，过点H作HM⊥AD于点M，延长MH交BC于点N，∴∠AMN=90°，又∵在正方形ABCD中，∠MAB=∠ABN=90°，∴四边形ABNM是矩形，∴MN=AB=6，MN∥AB∥CD，∵AD∥BC，∴△MHF∽△NHG，∴MH：HN=FH：HG=1：4，∴MH=15MN=65，∵MN∥CD，∴△AMH∽△ADE，又∵FG是线段AE的垂直平分线，交AE于点G，∴MH：DE=AH：AE=1：2，∴DE=2MH=12 5.故选B.点睛：作出如图所示的辅助线，构造出相似三角形：△MHF∽△NHG和△AMH∽△ADE 是解答本题的关键.9．121:12【解析】【分析】由BE、CD是△ABC的中线，可得DE是△ABC的中位线，然后由三角形中位线的性质，可得△GDE ∽△GCB ，再由相似三角形的性质及三角形中线的性质解答即可.【详解】∵BE 、CD 是△ABC 的中线，∴DE ∥BC ，12DE BC =， ∴△GDE ∽△GCB ， ∴12DE DG EG BC CG BG === ，211()24DEG BGC S S ∆∆==，, 设△DEG 的面积为a ，则△BGC 的面积为4a ， ∵12DG EG CG BG == ∴△EGC 的面积为2a ，△BDG 的面积为2a∴△BDE 的面积为3a ，四边形BCED 的面积为9a ；∵D 为AB 的中点，∴3ADE BDE S S a ∆∆==，∴9312ABC S a a a ∆=+= ∴1::1212DEG ABC S S a a ==． 故答案为12；112． 【点睛】 本题考查了相似三角形的判定与性质、三角形中位线的性质以及三角形的面积，熟练运用相似三角形的性质及三角形中线的性质是解决本题的关键．10． ACD ABC 3【解析】【分析】由题意可得出相似；由相似可得出对应边成比例.【详解】因为ACD ABC ∠∠=且∠A 为公共角，所以△ACD ∽△ABC,所以AC AD AB AC=,AB=4，所以DB=AD-AD=4-1=3.【点睛】本题考查了相似三角形的证明以及相似三角形中对应边成比例，掌握两个角相等的两个三角形相似是解决本题的关键.11．（9625，7225）【解析】分析：由直线的解析式求得A、B的坐标，设O1O与直线y=-43x+4的交点为D，作O1E⊥x轴于E，根据题意OO1⊥AB，根据三角形面积公式求得OD的长，即可求得OO1的长，然后通过三角形相似求得OE的长，进一步根据勾股定理求得O1E的长，即可求得对称点O1的坐标．详解：如图，∵原点O关于直线y=-43x+4对称点O1，∴OO1⊥AB，设O1O与直线y=-43x+4的交点为D，作O1E⊥x轴于E，由直线y=-43x+4可知A（3，0），B（0，4），∴OA=3，OB=4，∴AB=5，∵S△AOB=12OA•OB=12AB•OD，∴OD=•125 OA OBAB，∵∠ADO=∠O1EO=90°，∠AOD=∠EOO1，∴△AOD∽△O1OE，∴1OO OE OA OD=，即2451235OE =， ∴OE=9625， ∴O 17225， ∴点O 1的坐标是（9625，7225）． 点睛：本题考查了坐标和图形变化-对称，三角形相似的判定和性质，勾股定理的应用等，求得直线与坐标轴的交点是解题的关键．12．3【解析】【分析】根据等边三角形性质求出AB=BC=AC ，∠B=∠C=60°，推出∠BAP=∠DPC ，证△BAP ∽△CPD ，得出AB BP CP CD ＝，代入求出即可． 【详解】∵△ABC 是等边三角形，∴AB=BC=AC ，∠B=∠C=60°，∴∠BAP+∠APB=180°-60°=120°，∵∠APD=60°，∴∠APB+∠DPC=180°-60°=120°，∴∠BAP=∠DPC ，即∠B=∠C ，∠BAP=∠DPC ，∴△BAP ∽△CPD ， ∴AB BP CP CD＝， 设△ABC 的边长为x ，∵CD=23，CP=BC-BP=x-1，BP=1， 即1213x x -＝，解得：x=3．故答案为3．【点睛】本题考查了相似三角形的性质和判定，等边三角形的性质，三角形的内角和定理的应用，关键是推出△BAP∽△CPD，主要考查了学生的推理能力和计算能力．13．A1Q=（2n﹣1）C1Q【解析】【分析】由题意：QC1∥P n C n，推出，由A1C1=A n C n=2P n C n，推出QA1=（2n﹣1）QC1；【详解】由题意：QC1∥P n C n，∴，∵A1C1=A n C n=2P n C n，∴QA1=（2n﹣1）QC1，故答案为A1Q=（2n﹣1）C1Q．【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质、规律形问题等知识，解题的关键是灵活运用平行线分线段成比例定理，属于中考填空题中的压轴题．14．5【解析】【分析】若△BMD∽△BCN，则需DM∥CN即可，由已知条件可得BD=DN，所以BM=CM即M为BC的中点时即可，由此可以求出BM的值．【详解】若△BMD∽△BCN，则需DM∥CN，∵在△ABC中，∠BAC=90°，AB=6，AC=8，∴22，AB AC∵AN=AB，作AD⊥BN于D，∴BD=DN，∵DM∥CN，∴BM=12BC=5，∴则当BM=5时，△BMD∽△BCN．故答案为5．【点睛】本题考查了勾股定理的运用，相似三角形的判定和性质，三角形中位线的判定和性质题目的综合性较强，难度中等．15．2【解析】【分析】如图所示，取DC上一点P，连接AP、BP，设DP=x，则CP=8-x，由△PAD与△PBC相似，可得对应边的比相等，可得关于x的方程，解方程求出x的值，即可确定出符合题意的点P 的个数.【详解】如图，∵AD//BC，∠D=90°，∴∠C=∠D=90°，设DP=x，则CP=8-x，当△DAP∽△CPB时，有AD DPPC BC=，即286xx=-，解得：x=2或x=6，当△DAP∽△CBP时，有AD DPBC CP=，即268xx=-，解得：x=2，综上，DP的长为2或6，即这样的P点有2个，故答案为2.【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，正确地进行分类讨论是解本题的关键.16．3.5 【解析】【分析】小军在A 点和B 点位置时，均可构成两组相似三角形，利用其相似比即可分别求解出两处位置时的人影长.【详解】设小军在A 点处的影子长度AM 为x 米，在B 点处的影子长度BN 为y 米，则由图中比例关系可得：1.76148.5x x =++，解得x=5米， 1.768.5y y =+，解得y=1.5米， ∴x-y=5-1.5=3.5米，故答案为：3.5米.【点睛】分别找出不同位置时的相似三角形是本题的关键.17．电视塔C 到公路南侧所在直线PQ 的距离是360米．【解析】【分析】作CE ⊥PQ 交AB 于D 点，利用相似三角形对应边上的高的比等于相似比，即可求得电视塔到公路南侧所在直线的距离．【详解】如图所示，作C E ⊥PQ 于E ，交AB 于D 点，设CD 为x ，则C E=60+x ，∵AB ∥PQ ，∴△ABC∽△PQC，∴=，即=，解得x=300，∴x+60=360米，答：电视塔C到公路南侧所在直线PQ的距离是360米．【点睛】本题考查了相似三角形的性质与应用，解题的关键是熟练的掌握相似三角形的性质与应用.18．（1）见解析（2）25 3【解析】【分析】（1）连接OB，由OA=OB，可知∠A=∠OBM，又M是AB中点，利用等腰三角形三线合一定理可知OC⊥AB，即可得∠C+∠CBM=90°，而BC是切线可得∠OBM+∠CBM=90°，即∠A+∠CBM=90°，利用等角的余角相等可得∠A=∠C；（2）由（1）得∠C=∠OBM，∠OBC=∠OMB=90°，易证△OMB∽△OBC，即可得OB：OC=OM：OB，而BM=12AB=4，根据勾股定理可求OM，进而即可求出OC的长．【详解】（1）证明：连接OB，∵BC是切线，∴∠OBC=90°，∴∠OBM+∠CBM=90°，∵OA=OB，∴∠A=∠OBM，∵M是AB的中点，∴OM⊥AB．∴∠C+∠CBM=90°，∴∠C=∠OBM，∴∠A=∠C；（2）∵∠C=∠OBM，∠OBC=∠OMB=90°，∴△OMB∽△OBC，∴OBOC=OMOB，又∵BM=12AB=4，∴OM=52-42=3，∴OC=2OBOM=253．【点睛】本题考查了切线的性质、相似三角形的判定和性质、垂径定理、勾股定理等知识.利用切线的性质和垂径定理证出∠C=∠OBM是解题的关键.19．（1）俯视图，主视图；（2）详见解析.【解析】【分析】(1)由上面看可得正方形内有一条横向摆放的线段，从正面看可得到一个正方形；(2)从正面看可得到一个正方形的左上角有一条线段；从左面看可得到一个正方形加一条竖直的虚线；从上面看可得到一个正方形的右下角有一条线段.【详解】解：(1)俯视图，主视图；(2)故答案为：（1）俯视图，主视图；（2）详见解析.【点睛】本题主要考查了由三视图判断几何体和作图——三视图.20．（1）证明见解析；（2；③108. 【解析】【分析】（1）先判断出∠A=∠D=90°，AB=DC 再判断出AE=DE ，即可得出结论；（2）①利用折叠的性质，得出∠PGC=∠PBC=90°，∠BPC=∠GPC ，进而判断出∠GPF=∠PFB 即可得出结论；②判断出△ABE ∽△DEC ，得出比例式建立方程求解即可得出AE=9，DE=16，再判断出△ECF ∽△GCP ，进而求出PC ，即可得出结论；③判断出△GEF ∽△EAB ，即可得出结论．【详解】（1）在矩形ABCD 中，∠A=∠D=90°，AB=DC ， ∵E 是AD 中点，∴AE=DE ， 在△ABE 和△DCE 中，90AB DC A D AE DE =⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩，∴△ABE ≌△DCE （SAS ）；（2）①在矩形ABCD ，∠ABC=90°，∵△BPC 沿PC 折叠得到△GPC ，∴∠PGC=∠PBC=90°，∠BPC=∠GPC ， ∵BE ⊥CG ，∴BE ∥PG ，∴∠GPF=∠PFB ，∴∠BPF=∠BFP ，∴BP=BF ；②当AD=25时，∵∠BEC=90°，∴∠AEB+∠CED=90°，∵∠AEB+∠ABE=90°，∴∠CED=∠ABE，∵∠A=∠D=90°，∴△ABE∽△DEC，∴AB DE AE CD=，设AE=x，∴DE=25﹣x，∴122512xx-=，∴x=9或x=16，∵AE＜DE，∴AE=9，DE=16，∴CE=20，BE=15，由折叠得，BP=PG，∴BP=BF=PG，∵BE∥PG，∴△ECF∽△GCP，∴EF CE PG CG=，设BP=BF=PG=y，∴152025yy-=，∴y=253，∴BP=253，在Rt△PBC中，，cos∠PCB=BCPC；③如图，连接FG，∵∠GEF=∠BAE=90°，∵BF∥PG，BF=PG=BP，∴▱BPGF是菱形，∴BP∥GF，∴∠GFE=∠ABE，∴△GEF∽△EAB，∴EF AB GF BE=，∴BE•EF=AB•GF=12×9=108．【点睛】此题是四边形综合题，主要考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，折叠的性质，利用方程的思想解决问题是解本题的关键．21．钟楼的高度为36米．【解析】【分析】设AB=x，BC=y, 根据题意求出△ABC∽△EFC，△ABD∽△GHD，再根据相似三角形对应边成比例列式求解即可．【详解】如图设AB=x，BC=y．∵AB⊥BD，GH⊥BH，∴∠ABC=∠EFC=90°，∵∠ACB=∠ECF，∴△ACB∽△ECF，∴AB EF BC CF=，∴1.51yx=，∴x=23y ①同理：△ADB ∽△GDH ，∴AB GH BD DH=， ∴120y x ++=tan39°=0.8 ② 由①②解得y=36（米），答：钟楼的高度为36米．【点睛】本题考查了相似三角形的应用，解题的关键是根据相似三角形的判定得到△ABC ∽△EFC ，△ABD ∽△GHD.22．证明见解析.【解析】试题分析：连接OT ，只要证明△PTA ∽△PBT ，可得PT PA PB PT=，由此即可解决问题. 证明：连接TO ，∵PT 为⊙O 切线，∴OT ⊥PT ，∴∠1+∠3=90°， ∵AB 为直径，∴∠A TB=90°, ∴∠2+∠3=90°， ∴∠1=∠2.又∵TO=BO ，∴∠2=∠B,∴∠1=∠B ，又∵∠P=∠P,∴△PTA ∽△PBT ，∴PT PA PB PT=， PT 2=PA·PB. 23．(1)PA BP ＝PQ BR ＝AQ PR ；（2）QR 2＝BR ·AQ . 【解析】分析：（1）根据相似三角形对应边成比例得出结论即可；（2）由等边三角形的性质和相似三角形的性质即可得出结论．详解：（1） ∵△P AQ ∽△BPR ，∴PA PQ AQ BP BR PR==． （2）∵△PQR 是等边三角形，∴PQ ＝QR ＝PR ．由（1）知PQ AQ BR PR=，∴PQ ·PR ＝BR ·AQ ， ∴QR 2＝BR ·AQ ．点睛：本题考查了等边三角形的性质和相似三角形的性质．熟练掌握性质是解题的关键．24．BF =ED ; （2）EF =,证明见解析;（3）1802FGD β︒-∠=. 【解析】【详解】分析：（1）根据正方形的性质可得AB=AD ，因等腰三角形ABE 和等腰三角形ADF ，可得AE=BE=AF=FD ，再证∠EAD=∠FAB ，利用SAS 证明△AED ≌△AFB ，即可得BF=ED ；（2）BD ，利用两边对应成比例，夹角相等的两个三角形相似，证明△BAD ∽△EAF ，根据相似三角形的性质可得BD AD EF AF==，所以；（3）∠FGD=1802β-，先证得△ABE ∽△ADF ，可得FA AD EA AB=，即FA EA AD AB=，再证得∠BAD=∠EAF ，所以△BAD ∽△EAF ，因为 ∠AHF=∠DHG ，即可得∠FGD=∠FAD=1802β︒-. 详解：（1）BF =ED ；（2）BD ；证明：如图②，∵△ABE 为等腰直角三角形，AB=2AE ，∠EAB=45°同理2,45AD AF FAD =∠=︒，∴∠BAE+∠EAD=∠EAD+∠FAD ，即∠BAD=∠EAF ，∵AB=2AE ，AD=2AF∴2AB AD AE AF==，∴△BAD ∽△EAF ， ∴2BD AD EF AF==， 即BD=2EF ； （3）解：∠FGD=1802β-， 如图，∵△ABE 为等腰三角形，EB=EA ，同理FA=FD ，∴1EA FA EB FD==， 又∵∠BEA=∠DFA=β，∴△ABE ∽△ADF ，∴FA AD EA AB =，即FA EA AD AB=， ∠EAB+∠EAD=∠DFA+∠EAD ，即∠BAD=∠EAF ，∴△BAD ∽△EAF ，又∵∠AHF=∠DHG ,∴∠FGD=∠FAD=1802β︒-.点睛：本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质、相似三角形的性质及性质题目的综合性很强，难度也不小，解题的关键是对特殊几何图形的性质要准确掌握．。
九年级数学上册 专题突破讲练 相似三角形的性质试题 (新版)青岛版
—————————— 新学期 新成绩 新目标 新方向 ——————————相似三角形的性质相似三角形的性质1. 相似三角形的对应角相等；2. 相似三角形的对应边成比例；3. 相似三角形对应高、对应中线、对应角平分线、对应周长的比等于相似比。
方法归纳：（或技巧归纳）当你发现问题中出现以下情况时，很可能是借助相似来解决： ① 比或比例；示例：平行四边形ABCD 中，E 在DC 上，若DE ：EC=1：2，则BF ：EF=_________．AC解析：此题主要考查了平行四边形、相似三角形的性质．由题可知△ABF ∽△CEF ，然后根据相似比求解．答案：3：2 解：∵DE ：EC=1：2；∴EC ：CD=2：3即EC ：AB=2：3，∵AB ∥CD ， ∴△ABF ∽△CEF ，∴BF ：EF=AB ：EC=3：2．② 线段的积；示例：四边形中，AC 平分∠DAB，∠ADC =∠ACB=90°，求证：2AC AB ADA解析：由AC 平分∠DAB ，∠ADC=∠ACB=90°，可证得△ADC ∽△ACB ，然后由相似三角形的对应边成比例，证得AC 2=AB•AD；证明：∵AC 平分∠DAB ，∴∠DAC=∠CAB ，∵∠ADC=∠ACB=90°， ∴△ADC ∽△ACB ，∴AD ：AC=AC ：AB ，∴AC 2=AB•AD；③边或角所在三角形与已知的边或角所在三角形不全等。
示例：如图，在Rt△ABC 中，∠ACB=90°，AB=5，AC=4，AB 的垂直平分线DE 交BC 的延长线于点E ，则CE 的长为_________．BE解析：本题主要考查直角三角形性质、线段垂直平分线的性质及相似三角形性质的应用及方程的数学思想．解决此题需要我们利用线段的垂直平分线的性质和三角形相似进行计算．答案：76解：∵∠ACB=90°，AB=5，AC=4，根据勾股定理得：BC=3， 而AB 的垂直平分线DE 交BC 的延长线于点E ，∴BD=52，∠BDE=90°，又∵∠B=∠B，∴△ACB∽△EDB，∴BC：BD=AB ：BE ，又BC=3，AB=5，∴BE=256，从而得到CE=BE —BC=76．总结：1.掌握相似三角形的性质；2. 能利用相似三角形的性质求角的度数或线段的长度、线段之间的关系等。
教育最新K12九年级数学上册 专题突破讲练 相似三角形的判定试题 (新版)青岛版
相似三角形的判定一、比例线段与黄金分割1. 在四条线段a 、b 、c 、d 中，如果a 与b 的比等于c 与d 的比，即a b ＝cd，我们就把这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段。
2. 点C 把线段AB 分成两条线段AC 和BC ，如果AC AB ＝BC AC，那么称线段AB 被点C 黄金分割，点C 叫做线段AB 的黄金分割点，AC 与AB 的比叫做黄金比。
方法归纳：比例的性质①基本性质：如果a b ＝c d ，那么ad ＝bc 。
如果ad ＝bc （a 、b 、c 、d 都不等于0），那么a b＝c d。
②合比性质：如果a b ＝c d ，那么a ±b b ＝c ±dd 。
③等比性质：如果a b ＝c d ＝…＝m n （b ＋d ＋…＋n ≠0），那么a ＋c ＋…＋m b ＋d ＋…＋n ＝ab。
二、相似三角形的判定相似三角形的判定分为： ①两角对应相等两三角形相似；②两边对应成比例且夹角相等两三角形相似； ③三边对应成比例两三角形相似。
其中对两角对应相等两三角形相似的考查最为普遍。
方法归纳： 特殊三角形的相似：①所有的全等三角形都相似； ②所有的等边三角形都相似； ③所有的等腰直角三角形都相似。
总结：1. 了解黄金分割，了解线段的比、比例线段，理解并掌握比例线段的基本性质及简单应用。
2. 掌握两个三角形相似的判定条件。
例题1 如图，在△ABC 中，D 是AB 边上的一点，连接CD ，请添加一个适当的条件__________，使△ABC ∽△ACD 。
（只填一个即可）解析：相似三角形的判定有三种方法：①三边法：三组对应边的比相等的两个三角形相似；②两边及其夹角法：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；③两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似。
由此得出可添加的条件。
解：由题意得，∠A ＝∠A （公共角），则可添加：∠ACD ＝∠ABC 或∠ADC ＝∠ACB ，利用两角法可判定△ABC ∽△ACD 。
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相似中的“射影定理”1.射影定理直角三角形射影定理（又叫欧几里德（Euclid）定理）：直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项。
每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项。
R t ABC中，∠BAC＝90°，AD是斜边BC上的高，则有射影定理如下：如图，△（1）AD2=BD⋅DC（2）AB2=BD⋅BC（3）AC2=CD⋅BC△ABC∽△ABD∽△DAC注意：R t ABC中，A D为斜边BC上的高，图中共有6条线段：AC、BC、CD、AD、DB、AB，已知任意两条，便（1）在△可求出其余四条；（2）射影定理的每个乘积式中含三条线段，若已知两条线段，可求第三条；（3）平方项一定是两相似三角形的公共边。
2.定理推论在△ABC中，D是BC边上的一点，且满足∠BAD=∠C，则有AB2=BD⋅BC。
△ABD∽△CBAC B，求证：CEF∽△CBA。
例题1已知CD是△ABC的高，DE⊥CA，DF⊥△解析：根据△CDE∽△CAD和△CDB∽△CFD得CD2=CE CA和CD2=CF⋅C B利用等量代换和变形，即可证明△CEF∽△CBA。
答案：证明：在△R t ADC中，由射影定律得，C D2=CE⋅C A，R t BCD中，CD2=CF⋅C B在△（ （ ∴ AC∴ CE ⋅ C A = CF ⋅ C B∴ CE CF =CB CA∵ ∠ECF = ∠BCA∴△CEF ∽△CBA点拨：本题主要考察了相似三角形的基本模型射影定理的应用。
做题时要善于发现相似，找出等量关系，进行 适当的变形。
例题 2 已知：如图，AB 为⊙O 的直径，AC 为弦，CD ⊥AB 于 D 。
若 AE ＝AC ，BE 交⊙O 于点 F ，连接 CF 、 DE 。
求证：（1） AE 2 = AD • AB（2） ∠ACF = ∠AED解析： 1）根据 AE ＝AC ，可以把结论转化为证明 AC 2 = AD • AB ，只需连接 △B C ，证明 ACD ∽△ABC 即可。
（2） 根据（1）中的结论，即可证明三角形 ADE 相似于三角形 AEB ，得到∠AED ＝∠B ，再根据同弧所对的圆周角相等即可证明。
答案： 1）连接 B C ，∵AB 为⊙O 的直径， ∴∠ACB ＝90° ∵CD ⊥AB ，∴△ACD ∽△ABC ，AB=AD AC∵AC ＝AE ，∴ AE 2 = AD • AB（2）∵ AE 2 = AD • AB ，∠EAD ＝∠BAE ， ∴△ADE ∽△AEB ， ∴∠AED ＝∠B∵∠ACF ＝∠B ，∴∠ACF ＝∠AED点拨：本题主要考查了对相似三角形的判定和性质的掌握和应用，注意转化思想的应用是解决本题的关键。
a 2 +b 2 2 a 2 + b 2 = a 2 + b 2a 2 +b 2 - = 1， ab【要点总结】射影定理是相似三角形中的特殊形式，经常结合圆、矩形、平面直角坐标系和函数考查，因此要善于在复杂的 图形中发现满足射影定理的模型，并对其进行代数式的变形，以及等量代换，从而达到解题目的。
例题 如图，在 △R t ABC 中，CD ，CE 分别是斜边 AB 上的高和中线，BC ＝a ，AC ＝b （b ＞a ），若 t an ∠DCE = 1 3，求 a b的值。
解析： 在 △R t ABC 中，利用射影定理得到 BC 2 = BD • BA ，进而得到 BD 的表达式，由面积法可求出 CD 的长， 根据 CE 为中线，建立关系式 DE ＝BE ﹣BD ，再根据正切函数的定义，建立关于 a 、b 的关系式。
答案：在 △R t ABC 中，∵∠ACB ＝90°，CD ⊥AB ∴ BC 2 = BD • BA ，BC 2 a 2 1 1ab 即： BD = 。
由等面积法知： ab = AB ⋅ C D ，∴ CD =BA 2 2 a 2 + b 2 1 a 2 b 2 - a 2又因为 CE 是中线，则 DE = BE - BD = 。
2b 2 - a 2。
在 △R t CDE 中， tan ∠DCE = 2 a 2 + b 2 = 13 3a 2 +b 2得： 3a 2 + 2ab - 3b 2 = 0 ，解得 a = -1 ± 10 a 10 - 1 a - 10 - 1b ，于是有 = 或 = （舍负值）。
3 b 3 b 3点拨：本题考查了射影定理、勾股定理、解直角三角形，综合性较强，要认真对待。
（答题时间：30 分钟）一、选择题1. 在 △R t ABC 中，∠C ＝90°，CD ⊥AB ，垂足为点 D ，若 AD ：BD ＝9：4，则 AC ：BC 的值为（）A. 9：4B. 3：2C. 4：9D. 2：3*2. 在 △R t ABC 中，∠BAC ＝90°，AD ⊥BC 于点 D ，若 AC 3 BD = ，则 ＝（ ）AB 4 CDA. 4 3B. 3 4 16 9C.D.9 16*3. 已知：在△ABC 中，∠BAC ＝90 °，AD ⊥BC 于 D ，M 为 BC 中点。
下列关系式中正确的是（ ）A. AC 2 - AB 2 = 2DM ⋅ BCB. AC 2 - BC 2 = 2DM ⋅ ACC. AC 2 + AB 2 = 2DM ⋅ ACD. BC 2 - AB 2 = 2 A D ⋅ ACC **4. 若正实数 x ，y ，z 满足① x 2 + y 2 = z 2 ， ② z x 2 - r 2 = r 2 。
则下列关系式中正确的是（ ）A. xy > zrB. xy = zrC. xy < zrD. 无法确定二、填空题*5. 如图，△ABC 中 AB = AC ，点 D 在 BC 上，以 BD = 8 为直径作⊙O ， 恰过 A 点，若 AC 与⊙O 相切，则 AB 的 长为 。
*6. 如图，矩形 ABCD 中， 则 AG ：GE ＝。
AB 5 1 3= ，点 E 在 BC 上，点 F 在 CD 上，且 EC = BC ， FC = CD ，FG ⊥AE 于 G ， BC 6 6 5*7. 两个任意大小的正方形，都可以适当剪开，拼成一个较大的正方形，如用两个边长分别为a ，b 的正方形拼成 一个大正方形。
图中 △R t ABC 的斜边 AB 的长等于 （用 a ，b 的代数式表示）。
*8. △R t ABC 中 ， ∠BAC ＝ 90° ， AD 是 斜 边 BC 上 的 高 ， 则 AB 2 , AC 2 , AD 2 三者之间的等量关系式为。
三、解答题*9. 如图，AB 为⊙O 的直径，为⊙O 上一点，CD ⊥AB 于点 D ，交 AE 于点 G ，弦 CE 交 AB 于点 F ，求证：AC 2 = AG • AE 。
*10. （沈阳模拟）已知 △R t ABC 中，∠BAC ＝90°，AD ⊥BC ，垂足为 D ，DF ⊥AC ，垂足为 F ，DE ⊥AB ，垂足为 E 。
求证：（Ⅰ） AB • AC = AD • BC （Ⅱ） AD 3 = BC • BE • CF直线 AC 于点 F 。
若AB**11. 已知：如图，BD 、CE 是△ABC 的高，DG ⊥BC 与 CE 交于 F ，GD 的延长线与 BA 的延长线交于点 H 。
求证： GD 2 = GF • GH 。
**12. （莆田）（1）如图 1，在 △R t ABC 中，∠ABC ＝90°，BD ⊥AC 于点 D 。
求证： AB 2 = AD • AC ； ABBD （2）如图 2，在 △R t ABC 中，∠ABC ＝90°，点 D 为 BC 边上的点，BE ⊥AD 于点 E ，延长 BE 交 AC 于点 F 。
== 1 ，BC DC求 AF FC的值；（3）在 △R t ABC 中，∠ ABC ＝90°，点 D 为直线 BC 上的动点（点 D 不与 B 、C 重合），直线 BE ⊥AD 于点 E ，交BDAF== n ，请探究并直接写出的所有可能的值（用含 n 的式子表示），不必证明。
BCDCFC=BC===，选C。
xy=zr，即xy=zr。
z D B1.B解析：由射影定理得C D2=AD⋅BD，又∵AD:BD=9:4，∴AD:BD:CD=9:4:6，∴AC:BC=AD:CD=3:2，故选B。
2.C解析：由勾股定理得：AC:AB:BC=3:4:5∵AD⊥BC，可得：△ABC∽△DBA∽△DAC∴AB2=BD⋅BC，AC2=CD⋅BCAB2BD AB24216CD AC2AC2329BC3.A解析：由∠BAC＝90°，AD⊥BC，∴△ABC∽△DBA∽△DAC，可得AC2=CD⋅BC，AB2=BD⋅BC。
又∵M为BC中点，可得AM=BM=CM=12 BC，∴AC2-AB2=BC⋅(CD-BD)=BC⋅⎡⎣CM+DM-(BM-DM)⎤⎦=2BC⋅DM。
4.B解析：如图，由条件①x2+y2=z2可构造△R t ABC，由条件②z x2-r2=r2联想到射影定理，作斜边z上的高r，由三角形的面积可得：1122Cy xrA x2-r25.43解析：连接AD，作AH⊥BC于H点，设AB=AC=x，CD=y，由CAD∽≥?CBA得：x2=y y+8)①由射影定理得：AB2=BH⋅BD，故BH=AB2x2=，BD8又知H为BC中点，故BC=2BH，即8+y=2⨯由①、②解得：x=43。
x2x2=②846.4∶1解析：矩形ABCD中，AB513 =，点E在BC上，点F在CD上，且EC=BC，FC=CD，FG⊥AE BC665于 G ，∴ DF = 2 ∴ AF9. 证明：延长 CG ，交⊙O 于点 M ，∵AB ⊥CM ，∴ AC = AM ，∴∠ACG ＝∠E = , = , = = + = , = 又 ∵∠A ＝∠ ，∴△A A DB ∽△ABC ，∴ABAD DF AD DFCD ，∴ = 2 ， = 2 ，∴ = ，5 CF CE CF CE 又∵∠ECF ＝∠FDA ，∴△CEF ∽△DFA ，∴ AD DF= = 2 ，∠AFD ＝∠FEC ，CF CE∴∠AFD ＋∠CFE ＝∠FEC ＋∠CFE ＝90°，∴∠AFE ＝90° 又∵FG ⊥△A E ，∴ AFE ∽△AGF ，△AFG ∽△FEG ，AG FG AF FG 1 = = = 2 ，则 AG ＝2FG ， = ＝2，∴ EG = FG ，EF FG EG EF EG 2∴AG ＝4EG ，AG ：GE ＝4：1。