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8 .
(3) 线性定常离散系统能观测判据
C
rankU o
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
rank
CG M
n
C
G
n
1
(4) 线性定常系统离散化后的能观测性
连续系统不能观测, 离散化后的系统一定不能观测; 连续系 统能观测, 离散化后的系统不一定能观测, 与采样周期T的选择 有关.
9 .
(5) 能观测标准形
① SISO Σ(A,C), 其A和C有以下的标准格式
足能控性、能观性的条件.
13 .
(4) 若传递函数阵G(s)是可实现的, 则其最小实现有无穷 多个, 而且相互间彼此代数等价. (5) 传递函数阵G(s)的一个实现Σ(A,B,C,D)为最小实现 的充要条件是不但能控而且能观测.
14 .
例3-25
若系统状态表达式为
x(t)da cbx(t)11u(t)
y(t)1 0x(t)
4 .
0
A
0
an
1 0 an1
0 1 a1
0
B
0
1
② 对能控系统Σ(A,B)化为能控标准形的变换矩阵P是唯一 的, 且
P1
P
1
P1 A M
P1
A
n
1
其中P1 = [0 … 0 1][B AB … An1B ]1
5 .
2、系统的输出能控性
(1) 若线性定常系统Σ(A,B,C,D)在有限时间间隔[t0, tf ]内存在无约束的分段连续输入信号u(t), 能使系统 的任意初始输出y(t0)转移到y(tf), 则称系统是输出完 全能控的.
现代控制理论基础
1 .
第3章 小 结
1、系统的状态能控性 (1) 若线性定常系统Σ(A,B)在有限时间间隔[t0,tf]内存在
无约束的分段连续输入信号u(t), 能使系统的任意初始状 态x(t0)转移到状态x(tf)=0, 则称系统是状态完全能控的.
反之, 若存在能将系统从x(t0)=0转移到任意终态x(tf)的 控制作用, 则称系统是能达的.
对线性定常系统, 能控与能达是可逆的.
2 .
(2) 线性定常系统能控性判据 ① rankQc= rank[ B AB … An1B]= n; ② 当A为对角形且特征值互异时, 输入矩阵B中无全为零 行; 当A为约当阵时且相同特征值分布在一个约当块内时, B中与约当块最后一行对应的行不全为零, 且B中相异特征 值对应的行不全为零. ③ SISO系统, 由状态空间表达式导出的传递函数没有零 极点对消. ④ Σ(A,B)为能控标准形.
3 .
（3）线性定常离散系统能控性判据 rankUc= rank[ H GH … G n1H]= n
（4）线性定常系统离散化后的能控性 连续系统不能控, 离散化后的系统一定不能控; 连续系
统能控, 离散化后的系统不一定能控, 与采样周期T的选 择有关. （5）能控标准形 ① SISO Σ(A,B), 其A和B有以下的标准格式
11 .
~~xx 12((tt))A ~011 A A ~~1222~~xx12((tt))B ~01u(t)
y(t)C~1
~ C2
~x(t)
~~xx 12((tt))A A ~~1211 A ~022~~xx12((tt))B B ~~12u(t)
y(t)C ~1 0~x(t)
A~
AA~~1211 0
0
0 A~22 0 0
AAAA~~~~13423333
0
A~24
0
A~44
B~
B~ B~
1 2
0
0
C ~ C ~ 1 0C ~ 2 0
12 .
6. 最小实现 (1) 已知传递函数阵G(s), 找一个系统Σ(A,B,C,D)满足 关系
C(sI A)1B+D = G(s) 则称Σ(A,B,C,D)为G(s)的一个实现. (2) 若传递函数阵G(s)的各个元素均为s的有理分式, 且 分子分母多项式的系数为实常数时, 则G(s)一定是可实现 的, 且其可能的实现有无穷多个. (3) 在传递函数阵G(s)的所有可能实现中, 状态空间维 数最小的实现称为最小实现, 也叫不可约实现.
系统Σ1能控(能观测), 则Σ2能观测(能控). 5. 线性定常系统的结构分解
从能控性和能观测性出发, 状态变量可分解为能控能 观xco, 能控不能观xcô, 不能控能观xĉo, 不能控不能观 xĉô四类. 以此对应, 将状态空间分为四个子空间, 系统 也对应分解为四个子系统, 这称为系统的结构分解. 研 究结构分解更能揭示系统结构特性和传递特性.。
分别确定当系统状态可控及系统可观测时, a, b, c, d 应满足
的条件.
解：
1 ca
Q cBA B 1bd bdca
C 10
Qo
CA a
c c
可见, 当a−b−c−d≠0时系统能控; 当c ≠ 0时系统能观.
15 .
x(t)Ax(t)Bu(t) 例3-25 设n阶系统 y(t)Cx(t)
若CB = 0, CAB = 0, …, CAn−1B = 0, 试证: 系统不能同时满
①
C
rankQo
rank
CA M
n
C
A
n
1
7
.
② 当A为对角形且特征值互异时, 输出矩阵C中无全为零 列; 当A为约当阵时且相同特征值分布在一个约当块内时, C中与约当块第一列对应的列不全为零, 且C中相异特征 值对应的列不全为零. ③ SISO系统, 由状态空间表达式导出的传递函数没有 零极点对消. ④ Σ(A,B)为能观测标准形.
0 L
A
1
L
M O
0
L
0 an
0
a
n
1
M M
1
a1
C = [0 … 0 1]
② 对能控系统Σ(A,C)化为能观测标准形的变换矩阵T是唯
一的, 且
C 1 0
T = [ T1 AT1 … An1T1 ]
T1
CA M
M
0
C
A
n
1
1
10
.
4. 对偶原理 线性系统Σ1(A,B,C)与Σ2(AT,CT,BT)互为对偶系统, 若
(2) 输出能控性判据为 rankQ = rank[CB CAB … CA n1B]=m
(3) 状态能控性和输出能控性是两个不同的概念, 其 间没有必然联系.
6 .
3、系统的状态能观测性 (1) 若线性定常系统Σ(A,B,C)能根据有限时间间隔[t0,tf] 内测量到的输出y(t), 唯一地确定初始状态x(t0), 则称系统 是状态完全能观测的. (2) 线性定常系统能观测性判据
(3) 线性定常离散系统能观测判据
C
rankU o
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
rank
CG M
n
C
G
n
1
(4) 线性定常系统离散化后的能观测性
连续系统不能观测, 离散化后的系统一定不能观测; 连续系 统能观测, 离散化后的系统不一定能观测, 与采样周期T的选择 有关.
9 .
(5) 能观测标准形
① SISO Σ(A,C), 其A和C有以下的标准格式
足能控性、能观性的条件.
13 .
(4) 若传递函数阵G(s)是可实现的, 则其最小实现有无穷 多个, 而且相互间彼此代数等价. (5) 传递函数阵G(s)的一个实现Σ(A,B,C,D)为最小实现 的充要条件是不但能控而且能观测.
14 .
例3-25
若系统状态表达式为
x(t)da cbx(t)11u(t)
y(t)1 0x(t)
4 .
0
A
0
an
1 0 an1
0 1 a1
0
B
0
1
② 对能控系统Σ(A,B)化为能控标准形的变换矩阵P是唯一 的, 且
P1
P
1
P1 A M
P1
A
n
1
其中P1 = [0 … 0 1][B AB … An1B ]1
5 .
2、系统的输出能控性
(1) 若线性定常系统Σ(A,B,C,D)在有限时间间隔[t0, tf ]内存在无约束的分段连续输入信号u(t), 能使系统 的任意初始输出y(t0)转移到y(tf), 则称系统是输出完 全能控的.
现代控制理论基础
1 .
第3章 小 结
1、系统的状态能控性 (1) 若线性定常系统Σ(A,B)在有限时间间隔[t0,tf]内存在
无约束的分段连续输入信号u(t), 能使系统的任意初始状 态x(t0)转移到状态x(tf)=0, 则称系统是状态完全能控的.
反之, 若存在能将系统从x(t0)=0转移到任意终态x(tf)的 控制作用, 则称系统是能达的.
对线性定常系统, 能控与能达是可逆的.
2 .
(2) 线性定常系统能控性判据 ① rankQc= rank[ B AB … An1B]= n; ② 当A为对角形且特征值互异时, 输入矩阵B中无全为零 行; 当A为约当阵时且相同特征值分布在一个约当块内时, B中与约当块最后一行对应的行不全为零, 且B中相异特征 值对应的行不全为零. ③ SISO系统, 由状态空间表达式导出的传递函数没有零 极点对消. ④ Σ(A,B)为能控标准形.
3 .
（3）线性定常离散系统能控性判据 rankUc= rank[ H GH … G n1H]= n
（4）线性定常系统离散化后的能控性 连续系统不能控, 离散化后的系统一定不能控; 连续系
统能控, 离散化后的系统不一定能控, 与采样周期T的选 择有关. （5）能控标准形 ① SISO Σ(A,B), 其A和B有以下的标准格式
11 .
~~xx 12((tt))A ~011 A A ~~1222~~xx12((tt))B ~01u(t)
y(t)C~1
~ C2
~x(t)
~~xx 12((tt))A A ~~1211 A ~022~~xx12((tt))B B ~~12u(t)
y(t)C ~1 0~x(t)
A~
AA~~1211 0
0
0 A~22 0 0
AAAA~~~~13423333
0
A~24
0
A~44
B~
B~ B~
1 2
0
0
C ~ C ~ 1 0C ~ 2 0
12 .
6. 最小实现 (1) 已知传递函数阵G(s), 找一个系统Σ(A,B,C,D)满足 关系
C(sI A)1B+D = G(s) 则称Σ(A,B,C,D)为G(s)的一个实现. (2) 若传递函数阵G(s)的各个元素均为s的有理分式, 且 分子分母多项式的系数为实常数时, 则G(s)一定是可实现 的, 且其可能的实现有无穷多个. (3) 在传递函数阵G(s)的所有可能实现中, 状态空间维 数最小的实现称为最小实现, 也叫不可约实现.
系统Σ1能控(能观测), 则Σ2能观测(能控). 5. 线性定常系统的结构分解
从能控性和能观测性出发, 状态变量可分解为能控能 观xco, 能控不能观xcô, 不能控能观xĉo, 不能控不能观 xĉô四类. 以此对应, 将状态空间分为四个子空间, 系统 也对应分解为四个子系统, 这称为系统的结构分解. 研 究结构分解更能揭示系统结构特性和传递特性.。
分别确定当系统状态可控及系统可观测时, a, b, c, d 应满足
的条件.
解：
1 ca
Q cBA B 1bd bdca
C 10
Qo
CA a
c c
可见, 当a−b−c−d≠0时系统能控; 当c ≠ 0时系统能观.
15 .
x(t)Ax(t)Bu(t) 例3-25 设n阶系统 y(t)Cx(t)
若CB = 0, CAB = 0, …, CAn−1B = 0, 试证: 系统不能同时满
①
C
rankQo
rank
CA M
n
C
A
n
1
7
.
② 当A为对角形且特征值互异时, 输出矩阵C中无全为零 列; 当A为约当阵时且相同特征值分布在一个约当块内时, C中与约当块第一列对应的列不全为零, 且C中相异特征 值对应的列不全为零. ③ SISO系统, 由状态空间表达式导出的传递函数没有 零极点对消. ④ Σ(A,B)为能观测标准形.
0 L
A
1
L
M O
0
L
0 an
0
a
n
1
M M
1
a1
C = [0 … 0 1]
② 对能控系统Σ(A,C)化为能观测标准形的变换矩阵T是唯
一的, 且
C 1 0
T = [ T1 AT1 … An1T1 ]
T1
CA M
M
0
C
A
n
1
1
10
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4. 对偶原理 线性系统Σ1(A,B,C)与Σ2(AT,CT,BT)互为对偶系统, 若
(2) 输出能控性判据为 rankQ = rank[CB CAB … CA n1B]=m
(3) 状态能控性和输出能控性是两个不同的概念, 其 间没有必然联系.
6 .
3、系统的状态能观测性 (1) 若线性定常系统Σ(A,B,C)能根据有限时间间隔[t0,tf] 内测量到的输出y(t), 唯一地确定初始状态x(t0), 则称系统 是状态完全能观测的. (2) 线性定常系统能观测性判据