理论力学-第六章-变质量动力学课件

v理v论0力学g-第t六章v-r变l质n量m m 动0力学
§ 6－2 变质量质点的运动学普遍定理
1.变质量质点的动量定理
dpd(m v)dmvmdv
dt dt dt dt
F
dm dt
v
r
dp dm
dm
dt
dt
vF dt
vr
mdv dt
F(e)
F
记并入（或放出）质量的绝对速度为 v 1 即
v 1vvr
dp dt
F
ddmt v1
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记
F a
dm dt
v1
称F为a 由于并入（或放出）质量的绝对速度引起的反推力
d dp t ddt(mv)FFa
－－变质量质点动量定理的微分形式
变质量质点的动量对时间的导数，等于作用其上的外力
与由于并入（或放出），质量的绝对速度而引起的反推力
的矢量和。
设t=0时质点质量为m
0
速度为 0
得
t
t
t
m
m v m 0 v 0 0 F d t 0 F a d t 0 F d t m 0 v 1 d m
理论力学－-第－六章变-变质质量量动力质学点动量定理的积分形式
如果并入或放出质量的绝对速度1 0
dp d dt dt(mv)FFa
t
wk.baidu.comvm0v0
令
F
dm dt v r
－－反推力
mdv dt
F(e)
F
－－变质量质点的运动微分方程
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2.常用的几种质量变化规律
（1）质量按线性规律变化
m m 0(1 t)， t 1
由
dm dt
m知0
其反推力为
Fddm t vr m0vr
（2）质量按指数规律变化
mm0et
由 ddmt m知0et
v 2 为dm流2 出时的绝对速度 有
m v 2 常数 2
dm1 dm2 q
dt
dt
v2 v dm dm 1dm 20
求：若使砂子在斜面上的速度v 为常数，倾角应为多少？
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解： 研究传送带上的砂子 d (m 2 v 2) v 2 2d m F d r d m 1 (v 1v ) d m 2 (v 2v )
式中dm为1 漏斗流入到传送带上的砂子质量元
dm2 为从传送带上流出的砂子质量元
第六章 变质量动力学
理论力学-第六章-变质量动力学
§ 6－1 变质量质点的运动微分方程
1.变质量质点的运动微分方程
质点系在瞬时t的动量为
p1m vdmv1
质点系在瞬时t+dt的动量为
p 2 (m d m )(v d v) 根据动量定理
dpp 2p 1 F (e)d t
( m d m ) ( v d v ) ( m v d m v 1 ) F ( e ) d t 将上式展开得
N m0 evf /vr mf
－－齐奥尔科夫斯基公式
它表明在 已r 知时， 欲使火箭达到特征速度 0所应具备的质量比
如果火箭在真空中且处于均匀重力场内沿铅直方向向上 运动，称为齐奥尔科夫斯基第二类问题。
运动微分方程在铅直方向上的投影为
mdv dt
mgddmt vr
设初始时刻t=0时v v 0 m m0 且 v 为r 常量
或 d(1 2m v2)1 2v2d m F d rF ad r －－变质量质点的动能定理
变质量质点动能的微分与放出（或并入）的元质量由于其牵 连速度而具有的动能的代数和等于作用于质点上外力合力的元 功与由于并入（或放出）质量的绝对速度引起的反推力所作的 元功之和。
v1vv2vrv
d(12mv2)12v2dmFdrvr vdm
d t d t
d t
d t
d t
dp d dt dt(mv)F 理论F力a 学-第六章-变质量动力学
dd L tOrF rF a
－－变质量质点的动量矩定理
变质量质点对某定点的动量矩对时间的导数，等于作 用于质点上外力的合力对该点之矩与由于并入（或放出） 质量的绝对速度引起的反推力对该点力矩的矢量和。
其反推力为
dm Fdt vr
m0etvr
F
a m v 理论力学-第六章-变质量动力学r
例 6－1
单级火箭。
设火箭在真空中 运动且不受任何外力作用，其喷射出的
气体相对于速度 r的大小不变，方向与火箭运动方向相反，
此问题称齐奥尔科夫斯基第一类问题。
变质量质点的运动微分方程，在运动方向上的投影为
md
Fdt
0
显然 即使F0 v 也不是常量
2.变质量质点的动量矩定理
d (mv) F dt
vm0v0/m
变质量质点对任一点O 的动量矩为
式中 r为从点O 指向该质点的矢径
LO rmv
点O 为定点
d L O d ( r m v ) d r m v r d ( m v ) r d ( m v )
m d v d m v d m d v d m v 1 F ( e ) d t
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略去高阶微量 dmdv 并以dt除各项 得
md dv td dm tvd dm tv1F(e)
式中或(1是)微小质m 量d ddvtm在dd并m t(入v1前v , )对F(e 于) 质点m得相对速度 r
3.变质量质点的动能定理
d dp t ddt(mv)FFa
将上式各项点乘 dr 得
md dvtvddm t Fddm tv1
m v d v d m v v F d r d m v 1 v
由于 mvdvd(1mv2)v2dm 2 2 理论力学-第六章-变质量动力学
d (1 2m v2)1 2v2 d m F d r (v 1v)d m
dt
r
dm dt
或
d r dm
m
（a）
设初始时刻t=0时 0 m m0 将式（a）积分得
0
r
lnm0 m
（b）
设火箭燃烧终了时质量为 m f 速度为v 令
N m0 mf
－－质量比 有些资料取 Nmf为/m质0 量比 理论力学-第六章-变质量动力学
令
vf vr lnN
－－火箭的特征速度
它代表这一级火箭在初始速度 0的基础上所能增加的速度
FdrFdr
变质量质点动能的微分与并入（或放出）的元质量由于牵连
运动而具有的动能之差，等于作用于质点上外力的合力与反推力
所作的元功之和。
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例 6－2
已知：图为传送砂子的装置，砂子从漏斗铅直流下，以速度 v 1
流下倾角为θ的传送带上并沿斜面下滑l长度然后流出斜
面，设砂子以流量q=常数（kg/s）从大漏斗中流下，斜面 上砂子是定常流动，其质量保持不变，不计摩擦。