卡尔曼滤波算法(含详细推导)PPT
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卡尔曼滤波器 ppt课件
卡尔曼滤波器的应用
• 卡尔曼滤波器对于解决阿波罗计划的轨 道预测很有用，后来阿波罗飞船的导航 电脑使用了这种滤波器。
• 它的广泛应用已经超过30年，包括导航 ，控制，传感器数据融合甚至在军事方 面的雷达系统以及导弹追踪等等,尤其是 在自动或辅助导航系统。近年来更被应 用于计算机视觉领域，例如人脸识别， 运动物体跟踪等等。
卡尔曼滤波器的思想
• 基本思想：卡尔曼滤波器提供了一种有 效的以最小均方误差来估算系统状态计 算递归方法。若有一组强而合理的假设， 给出系统的历史测量值，则可以建立最 大化这些早前测量值的后验概率的系统 状态模型。并且无需存储很长的早前测 量历史，我们也可以最大化后验概率， 即重复更新系统状态模型，并只为下一 次更新保存模型。这样就大大地简化了 这个方法的计算机实现。
• 最常用的是最小二乘估计，其他如风险准则的 贝叶斯估计、最大似然估计、随机逼近等方法 也都有应用。不管是维纳滤波还是卡尔曼滤波， 这些方法都只适用于线性系统，而且需要对被 估计过程有充分的知识。对于非线性系统或对 动态系统特性不完全了解的复杂估计问题，还 需要深入研究。工程上可用一些近似计算方法 来处理，常见的有基于局部线性化思想的广义 卡尔曼滤波器、贝叶斯或极大后验估值器和可 以根据滤波过程的历史知识自动修改参数的自 适应滤波或预报技术等
卡尔曼滤波器
1
卡尔曼滤波器
精品资料
你怎么称呼老师？ 如果老师最后没有总结一节课的重点的难点，你
是否会认为老师的教学方法需要改进？ 你所经历的课堂，是讲座式还是讨论式？ 教师的教鞭 “不怕太阳晒，也不怕那风雨狂，只怕先生骂我
笨，没有学问无颜见爹娘 ……” “太阳当空照，花儿对我笑，小鸟说早早早……”
• 卡尔曼滤波的实质是由量测值重构系统 的状态向量。它以“预测—实测—修正” 的顺序递推，根据系统的量测值来消除 随机干扰，再现系统的状态，或根据系 统的量测值从被污染的系统中恢复系统 的本来面目。
卡尔曼滤波PPT课件
• k＝1， (2) 0.5000H，(2) 0.500Sˆ(02)， 0.4762 Sˆ(1) 0.4048 X (2)
• k＝2， (3) 0.4048H，(3)
(4)
H (4)
• k＝3， (5) 0.3824H，(5)
• k＝4， (6) 0.3768H，(6)
0.404Sˆ(83) ， 0.4941Sˆ(2) 0.3824 X (3)
其中
，
尔曼滤波器的稳态
和
X(k) C(k)S(k) w(k)
S信(k号) 和A噪(k声)S统(k计独1立) 。w求1卡(k 1)
。
A 0.8 C 1
Q(k
)
2 w1
0.36
R(k) var(w(k)) 1
H(k) ε(k )
第22页/共32页
（5）
ε(k )
ε(k) 0.64ε(k 1) 0.36 H(k) 0.64ε(k 1) 1.36
第19页/共32页
初始条件为Sˆ(1) 0, (0) 1 ，k＝0开始
观测，利用等式（4），（5）进行递推得：
(0)
H (0)
Sˆ (0) X (0)
• k＝0， (1) 1.0000H，（1） 1.000Sˆ(01)， 0.4Sˆ(0) 0.5X (1)
ε(k令) H(K)C(k) ε(k) ε(k，)C(k) τ H(k) τ H(k)[C(k) ε(k)C(k) τ R(k)]H(k) τ
代入上C式(化k简)ε：(k)C(k) τ R(k) SSτ U ε(k)C(k) τ
ε(k ) ε(k) H(K)U τ (6-U68H) (k) τ H(k)SS τ H(k) τ
卡尔曼滤波方法资料课件
采用最小均方误差准则，通过最小化估计误 差的平方和实现状态估计。
线性最小方差估计方法的优 点
适用于线性系统状态估计，计算量较小，易于实现。
线性最小方差估计方法的 缺点
对非线性系统效果不佳，需要先验知识或模 型参数。
04
卡尔曼滤波方法的实现 和应用案例
卡尔曼滤波方法的软件实现
软件平台
可以使用Python、C、Matlab等编程语言实现卡尔曼滤波算法。
卡尔曼滤波方法在控制系统中的应用案例
应用场景
卡尔曼滤波方法在控制系统中主要用于估计系统的状态变量。
案例分析
通过实际控制系统的数据和实验，验证卡尔曼滤波方法在控制系统中的可行性和稳定性。
卡尔曼滤波方法在雷达系统中的应用案例
应用场景
卡尔曼滤波方法在雷达系统中主要用于 目标跟踪和运动参数估计。
VS
案例分析
卡尔曼滤波方法的基本概念和原理
基本概念
卡尔曼滤波方法是一种递归估计方法，通过建立状态方程和观测方程，对系统状态进行最优估计。
原理
卡尔曼滤波方法基于最小均方误差准则，通过不断更新估计值来逼近真实值，具有计算量小、实时性 强的优点。
卡尔曼滤波方法的应用领域
机器人
用于机器人的定位、路径规划、 避障等。
描述系统状态和观测之间的关系。
定义初始状态和误差协方差
02
确定系统初始状态和误差协方差的估计值，为后续的滤波过程
提供初始条件。
选择合适的模型参数
03
根据实际情况选择合适的模型参数，如系统动态参数、观测参
数等，以更好地描述系统特性。
预测步骤
01
根据上一时刻的状态和误差协方 差，预测当前时刻的系统状态和 误差协方差。
线性最小方差估计方法的优 点
适用于线性系统状态估计，计算量较小，易于实现。
线性最小方差估计方法的 缺点
对非线性系统效果不佳，需要先验知识或模 型参数。
04
卡尔曼滤波方法的实现 和应用案例
卡尔曼滤波方法的软件实现
软件平台
可以使用Python、C、Matlab等编程语言实现卡尔曼滤波算法。
卡尔曼滤波方法在控制系统中的应用案例
应用场景
卡尔曼滤波方法在控制系统中主要用于估计系统的状态变量。
案例分析
通过实际控制系统的数据和实验，验证卡尔曼滤波方法在控制系统中的可行性和稳定性。
卡尔曼滤波方法在雷达系统中的应用案例
应用场景
卡尔曼滤波方法在雷达系统中主要用于 目标跟踪和运动参数估计。
VS
案例分析
卡尔曼滤波方法的基本概念和原理
基本概念
卡尔曼滤波方法是一种递归估计方法，通过建立状态方程和观测方程，对系统状态进行最优估计。
原理
卡尔曼滤波方法基于最小均方误差准则，通过不断更新估计值来逼近真实值，具有计算量小、实时性 强的优点。
卡尔曼滤波方法的应用领域
机器人
用于机器人的定位、路径规划、 避障等。
描述系统状态和观测之间的关系。
定义初始状态和误差协方差
02
确定系统初始状态和误差协方差的估计值，为后续的滤波过程
提供初始条件。
选择合适的模型参数
03
根据实际情况选择合适的模型参数，如系统动态参数、观测参
数等，以更好地描述系统特性。
预测步骤
01
根据上一时刻的状态和误差协方 差，预测当前时刻的系统状态和 误差协方差。
卡尔曼滤波方法PPT课件
17
第17页/共28页
联邦滤波器算法
• 信息分配
在进入下一次递推之前，需将主滤波器中的信息 （状态、方差）在各子滤波器中按如下规则进行分配：
N
Xˆ i Xˆ g ,
Pii
P 1
ig
,
Q1
Qi1 Qm1
i 1
其中，Qi m1Q , i , i 1,, N, m 为信息分配系数，m 为
主滤波器的信息分配系数，满足守恒原则
方差估值 Pk k [I Kk Hk ]Pk k1
6
第6页/共28页
3.5 卡尔曼滤波的结构图
上述递推公式，称为卡尔曼滤波器。实际上，卡尔曼 滤波器也是一个系统，其结构框图如下：
Zk + -
+
Kk
+
Z k|k 1
当前估计值
Xˆ k
延时 一步
Hk
k ,k 1
一步预测
上一步估计值
Xˆ k|k 1
第27页/共28页
感谢您的观看！
28
第28页/共28页
Yi f ( i )
24
第24页/共28页
Unscented卡尔曼滤波(续) 变换样本点Yi 即可近似表示 y 的分布。下面利用 Yi 来计算 y 的均值和方差。
3. 计算 y 的均值和方差
p
y Wi(m)Yi
i0
p
Py Wi(c) (Yi y)(Yi y)T i0
其中，
Wi(m)
Wi(c)
得预测测量估计偏差： Z~k|k1 Zk Zˆk|k1 Zk Hk Xˆ k|k1
利用此偏差修正预测估计：
Xˆ k|k Xˆ k k1 Kk [Zk Hk Xˆ k k1]
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联邦滤波器算法
• 信息分配
在进入下一次递推之前，需将主滤波器中的信息 （状态、方差）在各子滤波器中按如下规则进行分配：
N
Xˆ i Xˆ g ,
Pii
P 1
ig
,
Q1
Qi1 Qm1
i 1
其中，Qi m1Q , i , i 1,, N, m 为信息分配系数，m 为
主滤波器的信息分配系数，满足守恒原则
方差估值 Pk k [I Kk Hk ]Pk k1
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3.5 卡尔曼滤波的结构图
上述递推公式，称为卡尔曼滤波器。实际上，卡尔曼 滤波器也是一个系统，其结构框图如下：
Zk + -
+
Kk
+
Z k|k 1
当前估计值
Xˆ k
延时 一步
Hk
k ,k 1
一步预测
上一步估计值
Xˆ k|k 1
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Yi f ( i )
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Unscented卡尔曼滤波(续) 变换样本点Yi 即可近似表示 y 的分布。下面利用 Yi 来计算 y 的均值和方差。
3. 计算 y 的均值和方差
p
y Wi(m)Yi
i0
p
Py Wi(c) (Yi y)(Yi y)T i0
其中，
Wi(m)
Wi(c)
得预测测量估计偏差： Z~k|k1 Zk Zˆk|k1 Zk Hk Xˆ k|k1
利用此偏差修正预测估计：
Xˆ k|k Xˆ k k1 Kk [Zk Hk Xˆ k k1]
卡尔曼滤波器分类及基本公式概要课件
精确地描述系统的非线性特性。
无迹卡尔曼滤波器的计算较为复杂，但具有更高的估计精度和
03
稳定性，适用于一些高精度要求的非线性系统状态估计。
03
卡尔曼滤波器的基本公 式
状态方程
描述系统状态变化的数学表达式。
状态方程是描述系统状态变化的数学表达式，它基于系统的动态模型和当前状态 ，计算未来状态。在卡尔曼滤波器中，状态方程用于预测系统的下一个状态。
详细描述
卡尔曼增益矩阵的计算基于状态向量和误差 协方差矩阵，通过一系列数学运算得到。它 反映了新获取的测量值对状态估计的贡献程 度，以及旧信息的保留程度。在计算过程中 ，通常采用递推或迭代的方式进行计算，以 降低计算复杂度。
更新状态向量和误差协方差矩阵
总结词
在得到卡尔曼增益矩阵后，需要利用它来更 新状态向量和误差协方差矩阵，以完成一次 滤波过程。0203 Nhomakorabea改进
针对不同应用场景和需求，卡尔曼滤 波器不断有新的改进和优化算法出现 。
滤波器的应用领域
航空航天
卡尔曼滤波器在航空航天领域 中用于导航、姿态估计和卫星
轨道计算等。
无人驾驶
卡尔曼滤波器在无人驾驶汽车 中用于传感器数据处理、路径 规划和障碍物检测等。
机器人
卡尔曼滤波器在机器人领域中 用于定位、地图构建和姿态控 制等。
02
扩展卡尔曼滤波器通过将非线性函数进行线性化处 理，将非线性问题转化为线性问题进行解决。
03
扩展卡尔曼滤波器的计算相对复杂，但适用范围较 广，适用于大多数非线性系统的状态估计。
无迹卡尔曼滤波器
01
无迹卡尔曼滤波器是另一种针对非线性系统的改进型卡尔曼滤 波器。
02
无迹卡尔曼滤波器采用无迹变换方法处理非线性函数，能够更
卡尔曼滤波算法ppt课件
初始值x(0)、P(0)
ppt课件.
测量更新（修正） （1）计算加权矩阵(卡尔曼增益)
Kg(k)=P(k|k-1)H’/(HP(k|k-1) H’ +R) （2）对预测值进行修正
x(k|k)=x(k|k-1) + Kg(k) (Z(k)-H X(k|k-1)) （3）更新修正值的协方差
P(k|k)=(I-Kg(k)H)P(k|k-1)
二：状态估计原理简介
状态估计是卡尔曼滤波的重要组成部分。
观测数据
定量判断 随机状态量
估计问题： (可以直接得到)
(很难直接得到)
例如，飞机实时的位置、速度等状态参数需要通过雷达或其它
测量装置进行观测，而雷达等测量装置也存在随机干扰， 因此在观测到飞机的位置、速度等信号中就夹杂着随机干 扰，要想正确地得到飞机的状态参数是不可能的，只能根 据观测到的信号来估计和预测飞机的状态。
卡尔曼将状态变量引入虑波理论，提出了递推滤波算法， 建立了后来被自动控制界称道的“卡尔曼滤波”。
ppt课件.
7
三：卡尔曼滤波引例
卡尔曼滤波：是一种高效率的递归滤波器(自回归滤波器) ,它能够从
一系列完全包含噪声的测量中， 估计动态系统的状态。
➢ 基本思想：采用信号与噪声的状态空间模型，利用前一时
刻的估计值和现时刻的观测值来更新对状态变量的估计，求 出现在时刻的估计值。它适合于实时处理和计算机运算。
各局部最优估计
。
2.将全部局部最优估计送到融合中心进行
全局融合。
3.融合中心按照“信息分配”原则形成 的信息分配量，向雷达与电视进行信息 反馈。
ppt课件.
பைடு நூலகம்
滤波结构框图
29
ppt课件.
测量更新（修正） （1）计算加权矩阵(卡尔曼增益)
Kg(k)=P(k|k-1)H’/(HP(k|k-1) H’ +R) （2）对预测值进行修正
x(k|k)=x(k|k-1) + Kg(k) (Z(k)-H X(k|k-1)) （3）更新修正值的协方差
P(k|k)=(I-Kg(k)H)P(k|k-1)
二：状态估计原理简介
状态估计是卡尔曼滤波的重要组成部分。
观测数据
定量判断 随机状态量
估计问题： (可以直接得到)
(很难直接得到)
例如，飞机实时的位置、速度等状态参数需要通过雷达或其它
测量装置进行观测，而雷达等测量装置也存在随机干扰， 因此在观测到飞机的位置、速度等信号中就夹杂着随机干 扰，要想正确地得到飞机的状态参数是不可能的，只能根 据观测到的信号来估计和预测飞机的状态。
卡尔曼将状态变量引入虑波理论，提出了递推滤波算法， 建立了后来被自动控制界称道的“卡尔曼滤波”。
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三：卡尔曼滤波引例
卡尔曼滤波：是一种高效率的递归滤波器(自回归滤波器) ,它能够从
一系列完全包含噪声的测量中， 估计动态系统的状态。
➢ 基本思想：采用信号与噪声的状态空间模型，利用前一时
刻的估计值和现时刻的观测值来更新对状态变量的估计，求 出现在时刻的估计值。它适合于实时处理和计算机运算。
各局部最优估计
。
2.将全部局部最优估计送到融合中心进行
全局融合。
3.融合中心按照“信息分配”原则形成 的信息分配量，向雷达与电视进行信息 反馈。
ppt课件.
பைடு நூலகம்
滤波结构框图
29
卡尔曼滤波教学课件PPT
5.卡尔曼滤波控制系统结构图
由于系统的状态x是不确定的，卡尔曼滤波 器的任务就是在有随机干扰w和噪声v的情 ˆ ，它在 况下给出系统状态x的最优估算值 x 统计意义下最接近状态的真值x，从而实现 最优控制u( x ˆ )的目的。
状态方程：X(k)=AX(k-1)+BU(k)+W(k) 输出方程：y(k)=CX(k)+Z(k) 系统测量值：Z(k)=HX(k)+V(k) 在上述方程中，X(k)是k时刻的系统状态， U(k)是k时刻对系统的控制量。A和B是系 统参数，对于多模型系统，它们为矩阵。 Z(k)是k时刻的测量值，H是测量系统的参 数，对于多测量系统，H为矩阵。W(k)和 V(k)分别表示过程噪声和测量噪声。它们被 假设成高斯白噪声，它们的协方差分别是Q， R。
6.2
更新阶段
新息或测量余量：y(k)=Z(k)-H X(k|k-1) 新息协方差:S(k)=H P(k|k-1) H’ +R 卡尔曼增益(Kalman Gain): Kg(k)= P(k|k1) H’ / (H P(k|k-1) H’ + R) …… (3) 状态估计更新:收集现在状态的测量值，结 合预测值和测量值，可以得到现在状态的 最优化估算值。
6.卡尔曼滤波过程
卡尔曼滤波包括两个阶段：预测和更新。 在预测阶段，滤波器应用上一状态的估计 做出对当前状态的估计。在更新阶段，滤 波器利用在当前状态的观测值优化预测阶 段的预测值，以获的一个更精确的当前状 态的估计。
6.1预测阶段
状态估计： 根据系统的模型，可以基于系统的上一状态而预 测出现在的状态。 X(k|k-1)=A X(k-1|k-1)+B U(k) ……….. (1) 式(1)中，A是作用在前一状态的状态转移模型(状 态转移矩阵),B是作用在控制向量上的控制输入模 型(输入输出矩阵), X(k|k-1)是利用上一状态预测 的结果，X(k-1|k-1)是上一状态最优的结果，U(k) 为现在状态的控制量，如果没有控制量，它可以 为0 。
卡尔曼滤波算法(含详细推导)PPT
v1(n)G (n)v2(n)..........3 ...).0 ..19..(
3、kalman滤波算法
求式(3)所示状态向量的一步预测误差向量的相关矩阵，容易证明：
K(n1,n)E{e(n1,n)e]H(n1,n)} [F(n1,n)G (n)C (n)K ](n,n1)F [(n1,n) G (n)C (n)H ]Q 1(n)G (n)Q 2(n)G H(n)........3 ...).1 .(.
n
(n )(n 1y(1 ),y .(n .). ),
1
W 1 (k)(k)
式中W1(k)表示与一步预测项对应的权矩k 阵 1 ，且k为离散时间。
现在的问题是如何确定这个权矩阵？
（1）、状态向量的一布预测
根据正交性原理，最优预测的估计误差
e(1 nn, )x(n1)x1(n1)
12
3、kalman滤波算法
C (n )K (n ,n 1 )C H (n ) Q 2(n ).................1.).(6..
式中Q2(n)是观测噪声v2(n)的相关矩阵，而
K (n ,n 1 ) E { e (n ,n 1 )e H (n ,n 1 )}................1 ..) ....( 7 ..
这里使用了状态向量与观测噪声不相关的事实。 进一步地，由正交原理引
理知，在最小均方误差准则下求得的一步预测估 x 1 ( n )与预测误差e(n,n-1)彼
此正交，即
E{x1(n)eH(N,N1)}0
17
3、kalman滤波算法
因此，由式(26)及式(27)易得：
E {x(n1)H(n)} F(n1,n)E {x[(n)e(n,n1)e]H(n,n1)C }H(n)
3、kalman滤波算法
求式(3)所示状态向量的一步预测误差向量的相关矩阵，容易证明：
K(n1,n)E{e(n1,n)e]H(n1,n)} [F(n1,n)G (n)C (n)K ](n,n1)F [(n1,n) G (n)C (n)H ]Q 1(n)G (n)Q 2(n)G H(n)........3 ...).1 .(.
n
(n )(n 1y(1 ),y .(n .). ),
1
W 1 (k)(k)
式中W1(k)表示与一步预测项对应的权矩k 阵 1 ，且k为离散时间。
现在的问题是如何确定这个权矩阵？
（1）、状态向量的一布预测
根据正交性原理，最优预测的估计误差
e(1 nn, )x(n1)x1(n1)
12
3、kalman滤波算法
C (n )K (n ,n 1 )C H (n ) Q 2(n ).................1.).(6..
式中Q2(n)是观测噪声v2(n)的相关矩阵，而
K (n ,n 1 ) E { e (n ,n 1 )e H (n ,n 1 )}................1 ..) ....( 7 ..
这里使用了状态向量与观测噪声不相关的事实。 进一步地，由正交原理引
理知，在最小均方误差准则下求得的一步预测估 x 1 ( n )与预测误差e(n,n-1)彼
此正交，即
E{x1(n)eH(N,N1)}0
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3、kalman滤波算法
因此，由式(26)及式(27)易得：
E {x(n1)H(n)} F(n1,n)E {x[(n)e(n,n1)e]H(n,n1)C }H(n)
扩展Kalman滤波(EKF)和无迹卡尔曼滤波(ukf) ppt课件
fX = [x1; vx1; y1; vy1];
PPT课件
二、扩展Kalman滤波(EKF)算法
11
function hfX = hhh(fX, Ts) % 量测非线性函数
x = fX(1); y = fX(3);
r = sqrt(x^2+y^2);
a = atan(x/y);
hfX = [r; a];
n=4; T=3;
Qf=[T^2/2 0;0 T;T^2/2 0;0 T];
%--------------------------------------
stater=stater0;state=state0; xc=state;
function [Xk, Pk, Kk] = ekf(Phikk_1, Qk, fXk_1, Pk_1, Hk, Rk, Zk_hfX) % ekf 滤波函数
Pkk_1 = Phikk_1*Pk_1*Phikk_1' + Qk;
Pxz = Pkk_1*Hk'; Pzz = Hk*Pxz + Rk;
%------------------初始化-------------stater0=[220; 1;55;-0.5]; %标准系统初值 state0=[200;1.3;50;-0.3]; %测量状态初值 %--------系统滤波初始化
p=[0.005 0 0 0;0 0.005 0 0; 0 0 0.005 0;0 0 0 0.005]; %状态误差协方差初值
r = sqrt(X(k,1)^2+X(k,3)^2) + dr*randn(1,1);
a = atan(X(k,1)/X(k,3)) + dafa*randn(1,1);
相关主题
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R (n )C (n )E { e(n ,n 1 )eH (n ,n 1 )C } H (n )E { v2(n )v2H (n )}
C (n )K (n ,n 1 )C H (n ) Q 2(n ).................1.).(6..
式中Q2(n)是观测噪声v2(n)的相关矩阵，而
K (n ,n 1 ) E { e (n ,n 1 )e H (n ,n 1 )}................1 ..) ....( 7 ..
5
2、新息过程
考虑一步预测问题，给定观测值y(1), ...，y(n-1)，求观测向量y(n)的 最小二乘估计，记作 def
yˆ1(n)yˆ(ny(1),.y. (n., 1))
（1）、新息过程的性质 y(n)的新息过程定义为：
(n)y(n)yˆ1(n)......6 (.)...
式中，N 1向量 (n 表) 示观测数据y(n)的新的信息，简称新息。
供有关y(n)的新息，这就上信息的内在物理含义。
8
2、新息过程
（2）、新息过程的计算
下面分析新息过程的相关矩阵
R(n)E{(n)H(n)}....1 (..)0...
在kalman滤波中，并不直接估计观测数据向量的进一步预测 是先计算状态向量的一步预测
，而
def
x1(n)x(ny(1),y .(.n.1))..(1 ..)1 ....
卡尔曼滤波算法及 推导
1
1、kalman滤波问题
考虑一离散时间的动态系统，它由描述状态向量的过程方程 和描述观测向量的观测方程共同表示。
（1）、过程方程
x (n 1 ) F (n 1 ,n )x (n ) v 1 (n )...1 )....
式中，M 1向量x(n)表示系统在离散时间n的状态向量，它是 不可观测的；M M矩阵F（n+1,n）成为状态转移矩阵，描述
表示（一步）预测状态误差的相关矩阵
11
3、kalman滤波算法
由上一节的的新息过程的相关知识和信息后，即可转入 kalman滤波算法的核心问题的讨论：如何利用新息过程估计 状态向量的预测？最自然的方法是用新息过程序列a(1),…a(n) 的线性组合直接构造状态向量的一布预测：
x x de f
然后再用到下式得到 y (n )： 1
y(n)C(n)x1(n).......1 .(.)2 ..
1
9
2、新息过程
将上式代入新息过程的定义式（6），可得到：
(n)y(n)C(n)x1(n)
C(n)[x(n)x1(n)]v2(n)......1 (..)3..
这就是新息 过程的实际计算公式，条件是：一步预测的状态
W1(k) E{x(n1)H(k)}R1(K)..........(20)
13
3、kalman滤波算法
动态系统在时间n的状态到n+1的状态之间的转移，应为已知。
而M 1向量 v为1(过n)程噪声向量，它描述状态转移中间的
加性噪声或误差。
2
1、kalman滤波问题
（1）、观测方程
y(n)C n)表示动态系统在时间n的观测向量； N M矩阵C（n）称为观测矩阵（描述状态经过其作用，
应该与已知值正交，故有
E {e(n1,n)H(k)} E {x[(n1)x 1(n1)H(k)}
0,k1,..n...,..1 ..)9 ...(
将式（18）代入（19），并利用新息过程的正交性，得到
E {x(n1)H(k)} W 1(k)E {(k)H(k)}
W 1(k)R (k)
由此可以求出权矩阵的表达式：
n
(n )(n 1y(1 ),y .(n .). ),
1
W 1 (k)(k)
式中W1(k)表示与一步预测项对应的权矩k 阵 1 ，且k为离散时间。
现在的问题是如何确定这个权矩阵？
（1）、状态向量的一布预测
根据正交性原理，最优预测的估计误差
e(1 nn, )x(n1)x1(n1)
12
3、kalman滤波算法
变成可预测的），要求也是已知的；v2(n)表示观测噪声向 量，其维数与观测向量的相同。过程方程也称为状态方程， 为了分析的方便，通常假定过程噪声v1(n)和观测噪声v2(n) 均为零均值的白噪声过程，它们的相关矩阵分别为：
3
1、kalman滤波问题
E { v 1 (n )v 1 H (k ) }Q 0 ,1 n ( n k )n , k ..3 .)...(
6
2、新息过程
新息 (n)具有以下性质： 性质1 n时刻的新息 (n)与所有过去的观测数据y(1), ...，y(n-
1)正交，即：
E{(n)yH(k)} 0,1kn1....7)...(
性质2 新息过程由彼此正交的随机向量序列{ (n}) 组成，即
E{有(n)H(k)} 0,1kn1....(.8)....
E { v 2 (n )v 2 H (k ) } Q 0 ,2 n ( n k )n ,k ..4 .)...(
4
1、kalman滤波问题
还假设状态的初始值x(0)与v1(n) 、 v2(n)， n 0均不相关，并且噪声向量v1(n)与v2(n) 也不相关，既有：
E { v1(n)v2 H (k) }0 , n ,k...5 .)..(
7
2、新息过程
性质3 表示观测数据的随机向量序列{y(1) ,…y(n)}与表示新息
过程的随机向量序列{a(1),…a(n)} 一一对应 ，即
{ y(1 ),y(.n ). .}{ (1 ),( .n ) ..}...9 .).(.....
以上性质表明：n时刻的新息a(n)是一个与n上课之前的观测数 据y(1), ...，y(n-1)不相关，并具有白噪声性质的随机过程，但它却能够提
向量估计x 1 (n )业已求出。
定义向量的一步预测误差：
def
e(n1,n)x(n)x1(n)....1 (..)4 ...
10
2、新息过程
将此式代入式（13），则有
(n ) C (n )e (n ,n 1 ) v 2 (n )..(1 .) .5 ....
在新息过程的相关矩阵定义式（10）中代入式（14），并注 意到观测矩阵C（n）是一已知的确定矩阵，故有
C (n )K (n ,n 1 )C H (n ) Q 2(n ).................1.).(6..
式中Q2(n)是观测噪声v2(n)的相关矩阵，而
K (n ,n 1 ) E { e (n ,n 1 )e H (n ,n 1 )}................1 ..) ....( 7 ..
5
2、新息过程
考虑一步预测问题，给定观测值y(1), ...，y(n-1)，求观测向量y(n)的 最小二乘估计，记作 def
yˆ1(n)yˆ(ny(1),.y. (n., 1))
（1）、新息过程的性质 y(n)的新息过程定义为：
(n)y(n)yˆ1(n)......6 (.)...
式中，N 1向量 (n 表) 示观测数据y(n)的新的信息，简称新息。
供有关y(n)的新息，这就上信息的内在物理含义。
8
2、新息过程
（2）、新息过程的计算
下面分析新息过程的相关矩阵
R(n)E{(n)H(n)}....1 (..)0...
在kalman滤波中，并不直接估计观测数据向量的进一步预测 是先计算状态向量的一步预测
，而
def
x1(n)x(ny(1),y .(.n.1))..(1 ..)1 ....
卡尔曼滤波算法及 推导
1
1、kalman滤波问题
考虑一离散时间的动态系统，它由描述状态向量的过程方程 和描述观测向量的观测方程共同表示。
（1）、过程方程
x (n 1 ) F (n 1 ,n )x (n ) v 1 (n )...1 )....
式中，M 1向量x(n)表示系统在离散时间n的状态向量，它是 不可观测的；M M矩阵F（n+1,n）成为状态转移矩阵，描述
表示（一步）预测状态误差的相关矩阵
11
3、kalman滤波算法
由上一节的的新息过程的相关知识和信息后，即可转入 kalman滤波算法的核心问题的讨论：如何利用新息过程估计 状态向量的预测？最自然的方法是用新息过程序列a(1),…a(n) 的线性组合直接构造状态向量的一布预测：
x x de f
然后再用到下式得到 y (n )： 1
y(n)C(n)x1(n).......1 .(.)2 ..
1
9
2、新息过程
将上式代入新息过程的定义式（6），可得到：
(n)y(n)C(n)x1(n)
C(n)[x(n)x1(n)]v2(n)......1 (..)3..
这就是新息 过程的实际计算公式，条件是：一步预测的状态
W1(k) E{x(n1)H(k)}R1(K)..........(20)
13
3、kalman滤波算法
动态系统在时间n的状态到n+1的状态之间的转移，应为已知。
而M 1向量 v为1(过n)程噪声向量，它描述状态转移中间的
加性噪声或误差。
2
1、kalman滤波问题
（1）、观测方程
y(n)C n)表示动态系统在时间n的观测向量； N M矩阵C（n）称为观测矩阵（描述状态经过其作用，
应该与已知值正交，故有
E {e(n1,n)H(k)} E {x[(n1)x 1(n1)H(k)}
0,k1,..n...,..1 ..)9 ...(
将式（18）代入（19），并利用新息过程的正交性，得到
E {x(n1)H(k)} W 1(k)E {(k)H(k)}
W 1(k)R (k)
由此可以求出权矩阵的表达式：
n
(n )(n 1y(1 ),y .(n .). ),
1
W 1 (k)(k)
式中W1(k)表示与一步预测项对应的权矩k 阵 1 ，且k为离散时间。
现在的问题是如何确定这个权矩阵？
（1）、状态向量的一布预测
根据正交性原理，最优预测的估计误差
e(1 nn, )x(n1)x1(n1)
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3、kalman滤波算法
变成可预测的），要求也是已知的；v2(n)表示观测噪声向 量，其维数与观测向量的相同。过程方程也称为状态方程， 为了分析的方便，通常假定过程噪声v1(n)和观测噪声v2(n) 均为零均值的白噪声过程，它们的相关矩阵分别为：
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1、kalman滤波问题
E { v 1 (n )v 1 H (k ) }Q 0 ,1 n ( n k )n , k ..3 .)...(
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2、新息过程
新息 (n)具有以下性质： 性质1 n时刻的新息 (n)与所有过去的观测数据y(1), ...，y(n-
1)正交，即：
E{(n)yH(k)} 0,1kn1....7)...(
性质2 新息过程由彼此正交的随机向量序列{ (n}) 组成，即
E{有(n)H(k)} 0,1kn1....(.8)....
E { v 2 (n )v 2 H (k ) } Q 0 ,2 n ( n k )n ,k ..4 .)...(
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1、kalman滤波问题
还假设状态的初始值x(0)与v1(n) 、 v2(n)， n 0均不相关，并且噪声向量v1(n)与v2(n) 也不相关，既有：
E { v1(n)v2 H (k) }0 , n ,k...5 .)..(
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2、新息过程
性质3 表示观测数据的随机向量序列{y(1) ,…y(n)}与表示新息
过程的随机向量序列{a(1),…a(n)} 一一对应 ，即
{ y(1 ),y(.n ). .}{ (1 ),( .n ) ..}...9 .).(.....
以上性质表明：n时刻的新息a(n)是一个与n上课之前的观测数 据y(1), ...，y(n-1)不相关，并具有白噪声性质的随机过程，但它却能够提
向量估计x 1 (n )业已求出。
定义向量的一步预测误差：
def
e(n1,n)x(n)x1(n)....1 (..)4 ...
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2、新息过程
将此式代入式（13），则有
(n ) C (n )e (n ,n 1 ) v 2 (n )..(1 .) .5 ....
在新息过程的相关矩阵定义式（10）中代入式（14），并注 意到观测矩阵C（n）是一已知的确定矩阵，故有