高考数学 玩转压轴题 专题7.1 与数学文化相关的数学考题
压轴题型08 数学文化与创新型问题(原卷版)-2023年高考数学压轴题专项训练
压轴题08数学文化与创新型问题《普通高中数学课程标准(2017年版2020年修订)》第10页中写道“数学文化是指数学的思想、精神、语言、方法、观点，以及它们的形成和发展;还包括数学在人类生活、科学技术、社会发展中的贡献和意义,以及与数学相关的人文活动.”由此可见，数学文化试题在高考中会长期存在数学文化高考试题常常是以数学文化为背景命制的与核心考点相关联的题目,把数学史、数学美、数学语言、数学思维、数学学科核心索养及数学思想方法结合起来，能有效考查考生在新情境中对数学文化的鉴赏能力、对数学知识的阅读理解能力、对数学方法的迁移能力，因此备受命题者的青睐近三年的数学文化高考试题有以下特征1)从题型来看，多为选择题与填空题(选择题最多);2)从知识点的分布来看，多涉及统计与概率、立体几何、数列、函数与方程、不等式;3)从题目的背景来看，包括数学史、世界名题、浓厚的时代气息等。
○热○点○题○型1数学史为背景的数学文化题○热○点○题○型2来源于生活的数学文化创新题一、单选题1．围棋起源于中国，据先秦典籍《世本》记载：“尧造围棋，丹朱善之”，至今已有四千多年历史围棋不仅能抒发意境、陶冶情操、修身养性、生慧增智，而且还与天象易理、兵法策路、治国安邦等相关联，蕴含着中华文化的丰富内涵．在某次国际围棋比赛最后，中国队有两名选手a，b，日本队有一名选手c，韩国队有一名选手d，规定a与c对阵，b与d对阵，两场比赛的胜者争夺冠军，根据以往战绩，四位选手之间相互获胜的概率如下：ab c d a 获胜概率/0.50.60.8b 获胜概率0.5/0.50.6c 获胜概率0.40.5/0.4d 获胜概率0.20.40.6/则最终中国队获得冠军的概率为（）A ．0.24B ．0.328C ．0.672D ．0.762．“阿基米德多面体”也称为半正多面体，是由边数不全相同的正多边形围成的多面体，它体现了数学的对称美．如图是以一正方体的各条棱的中点为顶点的多面体，这是一个有八个面为正三角形，六个面为正方形的“阿基米德多面体”.若该多面体的棱长为1，则经过该多面体的各个顶点的球的表面积为（）A ．8πB ．4πC ．3πD ．2π3．足球被誉为“世界第一运动”，它是全球体育界最具影响力的单项体育运动，足球的表面可看成是由正二十面体用平面截角的方法形成的．即用如图1所示的正二十面体，从每个顶点的棱边的13处将其顶角截去，截去12个顶角后剩下的如图2所示的结构就是足球的表面结构．已知正二十面体是由20个边长为3的正三角形围成的封闭几何体，则如图2所示的几何体中所有棱的边数为（）．A ．60B ．90C ．105D ．1204．如图甲（左），圣 索菲亚教堂是哈尔滨的标志性建筑，其中央主体建筑集球､圆柱､棱柱于一体，极具对称之美.为了估算索菲亚教堂的高度，在索菲亚教堂的正东方向找到一座建筑物AB ，高约为40m ，如图乙（右），在它们之间的地面上的点M （,,B M D 三点共线）处测得楼顶A ､教堂顶C 的仰角分别是45︒和60︒，在楼顶A 处测得塔顶C 的仰角为15︒，则估算索菲亚教堂的高度CD 约为（）A ．50B ．55C ．60D ．705．南水北调工程缓解了北方一些地区水资源短缺问题，其中一部分水蓄入某水库.已知该水库水位为海拔1485m ．时，相应水面的面积为21400km ．；水位为海拔1575m ．时，相应水面的面积为21800km ．，将该水库在这两个水位间的形状看作一个棱台，则该水库水位从海拔1485m ．上升到1575m ．7 2.65≈）（）A ．931.010m ⨯B ．931.210m ⨯C ．931.410m ⨯D ．931.610m ⨯6．在北京冬奥会上，国家速滑馆“冰丝带”使用高效环保的二氧化碳跨临界直冷制冰技术，为实现绿色冬奥作出了贡献．如图描述了一定条件下二氧化碳所处的状态与T 和lg P 的关系，其中T 表示温度，单位是K ；P 表示压强，单位是bar ．下列结论中正确的是（）A ．当220T =，1026P =时，二氧化碳处于液态B ．当270T =，128P =时，二氧化碳处于气态C ．当300T =，9987P =时，二氧化碳处于超临界状态D ．当360T =，729P =时，二氧化碳处于超临界状态7．北斗三号全球卫星导航系统是我国航天事业的重要成果．在卫星导航系统中，地球静止同步卫星的轨道位于地球赤道所在平面，轨道高度为36000km （轨道高度是指卫星到地球表面的距离）．将地球看作是一个球心为O ，半径r 为6400km 的球，其上点A 的纬度是指OA 与赤道平面所成角的度数．地球表面上能直接观测到一颗地球静止同步轨道卫星点的纬度最大值为α，记卫星信号覆盖地球表面的表面积为22(1cos )S r πα=-（单位：2km ），则S 占地球表面积的百分比约为（）A ．26%B ．34%C ．42%D ．50%8．嫦娥二号卫星在完成探月任务后，继续进行深空探测，成为我国第一颗环绕太阳飞行的人造行星，为研究嫦娥二号绕日周期与地球绕日周期的比值，用到数列{}n b ：1111b α=+，212111b αα=++，31231111b ααα=+++，…，依此类推，其中(1,2,)k k α*∈=N ．则（）A ．15b b <B ．38b b <C ．62b b <D ．47b b <9．为测量两塔塔尖之间的距离，某数学建模活动小组构建了如图所示的几何模型.若MA ⊥平面ABC ，NB ⊥平面ABC ，60m AC =，703m BC =，3tan 4MCA ∠=，14cos 15NCB ∠=，150MCN ∠=︒，则塔尖MN 之间的距离为（）A ．7510mB ．757mC ．150mD ．752m二、多选题10．某地举办数学建模大赛，本次大赛的冠军奖杯由一个铜球和一个托盘组成，如图①，已知球的表面积为16π，托盘由边长为8的等边三角形铜片沿各边中点的连线垂直向上折叠面成，如图②，则下列结论正确的是（）A ．直线AD 与平面DEF 所成的角为π3B ．经过三个顶点A ，B ，C 的球的截面圆的面积为8π3C ．异面直线AD 与CF 所成角的余弦值为58D ．球上的点到底面DEF 的最大距离为6323+三、填空题11．手工课可以提高学生的动手能力、反应能力、创造力，使学生在德、智、体、美、劳各方面得到全面发展，某小学生在一次手工课上制作了一座漂亮的房子模型，它可近似地看成是一个直三棱柱和一个长方体的组合图形，其直观图如图所示，1122A F B F ==124AB AA AD ===，P ，Q ，M ，N 分别是棱AB ，1C E ，1BB ，1A F 的中点，则异面直线PQ 与MN 所成角的余弦值是______．12．发现问题是数学建模的第一步，对我们中学生来说养成发现问题并将问题记录下来的习惯相当重要．相传2500多年前，古希腊数学家毕达哥拉斯有一次在朋友家作客时，发现朋友家用砖铺成的地面的图案（如图）反映了直角三角形三边的某种数量关系，他将自己的发现记录下来，经过后续研究发现了勾股定理．请你也来仔细观察，观察图中的多边形面积，然后用文字写出你的一个关于多边形面积的发现：________（提示：答案可以是疑问句，也可以陈述句，答案不唯一）．13．如图，某校学生在开展数学建模活动时，用一块边长为12dm 的正方形铝板制作一个无底面的正n 棱锥（侧面为等腰三角形，底面为正n 边形）道具，他们以正方形的儿何中心为田心，6dm 为半径画圆，仿照我国古代数学家刘徽的割圆术裁剪出m 份，再从中取n 份，并以O 为正()3n n ≥棱锥的顶点，且O 落在底面的射影为正n 边形的几何中心11122,O AO A nπ∠=，侧面等腰三角形的顶角为12AOA ∠α=，当112cos 2cos 1AO A ∠α=-时，设正棱锥的体积为3dm V ，则V n的最大值为___________.四、双空题14．某校学生在研究民间剪纸艺术时，发现剪纸时经常会沿纸的某条对称轴把纸对折，规格为20dm 12dm ⨯的长方形纸，对折1次共可以得到10dm 12dm ⨯，20dm 6dm ⨯两种规格的图形，它们的面积之和21240dm S =，对折2次共可以得到5dm 12dm ⨯，10dm 6dm ⨯，20dm 3dm ⨯三种规格的图形，它们的面积之和22180dm S =，以此类推，则对折4次共可以得到不同规格图形的种数为______；如果对折n 次，那么1nk k S ==∑______2dm .15．某校数学建模社团对校外一座山的高度h (单位：m )进行测量，方案如下：如图，社团同学朝山沿直线行进，在前后相距a 米两处分别观测山顶的仰角α和β(βα>)，多次测量相关数据取平均值后代入数学模型求解山高，这个社团利用到的数学模型h =___________；多次测量取平均值是中学物理测量中常用的减小误差的方法之一，对物理量进行n 次测量，其误差n ε近似满足20,n N n ε⎛⎫~ ⎪⎝⎭，为使误差n ε在(0.5,0.5)-的概率不小于0.9973，至少要测量___________次.参考数据：若占()2,N ξμσ ，则(3,3)0.9973P μσξμσ-<+=.。
高三数学模拟考试卷压轴题押题猜题全国统一高考数学试卷文科新课标
高三数学模拟考试卷压轴题押题猜题全国统一高考数学试卷（文科）（新课标）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合A={x||x|≤2，x∈R}，B={x|≤4，x∈Z}，则A∩B=（）A．（0，2）B．[0，2]C．{0，2}D．{0，1，2}2．（5分）平面向量，已知=（4，3），=（3，18），则夹角的余弦值等于（）A．B．C．D．3．（5分）已知复数Z=，则|z|=（）A．B．C．1D．24．（5分）曲线y=x3﹣2x+1在点（1，0）处的切线方程为（）A．y=x﹣1B．y=﹣x+1C．y=2x﹣2D．y=﹣2x+25．（5分）中心在原点，焦点在x轴上的双曲线的一条渐近线经过点（4，2），则它的离心率为（）A．B．C．D．6．（5分）如图，质点P在半径为2的圆周上逆时针运动，其初始位置为P0（，﹣），角速度为1，那么点P到x轴距离d关于时间t的函数图象大致为（）A．B．C．D．7．（5分）设长方体的长、宽、高分别为2a、a、a，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为（）A．3πa2B．6πa2C．12πa2D．24πa28．（5分）如果执行如图的框图，输入N=5，则输出的数等于（）A．B．C．D．9．（5分）设偶函数f（x）满足f（x）=2x﹣4（x≥0），则{x|f（x﹣2）＞0}=（）A．{x|x＜﹣2或x＞4}B．{x|x＜0或x＞4}C．{x|x＜0或x＞6}D．{x|x＜﹣2或x＞2} 10．（5分）若cos α=﹣，α是第三象限的角，则sin（α+）=（）A．B．C．D．11．（5分）已知▱ABCD的三个顶点为A（﹣1，2），B（3，4），C（4，﹣2），点（x，y）在▱ABCD的内部，则z=2x﹣5y的取值范围是（）A．（﹣14，16）B．（﹣14，20）C．（﹣12，18）D．（﹣12，20）12．（5分）已知函数，若a，b，c互不相等，且f（a）=f（b）=f（c），则abc的取值范围是（）A．（1，10）B．（5，6）C．（10，12）D．（20，24）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．（5分）圆心在原点上与直线x+y﹣2=0相切的圆的方程为．14．（5分）设函数y=f（x）为区间（0，1]上的图象是连续不断的一条曲线，且恒有0≤f （x）≤1，可以用随机模拟方法计算由曲线y=f（x）及直线x=0，x=1，y=0所围成部分的面积S，先产生两组（每组N个），区间（0，1]上的均匀随机数x1，x2，…，xn和y1，y2，…，yn，由此得到N个点（x，y）（i﹣1，2…，N）．再数出其中满足y1≤f （x）（i=1，2…，N）的点数N1，那么由随机模拟方法可得S的近似值为．15．（5分）一个几何体的正视图为一个三角形，则这个几何体可能是下列几何体中的（填入所有可能的几何体前的编号）①三棱锥②四棱锥③三棱柱④四棱柱⑤圆锥⑥圆柱．16．（5分）在△ABC中，D为BC边上一点，BC=3BD，AD=，∠ADB=135°．若AC=AB，则BD=．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（10分）设等差数列{an}满足a3=5，a10=﹣9．（Ⅰ）求{an}的通项公式；（Ⅱ）求{an}的前n项和Sn及使得Sn最大的序号n的值．18．（10分）如图，已知四棱锥P﹣ABCD的底面为等腰梯形，AB∥CD，AC⊥BD，垂足为H，PH是四棱锥的高．（Ⅰ）证明：平面PAC⊥平面PBD；（Ⅱ）若AB=，∠APB=∠ADB=60°，求四棱锥P﹣ABCD的体积．19．（10分）为调查某地区老年人是否需要志愿者提供帮助，用简单随机抽样方法从该地区调查了500位老年人，结果如表：男女性别是否需要志愿者需要40 30不需要160 270（1）估计该地区老年人中，需要志愿者提供帮助的比例；（2）能否有99%的把握认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关？（3）根据（2）的结论，能否提出更好的调查方法来估计该地区的老年人中需要志愿者提供帮助的老年人比例？说明理由．P（K2≥k）0.050 0.010 0.0013.841 6.635 10.828附：K2=．20．（10分）设F1，F2分别是椭圆E：x2+=1（0＜b＜1）的左、右焦点，过F1的直线l与E相交于A、B两点，且|AF2|，|AB|，|BF2|成等差数列．（Ⅰ）求|AB|；（Ⅱ）若直线l的斜率为1，求b的值．21．设函数f（x）=x（ex﹣1）﹣ax2（Ⅰ）若a=，求f（x）的单调区间；（Ⅱ）若当x≥0时f（x）≥0，求a的取值范围．22．（10分）如图：已知圆上的弧，过C点的圆的切线与BA的延长线交于E点，证明：（Ⅰ）∠ACE=∠BCD．（Ⅱ）BC2=BE•CD．23．（10分）已知直线C1（t为参数），C2（θ为参数），（Ⅰ）当α=时，求C1与C2的交点坐标；（Ⅱ）过坐标原点O做C1的垂线，垂足为A，P为OA中点，当α变化时，求P点的轨迹的参数方程，并指出它是什么曲线．24．（10分）设函数f（x）=|2x﹣4|+1．（Ⅰ）画出函数y=f（x）的图象：（Ⅱ）若不等式f（x）≤ax的解集非空，求a的取值范围．全国统一高考数学试卷（文科）（新课标）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合A={x||x|≤2，x∈R}，B={x|≤4，x∈Z}，则A∩B=（）A．（0，2）B．[0，2]C．{0，2}D．{0，1，2}【考点】1E：交集及其运算．【专题】11：计算题．【分析】由题意可得A={x|﹣2≤x≤2}，B={0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，13，14，15，16}，从而可求【解答】解：∵A={x||x|≤2}={x|﹣2≤x≤2}B={x|≤4，x∈Z}={0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，13，14，15，16}则A∩B={0，1，2}故选：D．【点评】本题主要考查了集合的交集的求解，解题的关键是准确求解A，B，属于基础试题2．（5分）平面向量，已知=（4，3），=（3，18），则夹角的余弦值等于（）A．B．C．D．【考点】9S：数量积表示两个向量的夹角．【分析】先设出的坐标，根据a=（4，3），2a+b=（3，18），求出坐标，根据数量积的坐标公式的变形公式，求出两个向量的夹角的余弦【解答】解：设=（x，y），∵a=（4，3），2a+b=（3，18），∴∴cosθ==，故选：C．【点评】本题是用数量积的变形公式求向量夹角的余弦值，数量积的主要应用：①求模长；②求夹角；③判垂直，实际上在数量积公式中可以做到知三求一．3．（5分）已知复数Z=，则|z|=（）A．B．C．1D．2【考点】A5：复数的运算．【专题】11：计算题．【分析】由复数的代数形式的乘除运算化简可得Z=，由复数的模长公式可得答案．【解答】解：化简得Z===•=•=•=，故|z|==，故选：B．【点评】本题考查复数的代数形式的乘除运算，涉及复数的模长，属基础题．4．（5分）曲线y=x3﹣2x+1在点（1，0）处的切线方程为（）A．y=x﹣1B．y=﹣x+1C．y=2x﹣2D．y=﹣2x+2【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】1：常规题型；11：计算题．【分析】欲求在点（1，0）处的切线方程，只须求出其斜率的值即可，故先利用导数求出在x=1处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率．从而问题解决．【解答】解：验证知，点（1，0）在曲线上∵y=x3﹣2x+1，y′=3x2﹣2，所以k=y′|x﹣1=1，得切线的斜率为1，所以k=1；所以曲线y=f（x）在点（1，0）处的切线方程为：y﹣0=1×（x﹣1），即y=x﹣1．故选：A．【点评】本小题主要考查直线的斜率、导数的几何意义、利用导数研究曲线上某点切线方程等基础知识，考查运算求解能力．属于基础题．5．（5分）中心在原点，焦点在x轴上的双曲线的一条渐近线经过点（4，2），则它的离心率为（）A．B．C．D．【考点】KC：双曲线的性质．【专题】11：计算题．【分析】先求渐近线斜率，再用c2=a2+b2求离心率．【解答】解：∵渐近线的方程是y=±x，∴2=•4，=，a=2b，c==a，e==，即它的离心率为．故选：D．【点评】本题考查双曲线的几何性质．6．（5分）如图，质点P在半径为2的圆周上逆时针运动，其初始位置为P0（，﹣），角速度为1，那么点P到x轴距离d关于时间t的函数图象大致为（）A．B．C．D．【考点】3A：函数的图象与图象的变换．【分析】本题的求解可以利用排除法，根据某具体时刻点P的位置到到x轴距离来确定答案．【解答】解：通过分析可知当t=0时，点P到x轴距离d为，于是可以排除答案A，D，再根据当时，可知点P在x轴上此时点P到x轴距离d为0，排除答案B，故选：C．【点评】本题主要考查了函数的图象，以及排除法的应用和数形结合的思想，属于基础题．7．（5分）设长方体的长、宽、高分别为2a、a、a，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为（）A．3πa2B．6πa2C．12πa2D．24πa2【考点】LG：球的体积和表面积．【专题】11：计算题．【分析】本题考查的知识点是球的体积和表面积公式，由长方体的长、宽、高分别为2a、a、a，其顶点都在一个球面上，则长方体的对角线即为球的直径，即球的半径R满足（2R）2=6a2，代入球的表面积公式，S球=4πR2，即可得到答案．【解答】解：根据题意球的半径R满足（2R）2=6a2，所以S球=4πR2=6πa2．故选：B．【点评】长方体的外接球直径等于长方体的对角线长．8．（5分）如果执行如图的框图，输入N=5，则输出的数等于（）A．B．C．D．【考点】EF：程序框图．【专题】28：操作型．【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是累加并输出S=的值．【解答】解：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是累加并输出S=的值．∵S==1﹣=故选：D．【点评】根据流程图（或伪代码）写程序的运行结果，是算法这一模块最重要的题型，其处理方法是：：①分析流程图（或伪代码），从流程图（或伪代码）中即要分析出计算的类型，又要分析出参与计算的数据（如果参与运算的数据比较多，也可使用表格对数据进行分析管理）⇒②建立数学模型，根据第一步分析的结果，选择恰当的数学模型③解模．9．（5分）设偶函数f（x）满足f（x）=2x﹣4（x≥0），则{x|f（x﹣2）＞0}=（）A．{x|x＜﹣2或x＞4}B．{x|x＜0或x＞4}C．{x|x＜0或x＞6}D．{x|x＜﹣2或x＞2}【考点】3K：函数奇偶性的性质与判断．【专题】11：计算题．【分析】由偶函数f（x）满足f（x）=2x﹣4（x≥0），可得f（x）=f（|x|）=2|x|﹣4，根据偶函数的性质将函数转化为绝对值函数，再求解不等式，可得答案．【解答】解：由偶函数f（x）满足f（x）=2x﹣4（x≥0），可得f（x）=f（|x|）=2|x|﹣4，则f（x﹣2）=f（|x﹣2|）=2|x﹣2|﹣4，要使f（|x﹣2|）＞0，只需2|x﹣2|﹣4＞0，|x﹣2|＞2解得x＞4，或x＜0．应选：B．【点评】本题主要考查偶函数性质、不等式的解法以及相应的运算能力，解答本题的关键是利用偶函数的性质将函数转化为绝对值函数，从而简化计算．10．（5分）若cos α=﹣，α是第三象限的角，则sin（α+）=（）A．B．C．D．【考点】GG：同角三角函数间的基本关系；GP：两角和与差的三角函数．【专题】11：计算题．【分析】根据α的所在的象限以及同角三角函数的基本关系求得sinα的值，进而利用两角和与差的正弦函数求得答案．【解答】解：∵α是第三象限的角∴sinα=﹣=﹣，所以sin（α+）=sinαco s+cosαsin=﹣=﹣．故选：A．【点评】本题主要考查了两角和与差的正弦函数，以及同角三角函数的基本关系的应用．根据角所在的象限判断三角函数值的正负是做题过程中需要注意的．11．（5分）已知▱ABCD的三个顶点为A（﹣1，2），B（3，4），C（4，﹣2），点（x，y）在▱ABCD的内部，则z=2x﹣5y的取值范围是（）A．（﹣14，16）B．（﹣14，20）C．（﹣12，18）D．（﹣12，20）【考点】7C：简单线性规划．【专题】11：计算题；16：压轴题．【分析】根据点坐标与向量坐标之间的关系，利用向量相等求出顶点D的坐标是解决问题的关键．结合线性规划的知识平移直线求出目标函数的取值范围．【解答】解：由已知条件得⇒D（0，﹣4），由z=2x﹣5y得y=，平移直线当直线经过点B（3，4）时，﹣最大，即z取最小为﹣14；当直线经过点D（0，﹣4）时，﹣最小，即z取最大为20，又由于点（x，y）在四边形的内部，故z∈（﹣14，20）．如图：故选B．【点评】本题考查平行四边形的顶点之间的关系，用到向量坐标与点坐标之间的关系，体现了向量的工具作用，考查学生线性规划的理解和认识，考查学生的数形结合思想．属于基本题型．12．（5分）已知函数，若a，b，c互不相等，且f（a）=f （b）=f（c），则abc的取值范围是（）A．（1，10）B．（5，6）C．（10，12）D．（20，24）【考点】3A：函数的图象与图象的变换；3B：分段函数的解析式求法及其图象的作法；4H：对数的运算性质；4N：对数函数的图象与性质．【专题】13：作图题；16：压轴题；31：数形结合．【分析】画出函数的图象，根据f（a）=f（b）=f（c），不妨a＜b＜c，求出abc的范围即可．【解答】解：作出函数f（x）的图象如图，不妨设a＜b＜c，则ab=1，则abc=c∈（10，12）．故选：C．【点评】本题主要考查分段函数、对数的运算性质以及利用数形结合解决问题的能力．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．（5分）圆心在原点上与直线x+y﹣2=0相切的圆的方程为x2+y2=2．【考点】J1：圆的标准方程；J9：直线与圆的位置关系．【分析】可求圆的圆心到直线的距离，就是半径，写出圆的方程．【解答】解：圆心到直线的距离：r=，所求圆的方程为x2+y2=2．故答案为：x2+y2=2【点评】本题考查圆的标准方程，直线与圆的位置关系，是基础题．14．（5分）设函数y=f（x）为区间（0，1]上的图象是连续不断的一条曲线，且恒有0≤f （x）≤1，可以用随机模拟方法计算由曲线y=f（x）及直线x=0，x=1，y=0所围成部分的面积S，先产生两组（每组N个），区间（0，1]上的均匀随机数x1，x2，…，xn和y1，y2，…，yn，由此得到N个点（x，y）（i﹣1，2…，N）．再数出其中满足y1≤f （x）（i=1，2…，N）的点数N1，那么由随机模拟方法可得S的近似值为．【考点】CE：模拟方法估计概率；CF：几何概型．【分析】由题意知本题是求∫01f（x）dx，而它的几何意义是函数f（x）（其中0≤f（x）≤1）的图象与x轴、直线x=0和直线x=1所围成图形的面积，积分得到结果．【解答】解：∵∫01f（x）dx的几何意义是函数f（x）（其中0≤f（x）≤1）的图象与x轴、直线x=0和直线x=1所围成图形的面积，∴根据几何概型易知∫01f（x）dx≈．故答案为：．【点评】古典概型和几何概型是我们学习的两大概型，古典概型要求能够列举出所有事件和发生事件的个数，而不能列举的就是几何概型，几何概型的概率的值是通过长度、面积和体积的比值得到．15．（5分）一个几何体的正视图为一个三角形，则这个几何体可能是下列几何体中的①②③⑤（填入所有可能的几何体前的编号）①三棱锥②四棱锥③三棱柱④四棱柱⑤圆锥⑥圆柱．【考点】L7：简单空间图形的三视图．【专题】15：综合题；16：压轴题．【分析】一个几何体的正视图为一个三角形，由三视图的正视图的作法判断选项．【解答】解：一个几何体的正视图为一个三角形，显然①②⑤正确；③是三棱柱放倒时也正确；④⑥不论怎样放置正视图都不会是三角形；故答案为：①②③⑤【点评】本题考查简单几何体的三视图，考查空间想象能力，是基础题．16．（5分）在△ABC中，D为BC边上一点，BC=3BD，AD=，∠ADB=135°．若AC=AB，则BD=2+．【考点】HR：余弦定理．【专题】11：计算题；16：压轴题．【分析】先利用余弦定理可分别表示出AB，AC，把已知条件代入整理，根据BC=3BD推断出CD=2BD，进而整理AC2=CD2+2﹣2CD 得AC2=4BD2+2﹣4BD把AC=AB，代入整理，最后联立方程消去AB求得BD的方程求得BD．【解答】用余弦定理求得AB2=BD2+AD2﹣2AD•BDcos135°AC2=CD2+AD2﹣2AD•CDcos45°即AB2=BD2+2+2BD ①AC2=CD2+2﹣2CD ②又BC=3BD所以 CD=2BD所以由（2）得AC2=4BD2+2﹣4BD（3）因为 AC=AB所以由（3）得 2AB2=4BD2+2﹣4BD （4）（4）﹣2（1）BD2﹣4BD﹣1=0求得 BD=2+故答案为：2+【点评】本题主要考查了余弦定理的应用．考查了学生创造性思维能力和基本的推理能力．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（10分）设等差数列{an}满足a3=5，a10=﹣9．（Ⅰ）求{an}的通项公式；（Ⅱ）求{an}的前n项和Sn及使得Sn最大的序号n的值．【考点】84：等差数列的通项公式；85：等差数列的前n项和．【分析】（1）设出首项和公差，根据a3=5，a10=﹣9，列出关于首项和公差的二元一次方程组，解方程组得到首项和公差，写出通项．（2）由上面得到的首项和公差，写出数列{an}的前n项和，整理成关于n的一元二次函数，二次项为负数求出最值．【解答】解：（1）由an=a1+（n﹣1）d及a3=5，a10=﹣9得a1+9d=﹣9，a1+2d=5解得d=﹣2，a1=9，数列{an}的通项公式为an=11﹣2n（2）由（1）知Sn=na1+d=10n﹣n2．因为Sn=﹣（n﹣5）2+25．所以n=5时，Sn取得最大值．【点评】数列可看作一个定义域是正整数集或它的有限子集的函数，当自变量从小到大依次取值对应的一列函数值，因此它具备函数的特性．18．（10分）如图，已知四棱锥P﹣ABCD的底面为等腰梯形，AB∥CD，AC⊥BD，垂足为H，PH是四棱锥的高．（Ⅰ）证明：平面PAC⊥平面PBD；（Ⅱ）若AB=，∠APB=∠ADB=60°，求四棱锥P﹣ABCD的体积．【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积；LY：平面与平面垂直．【专题】11：计算题；14：证明题；35：转化思想．【分析】（Ⅰ）要证平面PAC⊥平面PBD，只需证明平面PAC内的直线AC，垂直平面PBD 内的两条相交直线PH，BD即可．（Ⅱ），∠APB=∠ADB=60°，计算等腰梯形ABCD的面积，PH是棱锥的高，然后求四棱锥P﹣ABCD的体积．【解答】解：（1）因为PH是四棱锥P﹣ABCD的高．所以AC⊥PH，又AC⊥BD，PH，BD都在平PHD内，且PH∩BD=H．所以AC⊥平面PBD．故平面PAC⊥平面PBD（6分）（2）因为ABCD为等腰梯形，AB∥CD，AC⊥BD，AB=．所以HA=HB=．因为∠APB=∠ADB=60°所以PA=PB=，HD=HC=1．可得PH=．等腰梯形ABCD的面积为S=ACxBD=2+（9分）所以四棱锥的体积为V=×（2+）×=．（12分）【点评】本题考查平面与平面垂直的判定，棱柱、棱锥、棱台的体积，考查空间想象能力，计算能力，推理能力，是中档题．19．（10分）为调查某地区老年人是否需要志愿者提供帮助，用简单随机抽样方法从该地区调查了500位老年人，结果如表：男女性别是否需要志愿者需要40 30不需要160 270（1）估计该地区老年人中，需要志愿者提供帮助的比例；（2）能否有99%的把握认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关？（3）根据（2）的结论，能否提出更好的调查方法来估计该地区的老年人中需要志愿者提供帮助的老年人比例？说明理由．P（K2≥k）0.050 0.010 0.0013.841 6.635 10.828附：K2=．【考点】BL：独立性检验．【专题】11：计算题；5I：概率与统计．【分析】（1）由样本的频率率估计总体的概率，（2）求K2的观测值查表，下结论；（3）由99%的把握认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关，则可按性别分层抽样．【解答】解：（1）调查的500位老年人中有70位需要志愿者提供帮助，因此在该地区老年人中，需要帮助的老年人的比例的估计值为（2）K2的观测值因为9.967＞6.635，且P（K2≥6.635）=0.01，所以有99%的把握认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关．（3）根据（2）的结论可知，该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关，并且从样本数据能够看出该地区男性老年人与女性老年人中需要帮助的比例有明显差异，因此在调查时，先确定该地区老年人中男、女的比例，再把老年人分成男女两层，并采取分层抽样方法比简单随机抽样方法更好．【点评】本题考查了抽样的目的，独立性检验的方法及抽样的方法选取，属于基础题．20．（10分）设F1，F2分别是椭圆E：x2+=1（0＜b＜1）的左、右焦点，过F1的直线l与E相交于A、B两点，且|AF2|，|AB|，|BF2|成等差数列．（Ⅰ）求|AB|；（Ⅱ）若直线l的斜率为1，求b的值．【考点】K4：椭圆的性质．【专题】15：综合题．【分析】（1）由椭圆定义知|AF2|+|AB|+|BF2|=4，再由|AF2|，|AB|，|BF2|成等差数列，能够求出|AB|的值．（2）L的方程式为y=x+c，其中，设A（x1，y1），B（x1，y1），则A，B两点坐标满足方程组，化简得（1+b2）x2+2cx+1﹣2b2=0．然后结合题设条件和根与系数的关系能够求出b的大小．【解答】解：（1）由椭圆定义知|AF2|+|AB|+|BF2|=4又2|AB|=|AF2|+|BF2|，得（2）L的方程式为y=x+c，其中设A（x1，y1），B（x2，y2），则A，B两点坐标满足方程组．，化简得（1+b2）x2+2cx+1﹣2b2=0．则．因为直线AB的斜率为1，所以即．则．解得．【点评】本题综合考查椭圆的性质及其运用和直线与椭圆的位置关系，解题时要注意公式的灵活运用．21．设函数f（x）=x（ex﹣1）﹣ax2（Ⅰ）若a=，求f（x）的单调区间；（Ⅱ）若当x≥0时f（x）≥0，求a的取值范围．【考点】6B：利用导数研究函数的单调性．【专题】15：综合题；53：导数的综合应用．【分析】（I）求导函数，由导数的正负可得函数的单调区间；（II）f（x）=x（ex﹣1﹣ax），令g（x）=ex﹣1﹣ax，分类讨论，确定g（x）的正负，即可求得a的取值范围．【解答】解：（I）a=时，f（x）=x（ex﹣1）﹣x2，=（ex﹣1）（x+1）令f′（x）＞0，可得x＜﹣1或x＞0；令f′（x）＜0，可得﹣1＜x＜0；∴函数的单调增区间是（﹣∞，﹣1），（0，+∞）；单调减区间为（﹣1，0）；（II）f（x）=x（ex﹣1﹣ax）．令g（x）=ex﹣1﹣ax，则g'（x）=ex﹣a．若a≤1，则当x∈（0，+∞）时，g'（x）＞0，g（x）为增函数，而g（0）=0，从而当x≥0时g（x）≥0，即f（x）≥0．若a＞1，则当x∈（0，lna）时，g'（x）＜0，g（x）为减函数，而g（0）=0，从而当x∈（0，lna）时，g（x）＜0，即f（x）＜0．综合得a的取值范围为（﹣∞，1]．另解：当x=0时，f（x）=0成立；当x＞0，可得ex﹣1﹣ax≥0，即有a≤的最小值，由y=ex﹣x﹣1的导数为y′=ex﹣1，当x＞0时，函数y递增；x＜0时，函数递减，可得函数y取得最小值0，即ex﹣x﹣1≥0，x＞0时，可得≥1，则a≤1．【点评】本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性，考查分类讨论的数学思想，属于中档题．22．（10分）如图：已知圆上的弧，过C点的圆的切线与BA的延长线交于E点，证明：（Ⅰ）∠ACE=∠BCD．（Ⅱ）BC2=BE•CD．【考点】N9：圆的切线的判定定理的证明；NB：弦切角．【专题】14：证明题．【分析】（I）先根据题中条件：“”，得∠BCD=∠ABC．再根据EC是圆的切线，得到∠ACE=∠ABC，从而即可得出结论．（II）欲证BC2=BE x CD．即证．故只须证明△BDC～△ECB即可．【解答】解：（Ⅰ）因为，所以∠BCD=∠ABC．又因为EC与圆相切于点C，故∠ACE=∠ABC所以∠ACE=∠BCD．（5分）（Ⅱ）因为∠ECB=∠CDB，∠EBC=∠BCD，所以△BDC～△ECB，故．即BC2=BE×CD．（10分）【点评】本题主要考查圆的切线的判定定理的证明、弦切角的应用、三角形相似等基础知识，考查运化归与转化思想．属于基础题．23．（10分）已知直线C1（t为参数），C2（θ为参数），（Ⅰ）当α=时，求C1与C2的交点坐标；（Ⅱ）过坐标原点O做C1的垂线，垂足为A，P为OA中点，当α变化时，求P点的轨迹的参数方程，并指出它是什么曲线．【考点】J3：轨迹方程；JE：直线和圆的方程的应用；Q4：简单曲线的极坐标方程；QJ：直线的参数方程；QK：圆的参数方程．【专题】15：综合题；16：压轴题．【分析】（I）先消去参数将曲线C1与C2的参数方程化成普通方程，再联立方程组求出交点坐标即可，（II）设P（x，y），利用中点坐标公式得P点轨迹的参数方程，消去参数即得普通方程，由普通方程即可看出其是什么类型的曲线．【解答】解：（Ⅰ）当α=时，C1的普通方程为，C2的普通方程为x2+y2=1．联立方程组，解得C1与C2的交点为（1，0）．（Ⅱ）C1的普通方程为xsinα﹣ycosα﹣sinα=0①．则OA的方程为xcosα+ysinα=0②，联立①②可得x=sin2α，y=﹣cosαsinα；A点坐标为（sin2α，﹣cosαsinα），故当α变化时，P点轨迹的参数方程为：，P点轨迹的普通方程．故P点轨迹是圆心为，半径为的圆．【点评】本题主要考查直线与圆的参数方程，参数方程与普通方程的互化，利用参数方程研究轨迹问题的能力．24．（10分）设函数f（x）=|2x﹣4|+1．（Ⅰ）画出函数y=f（x）的图象：（Ⅱ）若不等式f（x）≤ax的解集非空，求a的取值范围．【考点】3A：函数的图象与图象的变换；7E：其他不等式的解法；R5：绝对值不等式的解法．【专题】11：计算题；13：作图题；16：压轴题．【分析】（I）先讨论x的范围，将函数f（x）写成分段函数，然后根据分段函数分段画出函数的图象即可；（II）根据函数y=f（x）与函数y=ax的图象可知先寻找满足f（x）≤ax的零界情况，从而求出a的范围．【解答】解：（Ⅰ）由于f（x）=，函数y=f（x）的图象如图所示．（Ⅱ）由函数y=f（x）与函数y=ax的图象可知，极小值在点（2，1）当且仅当a＜﹣2或a≥时，函数y=f（x）与函数y=ax的图象有交点．故不等式f（x）≤ax的解集非空时，a的取值范围为（﹣∞，﹣2）∪[，+∞）．【点评】本题主要考查了函数的图象，以及利用函数图象解不等式，同时考查了数形结合的数学思想，属于基础题．高考数学（文）一轮：一课双测A +B 精练(四十六) 两直线的位置关系1．(·海淀区期末)已知直线l1：k1x ＋y ＋1＝0与直线l2：k2x ＋y －1＝0，那么“k1＝k2”是“l1∥l2”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件2．当0＜k ＜12时，直线l1：kx －y ＝k －1与直线l2：ky －x ＝2k 的交点在( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．(·长沙检测)已知直线l1的方程为3x ＋4y －7＝0，直线l2的方程为6x ＋8y ＋1＝0，则直线l1与l2的距离为( )A.85B.32 C ．4D ．84．若直线l1：y ＝k(x －4)与直线l2关于点(2,1)对称，则直线l2恒过定点( ) A ．(0,4) B ．(0,2) C ．(－2,4)D ．(4，－2)5．已知直线l1：y ＝2x ＋3，若直线l2与l1关于直线x ＋y ＝0对称，又直线l3⊥l2，则l3的斜率为( )A ．－2B ．－12C.12D ．2 6．(·岳阳模拟)直线l 经过两直线7x ＋5y －24＝0和x －y ＝0的交点，且过点(5,1)．则l 的方程是( )A ．3x ＋y ＋4＝0B ．3x －y ＋4＝0C ．x ＋3y －8＝0D ．x －3y －4＝07．(·郑州模拟)若直线l1：ax ＋2y ＝0和直线l2：2x ＋(a ＋1)y ＋1＝0垂直，则实数a 的值为________．8．已知平面上三条直线x ＋2y －1＝0，x ＋1＝0，x ＋ky ＝0，如果这三条直线将平面划分为六部分，则实数k 的所有取值为________．9．(·临沂模拟)已知点P(4，a)到直线4x －3y －1＝0的距离不大于3，则a 的取值范围是________．10．(·舟山模拟)已知1a ＋1b ＝1(a ＞0，b ＞0)，求点(0，b)到直线x －2y －a ＝0的距离的最小值．11．(·荆州二检)过点P(1,2)的直线l 被两平行线l1：4x ＋3y ＋1＝0与l2：4x ＋3y ＋6＝0截得的线段长|AB|＝2，求直线l 的方程．12．已知直线l ：3x －y ＋3＝0，求： (1)点P(4,5)关于l 的对称点；(2)直线x －y －2＝0关于直线l 对称的直线方程．1．点P 到点A(1,0)和直线x ＝－1的距离相等，且点P 到直线y ＝x 的距离为22，这样的点P 的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．42．(·福建模拟)若点(m ，n)在直线4x ＋3y －10＝0上，则m2＋n2的最小值是( ) A ．2B ．22 C ．4D ．233．在直线l ：3x －y －1＝0上求一点P ，使得P 到A(4,1)和B(0，4)的距离之差最大． [答 题 栏]A 级1._________2._________3._________4._________5.__________6._________B 级1.______2.______7.__________8.__________9.__________ 答 案高考数学（文）一轮：一课双测A+B 精练(四十六)A 级1．C2.B3.B4.B5．选A 依题意得，直线l2的方程是－x ＝2(－y)＋3， 即y ＝12x ＋32，其斜率是12，由l3⊥l2，得l3的斜率等于－2.6．选C 设l 的方程为7x ＋5y －24＋λ(x －y)＝0，即(7＋λ)x ＋(5－λ)y －24＝0，则(7＋λ)×5＋5－λ－24＝0.解得λ＝－4.l 的方程为x ＋3y －8＝0.7．解析：由2a ＋2(a ＋1)＝0得a ＝－12.答案：－128．解析：若三条直线有两条平行，另外一条与这两条直线相交，则符合要求，此时k ＝0或2；若三条直线交于一点，也符合要求，此时k ＝1，故实数k 的所有取值为0,1,2.答案：0,1,29．解析：由题意得，点到直线的距离为|4×4－3×a －1|5＝|15－3a|5.又|15－3a|5≤3，即|15－3a|≤15，解得，0≤a ≤10，所以a ∈[0,10]．答案：[0,10]10．解：点(0，b)到直线x －2y －a ＝0的距离为d ＝a ＋2b 5＝15(a ＋2b)⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＝15⎝⎛⎭⎪⎫3＋2b a ＋a b ≥15(3＋22)＝35＋2105，当且仅当a2＝2b2，a ＋b ＝ab ，即a ＝1＋2，b ＝2＋22时取等号．所以点(0，b)到直线x －2y －a ＝0的距离的最小值为35＋2105. 11．解：设直线l 的方程为y －2＝k(x －1)，由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝kx ＋2－k ，4x ＋3y ＋1＝0，解得A ⎝⎛⎭⎪⎫3k －73k ＋4，－5k ＋83k ＋4；由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋2－k ，4x ＋3y ＋6＝0，解得B ⎝⎛⎭⎪⎫3k －123k ＋4，8－10k 3k ＋4.∵|AB|＝2， ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫53k ＋42＋⎝ ⎛⎭⎪⎫5k 3k ＋42＝2， 整理，得7k2－48k －7＝0， 解得k1＝7或k2＝－17.因此，所求直线l 的方程为x ＋7y －15＝0或7x －y －5＝0.12．解：设P(x ，y)关于直线l ：3x －y ＋3＝0的对称点为P ′(x ′，y ′)．∵kPP ′·kl ＝－1，即y ′－yx ′－x ×3＝－1.①又PP ′的中点在直线3x －y ＋3＝0上， ∴3×x ′＋x 2－y ′＋y 2＋3＝0.②由①②得⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝－4x ＋3y －95，③ y ′＝3x ＋4y ＋35.④(1)把x ＝4，y ＝5代入③④得x ′＝－2， y ′＝7，∴P(4,5)关于直线l 的对称点P ′的坐标为(－2,7)．(2)用③④分别代换x －y －2＝0中的x ，y ，得关于l 的对称直线方程为－4x ＋3y －95－3x ＋4y ＋35－2＝0， 化简得7x ＋y ＋22＝0.B 级1．选C ∵点P 到点A 和定直线距离相等， ∴P 点轨迹为抛物线，方程为y2＝4x. 设P(t2,2t)，则22＝|t2－2t|2，解得t1＝1，t2＝1＋2，t3＝1－2，故P 点有三个．2．选C 设原点到点(m ，n)的距离为d ，所以d2＝m2＋n2，又因为(m ，n)在直线4x ＋3y －10＝0上，所以原点到直线4x ＋3y －10＝0的距离为d 的最小值，此时d ＝|－10|42＋32＝2，所以m2＋n2的最小值为4.3．解：如图所示，设点B 关于l 的对称点为B ′，连接AB ′并延长交l 于P ，此时的P 满足|PA|－|PB|的值最大．设B ′的坐标为(a ，b)，则kBB ′·kl ＝－1， 即3·b －4a ＝－1.则a ＋3b －12＝0.①又由于线段BB ′的中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，b ＋42，且在直线l 上，则3×a 2－b ＋42－1＝0，即3a －b －6＝0.②解①②，得a ＝3，b ＝3，即B ′(3,3)． 于是AB ′的方程为y －13－1＝x －43－4，即2x ＋y －9＝0.解⎩⎪⎨⎪⎧3x －y －1＝0，2x ＋y －9＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝5，即l 与AB ′的交点坐标为P(2,5)．高考数学（文）一轮：一课双测A+B精练(四十)空间几何体的结构特征及三视图和直观图1．(·青岛摸底)如图，在下列四个几何体中，其三视图(正视图、侧视图、俯视图)中有且仅有两个相同的是( )A．②③④B．①②③C．①③④D．①②④2．有下列四个命题：①底面是矩形的平行六面体是长方体；②棱长相等的直四棱柱是正方体；③有两条侧棱都垂直于底面一边的平行六面体是直平行六面体；④对角线相等的平行六面体是直平行六面体．其中真命题的个数是( )A．1B．2C．3D．43．一个锥体的正视图和侧视图如图所示，下面选项中，不可能是该锥体的俯视图的是( )4．如图是一几何体的直观图、正视图和俯视图．在正视图右侧，按照画三视图的要求画出的该几何体的侧视图是( )5.如图△A′B′C′是△ABC的直观图，那么△ABC是( )A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．钝角三角形6．(·东北三校一模)一个几何体的三视图如图所示，则侧视图的面积为( )A．2＋3B．1＋3C．2＋23D．4＋37．(·昆明一中二模)一个几何体的正视图和侧视图都是边长为1的正方形，且体积为1，则这个几何体的俯视图可能是下列图形中的________．(填入所有可能的图形前的编号) 2①锐角三角形；②直角三角形；③四边形；④扇形；⑤圆8．(·安徽名校模拟)一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为________．9．正四棱锥的底面边长为2，侧棱长均为3，其正视图(主视图)和侧视图(左视图)是全等的等腰三角形，则正视图的周长为________．10．已知：图1是截去一个角的长方体，试按图示的方向画出其三视图；图2是某几何体的三视图，试说明该几何体的构成．。
概率中的应用问题 -玩转压轴题,(原卷版)
【方法综述】概率与统计的问题在高考中的地位相对稳定，而由于概率与统计具有较强的现实应用背景，在近几年的高考中，概率与统计问题在高考中所占的地位有向压轴题变化的趋势。
概率与统计的热点问题主要表现在一是：以数学文化和时代发展为背景设置概率统计问题 ，二是概率统计与函数、方程、不等式及数列等相结合的问题。
此类问题的解决，需要考生由较强的阅读理解能力，体现考生的数学建模、数据分析、数学运算及逻辑推理等核心素养。
先就此类问题进行分析、归类，以帮助考生提升应试能力。
【解答策略】类型一 以数学文化和时代发展为背景的概率问题【例1】5．如图为我国数学家赵爽(约3世纪初)在为《周髀算经》作注时验证勾股定理的示意图，现在提供5种颜色给其中5个小区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不同，则,A C 区域涂色不相同的概率为( )A ．17B ．27C ．37D ．47【来源】湖南省衡阳市第一中学2019-2020学年高三上学期7月第一次月考理科数学试题【例2】（2020全国模拟）冠状病毒是一个大型病毒家族，己知可引起感冒以及中东呼吸综合征（MERS ）和严重急性呼吸综合征（SARS ）等较严重疾病.而今年出现在湖北武汉的新型冠状病毒（nCoV ）是以前从未在人体中发现的冠状病毒新毒株.人感染了新型冠状病毒后常见体征有呼吸道症状、发热、咳嗽、气促和呼吸困难等.在较严重病例中，感染可导致肺炎、严重急性呼吸综合征、肾衰竭，甚至死亡.某医院为筛查冠状病毒，需要检验血液是否为阳性，现有n （n *∈N ）份血液样本，有以下两种检验方式： 方式一：逐份检验，则需要检验n 次.方式二：混合检验，将其中k （k *∈N 且2k ≥）份血液样本分别取样混合在一起检验.若检验结果为阴性，这k 份的血液全为阴性，因而这k 份血液样本只要检验一次就够了，如果检验结果为阳性，为了明确这k 份血液究竟哪几份为阳性，就要对这k 份再逐份检验，此时这k 份血液的检验次数总共为专题7 概率中的应用问题1k +.假设在接受检验的血液样本中，每份样本的检验结果是阳性还是阴性都是独立的，且每份样本是阳性结果的概率为p （01p <<）.现取其中k （k *∈N 且2k ≥）份血液样本，记采用逐份检验方式，样本需要检验的总次数为1ξ，采用混合检验方式，样本需要检验的总次数为2ξ.（1）若()()12E E ξξ=，试求p 关于k 的函数关系式()p f k =；（2）若p 与干扰素计量n x 相关，其中12,,,n x x x （2n ≥）是不同的正实数， 满足11x =且n N *∀∈（2n ≥）都有1222113221121n n n i i i x x x e x x x x --=+-⋅=-∑成立. （i ）求证：数列{}n x 等比数列；（ii ）当3411p x =-时，采用混合检验方式可以使得样本需要检验的总次数的期望值比逐份检验的总次数的期望值更少，求k 的最大值【举一反三】1．（2020·宁夏高考模拟（理））根据党中央关于“精准”脱贫的要求，我市某农业经济部门派四位专家对三个县区进行调研，每个县区至少派一位专家，则甲，乙两位专家派遣至同一县区的概率为（ ） A ．16 B ．14 C ．13 D ．122.（2020·河北高三期末（理））我国历法中将一年分为春、夏、秋、冬四个季节，每个季节有六个节气，如夏季包含立夏、小满、芒种、夏至、小暑以及大暑.某美术学院甲、乙、丙、丁四位同学接到绘制二十四节气的彩绘任务，现四位同学抽签确定各自完成哪个季节中的六幅彩绘，在制签及抽签公平的前提下，甲没有抽到绘制春季六幅彩绘任务且乙没有抽到绘制夏季六幅彩绘任务的概率为_________.3．（2020•湖北模拟）据《孙子算经》中记载，中国古代诸侯的等级从低到高分为：男、子、伯、候、公， 共五级．现有每个级别的诸侯各一人，共五人要把80个橘子分完且每人都要分到橘子，级别每高一级就多 分m 个（m 为正整数），若按这种方法分橘子，“公”恰好分得30个橘子的概率是类型二 概率与函数、方程、不等式及数列等相结合的问题【例3】（2020•浙江模拟）甲乙两人进行乒乓球比赛，现采用三局两胜的比赛制度，规定每一局比赛都没 有平局（必须分出胜负），且每一局甲赢的概率都是p ，随机变量X 表示最终的比赛局数，若0＜p ＜，则 （ ）A ．E （X ）＝B ．E （X ）＞C ．D （X ）＞ D ．D （X ）＜【例4】（2020 •开福区模拟）设一个正三棱柱ABC ﹣DEF ，每条棱长都相等，一只蚂蚁从上底面ABC 的某顶点出发，每次只沿着棱爬行并爬到另一个顶点，算一次爬行，若它选择三个方向爬行的概率相等，若蚂蚁爬行10次，仍然在上底面的概率为P 10，则P 10为（ ）A ．B ．C ．D ．【举一反三】1．（2020 •越城区模拟）随机变量ξ有四个不同的取值，且其分布列如下：ξ2sin αsin β 3cos αsin β 3sin αcos β cos αcos β P t 则E （ξ）的最大值为（ ）A ．﹣1B ．﹣C ．D ．12．（2020 •天心区模拟）已知函数f （x ）＝，若，则方程[f （x ）]2﹣af （x ）+b ＝0有五个不同根的概率为（ ）A ．B ．C ．D ．【强化训练】1．（2020·安徽高考模拟（理））2019年5月22日具有“国家战略”意义的“长三角一体化”会议在芜湖举行；长三角城市群包括：上海市以及江苏省、浙江省、安徽省三省部分城市，简称“三省一市”. 现有4 名高三学生准备高考后到上海市、江苏省、浙江省、安徽省四个地方旅游， 假设每名同学均从这四个地方中任意选取一个去旅游， 则恰有一个地方未被选中的概率为（ ）A ．2764B ．916C ．81256D ．7162.设函数()()11x f x ax x x =+>-，若a 是从0,1,2三个数中任取一个，b 是从1,2,3,4,5五个数中任取一个，那么()f x b >恒成立的概率是（ ）A. 35B. 715C. 25D. 123．（2020·湖北高考模拟（理））生活中人们常用“通五经贯六艺”形容一个人才识技艺过人，这里的“六艺”其实源于中国周朝的贵族教育体系，具体包括“礼、乐、射、御、书、数”.为弘扬中国传统文化，某校在周末学生业余兴趣活动中开展了“六艺”知识讲座，每艺安排一节，连排六节，则满足“数”必须排在前两节，“礼”和“乐”必须分开安排的概率为（ ）A ．760B ．16C ．1360D ．144．（2020•富阳区模拟）已知数列{a n }满足a 1＝0，且对任意n ∈N *，a n +1等概率地取a n +1或a n ﹣1，设a n 的值为随机变量ξn ，则（ ）A ．P （ξ3＝2）＝B ．E （ξ3）＝1C ．P （ξ5＝0）＜P （ξ5＝2）D ．P （ξ5＝0）＜P （ξ3＝0）5．（2019·四川成都七中高考模拟（理））如果{}n a 不是等差数列，但若k N *∃∈，使得212k k k a a a +++=，那么称{}n a 为“局部等差”数列.已知数列{}n x 的项数为4，记事件A ：集合{}{}1234,,,1,2,3,4,5x x x x ⊆，事件B ：{}n x 为“局部等差”数列，则条件概率()|P B A =（ ）A ．415B ．730C ．15D ．166．某校高一年级研究性学习小组利用激光多普勒测速仪实地测量复兴号高铁在某时刻的速度，其工作原理是：激光器发出的光平均分成两束射出，在被测物体表面汇聚，探测器接收反射光，当被测物体横向速度为零时，反射光与探测光频率相同，当横向速度不为零时，反射光相对探测光会发生频移2sin p f νϕλ=，其中v 为测速仪测得被测物体的横向速度，λ为激光波长，ϕ为两束探测光线夹角的一半，如图，若激光测速仪安装在距离高铁1m 处，发出的激光波长为1500nm （91nm 10m -=），某次检验中可测频移范围为99.50010⨯（1/h ）至910.00010⨯（1/h ），该高铁以运行速度（337.5km /h 至375km /h ）经过时，可测量的概率为（ ）A．12B．13C．23D．56【来源】江苏省南京市2020-2021学年高三上学期1月供题数学试题7．新冠疫情期间，网上购物成为主流．因保管不善，五个快递ABCDE上送货地址模糊不清，但快递小哥记得这五个快递应分别送去甲乙丙丁戊五个地方，全部送错的概率是（）A．310B．13C．1130D．25【来源】浙江省2020届高三下学期6月新高考进阶数学试题8．吸烟有害健康，小明为了帮助爸爸戒烟，在爸爸包里放一个小盒子，里面随机摆放三支香烟和三支跟香烟外形完全一样的“戒烟口香糖”，并且和爸爸约定，每次想吸烟时，从盒子里任取一支，若取到口香糖则吃一支口香糖，不吸烟；若取到香烟，则吸一支烟，不吃口香糖，假设每次香烟和口香糖被取到的可能性相同，则“口香糖吃完时还剩2支香烟”的概率为（）A．15B．815C．35D．3209．某停车场只有并排的8个停车位，恰好全部空闲，现有3辆汽车依次驶入，并且随机停放在不同车位，则至少有2辆汽车停放在相邻车位的概率是A．514B．1528C．914D．6710．验证码就是将一串随机产生的数字或符号，生成一幅图片，图片里加上一些干扰象素（防止OCR），由用户肉眼识别其中的验证码信息，输入表单提交网站验证，验证成功后才能使用某项功能.很多网站利用验证码技术来防止恶意登录，以提升网络安全.在抗疫期间，某居民小区电子出入证的登录验证码由0，1，2，…，9中的五个数字随机组成.将中间数字最大，然后向两边对称递减的验证码称为“钟型验证码”（例如：如14532，12543），已知某人收到了一个“钟型验证码”，则该验证码的中间数字是7的概率为__________.11．我国历法中将一年分为春、夏、秋、冬四个季节，每个季节有六个节气，如夏季包含立夏、小满、芒种、夏至、小暑以及大暑.某美术学院甲、乙、丙、丁四位同学接到绘制二十四节气的彩绘任务，现四位同学抽签确定各自完成哪个季节中的六幅彩绘，在制签及抽签公平的前提下，甲没有抽到绘制春季六幅彩绘任务且乙没有抽到绘制夏季六幅彩绘任务的概率为_________.【来源】2020届河北省张家口市高三上学期期末教学质量监测数学（理）试题12．欧阳修《卖油翁》中写道：(翁)乃取一葫芦置于地，以钱覆其口，徐以杓酌滴沥之，自钱孔入，而钱不湿．已知铜钱是直径为4 cm 的圆面，中间有边长为1 cm 的正方形孔，若随机向铜钱上滴一滴油(油滴整体落在铜钱内)，则油滴整体(油滴是直径为0.2 cm 的球)正好落入孔中的概率是_____．(不作近似计算)【来源】云南省峨山彝族自治县第一中学2021届高三三模数学（文）试题13．甲乙两位同学玩游戏，对于给定的实数1a ，按下列方法操作一次产生一个新的实数：由甲、乙同时各掷一枚均匀的硬币，如果出现两个正面朝上或两个反面朝上，则把1a 乘以2后再减去6；如果出现一个正面朝上，一个反面朝上，则把1a 除以2后再加上6，这样就可得到一个新的实数2a ，对实数2a 仍按上述方法进行一次操作，又得到一个新的实数3a ，当31a a 时，甲获胜，否则乙获胜，若甲胜的概率为34，则1a 的取值范围是____．14．某动漫公司推出漫画角色盲盒周边售卖，每个盲盒中等可能的放入该公司的3款经典动漫角色玩偶中的一个.小明购买了4个盲盒，则他能集齐3个不同动漫角色的概率是______________.【来源】安徽省马鞍山市2021届高三下学期第三次教学质量监测理科数学试题15．某公司根据上年度业绩筛选出业绩出色的A ，B ，C ，D 四人，欲从此4人中选择1人晋升该公司某部门经理一职，现进入最后一个环节：A ，B ，C ，D 四人每人有1票，必须投给除自己以外的一个人，并且每个人投给其他任何一人的概率相同，则最终仅A 一人获得最高得票的概率为___________.【来源】江苏省南通市如皋市2021届高三下学期4月第二次适应性考试数学试题16．2020年新冠肺炎肆虐，全国各地千千万万的医护者成为“最美逆行者”，医药科研工作者积极研制有效抗疫药物，中医药通过临床筛选出的有效方剂“三药三方”(“三药”是指金花清感颗粒､连花清瘟颗粒(胶囊)和血必净注射液；“三方”是指清肺排毒汤､化湿败毒方和宜肺败毒方)发挥了重要的作用.甲因个人原因不能选用血必净注射液，甲､乙两名患者各自独立自主的选择一药一方进行治疗，则两人选取药方完全不同的概率是___________.【来源】黑龙江省大庆铁人中学2021届高三下学期第一次模拟考试 数学（理）试试题17．某校甲、乙、丙三名教师每天使用1号录播教室上课的概率分别是0.6，0.6，0.8，这三名教师是否使用1号录播教室相互独立，则某天这三名教师中至少有一人使用1号录播教室上课的概率是______．【来源】2021年全国高中名校名师原创预测卷 理科数学 （第二模拟）18．（2020雁塔区校级模拟）为了解某次测验成绩，在全年级随机地抽查了100名学生的成绩，得到频率分布直方图（如图），由于某种原因使部分数据丢失，但知道后5组的学生人数成等比数列，设90分以下人数为38，最大频率为b ，则b 的值为 ．19．（2020•宁波校级模拟）某保险公司新开设了一项保险业务，规定该份保单在一年内如果事件E 发生，则该公司要赔偿a 元，假若在一年内E 发生的概率为p ，为使公司受益的期望值不低于a 的，公司应要求该份保单的顾客缴纳的保险金最少为 元．20．（2020·江苏高三（理））乒乓球比赛,三局二胜制.任一局甲胜的概率是(01)p p <<,甲赢得比赛的概率是q ,则q p -的最大值为_____.。
2021高考数学押题专练数学新文化(解析版)
押题04 数学新文化【押题方向】2020年山东新高考和各省高考文理科数学卷中，总共考查了6道数学文化试题。
题目大多是从中国古代数学著作中选取材料片段，体现了中华古代数学的辉煌成就。
试题重在考查考生的阅读能力和数学素养，强调数学知识体体系和实际应用能力。
【模拟专练】1．（2021·山东高三月考）窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一．每年新春佳节，我国许多地区的人们都有贴窗花的习俗，以此达到装点环境、渲染气氛的目的，并寄托着辞旧迎新、接福纳祥的愿望．图一是一张由卷曲纹和回纹构成的正六边形剪纸窗花，已知图二中正六边形ABCDEF 的边长为4，圆O 的圆心为正六边形的中心，半径为2，若点P 在正六边形的边上运动，MN 为圆O 的直径，则PM PN ⋅的取值范围是（ ）A ．[]6,12B ．[]6,16C ．[]8,12D ．[]8,16【答案】C【详解】如下图所示，由正六边形的几何性质可知，OAB 、OBC 、OCD 、ODE 、OEF 、OFA 均为边长为4的等边三角形，当点P 位于正六边形ABCDEF 的顶点时，PO 取最大值4， 当点P 为正六边形各边的中点时，PO 取最小值，即min4sin233POπ==，所以，23,4PO ⎡⎤∈⎣⎦.所以，()()()()[]248,12PM PN PO OM PO ON PO OM PO OM PO ⋅=+⋅+=+⋅-=-∈.2．（2021·山东高三专题练习）数独是源自18世纪瑞士的一种运用纸、笔进行演算的逻辑游戏.玩家需要根据9×9盘面上的已知数字，推理出所有剩余空格的数字，并满足每一行、每一列、每一个粗线宫（3×3）内的数字均含1-9.2020年中国数独锦标赛决赛作为2020数独大会重要赛事之一于10月18日在国家体育总局举行.某选手在解决如图所示的标准数独题目时，正确完成后，记第i 行的数字分别为1i a ，2i a ，3i a ，⋅⋅⋅，9i a ，令123456782345678i i i i i i i i i b a a a a a a a a =-+-+-+-+99i a -，1,2,3,,8,9i =，则129b b b +++= （ ）A ．45-B ．45C ．225-D ．225【答案】C 【详解】12345678923456789i i i i i i i i i i b a a a a a a a a a =-+-+-+-+-129b b b +++99999999912345678911111111123456789i i i i i i i i i i i i i i i i i i a a a a a a a a a ==========-+-+-+-+-∑∑∑∑∑∑∑∑∑其中911i i a =∑表示第1行到9行从左到右的第1个数字之和，即第1列数字之和，同理999923491111,,,i i i i i i i i a a a a====∑∑∑∑表示第2列至第9列数字之和，由题意可知每一列数字之和为123945++++=…，即99912911145i i i i i i a a a =======∑∑∑因此，129(123b b b +++=-+-+-…9)45225⨯=-．3．（2021·山东高三专题练习）密位制是度量角的一种方法．把一周角等分为6000份，每一份叫做1密位的角．以密位作为角的度量单位，这种度量角的单位制，叫做角的密位制．在角的密位制中，采用四个数码表示角的大小，单位名称密位二字可以省去不写．密位的写法是在百位数与十位数字之间画一条短线，如密位7写成“007-”，478密位写成“478-”，1周角等于6000密位，记作1周角6000=-，1直角1500=-．如果一个半径为2的扇形，它的面积为76π，则其圆心角用密位制表示为（ ）A ．1250-B ．1750-C ．2100-D ．3500-【答案】B【详解】设扇形所对的圆心角为α，α所对的密位为n ，则217226απ⨯=，解得7π12α=，由题意可得71260002n ππ=，解得76000175024n =⨯=， 因此，该扇形圆心角用密位制表示为1750-.4．（2021·山东高三专题练习）九连环是我国从古至今广泛流传的一种益智游戏，它用九个圆环相连成串，以解开为胜．据明代杨慎《丹铅总录》记载：“两环互相贯为一，得其关捩，解之为二，又合面为一”．在某种玩法中，用n a 表示解下()9,n n n *≤∈N个圆环所需的移动最少次数，若11a=，且1121,22,n n n a n a a n ---⎧=⎨+⎩为偶数为奇数，则解下5个环所需的最少移动次数为（ ）A ．7B ．13C ．16D ．22【答案】C【详解】数列{}n a 满足11a =．且1121,22,n n n a n a a n ---⎧=⎨+⎩为偶数为奇数，所以，21211a a =-=，32224a a =+=，43217a a =-=，542216a a =+=. 所以解下5个环所需的最少移动次数为16．5．（2021·山东菏泽市·高三一模）在地球公转过程中，太阳直射点的纬度随时间周而复始不断变化，太阳直射点回归运动的一个周期就是一个回归年.某科研小组以某年春分(太阳直射赤道且随后太阳直射点逐渐北移的时间)为初始时间，统计了连续400天太阳直射点的纬度值(太阳直射北半球时取正值，直射南半球时取负值).设第x 天时太阳直射点的纬度值为,y 该科研小组通过对数据的整理和分析.得到y 与x 近似满足23.43929110.01720279y sin x =.则每400年中，要使这400年与400个回归年所含的天数最为接近.应设定闰年的个数为(精确到1)（ ） 参考数据182.62110.01720279π≈A ．95B ．96C ．97D ．98【答案】C 【详解】()2182.62112365.2422,40036596.88970.01720279T T π=≈⨯=-=≈，所以应设定闰年的个数为97.【押题专练】1．小李在某大学测绘专业学习，节日回家，来到村头的一个池塘(如图阴影部分)，为了测量该池塘两侧C ，D 两点间的距离，除了观测点C ，D 外，他又选了两个观测点1P ，2P ，且12PP a =，已经测得两个角12PP D α∠=，21PPD β∠=，由于条件不足，需要再观测新的角，则利用已知观测数据和下面三组新观测的角的其中一组，就可以求出C ，D 间距离的是（ ）①1DPC ∠和1DCP ∠；②12PPC ∠和12PCP ∠；③1PDC ∠和1DCP ∠.A ．①和②B ．①和③C ．②和③D ．①和②和③【答案】D【详解】根据题意，△12PP D 的三个角和三个边，由正弦定理均可以求出， ①中，111sin sinDP CD DPC DCP =∠∠，故111sin sin DP DPC CD DCP ∠=∠，故①可以求出CD ；③与①条件等价.②中，在△12PPC 中，1211212sin sin PP PC PCP PP C =∠∠，故12112sin sin a PP C PC PCP ∠=∠，在△1PCD 中，利用余弦定理求解CD 即可； 故选：D.2．第24届冬季奥林匹克运动会，将在2022年2月4日在中华人民共和国北京市和张家口市联合举行．这是中国历史上第一次举办冬季奥运会，北京成为奥运史上第一个举办夏季奥林匹克运动会和冬季奥林匹克运动会的城市．同时中国也成为第一个实现奥运“全满贯”（先后举办奥运会、残奥会、青奥会、冬奥会、冬残奥会）国家．根据规划，国家体育场（鸟巢）成为北京冬奥会开、闭幕式的场馆．国家体育场“鸟巢”的钢结构鸟瞰图如图所示，内外两圈的钢骨架是离心率相同的椭圆，若由外层椭圆长轴一端点A 和短轴一端点B 分别向内层椭圆引切线AC ，BD （如图），且两切线斜率之积等于916-，则椭圆的离心率为（ ）A ．34B ．7 C ．916D ．3 【答案】B 【详解】若内层椭圆方程为22221(0)x y a b a b+=>>，由离心率相同，可设外层椭圆方程为22221(1)()()x y m ma mb +=>， ∴(,0),(0,)A ma B mb -，设切线AC 为1()y k x ma =+，切线BD 为2y k x mb =+，∴12222()1y k x ma x y ab =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，整理得22223224222111()20a k b x ma k x m a k a b +++-=，由0∆=知：32222224222111(2)4()()0ma k a k b m a k a b -+-=，整理得2212211b k a m=⋅-， 同理，222221y k x mb x y ab =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，可得22222(1)b k m a =⋅-， ∴4221249()()16b k k a ==-，即22916b a =，故2227c a b e a a -===3．天干地支纪年法源于中国，中国自古便有十天干与十二地支，十天干即甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸；十二地支即子、丑、寅、卯、辰、已、午、未、申、酉、戌、亥.天干地支纪年法是按顺序以一个天干和一个地支相配，排列起来，天干在前，地支在后，天干由“甲”起，地支由“子”起，例如，第一年为“甲子”，第二年为“乙丑”，第三年为“丙寅”，以此类推，排列到“癸酉”后，天干回到“甲”重新开始，即“甲戌”，“乙亥”，然后地支回到“子”重新开始，即“丙子”，以此类推.今年是辛丑年，也是伟大、光荣、正确的中国共产党成立100周年，则中国共产党成立的那一年是（ ） A ．辛酉年 B ．辛戊年 C ．壬酉年 D ．壬戊年【答案】A 【详解】由题意知，天干是公差为10的等差数列，地支为公差为12的等差数列， 且1001010=⨯，1008124=⨯+，因为2021年为辛丑年，则100年前的天干为“辛”，地支为“酉”，可得到1921年为辛酉年， 故选：A.4．黄金分割点是指将一条线段分为两部分，使得较长部分与整体线段的长的比值为51-的点.利用线段上的两个黄金分割点可以作出正五角星，如图所示，已知C ，D 为AB 的两个黄金分割点，研究发现如下规律：51AC BD CD AB AB BC -===.若CDE △是顶角为36°的等腰三角形，则cos 216︒=（ ）A ．514-B ．51-C ．512-D ．512-【答案】A 【详解】由题意得在正五角星中，C ，D 为AB 的两个黄金分割点，易知BC CE =. 因为51CD BC -=，所以51CD CE -=，故不妨设2CE =，51CD =， 则在CDE △中，)222225151cos36222+-+︒==⨯⨯从而()51cos 216cos 18036cos36+︒=︒+︒=-︒=. 故选：A.5．我国南北朝数学家何承天发明的“调日法”是程序化寻求精确分数来表示数值的算法，其理论依据是：设实数x 的不足近似值和过剩近似值分别为b a 和dc （,,,a b cd N +∈），则b d a c++是x 的更为精确的不足近似值或过剩近似值.我们知道 2.71828e =⋅⋅⋅，若令2714105e <<，则第一次用“调日法”后得4115是e 的更为精确的过剩近似值，即27411015e <<，若每次都取最简分数，那么第二次用“调日法”后可得e 的近似分数为（ ） A ．6825B ．4115C ．2710D ．145【答案】A 【详解】解：第一次用“调日法”后得e 的更为精确的过剩近似值是4115，即27411015e <<， 第二次用“调日法”后得e 的更为精确的过剩近似值是274168101525+=+，故选：A.6．哥隆尺是一种特殊的尺子.图1的哥隆尺可以一次性度量的长度为1，2，3，4，5，6.图2的哥隆尺不能一次性度量的长度为（ ）A ．11B ．13C ．15D ．17【答案】C 【详解】对于A 选项，图2中，用“1与12”可以测量11； 对于B 选项，图2中，用“4与17”可以测量13； 对于D 选项，图2中，用“0与17”可以测量17. 图2的哥隆尺不能一次性度量的长度为15. 故选：C7．《掷铁饼者》取材于希腊的现实生活中的体育竞技活动，刻画的是一名强健的男子在掷铁饼过程中最具有表现力的瞬间.现在把掷铁饼者张开的双臂近似看成一张拉满弦的 “弓”，掷铁饼者的手臂长约4π米，肩宽约为8π米，“弓”所在圆的半径约为1.25米，你估测一下掷铁饼者双手之间的距离约为(参考数据2 1.414≈，3 1.732≈)（ ）A ．1.012米B ．2.043米C ．1.768米D ．2.945米【答案】C 【详解】弓形所在的扇形如图所示，则AB 的长度为5288πππ+=， 故扇形的圆心角为58=524ππ，故552 1.414 1.7675 1.76844AB =≈⨯=≈.故选：C.8．“中国剩余定理”又称“孙子定理”，讲的是关于整除的问题.现有这样一个整除问题：将1到2021这2021个正整数中能被3除余1且被5除余1的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列{}n a ，则数列{}n a 各项的和为（ ） A ．137835 B ．137836C ．135809D ．135810【答案】D 【详解】由题意n a 被15除1，{}n a 是等差数列，公差15d =，首项为11a =，115(1)1514n a n n =+-=-，由15142021n -≤得，21353n ≤．因此135n ≤，1351351341351151358102S ⨯=⨯+⨯=．故选：D ．9．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的美誉，用其名字命名的“高斯函数”：设,x R =用[]x 表示不超过x 的最大整数，则[]y x =称为高斯函数，也称取整函数，例如：[][]3.74,2.32-=-=.已知()1112x x e f x e -=-+，则函数()y f x ⎡⎤=⎣⎦的值域为（ ）A ．{}0B ．{}1,0-C ．{}2,1,0--D ．{}1,0,1-【答案】C 【详解】()1112121121212x x x x x e e f x e e e -+-=-=-=-++++，当0x ≥时，1x e ≥，则2101xe -≤-<+，故()2111,1222x f x e ⎡⎫=-+∈-⎪⎢+⎣⎭，故(){}1,0f x ∈-⎡⎤⎣⎦； 但0x <时，01x e <<，则2211xe -<-<-+，故()2131,1222x f x e ⎡⎫=-+∈--⎪⎢+⎣⎭，(){}2,1f x ∈--⎡⎤⎣⎦； 综上所述，函数()y f x ⎡⎤=⎣⎦的值域为{}2,1,0--.10．《周髀算经》是中国最古老的天文学和数学著作，书中提到:冬至､小寒､大寒､立春､雨水､惊蛰､春分､清明､谷雨､立夏､小满､芒种这十二个节气的日影子长依次成等差数列.若冬至､大寒､雨水的日影子长的和是40.5尺，芒种的日影子长为4.5尺，则冬至的日影子长为（ ）A ．6.5尺B ．13.5尺C ．14.5尺D ．15.5尺【答案】D 【详解】设冬至的日影长为1a ，雨水的日影长为13540.5a a a ++=，根据等差数列的性质可知33340.513.5a a =⇒=，芒种的日影长为12 4.5a =，11213.511 4.5a d a d +=⎧⎨+=⎩，解得：115.5a =，1d =-， 所以冬至的日影长为15.5尺.故选：D11．英国数学家泰勒(B . Taylor ，1685-1731)以发现泰勒公式和泰勒级数闻名于世｡由泰勒公式，我们能得到111111!2!3!!(1)!e e n n θ=+++++++(其中e 为自然对数的底数，()()01,!12...21n n n n θ<<=⨯-⨯-⨯⨯⨯)，其拉格朗日余项是.(1)!n e R n θ=+可以看出，右边的项用得越多，计算得到的e 的近似值也就越精确｡若3(1)!n +近似地表示e 的泰勒公式的拉格朗日余项,n R n R 不超过11000时，正整数n 的最小值是（ ） A ．5 B ．6C ．7D ．8【答案】B【详解】依题意得31(1)!1000n ≤+，即()1!3000n +≥，()51!654321720+=⨯⨯⨯⨯⨯=，()61!765432150403000+=⨯⨯⨯⨯⨯⨯=>，所以n 的最小值是6.故选：B12．攒尖是古代中国建筑中屋顶的一种结构形式依其平面有圆形攒尖、三角攒尖、四角攒尖、六角攒尖等，多见于亭阁式建筑如图所示，某园林建筑为六角攒尖，它的主要部分的轮廓可近似看作一个正六棱锥，设正六棱锥的侧面等腰三角形的顶角为2θ，则侧棱与底面内切圆半径的比为（ ）A 3B 3C ．12sin θD ．12cos θ【答案】A【详解】如图，正六边形时正六棱锥的底面，等腰三角形是正六棱在的侧面，设侧棱SA SB b ==，底面边长ABa ，底面内切圆半径OCr =，2ASB θ∠=,则OAB 是等边三角形，3sin 60r a a ==，侧面SAB 中，2sin a b θ=， 3sin r b θ∴=，即33sin b r θ==.故选：A13．我国古代以天为主，以地为从，天和干相连叫天干，地和支相连叫地支，合起来叫天干地支.天干有十个，就是甲､乙，丙､丁､戊､己､庚､辛､王､癸，地支有十二个，依次是子､丑､寅､卯､辰､巳､午､未､申､酉､戌､亥.古人把它们按照甲子､乙丑､丙寅……的顺序而不重复地搭配起来，从甲子到癸亥共六十对，叫做一甲子.我国古人用这六十对干支来表示年､月､日､时的序号，周而复始，不断循环，这就是干支纪年法(即农历).干支纪年历法，是屹立于世界民族之林的科学历法之一.今年(2020年)是庚子年，小华的爸爸今年10月10日是56周岁生日，小华爸爸出生那年的农历是（ ）A ．庚子B ．甲辰C ．癸卯D ．丙申【答案】B【详解】小华的爸爸今年10月10日是56周岁生日，小华爸爸出生于()19642020561964-=年.按六十年一个甲子，今年(2020年)是庚子年，60年前(1960年)是庚子年，由干支纪年法知，1961，1962，1963，1964年分别是辛丑，壬寅，癸卯，甲辰年.故选：B14．“瓦当”是中国古建筑装饰檐头的附件，是中国特有的文化艺术遗产，为探究下面“瓦当”图案的面积，向半径为10的圆内投入1000粒芝麻，落入阴影部分的有400粒.则估计“瓦当”图案的面积是（ ）A ．40B ．40πC ．4D ．4π【答案】B【详解】 据题意，芝麻落入阴影部分的概率为400210005P ==， 设“瓦当”图案的面积为S ，则22105S π=⨯，40S π=． 故选：B ． 15．明朝早期，郑和在七下西洋的过程中，将中国古代天体测量方面所取得的成就创造性应用于航海，形成了一套自成体系且行之有效的先进航海技术——“过洋牵星术”.简单地说，就是通过观测不同季节、时辰的日月星辰在天空运行的位置和测量星辰在海面以上的高度来判断方位，其采用的主要工具为牵星板，由12块正方形木板组成，最小的一块边长约为2厘米（称一指）.观测时，将木板立起，一手拿着木板，手臂垂直，眼睛到木板的距离大约为72厘米，使牵星板与海平面垂直，让板的下边缘与海平面重合，上边缘对着所观测的星辰，与其相切，依高低不同替换、调整木板，木板上边缘与被观测星辰重合时所用的是几指板，观测的星辰离海平面的高度就是几指，然后就可以推算出船在海中的地理纬度.如图所示，若在一次观测中，所用的牵星板为九指板，则sin 2α=（ ）A ．1235B 17C ．817D ．815【答案】C【详解】由题意α所对直角边长为18，相邻直角边长为72，则斜边长为1817sin 17α=cos 17α= ∴8sin 22sin cos 2171717ααα===．。
高考数学考前压轴统一考试试题理新人教A版
中原名校 高考考前压轴考试数学（理）试题一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知集合A ＝{x ｜2x 2＋y ＝4}，集合B ＝{x ｜｜x ＋i ｜＜0sin tdt π⎰，i 为虚数单位，x ∈R}，集合A 与B 的关系是A ．AB B ．B AC ．A ∩B ＝AD ．A ∩B ＝φ 2．已知等比数列{n a }中，各项都是整数，且a 1，12a 3，2a 2成等差数列，则91078a a a a ＋＋的值为A ．12B ．3＋2C ．12D ．3－2 3．在复平面内，已知复数z 知足｜z ＋1｜＝4－｜z －1｜，则复数z ＋3i （i 为虚数单位）的模的最大值为A ．33．7 C 13．不存在4．某程序框图如图所示，若输出的S ＝57，则判断框内为A ．k ＞4?B ．k ＞5?C ．k ＞6?D ．k ＞7? 5．函数y ＝f （x ）的图象向右平移6π单位后与函数y ＝sin2x 的图象重 合，则y ＝f （x ）的解析式是A ．f （x ）＝cos （2x －3π） B ．f （x ）＝cos （2x －6π） C ．f （x ）＝cos （2x ＋6π） D ．f （x ）＝cos （2x ＋3π）6．设f （x ）＝lg （x 21x ＋sinx ，当0≤θ≤2π时，f （msin θ）＋f （1－m ）＞0恒成立，则实数m 的取值范围是A ．（－∞，1）B ．（－∞，0）C ．（－∞，12） D ．（0，1） 7．在四边形ABCD 中，｜AB ｜＋｜BD ｜＋｜DC ｜＝4，AB ·BD ＝BD ·DC ＝0，｜AB ｜·｜BD ｜＋｜BD ｜·｜DC ｜＝4，则（AB ＋DC ）·AC 的值为A ．2B ．22C ．4D ．428．若对一切θ∈R ，a ∈[0，1]，向量b ＝（a ＋cos θ，2a －sin θ）的长度不超过2的概率为A ．12 B ．55 C ．33 D ．239．几何体ABCDEP 的三视图如图，其中正视图为直角梯形，侧视图为直角三角形，俯视图为正方形，则下列结论中不成立的是A ．BD ∥平面PCEB ．AE ⊥平面PBCC ．平面BCE ∥平面ADPD ．CE ∥DP10．设F 1、F 2是双曲线224x y －＝1的左、右两个核心，若双曲线右支上存在一点P ，使（OP＋2OF ）·2F P ＝0（0为坐标原点）且｜PF 1｜＝λ｜PF 2｜，则λ的值为 A ．2 B ．12C ．3D ．1311．如图，平面四边形ABCD 中，AB ＝AD＝CD ＝2，BD ＝22，BD ⊥CD ，将 其沿对角线BD 折成四面体A －BCD ，使平面ABD ⊥平面BCD ，若四面体 A －BCD 在同一球面上，则该球的体积 为 A ．323πB ．8πC ．83πD ．43π12．已知函数f （x ）＝21(0)(1)1(0)x x f x x ⎧⎨⎩ －≤－＋＞，把函数g （x ）＝f （x ）－x ＋1的零点按从小到大的顺序排成一个数列，则该数列的前n 项的和n S ，则S 10＝A ．210－1 B ．29－1 C ．45 D ．55二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中的横线上） 13．若随机变量ξ服从正态散布N （2，2σ），且P （ξ≤0）＝0．2，则P （0≤ξ≤4）＝__________．14．若变量x ，y 知足10201x y x x ⎧⎪⎨⎪⎩－2＋≤－y ＞≤，则点P （2x －y ，x ＋y ）与坐标原点O 所在直线斜率的范围是_________________．15．在斜三角形ABC 中，角A 、B 、C 所对的边别离为a 、b 、c ，若tan tan 1tan tan A AB C＋＝，则 222a b c ＝＋___________________。
压轴题13 数学文化与新情景问题(解析版)-2023年高考数学压轴题专项训练(江苏专用)
压轴题13数学文化与新情景问题数学文化与新情景问题是高考重点考查的内容之一，命题形式多种多样，主要以选择题、填空题为主，难度较难．考向一：融合传统文化和数学史的数学阅读题考向二：融合其他学科知识的数学阅读题考向三：融合社会热点和建设成就的数学阅读题考向四：融合生活实际的数学阅读题数学文化与新情景问题试题一般从中外优秀传统文化和生产生活实际中挖掘素材，将数学文化、生活情境与高中数学知识有机结合．其解答过程大致需要实现两个转化：先是将实际问题转化为数学问题，然后再将数学问题转化为问题结果．具体地说，就是先通过阅读情境、审读题目，在明确对象、分析过程（或状态）的基础上过滤情境，并构造出符合题意的数学模型，从而使“实际问题”转化为“数学问题”；接着选用恰当的数学方法求解作答，得出“问题结果”，并将其纳入原问题的情境中，予以“检验讨论”，对解题过程作出评价．其中过滤情境、构建模型的环节至关重要，它既是使复杂的实际问题转化为相应的数学问题的前提，也是正确选用数学方法、求解数学问题的依据，起着承上启下的关键作用．一、单选题1．（2023·北京·高三专题练习）众所周知的“太极图”，其形状如对称的阴阳两鱼互抱在一起，也被称为“阴阳鱼太极图”.如图是放在平面直角坐标系中的“太极图”.整个图形是一个圆形224x y +=.其中黑色阴影区域在y 轴右侧部分的边界为一个半圆，给出以下命题:①在太极图中随机取一点，此点取自黑色阴影部分的概率是12；②当32a =-时，直线2y ax a =+与白色部分有公共点；③黑色阴影部分（包括黑白交界处）中一点(),x y ，则x y +1；④若点()0,1P ，MN 为圆224x y +=过点P 的直径，线段AB 是圆224x y +=所有过点P 的弦中最短的弦，则()AM BN AB -⋅ 的值为12.其中所有正确结论的序号是（）A ．①③B ．③④C ．①③④D ．①②④【答案】C【解析】对于①，设黑色部分区域的面积为1S ，整个圆的面积为S ，由对称性可知，112S S =，所以，在太极图中随机取一点，此点取自黑色阴影部分的概率为112S P S ==，故①正确；对于②，当32a =-时，直线的方程为332y x =--，即3260x y ++=，圆心()0,0到直线3260x y ++=613213=<，下方白色小圆的方程为()2211x y ++=，圆心为()0,1-，半径为1，圆心()0,1-到直线3260x y ++=的距离为1d =，如下图所示：由图可知，直线332y x =--与与白色部分无公共点，故②错误；对于③，黑色阴影部分小圆的方程为()2211x y +-=，设z x y =+，如下图所示：当直线z x y =+与圆()2211x y +-=相切时，z 取得最大值，且圆()2211x y +-=的圆心坐标为()0,1，半径为11=，解得1z =由图可知，0z >，故max 1z =，故③正确；对于④，由于MN 是圆224x y +=中过点()0,1P 的直径，则M 、N 为圆224x y +=与y 轴的两个交点，可设()0,2M 、()0,2N -，当AB y ⊥轴时，AB 取最小值，则直线AB 的方程为1y =，可设点()3,1A -、)3,1B，所以，)3,1AM = ，()3,3BN =-，()3,0AB = ，()3,4AM BN -= ，所以，()12AM BN AB -⋅=，故④正确.故选：C.2．（2023·全国·高三专题练习）箕舌线因意大利著名的女数学家玛丽亚·阿涅西的深入研究而闻名于世．如图所示，过原点的动直线交定圆()2200x y ay a +-=>于点P ，交直线y a =于点Q ，过P 和Q 分别作x 轴和y 轴的平行线交于点M ，则点M 的轨迹叫做箕舌线．记箕舌线函数为()f x ，设AOQ θ∠=，下列说法正确的是（）A ．()f x 是奇函数B ．点M 的横坐标为tan M a x θ=C ．点M 的纵坐标为2cos M y a θ=D ．()f x 的值域是(],1-∞【答案】C【解析】连接AP ，则AP OP ⊥，圆()2200x y ay a +-=>的标准方程为22224a a x y ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭，该圆的直径为a，设点()0,Q x a ，当点Q 不与点A 重合时，直线OQ 的方程为0ay x x =，联立02200a y x x x y ay y ⎧=⎪⎪⎪+-=⎨⎪≠⎪⎪⎩，解得3220a y x a =+，当点Q 与点A 重合时，点A 的坐标也满足方程322a y x a =+，所以，()322a f x x a=+，对任意的x ∈R ，220x a +>，即函数()f x 的定义域为R ，()()()332222a a f x f x x a x a -===+-+ ，故函数()f x 为偶函数，A 错；当点Q 在第一象限时，Q M x x =，因为tan Q x aθ=，此时tan Q M x x a θ==，B 错；当点Q 不与点A 重合时，0M P y y =>，因为cos OP a θ=，则2cos cos M P y y OP a θθ===，当点Q 与点A 重合时，点P 也与点A 重合，此时0θ=，点P 的纵坐标也满足2cos P y a θ=，综上所述，点M 的纵坐标为2cos M y a θ=，C 对；对于D 选项，222x a a +≥ ，所以，()(]3220,a f x a x a =∈+，D 错.故选：C.3．（2023·全国·高三专题练习）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，为了纪念数学家高斯，人们把函数[],y x x =∈R 称为高斯函数，其中[]x 表示不超过x 的最大整数.设{}[]x x x =-，则函数(){}21f x x x x =--的所有零点之和为（）A ．1-B ．0C ．1D ．2【答案】A【解析】由题意知，当0x =时，()1f x =-，所以0不是函数()f x 的零点，当0x ≠时，(){}21f x x x x =--0=可得，{}121x x=+，令{}[]121222,1y x x x y x==-=+，作出函数{}[]121222,1y x x x y x==-=+的图象如图所示：由图象可知，除点()1,0-外，函数{}[]121222,1y x x x y x==-=+图象其余交点关于（0，1）中心对称，∴横坐标互为相反数，即1230x x x +++⋅⋅⋅=，由函数零点的定义知，函数(){}21f x x x x =--的所有零点之和为1231101x x x -++++⋅⋅⋅=-+=-.故选：A4．（2023·全国·高三专题练习）目前，我国的水环境问题已经到了刻不容缓的地步，河道水质在线监测COD 传感器针对水源污染等无组织污染源的在线监控系统，进行24小时在线数据采集和上传通讯，并具有实时报警功能及统计分析报告，对保护环境有很大帮助.该传感器在水中逆流行进时，所消耗的能量为2E kv t =，其中v 为传感器在静水中行进的速度(单位：km /h )，t 为行进的时间(单位：h )，k 为常数，如果待测量的河道的水流速度为3km /h ，则该传感器在水中逆流行进10km 消耗的能量的最小值为（）A ．60kB ．120kC ．180kD ．240k【答案】B【解析】由题意，该传感器在水中逆流行进10km 所用的时间10(3)3t v v =>-，则所消耗的能量210(3)3E kv v v =⋅>-.方法一：2222210[(3)3][(3)2(3)33]910101010[(3)6]33333v v v v E kv k k k k v v v v v v -+-+⋅-⋅+=⋅=⋅=⋅=⋅=⋅-++≥----106]1012120k k k ⋅=⋅=，当且仅当933v v -=-，即6v =时等号成立，此时2103E kv v =⋅-取得最小值120k .方法二：221010(3)33v E kv k v v v =⋅=⋅>--，求导得22610(3)v v E k v -'=⋅-，令226100(3)v v E k v -'=⋅=-，得6v =，当36v <<时，0E '<，2103E kv v =⋅-单调递减；当6v >时，0E '>，2103E kv v =⋅-单调递增，所以当6v =时，2103E kv v =⋅-取得最小值，为210612063k k ⨯⨯=-.故选：B.5．（2023·江西·校联考二模）2023年是农历癸卯兔年，在中国传统文化中，兔被视为一种祥瑞之物，是活力和幸福的象征，寓意福寿安康.故宫博物院就收藏着这样一副蕴含“吉祥团圆”美好愿景的名画——《梧桐双兔图》，该绢本设色画纵约176cm ，横约95cm ，其挂在墙壁上的最低点B 离地面194cm.小南身高160cm （头顶距眼睛的距离为10cm ），为使观赏视角θ最大，小南离墙距离S 应为（）A ．2cmB ．76cmC ．94cmD ．445cm【答案】D【解析】由题意可得θ为锐角，故要使θ最大，只需tan θ最大，设小南眼睛所在的位置点为点D ，过点D 做直线AB 的垂线，垂足为O ，如图，则依题意可得()1941601044=--=BC （cm ），=CD S （cm ），0S >，设,αβ∠=∠=ADC BDC ，则θαβ=-，且17644220tan α++===AB BC CD S S，44tan β==BC CD S，故()222044tan tan 176176tan tan 2204496801tan tan 96801αβθαβαβ--=-===++++S S S S S S S S1762596802≤SS9680=S S即445=S 时等号成立，故使观赏视角θ最大，小南离墙距离S 应为445故选：D.6．（2023·全国·高三专题练习）古希腊数学家欧几里得在《几何原本》中描述了圆锥曲线的共性，并给出了圆锥曲线的统一定义，只可惜对这一定义欧几里得没有给出证明．经过了500年，到了3世纪，希腊数学家帕普斯在他的著作《数学汇篇》中，完善了欧几里得关于圆锥曲线的统一定义，并对这一定义进行了证明，他指出，到定点的距离与到定直线的距离的比是常数e 的点的轨迹叫做圆锥曲线：当01e <<时，轨迹为椭圆；当1e =时，轨迹为抛物线；当1e >时，轨迹为双曲线．现有方程()()2224431m x y y x y +-+=-+表示的曲线是双曲线，则m 的取值范围为（）A ．()10,+∞B ．()0,10C ．()0,5D ．()5,+∞【答案】B【解析】由()()2224431m x y y x y +-+=-+，0m >，得222[(2)](31)m x y x y +-=-+，22(2)31m x y x y +-=-+，222222(2)13103113x y x y m m +-+==-++，可得动点(,)P x y 到这点(0,2)和定直线310x y -+=10m101m>，解得010m <<，故选：B7．（2023·全国·高三专题练习）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，第九章“勾股”，讲述了“勾股定理”及一些应用.直角三角形的两直角边与斜边的长分别称“勾”“股”“弦”，且“勾2+股2=弦2”，设直线l 交抛物线214y x =于A ，B 两点，若OA ，OB 恰好是Rt OAB V 的“勾”“股”（O 为坐标原点），则此直线l 恒过定点（）A ．1,04⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．1,02⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．()0,2D ．()0,4【答案】D【解析】设直线AB 的方程为y kx b =+，()11,A x y ，()22,B x y ，由24y kx b x y=+⎧⎨=⎩得2440x kx b --=，由根与系数的关系可得：124x x k +=，124x x b =-，若OA ，OB 恰好是Rt OAB V 的“勾”“股”（O 为坐标原点），可得222OA OB AB +=，所以OA OB ⊥，即OA OB ⊥ ，所以12120OA OB x x y y ⋅=+= ，()2221212*********y y x x x x =⨯=，所以()()2212121212114401616OA OB x x y y x x x x b b ⋅=+=+=-+⨯-=，即240b b -=，解得4b =或0b =（舍）所以直线AB 的方程为4y kx =+，恒过点()0,4，故选：D8．（2023·河南郑州·统考二模）世界数学三大猜想：“费马猜想”、“四色猜想”、“哥德巴赫猜想”，其中“四色猜想”和“费马猜想”已经分别在1976年和1994年荣升为“四色定理”和“费马大定理”．281年过去了，哥德巴赫猜想仍未解决，目前最好的成果“1＋2”由我国数学家陈景润在1966年取得．哥德巴赫猜想描述为：任何不小于4的偶数，都可以写成两个质数之和．在不超过17的质数中，随机选取两个不同的数，其和为奇数的概率为（）A ．14B ．27C ．13D ．25【答案】B【解析】不超过17的质数有：2，3，5，7，11，13，17，共7个，随机选取两个不同的数，基本事件总数27C 21n ==，其和为奇数包含的基本事件有：(2,3),(2,5),(2,7),(2,11),(2,13),(2,17)，共6个，所以62217P ==.故选：B9．（2023·江西·金溪一中校联考模拟预测）宋神宗熙宁九年文学家苏轼在《水调歌头·明月几时有》中有一名句“月有阴晴圆缺”表达了他超脱的胸怀。
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高考数学中国传统文化题专项突破教育部考中心函件《关于2017 年普通高考考大修内容的通知》要求“增加中秀文化的考核内容，极培育和践行社会主核心价，充分高考命的育人功能和极向作用．比如，在数学中增加数学文化的内容．”因此，我特策划了此，将数学文化与数学知相合，取典型深度解，希望能予广大生的复考以的帮助与指．一、算法1．用更相减求294 和 84 的最大公数，需要做减法的次数()A ． 2B ． 3C． 4D． 5答案C解析(84,294) → (84,210) → (84,126) →(84,42) → (42,42) ，一共做了 4 次减法．2．如所示的程序框的算法思路来源于我国古代数学名著《九章算》中的“更相减”，行程序框，若入的a， b 分14,18，出的 a ()A ． 4B ． 2C． 0D． 14答案B解析由意出的 a 是 18,14的最大公数2，故 B.3．用相除法求459 和 357的最大公数，需要做除法的次数是()A ． 1B ． 2C． 3D． 4答案C解析∵ 459÷357＝ 1⋯ 102 ，357 ÷102＝ 3⋯ 51，102÷51＝ 2，∴459 和 357的最大公数是 51，需要做除法的次数是 3.4．秦九韶算法是中国南宋期的数学家秦九韶提出的一种多式化算法，于求一个n 次多式函数 f n n n＋a n －1xn－1＋⋯＋ a10n (x)＝ a x x＋ a 的具体函数，运用常方法算出果最多需要n n＋ 1次加法和次乘法，而运用秦九韶算法由内而外逐层计算一次多项式的值的算法至多需要n 次加法和n 次乘法．对于计算机来说，做一次乘法运算所用的时间比做一次加法运算要长得多，所以此算法极大地缩短了CPU 运算时间，因此即使在今天该算法仍具有重要意义．运用秦九韶算法计算f(x)＝ 0.5x6＋ 4x5－ x4＋ 3x3－ 5x 当 x＝ 3 时的值时，最先计算的是()A ．－ 5× 3＝－ 15B ． 0.5× 3＋ 4＝ 5.5C． 3× 33－ 5× 3＝ 66D． 0.5 × 36＋4× 35＝ 1 336.6答案B解析f(x)＝ 0.5x6＋ 4x5－ x4＋ 3x3－ 5x＝ (((((0.5 x＋ 4)x－ 1)x＋ 3)x＋ 0)x－ 5)x，然后由内向外计算，最先计算的是0.5× 3＋ 4＝ 5.5.5．若用秦九韶算法求多项式f(x)＝ 4x5－ x2＋ 2 当 x＝ 3 时的值，则需要做乘法运算和加减法运算的次数分别为()A ． 4,2B ． 5,3C． 5,2D． 6,2答案C解析∵ f(x)＝((((4 x)x)x－ 1)x)x＋ 2，∴乘法要运算 5 次，加减法要运算 2 次．6．已知函数f(x)＝ 6x6＋ 5，当 x＝ x0时，用秦九韶算法求f(x0)的值，需要进行乘方、乘法、加法的次数分别为 ()A ． 21,6,2B ． 7,1,2C． 0,1,2D． 0,6,1答案D解析∵ f(x)＝6x6＋5，多项式的最高次项的次数是6，∴要进行乘法运算的次数是 6.要进行加法运算的次数是1，运算过程中不需要乘方运算．7．中国古代有计算多项式值的秦九韶算法，下图是实现该算法的程序框图．执行该程序框图，若输入的 a 依次为 2,2,5， x， n 均为 2，则输出的s 等于 ()A ． 7B ． 12C． 17D． 34答案C解析第一次运算，a＝ 2， s＝ 2， n＝ 2， k＝ 1，不满足k>n；第二次运算，a＝ 2， s＝ 2× 2＋2＝ 6，k＝ 2，不满足k>n；第三次运算，a＝ 5， s＝ 6× 2＋5＝ 17， k＝ 3，满足 k> n，输出 s＝ 17，故选 C.8．用秦九韶算法求多项式f(x)＝ x3－ 3x2＋ 2x－ 11 的值时，应把 f(x)变形为 ()A ． x3－ (3x＋ 2)x－ 11B ． (x－ 3)x2＋ (2x－ 11)C． (x－ 1)( x－ 2)x－11D． ((x－ 3)x＋ 2)x－ 11答案D解析f(x)＝ x3－ 3x2＋ 2x－ 11＝ ((x－ 3)x＋ 2)x－ 119．用秦九韶算法求函数f(x)＝ 3x5－ 2x4＋ 2x3－ 4x2－ 7 当 x＝2 的值时， v3的结果是 ()A ． 4B ． 10C． 16D． 33答案C解析函数 f(x)＝ 3x5－ 2x4＋ 2x3－ 4x2－ 7＝ ((((3 x－ 2)x＋ 2)x－ 4)x)x－ 7，当x＝ 2 时， v 0＝ 3， v1＝ 3× 2－ 2＝ 4， v2＝ 4× 2＋ 2＝ 10， v 3＝ 10× 2－ 4＝ 16.10．用秦九韶算法求多项式f(x)＝ x6－ 5x5＋ 6x4＋ x2＋ 0.3x＋ 2 的值，当x＝－ 2 时， v1的值为()A ． 1B ． 7C．－ 7D．－ 5答案C解析∵ f(x)＝x6－ 5x5＋ 6x4＋ x2＋0.3x＋ 2＝((((( x－ 5)x＋ 6)x＋ 0)x＋ 1)x＋ 0.3) x＋2，∴v0＝ a6＝ 1, v 1＝ v0x＋ a5＝ 1× (－ 2)－ 5＝－ 7.11．利用秦九韶算法求多项式f(x)＝－ 6x4＋ 5x3＋ 2x＋ 6 的值，当 x＝ 3 时， v3的值为 ()A ．－ 486B ．－ 351C．－ 115D．－ 339答案C解析f(x)＝－ 6x4＋5x3＋ 2x＋ 6＝ ((( － 6x＋ 5)x＋0)x＋ 2)x＋ 6，∴v 0＝ a4＝－ 6，v103＝ v x＋ a ＝－ 6× 3＋ 5＝－ 13，v2＝ v1x＋ a2＝－ 13× 3＋ 0＝－ 39，v3＝ v2x＋ a1＝－ 39× 3＋ 2＝－ 115.12．秦九韶是我国南宋时期的数学家，普州(现四川省安岳县 )人，他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法．如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例．若输入n， x 的值分别为 4,3 ，则输出 v 的值为 ()A ． 20B ． 61C． 183D． 548答案C解析由程序框图知，初始值：n＝ 4， x＝ 3， v＝ 1， i ＝ 3，第一次循环：v＝ 6， i ＝ 2；第二次循环： v＝ 20 ， i ＝ 1；第三次循环：v ＝ 61 ， i＝ 0；第四次循环：v ＝ 183， i ＝ 1.结束循环，输出当前 v 的值 183.13．原始社会 期，人 通 在 子上打 来 算数量，即“ 数”，当 有位父 ，了准确 孩子的成 天数，在粗 不同的 子上打 ，由 到粗， 七 一，那么孩子已出生多少天？ ()A ． 1 326B ． 510C ． 429D ． 336答案B解析由 意 七 一，可得 示 七 制数，化 十 制数1× 73 ＋ 3× 72＋ 2× 7＋ 6＝ 510.14 ． 用 秦 九 韶 算 法算 多式 f(x) ＝ 5x 5 ＋ 4x 4 ＋ 3x 3 ＋ 2x 2 ＋ x ＋ 1 ， 乘 法 运 算 次 数 ____________ ．加法运算次数 ________ ．答案5 5解析∵ f(x)＝((((5 x ＋ 4)x ＋ 3)x ＋ 2)x ＋ 1)x ＋ 1，∴乘法要运算 5 次，加法要运算5 次15．若 f(x)＝ x 4＋ 3x 3＋ x ＋ 1，用秦九韶算法 算f( π) ，需要乘法m 次，加法n 次，m ＋ n ＝________.答案6解析f(x)＝ x 4＋ 3x 3 ＋ x ＋ 1＝ ((( x ＋ 3)x)x ＋ 1)x ＋ 1，用秦九韶算法 算f( π) ，乘法运算与加法运算的次数和等于6.16．我国南北朝数学家何承天 明的“ 日法”是程序化 求精确分数来表示数 的算法，其b db ＋ d理 依据是： 数x 的不足近似 和 剩近似 分a 和 c (a ，b ，c ，d ∈ N * )， a ＋ c是 x的更 精确的不足近似 或 剩近似 ．我 知道 π＝ 3.141 59 ⋯，若令31 49 10<π< ， 第一次用15“ 日法”后得16是 π的更 精确的 剩近似 ，即 31 16 ，若每次都取最 分数，那么第四510<π<5次用“ 日法”后可得 π的近似分数 ________ ．22 答案717．我国古代数学名著《九章算 》 中割 有：“割之弥 ，所失弥少，割之又割，以至于不可割，与 周 合体 而 无 所失 矣 ． ” 其 体 的 是 一种 无 限 与有 限的化 程 ， 比 如 在222⋯中“⋯”即代表无限次重复，但原式却是个定x.可以通方程2＋ x＝ x 确定 x＝2，1＋1＝ ________.11＋1＋⋯答案1＋ 52解析由意，可令1＋1121＋ 51－ 51＝ x，即 1＋x＝ x，即 x－ x－ 1＝ 0，解得 x＝2(x＝21＋1＋⋯舍) ，故 1＋1＝1＋ 512. 1＋1＋⋯18．用相除法求840 与 1 764 的最大公数．答案 1 764＝840 × 2＋ 84,840 ＝ 84× 10＋ 0，∴840 与 1 764 的最大公数是84.19．用更相减求440 与 556 的最大公数．答案556－ 440 ＝ 116,440 －116＝ 324,324 － 116＝ 208，208－ 116 ＝ 92,116－ 92＝ 24,92 － 24＝ 68，68－ 24＝ 44,44－ 24 ＝20,24 － 20＝ 4,20－ 4＝ 16，16－ 4＝ 12,12 － 4＝ 8,8 － 4＝ 4，∴440 与 556 的最大公数 4.20．用秦九韶算法求多式f(x)＝ 7x7＋ 6x6＋ 5x5＋ 4x4＋ 3x3＋ 2x2＋ x 当 x＝ 3 的．答案f(x)＝ ((((((7 x＋ 6)x＋ 5)x＋ 4)x＋ 3)x＋ 2)x＋ 1)xv0＝ 7，v1＝ 7× 3＋ 6＝ 27 ，v2＝ 27× 3＋5＝ 86，v3＝ 86× 3＋4＝ 262，v4＝ 262 × 3＋ 3＝ 789，v5＝ 789 × 3＋ 2＝ 2 369，v6＝ 2 369 × 3＋ 1＝ 7 108 ，v7＝ 7 108 × 3＋ 0＝ 21 324，∴f (3)＝ 21 324 ，即当 x＝ 3 ，函数是21 324.21． (1)用相除法求840 与 1 785 的最大公数；(2)用秦九韶算法算函数 f(x)＝ 2x4＋ 3x3＋ 5x－ 4 在 x＝2 的函数．答案(1)1 785 ＝ 840× 2＋ 105,840＝ 105× 8＋ 0，∴840 与 1 785 的最大公约数是105.(2) 秦九韶算法如下：f(x)＝ 2x4＋ 3x3＋ 5x－ 4＝ x(2x3＋ 3x2＋ 5) － 4＝ x[ x(2x2＋ 3x)＋ 5] － 4＝ x{ x[x(2x ＋3)] ＋ 5} － 4，故当 x＝ 2 时， f(x)＝ 2× {2 × [2 ×(2 ×2＋3)] ＋ 5} － 4＝ 62.22． (1)用辗转相除法求779 与 247 的最大公约数；(2)利用秦九韶算法求多项式 f(x)＝ 2x5＋ 4x4－ 2x3＋ 8x2＋ 7x＋ 4 当 x＝ 3 时的值．答案 (1)779 ＝ 247× 3＋ 38，247＝ 38× 6＋ 19，38＝ 19× 2.故 779 与 247 的最大公约数是19；(2) 把多项式改成如下形式：f(x)＝ 2x5＋ 4x4－ 2x3＋ 8x2＋7x＋ 4＝ ((((2 x＋4)x－ 2)x＋ 8)x＋ 7)x＋ 4.按照从内到外的顺序，依次计算一次多项式当x＝ 3 时的值： v 0＝ 2，v1＝ v0x＋ 4＝ 2× 3＋ 4＝ 10，v2＝ v1x－ 2＝ 10 ×3－ 2＝ 28，v3＝ v2x＋ 8＝ 28 ×3＋ 8＝ 92，v4＝ v3x＋ 7＝ 92 ×3＋ 7＝ 283，v5＝ v4x＋ 4＝ 283 × 3＋ 4＝ 853.所以当 x＝ 3 时，多项式f(x)的值是 853.23． (1)用辗转相除法求228 与 1 995 的最大公约数；(2) 用秦九韶算法求多项式f(x)＝ 3x5＋ 2x3－ 8x＋ 5 在 x＝2 时的值．答案(1)1 995 ＝ 228× 8＋ 171，228＝ 171 × 1＋ 57，171＝ 57× 3，因此 57 是 1 995 与 228 的最大公约数．(2) f(x)＝ 3x5＋ 2x3－ 8x＋ 5＝ ((((3 x＋ 0)x＋ 2)x＋ 0)x－ 8)x＋ 5当 x＝ 2 时，v0＝ 3，v1＝ 3× 2＝ 6，v2＝ 6× 2＋ 2＝ 14 ，v3＝ 14× 2＝28 ，v4＝ 28× 2－8＝ 48，v5＝ 48× 2＋5＝ 101，所以当 x＝ 2 时，多项式的值是101.24． (1)用“更相减损术”求72 和 168 的最大公约数；(2)用“辗转相除法”求 98 和 280 的最大公约数．答案(1)∵ 168 － 72＝ 96，96－ 72＝ 24，72－ 24＝ 48，48－ 24＝ 24，故 72 和 168 的最大公约数是24.(2) ∵ 280＝ 2× 98＋ 84，98＝ 1× 84＋ 14，84＝ 6× 14，故 98 和 280 的最大公约数是14.25．用秦九韶算法求函数f(x)＝ x 5＋ x 3＋ x 2＋ x ＋ 1 当 x ＝ 3 时的函数值．答案f(x)＝ x 5＋ x 3＋x 2＋ x ＋ 1＝ (((( x ＋ 0)x ＋ 1)x ＋ 1)x ＋ 1)x ＋1，当 x ＝ 3 时，v 0＝ 1，v 1＝ v 0× 3＋ 0＝ 3；v 2＝ v 1× 3＋ 1＝ 10;v 3＝ v 2× 3＋ 1＝ 31;v 4＝ v 3× 3＋ 1＝ 94;v 5＝ v 4× 3＋ 1＝ 283，即 x ＝ 3 时的函数值为283.二、数列问题1．《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等．问各得几何．”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分 5 钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列．问五人各得多少 钱？” (“钱”是古代的一种重量单位)．这个问题中，甲所得为 ( )A. 5 钱B. 4 钱4 3 C. 3 钱 D.5钱2 3答案 B解析依题意设甲、乙、丙、丁、戊所得钱分别为 a － 2d ，a － d ， a ， a ＋ d ， a ＋ 2d ，则由题意可知， a － 2d ＋ a － d ＝ a ＋ a ＋ d ＋ a ＋ 2d ，即 a ＝－ 6d ，又 a － 2d ＋ a － d ＋ a ＋ a ＋ d ＋ a ＋ 2d ＝ 5a ＝ 5，∴ a ＝ 1，a 44则a－ 2d＝ a－ 2× (－6)＝3a＝3.2．南北朝时期的数学古籍《张邱建算经》有如下一道题：“今有十等人，每等一人，宫赐金以等次差 (即等差 )降之，上三人，得金四斤，持出；下四人后入得三斤，持出；中间三人未到者，亦依等次更给．问：每等人比下等人多得几斤？”()47A. 39B.7875C.76D.81答案B解析设第十等人得金a1斤，第九等人得金a2斤，以此类推，第一等人得金a10斤，则数列 { a n} 构成等差数列，设公差为d，则每一等人比下一等人多得 d 斤金，a1＋ a2＋ a3＋ a4＝ 34a1＋ 6d＝ 3，7，解得 d＝由题意得，即78a8＋ a9＋ a10＝ 43a1＋ 24d＝ 4，7斤金．∴每一等人比下一等人多得783．《张丘建算经》是公元 5 世纪中国古代内容丰富的数学著作，书中卷上第二十三问：“今有女善织，日益功疾，初日织五尺，今一月织九匹三丈．问日益几何？”其意思为“有个女子织布，每天比前一天多织相同量的布，第一天织五尺，一个月(按 30 天计 )共织 390 尺．问：每天多织多少布？”已知 1 匹＝ 4 丈， 1 丈＝ 10 尺，估算出每天多织的布约有()A ． 0.55 尺B ． 0.53 尺C． 0.52 尺D． 0.5 尺答案A解析设每天多织 d 尺，由题意a1＝ 5， { a n} 是等差数列，公差为d，30× 29∴S30 ＝30×5＋d＝ 390，2解得 d≈ 0.55.4．《张丘建算经》有这样一个问题：今有女子善织，日增等尺，七日织二十一尺，第二日，第五日，第八日所织之和为十五尺，问第九日所织尺数为()A ． 7B ． 9C． 11D． 13答案D解析设第一天织a1尺，从第二天起每天比第一天多织 d 尺，7× 67a 1＋2d＝ 21，由已知得a1＋ d＋ a1＋ 4d＋ a1＋ 7d＝ 15，解得 a1＝－ 3， d＝2，∴第九日所织尺数为a9＝ a1＋ 8d＝－ 3＋ 8× 2＝ 13.5．古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有女子善织，日自倍，五日织五尺，问日织几何？”意思是：“一女子善于织布，每天织的布都是前一天的 2 倍，已知她 5 天共织布 5 尺，问这女子每天分别织布多少？”根据已知条件，可求得该女子第 3 天所织布的尺数为 () 28A. 3B.15203C.31D.5答案C解析由题意可得：每天织布的量组成了等比数列{ a n } ， S5a1 1－ 25＝ 5，＝ 5，公比 q＝ 2 ，1－ 2计算可得 a1＝5，所以 a3＝5× 22＝20. 3131316．在《张邱建算经》中有一道题：“今有女子不善织布，逐日所织的布比同数递减，初日织五尺，末一日织一尺，计织三十日”，由此推断，该女子到第10 日时，大约已经完成三十日织布总量的 ()A ． 33%B ． 49%C． 62%D． 88%答案B解析由题意可得：每日的织布量形成等差数列{ a n } ，且a1＝ 5， a30＝ 1，4设公差为 d，则 1＝ 5＋ 29d，解得 d＝－29.∴S10＝ 5× 10＋10× 9×(－4)＝ 1 270 .22929S ＝30× 5＋ 1＝ 90.302∴该女子到第 10 日时，大约已经完成三十日织布总量的1 270×1≈ 0.49＝ 49%.29907．《张丘建算经》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有女不善织，日减功迟，初日织五尺，末日织一尺，今三十织迄，问织几何．”其意思为：有个女子不善于织布，每天比前一天少织同样多的布，第一天织五尺，最后一天织一尺，三十天织完，问三十天共布 ()A ． 30 尺B ． 90 尺C． 150 尺D． 180 尺答案B解析由意可得，每日的布量形成等差数列{ a n } ，且a1＝ 5， a30＝ 1，所以 S＝30× 5＋ 1＝ 90.3028．在我国古代著名的数学著《九章算》里有一段叙述：今有良与安至，去安一千一百二十五里，良初日行一百零三里，日增十三里；初日行九十七里，日减半里；良先至，复迎，二相逢．：几日相逢？()A ． 9 日B ． 8 日C． 16 日D． 12 日答案A解析由意知，良每日行的距离成等差数列，{ a n} ，其中a1＝ 103 ， d＝ 13；每日行的距离成等差数列，{ b n} ，其中b1＝ 97， d＝－ 0.5；第 m 天相逢，a1＋ a2＋⋯＋ a m＋ b1＋ b2＋⋯＋ b m＝103m＋m m－1 × 13＋ 97m＋m m－ 1 × － 0.5 22＝2× 1 125，解得 m＝ 9( 舍去 )．9．《九章算》是我国古代第一部数学著，全收集了246 个及其解法，其中一个“ 有一根九的竹子，自上而下各的容成等差数列，上面四容之和 3 升，下面三的容之和 4 升，求中两的容各多少？” 中第 2 ，第 3 ，第 8 竹子的容之和 ()17升 B. 7升 C.113升 D.109升A. 626633答案A解析自上而下依次各容a129，， a，⋯ a3， a＋ a ＋ a ＋ a ＝ 32 a ＋ a ＝ 3a 2 ＋ a 3 ＝ 4212323由题意得，即3a 8＝ 4，得4 ，a 7＋ a 8＋ a 9＝ 4a ＝8所以 a 2 ＋ a 3 ＋ a 8 ＝ 3＋ 4＝17(升 )．2 3 610．中国古代数学著作 《算法统宗》 中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其意思为：有一个人走 378 里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了 6天后到达目的地，请问第二天走了 ()A ． 24 里B ． 48 里C ． 96 里D ． 192 里 答案 C解析由题意可知此人每天走的步数构成以12为公比的等比数列，11 6 ]a [1－ 2＝ 192，由题意和等比数列的求和公式可得1 ＝ 378，解得 a 11－ 2∴第二天此人走了192 × 12＝ 96 里．11．中国古代数学著作 《算法统宗》 中有这样一个问题：“三百七十八里关，初步健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其大意为：“有一个人走 378 里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了 6天后到达目的地．”则该人最后一天走的路程为()A ． 24 里B ． 12 里C ． 6 里D ． 3 里答案 C解析记每天走的路程里数为1的等比数列，{ a n } ，可知 { a n } 是公比 q ＝2166a 1 1－ 2616＝ 1921由 S＝ 378，得 S ＝1＝ 378，解得 a ＝ 192 ， ∴ a× 25 ＝ 6.1－ 212．我国古代数学著作 《九章算术》 有如下问题：“今有金箠，长五尺，斩本一尺，重四斤，斩末一尺，重二斤，问次一尺各重几何？”意思是：“现有一根金箠，一头粗，一头细，在粗的一段截下一尺，重四斤；在细的一端截下一尺，重二斤．问依次每一尺各重几斤？”根据已知条件，若金箠由粗到细是均匀变化的，中间三尺的重量为( )A ． 6 斤B ． 9 斤解析此问题构成一个等差数列{ a n} ，2，则 a5＝ 4，∴中间 3 尺的重量为3a a1＋a5× 3＝2＋ 4设首项为3＝2× 3＝ 9(斤 )，2故选 B.13．我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有金箠，长五尺，斩本一尺，重四斤，斩末一尺，重二斤，问次一尺各重几何？”意思是：“现有一根金箠，长五尺，一头粗，一头细，在粗的一端截下 1 尺，重 4 斤；在细的一端截下 1 尺，重 2 斤；问依次每一尺各重多少斤？”根据上题的已知条件，若金箠由粗到细是均匀变化的，问第二尺与第四尺的重量之和为()A ． 6 斤B ． 9 斤C． 9.5 斤D． 12 斤答案A解析依题意，金箠由粗到细各尺构成一个等差数列，设首项 a1＝4，则 a5＝ 2，由等差数列性质得a2＋ a4＝ a1＋ a5＝ 6，所以第二尺与第四尺的重量之和为 6 斤．14．《算法通宗》是我国古代内容丰富的数学名书，书中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红灯向下倍加增，共灯三百八十一，请问塔顶几盏灯？”其意思为“一座塔共七层，从塔顶至塔底，每层灯的数目都是上一层的 2 倍，已知这座塔共有381 盏灯，请问塔顶有几盏灯？”()A ． 3B ． 4C． 5D． 6答案A解析由题意设塔顶有 a 盏灯，由题意由上往下数第n 层就有 2n－1·a 盏灯，∴共有 (1＋ 2＋ 4＋ 8＋ 16 ＋32 ＋ 64)a＝ 381 盏灯，1× 1－ 27即a＝ 381.1－ 2解得 a＝ 3.15．我国古代数典籍《九章算术》“盈不足”中有一道两鼠穿墙问题：“今有垣厚十尺，两鼠对穿，初日各一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，问几何日相逢？”上述问题中，两鼠在第几天相逢． ()A ． 3B ． 4C． 5D． 6解析由题意可知，大老鼠每天打洞的距离是以1 为首项，以2 为公比的等比数列，前 n 天打洞之和为1－ 2n＝2n－ 1，1－ 21 n1－ 22n1－ 1，同理，小老鼠前 n 天打洞之和为1 ＝ 2－1－ 2∴ 2n － 1＋ 2－ 1＝ 10，解得 n ∈ (3,4) ，取 n ＝ 4.2n － 1 即两鼠在第 4 天相逢．16．如图是谢宾斯基 (Sierpinsiki) 三角形，在所给的四个三角形图案中，着色的小三角形个数构成数列 { a n } 的前 4 项，则 { a n } 的通项公式可以是 ()A ． a n ＝ 3n － 1B ． a n ＝ 2n － 1C ． a n ＝ 3nD ． a n ＝ 2n － 1答案 A解析着色的小三角形个数构成数列 { a n } 的前 4 项，分别为a 1＝ 1，a 2 ＝ 3， a 3＝ 3× 3＝ 32 ， a 4 ＝32× 3，因此 { a n } 的通项公式可以是 a n ＝ 3n － 1.17．《九章算术》 “竹九节”问题：现有一根 9 节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列．上 面 4 节的容积共 3 升，下面 3 节的容积共 4 升，则第 5 节的容积为 ________ 升．答案6766解析设该数列 { a n } 的首项为 a 1，公差为 d ， a 1＋ a 2＋ a 3＋ a 4＝ 3，依题意a 7＋ a 8＋ a 9＝ 4，4， 4a ＋ 6d ＝3，a 1＋ 7d ＝ 31即解得3a ＋ 21d ＝ 4，71d ＝ 66，4 21 67则 a 5 ＝ a 1 ＋ 4d ＝ a 1＋ 7d －3d ＝ 3－ 66＝ 66.18．华罗庚数学小组的同学们在图书馆发现一块古代楔形文字泥板的图片，同学们猜测它是一种乘法表的，你根据个猜，判定表示 ________ ？ (如 )答案395解析片中的是自然数乘以9 的运算果，左列是被乘数，右列是数乘以9 的数，分析可知：其中▽代表 1， ?代表 10，代表60.所以表示 60× 6＋ 10× 3＋ 5× 1＝395.19．在我国南宋数学家所著的《解九章算法》(1261 年 )一中，用如 A 所示的三角形，解二和的乘方律．在欧洲直到1623 年以后，法国数学家布莱士·帕斯卡的著作(1655 年 )介了个三角形．近年来国外也逐承成果属于中国，所以有些上称是“中国三角形” (Chinese triangle) ，如 A.17 世德国数学家莱布尼茨了“莱布尼茨三角形”如B.在三角中相两行足关系式：r r＋1r＋1C n＋ C n＝ C n＋1，其中 n 是行数， r∈N .比上式，在莱布尼茨三角形中相两行足的关系式是________ ．1112113311464115101051⋯01⋯C r⋯C n- 1C nC Cn n n nnA1 12 21113631111412124答案解析1 1 1 1 1 5 20 30 20 51 1 1 1 1 1 6 30 60 60 30 6111⋯1⋯1110 11r1n-1 1nC n+1 C n C n+1C n C n+1C n C n+1 C n C n+1 C nB 1r ＝1 r ＋ 111C C 1 C r+1C CnCn+1n+2 n+1 n+2 n+1比 察得，莱布尼茨三角形的每一行都能提出倍数1，而相 两 之和是上一行的1C n+1两者相拱之数，所以 比式子rr+1r +1C n＋ C nn+1，＝ C有1 1＋1r+1 .1r ＝1r1C n+1 C n C n+2C n+1 C n+2 C n+120． 古希腊 达哥拉斯学派的数学家 常在沙 上面用点或用小石子表示数．他 研究 如 所示的三角形数，将三角形数 1,3,6,10 ，⋯ 数列 { a n } ，将可被5 整除的三角形数按从小到大的 序 成一个新数列{ b n } ．可以推 ：(1) b 2 012 是数列 { a n } 中的第 ________ ；(2) b 2k-1＝ ________.( 用 k 表示 )答案(1)5 030 (2) 5k 5k － 12解析由 意可得 a n ＝ 1＋ 2＋ 3＋ ⋯ ＋ n ＝n n ＋ 1， n ∈ N *，2故 b 1 ＝ a 4 ， b 2＝ a 5 ， b 3 ＝ a 9 ， b 4 ＝ a 10， b 5＝ a 14 ， b 6＝ a 15，5k 5k ＋ 1*由上述 律可知：b 2k ＝ a 5k ＝ (k ∈N )，b 2k-1 ＝ a 5k-1 ＝5k －1 5k － 1＋ 1＝5k 5k － 1 ，22故 b 2 012 ＝ b 2 × 1 006 ＝ a 5× 1 006＝a 5 030，即 b 2 012 是数列 { a n } 中的第 5 030 ． 21． 真 下列材料：“ 三角” (1261 年 )是中国古代重要的数学成就，它比西方的“帕斯卡三角”(1653 年 )早了300 多年 (如 1) ．在“ 三角”的基 上德国数学家莱布尼 了下面的 位分数三角形( 位分数是分子1，分母 正整数的分数 )，称 莱布尼 三角形(如 2)11112113311464115101051⋯⋯111112211136311114121241111152030205⋯⋯2回答下列：(1) S1 中第 n 行各个数字之和，求S ，S ，并出S ；n47n (2) 根据 2 前 5 行的律依次写出第 6行的数．答案(1)S4＝ 8＝ 23；S7＝ 64＝ 26；Sn＝ 2n－1.(2)中每个数字都是其两脚的数字和，故第 6 行111111 6306060306.三、空几何体1．我国古代数学名著《数九章》中有“天池盆雨” ：在下雨，用一个台形的天池盆接雨水．天池盆盆口直径二尺八寸，盆底直径一尺二寸，盆深一尺八寸．若盆中水深九寸，平地降雨量是()寸．(注：①平地降雨量等于盆中水体除以盆口面；②一尺等于十寸)A ． 1B ．2C． 3 D ． 4答案C解析如，由意可知，天池盆上底面半径14 寸，下底面半径 6 寸，高18 寸．∵积水深 9 寸，1∴水面半径为 2(14 ＋ 6) ＝ 10 寸，则盆中水的体积为13π× 9(6 2＋ 102 ＋ 6× 10) ＝ 588 π(立方寸 )．588 π∴平地降雨量等于π× 142＝ 3( 寸 )．故选 C.2．《九章算术》卷5《商功》记载一个问题“今有圆堡瑽，周四丈八尺，高一丈一尺．问积几何？答曰：二千一百一十二尺．术曰：周自相乘，以高乘之，十二而一”．这里所说的圆堡瑽 就是圆柱体，它的体积为“周自相乘，以高乘之，十二而一．”就是说：圆堡瑽 (圆柱体 )的体积为： V ＝1× (底面的圆周长的平方×高)．则由此可推得圆周率π 的取值为 ( 注： 1 丈＝ 1012 尺)( )A ． 3B ． 3.14C ． 3.2D ． 3.3答案 A解析由题意，圆柱体底面的圆周长 48 尺，高 11 尺，∵圆堡 瑽 (圆柱体 )的体积 V ＝ 1× (底面的圆周长的平方× 高 )，12∴ V ＝ 121× (48 2× 11) ＝ 2 112，2πR ＝ 48，设底面圆的半径为 R ， ∴πR 2× 11 ＝ 2 112，∴π＝ 3.3．《九章算术》商功章有题：一圆柱形谷仓，高1 丈 3 尺 31寸，容纳米 2000 斛 (1 丈＝ 10 尺，31 尺＝ 10 寸，斛为容积单位， 1 斛≈ 1.62 立方尺， π≈ 3) ，则圆柱底圆周长约为 ()A ． 1 丈 3 尺B ． 5 丈 4 尺C ． 9 丈 2 尺D ． 48 丈 6 尺答案 B解析设圆柱形谷仓底面半径为r 尺，40由题意得，谷仓高h＝3尺．于是谷仓的体积V＝πr2·h≈ 2 000 × 1.62 ，解得 r≈ 9.∴圆柱底圆周长约为2πr ≈ 54 尺＝ 5 丈 4 尺．4．《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“囷盖”的术：“置如其周，令相乘也．又以高乘之，三十六成一”．该术相当于给出了由圆锥的底面周长L 与高 h，计算其体积V 的近似公式 V≈1236L h.它实22际上是将圆锥体积公式中的圆周率π近似取为 3.那么，近似公式V≈75L h 相当于将圆锥体积公式中的π近似取为 ()2225A. 7B. 8157355C. 50D.113答案B212125解析由题意知75L2h≈3πr2 h?75L 2≈3πr2，而 L＝ 2 πr，代入得π≈8 .5．在《九章算术》中，将有三条棱互相平行且有一个面为梯形的五面体称之为羡除，现有一个羡除如图所示，面ABCD 、面 ABFE 、面 CDEF 均为等腰梯形，AB ∥ CD ∥ EF ， AB＝ 6， CD ＝8， EF＝ 10， EF 到面 ABCD 的距离为3， CD 与 AB 间的距离为 10 ，则这个羡除的体积是()A ． 110B ． 116C． 118D． 120答案 D解析过 A 作 AP⊥ CD ， AM ⊥ EF，过 B 作 BQ⊥ CD ， BN ⊥EF ，垂足分别为P， M， Q， N，将一侧的几何体放到另一侧，组成一个直三棱柱，底面积为1× 10× 3＝ 15. 2棱柱的高为8，∴ V＝ 15× 8＝ 120.故选 D.6．刘徽在他的《九章算术注》中提出一个独特的方法来计算球体的体积：他不直接给出球体的体积，而是先计算另一个叫“牟合方盖”的立体的体积．刘徽通过计算，“牟合方盖”的体积与球的体积之比应为4.后人导出了“牟合方盖”的1体积计算公式，即1V牟＝ r 3－ V 方盖差， r 为球的π88半径，也即正方形的棱长均为2r，从而计算出V球＝4πr3.记所有棱长都为r 的正四棱锥的体积为3V方盖差V 正，棱长为 2r 的正方形的方盖差为 V方盖差，则等于 ()V正A.1B.2 22C.2D.3答案C解析由题意， V 方盖差＝ r3－1V 牟＝r3－1×4×4× π× r3＝1r3，88π33所有棱长都为r的正四棱锥的体积为V 正＝1× r× r×r2－2r 2 ＝23，326r13∴V 方盖差3r＝ 2. V正＝236r7．“牟合方盖”是我国古代数学家刘徽在研究球的体积的过程中构造的一个和谐优美的几何体．它由完全相同的四个曲面构成，相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上，好似两个扣合( 牟合)在一起的方形伞 (方盖 )．其直观图如图所示，图中四边形是为体现其直观性所作的辅助线，当其正视图与侧视图完全相同时，它的正视图和俯视图分别可能是()A ． a， bB ． a， cC． c， b D． b， d答案A解析由直观图可知，其正视图与侧视图完全相同，则其只能是圆，这时其俯视图就是正方形加对角线 (实线 )．故选 A.8．刘徽在他的《九章算术注》中提出一个独特的方法来计算球体的体积：他不直接给出球体的体积，而是先计算另一个叫“牟合方盖”的立体的体积．刘徽通过计算，“牟合方盖”的体积与球的体积之比应为4∶ π，即 V牟： V 球＝ 4∶ π也.导出了“牟合方盖”的1体积计算公式，即1 88V 牟3－ V，从而计算出V＝4πr3.记所有棱长都为r 的正四棱锥的体积为V 正，则 ()＝r方盖差球3A ． V 方盖差＞ V 正B ． V 方盖差＝ V 正C． V 方盖差＜ V 正D．以上三种情况都有可能答案A解析由题意， V 方盖差＝ r3－1V牟＝r3－1×4×4πr3＝1r3，88π33所有棱长都为r 的正四棱锥的体积为V 正＝1× r × r×r2－2r2＝2r3，326∴V方盖差＞ V 正．9．我国古代数学名著《数学九章》中有云：“今有木长二丈四尺，围之五尺．葛生其下，缠木两周，上与木齐，问葛长几何？”其意思为“圆木长 2 丈 4 尺，圆周为 5 尺，葛藤从圆木的底部开始向上生长，绕圆木两周，刚好顶部与圆木平齐，问葛藤最少长多少尺(注： 1 丈等于10尺)()A ． 29 尺B ． 24 尺C． 26 尺D． 30 尺答案C解析由题意，圆柱的侧面展开图是矩形，一条直角边(即木棍的高 ) 长 24 尺，另一条直角边长5× 2＝ 10(尺 )，因此葛藤长242 ＋ 102＝ 26( 尺 )．10．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺，问：积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米(如图，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧长为 9 尺，米堆的高为 5 尺，米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知1 斛米的体积约为 1.62 立方尺，圆周率约为 3，估算出堆放的米有()A ． 14 斛B ． 28 斛C ． 36 斛D ． 66 斛答案 B解析设圆锥的底面半径为r ，则π 182 r ＝ 9，解得 r ＝ ，π故米堆的体积为14× 13× π× (18π)2× 5≈ 45，∵1 斛米的体积约为 1.62 立方，∴堆放的米有 45÷1.62 ≈ 28 斛．11．《九章算术》 是我国古代著名数学经典．其中对勾股定理的论述比西方早一千多年，其中有这样一个问题：“今有圆材埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问径几何？”其意为：今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小，用锯去锯该材料，锯口深一寸，锯道长一尺．问这块圆柱形木料的直径是多少？长为 1 丈的圆柱形木材部分镶嵌在墙体中，截面图如图所示 (阴影部分为镶嵌在墙体内的部分 )．已知弦 AB ＝ 1 尺，弓形高CD ＝ 1 寸，估算该木材镶嵌在墙中的体积约为( )(注： 1 丈＝ 10 尺＝ 100 寸， π≈ 3.145， sin 22.5 ≈° )13A ． 600 立方寸B ． 610 立方寸C． 620 立方寸D． 633 立方寸答案D解析如图，AB＝ 10(寸 )，则 AD ＝ 5(寸 )， CD ＝ 1(寸 )，设圆 O 的半径为x(寸 )，则 OD ＝ (x－ 1)( 寸 )，在 Rt△ ADO 中，由勾股定理可得52＋ (x－ 1)2＝ x2，解得 x＝ 13( 寸 )．AD 5∴sin ∠ AOD ＝AO＝13，即∠ AOD ≈ 22.5 ，°则∠ AOB ＝ 45 °.?1π21则弓形 ACB 的面积S＝× × 13－× 10× 12242≈6.33( 平方寸 )．则该木材镶嵌在墙中的体积约为V＝ 6.33 × 100＝633( 立方寸 )．故选 D.12．鲁班锁是中国传统的智力玩具，起源于古代汉族建筑中首创的榫卯结构，这种三维的拼插器具内部的凹凸部分(即榫卯结构)啮合，十分巧妙，外观看是严丝合缝的十字立方体，其上下、左右、前后完全对称．从外表上看，六根等长的正四棱柱体分成三组，经90°榫卯起来，如图，若正四棱柱体的高为6，底面正方形的边长为1，现将该鲁班锁放进一个球形容器内，则该球形容器的表面积的最小值为________ ． (容器壁的厚度忽略不计)答案41π解析由题意，该球形容器的半径的最小值为136 ＋ 4＋ 1＝412 2，∴该球形容器的表面积的最小值为41＝ 41π. 4π·413．沙漏是古代的一种计时装置，它由两个形状完全相同的容器和一个狭窄的连接管道组成，开始时细沙全部在上部容器中，细沙通过连接管道全部流到下部容器所需要的时间称为该沙漏的一个沙时．如图，某沙漏由上下两个圆锥组成，圆锥的底面直径和高均为8 cm，细沙全部在上部时，其高度为圆锥高度的23(细管长度忽略不计)．(1)如果该沙漏每秒钟漏下0.02 cm3的沙，则该沙漏的一个沙时为多少秒(精确到 1 秒)?(2)细沙全部漏入下部后，恰好堆成一个盖住沙漏底部的圆锥形沙堆，求此锥形沙堆的高度(精确到0.1cm) ．答案(1)开始时，沙漏上部分圆锥中的细沙的高为H＝2× 8＝16，底面半径为r ＝2× 4＝8，3333V＝13πr2H ＝13π× (83)2×163＝ 39.71，V÷0.02＝ 1 986(秒 )．所以沙全部漏入下部约需 1 986 秒．(2) 细沙漏入下部后，圆锥形沙堆的底面半径为4，设高为 H ′，12×H ′＝ 1 024V ＝ 3π× 481 π，64 H ′＝ 27≈ 2.4.锥形沙堆的高度约为2.4 cm.14．《九章算术》 中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面 都为直角三角形的四面体称之为鳖臑．如图，在阳马P － ABCD 中，侧棱 PD ⊥底面 ABCD ，且PD ＝CD ，过棱 PC 的中点 E ，作 EF ⊥ PB 交 PB 于点 F ，连接 DE ， DF ， BD ， BE.(1) 证明： PB ⊥平面 DEF .试判断四面体 DBEF 是否为鳖臑，若是，写出其每个面的直角(只需写出结论 )；若不是，说明理由．πDC(2) 若面 DEF 与面 ABCD 所成二面角的大小为 3，求 BC 的值．答案(1)证明 如图，以 D 为原点，射线 DA ， DC ， DP 分别为 x ， y ， z 轴的正半轴，建立空间直角坐标系，如图所示．设 PD ＝ DC ＝ 1，BC ＝ λ(λ>0) ，→则 D(0,0,0) ， P(0,0,1) ， B(λ， 1,0)， C(0,1,0) ， PB ＝ (λ， 1，－ 1) ，因为点 E 是棱 PC 的中点，1 ， 1 → 1 1)，所以 E(0 ， 2)， DE ＝ (0 ， ， 22 2→ →于是 PB ·DE ＝ 0，所以 PB ⊥ DE .又已知 EF ⊥ PB ，而 DE ∩ EF ＝ E ，所以 PB ⊥平面 DEF .→ ， 因为 PC ＝ (0,1 ，－ 1)→ → ＝0， 所以 DE ·PC所以 DE ⊥ PC ，而 PB ∩ PC ＝ P ，所以 DE ⊥平面 PBC.由 DE ⊥平面 PBC ， PB ⊥平面 DEF ，可知四面体 BDEF 的四个面都是直角三角形，即四面体 BDEF 是一个鳖臑，其四个面的直角分别为∠ DEB ，∠ DEF ，∠ EFB ，∠ DFB .(2) 解 由 PD ⊥平面 ABCD ，→所以 DP ＝ (0,0,1) 是平面 ABCD 的一个法向量．由(1) 知， PB ⊥平面→是平面 DEF 的一个法向量．DEF ，所以 BP ＝ (－ λ，－ 1,1) 若面 DEF 与面 ABCD 所成二面角的大小为 π3，→ → 1 1则 cos π |BP ·DP |＝ | ， ＝ → → λ＋ 2 |＝3 2|BP | |DP · | 2结合 λ>0，解得 λ＝ 2，所以DC＝ 1 ＝ 2BCλ 2.故当面 DEF 与面 ABCD 所成二面角的大小为 π时，3DC 2 BC＝2 .四、其他问题1．我国古代数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米 1 534 石， 验得米内夹谷，抽样取米一把，数得 254 粒内夹谷 28 粒，则这批米内夹谷约为 ()A ． 134 石B ． 169 石C ． 338 石D ． 1 365 石答案 B解析抽样比是2828 ≈ 169( 石 )，故选 B.254 ，那么 1 534 石米夹谷 1 534 × 254。
2023-2024学年高考数学专项复习——压轴题(附答案)
决胜3．已知函数，曲线在处的切线方程为.()2e xf x ax =-()y f x =()()1,1f 1y bx =+(1)求的值：,a b (2)求在上的最值；()f x []0,1(3)证明：当时，.0x >()e 1e ln 0x x x x +--≥4．已知函数，.()()ln 1f x x x a x =-++R a ∈(1)若，求函数的单调区间；1a =()f x (2)若关于的不等式在上恒成立，求的取值范围；x ()2f x a≤[)2,+∞a (3)若实数满足且，证明.b 21a b <-+1b >()212ln f x b <-5．椭圆的离心率是，点是椭圆上一点，过点2222:1(0)x y E a b a b +=>>22()2,1M E 的动直线与椭圆相交于两点.()0,1P l ,A B (1)求椭圆的方程；E (2)求面积的最大值；AOB (3)在平面直角坐标系中，是否存在与点不同的定点，使恒成立？存在，xOy P Q QA PAQB PB=求出点的坐标；若不存在，请说明理由.Q 6．已知函数，.()21ln 2f x a x x⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭()()()2R g x f x ax a =-∈(1)当时，0a =（i ）求曲线在点处的切线方程；()y f x =()()22f ,（ii ）求的单调区间及在区间上的最值；()f x 1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦(2)若对，恒成立，求a 的取值范围.()1,x ∀∈+∞()0g x <(1)求抛物线的表达式和的值；,t k (2)如图1，连接AC ，AP ，PC ，若△APC 是以(3)如图2，若点P 在直线BC 上方的抛物线上，过点的最大值．12CQ PQ +(1)【基础训练】请分别直接写出抛物线的焦点坐标和准线l 的方程；22y x =(2)【技能训练】如图2所示，已知抛物线上一点P 到准线l 的距离为6，求点P 的坐218y x =标；(3)【能力提升】如图3所示，已知过抛物线的焦点F 的直线依次交抛物线及准()20y ax a =>线l 于点，若求a 的值；、、A B C 24BC BF AF ==，(4)【拓展升华】古希腊数学家欧多克索斯在深入研究比例理论时，提出了分线段的“中末比”问题：点C 将一条线段分为两段和，使得其中较长一段是全线段与另一AB AC CB AC AB 段的比例中项，即满足：，后人把这个数称为“黄金分割”，把CB 512AC BC AB AC -==512-点C 称为线段的黄金分割点.如图4所示，抛物线的焦点，准线l 与y 轴AB 214y x=(0,1)F 交于点，E 为线段的黄金分割点，点M 为y 轴左侧的抛物线上一点.当(0,1)H -HF 时，求出的面积值.2MH MF=HME 10．已知双曲线的一条渐近线方程的倾斜角为，焦距为4．2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>60︒(1)求双曲线的标准方程；C (2)A 为双曲线的右顶点，为双曲线上异于点A 的两点，且．C ,M N C AM AN ⊥①证明：直线过定点；MN ②若在双曲线的同一支上，求的面积的最小值．,M N AMN(1)试用解析几何的方法证明：(2)如果将圆分别变为椭圆、双曲线或抛物线，你能得到类似的结论吗？13．对于数集（为给定的正整数），其中，如果{}121,,,,n X x x x =-2n ≥120n x x x <<<< 对任意，都存在，使得，则称X 具有性质P ．,a b X ∈,c d X ∈0ac bd +=(1)若，且集合具有性质P ，求x 的值；102x <<11,,,12x ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭(2)若X 具有性质P ，求证：；且若成立，则；1X ∈1n x >11x =(3)若X 具有性质P ，且，求数列的通项公式．2023n x =12,,,n x x x 14．已知，是的导函数，其中．()2e xf x ax =-()f x '()f x R a ∈(1)讨论函数的单调性；()f x '(2)设，与x 轴负半轴的交点为点P ，在点P()()()2e 11x g x f x x ax =+-+-()y g x =()y g x =处的切线方程为．()y h x =①求证：对于任意的实数x ，都有；()()g x h x ≥②若关于x 的方程有两个实数根，且，证明：()()0g x t t =>12,x x 12x x <．()2112e 11e t x x --≤+-15．在平面直角坐标系中，一动圆经过点且与直线相切，设该动圆圆心xOy 1,02A ⎛⎫ ⎪⎝⎭12x =-的轨迹为曲线K ，P 是曲线K 上一点．(1)求曲线K 的方程；(2)过点A 且斜率为k 的直线l 与曲线K 交于B 、C 两点，若且直线OP 与直线交//l OP 1x =于Q 点．求的值；||||AB ACOP OQ ⋅⋅(3)若点D 、E 在y 轴上，的内切圆的方程为，求面积的最小值．PDE △()2211x y -+=PDE △16．已知椭圆C ：，四点中恰有三()222210x y a b a b +=>>()()1234331,1,0,1,1,,1,22P P P P ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭点在椭圆C 上．(1)求椭圆C 的方程；(2)设直线l 不经过P 2点且与C 相交于A ，B 两点，若直线与直线的斜率的和为，2P A 2P B 1-证明：l 过定点．18．给定正整数k ，m ，其中，如果有限数列同时满足下列两个条件．则称2m k ≤≤{}n a 为数列．记数列的项数的最小值为．{}n a (,)k m -(,)k m -(,)G k m 条件①：的每一项都属于集合；{}n a {}1,2,,k 条件②：从集合中任取m 个不同的数排成一列，得到的数列都是的子列．{}1,2,,k {}n a 注：从中选取第项、第项、…、第项（）形成的新数列{}n a 1i 2i 5i 125i i i <<<…称为的一个子列．325,,,i i i a a a ⋯{}n a (1)分别判断下面两个数列，是否为数列．并说明理由！(33)-，数列；1:1,2,3,1,2,3,1,2,3A 数列．2:1,2,3,2,1,3,1A (2)求的值；(),2G k (3)求证．234(,)2k k G k k +-≥答案：1．(1)极大值为，无极小值2e (2)证明见解析【分析】（1）求导，根据导函数的符号结合极值的定义即可得解；（2）构造函数，利用导数求出函数的最小值，再()21()()()2ln 12F x f x g x x x x x x =+=+->证明即可或者转换不等式为，通过构造函数可得证.()min0F x >()112ln 012x x x +->>【详解】（1）的定义域为，，()f x (0,)+∞()2(1ln )f x x '=-+当时，，当时，，10e x <<()0f x '>1e x >()0f x '<所以函数在上单调递增，在上单调递减，()f x 10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭故在处取得极大值，()f x 1e x =12e e f ⎛⎫= ⎪⎝⎭所以的极大值为，无极小值；()f x 2e （2）设，()21()()()2ln 12F x f x g x x x x x x =+=+->解法一：则，()2ln 1F x x x '=--令，，()()2ln 11h x x x x =-->22()1x h x x x -'=-=当时，，单调递减，当时，，单调递增，12x <<()0h x '<()h x 2x >()0h x '>()h x 又，，，(2)1ln 40h =-<(1)0h =(4)32ln 40h =->所以存在，使得，即．0(2,4)x ∈0()0h x =002ln 10x x --=当时，，即，单调递减，01x x <<()0h x <()0F x '<()F x 当时，，即，单调递增，0x x >()0h x >()0F x '>()F x 所以当时，在处取得极小值，即为最小值，1x >()F x 0x x =故，22000000(11()()12ln )222F x F x x x x x x ≥=+-=-+设，因为，2000122()p x x x =-+0(2,4)x ∈由二次函数的性质得函数在上单调递减，2000122()p x x x =-+(2,4)故，0()(4)0p x p >=所以当时，，即．1x >()0F x >()()0f x g x +>解法二：要证，即证，()0F x >()1()12ln 012p x x x x =+->>因为，所以当时，，单调递减，()124()122x p x x x x -'=-=>()1,4x ∈()0p x '<()p x 当时，，单调递增，()4,x ∞∈+()0p x '>()p x 所以，所以，即.()()4212ln 434ln 20p x p ≥=+-=->()0F x >()()0f x g x +>方法点睛：利用导数证明不等式问题，方法如下：（1）直接构造函数法：证明不等式（或）转化为证明()()f xg x >()()f xg x <（或），进而构造辅助函数；()()0f xg x ->()()0f xg x -<()()()h x f x g x =-（2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论；（3）构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.2．(1)0(2)证明详见解析(3)2a ≤【分析】（1）利用导数求得的最小值.()g x （2）根据（1）的结论得到，利用放缩法以及裂项求和法证得不等式成立.2211ln 1n n ⎛⎫+≤ ⎪⎝⎭（3）由不等式分离参数，利用构造函数法，结合导数求得的取ln (2)10xx x x a x -+--≥a a 值范围.【详解】（1）依题意，，()21ln (,0)2f x x x x t t x =-+∈>R 所以，()()()()ln 1ln 10g x f x x x x x x '==-+=-->，所以在区间上单调递减；()111x g x x x -'=-=()g x ()0,1()()0,g x g x '<在区间上单调递增，()1,+∞()()0,g x g x '>所以当时取得最小值为.1x =()g x ()11ln110g =--=（2）要证明：对任意正整数，都有，(2)n n ≥222211111111e 234n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+⋅+⋅++< ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 即证明，22221111ln 1111ln e234n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+⋅+⋅++< ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ 即证明，222111ln 1ln 1ln 1123n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++++< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 由（1）得，即()()()10f xg x g '=≥=ln 10,ln 1x x x x --≥≤-令，所以， *211,2,N x n n n =+≥∈222111ln 111n n n ⎛⎫+≤+-= ⎪⎝⎭所以222222111111ln 1ln 1ln 12323n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++++≤+++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ，()111111111122312231n n n n <+++=-+-++-⨯⨯-- 111n=-<所以对任意正整数，都有.(2)n n ≥222211111111e 234n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+⋅+⋅++< ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ （3）若不等式恒成立，此时，ln (2)10xx x x a x -+--≥0x >则恒成立，ln 21x x x x x a x -+-≤令，()ln 21xx x x x h x x -+-=令，()()()e 10,e 10x x u x x x u x '=--≥=-≥所以在区间上单调递增，()u x[)0,∞+所以，当时等号成立，()0e 010,e 10,e 1x x u x x x ≥--=--≥≥+0x =所以，()ln e ln 21ln 1ln 212x x x x x x x x x x h x x x -+-+-+-=≥=当时等号成立，所以.ln 0,1x x x ==2a ≤利用导数求函数的最值的步骤：求导：对函数进行求导，得到它的导函数.导函数()f x ()f x '表示了原函数在不同点处的斜率或变化率.找出导数为零的点：解方程，找到使得导()0f x '=数为零的点,这些点被称为临界点，可能是函数的极值点（包括最大值和最小值），检查每个临界点以及区间的端点，并确认它们是否对应于函数的最值.3．(1)，1a =e 2b =-(2)；()max e 1f x =-()min 1f x =(3)证明见解析【分析】（1）利用切点和斜率列方程组，由此求得.,a b （2）利用多次求导的方法求得在区间上的单调性，由此求得在上的最值.()f x []0,1()f x []0,1（3）先证明时，，再结合（2）转化为，从0x >()()e 21f x x ≥-+()21e ln e x x x x x+--≥+而证得不等式成立.【详解】（1），()e 2x f x ax'=-∴，解得：，；()()1e 21e 1f a b f a b ⎧=-=⎪⎨=-=+'⎪⎩1a =e 2b =-（2）由（1）得：，()2e xf x x =-，令，则，()e 2x f x x '=-()e 2x h x x=-()e 2x h x '=-是增函数，令解得.()h x ()0h x '=ln 2x =∴，也即在上单调递减，()h x ()f x '()0,ln2()()0,h x h x '<在上单调递增，()ln2,+∞()()0,h x h x '>∴，∴在递增，()()ln 2ln222ln20h f ==->'()f x []0,1∴；；()()max 1e 1f x f ==-()()min 01f x f ==（3）∵，由（2）得过，()01f =()f x ()1,e 1-且在处的切线方程是，()y f x =1x =()e 21y x =-+故可猜测且时，的图象恒在切线的上方，0x >1x ≠()f x ()e 21y x =-+下面证明时，，设，，0x >()()e 21f x x ≥-+()()()e 21g x f x x =---()0x >∴，∴令，()()e 2e 2x g x x =---'()()()e 2e 2x x x g m x '--==-，()e 2x m x '=-由（2）得：在递减，在递增，()g x '()0,ln2()ln2,+∞∵，，，∴，()03e 0g '=->()10g '=0ln21<<()ln20g '<∴存在，使得，()00,1x ∈()0g x '=∴时，，时，，()()00,1,x x ∈⋃+∞()0g x '>()0,l x x ∈()0g x '<故在递增，在递减，在递增.()g x ()00,x ()0,1x ()1,+∞又，∴当且仅当时取“”，()()010g g ==()0g x ≥1x ==()()2e e 210x g x x x =----≥故，，由（2）得：，故，()e e 21x x xx+--≥0x >e 1x x ≥+()ln 1x x ≥+∴，当且仅当时取“=”，∴，1ln x x -≥1x =()e e 21ln 1x x x x x+--≥≥+即，∴，()21ln 1e e x x x x+--≥+()21e ln e x x x x x+--≥+即成立，当且仅当时“=”成立.()1ln 10e e x x x x +---≥1x =求解切线的有关的问题，关键点就是把握住切点和斜率.利用导数研究函数的单调性，如果一次求导无法求得函数的单调性时，可以考虑利用多次求导来进行求解.利用导数证明不等式恒成立，如果无法一步到位的证明，可以先证明一个中间不等式，然后再证得原不等式成立.4．(1)单调增区间为，单调减区间为；()0,1()1,+∞(2)(],2ln 2-∞(3)证明见解析【分析】（1）求导，再根据导函数的符号即可得解；（2）分离参数可得，构造函数，利用导数求出函数的最小ln 1x x a x ≤-ln (),21x xg x x x =≥-()g x 值即可得解；（3）由，得，则，要证21a b <-+21a b -<-2112()(e )e e 1a a b f x f a b ---≤=+<-+，即证，即证，构造函数()212ln f x b<-222e112ln bb b --+<-22212ln 0eb b b +-<，证明即可.()()()12ln e x h x x x x =>-()1h x <-【详解】（1）当时，，1a =()ln 1,0f x x x x x =-++>，由，得，由，得，()ln f x x '=-()0f x '>01x <<()0f x '<1x >故的单调增区间为，单调减区间为；()f x ()0,1()1,+∞（2），()ln 2,1x xf x a a x ≤∴≤- 令，ln (),21x x g x x x =≥-则，21ln ()(1)x xg x x --'=-令，则，()ln 1t x x x =-+11()1xt x x x -'=-=由，得，由，得，()0t x '>01x <<()0t x '<1x >故在递增，在递减，，()t x ()0,1()1,+∞max ()(1)0t x t ==，所以，()0t x ∴≤ln 1≤-x x 在上单调递增，，()0,()g x g x '≥∴[)2,+∞()min ()2g x g ∴=，(2)2ln 2a g ∴≤=的取值范围；a ∴(],2ln 2-∞（3），221,1b a b a <-+∴-<- 又，在上递增，11()(e )e a a f x f a --≤=+1e a y a -=+ R a ∈所以，2112()(e )e e 1a a b f x f a b ---≤=+<-+下面证明：，222e 112ln b b b --+<-即证，22212ln 0ebb b +-<令，则，21x b =>12ln 0e x x x +-<即，(2ln )e 1xx x -⋅<-令，则，()()()12ln e xh x x x x =>-()22ln 1e xh x x x x '⎛⎫=-+-⋅ ⎪⎝⎭令，则，()2()2ln 11x x x x x ϕ=-+->()()2221122()101x x x x x x ϕ---=--=<>∴函数在上单调递减，()x ϕ()1,+∞，()(1)0x ϕϕ∴<=在递减，()()0,h x h x '∴<(1,)+∞，()()1e 1h x h ∴<=-<-所以.()212ln f x b <-方法点睛：利用导数证明不等式问题，方法如下：（1）直接构造函数法：证明不等式（或）转化为证明()()f xg x >()()f xg x <（或），进而构造辅助函数；()()0f xg x ->()()0f xg x -<()()()h x f x g x =-（2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论；（3）构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.5．(1)22142x y +=(2)2(3)存在，.()0,2Q 【分析】（1）由离心率及过点列方程组求解.()2,1M,a b （2）设直线为与椭圆方程联立，将表达为的函数，由基本不l 1y kx =+1212AOB S x x =⋅- k 等式求最大值即可.（3）先讨论直线水平与竖直情况，求出，设点关于轴的对称点，证得()0,2Q B y B '三点共线得到成立.,,Q A B 'QA PAQB PB=【详解】（1）根据题意，得，解得，椭圆C 的方程为.2222222211c a a b c a b ⎧=⎪⎪⎪=+⎨⎪⎪+=⎪⎩222422a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩22142x y +=（2）依题意，设，直线的斜率显然存在，()()1122,,,A x y B x y l 故设直线为，联立，消去，得，l 1y kx =+221142y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩y ()2212420k x kx ++-=因为直线恒过椭圆内定点，故恒成立，，l ()0,1P 0∆>12122242,1212k x x x x k k +=-=-++故，()2221212221224212111214414222122AOBk S x x x x x x k k k k ⋅+⎛⎫⎛⎫=⋅=⨯-=⨯-⨯= ⎪ ⎪+⎝-+-⎝++⎭⎭- 令，所以，当且仅当，即时取得214,1t k t =+≥22222211AOB t S t t t=×=×£++1t =0k =等号，综上可知：面积的最大值为.AOB 2（3）当平行于轴时，设直线与椭圆相交于两点，如果存在点满足条件，l x ,C D Q 则有，即，所以点在轴上，可设的坐标为；||||1||||QC PC QD PD ==QC QD =Q y Q ()00,y 当垂直于轴时，设直线与椭圆相交于两点，如果存在点满足条件，l x ,M N Q 则有，即，解得或，||||||||QM PM QN PN =00221212y y --=++01y =02y =所以若存在不同于点的定点满足条件，则点的坐标为；P Q Q ()0,2当不平行于轴且不垂直于轴时，设直线方程为，l x x l 1y kx =+由（2）知，12122242,1212k x x x x k k --+==++又因为点关于轴的对称点的坐标为，B y B '()22,x y -又，，11111211QA y kx k k x x x --===-22222211QB y kx k k x x x '--===-+--.方法点睛：直线与椭圆0Ax By C ++=时，取得最大值2222220a A b B C +-=MON S 6．(1)（i ）；（322ln 220x y +--=(2)11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦故曲线在点处的切线方程为，()y f x =()()22f ,()()32ln 222y x --+=--即；322ln 220x y +--=（ii ），，()21ln 2f x x x =-+()0,x ∈+∞，()211x f x x x x -'=-+=令，解得，令，解得，()0f x ¢>()0,1x ∈()0f x '<()1,x ∈+∞当时，，1,e e x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦()()max 112f x f ==-又，，221111ln 1e 2e e 2e f ⎛⎫=-+=-- ⎪⎝⎭()2211e e ln e e 122f =-+=-+其中，()222211111e 1e 1e 20e 2e 222ef f ⎛⎫⎛⎫-=----+=--> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故，()()2min 1e e 12f x f ==-+故的单调递增区间为，单调递减区间为；()f x ()0,1()1,+∞在区间上的最大值为，最小值为；()f x 1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦12-21e 12-+（2），()21ln 22xg x a x x a ⎭-+⎛=⎪-⎫ ⎝对，恒成立，()1,x ∀∈+∞21ln 202a x x ax ⎛⎫-+-< ⎪⎝⎭变形为对恒成立，ln 122x a xa x<--⎛⎫ ⎪⎝⎭()1,x ∀∈+∞令，则，()(),1,ln x h x x x ∈=+∞()21ln xh x x -'=当时，，单调递增，()1,e x ∈()0h x '>()ln xh x x =当时，，单调递减，()e,+x ∈∞()0h x '<()ln xh x x =其中，，当时，恒成立，()10h =()ln e 1e e e h ==1x >()ln 0x h x x =>故画出的图象如下：()ln x h x x =其中恒过点122y xa a ⎛⎫ ⎪⎝=⎭--(2,1A 又，故在()210111h -'==()ln x h x x =又在上，()2,1A 1y x =-()对于2111644y x x =-+-∴点，即()0,6C -6OC =∵2114,14P m m m ⎛-+- ⎝∴点，3,64N m m ⎛⎫- ⎪⎝⎭∴，22111316624444PN m m m m m⎛⎫=-+---=-+ ⎪⎝⎭∵轴，PN x ⊥∴，//PN OC ∴，PNQ OCB ∠=∠∴，Rt Rt PQN BOC ∴，PN NQ PQ BC OC OB ==∵，8,6,10OB OC BC ===∴，34,55QN PN PQ PN==∵轴，NE y ⊥∴轴，//NE x ∴，CNE CBO ∴，5544CN EN m ==∴，2215111316922444216CQ PQ m m m m ⎛⎫+=-+=--+⎪⎝⎭当时，取得最大值.132m =12CQ PQ+16916关键点点睛：熟练的掌握三角形相似的判断及性质是解决本题的关键.8．(1)详见解析；(2)①具有性质；理由见解析；②P 1346【分析】（1）当时，先求得集合，由题中所给新定义直接判断即可；10n =A （2）当时，先求得集合， 1010n =A ①根据，任取，其中，可得，{}2021|T x x S =-∈02021t x T =-∈0x S ∈0120212020x ≤-≤利用性质的定义加以验证，即可说明集合具有性质；P T P ②设集合有个元素，由（1）可知，任给，，则与中必有个S k x S ∈12020x ≤≤x 2021x -1不超过，从而得到集合与中必有一个集合中至少存在一半元素不超过，然后利1010S T 1010用性质的定义列不等式，由此求得的最大值．P k【详解】（1）当时，，10n ={}1,2,,19,20A = 不具有性质，{}{}|910,11,12,,19,20B x A x =∈>= P 因为对任意不大于的正整数，10m 都可以找到该集合中的两个元素与，使得成立，110b ＝210b m =+12||b b m -=集合具有性质，{}*|31,N C x A x k k =∈=-∈P 因为可取，对于该集合中任一元素，110m =<，（），都有.112231,31c k c k =-=-*12,N k k ∈121231c c k k -=-≠（2）当时，集合，1010n ={}()*1,2,3,,2019,2020,1010N A m m =≤∈ ①若集合具有性质，那么集合一定具有性质．S P {}2021|T x x S =-∈P 首先因为，任取，其中．{}2021|T x x S =-∈02021t x T =-∈0x S ∈因为，所以．S A ⊆{}01,2,3,,2020x ∈ 从而，即，所以．0120212020x ≤-≤t A ∈T A ⊆由具有性质，可知存在不大于的正整数，S P 1010m 使得对中的任意一对元素，都有．s 12,s s 12s s m -≠对于上述正整数，从集合中任取一对元素，m {}2021|T x x S =-∈112021t x -＝，其中，则有．222021t x =-12,x x S ∈1212t t s s m --≠＝所以，集合具有性质P ；{}2021|T x x S =-∈②设集合有个元素，由（1）可知，若集合具有性质，S k S P 那么集合一定具有性质．{}2021|T x x S =-∈P 任给，，则与中必有一个不超过．x S ∈12020x ≤≤x 2021x -1010所以集合与中必有一个集合中至少存在一半元素不超过．S T 1010不妨设中有个元素不超过．S 2k t t ⎛⎫≥ ⎪⎝⎭12,,,t b b b 1010由集合具有性质，可知存在正整数．S P 1010m ≤使得对中任意两个元素，都有．S 12,s s 12s s m -≠所以一定有．12,,,t b m b m b m S +++∉ 又，故．100010002000i b m +≤+=121,,,b m b m b m A +++∈ 即集合中至少有个元素不在子集中，A t S 因此，所以，得．20202k k k t +≤+≤20202k k +≤1346k ≤当时，取，{}1,2,,672,673,,1347,,2019,2020S = 673m =则易知对集合中的任意两个元素，都有，即集合具有性质．S 12,y y 12673y y -≠S P 而此时集合S 中有个元素，因此，集合元素个数的最大值为．1346S 1346解新定义题型的步骤：(1)理解“新定义”——明确“新定义”的条件、原理、方法、步骤和结论.(2)重视“举例”,利用“举例”检验是否理解和正确运用“新定义”;归纳“举例”提供的解题方法.归纳“举例”提供的分类情况.(3)类比新定义中的概念、原理、方法，解决题中需要解决的问题.9．(1)，10,8⎛⎫ ⎪⎝⎭18y =-(2)或()42,4()42,4-(3)14a =(4)或51-35-【分析】（1）根据焦点和准线方程的定义求解即可；（2）先求出点P 的纵坐标为4，然后代入到抛物线解析式中求解即可；（3）如图所示，过点B 作轴于D ，过点A 作轴于E ，证明，推BD y ⊥AE y ⊥FDB FHC ∽出，则，点B 的纵坐标为，从而求出，证明16FD a =112OD OF DF a =-=112a 36BD a =，即可求出点A 的坐标为，再把点A 的坐标代入抛物线解析式AEF BDF ∽123,24a ⎛⎫ ⎪⎝+⎭-中求解即可；（4）如图，当E 为靠近点F 的黄金分割点的时候，过点M 作于N ，则，MN l ⊥MN MF=先证明是等腰直角三角形，得到，设点M 的坐标为，则MNH △NH MN=21,4m m ⎛⎫⎪⎝⎭过点B 作轴于D ，过点BD y ⊥由题意得点F 的坐标为F ⎛ ⎝1FH =当E 为靠近点F 的黄金分割点的时候，过点∵在中，Rt MNH △sin MHN ∠∴，∴是等腰直角三角形，45MHN ︒=MNH △双曲线方程联立，利用韦达定理及题目条件可得，后由题意可得AM AN ⋅= ()()222131t t m -+=-所过定点坐标；②结合①及图形可得都在左支上，则可得，后由图象可得,M N 213m <，后通过令，结合单调性229113m S m +=-223113m λλ⎛⎫+=≤< ⎪⎝⎭()423313f x x x x ⎛⎫=-≤< ⎪⎝⎭可得答案.【详解】（1）设双曲线的焦距为，C 2c 由题意有解得．2223,24,,ba c c ab ⎧=⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩1,3,2a b c ===故双曲线的标准方程为；C 2213y x -=（2）①证明：设直线的方程为，点的坐标分别为，MN my x t =+,M N ()()1122,,,x y x y 由（1）可知点A 的坐标为，()1,0联立方程消去后整理为，2213y x my x t ⎧-=⎪⎨⎪=+⎩x ()222316330m y mty t --+-=可得，2121222633,3131mt t y y y y m m -+==--，()212122262223131m t tx x m y y t t m m +=+-=-=--，()()()()222222222121212122223363313131m t m t m t x x my t my t m y y mt y y t t m m m -+=--=-++=-+=----由，()()11111,,1,AM x y AN x y =-=-有()()()1212121212111AM AN x x y y x x x x y y ⋅=--+=-+++，()()()()22222222222222222132331313131313131t t t t t t m t t t m m m m m m -----++-=--++===------由，可得，有或，AM AN ⊥0AM AN ⋅=1t =-2t =当时，直线的方程为，过点，不合题意，舍去；1t =-MN 1my x =-()1,0当时，直线的方程为，过点，符合题意，2t =MN 2my x =+()2,0-②由①，设所过定点为121224,31x x x x m +==-若在双曲线的同一支上，可知,M N 有12240,31x x x m +=<-关键点睛：求直线所过定点常采取先猜后证或类似于本题处理方式，设出直线方程，通过题一方面：由以上分析可知，设椭圆方程为一方面：同理设双曲线方程为()22221y m x a b +-=，()2222221b x a k x m a b -+=化简并整理得()(2222222112ba k x a mk x a m ---+一方面：同理设抛物线方程为(22x p y =，()212x p k x n =+化简并整理得，由韦达定理可得12220pk x x pn --=2,2x x pk x x pn +=⋅=-（2）构造，故转化为等价于“对任()()()()()13131931x x xx f x k k g x f x +--==+++()()()123g x g x g x +>意，，恒成立”，换元后得到（），分，和1x 2x 3R x ∈()()11k g x q t t -==+3t ≥1k >1k =三种情况，求出实数k 的取值范围.1k <【详解】（1）由条件①知，当时，有，即在R 上单调递增．12x x <()()12f x f x <()f x 再结合条件②，可知存在唯一的，使得，从而有．0R x ∈()013f x =()093x x f x x --=又上式对成立，所以，R x ∀∈()00093x x f x x --=所以，即．0001393x x x --=0009313x x x ++=设，因为，所以单调递增．()93x x x xϕ=++()9ln 93ln 310x x x ϕ'=++>()x ϕ又，所以．()113ϕ=01x =所以；()931x x f x =++（2）构造函数，()()()()()13131931x x xx f x k k g x f x +--==+++由题意“对任意的，，，1x 2x 3R x ∈均存在以，，为三边长的三角形”()()()11113x f x k f x +-()()()22213x f x k f x +-()()()33313x f x k f x +-等价于“对任意，，恒成立”．()()()123g x g x g x +>1x 2x 3R x ∈又，令，()111313x x k g x -=+++1131231333x x x x t ⋅=++≥+=当且仅当时，即时取等号，91x=0x =则（），()()11k g x q t t -==+3t ≥当时，，因为且，1k >()21,3k g x +⎛⎤∈ ⎥⎝⎦()()122423k g x g x +<+≤()3213k g x +<≤所以，解得，223k +≤4k ≤即；14k <≤当时，，满足条件；1k =()()()1231g x g x g x ===当时，，因为且，1k <()2,13k g x +⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭()()122423k g x g x ++<≤()3213k g x +<≤所以，即．2413k +≤112k -≤<综上，实数k 的取值范围是．1,42⎡⎤-⎢⎥⎣⎦复合函数零点个数问题处理思路：①利用换元思想，设出内层函数；②分别作出内层函数与外层函数的图象，分别探讨内外函数的零点个数或范围；③内外层函数相结合确定函数交点个数，即可得到复合函数在不同范围下的零点个数.13．(1)14x =(2)证明过程见解析(3)，()112023k n k x --=1k n≤≤【分析】（1）由题意转化为对于，都存在，使得，其中(),m a b =(),n c d =0m n ⋅= ，选取，，通过分析求出；,,,a b c d X ∈()1,,2m a b x ⎛⎫== ⎪⎝⎭ ()(),1,n c d d ==- 14x =（2）取，，推理出中有1个为，则另一个为1，即，()()11,,m a b x x == (),n c d =,c d 1-1X ∈再假设，其中，则，推导出矛盾，得到；1k x =1k n <<101n x x <<<11x =（3）由（2）可得，设，，则有，记11x =()11,m s t =()22,n s t =1212s t t s =-，问题转化为X 具有性质P ，当且仅当集合关于原点对称，得到,,s B s X t X s t t ⎧⎫=∈∈>⎨⎬⎩⎭B ，共个数，由对称性可知也有个数，(){}234,0,,,,n B x x x x -∞=---- ()1n -()0,B +∞ ()1n -结合三角形数阵得到，得到数列为首项为1的等比123212321n n n n n n x x x x x x x x x x -----===== 12,,,n x x x 数列，设出公比为，结合求出公比，求出通项公式.q 2023n x =【详解】（1）对任意，都存在，使得，,a b X ∈,c d X ∈0ac bd +=即对于，都存在，使得，其中，(),m a b =(),n c d =0m n ⋅= ,,,a b c d X ∈因为集合具有性质P ，11,,,12x ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭选取，，()1,,2m a b x ⎛⎫== ⎪⎝⎭ ()(),1,n c d d ==-则有，12x d -+=假设，则有，解得，这与矛盾，d x =102x x -+=0x =102x <<假设，则有，解得，这与矛盾，1d =-12x --=12x =-102x <<假设，则有，解得，这与矛盾，1d =12x -+=12x =102x <<假设，则有，解得，满足，12d =14x -+=14x =102x <<故；14x =（2）取，，()()11,,m a b x x == (),n c d =则，()10c d x +=因为，所以，即异号，120n x x x <<<< 0c d +=,c d 显然中有1个为，则另一个为1，即，,c d 1-1X ∈假设，其中，则，1k x =1k n <<101n x x <<<选取，，则有，()()1,,n m a b x x ==(),n s t =10n sx tx +=则异号，从而之中恰有一个为，,s t ,s t 1-若，则，矛盾，1s =-11n x tx t x =>≥若，则，矛盾，1t =-1n n x sx s x =<≤故假设不成立，所以；11x =（3）若X 具有性质P ，且，20231n x =>由（2）可得，11x =设，，则有，()11,m s t =()22,n s t =1212s t t s =-记，则X 具有性质P ，当且仅当集合关于原点对称，,,s B s X t X s t t ⎧⎫=∈∈>⎨⎬⎩⎭B 注意到是集合中唯一的负数，1-X 故，共个数，(){}234,0,,,,n B x x x x -∞=---- ()1n -由对称性可知也有个数，()0,B +∞ ()1n -由于，已经有个数，123421n n n n n nn n n n x x x x x x x x x x x x ----<<<<<< ()1n -对于以下三角形数阵：123421n n n n n n n n n n x x x x x xx x x x x x ----<<<<<< 1111123421n n n n n n n n x x x x xx x x x x --------<<<<< ……3321x x x x <21x x 注意到，123211111n n n x x x x x x x x x x -->>>>> 所以有，123212321n n n n n n x x x x x x x x x x -----===== 从而数列为首项为1的等比数列，设公比为，12,,,n x x x q 由于，故，解得，2023n x =112023n nx q x -==()112023n q -=故数列的通项公式为，.12,,,n x x x ()112023k n k x --=1k n ≤≤集合新定义问题，命题新颖，且存在知识点交叉，常常会和函数或数列相结合，很好的考虑了知识迁移，综合运用能力，对于此类问题，一定要解读出题干中的信息，正确理解问题的本质，转化为熟悉的问题来进行解决，要将“新”性质有机地应用到“旧”性质上，创造性的解决问题.14．(1)答案见解析(2)①证明见解析；②证明见解析【分析】（1）求出的导数，结合解不等式可得答案；()e 2x f x ax'=-（2）①，利用导数的几何意义求得的表达式，由此构造函数，()y h x =()()()F x g x h x =-利用导数判断其单调性，求其最小值即可证明结论；②设的根为，求得其表达式，()h x t=1x '并利用函数单调性推出，设曲线在点处的切线方程为，设11x x '≤()y g x =()0,0()y t x =的根为，推出，从而，即可证明结论.()t x t=2x '22x x '≥2121x x x x ''-≤-【详解】（1）由题意得，令，则，()e 2x f x ax'=-()e 2x g x ax=-()e 2x g x a'=-当时，，函数在上单调递增；0a ≤()0g x '>()f x 'R 当时，，得，，得，0a >()0g x '>ln 2x a >()0g x '<ln 2x a <所以函数在上单调递减，在上单调递增．()f x '(),ln 2a -∞()ln 2,a +∞（2）①证明：由（1）可知，令，有或，()()()1e 1x g x x =+-()0g x ==1x -0x =故曲线与x 轴负半轴的唯一交点P 为．()y g x =()1,0-曲线在点处的切线方程为，()1,0P -()y h x =则，令，则，()()()11h x g x '=-+()()()F x g x h x =-()()()()11F x g x g x '=--+所以，．()()()()11e 2e x F x g x g x '''=-=+-()10F '-=当时，若，，1x <-(],2x ∈-∞-()0F x '<若，令，则，()2,1x --()1()e 2e x m x x =+-()()e 30xm x x '=+>故在时单调递增，．()F x '()2,1x ∈--()()10F x F ''<-=故，在上单调递减，()0F x '<()F x (),1-∞-当时，由知在时单调递增，1x >-()()e 30x m x x '=+>()F x '()1,x ∈-+∞，在上单调递增，()()10F x F ''>-=()F x ()1,-+∞设曲线在点处的切线方程为()y g x =()0,0令()()()()(1e x T x g x t x x =-=+当时，2x ≤-()()2e x T x x =+-'()()2e xn x x =+-设，∴()()1122,,,B x y C x y 1x 又1211,22AB x AC x =+=+依题意，即，则，0bc <02x >()()220220004482x y c x x b =+---因为，所以，2002y x =0022x b c x -=-所以，()()00000242248122424S b c x x x x x -⋅=-++≥-⋅+=-=-当且仅当，即时上式取等号，00422x x -=-04x =所以面积的最小值为8．PDE △方法点睛：圆锥曲线中最值或范围问题的常见解法：（1）几何法，若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用几何法来解决；（2）代数法，若题目的条件和结论能体现某种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值或范围．16．(1)2214x y +=(2)证明见解析(3)存在，7,,777⎛⎫⎛⎫-∞- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝+∞⎝⎭⎭ 【分析】（1）根据椭圆的对称性，得到三点在椭圆C 上．把的坐标代入椭圆234,,P P P 23,P P C ，求出，即可求出椭圆C 的方程；22,a b （2）当斜率不存在时，不满足；当斜率存在时，设，与椭圆方程联立，利():1l y kx t t =+≠用判别式、根与系数的关系，结合已知条件得到，能证明直线l 过定点；21t k =--()2,1-（3）利用点差法求出直线PQ 的斜率，从而可得直线PQ 的方程，与抛物线方程联14PQ k t =立，由，及点G 在椭圆内部，可求得的取值范围，设直线TD 的方程为，0∆>2t 1x my =+与抛物线方程联立，由根与系数的关系及，可求得m 的取值范围，进而可求得直线11DA TB k k =的斜率k 的取值范围．2l【详解】（1）根据椭圆的对称性，两点必在椭圆C 上，34331,,1,22P P ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭又的横坐标为1，4P ∴椭圆必不过，()11,1P ∴三点在椭圆C 上．()234330,1,1,,1,22P P P ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭把代入椭圆C ，()3231,20,1,P P ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭得，解得，222111314b a b ⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩2241a b ⎧=⎨=⎩∴椭圆C 的方程为．2214x y +=（2）证明：①当斜率不存在时，设,，:l x m =()(),,,A A A m y B m y -∵直线与直线的斜率的和为，2P A 2P B 1-∴，221121A A P A P B y y k k m m m ----+=+==-解得m ＝2，此时l 过椭圆右顶点，不存在两个交点，故不满足．②当斜率存在时，设,，，:l y kx t =+1t ≠()()1122,,,A x y B x y 联立，消去y 整理得，22440y kx tx y =+⎧⎨+-=⎩()222148440k x ktx t +++-=则，，122814kt x x k -+=+21224414t x x k -=+则()()()()222112************111111P A P B x y x y x kx t x kx t y y k k x x x x x x -+-+-++---+=+==,()()()()()()12121222222448218114141144411142t k k kx x t tk t k t k k t t x t x x x +-+=--⋅+-⋅-++===--+-+又，∴，此时，1t ≠21t k =--()()222222644144464161664k t k t k t k ∆=-+-=-+=-故存在k ，使得成立，0∆>∴直线l 的方程为，即21y kx k =--()12y k x +=-∴l 过定点．()2,1-（3）∵点P ，Q 在椭圆上，所以，，2214P P x y +=2214Q Q x y +=两式相减可得，()()()()04PQ P Q P Q P Q y xy x x x y y +-++-=又是线段PQ 的中点，()1,G t -∴，2,2P Q P Q x x x x t+=-=∴直线PQ 的斜率，()144P Q P QP Q P QPQ x x k ty y x y y x +==-=--+∴直线PQ 的方程为，与抛物线方程联立消去x 可得，()114y x t t =++()22164410y ty t -++=由题可知，∴，()2161210t ∆=->2112t >又G 在椭圆内部，可知，∴，故，2114t +<234t <213124t <<设，，由图可知，，221212,,,44y y A y B y ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭223434,,,44y y T y D y ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2134,y y y y >>∴，()2121216,441y y t y y t +==+当直线TD 的斜率为0时，此时直线TD 与抛物线只有1个交点，不合要求，舍去，设直线TD 的方程为，与抛物线方程联立，消去x 可得，()10x my m =+≠2440y my --=∴，34344,4y y m y y +==-由，可知，即，11//ATB D 11DA TB k k =3142222234214444y y y y y y y y --=--∴，即，1342y y y y +=+1243y y y y -=-∴，()()221212343444y y y y y y y y +-=+-∵，()()()()()222212124161641161210,128y y y y t t t +-=-+=-∈∴，解得，即，()()223434416160,128y y y y m +-=+∈27m <()7,7m ∈-∴直线TD 即的斜率．2l 771,77,k m ⎛⎫⎛⎫=∈-∞- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝+∞⎝⎭⎭ 思路点睛：处理定点问题的思路：（1）确定题目中的核心变量（此处设为），k （2）利用条件找到与过定点的曲线的联系，得到有关与的等式，k (),0F x y =k ,x y （3）所谓定点，是指存在一个特殊的点，使得无论的值如何变化，等式恒成立，()00,x y k 此时要将关于与的等式进行变形，直至找到，k ,x y ()00,x y ①若等式的形式为整式，则考虑将含的式子归为一组，变形为“”的形式，让括号中式k ()k ⋅子等于0，求出定点；②若等式的形式是分式，一方面可考虑让分子等于0，一方面考虑分子和分母为倍数关系，可消去变为常数.k 17．(1)1y =-(2)2ln23-+【分析】（1）由题意，将代入函数的解析式中，对函数进行求导，得到1m =()f x ()f x 和，代入切线方程中即可求解；()1f '()1f （2）得到函数的解析式，对进行求导，利用根的判别式以及韦达定理对()g x ()g x 进行化简，利用换元法，令，，可得，12122()()y x x b x x =--+12x t x =01t <<2(1)ln 1t y t t -=-+根据，求出的范围，构造函数，对进行求导，利用导数得到322m ≥t 2(1)()ln 1t h t tt -=-+()h t 的单调性和最值，进而即可求解．()h t 【详解】（1）已知(为常数），函数定义域为，()ln f x x mx =-m (0,)+∞当时，函数，1m =()ln f x x x =-可得，此时，又，11()1x f x x x -'=-=()=01f '()11=f -所以曲线在点处的切线方程为，即.()y f x =()()1,1f (1)0(1)y x --=⨯-1y =-（2）因为，函数定义域为，22()2()2ln 2g x f x x x mx x =+=-+(0,)+∞可得，222(1)()22x mx g x m x x x -+=-+='此时的两根，即为方程的两根，()0g x '=1x 2x 210x mx -+=因为，所以，由韦达定理得，，322m ≥240m ∆=->12x x m +=121=x x 又，所以1212lnx x b x x =-121212121212ln 22()()()()xx y x x b x x x x x x x x =--=--++-，11211211222212()ln 2ln 1x x x x x x x x x x x x --=-=⨯-++令，，所以，12x t x =01t <<2(1)ln 1t y t t -=-+因为，整理得，2212()x x m +=22212122x x x x m ++=因为，则，121=x x 2221212122x x x x m x x ++=等式两边同时除以，得，12x x 212212=x x m x x ++可得，因为，212t m t ++=322m ≥所以，，152t t +≥()()2252=2210t t x x -+--≥解得 或，则，12t ≤2t ≥102t <≤不妨设，函数定义域为，2(1)()ln 1t h t t t -=-+10,2⎛⎤⎥⎝⎦可得，22(1)()0(1)t h t t t -'=-<+所以函数在定义域上单调递减，()h t 此时，min 12()()ln223h t h ==-+故的最小值为．12122()()y x x b x x =--+2ln23-+利用导数求解在曲线上某点处的切线方程，关键点有两点，第一是切线的斜率，第二是切点。
2024年高考数学(新高考压轴卷)(考试版)
2024年高考压轴卷【新高考卷】数学（考试时间：120分钟试卷满分：150分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题共58分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合105x A x x ⎧⎫+=≥⎨⎬-⎩⎭，(){}22log 16B x y x ==-，则()R A B ⋂=ð（）A ．()1,4-B ．[]1,4-C ．(]1,5-D ．()4,52．宋代是中国瓷器的黄金时代，涌现出了五大名窑：汝窑、官窑、哥窑、钧窑、定窑．其中汝窑被认为是五大名窑之首．如图1，这是汝窑双耳罐，该汝窑双耳罐可近似看成由两个圆台拼接而成，其直观图如图2所示．已知该汝窑双耳罐下底面圆的直径是12厘米，中间圆的直径是20厘米，上底面圆的直径是8厘米，高是14厘米，且上、下两圆台的高之比是3:4，则该汝窑双耳罐的体积是（）A ．1784π3B ．1884π3C ．2304π3D ．2504π33．如图，左车道有2辆汽车，右车道有3辆汽车等待合流，则合流结束时汽车通过顺序共有（）种.A ．10B ．20C ．60D ．1204．已知等比数列{}n a 的各项均为负数，记其前n 项和为n S ，若6467813,8S S a a a -=-=-，则2a =（）A ．－8B ．－16C ．－32D ．－485．已知圆C ：22()1x y m +-=，直线l ：()1210m x y m ++++=，直线l 与圆C 有公共点必要不充分条件是（）A ．11m -≤≤B ．112m -≤≤C ．10m -≤≤D ．102m ≤≤6．已知函数(22()log 1f x x x =++，则对任意实数,a b ，“0a b +≤”是“()()0f a f b +≤”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件7．已知0.50.2a =，cos2b =，lg15c =，则（）A ．a b c<<B ．c a b<<C ．b c a<<D ．b a c<<8．椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>外一点()00,P x y 向椭圆引两条切线，切点分别为,A B ，则直线AB 称作点P 关于椭圆C 的极线，其方程为00221x x y ya b+=.现有如图所示的两个椭圆12,C C ，离心率分别为12,e e ，2C 内含于1C ，椭圆1C 上的任意一点M 关于2C 的极线为l ，若原点O到直线l 的距离为1，则2212e e -的最大值为（）A ．12B ．13C ．15D ．14二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．已知非零复数1z ，2z 在复平面内对应的点分别为1Z ，2Z ，O 为坐标原点，则下列说法正确的是（）A ．若1211z z -=-，则12=z zB ．若1212z z z z +=-，则120OZ OZ ⋅=C ．若1212z z z z +=-，则120z z ⋅=D ．若1212z z z z +=+，则存在实数t ，使得21z tz =10．已知四面体ABCD 的一个平面展开图如图所示，其中四边形AEFD 是边长为2的菱形，B ，C 分别为AE ，FD 的中点，BD =22）A ．BE CD ⊥B ．BE 与平面DCE 所成角的余弦值为1515C ．四面体ABCD 10530D ．四面体ABCD 的外接球表面积为8π11．对于数列{}n a （N n a +∈），定义k b 为1a ，2a ，…，k a 中最大值（1,2,,k n =⋅⋅⋅）（N n +∈）把数列{}n b 称为数列{}n a 的“M 值数列”.如数列2，2，3，7，6的“M 值数列”为2，2，3，7，7，则（）A ．若数列{}n a 是递减数列，则{}n b 为常数列B ．若数列{}n a 是递增数列，则有n na b =C ．满足{}n b 为2，3，3，5，5的所有数列{}n a 的个数为8D ．若()1()2N n n a n -+=-∈，记n S 为{}n b 的前n 项和，则1001002(21)3S =-第二部分（非选择题共92分）二、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
专题7.1 与数学文化相关的数学考题-玩转压轴题,突破140分之高三数学选填题高端精品(原卷版)
专题01 与数学文化相关的数学考题一、方法综述：关注学生数学文化的意识的养成，努力推进数学文化的教育，已经成为当今数学教师与改革的一个重要特征，在新课改的数学命题中，数学文化已经得到足够的重视，但并没由得到应有的落实，造成数学文化教学的缺失的根本原因在于教师自身数学文化素养的缺乏，令人欣喜的是在近几年的高考试题中已经开始有意识的进行尝试和引导，在众多的经典试题中，湖北卷的数学文化题更超凡脱俗和出类拔萃，因此，我们特别策划了此专题，将数学文化与数学知识相结合，选取典型样题深度解读，希望能够给予广大师生的复习备考以专业的帮助与指导.二、解答策略：类型一、取材数学游戏游戏可以让数学更加好玩，在游戏中运用数学知识，或蕴含着数学原理的智力游戏可笼统地称为数学游戏，把数学游戏改编为高考试题，既不失数学型，又能增加了考题的趣味性，充分体现了素质教育与大众数学的理念。
例1、五位同学围成一圈依次循环报数，规定：①第一位同学首次报出的数为1，第二位同学首次报出的数也为1，之后每位同学所报出的数都是前两位同学所报出的数之和；②若报出的数是3的倍数，则报该数的同学需拍手一次。
已知甲同学第一个报数，当五位同学依次循环报到第100个数时，甲同学拍手的总次数为。
探究提高：以数学游戏为素材的命制高考题目，创造了既宽松又竞争的环境，拉近了考生与数学的心理距离，但要注意游戏素材的选择应与考生的实际生活密切相关，便于考生更好地理解游戏。
例如：2012年高考湖北卷第13题“回文数”，考查排列、组合和归纳推理等知识。
本题以此为背景，以简单的游戏为分析计算对象，考查学生的阅读理解能力和合情推理能力。
举一反三：回文数是指从左到右与从右到左读都一样的正整数。
如22，,11,3443,94249等。
显然2位回文数有9个：11,22,33…，99.3位回文数有90个：101,111,121，…，191,202，…，999。
则（Ⅰ）4位回文数有______个；（Ⅱ）2n＋1（n∈N+）位回文数有______个。
高考数学压轴题100题汇总(含答案)
高考数学压轴题100题汇总(含答案)1. 设函数f(x) = x^3 3x + 1，求f(x)的极值点和极值。
答案：f(x)的极值点为x = 1和x = 1，极值分别为f(1) = 1和f(1) = 3。
2. 已知等差数列{an}的前n项和为Sn = n^2 + n，求该数列的通项公式。
答案：an = 2n + 1。
3. 已知三角形ABC中，AB = AC = 5，BC = 8，求三角形ABC的面积。
答案：三角形ABC的面积为12。
4. 设直线y = kx + b与圆x^2 + y^2 = 1相切，求k和b的值。
答案：k = ±√3/3，b = ±√6/3。
5. 已知函数f(x) = log2(x^2 + 1)，求f(x)的导数。
答案：f'(x) = 2x/(x^2 + 1)ln2。
6. 已知向量a = (2, 3)，向量b = (1, 4)，求向量a和向量b的夹角。
答案：向量a和向量b的夹角为arccos(1/√5)。
7. 已知矩阵A = [1 2; 3 4]，求矩阵A的逆矩阵。
答案：矩阵A的逆矩阵为[4 2; 3 1]。
8. 已知函数f(x) = x^3 6x^2 + 9x + 1，求f(x)的零点。
答案：f(x)的零点为x = 1和x = 3。
9. 已知函数f(x) = sin(x) cos(x)，求f(x)在区间[0, π/2]上的最大值。
答案：f(x)在区间[0, π/2]上的最大值为√2。
10. 已知函数f(x) = x^2 + 4x + 4，求f(x)的顶点坐标。
答案：f(x)的顶点坐标为(2, 0)。
高考数学压轴题100题汇总(含答案)11. 已知函数f(x) = e^x 2x，求f(x)的导数。
答案：f'(x) = e^x 2。
12. 已知函数f(x) = x^2 4x + 4，求f(x)的极值点和极值。
答案：f(x)的极值点为x = 2，极值为f(2) = 0。
【新高考数学压轴题】新高考实际应用题、涉及数学文化的应用题(主讲人：刘蒋巍)
W
(
x)
50x ,
1 x
0 x2 ，肥料成本投入为10x 元，其它成
2 x5
本投入（如培育管理、施肥等人工费） 20x 元．已知这种水果的市场售价大约为 15 元／千
克，且销路畅通供不应求．记该水果树的单株利润为 f (x) （单位：元）．
（Ⅰ）求 f (x) 的函数关系式；
（Ⅱ）当施用肥料为多少千克时，该水果树的单株利润最大?最大利润是多少?
【新高考数学压轴题】新高考实际应用题、涉及数学文化的应用题(主讲人：刘蒋巍)
新高考实际应用题、涉及数学文化的应用题
一．单选题
(选择、填空、解答)
主讲人：刘蒋巍
1.《周髀算经》是我国古老的天文学和数学著作，其书中记载：一年有二十四个节气，每个
节气晷长损益相同（晷是按照日影测定时刻的仪器，晷长即为所测影子的长度），夏至、小
斗从点 A(3， 3 3 )出发，沿圆周按逆时针方向匀速旋转，且旋转一周用时 120 秒．经过 t
秒后，水斗旋转到 P 点，设点 P 的坐标为(x，y)，其纵坐标满足 y f (t) R sin(t ) (t ≥0， ＞0， )，则下列叙述正确的是
2
A． 3
B．当 t (0，60]时，函数 y f (t)单调递增
4 的封闭图形的面积为 ▲ ．
答案：64
3
2.某系列智能手机玻璃版有“星河银”、“罗兰紫”、“翡冷翠”、“亮黑色”四种颜色．若甲、 乙等四位市民准备分别购买一部颜色互不相同的同一型号玻璃版的该系列手机，若甲购 买“亮黑色”或“星河银”，则乙不购买“罗兰紫”，则这四位市民不同的购买方案有 种．
答案：20 解析：依题意，就甲实际购买的手机颜色进行分类，第一类，甲实际购买的手机颜色为“亮
高考数学压轴题常考题型81页(20200618183520)
（ 3）在 (2) 的条件下， 若 y f (x) 的图象上 A, B 两点的横坐标是函数 f ( x) 的不动点， 且直线
1 y kx 2a2 1 是线段 AB 的垂直平分线， 求实数 b 的取值范围．
分析 本题考查二次函数的性质、直线等基础知识， 函数与方程思想 解： f (x) ax 2 (b 1)x b 2 (a 0) ， （1）当 a 2, b 2 时， f ( x) 2x2 x 4 ．
a
x
x
f ( x) 又∵
a2
(a 1
a)
f ( x)
∴ f ( x) 为奇函数
（1）∵ 当 x ( 1,1) 时， f (1 m) f (1 m 2) 0 ∴ f (1 m)
f (1 m 2 ) f (m 2 1)
11m 1 1 m2 1 1 1 m 2 ∴ 1 m m2 1
（2）当 x ( ,2) 时， ∵ F (x) f ( x) 4 在 ( ,2) 上 ， 且值域为 ( ,0) ∴ F (2) f (2) 4 0
a a2
1
( a2
1 a2 )
4
a a4 1
a2 1 a2
4
a2 1 4a
∴a 2 3
2
4 3x
例 2.
函数 f
x
y 是
10x
1x 1
R 的反函数，
g x 的图象与函数 y
x 1 的图象关于直线
y x 1 成轴对称图形， 记 F x f x g x 。
（1）求 F x 的解析式及其定义域； （ 2）试问 F x 的图象上是否存在两个不同的点 A、B， 使直线 AB恰好与 y 轴垂直？若存在， 求出 A、 B 的坐标；若不存在， 说明理由。
高考数学高三模拟考试试卷压轴题高等学校招生全国统一考试数学文科
高考数学高三模拟考试试卷压轴题高等学校招生全国统一考试数学（文科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知集合,,,A B C {}2320A x x x =-+=,{}05,B x x x =<<∈N ，则满足条件A B C ⊆⊆的集合C 的个数为 ( )A ．1B ．2C ．3D ．4 【测量目标】集合的基本运算. 【考查方式】子集的应用. 【参考答案】D【试题解析】求{}()(){}2|320,|120,A x x x x x x x x =-+=∈=--=∈R R{}1,2=，易知{}{}|05,1,2,3,4=<<∈=N B x x x .因为⊆⊆A C B ，所以根据子集的定义，集合C 必须含有元素1,2，且可能含有元素3,4，原题即求集合{}3,4的子集个数，即有224=个.故选D.2．容量为20的样本数据，分组后的频数如下表：则样本数据落在区间[10,40)的频率为 ( )A ．0.35B ．0.45C ．0.55D ．0.65 【测量目标】频数分布表的应用，频率的计算,对于頻数、频率等统计问题【考查方式】通过弄清楚样本总数与各区间上样本的个数，用区间上样本的个数除以样本总数就可得到相应区间上的样本频率.【参考答案】B【试题解析】由频数分布表可知：样本数据落在区间[10,40)内的頻数为2+3+4=9，样本总数为23454220+++++=，故样本数据落在区间[10,40)内频率为90.4520=.故选B.3．函数()cos 2f x x x =在区间上[]0,2π的零点的个数为 ( )A ．2B ．3C ．4 D.5【测量目标】函数零点求解与判断.【考查方式】通过函数的零点，要求学会分类讨论的数学思想. 【参考答案】D【试题解析】由()cos 20==f x x x ，得0=x 或cos20=x ；其中，由cos20=x ，得()π22x k k π=+∈Z ，故()ππ24k x k =+∈Z .又因为[]0,2πx ∈，所以π3π5π7π,,,4444x =.所以零点的个数为145+=个.故选D.4．命题“存在一个无理数，它的平方是有理数”的否定是 ( )A ．任意一个有理数，它的平方是有理数B ．任意一个无理数，它的平方不是有理数C ．存在一个有理数，它的平方是有理数D ．存在一个无理数，它的平方不是有理数【测量目标】命题的否定.【考查方式】求解特称命题或全称命题的否定，千万别忽视了改变量词； 【参考答案】B【试题解析】根据特称命题的否定，需先将存在量词改为全称量词，然后否定结论，故该命题的否定为“任意一个无理数,它的平方不是有理数”.故选B. 5．过点(1,1)P 的直线，将圆形区域分为两部分，使22{(,)4)}x y x y +得这两部分的面积之差最大，则该直线的方程为 ( ) A ．0x y += B. 10y -= C.0x y -= D.340x y +-=【测量目标】考查直线、线性规划与圆的综合运,并学会用数形结合思想.【考查方式】通过观察图形发现当面积之差最大时，所求直线应与直线OP 垂直，利用这一条件求出斜率，进而求得该直线的方程.【参考答案】A【试题解析】要使直线将圆形区域分成两部分的面积之差最大，必须使过点P 的圆的弦长达到最小，所以需该直线与直线OP 垂直即可.又已知点(1,1)P ，则1OP k =,故所求直线的斜率为1-.又所求直线过点(1,1)P ，故由点斜式得，所求直线的方程为()11y x -=--，即20+-=x y .故选A.6．已知定义在区间（0,2）上的21π-函数的图象()y f x =如图所示，则(2)y f x =--的图象为 ( )【测量目标】函数的图象的识别.【考查方式】利用特殊值法（特殊点），特性法（奇偶性，单调性，最值）结合排除法求解【参考答案】B【试题解析】排除法：当1x =时，()()()21211y f x f f =--=--=-=-，故可排除A,C 项；当2x =时，()()()22200y f x f f =--=--=-=，故可排除D 项；所以由排除法知选B.7．定义在(,0)(0,)-∞+∞上的函数()f x ，如果对于任意给定的等比数列{}n a ，{()}n f a 仍是等比数列，则{()}n f a 称为“保等比数列函数”.现有定义在上的如下(,0)(0,)-∞+∞函数： ( )①2()f x x =； ②()2xf x =；③()f x =；④()ln f x x =.则其中是“保等比数列函数”的的()f x 序号为A ．① ②B ．③ ④C ．① ③D ．② ④ 【测量目标】等比数列的新应用，函数的概念.【考查方式】读懂题意，然后再去利用定义求解，注意数列的通项. 【参考答案】C【试题解析】设数列{}n a 的公比为q .对于①，22112()()n n n nf a a q f a a ++==,是常数，故①符合条件;对于②，111()22()2n n n n a a a n a n f a f a ++-+==，不是常数，故②不符合条件;对于③，1()()n n f a f a +===;对于④,11()ln ||()ln ||n n n nf a a f a a ++=，不是常数，故④不符合条件.由“保等比数列函数”的定义知应选C8．设ABC △的内,,A B C 所对的边分别为,,a b c . 若三边的长为连续的三个正整数，且A B C >>，320cos b a A =，则sin :sin :sin A B C 为 ( )A.4:3:2B.5:6:7C ．5:4:3 D.6:5:4【测量目标】正、余弦定理以及三角形中大角对大边的应用.【考查方式】本题需求解三个角的正弦的比值，明显是要利用正弦定理转化为边长的比值，因此必须求出三边长,注意正余弦定理与和差角公式的结合应用.【参考答案】D【试题解析】因为,,a b c 为连续的三个正整数，且>>A B C ，可得a b c >>，所以2,1=+=+a c b c ①；又因为已知320cos =b a A ，所以3cos 20bA a=②.由余弦定理可得222cos 2+-=b c a A bc ③，则由②③可得2223202b b c a a bc+-=④，联立①④，得2713600--=c c ，解得4=c 或157=-c （舍去），则6=a ，5=b .故由正弦定理可得，sin :sin :sin ::6:5:4==A B C a b c .故应选D.9．设,,R a b c ∈,“1abc =”是a b c++”的 ( )A ．充分条件但不是必要条件B ．必要条件但不是充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要的条件【测量目标】充要条件的判断，不等式的证明.【考查方式】首先需判断条件能否推得结论，然后需判断结论能否推得条件. 【参考答案】A【试题解析】1abc =时，=+=而()()()()22a b c a b b c c a ab ++=++++++（当且仅当a b c==，且1abc =，即a b c==时等号成立），故a b c+=++；但当取2a b c ===,显然有a b c+++,但1abc ≠,即由a b c ++不可以推得1abc =；综上，1abc =a b c++的充分不必要条件,应选A.10．如图，在圆心角为直角的扇形OAB 中，分别以OA ，OB 为直径作两个半圆. 在扇形OAB内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是 ( ) A ．112π-B ．1πC ． 21π-D ．2π【测量目标】古典概型的应用以及观察推理的能力.【考查方式】求解阴影部分的面积，将不规则图形的面积化为规则图形的面积来求解. 【参考答案】C【试题解析】如下图所示，设OA 的中点为1O ，OB 的中点为2O ，半圆1O 与半圆2O 的交点分别为,O F ，则四边形12OO FO 是正方形.不妨设扇形的半径为2，记两块白色区域的面积分别为12,S S ，两块阴影部分的面积分别为34,S S .则212341π2π4OAB S S S S S +++==⨯=扇形, ① 而22132311111π,π1π2222S S S S π+=⨯=+=⨯=，即1232πS S S ++=, ②由①②，得34S S =.又由图象观察可知，12214OO FO OAB O FB O AF S S S S S =---正方形扇形扇形扇形2222221111π1π1π11π11π14422=⨯-⨯-⨯-=⨯-=-.故由几何概型概率公式可得，此点取自阴影部分的概率：3442π221ππOAB OAB S S S P S S +-====-扇形扇形.故选C.二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分. 请将答案填在答题卡对应题号的位置上. 答错位置，书写不清，模棱两可均不得分.11．一支田径运动队有男运动员56人，女运动员42人. 现用分层抽样的方法抽取若干人，若抽取的男运动员有8人，则抽取的女运动员有人． 【测量目标】分层抽样的应用.【考查方式】分层抽样在生活中的应用.分层抽样时，各样本抽取的比例应该是一样的，即为抽样比. 【参考答案】6【试题解析】设抽取的女运动员的人数为a ，则根据分层抽样的特性，有84256a =，解得6a =.故抽取的女运动员为6人. 12．若21k b -3ii 1ib a b +=+-（a ，b 为实数，i 为虚数单位），则a b +=. 【测量目标】复数代数形式的四则运算.【考察方式】通过考查复数相等来判断学生对复数的掌握. 【参考答案】3 【试题解析】因为3ii 1ib a b +=+-，所以()()()3i i 1i i b a b a b b a +=+-=++-.又因为,a b 都为实数，故由复数的相等的充要条件得3,a b b a b +=⎧⎨-=⎩解得0,3a b =⎧⎨=⎩所以3a b +=.13已知向量(1,0)=a ，(1,1)=b ，则（Ⅰ）与2+a b 同向的单位向量的坐标表示为；（Ⅱ）向量与3-b a 向量a 夹角的余弦值为.【测量目标】单位向量的概念，平面向量的坐标运算，向量的数量积运算等. 【考查方式】给出两个向量，利用向量的坐标和向量的数量积来运算求值.【参考答案】（Ⅰ）1010⎛⎝⎭；（Ⅱ） 【试题解析】（Ⅰ）由()()1,0,1,1a =b =，得()23,1+a b =.设与2+a b 同向的单位向量为(),x y c =，则221,30,x y y x ⎧+=⎨-=⎩且,0x y >，解得,10x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩故⎝⎭c =.即与2+a b同向的单位向量的坐标为1010⎛ ⎝⎭.（Ⅱ）由()()1,0,1,1a =b =，得()32,1--b a =.设向量3-b a 与向量a 的夹角为θ，则()32,11,025cos 3551θ--===--⨯b a a b a a.14．若变量,x y 满足约束条件1133x y x y x y --⎧⎪+⎨⎪-⎩,则目标函数23z x y =+的最小值是.【测量目标】二元线性规划求目标函数最小值.【考查方式】给出约束条件，判断可行域，利用可行域求解. 【参考答案】2【试题解析】作出不等式组1133x y x y x y --⎧⎪+⎨⎪-⎩所表示的可行域(如下图的ABM △及其内部）,目标函数23z x y =+在ABM △的三个端点()()()2,3,0,1,1,0A B M 处取的值分别为13,3,2，比较可得目标函数23z x y =+的最小值为2.15．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为. 【测量目标】考查圆柱的三视图的识别，圆柱的体积.【考查方式】在生活中要多多观察身边的实物都是由什么几何形体构成的，以及它们的三视图的画法.【参考答案】12π【试题解析】由三视图可知，该几何体是由左右两个相同的圆柱（底面圆半径为2，高为1）与中间一个圆柱（底面圆半径为1，高为4）组合而成，故该几何体的体积是22π212π1412πV =⨯⨯⨯+⨯⨯=.16．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果s =.【测量目标】顺序结构框图和判断结构框图的执行求解.【考查方式】对于循环结构的输出问题，一步一步按规律写程序结果. 【参考答案】9【试题解析】由程序框图可知：第一次:1,0,1,1,23a s n s s a a a ====+==+=,满足判断条件3?n <; 第二次2,4,5n a a ===,满足判断条件3?n <第三次:3,9,7n s a ===,此时不满足判断条件3?n <，故终止运行，输出s 的值. 综上，输出的s 值为9.17．传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上画点或用小石子表示数. 他们研究过如图所示的三角形数：将三角形数1，3，6，10，记为数列{}n a ，将可被5整除的三角形数按从小到大的顺序组成一个新数列{}n b . 可以推测：（Ⅰ）2012b 是数列{}n a中的第________项； （Ⅱ）21k b -________.（用k 表示） 【测量目标】数学归纳法.【考查方式】本题考查归纳推理，猜想的能力.【参考答案】（Ⅰ）5030；（Ⅱ）()5512k k - 【试题解析】易知(1)2n n n a +=，写出数列{}n a 的若干项依次为：1,3,6,10,15,21,28,36,45,55,66,78,91,105,120,136,153,171,190,210，…,发现其中能被5整除的为10,15,45,55,105,120,190,210，故142510,15b a b a ====. 同理，39410514615719820,,,,,b a b a b a b a b a b a ======.从而由上述规律可猜想：()255512k k k k b a +==，()()()21515151155122k k k k k k b a ----+-===（k 为正整数）.第17题图106 3 1 ···故201221006510065030b b a a ⨯⨯===,即2012b 是数列{}n a 中的第5030项.三、解答题：本大题共5小题，共65分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 18．（本小题满分12分）设函数22()sin cos cos ()f x x x x x x ωωωλ=+-+∈R ,的图象关于直线πx =对称，其中,πω为常数，且1(,1)2ω∈（Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期；（Ⅱ）若()y f x =的图象经过点π(,0)4，求函数()f x 的值域.【测量目标】三角函数的图象的周期性，值域，诱导公式的应用. 【考查方式】给出函数，利用三角函数的性质求最小值和周期.【试题解析】解：（Ⅰ）因为22()sin cos cos f x x x x x ωωωωλ=-++π=2sin(2)+6x ωλ-.由直线πx =是()y f x =图象的一条对称轴，可得πsin(2)16x ω-=±， 所以ππ2ππ()62k k ω-=+∈Z ，即1()23k k ω=+∈Z ． 又1(,1)2ω∈，k ∈Z ，所以1k =，故56ω=.所以()f x 的最小正周期是6π5. （Ⅱ）由()y f x =的图象过点π(,0)4，得π()04f =，即5πππ2sin()2sin 6264λ=-⨯-=-=，即λ=故5π()2sin()36f x x =-()f x的值域为[22---.19．（本小题满分12分）某个实心零部件的形状是如图所示的几何体，其下部是底面均是正方形，侧面是全等的等腰梯形的四棱台1111A B C D ABCD -11B D ⊥，上部是一个底面与四棱台的上底面重合，侧面是全等的矩形的四棱柱.2222ABCD A B C D -（Ⅰ）证明：直线11B D ⊥平面22ACC A ；（Ⅱ）现需要对该零部件表面进行防腐处理. 已知10AB =，2220,A B =230AA =，113AA =（单位：厘米），每平方厘米的加工处理费为0.20元，需加工处理费多少A 2B 2C 2D 2CB A DA 1B 1C 1D 1第19题图元？【测量目标】线面垂直，空间几何体的表面积；考查空间想象，运算求解以及转化与划归的能力.【考查方式】通过线线垂直证明面面垂直，并用公式求体积【试题解析】解：（Ⅰ）因为四棱柱2222ABCD A B C D -的侧面是全等的矩形，所以2AA AB ⊥，2AA AD ⊥. 又因为AB AD A =，所以2AA 平面ABCD.连接BD ，因为BD ⊂平面ABCD ，所以2AA BD ⊥. 因为底面ABCD 是正方形，所以AC BD ⊥ 根据棱台的定义可知，BD 与B1 D1共面.又已知平面ABCD ∥平面1111A B C D ，且平面11BB D D平面ABCD BD =，平面11BB D D 平面111111A B C D B D =，所以B1 D1∥BD. 于是由2AA BD⊥，AC BD⊥，B1 D1∥BD ，可得211AA B D ⊥，.11AC B D ⊥又因为2AA AC A =，所以11B D ⊥平面22ACC A .（Ⅱ）因为四棱柱2222ABCD A B C D -的底面是正方形，侧面是全等的矩形，所以2221222()410410301300(cm )S S S A B AB AA =+=+⋅=+⨯⨯=四棱柱上底面四棱柱侧面.又因为四棱台1111A B C D ABCD -的上、下底面均是正方形，侧面是全等的等腰梯形，所以2211111()42S S S A B AB A B h =+=+⨯+四棱台下底面四棱台侧面等腰梯形的高()221204(101120(cm )2=+⨯+=.于是该实心零部件的表面积为212130*********(cm )S S S =+=+=， 故所需加工处理费为0.20.22420484S =⨯=（元）.20．（本小题满分13分）已知等差数列{}n a 前三项的和为3-，前三项的积为8. （Ⅰ）求等差数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）若2a ，3a ，1a 成等比数列，求数列{}n a 的前n 项和. 【测量目标】本题考查等差数列的通项，求和等.【考查方式】考查分类讨论的数学思想以及运算求解的能力.求等差数列的通项一般利用通项公式()11n a a n d =+-求解；有时需要利用等差数列的定义：1n n a a c --=（c 为常数）或等比数列的定义：1'nn a c a -=（'c 为常数，'0c ≠）来判断该数列是等差数列或等比数列，然后再求解通项；有些数列本身不是等差数列或等比数列，但它含有无数项却是等差数列或等比数列，这时求通项或求和都需要分段讨论.【试题解析】解：（Ⅰ）设等差数列{}n a 的公差为d ，则21a a d =+，312a a d =+，由题意得1111333,()(2)8.a d a a d a d +=-⎧⎨++=⎩解得12,3,a d =⎧⎨=-⎩或14,3.a d =-⎧⎨=⎩所以由等差数列通项公式可得23(1)35n a n n =--=-+，或43(1)37n a n n =-+-=-.故35n a n =-+，或37n a n =-.（Ⅱ）当35n a n =-+时，2a ，3a ，1a 分别为1-，4-，2，不成等比数列；当37n a n =-时，2a ，3a ，1a 分别为1-，2，4-，成等比数列，满足条件.故37,1,2,|||37|37, 3.n n n a n n n -+=⎧=-=⎨-≥⎩记数列{||}n a 的前n 项和为n S .当1n =时，11||4S a ==；当2n =时，212||||5S a a =+=； 当3n ≥时，2(2)[2(37)]311510222n n n n -+-=+=-+.当2n =时，满足此式.综上，24,1,31110, 1.22n n S n n n =⎧⎪=⎨-+>⎪⎩22．（本小题满分14分）设函数()(1)nf x ax x b =-+,1+1()ex y f x n =<，，n 为正整数，a ，b 为常数. 曲线()y f x =在(1,(1))f 处的切线方程为.+1x y =（Ⅰ）求a ，b 的值；（Ⅱ）求函数()f x 的最大值； （Ⅲ）证明：1()ef x n <. 【测量目标】函数导数的几何意义以及单调性的应用，还考查不等式的证明.【考查方式】通过转化与划归，分类讨论的数学思想以及运算求解的能力.导数的几何意义一般用来求曲线的切线方程，导数的应用一般用来求解函数的极值，最值，证明不等式等.【试题解析】解：（Ⅰ）因为(1)f b =，由点(1,)b 在=1x y +上，可得11b +=，即0b =.因为1'()(1)n n f x anxa n x -=-+，所以'(1)f a =-.又因为切线1x y +=的斜率为1-，所以1a -=-，即1a =. 故1a =，0b =.（Ⅱ）由（Ⅰ）知，1()(1)nnn f x x x x x+=-=-，1()(1)()1n nf x n xx n -'=+-+. 令()0f x '=，解得1n x n =+，即'()f x 在(0,)+1n n +(0,)+∞上有唯一零点.在(0,)+1nn +上，()0f x '>，故()f x 单调递增； 而在(+)+1n n ∞，上，()0f x '<，()f x 单调递减. 故()f x 在(0,)+∞上的最大值为1()1(1)nn n n f n n +=++. （Ⅲ）令1()ln 1(0)t t t t ϕ'=-+>，则22111()(0)t t t t t tϕ-'=-=>. 在(0,1)上，()0t ϕ'<，故()t ϕ单调递减； 而在(1,)+∞上()0t ϕ'>，()t ϕ单调递增.故()t ϕ在(0,)+∞上的最小值为(1)0ϕ=.所以()0(1)t t ϕ>>， 即1ln 1(1)t t t>->.令11+t n =，得11ln 1n n n +>+，即11ln()ln e n n n++>， 所以11()1n n n++>，即11(1)e n n n n n +<+. 由（Ⅱ）知，1nx n =+，故所证不等式成立..21．（本小题满分14分）设A 是单位圆221x y +=上的任意一点，l 是过点A 与x 轴垂直的直线，D 是直线l 与x 轴的交点，点M 在直线l 上，且满足DM m DA (M>0,M 1)=≠且. 当点A 在圆上运动时，记点M 的轨迹为曲线C ．（Ⅰ）求曲线C 的方程，判断曲线C 为何种圆锥曲线，并求其焦点坐标；（Ⅱ）过原点斜率为k 的直线交曲线C 于P ，Q 两点，其中P 在第一象限，且它在y轴上的射影为点N ，直线QN 交曲线C 于另一点H .是否存在m ，使得对任意的，K>0都有PQ PH ⊥？若存在，求m 的值；若不存在，请说明理由.【测量目标】本题考查椭圆的标准方程，直线与圆锥曲线的位置关系.【考查方式】考查分类讨论的数学思想以及运算求解的能力.本题是一个椭圆模型，求解标准方程时注意对焦点的位置分类讨论.【试题解析】解：（Ⅰ）如图1，设(,)M x y ，00(,)A x y ，则由DM m DA (m>0,1)=≠且m ，可得0x x =，0y m y =，所以0x x =，. 01y y m=① 因为A 点在单位圆上运动，所以2221(0,1)y x m m m+=>≠且 ②将①式代入②式即得所求曲线C 的方程为.2221(0,1)y x m m m+=>≠且因为(0,1)(1,)m ∈+∞，所以当01m <<时，曲线C 是焦点在x 轴上的椭圆，两焦点坐标分别为(0)，0)； 当1m >时，曲线C 是焦点在y 轴上的椭圆，两焦点坐标分别为(0,-，(0,.（Ⅱ）1(0,1)x ∀∈，设11(,)P x y ，22(,)H x y ，则11(,)Q x y --， 1(0,)N y ，因为P ，H 两点在椭圆C 上，所以222211222222,,m x y m m x y m ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩ 两式相减可得 222221212()()0m x x y y -+-=. ③依题意，由点P 在第一象限可知，点H 也在第一象限，且P ，H 不重合， 故1212()()0x x x x -+≠.于是由③式可得 212121212()()()()y y y y m x x x x -+=--+. ④又Q ，N ，H 三点共线，所以QN QH k k =，即1121122y y y x x x +=+. 于是由④式可得211212121121212()()12()()2PQ PHy y y y y y y m k k x x x x x x x --+⋅=⋅=⋅=---+. 而PQ PH ⊥等价于1PQ PHk k ⋅=-，即212m -=-，又0m >，得m ，故存在m 2212y x +=上，对任意的0k >，都有. PQ PH高考理科数学试题及答案（考试时间：120分钟试卷满分：150分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
全国卷Ⅰ2024年高考数学压轴卷理含解析
（全国卷Ⅰ）2024年高考数学压轴卷 理（含解析）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合402x A x x ⎧-⎫=∈≥⎨⎬+⎩⎭Z，1244x B x ⎧⎫=≤≤⎨⎬⎩⎭，则A B =（ ）A ．{}12 x x -≤≤B ．{}1,0,1,2-C ．{}2,1,0,1,2--D ．{}0,1,22．已知a 是实数，i1ia +-是纯虚数，则a 等于（ ） A．B ．1-CD ．13．“0a ≤”是“函数()|(1)|f x ax x =-在区间(0,)+∞内单调递增”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件4．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的右焦点到渐近线的距离等于实轴长，则此双曲线的离心率为（ ）ABCD5．若221m n >>，则（ ） A ．11m n> B ．1122log log m n >C ．()ln 0m n ->D ．1m n -π>6．已知平面对量a ，b，满意(=a ，3=b ，()2⊥-a a b ，则-=a b （ ） A ．2B ．3C ．4D ．67．执行右边的程序框图，输出的2018ln =S ,则m 的值为（ ） A ．2024 B ．2024 C ．2024D ．20248．据统计，连续熬夜48小时诱发心脏病的概率为0055．，连续熬夜72小时诱发心脏病的概率为019．，现有一人已连续熬夜48小时未诱发心脏病，则他还能接着连续熬夜24小时不诱发心脏病的概率为（ ）A ．67B ．335C ．1135D ．019．9．已知一几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A ．163π+ B ．112π+ C ．1123π+ D ．143π+ 10．将()2sin22cos21f x x x =-+的图像向左平移π4个单位，再向下平移1个单位，得到函数()y g x =的图像，则下列关于函数()y g x =的说法错误的是（ ）A ．函数()y g x =的最小正周期是πB ．函数()y g x =的一条对称轴是π8x = C ．函数()y g x =的一个零点是3π8D ．函数()y g x =在区间5π,128π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减11．焦点为F 的抛物线2:8C y x =的准线与x 轴交于点A ，点M 在抛物线C 上，则当MA MF取得最大值时，直线M A 的方程为（ ） A ．2y x =+或2y x =-- B ．2y x =+ C ．22y x =+或22y x =-+D ．22y x =-+12．定义在R 上的函数()f x 满意()()22f x f x +=，且当[]2,4x ∈时，()224,232,34x x x f x x x x⎧-+≤≤⎪=⎨+<≤⎪⎩，()1g x ax =+，对[]12,0x ∀∈-，[]22,1x ∃∈-使得()()21g x f x =，则实数a 的取值范围为（ ）A ．11,,88⎛⎫⎡⎫-∞-+∞ ⎪⎪⎢⎝⎭⎣⎭ B ．11,00,48⎡⎫⎛⎤-⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦C ．(]0,8D ．11,,48⎛⎤-∞-+∞ ⎥⎪⎝⎦⎡⎫⎢⎣⎭二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．已知1sin )1lg()(2++-+=x x x x f 若21)(=αf 则=-)(αf 14．在()311nx x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭的绽开式中，各项系数之和为256，则x 项的系数是__________． 15.知变量x ，y 满意条件236y xx y y x ≤+≥≥-⎧⎪⎨⎪⎩，则目标函数223x y z x y-=+的最大值为16．如图，在ABC △中，3sin23ABC ∠=，点D 在线段AC 上，且2AD DC =，433BD =，则ABC △的面积的最大值为__________．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分）已知公差不为零的等差数列{}n a 和等比数列{}n b 满意：113a b ==，24b a =， 且1a ，4a ，13a 成等比数列． （1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式； （2）令nn na cb =，求数列{}n c 的前n 项和n S ． 18．（本小题满分12分）某市实行“中学生诗词大赛”，分初赛和复赛两个阶段进行，规定：初赛成果大于90分的具有复赛资格，某校有800名学生参与了初赛，全部学生的成果均在区间(]30,150内，其频率分布直方图如图．（1）求获得复赛资格的人数；（2）从初赛得分在区间(]110,150的参赛者中，利用分层抽样的方法随机抽取7人参与学校座谈沟通，那么从得分在区间(]110,130与(]130,150各抽取多少人？（3）从（2）抽取的7人中，选出3人参与全市座谈沟通，设X 表示得分在区间(]130,150中参与全市座谈沟通的人数，求X 的分布列及数学期望()E X ．19．（本小题满分12分）如图，底面ABCD 是边长为3的正方形，DE ⊥平面ABCD ，//AF DE ，3DE AF =，BE 与平面ABCD 所成角为60︒．（1）求证：AC ⊥平面BDE ； （2）求二面角F BE D --的余弦值．20．（本小题满分12分）过抛物线22(0)x py p =>的焦点F 的直线与抛物线在第一象限的交点为A ，与抛物线准线的交点为B ，点A 在抛物线准线上的射影为C ，若AF FB =，ABC △的面积为83（1）求抛物线的标准方程；（2）过焦点F 的直线与抛物线交于M ，N 两点，抛物线在M ，N 点处的切线分别为1l ，2l ，且1l 与2l 相交于P 点，1l 与x 轴交于Q 点，求证：2FQ l ∥．21．（本小题满分12分） 设函数()(2ln 1f x x x x =-++． （1）探究函数()f x 的单调性；（2）若0x ≥时，恒有()3f x ax ≤，试求a 的取值范围；请考生在22、23两题中任选一题作答，假如多做，则按所做的第一题记分． 22.(本小题满分10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】在直角坐标系xOy 中，圆C 的一般方程为2246120x y x y +--+=．在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为πsin 4ρθ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭（1）写出圆C 的参数方程和直线l 的直角坐标方程；（2）设直线l 与x 轴和y 轴的交点分别为A ，B ，P 为圆C 上的随意一点，求PA PB ⋅的取值范围．23．（本小题满分10分）【选修4-5：不等式选讲】 设函数()21f x x =-．（1）设()()15f x f x ++<的解集为A ，求集合A ；（2）已知m 为（1）中集合A 中的最大整数，且a b c m ++=（其中a ，b ，c 为正实数），求证：1118a b ca b c---⋅⋅≥．2024全国卷Ⅰ高考压轴卷数学理科答案解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．【答案】B【解析】集合{}{}40241,0,1,2,3,42x A x x x x ⎧-⎫=∈≥=∈-<≤=-⎨⎬+⎩⎭ZZ ，{}14224B x x x x ⎧⎫=≤≤=-≤≤⎨⎬⎩⎭，则{}1,0,1,2AB =-，故选B ．2．【答案】D 【解析】i 1i a +-是纯虚数，i 1+(+1)i=1i 2a a a +--，则要求实部为0，即1a =．故选D ． 3．【答案】C ．【解析】当0a =时，()|(1)|||f x ax x x =-=在区间(0,)+∞上单调递增；当0a <时，结合函数2()|(1)|||f x ax x ax x =-=-的图像知函数在(0,)+∞上单调递增，如图1-7(a)所示；当0a >时，结合函数2()|(1)|||f x ax x ax x =-=-的图像知函数在(0,)+∞上先增后减再增，不符合条件，如图1-7(b)所示.所以要使函数()|(1)|f x ax x =-在(0,)+∞上单调递增，只需0a ≥，即“0a ≥”是“函数()|(1)|f x ax x =-在区间(0,)+∞内单调递增”的充要条件.故选C.4．【答案】C【解析】由题意可设双曲线C 的右焦点(),0F c ，渐进线的方程为by x a=±，可得2d b a ===，可得c =，可得离心率ce a=C ．5．【答案】D【解析】因为221m n >>，所以由指数函数的单调性可得0m n >>， 因为0m n >>，所以可解除选项A ，B ；32m =，1n =时，可解除选项C ， 由指数函数的性质可推断1m n -π>正确，故选D ． 6．【答案】B【解析】由题意可得：2=a ，且：()20⋅-=a a b ，即220-⋅=a a b ，420-⋅=a b ，2⋅=a b ，由平面对量模的计算公式可得：3-=a b ．故选B ．7．【答案】B【解析】第一次循环，2,2ln ==i S 其次次循环，3,3ln ln 2ln 12ln 3232==+=+=⎰i x dx xS 第三次循环，4,4ln ln 2ln 13ln 4343==+=+=⎰i x dx xS 第四次循环，5,5ln ln 4ln 14ln 5454==+=+=⎰i x dx xS ……推理可得m=2024，故选B ．8．【答案】A【解析】设事务A 为48h 发病，事务B 为72h 发病，由题意可知：()0055P A =．，()019P B =．，则()0945P A =．，()081P B =．， 由条件概率公式可得：()()()()()0816|09457P AB P B P B A P A P A ====．．．故选A ． 9．【答案】C【解析】视察三视图可知，几何体是一个圆锥的14与三棱锥的组合体，其中圆锥的底面半径为1，高为1．三棱锥的底面是两直角边分别为1，2的直角三角形，高为1．则几何体的体积21111π1π111213432123V =⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯=+．故本题答案选C ．10．【答案】D【解析】由题意可知：()2sin22cos212sin 4π21f x x x x ⎛⎫=-+=-+ ⎪⎝⎭，图像向左平移π4个单位，再向下平移1个单位的函数解析式为： ()ππ2sin 2112sin 244π4g x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+-+-=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦．则函数()g x 的最小正周期为2ππ2T ==，A 选项说法正确； 当π8x =时，22ππ4x +=，函数()y g x =的一条对称轴是π8x =，B 选项说法正确； 当3π8x =时，2π4πx +=，函数()y g x =的一个零点是3π8，C 选项说法正确； 若5π,128πx ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则5π3π2,4122πx ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，函数()y g x =在区间5π,128π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上不单调，D 选项说法错误；故选D ． 11．【答案】A 【解析】过M 作MP 与准线垂直，垂足为P ，则11cos cos MA MA MFMPAMP MAF ===∠∠，则当MA MF取得最大值时，M AF ∠必需取得最大值，此时直线AM 与抛物线相切，可设切线方程为()2y k x =+与28y x =联立，消去y 得28160ky y k -+=，所以264640k ∆=-=，得1k =±．则直线方程为2y x =+或2y x =--．故本题答案选A ．12．【答案】D【解析】因为()f x 在[]2,3上单调递减，在(]3,4上单调递增，所以()f x 在[]2,3上的值域是[]3,4，在(]3,4上的值域是119,32⎛⎤ ⎥⎝⎦，所以函数()f x 在[]2,4上的值域是93,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦，因为()()22f x f x +=，所以()()()112424f x f x f x =+=+， 所以()f x 在[]2,0-上的值域是39,48⎡⎤⎢⎥⎣⎦，当0a >时，()g x 为增函数，()g x 在[]2,1-上的值域为[]21,1a a -++， 所以3214918a a ≥-+≤+⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩，解得18a ≥；当0a <时，()g x 为减函数，()g x 在[]2,1-上的值域为[]1,21a a +-+， 所以3149218a a ≥+⎧⎪≤+⎨-⎪⎪⎪⎩，解得14a ≤-，当0a =时，()g x 为常函数，值域为{}1，不符合题意，综上，a 的范围是11,,48⎛⎤⎡⎫-∞-+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭，故选D ． 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分． 13． 【答案】23【解析】解析：因为1sin )1lg()(2++-+=x x x x f 的定义域为R,关于原点对称，21sin )1lg(1sin )1lg()()(22=+-++++++-+=-+）（x x x x x x f f αα故221)(=+-αf 则=-)(αf 2314．【答案】7【解析】令1x =可得各项系数和：()31112561n⎛+⨯= ⎝，据此可得：7n =，73x x ⎛+ ⎝绽开式的通项公式为：()721732177C C r r rr r r T xx x --+==， 令72102r -=可得：6r =，令72112r -=可得：407r =，不是整数解，据此可得：x 项的系数是67C 7=． 15.3【解析】作出236y x x y y x ≤+≥≥-⎧⎪⎨⎪⎩，表示的可行域，如图变形目标函数，()()()2222223,1,32cos 31x y x y z x yx y θ-⋅-===++-⋅+，其中θ为向量)3,1=-a 与(),x y =b 的夹角，由图可知，()2,0=b 时θ有最小值6π， (),x y =b 在直线y x =上时，θ有最大值56412π+=ππ，即5612θπ≤≤π，5612θπ≤≤π， 目标函数223x y z x y-=+3C ．16．【答案】32 【解析】由3sin2ABC ∠=可得：6cos 2ABC ∠=， 则22sin 2sin cos 22ABC ABC ABC ∠∠∠==． 由32sin2ABC ∠<452ABC ∠<︒，则90ABC ∠<︒，由同角三角函数基本关系可知：1cos 3ABC ∠=． 设AB x =，BC y =，()30,0,0AC z x y z =>>>，在ABD △中由余弦定理可得：()22162cos z x BDA +-∠=，在CBD △中由余弦定理可得：2216cos z y BDC +-∠=由于180BDA BDC ∠+∠=︒，故cos cos BDA BDC ∠=-∠，()222216162z x z y +-+-=22216620z x y +--=．①在ABC △中，由余弦定理可知：()2221233x y xy z +-⨯=，则：2222246339z x y xy =+-，代入①式整理计算可得：2214416339x y xy ++=，由均值不等式的结论可得：4161699xy xy ≥=，故9xy ≤，当且仅当x =y =时等号成立，据此可知ABC △面积的最大值为：()max max 11sin 922S AB BC ABC =⨯⨯⨯∠=⨯= 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分）【答案】（1）()32121n a n n =+-=+，3n n b =；（2）223n nn S +=-． 【解析】（1）设{}n a 的公差为d ，则由已知得21134a a a =，即()()2331233d d +=+，解之得：2d =或0d =（舍），所以()32121n a n n =+-=+； 因为249b a ==，所以{}n b 的公比3q =，所以3n n b =． （2）由（1）可知213n nn c +=， 所以23357213333n n n S +=++++．．．，21572133333n n n S -+=++++．．．，所以12111211112121243323234133333313n n n n n n n n n S --⎛⎫⋅- ⎪+++⎛⎫⎝⎭=++++-=+-=- ⎪⎝⎭-．．．，所以223n n n S +=-．18.（本小题满分12分）【答案】（1）520人；（2）5人，2人；（3）()67E X =．【解析】（1）由题意知[)90,110之间的频率为：()1200.00250.0050.007520.01250.3-⨯++⨯+=，()0.30.01250.0050200.65++⨯=，获得参赛资格的人数为8000.65520⨯=人．（2）在区间(]110,130与(]130,150，0.0125:0.00505:2=，在区间(]110,150的参赛者中，利用分层抽样的方法随机抽取7人，分在区间(]110,130与(]130,150各抽取5人，2人．结果是5人，2人．（3）X 的可能取值为0，1，2，则：()305237C C 20C 7P X ===；()215237C C 41C 7P X ===；()125237C C 12C 7P X ===；故X 的分布列为：()20127777E X =⨯+⨯+⨯=．19．（本小题满分12分）【答案】（1）见解析（2（1）证明：∵DE ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，∴DE AC ⊥，又∵底面ABCD 是正方形，∴AC BD ⊥．∵BD DE D =，∴AC ⊥平面BDE ．（2）解：∵DA ，DC ，DE 两两垂直，∴建立如图所示的空间直角坐标系D xyz -，∵BE 与平面ABCD 所成角为60︒，即60DBE ∠=︒，∴3ED DB=， 由3AD =，可知32BD =36DE =6AF = 则(3,0,0)A ，6)F ，(0,0,36)E ，(3,3,0)B ，(0,3,0)C ， ∴(0,6)BF =-，(3,0,26)EF =-．设平面BEF 的一个法向量为(,,)n x y z =，则0,0,n BF n EF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即360,360,y z x z ⎧-=⎪⎨-=⎪⎩ 令6z =(4,2,6)n =． ∵AC ⊥平面BDE ，∴CA 为平面BDE 的一个法向量，∴(3,3,0)CA =-，∴||13cos ,||||3226n CA n CA n CA ⋅<>===⋅⨯ ∵二面角F BE D --为锐角，∴二面角F BE D --的余弦值为1313． 20.（本小题满分12分） 【答案】（1）24x y =；（2）证明见解析．【解析】（1）因为AF FB =，所以F 到准线的距离即为三角形ABC △的中位线的长，所以2AC p =，依据抛物线的定义AC AF =，所以24AB AC p ==，()()224223BC p p =-，1223832ABC S p =⋅⋅=△ 解得2p =，所以抛物线的标准方程为24x y =．（2）易知直线MN 的斜率存在，设直线:1MN y kx =+，设()11,M x y ，()22,N x y联立24 1x y y kx =+⎧⎪⎨⎪⎩=消去y 得2440x kx --=，得124x x =-， 24x y =，'2x y =，设()11,M x y ，()22,N x y ，111:22l y y xx +=，222:22l y y xx +=，()22212212112121121212442,22,12444p p p x x y y x x x x x x x x y x y x x x x ⎛⎫- ⎪-++⎝⎭===+⋅===---， 得P 点坐标21,12x x P +⎛⎫- ⎪⎝⎭，由111:22l y y xx +=，得1,02x Q ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 12QF k x =-，221141222l x k x x -==⋅=-，所以2QF l k k =，即2PQ l ∥． 21.（本小题满分12分）【答案】（1）增函数；（2）1,6⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭；（3）见解析． 【解析】（1）函数()f x 的定义域为R ．由()'10f x =≥，知()f x 是实数集R 上的增函数．（2）令()()(33ln g x f x ax x x ax =-=--，则()2131'ax g x --，令())2131h x ax =--，则()()23169169'x a ax a x ax h x ⎡⎤----==．（i ）当16a ≥时，()'0h x ≤，从而()h x 是[)0,+∞上的减函数， 留意到()00h =，则0x ≥时，()0h x ≤，所以()'0g x ≤，进而()g x 是[)0,+∞上的减函数，留意到()00g =，则0x ≥时，()0g x ≤时，即()3f x ax ≤．（ii ）当106a <<时，在⎡⎢⎣上，总有()'0h x >，从而知，当x ⎡∈⎢⎣⎭时，()3f x ax >； （iii ）当0a ≤时，()'0h x >，同理可知()3f x ax >，综上，所求a 的取值范围是1,6⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭． 请考生在22、23两题中任选一题作答，假如多做，则按所做的第一题记分．22.（本小题满分10分）【答案】（1）2cos 3sin x y θθ+=+⎧⎨⎩=，20x y +-=；（2）44PA PB -⋅≤+ 【解析】（1）圆C 的参数方程为2cos 3sin x y θθ+=+⎧⎨⎩=（θ为参数）． 直线l 的直角坐标方程为20x y +-=．（2）由直线l 的方程20x y +-=可得点()2,0A ，点()0,2B ． 设点(),P x y ，则()()222,,2222412PA PB x y x y x y x y x y ⋅=--⋅--=+--=+-．由（1）知2cos 3sin x y θθ+=+⎧⎨⎩=，则()4sin 2cos 44PA PB θθθϕ⋅=++=++．因为θ∈R ，所以44PA PB -≤⋅≤+23．（本小题满分10分）【答案】（1）55|44A x x ⎧⎫=-<<⎨⎬⎩⎭；（2）见解析．【解析】（1）()()15f x f x ++<即21215x x -++<， 当12x <-时，不等式化为12215x x ---<，∴5142x -<<-； 当1122x -≤≤时，不等式化为12215x x -++<，不等式恒成立； 当12x >时，不等式化为21215x x -++<，∴1524x <<． 综上，集合55|44A x x ⎧⎫=-<<⎨⎬⎩⎭．（2）由（1）知1m =，则1a b c ++=．则1a b c a a -+=1b b -≥1c c -≥则1118a b c a b c ---⋅⋅≥=，即8M ≥．。
2020届高考数学压轴必刷题 专题07不等式(文理合卷)(含答案)
2020届高考数学压轴必刷题专题07不等式(文理合卷)1．【2019年北京理科08】数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线C：x2+y2＝1+|x|y就是其中之一（如图）．给出下列三个结论：①曲线C恰好经过6个整点（即横、纵坐标均为整数的点）；②曲线C上任意一点到原点的距离都不超过；③曲线C所围成的“心形”区域的面积小于3．其中，所有正确结论的序号是（）A．①B．②C．①②D．①②③【解答】解：将x换成﹣x方程不变，所以图形关于y轴对称，当x＝0时，代入得y2＝1，∴y＝±1，即曲线经过（0，1），（0，﹣1）；当x＞0时，方程变为y2﹣xy+x2﹣1＝0，所以△＝x2﹣4（x2﹣1）≥0，解得x∈（0，]，所以x只能取整数1，当x＝1时，y2﹣y＝0，解得y＝0或y＝1，即曲线经过（1，0），（1，1），根据对称性可得曲线还经过（﹣1，0），（﹣1，1），故曲线一共经过6个整点，故①正确．当x＞0时，由x2+y2＝1+xy得x2+y2﹣1＝xy，（当x＝y时取等），∴x2+y2≤2，∴，即曲线C上y轴右边的点到原点的距离不超过，根据对称性可得：曲线C上任意一点到原点的距离都不超过；故②正确．在x轴上图形面积大于矩形面积＝1×2＝2，x轴下方的面积大于等腰直角三角形的面积1，因此曲线C所围成的“心形”区域的面积大于2+1＝3，故③错误．故选：C．2．【2016年浙江理科08】已知实数a，b，c．（）A．若|a2+b+c|+|a+b2+c|≤1，则a2+b2+c2＜100B．若|a2+b+c|+|a2+b﹣c|≤1，则a2+b2+c2＜100C．若|a+b+c2|+|a+b﹣c2|≤1，则a2+b2+c2＜100D．若|a2+b+c|+|a+b2﹣c|≤1，则a2+b2+c2＜100【解答】解：A．设a＝b＝10，c＝﹣110，则|a2+b+c|+|a+b2+c|＝0≤1，a2+b2+c2＞100；B．设a＝10，b＝﹣100，c＝0，则|a2+b+c|+|a2+b﹣c|＝0≤1，a2+b2+c2＞100；C．设a＝100，b＝﹣100，c＝0，则|a+b+c2|+|a+b﹣c2|＝0≤1，a2+b2+c2＞100；故选：D．3．【2014年浙江理科10】设函数f1（x）＝x2，f2（x）＝2（x﹣x2），，，i＝0，1，2，…，99．记I k＝|f k（a1）﹣f k（a0）|+|f k（a2）﹣f k（a1）丨+…+|f k（a99）﹣f k（a98）|，k＝1，2，3，则（）A．I1＜I2＜I3B．I2＜I1＜I3C．I1＜I3＜I2D．I3＜I2＜I1【解答】解：由，故1，由，故1，，故I2＜I1＜I3，故选：B．4．【2013年北京理科08】设关于x，y的不等式组表示的平面区域内存在点P（x0，y0），满足x0﹣2y0＝2，求得m的取值范围是（）A．B．C．D．【解答】解：先根据约束条件画出可行域，要使可行域存在，必有m＜﹣2m+1，要求可行域包含直线y x﹣1上的点，只要边界点（﹣m，1﹣2m）在直线y x﹣1的上方，且（﹣m，m）在直线y x﹣1的下方，故得不等式组，解之得：m．故选：C．5．【2012年浙江理科09】设a＞0，b＞0，下列命题中正确的是（）A．若2a+2a＝2b+3b，则a＞b B．若2a+2a＝2b+3b，则a＜bC．若2a﹣2a＝2b﹣3b，则a＞b D．若2a﹣2a＝2b﹣3b，则a＜b【解答】解：∵a≤b时，2a+2a≤2b+2b＜2b+3b，∴若2a+2a＝2b+3b，则a＞b，故A正确，B错误；对于2a﹣2a＝2b﹣3b，若a≥b成立，则必有2a≥2b，故必有2a≥3b，即有a b，而不是a＞b排除C，也不是a＜b，排除D．故选：A．6．【2010年北京理科07】设不等式组表示的平面区域为D，若指数函数y＝a x的图象上存在区域D上的点，则a的取值范围是（）A．（1，3] B．[2，3] C．（1，2] D．[3，+∞]【解答】解：作出区域D的图象，联系指数函数y＝a x的图象，由得到点C（2，9），当图象经过区域的边界点C（2，9）时，a可以取到最大值3，而显然只要a大于1，图象必然经过区域内的点．故选：A．7．【2019年天津理科13】设x＞0，y＞0，x+2y＝5，则的最小值为．【解答】解：x＞0，y＞0，x+2y＝5，则2；由基本不等式有：224；当且仅当2时，即：xy＝3，x+2y＝5时，即：或时；等号成立，故的最小值为4；故答案为：48．【2019年北京理科14】李明自主创业，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，价格依次为60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒．为增加销量，李明对这四种水果进行促销：一次购买水果的总价达到120元，顾客就少付x元．每笔订单顾客网上支付成功后，李明会得到支付款的80%．①当x＝10时，顾客一次购买草莓和西瓜各1盒，需要支付元；②在促销活动中，为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则x的最大值为．【解答】解：①当x＝10时，顾客一次购买草莓和西瓜各1盒，可得60+80＝140（元），即有顾客需要支付140﹣10＝130（元）；②在促销活动中，设订单总金额为m元，可得（m﹣x）×80%≥m×70%，即有x，由题意可得m≥120，可得x15，则x的最大值为15元．故答案为：130，159．【2018年江苏13】在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，∠ABC＝120°，∠ABC的平分线交AC于点D，且BD＝1，则4a+c的最小值为．【解答】解：由题意得ac sin120°a sin60°c sin60°，即ac＝a+c，得1，得4a+c＝（4a+c）（）5≥25＝4+5＝9，当且仅当，即c＝2a时，取等号，故答案为：9．10．【2018年天津理科13】已知a，b∈R，且a﹣3b+6＝0，则2a的最小值为．【解答】解：a，b∈R，且a﹣3b+6＝0，可得：3b＝a+6，则2a2，当且仅当2a．即a＝﹣3时取等号．函数的最小值为：．故答案为：．11．【2017年上海11】设a1、a2∈R，且，则|10π﹣a1﹣a2|的最小值等于．【解答】解：根据三角函数的性质，可知sinα1，sin2α2的范围在[﹣1，1]，要使2，∴sinα1＝﹣1，sin2α2＝﹣1．则：，k1∈Z．，即，k2∈Z．那么：α1+α2＝（2k1+k2）π，k1、k2∈Z．∴|10π﹣α1﹣α2|＝|10π（2k1+k2）π|的最小值为．故答案为：．12．【2016年新课标1理科16】某高科技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料．生产一件产品A需要甲材料1.5kg，乙材料1kg，用5个工时；生产一件产品B需要甲材料0.5kg，乙材料0.3kg，用3个工时，生产一件产品A的利润为2100元，生产一件产品B的利润为900元．该企业现有甲材料150kg，乙材料90kg，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A、产品B的利润之和的最大值为216000元．【解答】解：（1）设A、B两种产品分别是x件和y件，获利为z元．由题意，得，z＝2100x+900y．不等式组表示的可行域如图：由题意可得，解得：，A（60，100），目标函数z＝2100x+900y．经过A时，直线的截距最大，目标函数取得最大值：2100×60+900×100＝216000元．故答案为：216000．13．【2015年浙江理科14】若实数x，y满足x2+y2≤1，则|2x+y﹣2|+|6﹣x﹣3y|的最小值是．【解答】解：由x2+y2≤1，可得6﹣x﹣3y＞0，即|6﹣x﹣3y|＝6﹣x﹣3y，如图直线2x+y﹣2＝0将圆x2+y2＝1分成两部分，在直线的上方（含直线），即有2x+y﹣2≥0，即|2x+y﹣2|＝2x+y﹣2，此时|2x+y﹣2|+|6﹣x﹣3y|＝（2x+y﹣2）+（6﹣x﹣3y）＝x﹣2y+4，利用平移可得在A（，）处取得最小值3；在直线的下方（含直线），即有2x+y﹣2≤0，即|2x+y﹣2|＝﹣（2x+y﹣2），此时|2x+y﹣2|+|6﹣x﹣3y|＝﹣（2x+y﹣2）+（6﹣x﹣3y）＝8﹣3x﹣4y，利用平移可得在A（，）处取得最小值3．综上可得，当x，y时，|2x+y﹣2|+|6﹣x﹣3y|的最小值为3．故答案为：3．14．【2013年江苏13】在平面直角坐标系xOy中，设定点A（a，a），P是函数y（x＞0）图象上一动点，若点P，A之间的最短距离为2，则满足条件的实数a的所有值为．【解答】解：设点P，则|P A|，令，∵x＞0，∴t≥2，令g（t）＝t2﹣2at+2a2﹣2＝（t﹣a）2+a2﹣2，①当a≤2时，t＝2时g（t）取得最小值g（2）＝2﹣4a+2a2，解得a＝﹣1；②当a＞2时，g（t）在区间[2，a）上单调递减，在（a，+∞）单调递增，∴t＝a，g（t）取得最小值g（a）＝a2﹣2，∴a2﹣2，解得a．综上可知：a＝﹣1或．故答案为﹣1或．15．【2013年天津理科14】设a+b＝2，b＞0，则当a＝时，取得最小值．【解答】解：∵a+b＝2，b＞0，∴，（a＜2）设f（a），（a＜2），画出此函数的图象，如图所示．利用导数研究其单调性得，当a＜0时，f（a），f′（a），当a＜﹣2时，f′（a）＜0，当﹣2＜a＜0时，f′（a）＞0，故函数在（﹣∞，﹣2）上是减函数，在（﹣2，0）上是增函数，∴当a＝﹣2时，取得最小值．同样地，当0＜a＜2时，得到当a时，取得最小值．综合，则当a＝﹣2时，取得最小值．故答案为：﹣2．16．【2012年浙江理科17】设a∈R，若x＞0时均有[（a﹣1）x﹣1]（x2﹣ax﹣1）≥0，则a＝．【解答】解：（1）a＝1时，代入题中不等式明显不成立．（2）a≠1，构造函数y1＝（a﹣1）x﹣1，y2＝x 2﹣ax﹣1，它们都过定点P（0，﹣1）．考查函数y1＝（a﹣1）x﹣1：令y＝0，得M（，0），∴a＞1；考查函数y2＝x2﹣ax﹣1，∵x＞0时均有[（a﹣1）x﹣1]（x2﹣ax﹣1）≥0，∴y2＝x2﹣ax﹣1过点M（，0），代入得：，解之得：a，或a＝0（舍去）．故答案为：．17．【2011年浙江理科16】设x，y为实数，若4x2+y2+xy＝1，则2x+y的最大值是．【解答】解：∵4x2+y2+xy＝1∴（2x+y）2﹣3xy＝1令t＝2x+y则y＝t﹣2x∴t2﹣3（t﹣2x）x＝1即6x2﹣3tx+t2﹣1＝0∴△＝9t2﹣24（t2﹣1）＝﹣15t2+24≥0解得∴2x+y的最大值是故答案为18．【2010年江苏12】设实数x，y满足3≤xy2≤8，49，则的最大值是．【解答】解：因为实数x，y满足3≤xy2≤8，49，则有：，，再根据，即当且仅当x＝3，y＝1取得等号，即有的最大值是27．故答案为：27．1．【2019年新课标3文科11】记不等式组表示的平面区域为D．命题p：∃（x，y）∈D，2x+y ≥9；命题q：∀（x，y）∈D，2x+y≤12．下面给出了四个命题①p∨q②￢p∨q③p∧￢q④￢p∧￢q这四个命题中，所有真命题的编号是（）A．①③B．①②C．②③D．③④【解答】解：作出等式组的平面区域为D．在图形可行域范围内可知：命题p：∃（x，y）∈D，2x+y≥9；是真命题，则￢p假命题；命题q：∀（x，y）∈D，2x+y≤12．是假命题，则￢q真命题；所以：由或且非逻辑连词连接的命题判断真假有：①p∨q真；②￢p∨q假；③p∧￢q真；④￢p∧￢q假；故答案①③真，正确．故选：A．2．【2016年北京文科07】已知A（2，5），B（4，1）．若点P（x，y）在线段AB上，则2x﹣y的最大值为（）A．﹣1 B．3 C．7 D．8【解答】解：如图A（2，5），B（4，1）．若点P（x，y）在线段AB上，令z＝2x﹣y，则平行y＝2x﹣z当直线经过B时截距最小，Z取得最大值，可得2x﹣y的最大值为：2×4﹣1＝7．故选：C．3．【2013年新课标2文科12】若存在正数x使2x（x﹣a）＜1成立，则a的取值范围是（）A．（﹣∞，+∞）B．（﹣2，+∞）C．（0，+∞）D．（﹣1，+∞）【解答】解：因为2x（x﹣a）＜1，所以，函数y是增函数，x＞0，所以y＞﹣1，即a＞﹣1，所以a的取值范围是（﹣1，+∞）．故选：D．4．【2011年北京文科07】某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800元．若每批生产x件，则平均仓储时间为天，且每件产品每天的仓储费用为1元．为使平均每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品（）A．60件B．80件C．100件D．120件【解答】解：根据题意，该生产x件产品的生产准备费用与仓储费用之和是这样平均每件的生产准备费用与仓储费用之和为（x为正整数）由基本不等式，得当且仅当时，f（x）取得最小值、可得x＝80时，每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小故选：B．5．【2010年新课标1文科11】已知▱ABCD的三个顶点为A（﹣1，2），B（3，4），C（4，﹣2），点（x，y）在▱ABCD的内部，则z＝2x﹣5y的取值范围是（）A．（﹣14，16）B．（﹣14，20）C．（﹣12，18）D．（﹣12，20）【解答】解：由已知条件得⇒D（0，﹣4），由z＝2x﹣5y得y，平移直线当直线经过点B（3，4）时，最大，即z取最小为﹣14；当直线经过点D（0，﹣4）时，最小，即z取最大为20，又由于点（x，y）在四边形的内部，故z∈（﹣14，20）．如图：故选B．6．【2019年天津文科13】设x＞0，y＞0，x+2y＝4，则的最小值为．【解答】解：x＞0，y＞0，x+2y＝4，则2；x＞0，y＞0，x+2y＝4，由基本不等式有：4＝x+2y≥2，∴0＜xy≤2，，故：22；（当且仅当x＝2y＝2时，即：x＝2，y＝1时，等号成立），故的最小值为；故答案为：．7．【2019年北京文科14】李明自主创业，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，价格依次为60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒．为增加销量，李明对这四种水果进行促销：一次购买水果的总价达到120元，顾客就少付x元．每笔订单顾客网上支付成功后，李明会得到支付款的80%．①当x＝10时，顾客一次购买草莓和西瓜各1盒，需要支付元；②在促销活动中，为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则x的最大值为．【解答】解：①当x＝10时，顾客一次购买草莓和西瓜各1盒，可得60+80＝140（元），即有顾客需要支付140﹣10＝130（元）；②在促销活动中，设订单总金额为m元，可得（m﹣x）×80%≥m×70%，即有x，由题意可得m≥120，可得x15，则x的最大值为15元．故答案为：130，158．【2018年天津文科13】已知a，b∈R，且a﹣3b+6＝0，则2a的最小值为．【解答】解：a，b∈R，且a﹣3b+6＝0，可得：3b＝a+6，则2a2，当且仅当2a．即a＝﹣3时取等号．函数的最小值为：．故答案为：．9．【2017年北京文科14】某学习小组由学生和教师组成，人员构成同时满足以下三个条件：（i）男学生人数多于女学生人数；（ii）女学生人数多于教师人数；（iii）教师人数的两倍多于男学生人数．①若教师人数为4，则女学生人数的最大值为．②该小组人数的最小值为．【解答】解：①设男学生女学生分别为x，y人，若教师人数为4，则，即4＜y＜x＜8，即x的最大值为7，y的最大值为6，即女学生人数的最大值为6．②设男学生女学生分别为x，y人，教师人数为z，则，即z＜y＜x＜2z即z最小为3才能满足条件，此时x最小为5，y最小为4，即该小组人数的最小值为12，故答案为：6，1210．【2017年天津文科13】若a，b∈R，ab＞0，则的最小值为．【解答】解：【解法一】a，b∈R，ab＞0，∴＝4ab24，当且仅当，即，即a，b或a，b时取“＝”；∴上式的最小值为4．【解法二】a，b∈R，ab＞0，∴44，当且仅当，即，即a，b或a，b时取“＝”；∴上式的最小值为4．故答案为：4．11．【2016年新课标1文科16】某高科技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料．生产一件产品A需要甲材料1.5kg，乙材料1kg，用5个工时；生产一件产品B需要甲材料0.5kg，乙材料0.3kg，用3个工时，生产一件产品A的利润为2100元，生产一件产品B的利润为900元．该企业现有甲材料150kg，乙材料90kg，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A、产品B的利润之和的最大值为元．【解答】解：（1）设A、B两种产品分别是x件和y件，获利为z元．由题意，得，z＝2100x+900y．不等式组表示的可行域如图：由题意可得，解得：，A（60，100），目标函数z＝2100x+900y．经过A时，直线的截距最大，目标函数取得最大值：2100×60+900×100＝216000元．故答案为：216000．12．【2013年天津文科14】设a+b＝2，b＞0，则的最小值为．【解答】解：∵a+b＝2，∴，∴，∵b＞0，|a|＞0，∴1（当且仅当b2＝4a2时取等号），∴1，故当a＜0时，的最小值为．故答案为：．。
2020高考压轴与数学文化相关的数学考题(解析版)—20届高考压轴题讲义(选填题)
一、方法综述：关注学生数学文化的意识的养成，努力推进数学文化的教育，已经成为当今数学教师与改革的一个重要特征，在新课改的数学命题中，数学文化已经得到足够的重视，但并没由得到应有的落实，造成数学文化教学的缺失的根本原因在于教师自身数学文化素养的缺乏，令人欣喜的是在近几年的高考试题中已经开始有意识的进行尝试和引导，在众多的经典试题中，湖北卷的数学文化题更超凡脱俗和出类拔萃，因此，我们特别策划了此专题，将数学文化与数学知识相结合，选取典型样题深度解读，希望能够给予广大师生的复习备考以专业的帮助与指导.二、解答策略：类型一、取材数学游戏游戏可以让数学更加好玩，在游戏中运用数学知识，或蕴含着数学原理的智力游戏可笼统地称为数学游戏，把数学游戏改编为高考试题，既不失数学型，又能增加了考题的趣味性，充分体现了素质教育与大众数学的理念。
例1、五位同学围成一圈依次循环报数，规定：①第一位同学首次报出的数为1，第二位同学首次报出的数也为1，之后每位同学所报出的数都是前两位同学所报出的数之和；②若报出的数是3的倍数，则报该数的同学需拍手一次。
已知甲同学第一个报数，当五位同学依次循环报到第100个数时，甲同学拍手的总次数为。
探究提高：以数学游戏为素材的命制高考题目，创造了既宽松又竞争的环境，拉近了考生与数学的心理距离，但要注意游戏素材的选择应与考生的实际生活密切相关，便于考生更好地理解游戏。
例如：2012年高考湖北卷第13题“回文数”，考查排列、组合和归纳推理等知识。
本题以此为背景，以简单的游戏为分析计算对象，考查学生的阅读理解能力和合情推理能力。
举一反三：回文数是指从左到右与从右到左读都一样的正整数。
如22，,11,3443,94249等。
显然2位回文数有9个：11,22,33…，99.3位回文数有90个：101,111,121，…，191,202，…，999。
则（Ⅰ）4位回文数有______个；（Ⅱ）2n＋1（n∈N+）位回文数有______个。
2021年湖南省高考压轴试卷数学(文)Word版含答案解析(四).doc
由全国各地一线教师精心编制，对近十年全国各地高考试题的全方位精确分析，把握命题规律，找出命题趋势。
全网首发！百位名师呕血专研，只为高考最后一搏！注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号写在答题卡上。
2．考生作答时，选择题、填空题、解答题均须做在答题卡上，在本试卷上答题无效。
考生在答题卡上按答题卡中注意事项的要求答题。
3．考试结束后，将本试题卷和答题卡一并收回。
4．本试题卷共4页，如有缺页，考生须声明，否则后果自负。
湖南省高考压轴试卷数学（文）Word 版含答案解析本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分. 时量：120分钟.第Ⅰ卷（选择题 共45分）一、选择题：本大题共9小题，每小题5分，共计45分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请把正确答案的代号填在答题卡上. 1.复数(1)z i i =-+（i 为虚数单位）的共轭复数是 A ．1i + B ．1i -C ． 1i -+D ．1i --2．下列命题中的假命题是 A. 1,20x x R -∀∈>B. ()2*,10x N x ∀∈->C. ,ln 1x R x ∃∈<D. ,tan 2x R x ∃∈=3．已知随机变量,x y 的值如右表所示，如果x 与y 线性相关 且回归直线方程为9ˆ2y bx，则实数b 的值为 A.12- B. 12 C. 16- D. 164．已知命题:44p x a -<-<，命题:(1)(3)0q x x --<，且q 是p 的充分而不必要条件,则a 的取值范围是A. []1,5-B. [)1,5-C. (]1,5-D.()1,5-5．圆柱形容器内盛有高度为6cm 的水，若放入三个相同的球 （球的半径与圆柱的底面半径相同）后，水恰好淹没最上面 的球（如右图所示），则球的半径是A.67cm B. 2cm C. 3cmD. 4cm6.已知O 是坐标原点，点()2,1A -，若点(),M x y 为平面区域212x y x y +≥⎧⎪≤⎨⎪≤⎩上的一个动点，则OA OM ⋅第15题图的取值范围是A.[]1,0-B.[]1,2-C. []0,1D. []0,2 7．按照如图的程序运行，已知输入x 的值为22log 3+， 则输出y 的值为 A. 7 B. 11C. 12D. 248．如图，1F 、2F 是椭圆1C 与双曲线2C ：2212x y -=的公 共焦点，A 、B 分别是1C 与2C 在第二、四象限的公共点. 若四边形12AF BF 为矩形，则1C 的离心率是A.12 B. 22 C. 32 D. 139．若()f x 是定义在R 上的函数，且对任意实数x ，都有(2)f x +≤()2f x +，(3)f x +≥()3f x +，且(1)2f =，(2)3f =，则(2015)f 的值是 A. 202X B.C. 202XD. 2021第Ⅱ卷（非选择题 共105分）二、填空题:本大题共6小题，每小题5分，共30分. 把答案填在答题卡上的相应横线上.10．以直角坐标系的原点为极点,x 轴的正半轴为极轴,并在两种坐标系中取相同的长度单位.已知圆的极坐标方程为4sin ρθ=，直线的参数方程为3x ty t⎧=⎪⎨=⎪⎩（t 为参数），则圆心到直线的距离是 .11．若(cos )cos 2f x x =，则(sin 75)f = . 12．某校共有学生2000名，各年级男、女生人数如下表．已知在全校学生中随机抽取1名，抽到二年级女生的概率是0.19． 现用分层抽样的方法在全校抽取64名学生，则应在三年级抽取的学生人数为 ．13．已知向量(,8)a x =，(4,)b y =，(,)c x y =(0,0)x y >>，若//a b ，则c 的最小值 为 ．14．已知某几何体的三视图（如下图），其中俯视图和侧视图都是腰长为4的等腰直角三角形，正视图为直角梯形，则此几何体的体积V 的大小为 ．15．两千多年前，古希腊毕达哥拉斯学派的数学家曾经在沙滩上研究数学问题，他们在沙滩上画点或用小石子来表示数，按照点或小石子能排列的形状对第8题图第14题图数进行分类，如下图中的实心点个数1，5，12，22，…， 被称为五角形数，其中第1个五角形数记作11a =，第2个五角形数记作25a =，第3个五角形数记作312a =，第4个五角形数记作422a =，……，若按此规律继续下去，(1) 5a =_________；(2) 若117n a =，则n ．三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．（本小题满分12分）在ABC ∆中，已知3c =1b =，30B =（Ⅰ）求角C 和角A ； （Ⅱ）求ABC ∆的面积S .17．（本小题满分12分）甲、乙、丙三人中要选一人去参加唱歌比赛，于是他们制定了一个规则，规则为：(如图)以O 为起点,再从12345,,,,,A A A A A 这5个点中任取两点分别为终点得到两个向量，记这两个向量的数量积为X ,若0X >就让甲去；若0X =就让乙去；若0X <就是丙去. （Ⅰ）写出数量积X 的所有可能取值； （Ⅱ）求甲、乙、丙三人去参加比赛的概率， 并由求出的概率来说明这个规则公平吗？18．（本小题满分12分）如图，四边形ABCD 为正方形，PD ⊥平面ABCD ，//PD QA ，12QA AB PD ==. （Ⅰ）证明：平面PQC ⊥平面DCQ ； （Ⅱ）求二面角D PQ C --的余弦值.19．（本小题满分13分）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，公差0d ≠，且3550S S +=，1413,,a a a 成等比数列. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）设{}nnb a 是首项为1公比为2 的等比数列，求数列{}n b 前n 项和n T .20．（本小题满分13分）已知椭圆C : 22221(0)x y a b a b+=>>的四个顶点恰好是一边长为2，一内角为60的菱形的四个顶点.(Ⅰ)求椭圆C 的方程；(Ⅱ)若直线y kx =交椭圆C 于,A B 两点，在直线:30l x y +-=上存在点P ,使得PAB ∆为等边三角形,求k 的值.21．（本小题满分13分）已知函数c x b ax x f ++=ln )((c b a ,,是常数)在e x =处的切线方程为0)1(=-+-e ey x e ，且(1)0f =. （Ⅰ）求常数c b a ,,的值；（Ⅱ）若函数)()(2x mf x x g +=(R m ∈)在区间)3,1(内不是单调函数，求实数m 的取值范围.参考答案与评分标准一、选择题（//4595=⨯）二、填空题（//3065=⨯）10 11 12．16； 13．8； 14．403； 15．（1）35；（2）9. 三、解答题：16解： （Ⅰ）∵bcB C =sin sin ⇒3sin 30C ==, ∵b c >,∴C B >, ∴60C =,90A = 或120C =,30A =……………………6分 注：只得一组解给5分.（Ⅱ）当90A =时,23sin 21==A bc S ； 当30A =时, 43sin 21==A bc S ,所以S=23或43……………………………12分注：第2问只算一种情况得第2问的一半分3分.17解： （Ⅰ）12(1,0)(1,1)1OA OA =-= 13(1,0)(0,1)0OA OA =-= 14(1,0)(0,1)0OA OA == 15(1,0)(1,1)1OA OA =-=- 23(1,1)(0,1)1OA OA =--= 24(1,1)(0,1)1OA OA =-=-25(1,1)(1,1)2OA OA =--=- 34(0,1)(0,1)1OA OA =-=- 35(0,1)(1,1)1OA OA =--=- 45(0,1)(1,1)1OA OA =-= …………………………3分X 的所有可能取值为2,1,0,1--…………………………5分（Ⅱ）P （甲去）=310 …………………………7分 P （乙去）= 210 …………………………9分P （丙去）= 510…………………………11分甲乙丙去的概率不相同，所以这个规则不公平…………………………12分18证明： （Ⅰ）∵⊥PD 面ABCD ， ∴CD PD ⊥，又D DP AD AD CD =⊥ ,, 所以⊥CD 面ADPQ ，∴PQ CD ⊥， 在直角梯形ADPQ 中，设a AQ =，则a DP a PQ a DQ 2,2,2===，所以PQ DQ ⊥，又D DQ CD = ,所以⊥PQ 面DCQ ，又⊂PQ 面PQC ， ∴平面PQC ⊥平面DCQ ………………6分 （Ⅱ）由（1）知⊥PQ 面DCQ∴DQC ∠就是二面角C PQ D --的平面角………………9分 在Rt DQC ∆中a CQ a DQ 3,2==，所以=∠DQC cos 36……………12分 19解： （Ⅰ）依题得1121113254355022(3)(12)a d a d a d a a d ⨯⨯⎧+++=⎪⎨⎪+=+⎩………………2分解得132a d =⎧⎨=⎩………………4分 1(1)32(1)21n a a n d n n ∴=+-=+-=+，即21n a n ∴=+……………6分（Ⅱ）1112,2(21)2n n n nn n nb b a n a ---==⋅=+⋅………………7分 0121325272(21)2n n T n -∴=⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅++ ①12312325272(21)2(21)2n n n T n n -=⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+-++ ②…………9分两式相减得：12(12)32(21)212n n n T n --=--⨯++- 1(21)2nn =+- ………………13分20解：(Ⅰ)因为椭圆C :22221(0)x y a b a b+=>>的四个顶点恰好是一边长为2，一内角为60的菱形的四个顶点, 所以3,1a b ==,椭圆C 的方程为2213x y +=……………… 4分 (Ⅱ)设()11,A x y ,则()11,B x y --（i ）当直线AB 的斜率为0时，AB 的垂直平分线就是y 轴，y 轴与直线:30l x y +-=的交点为(0,3)P ,又3,3AO PO ==||||||23AB PA PB ⇒===所以PAB ∆是等边三角形,所以0k =满足条件；………………6 分 (ii)当直线AB 的斜率存在且不为0时，设AB 的方程为y kx =所以2213x y y kx⎧+=⎪⎨⎪=⎩，化简得22(31)3k x += 解得12331x k =+所以222233313131k AO k k k +=+=++ 8分 又AB 的中垂线为1y x k=-，它l 的交点记为00(,)P x y 由301x y y x k +-=⎧⎪⎨=-⎪⎩解得003131k x k y k ⎧=⎪⎪-⎨-⎪=⎪-⎩则2299(1)k PO k +=-……………… 10分 因为PAB ∆为等边三角形， 所以应有3PO AO ==，解得0k =（舍），1k =- 综上可知，0k = 或1k =- ……………… 13分21解： （Ⅰ）由题设知，)(x f 的定义域为),0(+∞,xba x f +=)(', 因为)(x f 在e x =处的切线方程为0)1(=-+-e ey x e ， 所以'1()e f e e -=-,且()2f e e =-，即1b e a e e-+=-,且2ae b c e ++=-, 又0)1(=+=c a f ，解得1-=a ，1=b ，1=c ………………5分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知)0(1ln )(>++-=x x x x f因此，22()()ln (0)g x x mf x x mx m x m x =+=-++> 所以)0)(2(12)(2'>+-=+-=x m mx x xx m m x x g ………………7分 令2()2(0)d x x mx m x =-+>.（ⅰ）当函数)(x g 在)3,1(内有一个极值时，0)('=x g 在)3,1(内有且仅有一个根，即02)(2=+-=m mx x x d 在)3,1(内有且仅有一个根，又因为(1)20d =>，当0)3(=d ，即9=m 时，02)(2=+-=m mx x x d 在)3,1(内有且仅有一个根32x =，当0)3(≠d 时，应有0)3(<d ，即03322<+-⨯m m ，解得9>m ，所以有9m ≥.（ⅱ）当函数)(x g 在)3,1(内有两个极值时，0)('=x g 在)3,1(内有两个根，即二次函数02)(2=+-=m mx x x d 在)3,1(内有两个不等根，所以22420(1)20(3)2330134m m d m m d m m m ⎧∆=-⨯⨯>⎪=-+>⎪⎪⎨=⨯-+>⎪⎪<<⎪⎩，解得98<<m .综上，实数m 的取值范围是),8(+∞ ………………13分。
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专题7.1 与数学文化相关的数学考题一、方法综述：关注学生数学文化的意识的养成，努力推进数学文化的教育，已经成为当今数学教师与改革的一个重要特征，在新课改的数学命题中，数学文化已经得到足够的重视，但并没由得到应有的落实，造成数学文化教学的缺失的根本原因在于教师自身数学文化素养的缺乏，令人欣喜的是在近几年的高考试题中已经开始有意识的进行尝试和引导，在众多的经典试题中，湖北卷的数学文化题更超凡脱俗和出类拔萃，因此，我们特别策划了此专题，将数学文化与数学知识相结合，选取典型样题深度解读，希望能够给予广大师生的复习备考以专业的帮助与指导.二、解答策略：类型一、取材数学游戏游戏可以让数学更加好玩，在游戏中运用数学知识，或蕴含着数学原理的智力游戏可笼统地称为数学游戏，把数学游戏改编为高考试题，既不失数学型，又能增加了考题的趣味性，充分体现了素质教育与大众数学的理念。
例1、五位同学围成一圈依次循环报数，规定：①第一位同学首次报出的数为1，第二位同学首次报出的数也为1，之后每位同学所报出的数都是前两位同学所报出的数之和；②若报出的数是3的倍数，则报该数的同学需拍手一次。
已知甲同学第一个报数，当五位同学依次循环报到第100个数时，甲同学拍手的总次数为。
探究提高：以数学游戏为素材的命制高考题目，创造了既宽松又竞争的环境，拉近了考生与数学的心理距离，但要注意游戏素材的选择应与考生的实际生活密切相关，便于考生更好地理解游戏。
例如：2012年高考湖北卷第13题“回文数”，考查排列、组合和归纳推理等知识。
本题以此为背景，以简单的游戏为分析计算对象，考查学生的阅读理解能力和合情推理能力。
举一反三：回文数是指从左到右与从右到左读都一样的正整数。
如22，,11,3443,94249等。
显然2位回文数有9个：11,22,33…，99.3位回文数有90个：101,111,121，…，191,202，…，999。
则（Ⅰ）4位回文数有______个；（Ⅱ）2n＋1（n∈N+）位回文数有______个。
()21n n ++∈N 位回文数与()22n n ++∈N 位回文数个数相等，均为910n ⨯个.类型二、取材数学名著如数学家的传记、数学演讲报告、数学讲义等，这些都是命制考题好的素材，从中选取一段有关的数学素材，突出索要考查的数学知识，在引导中学数学教学知能并重的同时，有意识地培养学生的数学素养。
例2、【2018百校联盟联考】我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有金箠，长五尺，斩本一尺，重四斤，斩末一尺，重二斤，问次一尺各重几何？”意思是：“现有一根金杖，长5尺，一头粗，一头细，在粗的一端截下1尺，重4斤；在细的一端截下1尺，重2斤；问依次每一尺各重多少斤？”设该金杖由粗到细是均匀变化的，其重量为M ，现将该金杖截成长度相等的10段，记第i 段的重量为()1,2,,10i a i =L ，且1210a a a <<<L ，若485i a M =，则i =（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7探究提高：本题主要考查阅读能力、等差数列的通项公式、等差数列的前n 项和公式以及转化与划归思想，属于中档题.等差数列基本量的运算是等差数列的一类基本题型，数列中的五个基本量1,,,,,n n a d n a S ，一般可以“知二求三”，通过列方程组所求问题可以迎刃而解，解决此类问题的关键是熟练掌握等差数列的有关性质和公式，并灵活应用，在运算过程中，还应善于运用整体代换思想简化运算过程.举一反三：【2017届江西省赣州市高三上学期期末考试】中国古代数学著作《算法统综》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初步健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔仔细算相还”.其大意为：“有一个走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地”.则该人第五天走的路程为（ ）A. 48里B. 24里C. 12里D. 6里【答案】C类型三、取材数学名题数学名题具有非凡的魅力，它常常蕴涵深刻的数学内容、经典的数学方法或与一些数学大师相关联，数学名题能持续地是命制试题的重点取材之一。
例3、在我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》(1261年)一书中，用如图1所示的三角形，解释二项和的乘方规律.在欧洲直到1623年以后，法国数学家布莱士·帕斯卡的著作(1655年)介绍了这个三角形.近年来国外也逐渐承认这项成果属于中国，所以有些书上称这是“中国三角形”(Chinese triangle)如图1，17世纪德国数学家莱布尼茨发现了“莱布尼茨三角形”如图2.在杨辉三角中相邻两行满足关系式：C r n ＋C r ＋1n ＝C r ＋1n ＋1，其中n 是行数，r ∈N .请类比上式，在莱布尼茨三角形中相邻两行满足的关系式是________.图1图2解析 类比观察得，将莱布尼茨三角形的每一行都能提出倍数1C 1n ＋1，而相邻两项之和是上一行的两者相拱之数，故类比式子C r n ＋C r ＋1n ＝C r ＋1n ＋1，有1C 1n ＋1C r n ＝1C 1n ＋2C r n ＋1＋1C 1n ＋2C r ＋1n ＋1.答案1C1n＋2C r n＋1＋1C1n＋2C r＋1n＋1＝1C1n＋1C r n探究提高：《九章算术》大约成书于公元1世纪，是中国古代最著名的传世数学著作，它的出现标志着中国古代数学形成了完成的体系，本题取材《九章算术》与著名的17世纪德国数学家莱布尼茨发现了“莱布尼茨三角形”相结合考查了组合数的运算，很好的把中国古代数学名著和欧洲数学有解的结合在一起，进行和合理命题。
举一反三：【2017届河南省安阳市高三第一次模拟考试数学】三国时代吴国数学家赵爽所注《周髀算经》中给出了勾股定理的绝妙证明．下面是赵爽的弦图及注文，弦图是一个以勾股形之弦为边的正方形，其面积称为弦实．图中包含四个全等的勾股形及一个小正方形，分别涂成红（朱）色及黄色，其面积称为朱实、黄实，利用勾股股勾朱实黄实弦实，化简，得勾股弦．设勾股形中勾股比为，若向弦图内随机抛掷1000颗图钉（大小忽略不计），则落在黄色图形内的图钉数大约为（）A. 866B. 500C. 300D. 134【答案】D类型四、取材数学推理数学猜想是推动数学发展的强大动力之一，是数学发展中最活跃、最主动、最积极的因素，也是人类理性中最富有创造性的部分，数学猜想一旦被证明，就将转化为定理，从而丰富数学理论，即使被否定或不能被证实，也常常能给数学带来不可预期的成果，数学猜想是命制考题的好素材，它包含丰富的数学知识和思想方法。
例4、古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种性状来研究数，例如：他们研究过图1中的1，3，6，10，…，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数;类似地，称图2中的1，4，9，16…这样的数成为正方形数。
下列数中及时三角形数又是正方形数的是A.289B.1024C.1225D.1378【答案】C探究提高：合情推理主要包括归纳推理和类比推理。
数学研究中，在得到一个新结论前，合情推理能帮助猜测和发现结论，在证明一个数学结论之前，合情推理常常能为证明提供思路与方向。
合情推理仅是“合乎情理”的推理，它得到的结论不一定正确。
而演绎推理得到的结论一定正确(前提和推理形式都正确的前提下)。
举一反三：我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有金箠，长五尺，斩本一尺，重四斤，斩末一尺，重二斤，问次一尺各重几何？”意思是：“现有一根金杖，长5尺，一头粗，一头细，在粗的一端截下1尺，重4斤；在细的一端截下1尺，重2斤；问依次每一尺各重多少斤？”设该金杖由粗到细是均匀变化的，其重量为M ，现将该金杖截成长度相等的10段，记第i 段的重量为()1,2,,10i a i =L ，且1210a a a <<<L ，若485i a M =，则i =（ ）A. 4B. 5C. 6D. 7【答案】C【解析】由题意知,由细到粗每段的重量成等差数列，记为{}n a ，设公差为d ，则1219101222{ { 42174a a a d a a a d +=+=+=+=，，解得1151,168a d ==，所以该金杖的总重量15109110151628M ⨯=⨯+⨯=，()151485,48175168i a M i ⎡⎤=∴+-⨯=⎢⎥⎣⎦Q ，解得6i =，故选C. 类型五、取材数学图形例5、一幅图胜过一千字，“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休”，图形不仅包含大量信息，而且形象直观，生动绚丽，还能展示数学之美，图形是数学总要的组成部分，高考试题中自然少不了这样的试题，同时能较好的体现数学文化，甚至富有诗意的数学图形。
【2018北京丰台二模】血药浓度（Plasma Concentration ）是指药物吸收后在血浆内的总浓度. 药物在人体内发挥治疗作用时，该药物的血药浓度应介于最低有效浓度和最低中毒浓度之间.已知成人单次服用1单位某药物后，体内血药浓度及相关信息如图所示：根据图中提供的信息，下列关于成人使用该药物的说法中，不正确．．．的个数是 ①首次服用该药物1单位约10分钟后，药物发挥治疗作用②每次服用该药物1单位，两次服药间隔小于2小时，一定会产生药物中毒③每间隔5.5小时服用该药物1单位，可使药物持续发挥治疗作用④首次服用该药物1单位3小时后，再次服用该药物1单位，不会发生药物中毒A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个关键.由图象可得函数先增后减,在t=1时取到极大值,在血液浓度所对应的值超过最低中毒浓度时,会发生药物中毒,因此两次服药的间隔不能太小,需要看是否有两次药效之和超过最低值.举一反三：【2018广东湛江二模】某产品进入商场销售，商场第一年免收管理费，因此第一年该产品定价为每件70元，年销售量为11.8万件，从第二年开始，商场对该产品征收销售额的%x 的管理费（即销售100元要征收x 元），于是该产品定价每件比第一年增加了70%1%x x ⋅-元，预计年销售量减少x 万件，要使第二年商场在该产品经营中收取的管理费不少于14万元，则x 的最大值是（ ）A. 2B. 6C. 8.5D. 10【答案】D类型六、取材数学文化与现代科学：数学文化与现代科学泛指最近一段时间国内外发生的数学方面的大事，被广大媒体和公众共同关注，具有方向性和短暂性和聚焦性等特点，命题专家从一段时事材料中甄选一个角度，简明扼要的交代时事背景，抽象出数学模型，突出索要考查的数学问题，类似于文科综合卷中的时事材料，既能达到一般试题的考查效果，又能融入肥厚的数学文化，平添点滴生活气息。