空间向量和垂直关系
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理解教材新知
3.2
第 三 章
第 二 课 时
把握热点考向
应用创新演练
考点一 考点二 考点三
第二课时 空间向量与垂直关系
直线的方向向量和平面的法向量可以确定直线和平面 的位置．因此，可用向量方法解决线面垂直关系的判断及 证明．
问题1：直线的方向向量与一平面的法向量平行，则 该直线与平面有什么关系？
[一点通] 证明面面垂直通常有两种方法，一是利用面 面垂直的判定定理转化为线面垂直、线线垂直去证明；二是 证明两个平面的法向量互相垂直．
5．在正棱锥P－ABC中，三条侧棱两两互相垂直，G是 △PAB的重心，E，F分别为BC，PB上的点，且BE∶ EC＝PF∶FB＝1∶2. 求证：平面GEF⊥平面PBC.
同理可证，A1O⊥OG. 又∵OG∩BD＝O， ∴A1O⊥平面GBD. 法二：如图，取D为坐标原点，DA， DC，DD1所在的直线分别为x轴， y轴、z轴建立空间直角坐标系． 设正方体棱长为2， 则O(1,1,0)，A1(2,0,2)，G(0,2,1)， B(2,2,0)，D(0,0,0)，
[例 3] 三棱锥被平行于底面 ABC 的平面所截得的几何体如右图所示，截面 为 A1B1C1，∠BAC＝90°，A1A⊥平面 ABC，A1A＝ 3，AB＝AC＝2A1C1＝2， D 为 BC 的中点．证明:平面 A1AD⊥平面 BCC1B1.
[例2] 如图所示，在正方体ABCD－ A1B1C1D1中，E，F分别是BB1，D1B1的 中点． 求证：EF⊥平面B1AC.
[精解详析] 法一：设 AB＝a， AD＝c， AA1 ＝b， 则 EF ＝ EB1 ＋ B1F ＝12( BB1 ＋ B1D1 ) ＝12( AA1 ＋ BD)＝12( AA1 ＋ AD－ AB) ＝12(－a＋b＋c). ∵ AB1 ＝ AB＋ AA1 ＝a＋b, ∴ EF ·AB1 ＝12(－a＋b＋c)·(a＋b)
()
A．1
B．－2
C．－3
D．3
解析：l1⊥l2⇔a⊥b，
∴2×2＋1×2＋(－2)×m＝0，∴m＝3.
答案：D
2.正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为 AC的中点. 证明： (1)BD1⊥AC； (2)BD1⊥EB1.
证明：以 D 为原点，DA，DC，DD1 所在直线分别为 x 轴，y 轴，z 轴建 立如图所示的空间直角坐标系 Dxyz， 设正方体的棱长为 1，则 B(1,1,0)、 D1(0,0,1)，A(1,0,0)，C(0,1,0)，E(12，12，0)，B1(1,1,1)．
提示：垂直． 问题2：若两平面的法向量垂直，则两平面垂直吗？ 提示：垂直．
证明垂直关系的向量方法
线线垂直
线面垂直
面面垂直
证明直线的方向向
证明两直线的方向
证明两个平面的法
量与平面的法向量
向量垂直
向量垂直
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ是平行向量
用向量法证明线线、线面、面面之间的垂直关系， 主要是找出直线的方向向量、平面的法向量之间的关系， 因此求直线的方向向量及平面的法向量是解题关键．
＝12(b2－a2＋c·a＋c·b) ＝12(|b|2－|a|2＋0＋0)＝0. ∴ EF ⊥ AB1 ，即 EF⊥AB1.同理，EF⊥B1C. 又 AB1∩B1C＝B1，∴EF⊥平面 B1AC. 法二：设正方体的棱长为 2，以 D 为原点，以 DA，DC，DD1 所在直线分 别为 x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空 间直角坐标系，
[例1] 在棱长为a的正方体OABC－O1A1B1C1中，E， F分别是AB，BC上的动点，且AE＝BF，求证：A1F⊥C1E.
[精解详析] 以 O 为坐标原点建立如图所示的空间直角 坐标系，则 A1(a,0，a)，C1(0，a，a)．
设 AE＝BF＝x， 则 E(a，x,0)，F(a－x，a,0)． ∴ A1F ＝(－x，a，－a)， C1E ＝(a，x－a，－a)． ∵ A1F ·C1E ＝(－x，a，－a)·(a，x－a，－a) ＝－ax＋ax－a2＋a2＝0， ∴ A1F ⊥C1E ，即 A1F⊥C1E.
[一点通] 法一选基底，将相关向量用基底表示出来， 然后利用向量的计算来证明．法二、法三建立空间直角坐 标系，利用坐标将向量的运算转化为实数(坐标)的运算， 以达到证明的目的．
3．已知直线l与平面α垂直，直线的一个方向向量为u＝ (1,3，z)，向量v＝(3，－2,1)与平面α平行，则z＝ ________. 解析：∵l⊥α，v∥α，∴u⊥v. ∴(1,3，z)·(3，－2,1)＝0，即3－6＋z＝0，z＝3. 答案：3
[思路点拨] 思路一： 证明BC⊥AD →
证明BC⊥AA1 → BC⊥平面A1AD → 平面A1AD⊥平面BCC1B1 思路二： 求平面A1AD的法向量n1 → 求平面BCC1B1的法向量n2 → 证明n1·n2＝0 → 平面A1AD⊥平面BCC1B1
[精解详析] 法一：如右图，建立空间直角坐标系， 则 A(0,0,0)，B(2,0,0)，C(0,2,0)， A1(0,0， 3)，C1(0,1， 3)． ∵D 为 BC 的中点， ∴D 点坐标为(1,1,0)． ∴ AD＝(1,1,0)， AA1 ＝(0,0， 3)， BC ＝(－2,2,0)． ∴ AD·BC ＝1×(－2)＋1×2＋0×0＝0， AA1 ·BC ＝0×(－2)＋0×2＋ 3×0＝0.
4.如图所示，在正方体ABCD－ A1B1C1D1中，O为AC与BD的 交点，G为CC1的中点，求证： A1O⊥平面GBD.
证明：法一：设 A1B 1 ＝a， A1D1 ＝b， A1 A＝c， 则 a·b＝0，b·c＝0，a·c＝0. 而 A1O＝ A1 A＋ AO＝ A1 A＋12( AB＋ AD) ＝c＋12(a＋b)，
[一点通] 利用向量法证明线线垂直往往转化为证 明直线的方向向量垂直，即证明它们的方向向量的数量 积为0.证明的关键是建立恰当的空间直角坐标系，正确 地表示出点的坐标进而求直线的方向向量．
1．设直线l1的方向向量为a＝(2,1，－2)，直线l2的方向向
量为b＝(2,2，m)，若l1⊥l2，则m＝
3.2
第 三 章
第 二 课 时
把握热点考向
应用创新演练
考点一 考点二 考点三
第二课时 空间向量与垂直关系
直线的方向向量和平面的法向量可以确定直线和平面 的位置．因此，可用向量方法解决线面垂直关系的判断及 证明．
问题1：直线的方向向量与一平面的法向量平行，则 该直线与平面有什么关系？
[一点通] 证明面面垂直通常有两种方法，一是利用面 面垂直的判定定理转化为线面垂直、线线垂直去证明；二是 证明两个平面的法向量互相垂直．
5．在正棱锥P－ABC中，三条侧棱两两互相垂直，G是 △PAB的重心，E，F分别为BC，PB上的点，且BE∶ EC＝PF∶FB＝1∶2. 求证：平面GEF⊥平面PBC.
同理可证，A1O⊥OG. 又∵OG∩BD＝O， ∴A1O⊥平面GBD. 法二：如图，取D为坐标原点，DA， DC，DD1所在的直线分别为x轴， y轴、z轴建立空间直角坐标系． 设正方体棱长为2， 则O(1,1,0)，A1(2,0,2)，G(0,2,1)， B(2,2,0)，D(0,0,0)，
[例 3] 三棱锥被平行于底面 ABC 的平面所截得的几何体如右图所示，截面 为 A1B1C1，∠BAC＝90°，A1A⊥平面 ABC，A1A＝ 3，AB＝AC＝2A1C1＝2， D 为 BC 的中点．证明:平面 A1AD⊥平面 BCC1B1.
[例2] 如图所示，在正方体ABCD－ A1B1C1D1中，E，F分别是BB1，D1B1的 中点． 求证：EF⊥平面B1AC.
[精解详析] 法一：设 AB＝a， AD＝c， AA1 ＝b， 则 EF ＝ EB1 ＋ B1F ＝12( BB1 ＋ B1D1 ) ＝12( AA1 ＋ BD)＝12( AA1 ＋ AD－ AB) ＝12(－a＋b＋c). ∵ AB1 ＝ AB＋ AA1 ＝a＋b, ∴ EF ·AB1 ＝12(－a＋b＋c)·(a＋b)
()
A．1
B．－2
C．－3
D．3
解析：l1⊥l2⇔a⊥b，
∴2×2＋1×2＋(－2)×m＝0，∴m＝3.
答案：D
2.正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为 AC的中点. 证明： (1)BD1⊥AC； (2)BD1⊥EB1.
证明：以 D 为原点，DA，DC，DD1 所在直线分别为 x 轴，y 轴，z 轴建 立如图所示的空间直角坐标系 Dxyz， 设正方体的棱长为 1，则 B(1,1,0)、 D1(0,0,1)，A(1,0,0)，C(0,1,0)，E(12，12，0)，B1(1,1,1)．
提示：垂直． 问题2：若两平面的法向量垂直，则两平面垂直吗？ 提示：垂直．
证明垂直关系的向量方法
线线垂直
线面垂直
面面垂直
证明直线的方向向
证明两直线的方向
证明两个平面的法
量与平面的法向量
向量垂直
向量垂直
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ是平行向量
用向量法证明线线、线面、面面之间的垂直关系， 主要是找出直线的方向向量、平面的法向量之间的关系， 因此求直线的方向向量及平面的法向量是解题关键．
＝12(b2－a2＋c·a＋c·b) ＝12(|b|2－|a|2＋0＋0)＝0. ∴ EF ⊥ AB1 ，即 EF⊥AB1.同理，EF⊥B1C. 又 AB1∩B1C＝B1，∴EF⊥平面 B1AC. 法二：设正方体的棱长为 2，以 D 为原点，以 DA，DC，DD1 所在直线分 别为 x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空 间直角坐标系，
[例1] 在棱长为a的正方体OABC－O1A1B1C1中，E， F分别是AB，BC上的动点，且AE＝BF，求证：A1F⊥C1E.
[精解详析] 以 O 为坐标原点建立如图所示的空间直角 坐标系，则 A1(a,0，a)，C1(0，a，a)．
设 AE＝BF＝x， 则 E(a，x,0)，F(a－x，a,0)． ∴ A1F ＝(－x，a，－a)， C1E ＝(a，x－a，－a)． ∵ A1F ·C1E ＝(－x，a，－a)·(a，x－a，－a) ＝－ax＋ax－a2＋a2＝0， ∴ A1F ⊥C1E ，即 A1F⊥C1E.
[一点通] 法一选基底，将相关向量用基底表示出来， 然后利用向量的计算来证明．法二、法三建立空间直角坐 标系，利用坐标将向量的运算转化为实数(坐标)的运算， 以达到证明的目的．
3．已知直线l与平面α垂直，直线的一个方向向量为u＝ (1,3，z)，向量v＝(3，－2,1)与平面α平行，则z＝ ________. 解析：∵l⊥α，v∥α，∴u⊥v. ∴(1,3，z)·(3，－2,1)＝0，即3－6＋z＝0，z＝3. 答案：3
[思路点拨] 思路一： 证明BC⊥AD →
证明BC⊥AA1 → BC⊥平面A1AD → 平面A1AD⊥平面BCC1B1 思路二： 求平面A1AD的法向量n1 → 求平面BCC1B1的法向量n2 → 证明n1·n2＝0 → 平面A1AD⊥平面BCC1B1
[精解详析] 法一：如右图，建立空间直角坐标系， 则 A(0,0,0)，B(2,0,0)，C(0,2,0)， A1(0,0， 3)，C1(0,1， 3)． ∵D 为 BC 的中点， ∴D 点坐标为(1,1,0)． ∴ AD＝(1,1,0)， AA1 ＝(0,0， 3)， BC ＝(－2,2,0)． ∴ AD·BC ＝1×(－2)＋1×2＋0×0＝0， AA1 ·BC ＝0×(－2)＋0×2＋ 3×0＝0.
4.如图所示，在正方体ABCD－ A1B1C1D1中，O为AC与BD的 交点，G为CC1的中点，求证： A1O⊥平面GBD.
证明：法一：设 A1B 1 ＝a， A1D1 ＝b， A1 A＝c， 则 a·b＝0，b·c＝0，a·c＝0. 而 A1O＝ A1 A＋ AO＝ A1 A＋12( AB＋ AD) ＝c＋12(a＋b)，
[一点通] 利用向量法证明线线垂直往往转化为证 明直线的方向向量垂直，即证明它们的方向向量的数量 积为0.证明的关键是建立恰当的空间直角坐标系，正确 地表示出点的坐标进而求直线的方向向量．
1．设直线l1的方向向量为a＝(2,1，－2)，直线l2的方向向
量为b＝(2,2，m)，若l1⊥l2，则m＝