中考复习讲义：三种构造辅助圆解题的模型

中考热点:三种构造辅助圆解题的模型一、问题导读

其中大“圆”是一个完美的图形，在初中数学中具有丰富内容，等角和直角并与部分是与角度相关性质，如在圆周角中能轻易找到，，通过在图形中构造辅助圆往往能获得意想圆心角联系也比较紧密

三点及三点以上到同一点不到的效果，如果题目中出现了以下条件：距离相等，作辅助圆；同一侧有相等的角，或者需要构造出相等的角时，作辅助圆；若一个四边形的一组对角互补，则它的四个顶点共圆．在这些情况下，借助圆去解决一些问题都是非常好的一个选择，下面举例说明这三种构造辅助圆解题的模型应用。

二、典例精析

类型1 根据共端点等线段模型，根据圆的定义构造圆

1.如图，已知＝＝，且∠＝k∠，则∠是∠的（）

A．2倍B．k倍C．2k D．1

【分析】由＝＝，得到A，B，C在以O为圆心的同一个圆上，则∠＝2∠，∠＝2∠，而∠＝k∠，即可得到∠＝k∠．

【解答】∵＝＝，∴A，B，C在以O为圆心的同一个圆上，如图，

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∠，∴∠＝2∠，∠＝2

．B∠，∴∠＝∠＝k2k∠．故选：而∠＝k∠，即2

，点F在边上，并且＝2，点C＝90°，＝6，＝8如图，在△中，∠2.到边距PP落在点E为边上的动点，将△沿直线翻折，点C处，则

点）离的最小值是（

．以上都不对2.4 D1.2 C1.5 B．．A．

【分析】先依据勾股定理求得的长，然后依据翻折的性质可知＝，故依据垂线段最短可知当⊥为半径的圆上，2在以PF为圆心，以此点到的距离最短，然后依据题意画出图形，最后，利用相似三P时，点角形的性质求解即可．

【解答】如图所示：当∥．

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，，∴由勾股定理可求得＝10°，＝C＝906，＝8在△中，∵∠°．＝90由翻折的性质可知：＝＝2，∠＝∠C

°．由垂线段最短可知此时有最小值．90∵∥，∴∠＝

又∵为定值，∴有最小值．

，∠＝∠，∴△∽△．＝∠A又∵∠A

．3.2，解得：＝∴，即4/108

．B2＝1.2．故选：∴＝﹣＝3.2﹣

∠80°,则∠的度数为度如图2所示,在凸四边形中,3.

为圆心的同一个圆上，在以B，AC，D【解析】∵＝＝，得到,∠, ∠1/2∴∠1/2∠

=80°,∠∵∠∠+

∠∠)= 1/2×80°=40°,1/2(1/21/2∴∠∠∠∠

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°．°＝180140°﹣∴∠＝180°﹣（∠∠）＝40

．故答案为：140

度，75°，则∠＝4. 如图，在四边形中，＝＝，若∠＝25°，∠＝∠＝度．

为圆心的圆上，在以AC，D【解析】法一：∵＝＝，∴点B，°，12.5°，∴∠＝1/2∠＝25∵∠＝

°．37.5°，∴∠＝1/2∠＝∵∠＝75

．37.5故答案为：12.5，

法二：∵＝＝，

∴∠＝∠，∠＝∠，∠＝∠，

°，7525°，∠＝∵∠＝

°，°，∠＝∠∠＝100°）÷2＝77.5180∴∠＝（°﹣25

°，52.5275°）÷＝∠＝∠＝（180°﹣

°，402＝100∴∠＝（180°﹣°）÷

°，°＝12.552.5∴∠＝∠﹣∠＝°﹣40

°，1305∠＝∠∠＝52.5°+77.°＝

°．37.512.5°﹣130°﹣°＝180180∴∠＝°﹣∠﹣∠＝

°．37.512.5∴∠＝°，∠＝

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直角模型，依据直径所对的圆周角是直角，构造三角形的外类型2 接圆解题

在线如图所示，矩形与矩形全等，点在一条直线上，∠的顶点P5. 的个数是个．段上移动，使得∠为直角的点P

也在以为P【分析】∵∠的顶点在线段上移动，且∠为直角，∴点P 与的交点即为所求．的圆上运动；∴以为直径作⊙O，⊙O直径的⊙O

在线段上移动，∠为直角，【解答】∵点在一条直线上，∠的顶点P 与的交点，由就是⊙OP∴点在以为直径的⊙O的圆上运动，∴点P．2图示知，与⊙O有2个交点．故答案为：

【点评】本题主要考查了圆周角定理：直径所对的圆周角是直角．解答该题时，采用了“数形结合”的数学思想．

，6B2直尺的宽度为，A、两点在直尺的一条边上，＝如图，6. 已知：

两点之间、°，则两点在直尺的另一条边上．若∠＝∠＝、CD90CD 的距离为．

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【分析】由∠＝∠＝90°，根据90°的圆周角所对的弦是直径，可得A，B，C，D在以为直径的圆上，C，D即是此圆与直尺的交点，设E为中点，可得是半径为3，然后作⊥交于F，根据垂径定理可得：＝2，然后由勾股定理求得的长，继而求得答案．

【解答】设E为中点，∵∠＝∠＝90°，∴A，B，C，D在以为直径的圆上，

连接，，则＝＝1/2＝3，作⊥交于F，∴＝2，

∵∥，∴＝2，在△和△中，＝√5，∴＝2√5．故答案为：2√5．【点评】此题考查了圆周角定理，垂径定理以及勾股定理等知识．此题拿度适中，解题的关键是由∠＝∠＝90°，根据90°的圆周角所对的弦是直径，得到A，B，C，D在以为直径的圆上．

7. 已知△中，＝5，＝12，∠＝90°，P是边上的动点（与点A、B 不重合），Q是边上的动点（与点B、C不重合）

（1）如图，当∥，且Q为的中点时，求线段的长；

（2）当与不平行时，△可能为直角三角形吗？若有可能，请求出线段的长的取值范围；若不可能，请说明理由．

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【分析】（1）根据平行线等分线段定理得到点P是斜边的中点，再直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，要求线段的长，只需根据勾股定理求得的长．

（2）若与不平行，则要使△成为直角三角形．只需保证∠＝90°．根据直径所对的圆周角是直角，则分析以为直径的圆和斜边的公共点的情况：一是半圆和相切；二是半圆和相交．首先求得相切时的值，即可进一步求得相交时的范围．

【解答】（1）在△中∠＝90°，＝5，＝12，∴＝13；

∵Q是的中点，∴＝；

又∵∥，∴＝，即P是的中点，∴△中，＝13/2．

（2）当与不平行时，只有∠为直角，△才可能是直角三角形．

以为直径作半圆D，

①当半圆D与相切时，设切点为M，连接，则

⊥，且＝＝5，∴＝﹣＝13﹣5＝8；

设＝x，则＝x，＝12﹣x；

在△中，＝，