《光电子技术基础》(第二版)朱京平Chap2.

高斯光束的特性
1. 光强与功率
高斯光束的光强
I(,z)A02(0 z)2exp22(z2)
在任何点z，光强都是径向 距离 的高斯函数。中间强， 向外弱。光束的光强在轴上最 大，随增大按指数减小至＝ (z)振幅下降为1/e2。(z)称 为z处的束半径。
轴上光强分布
I(,
z)
A02
0
2
(z)
A02 1( z
电介质的分类 简单电介质：线性、均匀、非色散、各向同性 非均匀介质：线性、非色散、各向同性 各向异性介质：各方向极化率不同，介电常量为张量 非线性介质：非线性、均匀、非色散、各向同性 色散介质：线性、均匀、各向同性 谐振介质：
2.4 波动方程
根据麦克斯韦方程微分形式，得波动方程：
( E ) 2 E 1 2 E 2 P J S E ( 1 ) c 2 t 2 0 t 2 0 t 0 t
E ( r ,t) E ( r ) e j t E ( r ) e j2 f t
指数形式：
E(r)E0(r)ej(r)
三角函数形式： E ( r , t ) E ( r ) c o s ( t ) E ( r ) c o s ( 2 f t )
光强可表示为： I(r) (r)2
各种类型的传播光波
介质的电磁性质
为了求解麦克斯韦方程组，还需要知道介质的电
磁性质方程：
D EPE
0
B 0 H 0 M H
JE JS
必须指出：以上关系式只适用于某些介质。实验指出
存在许多不同类型的介质，例如许多晶体属于各向异
性介质，在这些介质内某些方向容易极化，另一些方
向较难极化，使得D与E一般具有不同方向，关系就
AAA2A
z z k
A Ak z
A z
缓变
2 A z2
Ak 2
Helmholtz方程 2 E 2E 2 E k 2 E 0 变为：
2A2Aj2kA0
x2 y2
z
上式是一个旁轴Helmholtz方程。
2A 2A A
j2k 0
x2 y2
z
2 rA 2 1 rA r2kizA0
上述方程的解为:
在简单电介质中，上式可变为：
2 E
En 2 2 E1
J
s
0 t c 2 t2
0 t
或
2 H H n 2 2 H J
0 t c 2 t2
s
对时间的二次偏导项代表波动过程，一次偏导项为阻尼 项，表示损耗。该方程是电磁场广义波动方程的普遍形式， 在一定条件下可以简化。
3、可见光的波长范围
: 3900~7600A 1A10 10m 10 8cm
: 7 .5 1 0 1 4~ 4 .1 1 0 1 4 H z
1、在介质的界面上发生反射、折射现象 光 2、在传播中出现干涉、衍射、偏振现象 比较
c 3、实验测得光在真空中的传播速度为
结论：光是某一波段的电磁波
实验表明：若 v 为光在透明介质中的传播速度，
变成较为复杂的张量式。在强场作用下许多介质呈现
非线性现象，使得D不仅与E的一次式有关，而且与E 的二次式、三次式等都有关系。铁磁性物质的B与H 的关系也是非线性的，而且是非单值的。
通常（线性）情况下： P E o
有外场作用（非线性）情况下：
P o 1 E 2 E E 3 E E E
电位移矢量法向跃变：
DD
2n
1n
其中， 为
磁感应强度矢量法向连续：B B 0 自由电荷面
2n
1n
密度， 为
电场强度矢量切向连续： E E 0 自由电流面
2t
1t
密度。
磁场强度矢量切向跃变： HH
2t
1t
场量跃变的原因是面电荷电流激发附加的电磁场
2.3 电介质
根据P和E的关系，电介质呈现的特性有： 线性特性、非色散特性、均匀性、各向同性 、空间非色散性
对光的本性认识的两千五百年
光电子学
波粒二象性
光电效应
欧几里德、亚里士多德、卢克莱修、阿 尔.哈桑、托勒密、开普勒、费尔马、波 义耳、胡克、马吕斯、阿拉果、傅科、 麦克斯韦、赫兹、基尔霍夫、迈克尔逊、 莫雷、洛伦兹、薛定谔、德布罗意
量子论(普朗克) 相对论(爱因斯坦)
黑体辐射 以太
微 波动说：惠更斯/菲涅耳/托马斯.杨，1690 波
2H0 H t Js
2E0Et 源自文库 2E1 E
2H0H t 0
2 H J s H J s
一维电磁波的场解
在无源情况下，沿z一维传播的波动方程可以化为 最简单的一维齐次标量波动方程：
2Ex z2
nc22
2Ex t2
0
其通解为：
2Hy z2
nc22
2Hy t2
0
Ex(z,t)Af(tv z)Bf(tv z)
R (z)
趋于球面波
高斯光束与球面波的简单比较
高斯光束与球面波有联系又有差别，因此高斯 光束的传播也与球面波的传播既有联系又有差别 这一特点。
研究高斯光束在空间的传输规律以及通过光学 系统的传播规律是激光理论和应用的重要问题之 一。
z
z
H y(z,t) [Af(tv)Bf(tv)]
常量A、B分别表示朝+z与-z方向传播的波的振幅。
2.5 光波的表示与传播特性
光波的电磁表示
通常用光波的电场分量来表示光波电磁场，原因：
(a) 电磁场的磁场分量与电场分量之间有确定关系。 (b) 光强常用光波电场E振幅的平方来表示。 光波电场为时谐单色波的表示形式：
E ( x ,y ,z ) A 0 ( z 0 ) e x p [ 2 ( 2 z ) ] e x p { j [ k ( z 2 R ( 2 z ) ) ( z ) ] }
其中
0
z0
z 0
1
z z0
2
R (z)
z 1
z0 z
2
z0为瑞利(Rayleigh)距离,轴上 光强减少一半的位置。
P P o
• E 代表入射光场或其它外场；
• 1 2 3 代表材料对外场的响应；
• P 代表外场作用下对传播规律的影响； • P ~ E 关系是非线性的。
电磁场的边界条件
在两介质的分界面上，一般会出现面电荷电流分
布，使得物理量发生跃变，微分形式的麦克斯韦方程 组不再适用。因此，在介质分界面上，需要用积分形 式的麦克斯韦方程组描述界面两侧的场强以及界面上 电荷电流关系。当电磁场从一种介质传播到另一种介 质时，满足下面的边界条件：
高斯光束是一种旁轴波，可认为是平面波振幅缓变的 结果：
E A e x p ( jk z)振幅缓变 E ( r ) A ( r ) e x p ( j k z )
振幅沿轴向缓变，是指A(r)在z方向波长尺度内 变化极缓。因而该波在保持平面波大部分特性的前 提下，波前发生弯曲，形成旁轴波。
将一个波长内的振幅变化用 A 来表示，则有：
4、相位、波前和曲率半径
高斯光束的波函数：
E ( x ,y ,z ) A 0 ( z 0 ) e x p [ 2 ( 2 z ) ] e x p { j [ k ( z 2 R ( 2 z ) ) ( z ) ] }
其中： (z)tan 1z/z0 z0 02 /
高斯光束的相位：
P ( P )I0 1 0 220 (z)I(,z)2 d 0 .8 6 5
86.5％的光功率分布在以(z)为半径的面积内， (z)为束半径。
其中
0
z0
z0 1zz02
0
0
z0
0
1
(z)
01
z z0
2
2
当 即
z z0
0
0 z0
2
z0
0
(z)
z z0
0
0z
0
高斯光束远场发散角
E ( x ,y ,z ) A 0 ( z 0 ) e x p [ 2 ( 2 z ) ] e x p { j [ k ( z 2 R ( 2 z ) ) ( z ) ] }
振幅部分
相位部分
式中：2=x2+y2
这就是高斯光束的表示式。
对于对称共焦的激光谐振腔，
其中：R1=R2=L
变化的磁场产生电场； 变化的电场产生磁场； 电荷可以单独存在，电 场是有源的； 磁荷不可以单独存在， 磁场是无源的。
磁感应强度的变化会 引起环行电场；
位移电流和传导电流 一样都能产生环行磁场；
电位移矢量起止于存 在自由电荷的地方；
磁场没有起止点。
旋度是“矢量积” 一个矢量场
在某点的旋度描 述了场在该点周 围的旋转情况。
2 E 0 E t n c 2 2 2 tE 210 J ts
2 H
Hn 2 2 H J
0 t c 2 t2
s
2En c2 2 2 tE 2 1 0 Jts
2Hn c2 22tH 2 Js
2Enc22
2E t2
0
2E 0 E t1 0 J ts
2Hnc22 2tH 2 0
麦克斯韦方程组最重要的特点是它揭示了电磁场 的内部作用和运动规律。不仅电荷和电流可以激 发电磁场，而且变化的电场和磁场也可以互相激 发。说明电磁场可以独立于电荷之外而存在。
由此可见，电场和磁场互相激发形成统一的场---电磁场。变化的电磁场 可以以一定的速度向周围 传播出去。这种交变电磁场在空间以一定的速度 由近及远的传播即形成电磁波。
E(r)Aejkr
E(r) A e jkr r
E(r) A e jkr r
E(r)
Ae e jkz
jkx2y2 2z
z
| A |2
| A |2 r2
| A |2 r
| A |2 z2
2.6 高斯光束
平面光束是最简单的光束，却是理想情况 ，实际中应用更多的是旁轴波。
旁轴波是指一种在轴上波前的垂线与行进 方向夹角很小，基本处于平行的波，它满 足Helmholtz方程，且光束功率基本上也集 中于轴附近。其中最常见最主要的一种就 是高斯光束。
)2
z0
Z=0处，轴上光强最大，为 A02 I0。当z增大到z=z0 时，光强将为最大值的一半。
光功率穿过某一面积的光强
P 0I(,z)2d1 2I002
即：最高光强乘以束腰 半径面积的一半。
2、束腰半径与发散角
0
0
z0
0
1
(z)
01
z z0
2
2
以(z)为半径的面积通过的光功率P()与总功率P的比值
(,z)kzk 2 (z)
2R(z)
均匀平面波的相位
离轴相位偏离
轴上相位超前
高斯光束等相位条件： ( ,z)2m m 0, 1 , 2,....
得到： z2R (2z)m2(z)
抛物面，曲率半径
R(z)
z
1
z0 z
2
波前随z而变。
z0
z z0 z z0
R(z)平面波前
R(z)2z0 曲率半径最小
1、在介质的界面上发生反射、折射现象
电磁波： 2、在传播中出现干涉、衍射、偏振现象
3、由麦氏方程导出：
1
v
r r 00
电磁波在介质中的传播速度
真空中
r r 1
c
1
00
c v
rr
c 为电磁波在真空中的传播速度
E o H
讨论：
1、电矢量 E
磁矢量 H
E H k
光的传播方向k
k
即相互垂直
2、对人眼和感光仪器起作用的是E ，光波中的振 动矢量通常指E 。
n 为透明介质的折射率，则
n c v
与电磁波的公式比较
n rr
联系光学量 n 和电磁学量 r 、 r 的关系式
2.2 麦克斯韦方程
Edl BdS
L
t S
H dlJ D dS
L
t S
DdSq S
BdS0 S
E B t
HJD t
D
B0
散度是“标量积” 一个矢量在
某点的散度表征 了该点“产生” 或“吸收”这种 场的能力,若一 个点的散度为零 则该点不是场的 起止点。
0
理论上求得发散角具有毫弧度的量级。因此，当共焦激光器 以TEM00模单模运转时，光束具有优良的方向性。
3、瑞利距离与焦深
轴上光强降为最大值的一半的z值称为瑞利距离
z0 02 /
散焦使束半径达到(z) 20时，相应的距离成为焦深
2z020 2/
一定波长的光 束，束腰越小， 焦深越小，散 焦情况越严重。
微粒说：牛顿/拉普拉斯/泊松等，1672
之 战
波动说：格里马第/笛卡尔/胡克，约1655
微粒说：恩培多克勒/卢克来修等，公元前500
光学：基本不涉及光与电（或 物质）的相互作用；
光电子学：往往涉及光、电 （物质）的相互作用
光的基本性质
电磁波谱
频率与波长的关系: v c ----真空中的光速
第二章 光学基础知识与光场传播规律
1、光学基础知识 2、Maxwell方程 3、电介质 4、波动方程 5、光波的表示与传播特性 6、高斯光束 7、热辐射概念（度量学）
2.1 光学的基础知识
从光学到光电子学
“光”是人类首先最想要弄清楚的东西。 神话中，往往是“一道亮光”劈开了 混沌与黑暗。 《圣经》里，神要创造世界，首先要 创造的就是“光”。 “光”在人们心目中，永远代表着生 命、活力与希望！