第四章 波动方程的积分解

第四章 波动方程的积分解

4.1非其次标量亥姆霍兹方程的积分解

电磁波问题的求解，都可以归结为求解其次或非其次标量或矢量波动方程。对这类二阶偏微分方程，一般可以采用微分法和积分法。

在电磁波问题中，有源区的时谐电磁场满足非其次亥姆霍兹方程：

()()()

22r k r f r φφ∇+=- (4-1)

考虑在体积V 中，Φ和Ψ标量场和二阶导数连续，在包围体积V 的封闭截面S 上标量场Φ和Ψ的一阶导数存在，由标量格林函数：

()2

2

-d ()d V

S

V S φψψφφψψφ∇∇=∇-∇⎰⎰⎰⎰⎰ (4-2)

建立了标量场Φ和Ψ在闭合界面内的体积分和闭合界面上的面积分关系。格林函数满足齐次亥姆霍兹方程。

()()

220g r k g r ∇+=

'r r ≠ （4-3）

整理以上三个算式得

()()d [()()]d V

s s g r f r V g r g r S φφ+=∇-∇⎰⎰⎰⎰⎰ （4-4）

'[]d -[dS-()dS]n s s s g

g g S g r a e R φφφ

φ∂∇-∇==∇∂⎰⎰⎰⎰⎰⎰ （4-5） 积分结果为

()

'

'''''''

'''1()d d 44jk r r jk r r jk r r V S e e e r f r V r r S n n r r r r r r φφφππ------⎛⎫

∂∂ ⎪=-- ⎪∂∂--- ⎪

⎝⎭

⎰⎰⎰⎰⎰（）（） (4-6)

电磁波遇到障碍物时，会发生绕射现象。标量基尔霍夫公式可以用来近

似计算电磁波通过电屏上孔径的绕射场，但需要假定条件： （1） 封闭面上除口径面外，标量场及其法向导数为零。

（2） 在口径面上，标量场及其法向导数等于无障碍物时的入射场。 可以看出，基尔霍夫近似必然导致在口径面的边缘场发生突变，从而产生突变。但基尔霍夫近对物理光学的许多绕射问题仍然给出了许多满意的答案。

4.2非其次矢量亥姆霍兹方程的积分解

在电磁场问题中，如果多考虑的有源区域中式均匀各相同性的线性妹纸，时谐电磁场满足非其次矢量亥姆霍兹方程

2=-m E k E j J J ωμ∇⨯∇⨯--∇⨯ (4-13a) 2=-m H k H j J J ωμ∇⨯∇⨯--∇⨯ (4-13b)

对于源分布在无限大均匀空间区域中的情况，电磁场仅由源确定，即

''''

'()[()()]d m V

E r j J r g J r g g V ρωμε

=--⨯∇+

∇⎰⎰⎰ （4-24a ） ''

'

'

'

'()[()()]d m V

r H r j J r g J r g g V ρωμμ=-+⨯∇+∇⎰⎰⎰（） （4-24b ）

如果观察点所在的区域无源，而源分布在有封闭面S 博爱为的观察点所在的均匀区域以外的区域，则电磁场精油封闭面上的等效面源确定，即

{}

'''0()()()[()]d n

n n s E r j e

H r g e E r g e E r G S ωμ=

-⨯+⨯∇+⨯∇⎰⎰ (4-25a)

{}'

'

'

()()()[()]d n

n

n

s

H r j e E r g e H r g e H r g S ωμ=-⨯+⨯∇+⨯∇⎰⎰ (4-25b)

以上两式称为基尔霍夫式。

4.3辐射场和辐射矢量

对于源分布在无限大均匀空间区域的情况，电磁场仅由源确定，讨论辐射场远区的情况。我们将波源周围的空间由近及远分为近区、中区和远区，他们也分别称为电抗区、菲涅尔区和夫琅禾费。对于远区有辐射电磁场矢量表达式：

'

''''()()[()][()]d 4r

jkr e jkr m r r r V E r j

e J r J r e e J r e e V r ωμεπμ-⎧⎫⎪⎪

=--+⎨⎬⎪⎪⎩⎭

⎰⎰⎰ （4-29）

'

''''()()[()][()]d 4r

jkr e jkr m m r r r V H r j

e J r J r e e J r e e V r ωμεπμ-⎧⎫⎪⎪

=--+⎨⎬⎪⎪⎩⎭

⎰⎰⎰（4-30）

辐射矢量：

''

'()d r

jkr e V

L J r e

V =⎰⎰⎰ （4-31）

'

''()d r jkr e m V

N J r e V =⎰⎰⎰ （4-32）

远区电磁场与矢量位的关系为

m t t r E j A j Z A e ωω=--⨯ （4-38a ）

m t r t H j A j

e A Z

ω

ω=--⨯ （4-38b ）

4.4电场和磁场积分方程

对于任意形状物体散射问题的有效解法是，建立散射问题的积分方程，然后利用对于积分方程有效的数值解法，例如矩量法等，求出数值解。

{}

'

'

'

'

'''()()()[()]d n

n

n

S S

E r j e H r e E r g e

E r g S ωμ+=

-⨯+⨯⨯∇+∇⎰⎰ (4-52)

{}

'

''''''()(()g ()[()]d n n n S S

H r j e E r e H r g e H r g S ωμ+=-⨯+⨯⨯∇+∇⎰⎰ (4-53)

散射场的积分表示式

{}

'

'

'

'

'''()()()[()]d S n

n

n

S S

E r j e H r e E r g e

E r g S ωμ+=

-⨯+⨯⨯∇+∇⎰⎰ (4-58)

{}

'

''''''()(()g ()[()]d S n n n S S

H r j e E r e H r g e H r g S ωμ+=-⨯+⨯⨯∇+∇⎰⎰ 4-59)

理想导体散射问题的电场积分方程和磁场积分方程：

{}

2'''1()()()d i n n S s S S

e E r e k g J r J r g S j ωε

⨯=

⨯+∇∇⎰⎰ (4-66)

'''()=2()2()d i S n n S S

J r e H r e J r g S ⨯+⨯⨯∇⎰⎰ (4-67)