一维无限深势阱 (2)
一维无限深势阱 (2)
论文题目：一维无限深势阱简述制作人：刘子毅（应用物理（1））学号：09510113一维无限深势阱一、引言Hu = Eu,,2222Eu Vu dxu d m =+- (1) 在图中Ⅰ区，-a/2<x<a/2,式中的V=0；在图中Ⅱ区，x<-a/2和x>a/2, V=∞. 现在解Ⅰ区情况的方程，V=0，（1）式成为.2,22222mEk u k u mE dx u d =-=-= 设axe u =，那么u a u n2=，代入上式，u k u a 22-= ik a ±=所以ikx ikx Be Ae u -++=kx D kx C u sin cos += （2）（2）式是Ⅰ区的通解。
2、一维无限深阱电子的基态222222282n mdh n md E n == π n=1、2、3…… 无量纲处理：以波尔半径2200m e a ε=里德伯20242ε me R y =分别为长度和能量单位能量可化为21d E π3、数值模拟当n=1时，1E 和d 的一组数值用计算机编程模拟如下： 设d 从0.3 3.0 include ‹stdio.h › include ‹math.h ›main() { double e,d,c; int i; c=3.14,d=0.3; for(i=0;i ‹10;i++) { e=c/(d*d); printf(“%lf ”，&e)； d=d+0.3;} }d 的取值利用画图软件描绘出横坐标为d ，纵坐标为E 的曲线 设d 从0.3 3.0，能量化简为：21dE π=模拟如下：。
高二物理竞赛课件一维无限深势阱
满足归一化条件,另外
z
和
1 me
z
z
还要满足边界条件.
有限深势阱能带
有限
无限
有效质量
En k
E n,0
2k 2 2m 0
2
m
2 0
nn
un0 k p un0 2 En0 En0
E n,0
2k 2
2
1
m
0
m 022k2
nn
un0
k
p
un0
En0 En0
2
E n,0
2k 2 2me
2 2
z
1
me z z
nz
zV
z nz
z
Enz
nz
z,
波函数形式为
B expz,z lz 2
nz
Acoskz, lz A sinkz, lz
B exp z
2
2
,
z z z
lz
lz lz 2
2 2
其中 k
2meI Enz 2
,
2meII V0 Enz 2
,
nz z
一维无限深势阱
一维无限深势阱
E nz
2 2 2me ,hLz2
nz2 ,nz
1,2,3,
有限深真实势阱,仅存在着几个束缚态，
E nz nz2, 系数变小,能级降低.这是由于
势垒降低,电子产生贯穿（Δx↑→ Δ p↓
→ p↓）.当 lz 0,Enz (发散)电子 态接近于势垒中的布洛赫态.
.
1
me1m0 Nhomakorabeam 022k2
nn
un0 k p un0 En0 En0
16-3一维势阱和势垒问题解读
x a
a x
第k激发态(n=k+1)有k个节点。
（2）一维无限深势阱 的粒子位置概率密度 分布
1
2
n 1
0 2 2 n 2 a
2
x
0 无数峰：量子 经典均匀分布 0
a a n 1，x 处，几率最大 0 3 2 b n ，峰数 ，当n 时，
4
U0
II
III
o
a
x
而在微观粒子的情形，却会发生反射。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
（2）E<U0 从解薛定谔方程的结果来看，在 势垒内部存在波函数2。即在势垒内 部找出粒子的概率不为零，同时，在 x>a区域也存在波函数，所以粒子还 I 可能穿过势垒进入x>a区域。
V
V0
II
III
o
a
x
粒子在总能量E小于势垒高度时仍能贯穿势垒的 现象称为隧道效应。
式中 A和α是待定常数，由边界条件和归一化条 件确定。
( x) A sin( kx )
从物理上考虑，粒子不可能透过阱壁，因而按照波 函数的统计诠释，要求在阱壁上和阱外波函数为0。 考虑波函数在阱壁上等于零的情况，即
(0) 0, (a) 0
————边界条件
(0) 0
这说明：并非任何 E值所对应的波函数都能满足一维 无限深方势阱所要求的边界条件，只有当能量取上式 给出的那些分立的值 En（体系的能量本征值）时， 相应的波函数才是物理上有意义的，即本问题中体系 的能量是量子化的，亦即体系的能谱是分立的。
2
2
2 2 2
( x) A sin kx
nx n ( x) A sin( ) a
2无限深势阱
(odd function)
l =1 时， = /2，e Acos kx
是偶函数
(even function)
l 为其他整数值时，给出相同结果
（可能差正负号，但不影响| |2 ）
由 o (a / 2) Asin(ka / 2) 0
ka n , n 2，4，6，
一维无限深方形势阱中的波函数与能量
U(x)
U(x)
U=U0
U=U0
U→∞
U→∞
E
极
U=0 限
0
x
金属
a
E
U=0
a /2 0 a /2 x
无限深方势阱 （potential well）
x a / 2 U( x) ， 0
x
a / 2 U(x)
0 ，Hˆ
2 2m
d2 d x2
a
所以有能量本征函数：
on
a sin n x 2a
en
a n cos x
2a
0
xa 2
x a 2
（2）全部波函数
考虑振动因子有
n
(
x,
t
)
n
(
x)
e
i
Ent
“能量本征波函数”，“能量本征态”
（3）概率密度：|n( x, t) |2 |n( x) |2
无限深方势阱中的粒子
定态薛定谔方程
[
2
2
U (r )] (r )
E (r )
2m
从数学上来讲：E 不论为何值该方程都有解 从物理上来讲： E只有取某些特定值，该方
量子力学一维势阱
III
(x)
2
2
(U
E )
III
(x)
0
xa
方程可 简化为：
d2
dx
2
I
2 I
0
d2
dx
2
II
2 II
0
d2
dx
2
III
2 III
0
U(x)
I
II
-a 0
III a
U(x)
I
II
-a 0
III
a
1 单值，成立； 2 有限：
当x - ∞ ， ψ 有限条件要求
C2=0。
d2
(x)
2
2
[U ( x)
E ]
(x)
0
β2
势V(x)分为三个区域， 用 I 、II 和 III 表达， 其上旳波函数分别为 ψI(x),ψII(x) 和 ψIII (x)。则方程为：
d2
dx 2
I
(x)
2
2
(U
E )
I
(x)
0
x a
d2 dx 2
II
(x)
2
2
E
II
(x)
0
a xa
d2
dx 2
(r , t) (r , t)
称波函数具有偶宇称；
(r , t) (r , t)
称波函数具有奇宇称；
（3）假如在空间反射下，
(r , t) (r , t)
则波函数没有拟定旳宇称
（四）讨论
一维无限深 势阱中粒子 旳状态
（1）n = 1, 基态，
0
n
1
n
sin
2.6 一微无限深势阱
由归一化条件
a
0
( x, t ) dx ( x) dx
0
2
a
2
可得 A 2 a
a
0
n A sin x dx 1 a
2
0 x 0, x a n ( x) n 1,2, n 2 a sin a x 0 x a
2mE k 2
a a
m n m n m n 1 sin x sin x cos x cos x a a 2 a a
可得 若
a 2
a
0
m n dx 0
mn
2
a 1 n 2n 2 A sin xdx A 1 cos x dx 0 0 2 a a 1 A2 a 2
x
所以,系数A必须为零,则Байду номын сангаас由于
e x
x
当
Be e
x
x0
0
所以,系数B必须为零,则
d ( x) E ( x) 阱内 2 2m dx
2
令
k 2mE
2
2
2
d ( x) 2 k ( x) 0 2 dx
其通解为 ( x) Asin kx
a
| ( x) | dx 1
2
1 , a
（与n无关）
最后，波函数是：
1 n n (x) sin ( x a ). 2a a
A和 为待定常数
根据波函数的连续、单值的条件有
(0) 0 0
sin ka 0
0
16-3 一维势阱和势垒问题
ψ(x) = Asinkx
nπx ψn(x) = Asin ( ) a
ka = nπ , n = 1,2,3,......
(0< x < a) n =12,3 , ,...
与能量本征值E 与能量本征值 n相对应的本征波函数ψn (x)为：
利用归一化条件
∫
2
ψn(x) dx = ∫ ψn(x) dx =1 0 −∞
ψ2 =0
理由:因为势壁无限高 所以粒子不能穿透势壁 理由 因为势壁无限高,所以粒子不能穿透势壁 故势 因为势壁无限高 所以粒子不能穿透势壁,故势 阱外的 波函数为零
定态薛定谔方程为
d ψ 2µ E + 2 ψ =0 2 dx ℏ
2
E是粒子的总能量，E > 0，令 是粒子的总能量， 是粒子的总能量 ， 定态薛定谔方程变为
ℏ
V
U0
0≤ x≤a
I II III
O a
x
ℏ
d2ψ1(x) 2 + k ψ1(x) = 0, x ≤0 2 dx 三个区间的薛定 2 谔方程简化为： 谔方程简化为： d ψ 2 ( x) − γ 2ψ ( x) = 0, 0≤ x≤a 2 2 dx d 2ψ3 (x) 2 + k ψ3 (x) = 0, x≥a 2 dx
一维无限深方势阱的数学表达形式 ：
U (x ) =
0
(0 < x < a )
∞ ( x ≤ 0 及x ≥ a )
一维无限深方势阱的图形表达形式 ： ∞
U(x)
∞ 粒子只能在宽为 a 的两个无 限高势壁间运动， 限高势壁间运动，这种势称为 一维无限深方势阱。
0
a
x
因为系统的势能与时间无关， 因为系统的势能与时间无关，因此这是一个定 态问题，可以用定态薛定谔方程进行求解。 态问题，可以用定态薛定谔方程进行求解。
一维无限深势阱ppt课件
n个节点。
四.几率分布:
在经典力学中,在ξ到ξ+dξ之间的区域内找到质点的 11
几率ω (ξ) dξ与质点在此区域内逗留的时间dt成
比例:
( )d dt
T
T是振动周期。因此有
( )
T
1
d
dt
1 vt
即几率密度与质点的速度成反比。对于经典的线性谐振子，ξ= a sin(ωt+δ ) ,在ξ点的速度为
J
i
2
[
i
d dx
* i
* i
d dx
i
]
k1
|
A |2
JD
k1
| c |2 ,
JR
k1
|
A |2
16
透射系数与反射系数为：
D
JD J
(k12
4k12k22 k22 )2 sin 2 k2a 4k12k22
R
JR J
(k12
(k12 k22 )2 sin 2 k2a k22 )2 sin 2 k2a 4k12k22
13
如果将此问题推广到三维，显然它是散射问题。
二、方势垒的穿透 (1)E>U0 的情况：
薛定谔方程为
d 2
dx 2
2
2
(E
U
0
)
0
令 k1 2E / 2
则其解为
k2 2 (E U 0 ) / 2
1 Aeik1x Ae ik1x
x0
2 Beik2x Beik2x 0 x a
3 Ceik1x C e ik1x
数为：
2 2[U ( x)E ]dx
D D0e
贯穿势垒U(x)的透射系数应等于贯穿所有这些方形势垒的透射 系数之积，即
一维无限深势阱薛定谔方程求解
一维无限深势阱薛定谔方程求解一维无限深势阱是量子力学中最经典的问题之一，其求解对于理解基本的量子力学原理以及波函数的性质具有重要的意义。
薛定谔方程是描述量子力学体系中粒子的行为的基本方程，通过求解薛定谔方程，我们可以获得系统的波函数及其相应的能级。
让我们来考虑一个无限深势阱，这个系统可以简单地用一个势能函数来描述。
在这个系统中，粒子只能在一个有限的空间区域内运动，而且势能在这个区域内是常数为零的。
首先，我们需要写出薛定谔方程。
对于一维情况，薛定谔方程可以写成：-ħ²/2m * d²ψ(x)/dx²+ V(x)ψ(x) = Eψ(x)。
其中，ψ(x)是系统的波函数，V(x)是势能函数，E是波函数对应的能量。
对于无限深势阱，势能函数在阱内为零，在阱外为无穷大。
因此，V(x)在阱外的值可以视为一个很大的正数。
接下来，我们需要考虑边界条件。
在无限深势阱中，粒子是被约束在一个有限空间内的。
因此，在边界处，粒子的波函数必须为零。
对于一个无限深势阱，边界条件可以写为ψ(0)=ψ(a)=0，其中，a是阱的宽度。
现在，让我们尝试求解薛定谔方程。
由于系统的势能在阱内为零，薛定谔方程可以简化为：-d²ψ(x)/dx² = k²ψ(x)，其中，k=√(2mE/ħ²)。
这是一个常微分方程，我们可以通过分离变量和积分来求解。
假设ψ(x)可以分解为两个函数的乘积：ψ(x) = X(x)Y(y)。
将这个假设代入方程中，并整理得：1/X(x) * d²X(x)/dx² = -1/Y(y) * dY(y)/dy = -k²。
我们可以分别对X(x)和Y(y)进行求解，然后将两个解再组合起来得到系统的波函数。
针对常微分方程1/X(x) * d²X(x)/dx² = -k²，我们可以得到其解为X(x) = Asin(kx) + Bcos(kx)，其中，A和B是常数。
§3.1一维无限深势阱
§3.1 一维无限深势阱重点：势阱的意义，薛定谔方程的求解，阱内能量及波函数的特征设质量为μ的粒子，局限在范围内作一维运动。
在些范围内粒子势能为零，以此范围外，势能为无穷大。
即（3.1-1）（3.1-2）满足定态薛方程，而在阱内部，由于即（3.1-3）或写作（3.1-4）其中（3.1-5）常系数二阶微分方程（3.1-4）的通解为（3.1-6）为待定常数，合并（3.1-2）,（3.1-6）式得（3.1-7）和处，必须为零，由于波涵数在势阱边界上发须为连续的条件，所以在即，（3.1-8）（3.1-9）这就是解方程（3.1-4）时需要用到的边界条件。
由（3.1-8）式，则式（3.1-6）为到处为零，这在物理上是没有意义的，不能为零，否则所以必须这样就有（3.1-10）再利用条件（3.1-9）得因而必须满足下面条件（3.1-11）给出被函数无物理意义，而取负数时给不出新的波函数）。
（将（3.1-11）式代入（3.1-5）式得到体系的能量（3.1-12）由此可见，粒子束缚在势阱中时，能量只能取一系列分立的数值，即它的能量是量子化的。
的粒子将（3.1-11）式代入（3.1-10）式，并重写（3.1-7）式，我们就得到能量为有波函数（3.1-13）应用归一化条件（3.1-14）可求得的粒子的归一化波函数为这样，最后得到能量为（3.1-15）一维无限深势阱中粒子的定态波函数是（3.1-16）利用公式我们可以把定态波函数写成（3.1-17）是由两个沿相反方向上式与弦振动的驻波函数形式相同。
由此可见定态波函数传播的平面波迭加而成的驻波。
下面讨论几个问题，并与宏观粒子作比较。
（1）束缚态和基态在时，波函数，粒子被束缚于阱内，故通常把无穷远处为零的波函数所描写的状态称为束缚状态，一般来说，束缚态的能级是分立的。
体系最低能量的态称为基态，在一维无限深势阱中的基态是的基本征态。
这与经典理论结果完全不同，经典理论认为粒子最低能量必须为零。
372第三十七讲一维无限深势阱
解：(1) 已知 ( x) 2 sin n x
aa
sin2 xdx
1 2
x
1 4
sin
2x
粒子出现在 0 x a/4 区间中的概率为：
P
a 4
(x)
2
dx
2
0
a
a
4 sin2
0
n xdx
a
1 4
1
2 n
sin
n
2
n 1 时， P 1 1 9% 4 2
n 时， P1 4
例1：（P269例21-13） 设质量为 m 的微观粒子处在宽 度为 a 的一维无限深势阱中，试求：(1) 粒子在 0 x a/4 区间中出现的几率，并对 n = 1 和 n = 的情况算出 概率值。(2) 在哪些量子态上，a/4 处的概率密度最大？
(2) ( x) 2 2 sin2 n x
2
2m
d 2 ( x)
dx 2
(x)
E
(x)
e 0 这样就把粒
边界条件： (0) (a) 0
子限制在 0→a 范围内。
由标准条件，波函数在阱内外不能突变。
3、解方程：
阱内： (0 x a)
2
2m
d 2 i ( x)
dx 2
E i ( x)
即为：d
2 i
En
n2
(1.054 1034 )2 3.142 2 1.67 1027 (1014 )2
=2 106 n2 (eV )
E1＝2（MeV）， E2＝8（MeV）
一维势阱
12
势垒的势场分布写为： 势垒的势场分布写为：
I 在三个区间内波函数应遵从的 薛定谔方程分别为： 薛定谔方程分别为：
10
则
多次测量能量(可能测到的值) 多次测量能量(可能测到的值) 概率各1/2 概率各1/2 能量的平均值
11
势垒贯穿（隧道效应） 势垒贯穿（隧道效应）
在经典力学中,若 在经典力学中 若 ,粒子的 粒子的
V0
动能为正,它只能在 区中运动。 动能为正 它只能在 I 区中运动。 I 即粒子运动到势垒左边缘就被 反射回去，不能穿过势垒。 反射回去，不能穿过势垒。
h E1 = = 2 2 2m a 8m a
πh
2
2
2
称为基态能级 称为基态能级
∴En = n E1
2
n叫作量子数 叫作量子数
5
E
势 阱 能 中 级 粒 图 子
n = 4, E = E4 n = 3, E = E3 n = 2, E = E2
o
a
n = 1, E = E1 x
6
相对应的本征函数，即本问题的解为： 与 E 相对应的本征函数，即本问题的解为：
2 2
令 k = 2m h E 代入薛定谔方程得： 代入薛定谔方程得： 此方程的通解为： 此方程的通解为：
d2ψ (x) 2 + k ψ (x) = 0 2 dx ψ (x) = Asinkx + Bcoskx
由于阱壁无限高， 由于阱壁无限高，所以 ψ (0) = 0 阱壁无限高
一维定态问题无限深方势阱
u(x)
2
=
2
sin 2
nπ
a a
0
x, ,
0≤ x≤a x < 0,or, x > a
n = 1, 2,3,
概率分布不均匀，存在概率为零的节点。 但：概率分布不随时间变化！
§2.4 一维定态问题–无限深方势阱
结论：
(3) 束缚在势阱中的粒子的能量是量子化的
=E
E=n
π2 2
2ma2
n2 ,
平均值
∫ = E
+∞
ψ
−∞
*
(r
,
t
)
−
2
2m
∇2
+V
(r,t) ψ
(r , t )dτ
总能能算符：
Hˆ
=−
2
∇2
+V
(r,t)
pˆ 2 =
+V (r,t)
2m
2m
称为粒子的哈密顿算符。
§2.5 力学量的平均值、算符表示—平均值
含时薛定谔方程：
i
∂ψ
∂t
=
−
2
2m
∇2
+ V (r,t) ψ
(1) 粒子的位置 r
例如：一维无限深方势阱
粒子的位置是不确定的，取值在[0, a]之间。 但粒子的概率分布是确定的，是
u(x)
2
=
2 sin2 nπ a a 0
x, ,
0≤ x≤a x < 0,or, x > a
n = 1, 2,3,
所以，可以得到粒子位置的平均值 (假设粒子处在基态 n =1 态)：
2
∇2 2m
+ V (r,t)ψ
2.6一维无限深势阱
A sin a B cosa 0, A sin a B cosa 0,
由此得到
B cosa 0,
A sin a 0,
A,B不能同时为零，所以
（1）A=0， （2）B=0，
（2.6.7）
cosa 0,
sin a 0,
（2.6.8） （2.6.9）
n 所以 a , n 1,2,3 2
把在无限远处为零的波函数所描写 的状态称为束缚态。 一般来说，束缚态的能级是分立的。
能量最低的状态，称为基态。
§2.6一维无限深势阱
一．一维无限深势阱 考虑粒子在一维空间中运动，它的势能在一定 区域内（-a<x<a）为零，而在此区域以外，势 能为无限大，即
U x 0, x a, U x , x a.
（2.6.1）
这种势阱称为一维无限深势阱。 在阱内( x a, )体系所满足的定态薛定谔方程为
和有限性的要求，只有当 0 时。（2.6.3）式才 能成立，所以有
0
令
，
x a
1 2
（2.6.4）
2m E 2
（2.6.5）
则（2.6.2）式简化为
d 2 ( x) 2 ( x) 0 2 dx
，
x a,
其通解为 ( x) A sin x B cosx ， x a, （ 2.6.6 ） 因为 ( a) 0 ，代入（2.6.6），有
n ( x, t ) n x e
i
i En t
En t n x a e A sin 2a
e e 由 sin 2i
i
得，
n ( x, t ) C1e
2第2章例题-势阱
ψ
ψ
−a / 2
x a/2
−a / 2
x
a/2
（1）对偶宇称
cos kx ψ = ce −α x ceα x
ψ ′′ + k 2ψ = 0
cos kx ψ ∼ sin kx
2 2µ E k = 2 ℏ
具有确定宇称。 因为 U ( − x) = U ( x ) ，所以 ψ 具有确定宇称。 因此 偶宇称 奇宇称
由于该问题归一化很麻烦，通常不归一化，而把系数取为1 由于该问题归一化很麻烦，通常不归一化，而把系数取为1。
′ ′ ψ 2 (a) = ψ 3 (a)
A sin ka = Ce −αa Ak cos ka = −Cα e −α a
tan ka = − k / α
tan ka = − k / α
tan
E 2µE a=− U0 − E ℏ2
此即能量本征值满足的超越方程。 此即能量本征值满足的超越方程。该方程只能数值求解或用作图法 求解。 求解。 讨论： 讨论： （1） 若 U 0 → ∞ ，则
因此
中的粒子， 4.对处于 δ 势阱 U = −U 0δ ( x ) (U 0 > 0) 中的粒子，讨论其束缚 态能级和波函数。 态能级和波函数。 U 2µ x 0 ψ ′′ + 2 [ E + U 0δ ( x )]ψ = 0 解：
ℏ
0 因为 δ ( x) = ∞
x≠0 x=0
所以
E > 0 为游离态， E < 0 为束缚态。 为游离态， 为束缚态。 因为 U ( x) 为偶函数，所以 ψ ( x ) 具有确定的宇称。 为偶函数， 具有确定的宇称。
A2-17.1一维无限深势阱 势垒
注意： 解为驻波形式
13
17.1 一维无限深势阱
4.讨论解的物理意义
1) 无限深势阱中粒子的能量量子化
由
k2
=
2mE
2
!
k = np
a
得
E
=
k
22
!
2m
=
n2p
2
!
2
2ma 2
= n2 E1
(n = 1,2,3,...)
E
E只能取一系列分离值 n2E1
n=4
式中
E1
=
p
2
!
2
2ma 2
o
无限深势阱中粒子的能量量子化
a
¥
ò 由归一化条件 |Ψ |2dx = 1
-¥
ò ò ¥
y
×y
*
d
x
=
a
A2
sin 2
np
x
d
x
=
1
-¥
0
a
A= 2 a
于是： y ( x) = 2 sin np x (n = 1,2,3,...)
aa
2 np x - i Et
Ψ( x, t) = sin × e ! (n = 1,2,3,...) aa
aa
a
a
Y (x,t)
Ψ (x) 2
E4 =16E1
n=4
n=4
E3 = 9E1
E2 = 4E1
E1
o
n=3 n=2 n=1
ax o
n=3
n=2 n=1
a
19
17.1 一维无限深势阱
Y(x, t )
E4 = 16E1
一维无限深势阱
2008.5
25
对奇宇称态则不同，只当
2 2 mV0a2 / 22 2 / 4
即
V0a2
2h2
2m
，或
V0
2h2
2ma2
时
才可能出现最低的奇宇称能级。
2008.5
26
3、束缚态与分立谱的讨论
由以上分析可知，束缚态能量是分立的。
相应动量也是分立的。 这是在束缚态边界条件下求解定态方程的结果。
En
π 22 2ma 2
n2
(n 1,2,3, )
2008.5
8
❖ 由波函数的归一性质定常数 B
a
(x) *(x)dx 1
0
a
B2sin 2kxdx 1
0
得
B 2 a
本征函数
n(x)
2 sin nπ x aa
( n 1,2,3,)
这组函数构成本征函数系。
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9
⑥定态波函数
n
n
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16
写出分区定态方程 在阱外(经典禁介区)
d2 dx 2
1
2m 2
(V0
E) 1
0
(1)
令
方程(1)变为
其解为
2m(V0 E)
(2)
1'' 21 0
1 ~ ex
都是方程的解？
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17
考虑到束缚态边界条件：| x | 时 0，有
Be
x
1(x)
Aex
A, B为待定常数.
0时， ' ' 0，
取极小值 向上弯曲
0时， ' ' 0，
取极大值 向下弯曲（见右图）
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论文题目：一维无限深势阱简述
制作人：刘子毅（应用物理（1））
学号：09510113
一维无限深势阱
一、引言
Hu = Eu,
,2222Eu Vu dx
u d m =+- (1) 在图中Ⅰ区，-a/2<x<a/2,式中的V=0；在图中Ⅱ区，x<-a/2和x>a/2, V=∞. 现在解Ⅰ区情况的方程，V=0，（1）式成为
.2,22
2
22
mE
k u k u mE dx u d =-=-= 设ax
e u =，那么u a u n
2
=，代入上式，
u k u a 22-= ik a ±=
所以
ikx ikx Be Ae u -++=
kx D kx C u sin cos += （2）
（2）式是Ⅰ区的通解。
2、一维无限深阱电子的基态
2
2
22
22
282n md
h n md E n == π n=1、2、3…… 无量纲处理：以波尔半径2
2
00m e a ε=
里德伯2024
2ε me R y =分别为长度和能量单位
能量可化为2
1
d E π
3、数值模拟
当n=1时，1E 和d 的一组数值用计算机编程模拟如下： 设d 从0.3 3.0 include ‹stdio.h › include ‹math.h ›
main() { double e,d,c; int i; c=3.14,d=0.3; for(i=0;i ‹10;i++) { e=c/(d*d); printf(“%lf ”，&e)； d=d+0.3;} }
d 的取值利用画图软件描绘出横坐标为d ，纵坐标为E 的曲线 设d 从0.3 3.0，能量化简为：2
1d
E π
=
模拟如下：。