高等数学课件：函数的连续性

高等数学课件：函数的连续性1.7函数的连续性教学目的:理解函数连续性的概念，会判断函数的连续性。

掌握连续函数的四则运算，知道反函数及复合函数的连续性，掌握初等函数的连续性, 知道间断点的概念及分类，会判断其类型。

教学重点:函数连续性的概念, 连续函数的四则运算，知道反函数及复合函数的连续性. 教学内容:1.6.1函数的连续性1 函数在一点的连续性xUx()xx定义1 设函数在点的某个邻域内有定义，自变量在点处有增量yfx,()000，相应地函数值的增量 ,x,,，,,yfxxfx()() 00xx如果，就称函数fx()在点处连续，称为函数fx()的连续点。

lim0,,y00,,x0x函数fx()在点处连续还可以描述如下。

0xUx()设函数yfx,()在点的某个邻域内有定义，如果，就称函数lim()()fxfx,000xx,0xfx()在点处连续。

0左连续及右连续的概念。

xlim()()fxfx,lim()()fxfx,如果，称函数fx()在点处左连续;如果，称函000,，xx,xx,00x数fx()lim()lim()fxfx,在点处右连续。

由于lim()fx存在的充要条件是，因此，根0,，xx,xxxx,,000xx据函数连续的定义有下述结论:若函数yfx,()在点的某个邻域内有定义，则它在点处00x连续的充分必要条件是在点处左连续且右连续。

02 区间上的连续函数如果函数在开区间上每一点都连续，我们称函数在开区间内连续，如果函数开区间内连续，在区间的左端点右连续，右端点左连续，就称函数在闭区间上连续。

yx,sin(,),,，,例1 证明在内连续。

x,,,,，,x(,)证明，当有增量时，对应的函数值的增量,x,,xx,,,,，,,,，yxxxxsin()sin2sincos ,,22,,,,xx,x,,sin,由于， cos1x，,,,222,,,,,xxx,,所以 02sincos2,,,，,,,yxx,,222,,45xx当时，由夹逼准则得，因此在点处连续，由于的任 ,,y0yx,sin,,x0意性，在内连续。

yx,sin(,),,，,xya,例2 证明()在内连续。

(,),,，,a,0a,1x证明，当有增量时，对应的函数值的增量,,,,，,x(,),xxxxxx，,,,,,,,yaaaa(1)x由于时，，因此 axa,1lnx,0xxx, limlim(1)lim(ln)0,,,,,,yaaaxa000,,,,,,xxxxxya,ya,xx因此，在点处连续，由于的任意性，在内连续。

(,),,，,1.6.2 函数的间断点xxx如果函数yfx,()在一点处不连续，就称函数yfx,()在点处间断，称为函数000x的一个间断点。

而根据函数连续的定义，函数在点处连续必须满足以下三个fx()yfx,()0条件:x(1) 函数点处有定义; fx()02) (存在; lim()fxxx,0(3) 。

lim()()fxfx,0xx,0x因此，如果上述条件有一个不能满足，则就是函数fx()的间断点。

0下面分别给出上述至少有一条不满足时，函数间断的例子。

x情形1 函数fx()点处无定义，存在或不存在 lim()fx0xx,0sinx例3 讨论函数在处的间断情况。

y,x,0xsinxsinxsinx在处无定义，是它的一个间断点。

但lim存在，若将limy,x,0x,0x,0x,0xxx补充为函数在处的函数值，即 x,0sinx, 0x,, y, x,,1 0x,,则函数在处就变成连续的了。

x,0,例4 讨论函数yx,tan在,处的间断情况。

x2,,,,limtanxyx,tan在x处无定义，x是它的一个间断点。

不存在，但,22x,246。

limtanx,,,x,21例5 讨论函数在处的间断情况。

y,sinx,0x1在处无定义，因此，是函数的一个间断点。

时，函数值在与y,sin,1，1x,0x,0x,0x1之间无限次地振荡，因此不存在。

limsinx,0x图1.6.2x情形2 函数点处有定义，但不存在 fx()lim()fx0xx,02,xx 0,,fxx()0 0,,例6 讨论函数的连续情况. ,,1 0 ，,xx,，。

该函数在的左、右极限都存在，但不相等，因此lim()0fx,lim()1fx,x,0,，x,0x,0不存在，是它的一个间断点。

lim()fxx,0x,0x情形3 函数fx()在点处有定义，且存在，但。

lim()fxlim()()fxfx,00xx,xx,001,xxsin 0,,例7 fx(),x,,2 0 x,,1f(0)f(0)该函数在有定义，且x存在(=0)，但不等于。

若将改为其极限limsinx,0x,0x值，即1,xxsin 0,, fx(),x,1,0 0 x,,则函数在处就变成连续的了。

x,0xxyfx,()如果该函数在点的左、右极限都存在，则称是函数的第一类间断点;否则00xyfx,()称是函数的第二类间断点。

在第一类间断点中，若左、右极限相等，则称该间断点0为函数的可去间断点，如，例3和例7中都是函数的可去间断点;若左、右极限不相等，x,0则称该间断点为函数的跳跃间断点，如例6中的间断点是函数的跳跃间断点。

在第二类间断点xyfx,()lim()fx,,中，又有无穷间断点和振荡间断点。

若，称是函数的无穷间断点，0xx,047,1如例4中是的无穷间断点，例5中是的震荡间断点。

,xyx,tany,sinx,02x 有些函数除了一点连续外，其他点处均间断。

例如xx, rational , fx(),,0, irrational x,仅在处连续，其他点均间断。

x,01.6.3 连续函数的运算1 函数和、差、积、商的连续性x定理1.6.1 设函数和在点处连续，则 fx()gx()0fx() g()0x,x，，(当时)都在处连续。

fxgx()(),fxgx()(),00gx()根据连续函数的定义和极限运算法则，立即可以得到证明。

sinxcosxcosx因为与在(,),,，,内均连续，根据定理1.6.1，，在其tanx,cotx,sinxcosxsinx定义域内都连续。

2 反函数的连续性I定理1.6.2 设函数yfx,()在区间上单调增加(或减少)且连续，则它的反函数x,1xfy,()存在并且在相应的区间上单调增加(或减少)且连续。

IyyfxxI,,,{(),}yx3 复合函数的连续性ux,,()x定理1.6.3 如果,()x在处连续，fu()在处连续，则复合函数000 xyfxfx,,()()[()],,在处连续。

0yfu,()ux,,()yfx,[()],对于由连续函数，复合而成的连续函数，有，即极限符号和函数符号f可以交换顺序。

lim[()][lim()][()]fxfxfx,,,,,0xxxx,,00,yx,例8 证明幂函数在时连续。

x,0,u,,lnlnxxye,证明可以看成是由函数与ux,,ln复合而成。

由于x,0yxee,,, uye,ux,,ln时，函数连续，而函数在整个数轴上连续，因此，由复合函数的连续性,yx,定理，函数在时连续。

x,01.6.4 初等函数的连续性基本初等函数在其定义域内是连续的。

一切初等函数在其定义区间(定义域内的区间)内是连续的。

ln(1)x，例9 求。

limx,0x4811ln(1)x，xx解 limlimln(1)lnlim(1)ln1,，,，,,xxe。

,,,xxx000xxe,1lim.例10 求 x,0xxey,,1,解令则当时， y,0.xy,，ln1.x,0，，所以xey,11 limlimlim1.,,,1,,,000xyyxyln1，，，yln1，y，，xa,1limln.,a同理可证 ,0xxx，123x，,,例11 求 lim.,,x,,21x，,,21x，，，21x，x，,1221x，232x，,,,,limlim1,，解 ,,,,xx,,,,2121xx，，,,,,21x，，，21x，，，22,,,,limln1,，,,,,x,,2121xx，，,,,,1ln,e，，,,,eee.lim1,lim,uxvx,,,，，，，例 12 设 xxxx,,00lim1uxvx,，，，，，，，，vx，，xx,0lim.uxe,，，则 xx,0vx,,，，vxvxuxln11，,，，，，，，，，lnux，，，，uxee,,证明，，1ux,1，，，，vxuxux,，,1ln11，，，，，，，，，，，，，，,e.1ux,，，，，lim1ln11vxuxux,，,1，，，，，，，，，，，，vx，，，，xx,0limuxe,，，所以 xx,0lim1uxvx,，，，，，，，，xx,0,e. x,,注时，上述命题也成立。

22cotxlim(13tan)，x例13 求。

,x049,解属于型极限。

由例12 得 122lim(13tan1)cot，,,xx22cot3xx,0 。

lim(13tan)，,,xeex,01fx,例14 讨论函数的连续性，若有间断点，判断其类型。

，，x1,x1,e解的定义域为在其定义区间内连续。

是xx,,0,1fx,,，,,00,11,,fx，，，，，，，，，，的间断点，下面判断其类型。

fx，，1fx,,,limlim. ，，1xx,,00,x1,e1所以是的第二类间断点中的无穷间断点。

x,0fx，，1fx,,limlim0,，，1,,xx,,111,x,e1 11fx,,,limlim1.，，1，，xx,,11,101,x1,e所以是的第一类间断点中的跳跃间断点。

fxx,1，，作业1(求下列极限ln1，ax，，lim(1) x,0xnx，3,,(2) lim,,,,xx，1,,1xsin(3) lim1sin，x，，,x01sin,x(4) lim,cosxx,2334xx，2(8) limx,0ln12，x，，2(指出下列函数在给定点处是否连续,若不连续，指出间断点的类型。

,sinx,0x,,(1) 于处 fx,x,0，，x,,1, 0x,,501,x,ex，,1, 0,(3)于处 fxax,,, 0 x,0，，,,1,1sin 0，,xxx,xa,a3(若在处连续，则也在点连续。

fxfx，，，，2cos, xxc当,,a5(设其中是已知常数。

试选择，使为连续函数。

bc,fxfx,，，，，,2axbxc，,, 当,51。