高等数学课件：函数的连续性

高等数学课件：函数的连续性

1.7函数的连续性

教学目的:理解函数连续性的概念，会判断函数的连续性。掌握连续函数的四则运算，知道反函数及复合函数的连续性，掌握初等函数的连续性, 知道间断点的概念及分类，会判断其类型。

教学重点:函数连续性的概念, 连续函数的四则运算，知道反函数及复合函数的连续性. 教学内容:

1.6.1函数的连续性

1 函数在一点的连续性

xUx()xx定义1 设函数在点的某个邻域内有定义，自变量在点处有增量

yfx,()000

，相应地函数值的增量 ,x

,,，,,yfxxfx()() 00

xx如果，就称函数fx()在点处连续，称为函数fx()的连续点。

lim0,,y00,,x0

x函数fx()在点处连续还可以描述如下。 0

xUx()设函数yfx,()在点的某个邻域内有定义，如果，就称函数

lim()()fxfx,000xx,0

xfx()在点处连续。 0

左连续及右连续的概念。

xlim()()fxfx,lim()()fxfx,如果，称函数fx()在点处左连续;如果，称函000,，xx,xx,00

x数fx()lim()lim()fxfx,在点处右连续。由于lim()fx存在的充要条件是，因此，根0,，xx,xxxx,,000

xx据函数连续的定义有下述结论:若函数yfx,()在点的某个邻域内有定义，则它在点处00

x连续的充分必要条件是在点处左连续且右连续。 0

2 区间上的连续函数

如果函数在开区间上每一点都连续，我们称函数在开区间内连续，如果函数开区间内连续，在区间的左端点右连续，右端点左连续，就称函数在闭区间上连续。

yx,sin(,),,，,例1 证明在内连续。

x,,,,，,x(,)证明，当有增量时，对应的函数值的增量,x

,,xx,,,,，,,,，yxxxxsin()sin2sincos ,,22,,

,,xx,x,,sin,由于， cos1x，,,,222,,

,,,xxx,,所以 02sincos2,,,，,,,yxx,,222,,

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xx当时，由夹逼准则得，因此在点处连续，由于的任 ,,y0yx,sin,,x0

意性，在内连续。 yx,sin(,),,，,

xya,例2 证明()在内连续。 (,),,，,a,0a,1

x证明，当有增量时，对应的函数值的增量,,,,，,x(,),x

xxxxx，,,,,,,,yaaaa(1)

x由于时，，因此 axa,1lnx,0

xxx, limlim(1)lim(ln)0,,,,,,yaaaxa000,,,,,,xxx

xxya,ya,xx因此，在点处连续，由于的任意性，在内连续。 (,),,，,

1.6.2 函数的间断点

xxx如果函数yfx,()在一点处不连续，就称函数yfx,()在点处间断，称为函数000

x的一个间断点。而根据函数连续的定义，函数在点处连续必须满足以下三个fx()yfx,()0条件:

x(1) 函数点处有定义; fx()0

2) (存在; lim()fxxx,0

(3) 。 lim()()fxfx,0xx,0

x因此，如果上述条件有一个不能满足，则就是函数fx()的间断点。 0

下面分别给出上述至少有一条不满足时，函数间断的例子。

x情形1 函数fx()点处无定义，存在或不存在 lim()fx0xx,0

sinx例3 讨论函数在处的间断情况。 y,x,0x

sinxsinxsinx在处无定义，是它的一个间断点。但lim存在，若将

limy,x,0x,0x,0x,0xxx

补充为函数在处的函数值，即 x,0

sinx, 0x,, y, x,

,1 0x,,

则函数在处就变成连续的了。 x,0

,例4 讨论函数yx,tan在,处的间断情况。 x2

,,,,limtanxyx,tan在x处无定义，x是它的一个间断点。不存在，但,22x,2

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。 limtanx,,,x,2

1例5 讨论函数在处的间断情况。 y,sinx,0x

1在处无定义，因此，是函数的一个间断点。时，函数值在与y,sin,1，

1x,0x,0x,0x

1之间无限次地振荡，因此不存在。 limsinx,0x

图1.6.2

x情形2 函数点处有定义，但不存在 fx()lim()fx0xx,0

2,xx 0,

,fxx()0 0,,例6 讨论函数的连续情况. ,

,1 0 ，,xx,

，。该函数在的左、右极限都存在，但不相等，因此

lim()0fx,lim()1fx,x,0,，x,0x,0

不存在，是它的一个间断点。 lim()fxx,0x,0

x情形3 函数fx()在点处有定义，且存在，但。

lim()fxlim()()fxfx,00xx,xx,00

1,xxsin 0,,例7 fx(),x,

,2 0 x,,

1f(0)f(0)该函数在有定义，且x存在(=0)，但不等于。若将改为其极限limsinx,0x,0x值，即

1,xxsin 0,, fx(),x,1

,0 0 x,,则函数在处就变成连续的了。 x,0

xxyfx,()如果该函数在点的左、右极限都存在，则称是函数的第一类间断点;否则00xyfx,()称是函数的第二类间断点。在第一类间断点中，若左、右极限相等，则称该间断点0

为函数的可去间断点，如，例3和例7中都是函数的可去间断点;若左、右极限不相等，x,0则称该间断点为函数的跳跃间断点，如例6中的间断点是函数的跳跃间断点。在第二类间断点