体积流体的能量方程
流体力学能量方程
流体力学能量方程
流体力学能量方程是流体力学基本方程之一，它根据流体运动的物理
原理对流体势能进行描述。
它可以用来分析流体动力学中流体运动的能量
特性，简化流体力学设计和分析的程序，并用于求解流体动力学问题。
流体力学能量方程的基本形式为：
∂(ρeu)/∂t + ∂(ρeuv)/∂x + ∂(ρeV2)/∂y + ∂(ρegh)/∂z = 0。
其中，ρ是流体的密度，e是单位体积的能量，u和v分别是流体在
x和y方向上的速度，g是重力加速度，h是流体的截面高度，t是时间。
该方程表明，随着时间的推移，流体总动能和总势能的变化之和为0，即流体总能量保持不变。
流体流动的基本方程
4）运动粘度
v
单位： SI制：m2/s； 物理单位制：cm2/s，用St表示。
1St 100cSt 104 m 2 / s
关于黏度的讨论
① 黏度是流体的重要物理性质之一，可由实验测定 ② 常见流体的黏度值可由相关手册中查取；当缺乏实验数据 时，还可由经验公式计算 ③ 一般气体的黏度值远小于液体的黏度值 ④ 流体的黏度是温度T的函数 气体：T↑，黏度↑ 液体：T↑，黏度↓
运动流体的流速、压强、密度等有关物理量 稳态流动： 仅随位置而改变，而不随时间而改变 上述物理量不仅随位置而且随时间变化的流 非稳态流动： 动。
三、牛顿粘性定律与流体的粘度
1. 牛顿粘性定律
流体的内摩擦力：运动着的流体内部相邻两流体层间的作 用力。又称为粘滞力或粘性摩擦力。 ——流体阻力产生的来源
一、流量与流速
1、流量
单位时间内流过管道任一截面的流体量，称为流量。 若流量用体积来计量，称为体积流量VS；单位为：m3/s。 若流量用质量来计量，称为质量流量mS；单位：kg/s。 体积流量和质量流量的关系是： mS VS
2、流速
单位时间内流体在流动方向上流过的距离，称为流速u。
VS 单位为：m/s。数学表达式为： u A
mS u1 A11 u2 A2 2
若流体为不可压缩流体
uA 常数
VS
mS
u1 A1 u2 A2
uA 常数
——一维稳态流动的连续性方程
对于圆形管道，
2 2 u1 d1 u2 d 2 4 4
u1 d 2 u2 d 1
?
⑤ 流体的黏度值一般不随压力而变化
流体的分类： 按流体流动时应力与速度梯度之间的关系，流体可分为 牛顿型流体： 服从牛顿粘性定律的流体， 应力与速度梯度成正比例关 系 非牛顿型流体：不服从牛顿粘性定律的流体 ， 应力与速度梯度不满足正 比例关系
第二节 流体流动的基本方程式
第二节 流体流动的基本方程式化工厂中流体大多是沿密闭的管道流动，液体从低位流到高位或从低压流到高压，需要输送设备对液体提供能量；从高位槽向设备输送一定量的料液时，高位槽所需的安装高度等问题，都是在流体输送过程中经常遇到的。
要解决这些问题，必须找出流体在管内的流动规律。
反映流体流动规律的有连续性方程式与柏努利方程式。
1-2-1 流量与流速一、流量单位时间内流过管道任一截面的流体量称为流量。
若流体量用体积来计量，称为体积流量，以V s 表示，其单位为m 3/s ；若流体量用质量来计量，则称为质量流量，以w s 表示，其单位为kg/s 。
体积流量与质量流量的关系为：w s =V s ·ρ (1-16) 式中 ρ——流体的密度，kg/m 3。
二、流速单位时间内流体在流动方向上所流经的距离称为流速。
以u 表示，其单位为m/s 。
实验表明，流体流经管道任一截面上各点的流速沿管径而变化，即在管截面中心处为最大，越靠近管壁流速将越小，在管壁处的流速为零。
流体在管截面上的速度分布规律较为复杂，在工程计算中为简便起见，流体的流速通常指整个管截面上的平均流速，其表达式为： A V u s = （1-17）式中 A ——与流动方向相垂直的管道截面积，m 2。
流量与流速的关系为：w s =V s ρ=uA ρ （1-18） 由于气体的体积流量随温度和压强而变化，因而气体的流速亦随之而变。
因此采用质量流速就较为方便。
质量流速，单位时间内流体流过管路截面积的质量，以G 表示，其表达式为：ρρu A V A w G s s === （1-19）式中 G ——质量流速，亦称质量通量；kg/（m 2·s ）。
必须指出，任何一个平均值都不能全面代表一个物理量的分布。
式1-17所表示的平均流速在流量方面与实际的速度分布是等效的，但在其它方面则并不等效。
一般管道的截面均为圆形，若以d 表示管道内径，则 24d V u s π= 于是 uV d sπ4=（1-20） 流体输送管路的直径可根据流量及流速进行计算。
流体的能量方程
广义牛顿假设代入后的动能方程
牛顿粘性假设： 代入
（2.36 ） （2.65）可得：
其中：
10
动能方程各项的含义
左边：动能变化率 ① ：质量力做功 ② ：面力做功的和 ③ ：微团膨胀（压缩）做功所增加（减少）的动能 ④ ：-E 恒为负值，表示由于粘性摩擦总是动能减少（损耗）
11
热流量方程
两点说明： ① 一般机械能包括动能和位能，而位能是由于引力作用产生
的，而流体中流点之间的引力作用非常小，一般不予以考 虑，所以流体的机械能只考虑动能部分。 ② 流体总能量方程的假设：设流体是“完全气体”，此时流 体的内能可以写成： ， 是定容比热。 对非孤立系统：总能量的变化等于外力做功（包括质量力 和系统外部的面力做功）和热量的输入。下面一项项的看： （取一块体积为τ ，面积为 σ 的小流体块）。
2
总能量：机械能和热能(内能)—(对流体)—动能和内能， 即：
（单位质量的内能和动能）： ➢ 小流体块总能量的变化率： ➢ 质量力做功率： ➢ 面力做功率： ➢ 热流入量（如单位时间经过辐射或其他原因传入小流体块
的总热量）： q 是单位质量流体块受到的热流入量。
3
合并积分部分，并把全微分写到积分号里面去，再除以密
② 理想不可压流体作定常运动时存在伯努利方程（2.73’）， 它将速度和压力联系起来，可以“测压求速”，而不用 解复杂的运动方程。
③ 应用——皮托管。
20
度后，得到：
d dt
ห้องสมุดไป่ตู้
cvT
V2 2
uv uv F V
1
div
化工原理(华理)-流体流动- [考研大题]
![化工原理(华理)-流体流动- [考研大题]](https://img.taocdn.com/s3/m/05dd8a3d83c4bb4cf7ecd187.png)
2、B阀关小，u↓，上游压力↑ 所以h1↑, h2↑
hf = ∆p l u2 = h1 − h2 = λ ρg d 2g Q u ↓⇒（h1 − h2 ) ↓
判断： 已知管道有阻塞 ①判断上游、下游？ ②判断阻塞位置？ 管道发生异常，应在P1 和P2之间。 管道阻塞，阻力增大， 上 游 P ↑ ,下 游 P ↓ 所以，流体流动从P1→P2
Pa + 65334.6 = Pa + ( 1.5 + 0.02 uB = 3.85 m / s
（1）阀门部分开，PB压力变化
35 + 1.5 1000 2 )× uB 0.1 2
ρ 2 u + ρΣh f1−2 2 2
p B '＝ Pa ＋13600 × 9 .81 × 0 . 4－1000 × 9 .81 × 1 .4＝ Pa ＋ 39632 . 4
判断：
ζ1 ↑ , qV__,qV1__, qV2__,qV3__ 阀门1关小，支管流量↓，总流量↓
平行管路h f 相等，h f 1 = h f 2 = h f 3 h f 1 ↑⇒ h f 2 = λ l u2 , h f 2 ↑⇒ u 2 ↑∴ qv 2 ↑ d 2
2
3
结论 ： 支路中 局部 阻 力 系数 ↑， 如 阀门 关 小 该 支 管内 流量↓， 总 管 流 量 ↓， 其余 支 路流 量 ↑， 阀门 上游 压力 ↑， 下 游压 力 ↓。 这个规 律具 有 普 遍性 。
流体在均匀直管内作定态流动，平均速度沿流程保持 定值，并不因内摩擦而减速
实际流体
He + z1 g +
化工原理 第一章 管内流体流动的基本方程式
伯努力家族的成员，有一半以上的天赋超越一般人的水准 ，至少超过120人以上的伯努力家族后裔，在法律、学术、科 学、文学、专门技术等方面享有名望。
2019/8/3
内的速度。
1
2
3a
3b 附图
2019/8/3
解： 管1的内径为
d1 89 2 4 81mm
则水在管1中的流速为：
u1
4qV
d12
9 103 0.785 0.0812
1.75m/s
管2的内径为： d2 108 2 4 100mm
则水在管2中的流速为：
u2
u1
(
d1 d2
)2
1.75 ( 81 )2 100
1.15m/s
2019/8/3
管3a及3b的内径为：
d3 57 2 3.5 50mm
又水在分支管路3a、3b中的流量相等，则有：
u2 A2 2u3 A3
即水在管3a和3b中的流速为：
u3
u2 2
(d2 d3
)2
质量流速：单位时间内流体流过管道单位面积的质量流量
用w表示，单位为kg/(m2.s)。
数学表达式为：w qm qV u
AA
对于圆形管道， A d 2
4
u
qV
d2
d 4qV
u
4
——管道直径的计算式
生产实际中，管道直径应如何确定？
2019/8/3
3、管径的估算 （1）管径的选择原则
第4章-流体流动守恒原理-讲义1-守恒方程
工 程 流 体 力 学 ENGINEERING FLUID MECHANICS
4 流体流动的守恒原理
(2) 动量矩守恒方程
Sichuan University
d(r v)m 控制面净输出 控制体内总动 M M + 的动量矩流量 量矩的变化率 dt 系统
一般形式的动量矩守恒方程：
M (r v) ( v n)dA
CS
d (r v) dV dt CV
平均速度表示的动量方程：
d F v q v q vx dV 2 x m2 1 x m1 x dt CV d F v q v q v y dV y 2 y m2 1 y m1 d t CV d Fz v2 z qm 2 v1z qm1 vz dV dt CV
工 程 流 体 力 学 ENGINEERING FLUID MECHANICS
4 流体流动的守恒原理
4.2 质量守恒方程
(1) 控制面上的法向速度及质量流量
法向速度： vn | v | cos v n
>0, 即 / 2, 流体输出控制面 v n =0, 即 / 2, 流体平行控制面 <0, 即 / 2, 流体输入控制面
v ( v n)dA
CS
d dt
dmv 输出控制体 输入控制体 控制体内的 F + F 的动量流量 的动量流量 动量变化率 dt 系统
一般形式的动量守恒方程： F v ( v n)dA
流体运动的动力学定律
流体运动的动力学定律流体运动是自然界中一种常见的现象，它涉及到许多物理定律和原理。
在流体力学领域，有一些基本的动力学定律可以帮助我们理解和描述流体运动的规律。
本文将介绍一些重要的流体力学定律，并探讨其应用。
1. 质量守恒定律质量守恒定律是流体力学中最基本的定律之一。
它表明在任何封闭系统中，质量是不会被创造或者消失的，只会发生转移或者转化。
在流体运动中，质量守恒定律可以用以下公式表示：∂ρ/∂t + ∇·(ρv) = 0其中，ρ是单位体积内的质量，v是流体的速度矢量，∂/∂t表示对时间的偏导数，∇·表示散度运算符。
这个方程表明质量的变化率等于流入和流出的质量之差。
2. 动量守恒定律动量守恒定律是描述流体运动中动量守恒的重要定律。
它可以用以下公式表示：ρ(∂v/∂t + v·∇v) = -∇P + ∇·τ + ρg其中，P是压力，τ是应力张量，g是重力加速度。
这个方程表明流体的动量变化率等于压力梯度、应力梯度和重力之和。
3. 能量守恒定律能量守恒定律是描述流体运动中能量守恒的基本定律。
它可以用以下公式表示：ρC(∂T/∂t + v·∇T) = ∇·(k∇T) + Q其中，C是比热容，T是温度，k是热导率，Q是单位体积内的热源。
这个方程表明流体的能量变化率等于热传导、热源产生和流体运动对温度的影响之和。
4. 流体静力学定律流体静力学定律描述了静止流体中的压力分布和压力的传递规律。
根据这个定律，静止流体中的压力在任何方向上都是相等的，并且压力沿着流体中的任意路径传递。
这个定律可以用来解释液体中的浮力现象和液体的压强。
5. 流体动力学定律流体动力学定律描述了流体运动中的压力分布和流速的关系。
根据这个定律，流体中的压力随着流速的增加而减小，在流速较大的地方压力较低，在流速较小的地方压力较高。
这个定律可以用来解释流体在管道中的流动、喷泉的原理等。
综上所述，流体运动的动力学定律是研究流体力学的基础。
流体力学中的三大基本方程
dx
dt
p x
fx
单位质量流体的运动微分方程：
dx
dt
1
p x
fx
16
同理可得y,z方向上的：
dx
dt
x
t
x
x
x
y
x
y
z
x
z
1
p x
fx
dy
dt
y
t
x
y
x
y
y
y
z
y
z
1
p y
fy
dz
dt
z
t
x
z
x
y
z
y
z
z
z
1
p z
fz
17
向量形式：
dr
r f
1
gradp
dt
——理想流体欧拉运动微分方程
式中：
2x
z 2
)
y
t
x
y
x
y
y
y
z
y
z
fy
1
p y
( 2 y
x2
2 y
y 2
2 y )
z 2
19
z
t
x
z
x
y
z
y
z
z
z
fz
1
p z
( 2z
x 2
2z
y 2
2z )
z 2
1.
含有四个未知量（
，
x
y，完 z整, P的）方程组。
2. 描述了各种量间的依赖关系。
3. 通解、单值条件（几何条件、物理条件、边界条件、初始 条件）→特解。
管内流体流动的基本方程式
将(1)式各项同除重力加速度g :
z + 1 u2 + p = Const.
2g ρg
式中各项单位为 J/kg = J N = m
N/kg
z ——位压头
u2
——动压头
2g
p ——静压头 ρg
总压头
（2）
二、理想流体管流的机械能守恒
理想流体 （1)μ＝0，τ＝0，无阻力损失 （2) 均匀流段截面上各点的总势能相等 （3) 截面上速度分布均匀，各点的动能相等
Pa
ρ gz1 + ρ
u12 2
+
p1 +
pT
=
ρ gz2
+ρ
u22 2
+
p2
+ ρhf
其中
pT = heρ
为输送设备（风机）对流体1m3所提供的能量（全风压）， 是选择输送设备的（风机）重要的性能参数之一。
2. Bernoulli方程的讨论
1）适用条件：不可压缩、连续、均质流体、等温流动 Incompressible, continuous, homogeneous fluid, isothermic flow 2）Bernoulli方程表明：理想流体做稳定流动，没有外功加入 时，任意截面上单位质量流体的总机械为一常数。 3）对于实际流体，在管路内流动时，应满足：
分析：
求流量qv
已知d
qv
=
3600u ⋅ π
4
d2
求u
直管 任取一截面
气体
判断能否应用？
柏努利方程
解：取测压处及喉颈分别为截面1-1’和截面2-2’ 截面1-1’处压强 ：
P1 = ρHg gR = 13600 × 9.81× 0.025= 3335Pa(表压）
伯努利流体力学方程
伯努利流体力学方程
伯努利流体力学方程是描述理想流体在恒定流动状态下，沿着一根流线流动过程中能量守恒的基本物理定律。
它在流体力学中具有广泛的应用，特别是对于液体和气体流动问题。
伯努利流体力学方程可以写成如下形式：
$$P+\frac{1}{2}\rho v^2+\rho gh=C$$
其中：
- P是流体的静压力，即流体在静止状态下所受的压强；
- ρ是流体的密度；
- v是流体的流速，即在流体中某一点上，每单位时间通过该点的流体体积；
- g是重力加速度；
- h是流体在该点上的高度差，相对于某一基准面；
- C是一个常数，即伯努利常数，它在整个流体的过程中保持不变。
伯努利方程从能量的角度来描述了流体在流动中的变化，它表明流体的总能量保持不变，即流体压力、动能和重力势能之和在任意一点上都保持相等，从而可以用于分析流体在不同处的流态变化。
例如，当流体贯穿缩流器或狭窄部分的管道时，流速会增加，而压力会降低，这是因为伯努利方程中流速的平方项会导致压力降低。
类似地，当流体流经扩张部分的管道时，
流速会降低，而压力会升高，这是由于伯努利方程对能量的绝对守恒要求。
流体力学中三大基本方程
（ d t） d x d y d zd x d y d z d td x d y d z
t
t
单位时间内，微元体质量增量：
dtdxd/dyt dzdxdydz
t
t
（微团密度在单位时间内的变率及微团体积的乘积）
⑶根据连续性条件：
t x （ x ） y （ y） z （ z） 0
ax
dx
dt
x
t
x
x
x
y
x
y
z
x
z
ay
dy
dt
y
t
x
y
x
y
y
y
z
y
z
az
dz
dt
z
t
x
z
x
y
z
y
z
z
z
⑷代入牛顿第二定律求得运动方程：
得x方向上的运动微分方程：
d d txd x d y d z p xd x d y d z fx d x d y d z
单位体积流体的运动微分方程：
dx
dt
同理可得在单位时间内沿y，z方向流出 及 流入控制体的质
量差为
vy
d
x
d
yd和z
vz
dxdydz
y
z
故单位时间内流出及流入微元体流体质量总变化为：
x （ x） y （ y） z（ z） dxdydz
⑵控制体内质量变化：
因控制体是固定的，质量变化是因密度变化引起的，dt时间内：
pxfx
单位质量流体的运动微分方程：
dx
dt
1
p x
fx
同理可得y,z方向上的：
流体力学三大方程公式及符号含义
流体力学是研究流体运动和力学的学科，涉及流体的运动规律、压力、密度等物理性质。
在流体力学的研究中，三大方程公式是非常重要的理论基础，它们分别是连续方程、动量方程和能量方程。
本文将对这三大方程公式及其符号含义进行详细介绍。
一、连续方程连续方程是描述流体连续性的重要方程，它表达了流体在运动过程中质点的连续性。
连续方程的数学表达式为：\[ \frac{\partial \rho}{\partial t} + \nabla \cdot (\rho \mathbf{v}) = 0 \]其中，符号和含义说明如下：1.1 ∂ρ/∂t：表示密度随时间的变化率，ρ为流体密度。
1.2 ∇·(ρv)：表示流体质量流动率的散度，∇为Nabla算子，ρv为流体的质量流速矢量。
这一方程表明了在运动的流体中，质量是守恒的，即单位体积内的质量永远不会减少，这也是连续方程的基本原理。
二、动量方程动量方程描述了流体运动过程中动量的变化和传递，是流体力学中的核心方程之一。
其数学表达式为：\[ \frac{\partial (\rho \mathbf{v})}{\partial t} + \nabla \cdot (\rho \mathbf{v} \mathbf{v}) = -\nabla p + \nabla \cdot \mathbf{\tau} + \mathbf{f} \]其中，符号和含义说明如下：2.1 ∂(ρv)/∂t：表示动量随时间的变化率。
2.2 ∇·(ρv⃗v)：表示动量流动率的散度。
2.3 -∇p⃗：表示流体受到的压力梯度力。
2.4 ∇·τ⃗：表示应力张量的散度，τ为流体的粘性应力张量。
2.5 f⃗：表示单位体积内流体受到的外力。
动量方程描述了流体内部和外部力之间的平衡关系，它是研究流体运动规律和动力学行为的重要方程。
三、能量方程能量方程描述了流体在运动过程中的能量变化规律，包括内能、压力能和动能等能量形式。
流体力学 第四章 能量方程
例题
• 求喷嘴对管子的作用力。忽略摩擦，油的相对密度
为0.85，已知截面1的计示压强为 Pe1=7×105 Pa ，d1=10cm，d2=4cm。
d1
d2
3.11黏性流体总流的伯努利方程
v2 p v2 p v u gz dA v u gz dA 0 2 2 A2 A1
质量力作功
表面力作功
d v2 u dV fv dV pn v dA Q 2 dt V CV CS
v v u 2 dV vn u 2 dA t CV CS fv dV pn v dA Q
d v2 v2 v2 u 2 dV t u 2 dV vn u 2 dA dt V CV CS
f v dV
CV
pn v dA
cs
Q
系统交换热量
CS CS CS
为0
管道流动 定常流动
v2 v2 p u gz dV vn u gz dA 0 t 2 2 CV CS
v2 p vn u gz dA 0 2 CS
例题
• 输油管道中安装一个收缩段以便测量流量Q
，管径d1=260mm，收缩到d2=180mm ，使用如图所示的缸套、活塞装置，活塞 直径D=300mm，油的密度为850kg/m3 ，如果固定活塞所要的力F=75N，求管中 油的体积流量Q。
例题
• 矿山排风管将井下废气排入大气，为了测量排风的
流量，在排风出口处装有一个收缩、扩张的管嘴， 其喉部处安装一个细管。下端插入水中。喉部流速 大，压强低，细管中出现一段水柱。已知空气密度 为1.25kg/m3，管径d1=400mm，d2=600mm ，水柱高h=45mm，求体积流量Q。
计算流体力学(中科院力学所)_第1讲-基本方程
r r r t r E + (( E + p)V ) = ρF V + (τ Copyright(by Li Xinliang V ) + kT ) t
r rr r t ρV d = ∫∫∫[ ( ρVV ) + ρF + P]d t ∫∫∫
rr r t r ρV + ( ρVV ) = ρF + P Copyright by Li Xinliang t
12
基本概念： 张量） 基本概念： 应力 （张量）
t r r pn = P n
Copyright by Li Xinliang 4
流动控制方程
理论解 解析解） （解析解）
精确解： 精确解： Poiseuille解， 解 Blasius解， Plantdl 湍流边界层解 解 渐进解、近似解： 渐进解、近似解： Stokes解 解
数值解
方程复杂（非线性偏微方程组）， 方程复杂（非线性偏微方程组）， 解析解很难获得
第一章 绪论
1. 计算流体力学的基本概念
计算流体 动)力学 计算流体(动 力学 Computational Fluid Dynamics 简称CFD 简称 “计算流体力学是通过数值方法求解流体力 计算流体力学是通过数值方法求解流体力 计算流体力学是通过数值方法 学控制方程，得到流场的离散的定量描述 离散的定量描述， 学控制方程，得到流场的离散的定量描述， 并以此预测流体运动规律的学科”。 并以此预测流体运动规律的学科 。
单位体积内流体的总能量=动能 内能 单位体积内流体的总能量 动能+内能 动能
E = ρe + 1 ρV 2 2
流出的体积dV带走的能量 流出的体积 带走的能量
流体(流体力学三大方程)
流体(流体力学三大方程)
流体力学是研究流体运动的一门科学。
它基于流体三大方程，即
连续性方程、动量方程和能量方程构建，并通过这些方程深入研究流
体在不同条件下的运动规律和性质。
首先，连续性方程是流体力学的基础之一。
这个方程描述了流体
的质量守恒，即相同质量的流体在相同时间内通过任意给定的流体体
积边界的质量是不变的。
这个方程使我们能够理解流体的流动速度和
流量的关系，为日常生活中各种流体系统的设计提供了指导。
其次，动量方程揭示了流体运动中的力学规律。
它表达了流体受
到的力和流体运动状态之间的关系。
通过研究动量方程，我们能够深
入了解流体在不同流速和受力情况下的行为，进而优化流体系统的设计，提高其运行效率。
最后，能量方程描述了流体在运动中的能量变化。
这个方程对于
研究流体的热力学性质非常重要，它考虑了流体在运动中受到的压力、温度和速度等影响。
通过能量方程的研究，我们能够更好地理解流体
系统中的热传递和能量转化过程，从而为改进流体系统的热能利用提
供指导。
总之，流体力学三大方程为我们深入理解流体运动提供了重要的
工具和方法。
通过对连续性方程、动量方程和能量方程的研究，我们
可以揭示流体在不同条件下的运动规律和性质，为流体力学的应用提
供指导。
无论是液体在管道中的流动、气体在发动机中的燃烧，还是
海洋中的涡流运动，流体力学的三大方程都发挥着重要的作用，对于解决实际问题起到了至关重要的作用。
因此，深入学习和理解这些方程，对于从事与流体运动相关的工程和科研工作的人来说是必不可少的。
化工原理-连续性方程
实验表明，流体流经一段管路时，由于流体 存在黏性，使得管截面上各点的速度不同。在工 程计算上为了方便起见，流体的流速通常指整个 管截面上的平均流速。
3
二、流速
平均速度 平均速度指体积流量与流通截面面积之比，
以u 表示，其单位为m/s。
u Vs A
ws Vs uA
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二、流动系统的机械能衡算式与伯努利(Bernoulli)方程式
1kg流体在截面1-1′与2-2′之间所获得的总热量
因此
Qe Qe hf
U Qe hf
v2 pdv
v1
克服流动阻 力而消耗的
机械能
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二、流动系统的机械能衡算式与伯努利(Bernoulli)方程式
代入
u2 U gz
实际上，Q ′应当由两部分组成：一部分是 e
流体与环境所交换的热，即图1-14中换热器所提
供的热量Q ；另一部分是由于液体在截面1-1′至 e
2-2′间流动时，为克服流动阻力而消耗的一部 分机械能，这部分机械能转变成热，致使流体的 温度略微升高，从实用上说，这部分机械能是损 失掉了，因此常称为能量损失。
适用条件：不 可压缩理想流
体
29
伯努利 (Bernoulli)方程
三、伯努利方程的讨论
1.伯努利方程
gz1
u12 2
p1
gz2
u22 2
p2
该方程表示理想流体在管道内作稳态流动而 又没有外功加入时，在任一截面上单位质量流体 所具有的位能、动能、静压能之和为一常数，称
为总机械能，以E表示，单位为J/kg。换言之，各
2
( pv) Qe We
中，可得
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（3-4）
第三讲 通风能量方程
2 单位质量（体积）流体的能量方程 能量方程表达了空气在流动过程中的压能、动能和位能的变化规律， 是能量守恒和转换定律在矿井通风中的应用。在井巷通风中，风流 的能量由机械能（静压能、动压能、位能）和内能组成，常用1kg空 气或1m3空气所具有的能量表示。机械能：静压能、动压能和位能之 和。
无压源
（3-9）
有压源
2 v1 v2 2 h R P1 P2 2 2 1 g m1Z1 g m2 Z 2 + H t （3-10） 2
hR：克服流动阻力消耗的能量；Ht：有压源。
第三讲 通风能量方程
3 关于能量方程使用的几点说明 能量方程的意义是表示1kg（或1m3）空气由1断面流向2断面的过 程中所消耗的能量（通风阻力），等于流经1、2断面间空气总机械 能（静压能、动压能和位能）的变化量。
第二章 矿井空气流动的基本理论
第三讲 通风能量方程
第三讲 通风能量方程
1 空气流动连续性方程
稳定流：流动参数不随时间变化的流动。 在矿井巷道中流动的风流是连续不断的介质，充满它所流经的空 间。在无点源或点汇存在时，根据质量守恒定律：对于稳定流， 流入某空间的流体质量必然等于流出的流体质量。
第三讲 通风能量方程
第三讲 通风能量方程
应用能量方程时要注意各项单位的一致性。 对于流动过程中流量发生变化，则按总能量守恒与转换定律列方 程：
2 v1 v2 2 Q1 Z g P Q Z g P 2 1 1 2 2m 2 2 1m 1 2 2 2 v3 (3-11) Q3 3 m Z3 g P3 2 3 Q 2 h R12 Q 3 h R13
风流流动必须是稳定流，即断面上的参数不随时间的变化而变化；
所研究的始、末断面要选在缓变流场上。
第三讲 通风能量方程
风流总是从总能量（机械能）大的地方流向总能量小的地方。 正确选择求位能时的基准面。 在始、末断面间有压源时，压源的作用方向与风流的方向一致，压 源为正，说明压源对风流做功；如果两者方向相反，压源为负，则压 源成为通风阻力。
1 空气流动连续性方程 如图井巷中风流从1断面流向2 断面，作定常流动时，有：
1v1 s1 2 v2 s2 （3-1） M i const ρ１、ρ2 －－1、2断面上空气的平均密度，kg/m3 ； V1,，V2－－1、2 断面上空气的平均流速，m/s； S1、S2 －－ 1、２断面面积，m2。 对于可压缩流体： 若 S1＝S2，则ρ１ V1＝ ρ２ V２ （3-2） 对于不可压缩流体： 若ρ１＝ρ２，则 V1 S1＝ V２ S２ （3-3） 图3-1 通过任一断面的体积流量相等，即 Q vi si const
2 1 3
图3-3
图3-2
1 1 断面总能量:
1
2
P2
P1
v1 g.Z1 u1 （3-5） 2
2
2 2断面总能量:
v2 g.Z 2 u2 （3-6） 2
2
第三讲 通风能量方程
单位质量流体的能量方程： 无压源
LR P 1 P2
2 v1 v2 2 2 2 gZ1 Z 2
m
（3-7）有压源来自LR P1 P2
m
2 v1 v2 2 g Z1 Z 2 Lt 2 2
（3-8）
LR：克服流动阻力消耗的能量；Lt：有压源。
第三讲 通风能量方程
单位体积流体的能量方程：
2 v1 v2 2 h R P1 P2 2 2 1 g m1Z1 g m2 Z 2 2
内能：风流内部所具有的分子内动能与分子位能之和。空气的内能
是空气状态参数的函数，即：u =f（ T，P）。
第三讲 通风能量方程
假设：1kg空气由1-1 断面流至 2-2 断面的过程中，1-1、2-2断 面的参数分别为风流的绝对静 压P1、P2；风流的平均流速v1、 v2；风流的内能u1、u2；风流的 密度1、2；距基准面的高程 Z1、Z2。