数学方法在物理中的应用

数学方法在物理中的应用

一．极值分析

数学中求极值的方法很多，物理极值问题中常用的极值法有：三角函数极值法、二次函数极值法、一元二次方程的判别式法等．

1．利用三角函数求极值

y ＝a cos θ＋b sin θ ＝a 2＋b 2(a a 2＋b

2cos θ＋b a 2＋b 2sin θ) 令sin φ＝a a 2＋b 2，cos φ＝b a 2＋b 2

则有：y ＝a 2＋b 2(sin φcos θ＋cos φsin θ)

＝a 2＋b 2sin (φ＋θ)

所以当φ＋θ＝π2

时，y 有最大值，且y max ＝a 2＋b 2． 2．利用二次函数求极值

二次函数：y ＝ax 2＋bx ＋c ＝a (x 2

＋b a x ＋b 24a 2)＋c －b 24a ＝a (x ＋b 2a )2＋4ac －b 24a (其中a 、b 、c 为实常数)，当x ＝－b 2a 时，有极值ym ＝4ac －b24a

(若二次项系数a>0，y 有极小值；若a<0，y 有极大值)．

3．均值不等式

对于两个大于零的变量a 、b ，若其和a ＋b 为一定值p ，则当a ＝b 时，其积ab 取得

极大值 p24

；对于三个大于零的变量a 、b 、c ，若其和a ＋b ＋c 为一定值q ，则当a ＝b ＝c 时，其积abc 取得极大值 q327

． 4.函数求导

二．迭代递推

无穷数列的求和，一般是无穷递减数列，有相应的公式可用．

等差：Sn ＝n(a1＋an)2＝na 1＋n(n －1)2

d(d 为公差)． 等比：Sn ＝a1(1－qn)1－q

(q 为公比)．

●例1： 如图8－2甲所示，一薄木板放在正方形水平桌面上，木板的两端与桌面的两端对齐，一小木块放在木板的正中间．木块和木板的质量均为m ，木块与木板之间、木板与

桌面之间的动摩擦因数都为μ．现突然以一水平外力F 将薄木板抽出，要使小木块不从桌面上掉下，则水平外力F 至少应为________．(假设木板抽动过程中始终保持水平，且在竖直方向上的压力全部作用在水平桌面上)

A ．2μmg

B ．4μmg

C ．6μmg

D ．8μmg

【解析】解法一 F 越大，木块与木板分离时的速度、位移越小，木块越不可能从桌面滑下．设拉力为F 0时，木块恰好能滑至桌面的边缘，再设木块与木板分离的时刻为t 1，在0～t 1 时间有：

12·(F 0－μmg －2μmg )m ·t 12－12μgt 12＝L 2

对t 1时间后木块滑行的过程，有：

v 122μg ＝(μgt 1)22μg ＝L 2－12

μgt 12 解得：F 0＝6μmg ．

解法二 F 越大，木块与木板分离时的速度、位移越小，木块越不可能从桌面滑出．若木块不从桌面滑出，则其v －t 图象如图8－2乙中OBC 所示，其中OB 的斜率为μg ，BC 的斜率为－μg ，t 1＝t 2

有：S △OBC ＝⎝ ⎛⎭

⎪⎫12·μgt 12×2≤L 2 设拉力为F 时，木板的v －t 图象为图7－2乙中的直线OA ，则S △OAB ＝L 2

即12(v 2－v 1)·t 1＝L 2

其中v 1＝μgt 1，v 2＝F －3μmg m

·t 1 解得：F ≥6μmg

即拉力至少为6μmg ．

[答案] C

●例2：如图8－5甲所示，一质量m ＝1 kg 的木板静止在光滑水平地面上．开始时，木板右端与墙相距L ＝0.08 m ，一质量m ＝1 kg 的小物块以初速度v0＝2 m/s 滑上木板左端．木板的长度可保证物块在运动过程中不与墙接触．物块与木板之间的动摩擦因数μ＝0.1，木板与墙碰撞后以与碰撞前瞬时等大的速度反弹．取g ＝10 m/s2，求：

图8－5甲

(1)从物块滑上木板到两者达到共同速度时，木板与墙碰撞的次数及所用的时间．

(2)达到共同速度时木板右端与墙之间的距离．

【解析】解法一 物块滑上木板后，在摩擦力的作用下，木板从静止开始做匀加速运动．设木板的加速度大小为a ，经历时间T 后与墙第一次碰撞，碰撞时的速度为v 1，则有：

μmg ＝ma

L ＝12

aT 2 v 1＝aT

可得：a ＝1 m/s 2，T ＝0.4 s ，v 1＝0.4 m/s

物块与木板达到共同速度之前，在每两次碰撞之间，木板受到物块对它的摩擦力作用而做加速度恒定的运动，因而木板与墙相碰后将返回至初态，所用时间为T ．设在物块与木板达到共同速度v 之前木板共经历了n 次碰撞，则有：

v ＝v 0－(2nT ＋Δt )a ＝a ·Δt

式中Δt 是碰撞n 次后木板从起始位置至达到共同速度所需要的时间

上式可改写为：2v ＝v 0－2nTa

由于木板的速率只能在0到v 1之间，故有：

0≤v 0－2nTa ≤2v 1

解得：1.5≤n ≤2.5

由于n 是整数，故n ＝2

解得：v ＝0.2 m/s ，Δt ＝0.2 s

从开始到物块与木板达到共同速度所用的时间为：

t ＝4T ＋Δt ＝1.8 s ．

(2)物块与木板达到共同速度时，木板右端与墙之间的距离为：s ＝L －12

a ·Δt 2 解得：s ＝0.06 m

解法二 (1)物块滑上木板后，在摩擦力的作用下，木板做匀加速运动的加速度a 1＝μg ＝1 m/s ，方向向右

物块做减速运动的加速度a 2＝μg ＝1 m/s ，方向向左

可作出物块、木板的v －t 图象如图8－5乙所示

由图可知，木板在0.4 s 、1.2 s 时刻两次与墙碰撞，在t ＝1.8 s 时刻物块与木板达到共同速度．

(2)由图8－5乙可知，在t ＝1.8 s 时刻木板的位移为：

s ＝12

×a 1×0.22＝0.02 m 木板右端距墙壁的距离Δs ＝L －s ＝0.06 m ．

图8－5乙

[答案] (1)1.8 s (2)0.06 m ●例3：如图所示，一轻绳吊着一根粗细均匀的棒，棒下端离地面高为H ，上端套着一个细环．棒和环的质量均为m ，相互间的最大静摩擦力等于滑动摩擦力kmg(k ＞1)．断开轻绳，棒和环自由下落．假设棒足够长，与地面发生碰撞时触地时间极短，无动能损失．棒在整个运动过程中始终保持竖直，空气阻力不计．求：

(1)棒第一次与地面碰撞后弹起上升的过程中，环的加速度．

(2)从断开轻绳到棒与地面第二次碰撞的瞬间，棒运动的路程s ．

(3)从断开轻绳到棒和环都静止的过程中，摩擦力对环和棒做的总功W ．