与圆锥曲线焦点弦相关的一个优美结论
圆锥曲线最最常用二级结论总结
圆锥曲线最最常用二级结论总结圆锥曲线的二级结论总结如下：1.通径：对于任意一条圆锥曲线，其焦点到该曲线上任意一点的连线与该曲线的法线垂直。
2.焦点弦AB：对于椭圆和双曲线，焦点弦AB的长度等于该曲线的长轴长度；对于抛物线，焦点弦AB的长度等于该曲线的焦距的两倍。
3.AF与BF的关系：对于椭圆和双曲线，AF和BF的和等于该曲线的长轴长度；对于抛物线，AF和BF的差等于该曲线的焦距。
4.焦点到曲线的距离：对于任意一条圆锥曲线，焦点到该曲线上任意一点的距离等于该点到曲线的法线的距离。
5.焦点到直线的距离：对于任意一条圆锥曲线，焦点到直线的距离等于该直线到曲线的法线的距离。
6.焦点到焦点连线的距离：对于任意一条圆锥曲线，焦点到焦点连线的距离等于该曲线的离心率乘以焦距的长度。
7.焦点到中点弦的距离：对于椭圆和双曲线，焦点到中点弦的距离等于该曲线的短轴长度的一半；对于抛物线，焦点到中点弦的距离等于该曲线的焦距的一半。
8.切线：对于任意一条圆锥曲线，其切线斜率等于该点处的导数。
经过改写后的内容如下：圆锥曲线的二级结论总结如下：1.通径：对于任意一条圆锥曲线，其焦点到该曲线上任意一点的连线与该曲线的法线垂直。
2.焦点弦AB：对于椭圆和双曲线，焦点弦AB的长度等于该曲线的长轴长度；对于抛物线，焦点弦AB的长度等于该曲线的焦距的两倍。
3.AF与BF的关系：对于椭圆和双曲线，AF和BF的和等于该曲线的长轴长度；对于抛物线，AF和BF的差等于该曲线的焦距。
4.焦点到曲线的距离：对于任意一条圆锥曲线，焦点到该曲线上任意一点的距离等于该点到曲线的法线的距离。
5.焦点到直线的距离：对于任意一条圆锥曲线，焦点到直线的距离等于该直线到曲线的法线的距离。
6.焦点到焦点连线的距离：对于任意一条圆锥曲线，焦点到焦点连线的距离等于该曲线的离心率乘以焦距的长度。
7.焦点到中点弦的距离：对于椭圆和双曲线，焦点到中点弦的距离等于该曲线的短轴长度的一半；对于抛物线，焦点到中点弦的距离等于该曲线的焦距的一半。
圆锥曲线焦点弦的一个优美恒等式及应用
有Ｉ １ — ｎ － 十 — ｍ Ｉ １ ： 。 ｌ 。 １ ， 其 中 为 离 心 率 ．
分析 ： 由于椭 圆是轴对称 图形 ， 故只需证 明其过 右焦 点 的情况． 我们 先证 明倾斜 角 为锐 角的情况．
已知椭 圆 ＋ ： １ （ 。 ＞ ６ ＞ ０ ） 的右焦 点 为Ｆ ， 过腿 倾
过Ｂ 作Ｂ Ｂ 。 垂 直准线于日 。 ， 过Ｂ 作Ｂ Ａ ＿ Ｌ Ａ Ａ １ 于Ａ
由圆锥 曲线统一性定义知
ＢＦ ＝ ＢＢ１ ＝ｎ， ＡＦ＝ ＡＡ １ ＝ ｍ，
Ａ Ｉ Ｏ 榀
图２
＝ ｅ ．—
—
：ｅ ．
—
＼
．
ＢＢＪ
ｌ
夕 ｎ Ａ Ａ
， Ａｌ
ｆ ［ Ｊ Ｂ Ｂｌ ： — ｎ —， ＡＡ１ ： — ｉ ｎ —
ｅ ｅ
，
￣ ［ Ｉ ＢＢ １ ： — ｍ —， ＡＡ１ ： — ｎ —
ｅ ｅ
，
ｎ Ａ２ ：— ｍ－
—
．
彭 Ａ ２ ＝ — ｎ － — ｍ．
Ｉ ｌ
则 有 Ｉ １ — ｒ ｎ ｔ － 十 — ｍ Ｉ １ ： ｃ ｏ ｓ ｌ ， 其 中 为 离 心 率 ．
分析 ： 由于双曲线是轴对称 图形 ， 故 只需证 明其过右 焦点 的情 况． 我们先证 明倾斜角ｏ ／ 为锐角的情况．
已知 双 曲线 一 ： １ （ ｎ ＞ ０ ， ６ ＞ ０ ） 的右焦 点 为Ｆ ， 过Ｆ
Ｉ Ｉ
证： Ｉ — ｎ － — ｍ Ｉ ： ｌ 。 Ｉ ， 其中 为 离 心 率 ．
Ｉ ｎ＋， 孔 Ｉ
证明： 如 图２ ， 作Ａ Ａ 垂直右准线于Ａ ，
证明 ： 如图１ ， 作Ａ Ａ。 垂 直右 准线 于Ａ ， 过Ｂ 作Ｂ Ｂ 垂直右准线 于Ｂ ， 过 作Ｂ Ａ ＿ Ｉ ＿ Ａ Ａ 于Ａ 》
有关圆锥曲线的经典结论
有关解析几何的经典结论一、椭 圆1. 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角.2. PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相离.4. 以焦点半径PF 1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切.5. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=上，则过0P 的椭圆的切线方程是00221x x y y ab+=.6. 若000(,)P x y 在椭圆22221xya b+=外 ，则过Po 作椭圆的两条切线切点为P 1、P 2，则切点弦P 1P 2的直线方程是00221x x y ya b+=.7. 椭圆22221x y ab+= (a ＞b ＞0)的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为椭圆上任意一点12F PF γ∠=，则椭圆的焦点角形的面积为122tan2F P F S b γ∆=.8. 椭圆22221xya b+=（a ＞b ＞0）的焦半径公式：10||M F a ex =+,20||M F a ex =-(1(,0)F c - , 2(,0)F c 00(,)M x y ).9. 设过椭圆焦点F 作直线与椭圆相交 P 、Q 两点，A 为椭圆长轴上一个顶点，连结AP 和AQ 分别交相应于焦点F 的椭圆准线于M 、N 两点，则MF ⊥NF.10. 过椭圆一个焦点F 的直线与椭圆交于两点P 、Q, A 1、A 2为椭圆长轴上的顶点，A 1P 和A 2Q交于点M ，A 2P 和A 1Q 交于点N ，则MF ⊥NF. 11. AB 是椭圆22221x y ab+=的不平行于对称轴的弦，M ),(00y x 为AB 的中点，则22OM AB b k k a⋅=-， 即0202y a x b K AB -=。
12. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y ab+=内，则被Po 所平分的中点弦的方程是2200002222x x y y x y abab+=+. 13. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y ab+=内，则过Po 的弦中点的轨迹方程是22002222x x y y x y abab+=+.二、双曲线1. 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的内角.2. PT 平分△PF 1F 2在点P 处的内角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相交.4. 以焦点半径PF 1为直径的圆必与以实轴为直径的圆相切.（内切：P 在右支；外切：P 在左支）5. 若000(,)P x y 在双曲线22221x y ab-=（a ＞0,b ＞0）上，则过0P 的双曲线的切线方程是00221x x y y ab-=.6. 若000(,)P x y 在双曲线22221x y ab-=（a ＞0,b ＞0）外 ，则过Po 作双曲线的两条切线切点为P 1、P 2，则切点弦P 1P 2的直线方程是00221x x y y ab-=.7. 双曲线22221x y ab-=（a ＞0,b ＞o ）的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为双曲线上任意一点12F PF γ∠=，则双曲线的焦点角形的面积为122t2F P F S b co γ∆=.8. 双曲线22221xyab-=（a ＞0,b ＞o ）的焦半径公式：(1(,0)F c - , 2(,0)F c 当00(,)M x y 在右支上时，10||M F ex a =+,20||M F ex a =-.当00(,)M x y 在左支上时，10||M F ex a =-+,20||M F ex a =--9. 设过双曲线焦点F 作直线与双曲线相交 P 、Q 两点，A 为双曲线长轴上一个顶点，连结AP 和AQ 分别交相应于焦点F 的双曲线准线于M 、N 两点，则MF ⊥NF. 10. 过双曲线一个焦点F 的直线与双曲线交于两点P 、Q, A 1、A 2为双曲线实轴上的顶点，A 1P 和A 2Q 交于点M ，A 2P 和A 1Q 交于点N ，则MF ⊥NF. 11. AB 是双曲线22221x y ab-=（a ＞0,b ＞0）的不平行于对称轴的弦，M ),(00y x 为AB的中点，则0202y a x b K K AB OM =⋅，即0202y a x b K AB =。
与圆锥曲线焦点弦相关的一个优美结论
｛ｅｃｏｓ ０｛一 ｉ １．
下面 以椭 圆为 例证 明之 ． 证 明 弦 ＡＢ 过 椭 圆 的左 焦 点 Ｆ，左准 线 为 ｌ，由 ＡＦ＝ ＦＢ，可设 １ＡＦＩ＝Ａｔ，ｌＦＢｌ—ｔ（￡＞ Ｏ）． 当 ０为锐 角时 ，如 图 １，显 然 ＞ １，分别 过 Ａ、Ｂ ２ 点 作 ＡＡ 上ｚ、ＢＢ －ｌ＿ｌ，垂 足分 别 为 Ａ 、Ｂ ，过 点 Ｂ作 ＢＤ上ＡＡ ，由椭 圆 的第二 定义 可 得
精 神 、掌握 数 学 方 法 ．以 下 两点 有 助 于 数 学 猜 想 的 实
现 ．第 一 ，教师 要 鼓 励 、培 养 学 生 猜 想 意 识 的形 成 ．在
课 堂 教学 中 ，要 主动地 渗 透“猜 想 ＋验 证 ”这 一 科 学 思
维 方法 ．改 变 以往 满 堂 灌 的教 学 方 式 ，留 出一 定 的 时
【证 明】如 图 ６，作 ＯＦ上
ＡＢ 于 Ｆ，Ｆ 是 ＡＢ 的 中点 ．
ＦＭ 是 △ＡＢＣ 的 中 位 线 ，即
ＦＭ ／／ＡＣ且 ＡＣ一２ＦＭ． Ｒ 又 ＯＭ ／／ＡＨ 且 ＯＦ ／／
Ｈ Ｃ，得 △ ＨＡＣＣＯ△ ｏＭ Ｆ，且
Ｍ Ｅ
Ｃ
图 ６
．
相似 比为 ２．由此 证得 ＡＨ一２０Ｍ．
例 １ （２００８年 全 国 ＩＩ卷 ）已 知 Ｆ 是 抛 物 线 Ｃ：
ｙ ４ 的焦点 ，过 Ｆ且斜 率 为 １韵 直线 交 Ｃ于 Ａ Ｂ ２
点 设 Ｉ ＦＡ Ｉ＞ Ｉ ＦＢ Ｉ，则 』ＦＡ 『与 Ｉ ＦＢ Ｉ的 比 值 等
圆锥曲线焦点弦的八大结论
圆锥曲线焦点弦的八大结论圆锥曲线是几何学中的一类重要的曲线，包括圆、椭圆、双曲线和抛物线。
在圆锥曲线的研究中，焦点和弦是两个重要的概念，它们之间有着许多有趣的关系。
本文将介绍圆锥曲线焦点弦的八大结论。
一、椭圆的焦点弦椭圆有两个焦点，分别为F1和F2。
对于任意一条经过椭圆两个焦点的弦AB，有以下结论：1. 弦中点M在线段F1F2上；2. 焦点到弦的距离之和等于弦长，即AF1 + BF2 = AB；3. 焦点到弦的距离之差等于弦段所在直线与椭圆长轴的距离之差，即AF1 - BF2 = PM - PN，其中P和N分别为弦AB的两个端点在椭圆上的垂足；4. 焦点到弦的距离之比等于弦段所在直线与椭圆焦点连线的斜率，即AF1/AF2 = MF/MG，其中M为弦中点，G为椭圆长轴的中点；5. 弦中点M到椭圆两个焦点的距离之差等于弦段所在直线与椭圆长轴的距离之差，即MF1 - MF2 = PM - PN；6. 弦端点P和N到椭圆两个焦点的距离之差相等，即PF1 - PF2 = NF1 - NF2；7. 椭圆的两个焦点到弦的距离之积等于椭圆长轴的平方减去弦长的平方，即AF1·BF2 = AC - AB，其中AC为椭圆长轴的长度；8. 弦段所在直线与椭圆中心连线的斜率等于椭圆长轴和短轴的比值，即PG/PM = b/a，其中a和b分别为椭圆长轴和短轴的长度。
二、双曲线的焦点弦双曲线有两个焦点，分别为F1和F2。
对于任意一条经过双曲线两个焦点的弦AB，有以下结论：1. 弦中点M在线段F1F2的延长线上；2. 焦点到弦的距离之差等于弦长，即AF1 - BF2 = AB；3. 焦点到弦的距离之和等于弦段所在直线与双曲线渐近线的距离之和，即AF1 + BF2 = PM + PN，其中P和N分别为弦AB的两个端点在双曲线上的垂足；4. 焦点到弦的距离之比等于弦段所在直线与双曲线渐近线的斜率，即AF1/AF2 = MF/MG，其中M为弦中点，G为双曲线渐近线的中点；5. 弦中点M到双曲线两个焦点的距离之和等于弦段所在直线与双曲线渐近线的距离之和，即MF1 + MF2 = PM + PN；6. 弦端点P和N到双曲线两个焦点的距离之差相等，即PF1 - PF2 = NF2 - NF1；7. 双曲线的两个焦点到弦的距离之积等于双曲线的常数c的平方减去弦长的平方，即AF1·BF2 = c - AB，其中c为双曲线的常数；8. 弦段所在直线与双曲线中心连线的斜率等于双曲线焦点之间的距离和双曲线渐近线的斜率之和的倒数，即PG/PM = (F1F2/c) + (c/PN)。
有关圆锥曲线的经典结论
★说明：圆锥曲线我们并未学完，有些内容(如焦半径公式)将此资料发到群里是想让大家在日常学习过程中自我感悟使用，不要过分纠结于此!有关解析几何的经典结论、椭圆点P处的切线PT平分△ PFF2在点P处的外角.PT平分△ PF I F2在点P处的外角，则焦点在直线PT上的射影H点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点3. 以焦点弦PQ为直径的圆必与对应准线相离.4.5.6. 以焦点半径PR为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切.2 2笃•爲=1上，则过P)的椭圆的切线方程是x2x•电y=1.a b a b2 2务∙∙y2=1外，则过Po作椭圆的两条切线切点为P1、P2,则切点a bχoχ . y)y d -2 ,2 _1.a b若P) ( X o , y o)在椭圆若P)(X0, V o)在椭圆弦P i P2的直线方程是7.2 2椭圆x7γ2-1 (a > b > 0)的左右焦点分别为F1, F 2 ,点P为椭圆上任意一点a b2γ■ F1PF2 =,则椭圆的焦点角形的面积为S F1PF2 =b tan?.8.9.x2v2椭圆二2=1 (a > b > 0)的焦半径公式：a bIMF I I=a+ex o, ∣MF2 |=a-ex)( FJ-G O) , F2(c,O) M(X O,y°)).设过椭圆焦点F作直线与椭圆相交P、Q两点，A为椭圆长轴上一个顶点，连结AP和AQ分别交相应于焦点F的椭圆准线于M N两点，贝U MF⊥ NF.10. 过椭圆一个焦点F的直线与椭圆交于两点P Q, A1、A为椭圆长轴上的顶点，AP和A2Q交于点M A2P和AQ交于点N贝y MF⊥NF.11.2 2AB是椭圆x2 -y2=1的不平行于对称轴的弦，M(χ0, y0)为AB的中点，则a bkOM k AB = ~~ ,a即K AB「聖。
a y o12. 若P√χo,y o)在椭2a2b2—=1内，则被Po所平分的中点弦的方程是1.2.二、双曲线点P 处的切线 PT 平分△ PF 1F 2在点P 处的内角.直径的圆，除去长轴的两个端点P 在左支)13. X oX 2a2 X 2a2 2 V o V _ X oVo ,2 = 212 .b ab2 2P o(X o,V o)在椭圆笃∙∙V2=1内，则过a bPo 的弦中点的轨迹方程是2b 2X o X V o V 一 a 2 b 21. 2.PT 平分△ PFF 2在点P 处的内角，则焦点在直线 PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为 3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相交. 4.以焦点半径PF i 为直径的圆必与以实轴为直径的圆 相切.(内切：P 在右支；外切:5.是 X o X V o V =Ia 2b 26.2X 2V 2a b 222X V 2 a ^b 2上，则过P )的双曲线的切线方程,则过Po 作双曲线的两条切线切点为P 1、P 2,则切点弦P 1P 2的直线方程是X O 2XaV o V I b 2" 7.2 2双曲线笃-在-1a 2b 2(a > 0,b > o )的左右焦点分别为 F 1, F 2,点P 为双曲线上任意8.9.10. 11.√'点 NF 1PF 2 =Y , 则双曲线的焦点角形的面积为S F 1PF^ b 2co 巧.2 2 双曲线笃-爲=1a 2b 2当 M (X o , y °)在右支上时，∣MR 戶eX ) a , | MF 2 ∣=eX o -a . 当 M (X o , y o )在左支上时，∣MF 1 P -eX o a , ∣MF 2 ∣- -e>⅞ - a (a > 0,b > o )的焦半径公式：(F 1(-c,0) , F 2(c,0)设过双曲线焦点F 作直线与双曲线相交 P 、Q 两点，A 为双曲线长轴上一个顶点, 连结AP 和AQ 分别交相应于焦点 F 的双曲线准线于 M N 两点，则MF I NF. 过双曲线一个焦点 F 的直线与双曲线交于两点P 、Q, A 、A 为双曲线实轴上的顶点,AP 和A 2Q 交于点 M A 2P 和AQ 交于点 N,贝U MFL NF. 2 2XV AB 是双曲线 —2=1 (a > 0,b >0)的不平行于对称轴的弦,a '2L b 2 M (X o , y o )为 AB的中点，贝U K O M b 2X 0b 2X 0OK A 厂莎，即 K ABa 2V o 若P 0(χ0, y 0)在双曲线 =1 (a >0,b > 0) 若P 0(χ0, y 0)在双曲线=1 (a > 0,b > 0)X y (a >b >O )上异于长轴端点的任一点,F1, F 2是焦点, 若P 为椭圆「产=1 Q a -c α BNPF IF 2=α ,NPF 2F 1= 0 ,则——=tan —cot —•a C 2 2C二—二 e ・a2 2若椭圆=1 (a > b >0)的左、右焦点分别为 F 1、F 2,左准线为a bV e ≤ . 2 -1时，可在椭圆上求一点P ,使得PR 是P 到对应准线距离d 与PF z 的比例中项•2 26. P 为椭圆 令匕 =1 (a > b > 0)上任一点,F 1,F 2为二焦点，A 为椭圆内一定点，a b则2a-1 AF 2 μ∣ PA| | PF 1 A 2a | AF 1 |,当且仅当A,F 2,P 三点共线时，等号成12. X2V2若R (X 0, y °)在双曲线一2 2=1a b2(a >0,b >0)内，则被 Po 所平分的中点弦的13.1.2.方程是X °X VO Va 2b 22X 0a 2b 222X V若P 0(X 0, y 0)在双曲线—2=1 a b(a >0,b >0)内，则过 Po 的弦中点的轨迹方程是亀ax o x y o y 2 ~ 2 2 ■ b a b椭圆与双曲线的对偶性质椭(会推导的经典结论) 圆2X y 椭圆二 2=1 ( a > b > o )的两个顶点为 A l (-a,0), A 2(a,0)ab线交椭圆于P l - P 2时AP i 与A 2P 2交点的轨迹方程是2 2—I 2 I2 a b,与y 轴平行的直X 2过椭圆y2=1 (a >0, b >0)上任一点A(x °,y °)任意作两条倾斜角互补的直b线交椭圆于B,C 两点，则直线BC 有定向且k B 「些(常数).a y o3. a 24.设椭圆⅛古=1(a >b >0)的两个焦点为FI- F2，P (异于长轴端点)a 2为椭圆上任意一点, 在厶 PFF 2 中，记.F 1PF 2 = ： ,PF 1F 2= 1 , F 1F 2P=,则有Sin -■ sin ： Sin5. L 则当o7.8.9.10.11.12.13.(X -X0) (y i V0)+ 2 2= 1与直线Ax + By + C =0有公共点的充要条件是bA2a2B2b2_ (Ax0By0C)2.X y2已知椭圆2=1( a > b> 0),0为坐标原点，P、Q为椭圆上两动点，且OP_OQ.b2亠|OQ |2a2b2a2 b22 2X V过椭圆二2=1 (a> b>0)的右焦点F作直线交该椭圆右支于M,N两点，弦a b椭圆——2a2a(1)QP |2的最小值是MN的垂直平分线交2 2已知椭圆笃爲a2 b2线与X轴相交于点2 2二丄」；(2)∣OP∣2+∣OQ∣2的最大值为匕2尖；(3) S-OPQa b a b| PF | eX轴于P,则IL| MN | 2=1 ( a >b > 0) ,A、B、是椭圆上的两点，线段AB的垂直平分2 .2 2 .2a_b a_bP(X0,0),贝H X0 ：：-a a2设P点是椭圆鼻⅛=1 ( a>b>0)上异于长轴端点的任一点，F1、F2为其焦点X2a2记.F1PF2 - V 则⑴ |PFjPF2 卜严一.⑵ S PF I F^ b2tan^∙1+cosH 22 2冷，当=1 ( a > b > 0)的长轴两端点，P是椭圆上的一点，a bPAB h、，. PBA=I , ∙BPA=^ , c、e分别是椭圆的半焦距离心率，则有2ab21 cos | 2 C 2a2b2I⑴ IPAl 2 2 2.(2)tan： tan 1 -e2.(3) S PAB 2 2cot .a -C cos ；b -a设A、B是椭圆c、2 2已知椭圆仔γ2 =1( a > b> 0)的右准线I与X轴相交于点E ,过椭圆右焦点Fa b的直线与椭圆相交于A B两点，点C在右准线丨上，且BC _ X轴，则直线AC经过线段EF的中点.14. 过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线，与以长轴为直径的圆相交，则相应交点与相应焦点的连线必与切线垂直.15. 过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线交相应准线于一点，则该点与焦点的连线必与焦5.双曲线2 2平行的直线交双曲线于 P 1、P 2时AR 与A 2P 2交点的轨迹方程是 笃+爲=1.a b22过双曲线 %=1 （a >0,b >0）上任一点 A （x 0,y 0）任意作两条倾斜角互a b补的直线交双曲线于 B,C 两点，则直线BC 有定向且k BC = -∙b 2x ° （常数）. a y 。
圆锥曲线的一些重要结论
圆锥曲线的一些重要结论：1. 以椭圆的焦点弦为直径的圆与其相应的准线相离。
2. 以双曲线的焦点弦为直径的圆与其相应的准线相交。
3. 以抛物线的的焦点弦为直径的圆与其相应的准线相切。
4. 以椭圆上的任一点为顶点的焦点三角形中，过任一焦点作其外角平分线的垂线，垂足的轨迹必为一圆（除开两点）。
5. 双曲线上不同于顶点的任一点与两焦点所构成的三角形的内切圆必切于与该点同侧的双曲线顶点。
6. 抛物线的焦点弦，被焦点所分两线段长的倒数和为定值。
7. 椭圆上到一焦点的距离最值点必为长轴两顶点。
8. 椭圆上短轴顶点对两焦点所张的角是椭圆上任一点对两焦点所张角的最大者。
椭圆1.点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角。
2.若PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角，则焦点在PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴两个端点。
3.以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相离。
4.以焦半径PF 1为直径的圆必与长轴为直径的圆内切。
5.若),(000y x P 在椭圆12222=+b y a x 上，则过0P 的切线方程是12020=+b y y a x x 。
6. 若),(000y x P 在椭圆12222=+by a x 外，则过0P 作椭圆的两条切线切点为21,P P ,则切点弦21P P 所在的直线方程是12020=+b yy a x x 。
7. 椭圆12222=+b y a x 上任一点P ，若θ=∠21PF F ，则θcos 12||||221+=b PF PF ;2tan 221θb S PF F =∆。
8. 椭圆12222=+by a x 的焦半径公式：01||ex a MF +=，02||ex a MF -=。
其中)0,(),0,(21c F c F -。
9.设过椭圆的焦点F 作直线与椭圆交于P,Q 两点，A 是椭圆长轴的一个端点，连接AP 和AQ 分别交相应于焦点F 的椭圆的准线于M,N ，则MF ⊥NF.10. 设过椭圆的焦点F 作直线与椭圆交于P,Q 两点，A 1,A 2是椭圆长轴的端点，A 1P 与A 2Q 相交于点M ，A 2P 和A 1Q 相交于点N ，则MF ⊥NF.11.AB 是椭圆12222=+b y a x 的不平行于对称轴的弦),(00y x M 是弦AB 的中点，则22ab k k OM AB -=；AB 是椭圆12222=+b y a x 的长轴的端点,P 是椭圆上不同于A,B 的任一点,则22a b k k PB PA -=; AB 是椭圆12222=+by a x 的关于原点对称的两点,,P 是椭圆上不同于A,B 的任一点,则22ab k k PBPA -=.12.若),(000y x P 在椭圆12222=+b y a x 内，则被),(000y x P 平分的弦的方程是：=+2020by y a x x 220220b y a x +。
圆锥曲线焦点弦的几个重要结论
圆锥曲线焦点弦的几个重要结论作者：潘继军张海芳李荣玲来源：《科教导刊》2020年第15期摘要文献[1]用代数法在椭圆和双曲线领域中研究了“焦点弦”的问题，得出两个统一的定值，但在双曲线领域只研究了“焦点弦”在双曲线同一支上的情况，且用代数方法研究导致计算比较繁杂，本文用几何法进一步研究文献[1]中的相关问题，这样的研究非常简捷，同时将研究领域拓展和引申到抛物线，以及“焦点弦”分别在双曲线两支上的情况，便将文献[2]的性质进一步拓展和引申。
关键词圆锥曲线焦点弦性质Abstract In reference， we use algebraic method to study the problem of "focus string" in the field of ellipse and hyperbola， and get two unified fixed values. But in the field of hyperbola， we only study the situation that "focus string" is on the same branch of hyperbola， and using algebraic method to study leads to more complicated calculation. In this paper， we use geometric method to further study the related problems in reference ， which is very simple and convenient. When the research field is extended to parabola and "focus string" to hyperbola， the properties of reference are further extended.Keywords conic curve; focus string; nature0 引言關于圆锥曲线焦点弦的研究，人们已取得了一些研究成果，如：文献[1]用代数法研究了椭圆以及“焦点弦”在双曲线同一支上的“焦点弦”问题，并得出两个统一的定值及应用，文献[2]得出了三种圆锥曲线的“焦点弦”的一些优美性质，文献[3]得出“焦点弦长公式”，下面结合于文献[2]、文献[3]采用几何法进一步将文献[1]研究领域拓展和引申到抛物线，以及“焦点弦”分别在双曲线两支上的情况，便将文献[2]的性质进一步拓展和引申。
高中数学圆锥曲线重要结论总结
1 / 24圆锥曲线重要结论椭 圆1. 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角.2. PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相离.4. 以焦点半径PF 1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切.5. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=上，则过0P 的椭圆的切线方程是00221x x y y a b+=.6. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=外 ，则过Po 作椭圆的两条切线切点为P 1、P 2，则切点弦P 1P 2的直线方程是00221x x y y a b+=.7. 椭圆22221x y a b += (a ＞b ＞0)的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为椭圆上任意一点12F PF γ∠=，则椭圆的焦点角形的面积为122tan 2F PF S b γ∆=.8.椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0）的焦半径公式：10||MF a ex =+,20||MF a ex =-(1(,0)F c - , 2(,0)F c 00(,)M x y ).9. 设过椭圆焦点F 作直线与椭圆相交 P 、Q 两点，A 为椭圆长轴上一个顶点，连结AP 和AQ 分别交相应于焦点F 的椭圆准线于M 、N 两点，则MF⊥NF.10. 过椭圆一个焦点F 的直线与椭圆交于两点P 、Q, A 1、A 2为椭圆长轴上的顶点，A 1P 和A 2Q 交于点M ，A 2P 和A 1Q 交于点N ，则MF ⊥NF.11. AB 是椭圆22221x y a b +=的不平行于对称轴的弦，M ),(00y x 为AB 的中点，则22OM AB b k k a⋅=-，2 / 24即0202y a x b K AB-=。
双曲线1. 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的内角.2. PT 平分△PF 1F 2在点P 处的内角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相交.4. 以焦点半径PF 1为直径的圆必与以实轴为直径的圆相切.（内切：P 在右支；外切：P 在左支）5. 若000(,)P x y 在双曲线22221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）上，则过0P 的双曲线的切线方程是00221x x y y a b-=.6. 若000(,)P x y 在双曲线22221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）外 ，则过Po 作双曲线的两条切线切点为P 1、P 2，则切点弦P 1P 2的直线方程是00221x x y y a b-=.7. 双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞o ）的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为双曲线上任意一点12F PF γ∠=，则双曲线的焦点角形的面积为122t2F PF S b co γ∆=.8. 双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞o ）的焦半径公式：(1(,0)F c - , 2(,0)F c当00(,)M x y 在右支上时，10||MF ex a =+,20||MF ex a =-.当00(,)M x y 在左支上时，10||MF ex a =-+,20||MF ex a =--9. 设过双曲线焦点F 作直线与双曲线相交 P 、Q 两点，A 为双曲线长轴上一个顶点，连结AP 和AQ 分别交相应于焦点F 的双曲线准线于M 、N两点，则MF ⊥NF.10. 过双曲线一个焦点F 的直线与双曲线交于两点P 、Q, A 1、A 2为双曲线实轴上的顶点，A 1P 和A 2Q 交于点M ，A 2P 和A 1Q 交于点N ，则MF ⊥NF.3 / 2411. AB 是双曲线22221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）的不平行于对称轴的弦，M ),(00y x 为AB 的中点，则0202y a x b K K AB OM =⋅，即0202y a x b K AB =。
(完整版)圆锥曲线经典结论总结(教师版)
椭圆与双曲线的对偶性质--（必背的经典结论）高三数学备课组1. 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角.2. PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相离.4. 以焦点半径PF 1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切.5. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=上，则过0P 的椭圆的切线方程是00221x x y y a b +=.6. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b+=外 ，则过Po 作椭圆的两条切线切点为P 1、P 2，则切点弦P 1P 2的直线方程是00221x x y ya b+=.7. 椭圆22221x y a b+= (a ＞b ＞0)的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为椭圆上任意一点12F PF γ∠=，则椭圆的焦点角形的面积为122tan2F PF S b γ∆=.8. 椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0）的焦半径公式：10||MF a ex =+,20||MF a ex =-(1(,0)F c -,2(,0)F c 00(,)M x y ).9. 设过椭圆焦点F 作直线与椭圆相交 P 、Q 两点，A 为椭圆长轴上一个顶点，连结AP和AQ 分别交相应于焦点F 的椭圆准线于M 、N 两点，则MF ⊥NF.10. 过椭圆一个焦点F 的直线与椭圆交于两点P 、Q, A 1、A 2为椭圆长轴上的顶点，A 1P 和A 2Q 交于点M ，A 2P 和A 1Q 交于点N ，则MF ⊥NF.11. AB 是椭圆22221x y a b +=的不平行于对称轴的弦，M ),(00y x 为AB 的中点，则22OM AB b k k a ⋅=-，即0202y a x b K AB -=。
12. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b+=内，则被Po 所平分的中点弦的方程是2200002222x x y y x y a b a b+=+.13. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b+=内，则过Po 的弦中点的轨迹方程是22002222x x y yx y a b a b+=+.1. 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的内角.2. PT 平分△PF 1F 2在点P 处的内角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点. 3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相交.4. 以焦点半径PF 1为直径的圆必与以实轴为直径的圆相切.（内切：P 在右支；外切：P 在左支）5. 若000(,)P x y 在双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）上，则过0P 的双曲线的切线方程是00221x x y ya b-=. 6. 若000(,)P x y 在双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）外 ，则过Po 作双曲线的两条切线切点为P 1、P 2，则切点弦P 1P 2的直线方程是00221x x y ya b-=.7. 双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞o ）的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为双曲线上任意一点12F PF γ∠=，则双曲线的焦点角形的面积为122t2F PF S b co γ∆=.8. 双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞o ）的焦半径公式：(1(,0)F c -,2(,0)F c当00(,)M x y 在右支上时，10||MF ex a =+,20||MF ex a =-.当00(,)M x y 在左支上时，10||MF ex a =-+,20||MF ex a =--9. 设过双曲线焦点F 作直线与双曲线相交 P 、Q 两点，A 为双曲线长轴上一个顶点，连结AP 和AQ 分别交相应于焦点F 的双曲线准线于M 、N 两点，则MF ⊥NF. 10. 过双曲线一个焦点F 的直线与双曲线交于两点P 、Q, A 1、A 2为双曲线实轴上的顶点，A 1P 和A 2Q 交于点M ，A 2P 和A 1Q 交于点N ，则MF ⊥NF.11. AB 是双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）的不平行于对称轴的弦，M ),(00y x 为AB的中点，则0202y a x b K K AB OM =⋅，即0202y a x b K AB =。
圆锥曲线常用结论(无需记忆-会推导即可)
椭圆与双曲线--经典结论椭 圆1. 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角.2. PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角，那么焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相离.4. 以焦点半径PF 1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切.5. 假设000(,)P x y 在椭圆22221x y a b+=上，那么过0P 的椭圆的切线方程是00221x x y y a b +=. 6. 假设000(,)P x y 在椭圆22221x y a b+=外 ，那么过Po 作椭圆的两条切线切点为P 1、P 2，那么切点弦P 1P 2的直线方程是00221x x y ya b+=.7. 椭圆22221x y a b+= (a ＞b ＞0)的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为椭圆上任意一点12F PF γ∠=，那么椭圆的焦点角形的面积为122tan 2F PF S b γ∆=.8. 椭圆22221x y a b+=〔a ＞b ＞0〕的焦半径公式：10||MF a ex =+,20||MF a ex =-(1(,0)F c - , 2(,0)F c 00(,)M x y ).9. 设过椭圆焦点F 作直线与椭圆相交 P 、Q 两点，A 为椭圆长轴上一个顶点，连结AP 和AQ 分别交相应于焦点F 的椭圆准线于M 、N 两点，那么MF ⊥NF.10. 过椭圆一个焦点F 的直线与椭圆交于两点P 、Q, A 1、A 2为椭圆长轴上的顶点，A 1P 和A 2Q交于点M ，A 2P 和A 1Q 交于点N ，那么MF ⊥NF.11. AB 是椭圆22221x y a b+=的不平行于对称轴的弦，M ),(00y x 为AB 的中点，那么22OM ABb k k a ⋅=-，即0202y a x b K AB -=。
12. 假设000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=内，那么被Po 所平分的中点弦的方程是2200002222x x y y x y a b a b+=+. 13. 假设000(,)P x y 在椭圆22221x y a b+=内，那么过Po 的弦中点的轨迹方程是22002222x x y yx y a b a b+=+. 双曲线1. 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的内角.2. PT 平分△PF 1F 2在点P 处的内角，那么焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点. 3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相交.4. 以焦点半径PF 1为直径的圆必与以实轴为直径的圆相切.〔内切：P 在右支；外切：P 在左支〕5. 假设000(,)P x y 在双曲线22221x y a b-=〔a ＞0,b ＞0〕上，那么过0P 的双曲线的切线方程是00221x x y ya b-=.6. 假设000(,)P x y 在双曲线22221x y a b-=〔a ＞0,b ＞0〕外 ，那么过Po 作双曲线的两条切线切点为P 1、P 2，那么切点弦P 1P 2的直线方程是00221x x y ya b-=.7. 双曲线22221x y a b-=〔a ＞0,b ＞o 〕的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为双曲线上任意一点12F PF γ∠=，那么双曲线的焦点角形的面积为122t 2F PF S b co γ∆=. 8. 双曲线22221x y a b-=〔a ＞0,b ＞o 〕的焦半径公式：(1(,0)F c - , 2(,0)F c当00(,)M x y 在右支上时，10||MF ex a =+,20||MF ex a =-.当00(,)M x y 在左支上时，10||MF ex a =-+,20||MF ex a =--9. 设过双曲线焦点F 作直线与双曲线相交 P 、Q 两点，A 为双曲线长轴上一个顶点，连结AP 和AQ 分别交相应于焦点F 的双曲线准线于M 、N 两点，那么MF ⊥NF. 10. 过双曲线一个焦点F 的直线与双曲线交于两点P 、Q, A 1、A 2为双曲线实轴上的顶点，A 1P 和A 2Q 交于点M ，A 2P 和A 1Q 交于点N ，那么MF ⊥NF.11. AB 是双曲线22221x y a b-=〔a ＞0,b ＞0〕的不平行于对称轴的弦，M ),(00y x 为AB的中点，那么0202y a x b K K AB OM =⋅，即0202y a x b K AB =。
高中数学圆锥曲线小结论
椭 圆1. 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角.2. PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角，那么焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相离.4. 以焦点半径PF 1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切.5. 假设000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=上，那么过0P 的椭圆的切线方程是00221x x y y a b +=.6. 假设000(,)P x y 在椭圆22221x y a b+=外 ，那么过Po 作椭圆的两条切线切点为P 1、P 2，那么切点弦P 1P 2的直线方程是00221x x y ya b+=.7. 椭圆22221x y a b+= (a ＞b ＞0)的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为椭圆上任意一点12F PF γ∠=，那么椭圆的焦点角形的面积为122tan2F PF S b γ∆=.8. 椭圆22221x y a b+=〔a ＞b ＞0〕的焦半径公式：10||MF a ex =+,20||MF a ex =-(1(,0)F c - , 2(,0)F c 00(,)M x y ).9. 设过椭圆焦点F 作直线与椭圆相交 P 、Q 两点，A 为椭圆长轴上一个顶点，连结AP 和AQ 分别交相应于焦点F 的椭圆准线于M 、N 两点，那么MF ⊥NF.10. 过椭圆一个焦点F 的直线与椭圆交于两点P 、Q, A 1、A 2为椭圆长轴上的顶点，A 1P 和A 2Q 交于点M ，A 2P 和A 1Q 交于点N ，那么MF ⊥NF.11. AB 是椭圆22221x y a b +=的不平行于对称轴的弦，M ),(00y x 为AB 的中点，那么22OM AB b k k a ⋅=-，即0202y a x b K AB -=。
双曲线1. 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的内角.2. PT 平分△PF 1F 2在点P 处的内角，那么焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点. 3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相交.4. 以焦点半径PF 1为直径的圆必与以实轴为直径的圆相切.〔内切：P 在右支；外切：P 在左支〕5. 假设000(,)P x y 在双曲线22221x y a b-=〔a ＞0,b ＞0〕上，那么过0P 的双曲线的切线方程是00221x x y y a b-=.6. 假设000(,)P x y 在双曲线22221x y a b-=〔a ＞0,b ＞0〕外 ，那么过Po 作双曲线的两条切线切点为P 1、P 2，那么切点弦P 1P 2的直线方程是00221x x y ya b-=.7. 双曲线22221x y a b-=〔a ＞0,b ＞o 〕的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为双曲线上任意一点12F PF γ∠=，那么双曲线的焦点角形的面积为122t2F PF S b co γ∆=.8. 双曲线22221x y a b-=〔a ＞0,b ＞o 〕的焦半径公式：(1(,0)F c - , 2(,0)F c当00(,)M x y 在右支上时，10||MF ex a =+,20||MF ex a =-.当00(,)M x y 在左支上时，10||MF ex a =-+,20||MF ex a =--9. 设过双曲线焦点F 作直线与双曲线相交 P 、Q 两点，A 为双曲线长轴上一个顶点，连结AP 和AQ 分别交相应于焦点F 的双曲线准线于M 、N 两点，那么MF ⊥NF. 10. 过双曲线一个焦点F 的直线与双曲线交于两点P 、Q, A 1、A 2为双曲线实轴上的顶点，A 1P 和A 2Q 交于点M ，A 2P 和A 1Q 交于点N ，那么MF ⊥NF.11. AB 是双曲线22221x y a b-=〔a ＞0,b ＞0〕的不平行于对称轴的弦，M ),(00y x 为AB的中点，那么0202y a x b K K AB OM =⋅，即0202y a x b K AB =。
有关圆锥曲线的经典结论04625
★说明:圆锥曲线我们并未学完，有些内容（如焦半径公式），将此资料发到群里是想让大家在日常学习过程中自我感悟使用，不要过分纠结于此！有关解析几何的经典结论一、椭 圆1.点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角.2.PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.3.以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相离.4.以焦点半径PF 1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切.5. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b+=上，则过0P 的椭圆的切线方程是00221x x y ya b +=. 6. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b+=外 ，则过Po 作椭圆的两条切线切点为P 1、P 2，则切点弦P 1P 2的直线方程是00221x x y ya b +=.7. 椭圆22221x y a b+= (a ＞b ＞0)的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为椭圆上任意一点12F PF γ∠=，则椭圆的焦点角形的面积为122tan 2F PF S b γ∆=.8. 椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0）的焦半径公式：10||MF a ex =+,20||MF a ex =-(1(,0)F c - , 2(,0)F c 00(,)M x y ).9.设过椭圆焦点F 作直线与椭圆相交 P 、Q 两点，A 为椭圆长轴上一个顶点，连结AP 和AQ 分别交相应于焦点F 的椭圆准线于M 、N 两点，则MF ⊥NF.10. 过椭圆一个焦点F 的直线与椭圆交于两点P 、Q, A 1、A 2为椭圆长轴上的顶点，A 1P 和A 2Q 交于点M ，A 2P 和A 1Q 交于点N ，则MF ⊥NF.11. AB 是椭圆22221x y a b +=的不平行于对称轴的弦，M ),(00y x 为AB 的中点，则22OM AB b k k a⋅=-，即0202y a x b K AB-=。
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与圆锥曲线焦点弦相关的一个优美结论
100039 北京市十一学校 张留杰
众所周知，焦点弦的性质能够体现圆锥曲线几何特征，是研究圆锥曲线时的主要对象之一，在历届高考中也占有重要的地位．笔者根据焦点弦所在直线的倾斜角θ、焦点分焦点弦所成的比λ以及圆锥曲线的离心率e 之间的关系得出一个优美结论，并结合高考试题彰显了它的重要作用，希望能和读者共勉． 一．结论及证明
定理 已知焦点在x 轴上的圆锥曲线C ，经过其焦点F 的直线交曲线于A 、B 两点，
直线AB 的倾斜角为θ，AF FB λ=
，则曲线C 的离心率e 满足等式：
1
cos 1
e λθλ-=
+． 下面以椭圆为例证明之．
证明：如图1，弦AB 过椭圆的左焦点F ，左准线为l ，由AF FB λ=
可设||AF t λ= ，||FB t =
(0t >)，
当直线AB 的倾斜角θ为锐角时，如图（a ），显然1λ>， 分别过B A 、两点作l AA ⊥1、l BB ⊥1，垂足分别为11B A 、， 过B 点作1BD AA ⊥，由椭圆的第二定义可得
11(1)AF BF t
AD AA BB e e e
λ-=-=
-=， 在Rt ADB ∆中，(1)1
cos (1)(1)
AD t AB
e t e λλθλλ--=
=
=
++，故1cos 1e λθλ-=+， 如果点A 、B 的位置互换，则01λ<<，则有1cos 1e λθλ
-=+．
1
图
当直线AB 的倾斜角θ为钝角时，如图（b ），显然01λ<<， 同理在Rt ADB ∆中，可得(1)1cos()(1)(1)
BD t AB
e t e λλ
πθλλ---=
=
=
++，故1cos 1e λθλ-=+， 如果点A 、B 的位置互换，则1λ>，则有1cos 1e λ
θλ
-=
+． 当直线AB 的倾斜角θ为直角时，显然cos 0θ=且1λ=，等式成立；
当直线AB 的倾斜角0θ=时，弦AB 为椭圆长轴，显然易得原等式也成立．
综上，在椭圆中等式1
cos 1
e λθλ-=
+恒成立．证毕． 当圆锥曲线C 为双曲线（如图2）时，同样可以证明等式1
cos 1
e λθλ-=
+成立；当曲线C 为抛物线（如图3）时，离心率1e =，等式简化为1
cos 1
λθλ-=
+（其中0θ≠）． 总之，在任意圆锥曲线中，对于其焦点弦所在直线的倾斜角θ，焦点分对应弦的比值λ
所
直线AB 的斜率为k （0k ≠），AF FB λ=
，则曲线C 的离心率e 满足等式
e =． 当圆锥曲线的焦点在y 轴上时，同理还可得
推论2 已知焦点在y 轴上的圆锥曲线C ，经过其焦点F 的直线交曲线于A 、B 两点，
若直线AB 的倾斜角为θ，斜率为k （0k ≠），AF FB λ=
，则曲线C 的离心率e 满足等
式1sin 1e λθλ-=
+，e =． （推论的证明从略，读者可以自行完成．）
二．结论的应用
例1．（2008年全国Ⅱ卷）已知F 是抛物线24C y x =：的焦点，过F 且斜率为1的直线交C 于A ，B 两点设FA FB >，则FA 与FB 的比值等于 ．
解析：焦点弦所在直线的倾斜角为45
，FA FB >，则由定理可得1
cos 451
λλ-=
+
，
所以3λ=+
例2．（2008年江西卷）过抛物线22 (0)x py p =>的焦点F 作倾斜角为30
的直线，与抛
物线分别交于A 、B 两点（A 在y 轴左侧），则
AF FB = ．
解析：根据抛物线的对称性知||||AF FB <，设
AF FB
λ=，由推论2可得1sin 301λ
λ
-=
+ ， 所以13
λ=
． 例3．（2009年全国Ⅰ卷）已知双曲线()22
2210,0x y C a b a b
-=>>：的右焦点为F ，过F 且
C 于A B 、两点，若4AF FB =，则C 的离心率为 （ ） A ．
65 B ．75 C ．58 D ．95
解析：由推论1得6
5
e ==，故选A ．
例4．（2010全国Ⅱ卷文理）已知椭圆()2222 1 0x y C a b a b +=>>：的离心率为2
，过右焦
点F 且斜率为k （0k >）的直线与C 相交于A B 、两点若3AF FB =
，则k =（ ）
A ．1
B
C
D ．2
解析：由推论1=，解得k =B ．
例5．（2010全国Ⅰ卷文理）已知F 是椭圆C 的一个焦点，B 是短轴的一个端点，线段BF
的延长线交C 于点D ，且2BF FD =u u u r u u u r
，则C 的离心率为 ．
解析：如图4，由题意可得||OF c =，||BF a =
设直线BD 的倾斜角为θ，则cos c
e a
θ==，
由定理可得2211
213
e -=
=+， 所以3
e =
由此可见，本文的结论在解决与圆锥曲线焦点弦相关的问题时非常快捷，既避免了繁琐的代数运算，又节省了不少时间，可谓是圆锥曲线有力工具之一．
4
图。