4位错应变能及受力
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中南大学材料科学与工程学院 材料科学与工程基础
位错应变能及受力
2.5 位错的应变能
位错的存在，在其周围的点阵发生不同程度的畸变
能量最低状态时作用力则为零
在描述体系稳定程度或变化趋势时采用能量的概念 说明
在讨论体系的变化途径时则用力的概念
1
中南大学材料科学与工程学院 材料科学与工程基础
位错的应变能
位错应变能及受力
螺型位错α取下限0.5，刃型位错则取上限1.0，混合位错取中限 在晶体中最易形成螺型位错，最难形成刃型位错
10
中南大学材料科学与工程学院 材料科学与工程基础
应变能特点
位错应变能及受力
1）E与b2呈正比，b小则应变能低，位错愈稳定
2）E随R增大而增加，说明位错长程应力场的能量占主导作用，中心区能 量小，可忽略
螺型位错应力场
位错应变能及受力
沿z轴的切应变为 εθz
从圆柱体中取一个半径为r的薄壁圆筒展开
3 ）若 取 R=2000|b| ， r0=|b|, ES=0.6Gb2, Em=0.6~0.9Gb2 ， Ee=1.5ES ， Ee>Em>ES，可见在晶体中最易于形成螺型位错
4）两点间直线最短，直线位错比曲线位错能量小，位错总有伸直趋势
11
中南大学材料科学与工程学院 材料科学与工程基础
位错应变能及受力
性性质
3
中南大学材料科学与工程学院 材料科学与工程基础
位错应变能及受力
单位体积的弹性能
? 虎克定律，弹性体内应力与应变成正比，即σ ＝E×ε
? 单位体积储存的弹性能等于应力一应变曲线弹 性部分阴影区内的面积，即
正应变 ?
U ? 1 ??
V2
或 U ? 1 ? ??
V2
?正应变 ? ?切应变 ?
或 U ? 1 ? ??
V2ຫໍສະໝຸດ Baidu
?切应变 ?
单位体积弹性体储存的弹性能
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中南大学材料科学与工程学院 材料科学与工程基础
螺型位错的应变能
位错应变能及受力
制造一个单位长度的螺位错将晶体看作各向同性、连续介质的圆柱体
材料沿图示的滑移面上发生相对滑移，然后把切开的面胶合起来 螺型位错周围的晶格都发生了一定的应变
圆柱体内螺位错的形成(a)和微园环的应变(b)
V
2
?切应变 ?
微元圆环的应变能应为：
du
?
1 2
Gb
2? r
?
2
b
?
r
2 ? rdrL
其中 L 为圆环的长度。对
du 从圆柱体半径为
r0 处
至圆柱体外径
r1 处进行积分，就得到单位螺位错的应变能
Us
? ? U s ?
1 L
r1 du ? 1
r0
L
r1 r0
1 2
Gb
2?
r
g
2
b
?
r
2?
rdrL
?
Gb 2
12
中南大学材料科学与工程学院 材料科学与工程基础
2.6 位错应力场
位错应变能及受力
1. 螺型位错应力场
位错具有一定的应变能，同时在位错的周围 也产生了相应的应力场，使位错与处于其应 力场中的其它点缺陷产生交互作用
圆柱体内引入相当于螺型位 错周围的应力场
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中南大学材料科学与工程学院 材料科学与工程基础
??
??
be ? b sin? , bs ? b cos?
EM
? Ee ? ES
?
Gb2 sin2 ? 4? (1? r)
ln
R r0
?
Gb2 cos2
4?
?
ln
R r0
? Gb 2 ln R (1 ? v cos 2 ? ) 4? (1 ? v) r0
9
中南大学材料科学与工程学院 材料科学与工程基础
位错应变能及受力
混合位错的应变能
Em
?
Gb2
4? (1?
v)
ln
r1 r0
(1?
vcos2 ? )
刃位错 θ=90°，螺位错 θ=0°则变为各自应变能表达式
实际晶体中，r0约为埃的量级（10-8cm）；r1约为亚晶尺寸，为10-3~104cm，v取1/3
单位长度位错应变能E=KGb2
K值可取为0.5~1.0
4 ? ln
r1 r0
7
中南大学材料科学与工程学院 材料科学与工程基础
刃型位错应变能
位错应变能及受力
类似方法可求得单位长度刃型位错应变能，式中ν为泊松比， 约为0.33
Ee
?
Gb2
4? (1?
?ln v)
r1 r0
8
中南大学材料科学与工程学院 材料科学与工程基础
混合位错的应变能
位错应变能及受力
混合位错都可分解为一刃型位错和一个螺型位错，设其柏氏 矢量b与位错线交角为θ，则 :
2.代表位错长程应力场的能量 此部分能量可以采用弹性连续介质模型加以计算
但必须对晶体作如下简化 一，忽略晶体的点阵模型，把晶体视为均匀的连续介质，内部无间隙，
晶体中应力、应变等参量的变化是连续的，不呈任何周期性 二，把晶体看成各向同性，弹性模量不随方向而变化 仅讨论中心区以外的弹性畸变区，借助弹性连续介质模型讨论位错的弹
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中南大学材料科学与工程学院 材料科学与工程基础
螺型位错的应变能
位错应变能及受力
估算位错的应变能时只计算r＞r0的区域 在圆柱体中取一个微圆环，它离位错中心的距离为r，厚度为dr
位错形成的前、后，该圆环的展开 位错使该圆环发生了应变，此应变为简单剪切型，在整个周长上均匀分布
在沿着2πr的周向长度上，总的剪切变形量为b，所以各点的切应变为γ：
?? b 2? r
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螺型位错的应变能
位错应变能及受力
螺型位错周围的应变只与半径有关，与
r 成反比。
根据虎克定律，螺型位错周围的切应力为：
??
其中 G 为材料的切变模量。这样，依据式 单位体积的应变能表达式：
Gb
2? r
U ? 1 ??
V
2
?正应变 ?
或 U ? 1 ? ??
应变能特点
? 位错存在导致内能升高 ? 位错的引入又使晶体熵值增加
? 由F=E内-TS，估算得出，因应变能而引起系统自由能的增加，远大 于熵增加而引起系统自由能的减小
? 故位错与空位不同，它在热力学上是不稳定的
? 位错能不以热量的形式耗散在晶体中，而是储存在位错中
? 高的位错能量使晶体处于不稳定状态，在降低位错能的驱动力作用 下位错会反应，或与其他缺陷发生交互作用
位错的存在在其点阵周围产生弹性应变与应力，储 存的能量包括：
? ?
E
e
: 位错长程应力场的能量
E? ?? E ?
: 中心区域应变能
, 为总应变能的
1 ~ 1 , 忽略 10 15
2
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位错应变能及受力
位错的应变能
1.中心区：以位错线为轴，r0（接近b，约10-8cm）为半径的圆柱体区域 此区域内晶格畸变严重，超出弹性应变范围，虎克定律不适用
位错应变能及受力
2.5 位错的应变能
位错的存在，在其周围的点阵发生不同程度的畸变
能量最低状态时作用力则为零
在描述体系稳定程度或变化趋势时采用能量的概念 说明
在讨论体系的变化途径时则用力的概念
1
中南大学材料科学与工程学院 材料科学与工程基础
位错的应变能
位错应变能及受力
螺型位错α取下限0.5，刃型位错则取上限1.0，混合位错取中限 在晶体中最易形成螺型位错，最难形成刃型位错
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应变能特点
位错应变能及受力
1）E与b2呈正比，b小则应变能低，位错愈稳定
2）E随R增大而增加，说明位错长程应力场的能量占主导作用，中心区能 量小，可忽略
螺型位错应力场
位错应变能及受力
沿z轴的切应变为 εθz
从圆柱体中取一个半径为r的薄壁圆筒展开
3 ）若 取 R=2000|b| ， r0=|b|, ES=0.6Gb2, Em=0.6~0.9Gb2 ， Ee=1.5ES ， Ee>Em>ES，可见在晶体中最易于形成螺型位错
4）两点间直线最短，直线位错比曲线位错能量小，位错总有伸直趋势
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位错应变能及受力
性性质
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位错应变能及受力
单位体积的弹性能
? 虎克定律，弹性体内应力与应变成正比，即σ ＝E×ε
? 单位体积储存的弹性能等于应力一应变曲线弹 性部分阴影区内的面积，即
正应变 ?
U ? 1 ??
V2
或 U ? 1 ? ??
V2
?正应变 ? ?切应变 ?
或 U ? 1 ? ??
V2ຫໍສະໝຸດ Baidu
?切应变 ?
单位体积弹性体储存的弹性能
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螺型位错的应变能
位错应变能及受力
制造一个单位长度的螺位错将晶体看作各向同性、连续介质的圆柱体
材料沿图示的滑移面上发生相对滑移，然后把切开的面胶合起来 螺型位错周围的晶格都发生了一定的应变
圆柱体内螺位错的形成(a)和微园环的应变(b)
V
2
?切应变 ?
微元圆环的应变能应为：
du
?
1 2
Gb
2? r
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2
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其中 L 为圆环的长度。对
du 从圆柱体半径为
r0 处
至圆柱体外径
r1 处进行积分，就得到单位螺位错的应变能
Us
? ? U s ?
1 L
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1 2
Gb
2?
r
g
2
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2?
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Gb 2
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2.6 位错应力场
位错应变能及受力
1. 螺型位错应力场
位错具有一定的应变能，同时在位错的周围 也产生了相应的应力场，使位错与处于其应 力场中的其它点缺陷产生交互作用
圆柱体内引入相当于螺型位 错周围的应力场
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中南大学材料科学与工程学院 材料科学与工程基础
??
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be ? b sin? , bs ? b cos?
EM
? Ee ? ES
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Gb2 sin2 ? 4? (1? r)
ln
R r0
?
Gb2 cos2
4?
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ln
R r0
? Gb 2 ln R (1 ? v cos 2 ? ) 4? (1 ? v) r0
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位错应变能及受力
混合位错的应变能
Em
?
Gb2
4? (1?
v)
ln
r1 r0
(1?
vcos2 ? )
刃位错 θ=90°，螺位错 θ=0°则变为各自应变能表达式
实际晶体中，r0约为埃的量级（10-8cm）；r1约为亚晶尺寸，为10-3~104cm，v取1/3
单位长度位错应变能E=KGb2
K值可取为0.5~1.0
4 ? ln
r1 r0
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中南大学材料科学与工程学院 材料科学与工程基础
刃型位错应变能
位错应变能及受力
类似方法可求得单位长度刃型位错应变能，式中ν为泊松比， 约为0.33
Ee
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Gb2
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中南大学材料科学与工程学院 材料科学与工程基础
混合位错的应变能
位错应变能及受力
混合位错都可分解为一刃型位错和一个螺型位错，设其柏氏 矢量b与位错线交角为θ，则 :
2.代表位错长程应力场的能量 此部分能量可以采用弹性连续介质模型加以计算
但必须对晶体作如下简化 一，忽略晶体的点阵模型，把晶体视为均匀的连续介质，内部无间隙，
晶体中应力、应变等参量的变化是连续的，不呈任何周期性 二，把晶体看成各向同性，弹性模量不随方向而变化 仅讨论中心区以外的弹性畸变区，借助弹性连续介质模型讨论位错的弹
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螺型位错的应变能
位错应变能及受力
估算位错的应变能时只计算r＞r0的区域 在圆柱体中取一个微圆环，它离位错中心的距离为r，厚度为dr
位错形成的前、后，该圆环的展开 位错使该圆环发生了应变，此应变为简单剪切型，在整个周长上均匀分布
在沿着2πr的周向长度上，总的剪切变形量为b，所以各点的切应变为γ：
?? b 2? r
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中南大学材料科学与工程学院 材料科学与工程基础
螺型位错的应变能
位错应变能及受力
螺型位错周围的应变只与半径有关，与
r 成反比。
根据虎克定律，螺型位错周围的切应力为：
??
其中 G 为材料的切变模量。这样，依据式 单位体积的应变能表达式：
Gb
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V
2
?正应变 ?
或 U ? 1 ? ??
应变能特点
? 位错存在导致内能升高 ? 位错的引入又使晶体熵值增加
? 由F=E内-TS，估算得出，因应变能而引起系统自由能的增加，远大 于熵增加而引起系统自由能的减小
? 故位错与空位不同，它在热力学上是不稳定的
? 位错能不以热量的形式耗散在晶体中，而是储存在位错中
? 高的位错能量使晶体处于不稳定状态，在降低位错能的驱动力作用 下位错会反应，或与其他缺陷发生交互作用
位错的存在在其点阵周围产生弹性应变与应力，储 存的能量包括：
? ?
E
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: 位错长程应力场的能量
E? ?? E ?
: 中心区域应变能
, 为总应变能的
1 ~ 1 , 忽略 10 15
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中南大学材料科学与工程学院 材料科学与工程基础
位错应变能及受力
位错的应变能
1.中心区：以位错线为轴，r0（接近b，约10-8cm）为半径的圆柱体区域 此区域内晶格畸变严重，超出弹性应变范围，虎克定律不适用