弧长和扇形面积教案

课题

【教学目标】

(一)教学知识点

1．经历探索弧长计算公式及扇形面积计算公式的过程；

2．了解弧长计算公式及扇形面积计算公式，并会应用公式解决问题．

(二)能力训练要求

1．经历探索弧长计算公式及扇形面积计算公式的过程，培养学生的探索能力．

2．了解弧长及扇形面积公式后，能用公式解决问题，训练学生的数学运用能力

(三)情感与价值观要求

1．经历探索弧长及扇形面积计算公式，让学生体验教学活动充满着探索与创造，感受数学的严谨性以及数学结论的确定性．

2．通过用弧长及扇形面积公式解决实际问题，让学生体验数学与人类生活的密切联系，激发学生学习数学的兴趣，提高他们的学习积极性，同时提高大家的运用能力．

【重点难点】

重点：1．经历探索弧长及扇形面积计算公式的过程．

2．了解弧长及扇形面积计算公式．

3．会用公式解决问题．

难点：1．探索弧长及扇形面积计算公式．

2．用公式解决实际问题．

【教学方法】

观察猜想、合作交流、讲练结合

【自主复习、预习】

【教学过程】

一、检查自主复习、预习

请同学们回答下列问题．

1．圆的周长公式是什么？

2．圆的面积公式是什么？

3．什么叫弧长？

二、新课导学

请同学们独立完成下题：设圆的半径为R，则：

1．圆的周长可以看作______度的圆心角所对的弧．

2．1°的圆心角所对的弧长是_______．

3．2°的圆心角所对的弧长是_______．

4．4°的圆心角所对的弧长是_______．

……

.c n ︒40mm .c B A O 110︒ 5．n °的圆心角所对的弧长是_______．

（老师点评）根据同学们的解题过程，我们可得到：

n °的圆心角所对的弧长为360

n R π 例1制作弯形管道时，需要先按中心线计算“展直长度”再下料，•试计算如图所示的管道的展直长度，即AB 的长（结果精确到0.1mm ）

分析：要求AB 的弧长，圆心角知，半径知，只要

代入弧长公式即可．

解：R=40mm ，n=110

∴AB 的长=180n R π=11040180

π⨯≈76.8（mm ） 因此，管道的展直长度约为76.8mm ．

问题:（学生分组讨论）在一块空旷的草地上有一根柱子，柱子上拴着一条长5m•的绳子，绳子的另一端拴着一头牛，如图所示:

（1）这头牛吃草的最大活动区域有多大？

（2）如果这头牛只能绕柱子转过n °角，那么它的最大活动区域有多大？

学生提问后，老师点评：（1）这头牛吃草的最大活动区域是一个以A （柱子）为圆心，5m 为半径的圆的面积．

（2）如果这头牛只能绕柱子转过n °角，那么它的最大活动区域应该是n °圆心角的两个半径的n °圆心角所对的弧所围成的圆的一部分的图形，如图:

像这样，由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫做扇形．

（小黑板），请同学们结合圆心面积S=πR 2的公式，独立完成下题：

1．该图的面积可以看作是_______度的圆心角所对的扇形的面积． 2．设圆的半径为R ，1°的圆心角所对的扇形面积S 扇形=_______． 3．设圆的半径为R ，2°的圆心角所对的扇形面积S 扇形=_______．

4．设圆的半径为R ，5°的圆心角所对的扇形面积S 扇形=_______．

……

5．设圆半径为R ，n °的圆心角所对的扇形面积S 扇形=_______．

老师检察学生练习情况并点评

因此：在半径为R 的圆中，圆心角n °的扇形 S 扇形=2

360

n R π 例2．如图，已知扇形AOB 的半径为10，∠AOB=60°，求AB 的长（•结果精确到0．1）和扇形AOB 的面积结果精确到0．1）

分析：要求弧长和扇形面积，只要有圆心角，半径的已知量便可求，本题已满足．

三、巩固练习

（一）基础训练——夯实基础

一、课本课本P112 练习1、2、3

二、选择题．

1．已知扇形的圆心角为120°，半径为6，则扇形的弧长是（ ）．

A ．3π

B ．4π

C ．5π

D ．6π

2．如图1所示，把边长为2的正方形ABCD 的一边放在定直线L 上，按顺时针方向绕点D 旋转到

如图的位置，则点B 运动到点B ′所经过的路线长度为（ ）

A ．1

B ．π

C ．2

D ．2π

(1) (2) (3)

3．如图2所示，实数部分是半径为9m 的两条等弧组成的游泳池，若每条弧所在的圆都经过另一

个圆的圆心，则游泳池的周长为（ ）

A ．12πm

B ．18πm

C ．20πm

D ．24πm

（二）提升训练——能力培养

1．如果一条弧长等于4

πR ，它的半径是R ，那么这条弧所对的圆心角度数为______， 当圆心角增加30°时，这条弧长增加________．

2．如图3所示，OA=30B ，则AD 的长是BC 的长的_____倍．

E C B O 3．已知如图所示，AB 所在圆的半径为R ，AB 的长为3

πR ， ⊙O ′和OA 、OB 分别相切于点C 、E ，且与⊙O 内切于点D ，求⊙O ′的周长．

（三）综合运用——拓展思维

例3．（1）操作与证明：如图所示，O 是边长为a 的正方形ABCD 的中心，将一块半径足够长，圆心角为直角的扇形纸板的圆心放在O 处，并将纸板绕O 点旋转，求证：正方形ABCD 的边被纸板覆盖部分的总长度为定值a ．

（2）尝试与思考：如图a 、b 所示，•将一块半径足够长的扇形纸板的圆心角放在边长为a 的正三角形或边长为a 的正五边形的中心点处，并将纸板绕O 旋转，，当扇形纸板的圆心角为________时，正三角形边被纸覆盖部分的总长度为定值a ；当扇形纸板的圆心角为_______时，正五边形的边长被纸板覆盖部分的总长度也为定值a ．

（3）探究与引申：一般地，将一块半径足够长的扇形纸板的圆心放在边长为a 的正n 边形的中心O 点处，若将纸板绕O 点旋转，当扇形纸板的圆心角为_______时，正n 边形的边被纸板覆盖部分的总长度为定值a ，这时正n•边形被纸板所覆盖部分的面积是否也为定值？若为定值，写出它与正n 边形面积S 之间的关系（不需证明）；若不是定值，请说明理由．

四、归纳小结

本节课应掌握：

1．n °的圆心角所对的弧长L=

180

n R π 2．扇形的概念． 3．圆心角为n °的扇形面积是S 扇形=2

360

n R π 4．运用以上内容，解决具体问题．

五、布置作业

P 114 1、3 P 115 5、6、7

【课后反思】