方差分析和2k因子、3k因子设计

第一节：单因素试验的方差分析
总离差平方和的分解: 记在水平Ai 下的样本均值为 样本数据的总平均值为
总离差平方和为 将ST改写并分解得
ST
a ni i 1
x i.
1 ni
a
x
j1
ni j 1
ni
ij
1 x ni
x
i 1
ij
(x
j 1
ij
x) 2
ST
ST
2 x.. 376 2 2 2 2 x 7 7 ... 11 636 .96 n 25 i 1 j 1 5 5 2 ij
SA

i 1
5
2 xi2 x.. . ni n
1 376 2 2 2 ( 49 ... 54 ) 475 .76 5 25
i
i
j 1
i 1
j 1
则有
ST
i 1
a
2 x.. x , n j 1 2 ij
ni
SA

i 1
a
2 xi2 x.. , ni n
sE sT s A
第一节：单因素试验的方差分析
方差分析表:
第一节：单因素试验的方差分析
例1：(单因素的方差分析)
人造纤维的抗拉强度是否受掺入其中的棉花的百分比的影响是 有疑问的。现确定棉花百分比的5个水平: 15%, 20%, 25%, 30%, 35%。每个水平中测5个抗拉强度的值，列于下表。问： 抗拉强度是否受掺入棉花百分比的影响(α＝0.01)?
第二节：双因素试验的方差分析
无交互作用的方差分析:
设两因素A，B。A有a个水平A1，A2, … … , Aa，B有b个水平，B1，B2, … …, Bb, 在 每一个组合水平(Ai, Bj)下，进行一次无重复试验，得到试验指标的观察值 列于下表：
设Xij~N(μij , σ2 )，各xij相互独立。可以取得下面的线性统计模型： xij = μ+αi +βj+εij , i = 1, 2, … …, a; j = 1, 2, … … , b, εij ~ N (0, σ2), 各相互独立，

i 1 b
2 xi2 x.. . , b ab

j 1
x.2 j
2 x.. , a ab
S E ST S A S B
第二节：双因素试验的方差分析
方差分析表:
第二节：双因素试验的方差分析
例2：(双因素无交互作用的方差分析) 使用4种燃料，3种推进器作火箭射程试验，每一种组合情况 做一次试验，则得火箭射程列在表中，试分析各种燃料(Ai)与 各种推进器(Bj)对火箭射程有无显著影响(α=0.05)
自由度:
ST的自由度为 ( abn - 1); SA的自由度为 ( a - 1); SB的自由度为 ( b - 1); SAxB的自由度为(a-1)(b-1): SE的自由度为 ab(n-1);
均方:
MS A MS B
SA , a 1 SB , b 1 S AxB , ( a 1)(b 1) SE ab( n 1)
a
i 1
a
i
0, B j 0
j 1
b
2
第二节：双因素试验的方差分析
对这个线性模型，我们检验如下的假设 HA0: α1 =α2 = … … =αa = 0 HA1: αi = 0 至少有一个i,
HB0: β1 =β2 =… … =βb = 0
HB1: βj= 0 至少有一个j
第二节：双因素试验的方差分析
MS AxB MS E
第二节：双因素试验的方差分析
有交互作用的方差分析(2): 简化公式
ST x
i 1 j 1 k 1 a b n 2 ijk 2 x... , abn
2 x... 1 a 2 SA xi.. , bn i 1 abn 2 x... 1 b 2 SB x. j . , an j 1 abn
第二节：双因素试验的方差分析
解:
设火箭的射程为: xij =μ+αi+βj+εij, i =1, 2, 3, 4, j = 1, 2, 3 原假设 HA0: α１=α２=α３=α４=0 HB0: β１=β２=β３=0 备择假设 HA1:αi=0, 至少一个i HB1:βj=0, 至少一个j 这里a=4, b=3, ab=12
总离差平方和的分解(2): 上面展开式中的第三项为0 n a 若记 SA= ( x i. x) 2
i
i 1
a
j 1
SE=
(x
i 1 j 1
ni
ij
x i. ) 2
则有： ST = SA + SE ST表示全部试验数据与总平均值之间的差异 SA表示在Ai水平下的样本均值与总平均值之间的差异, 是组间差 SE表示在Ai水平下的样本均值与样本值之间的差异, 是组内差， 它是由随机误差引起的。
给出的α=0.05, 查出F0.05(3, 6)=4.76, F0.05(2, 6) = 5.14 因为F1=0.43<4.76, F2=0.92<5.14 所以接受原假设HA0, HB0 故不同的燃料、不同的推进器对火箭射程均无显著影响。
第二节：双因素试验的方差分析
有交互作用的方差分析(分析过程略):
第二讲：方差分析和2k因子、3k因子设计
第一节：单因素试验的方差分析 第二节：双因素试验的方差分析 第三节：因子设计的一般概念 第四节：2k 因子设计 第五节：3k 因子设计
第一节：单因素试验的方差分析
假设：
单因素A有a个水平A1，A2, … … , Aa，在水平Ai (i=1, 2, … … , a)下，进行ni次独立试 验，得到试验指标的观察值列于下表：
i 1 j 1
将ST改写并分解得
ST b ( xi. x) 2 a ( x. j x)2 ( xij xi. x. j x) 2
i 1 j 1 i 1 j 1
a
b
a
b
记为ST = SA (效应平方和)+ SB (效应平方和)+ SE (误差平方和)
总离差平方和的分解: 记在水平Ai 下的样本均值为 记在水平Bj 下的样本均值为
样本数据的总平均值为 总离差平方和为
1 b xi. xij b j 1
1 a x. j xij a i 1
1 a b x xij ab i 1 j 1
a b
ST ( xij x) 2
第一节：单因素试验的方差分析
自由度的概念:
在实际计算中，我们发现在同样的波动程度下，数据多的平方和要 大于数据少的平方和，因此仅用平方和来反映波动的大小还是不够 的。我们要设法消去数据个数的多少给平方和带来的影响。为此引 入了自由度的概念。一个直观的想法是用平方和除以相应的项数， 但应把项数加以修正，这个修正的数就叫自由度。 ST的自由度为 ( n - 1); SE的自由度为 ( n - a); SA的自由度为 ( a - 1);
均方:
MSA = SA/ (a-1); MSE = SE/ (n-a)
第一节：单因素试验的方差分析
方差分析:
在H0成立的条件下，取统计量 F = MSA/MSE ~ F (a - 1, n - a) 对于给出的α，查出Fα(a - 1, n - a)的值， 由样本计算出SA和SE， 从 而算出F值。从而有如下判断： 若F > Fα (a - 1, n - a)，则拒绝H0； 若F < Fα(a - 1, n - a)，则接受H0 为了方便计算，我们采用下面的简便计算公式： n n a xi xij 2, … … , a, x.. xij 记 i= 1,
S E ST S A 636 .96 475 .76 161 .20
ST, SA, SE的自由度分别为24，4，20
MS A
475 .76 118 .94 4 161 .20 8.06 20
MS E
第一节：单因素试验的方差分析
解(2):
已给出α=0.01，查表得Fα(a-1, n-a)=F0.01(4,20)= 4.43 这里F=14.76>4.43=F0.01(4, 20) 故拒绝原假设H0，接受H1: μi =μj 说明棉花的百分比对人造纤维的抗拉强度有影响。
S AxB
2 x... 1 a b 2 xij . S A SB , n i 1 j 1 abn
S E ST S A S B S AxB
第二节：双因素试验的方差分析
有交互作用的方差分析(3): 方差分析表
我们假定在各个水平Ai下的样本来自具有相同方差σ2，均值分别为μi的正 态总体Xi~N(μi , σ2 )，其中μi , σ2均为未知，并且不同水平Ai下的样本之间 相互独立。可以取得下面的线性统计模型： xij = μ+δi +εij , i = 1, 2, … …, a; j = 1, 2, … … , ni, εij ~ N (0, σ2) 其中δi = μi -μ
Sb
j 1

3
x.2j
2 2 x.. 1 6874 (2432 2 2379 2 2048 2 ) 22385 4 12 4 12
S E ST S A S B 111342 15759 22385 73198
第二节：双因素试验的方差分析
解(2):
第一节：单因素试验的方差分析
方差分析的任务就是检验线性统计模型中a个总体N(μi,σ2)中 的各μi的相等性，即有:
原假设 H0: μ1 =μ2 = … … =μa 对立假设H1: μi =μj 至少有一对这样的i, j, 也就是下面的等价假设： H0: δ1 =δ2 =… … =δa = 0 H1 : δi = 0 至少有一个i