高等代数试题(竞赛)

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高等代数竞赛练习题

高等代数竞赛练习题一. 多项式. 计算题：1. 设,12)(234++++=x x x x x f ,122)(23+++=x x x x g 求))(),((x g x f . 答案：辗转相除法求.1))(),((2++=x x x g x f2. 设u x tx x x f +++=23)(及1)1()(23+++=x t x x g 的最大公因式是一个二次多项式,求u t ,. 3. 设)(x f 与)(x g 是有理系数多项式且1))(),((=x g x f ,令)()1()()1()(233x g x x x x f x x -+-+-=ϕ,)()()()1()(22x g x x x f x x -+-=ψ,求))(),((x x ψϕ.4. 设)(),(21x f x f 是首项系数为1的次数3≤的互异多项式,设)()(|13243124x f x x f x x +++,求)(),(21x f x f 的最大公因式.证明题：5. 设一元多项式)(),(),(x h x g x f ,其中1))(),((=x h x f ,且)(x f 与)(x g 被)(x h 除所得余式相等,6. 设数域F 上的多项式)(),(),(x h x g x f ,证明存在:][)(x P x p ∈使得)(|)(x p x f ,且))()((|)(x h x p x g +当且仅当h g f |),(.7. 设][)(),(),(x x h x g x f R ∈,且满足以下等式:0)()2()()1()()1(2=-+-++x g x x f x x h x ,0)()2()()1()()1(2=+++++x g x x f x x h x ,证明: )(|1),(|122x g x x f x ++.8. 证明: 任给非负整数n ,都有))1((|11222++++++n n x xx x .9. 设][)(1110x a x a x a x a x f n n n n Z ∈++++=-- ,证明:若0,a a n 为奇数,且)1(f 及)1(-f 中至少有一个为奇数,则)(x f 无有理根.10. 设)(),(),(x h x g x f 是实系数多项式,满足222xh xg f+=,证明:0===h g f .11. 设p 是素数,a 是整数,1)(++=px ax x f p,且)1(|2+a p ,证明)(x f 没有有理根.12. 证明:如果n 次多项式()f x 满足()()',f x f x 则()f x 有n 重根.13. 设A 是复数域C 上的一个n 阶方阵,()x f 是复数域C 上的一个次数大于0的多项式,()x g 是矩阵A 的最小多项式.试证明:⑴．若()()()()x g x f x d ,=,则秩=)(A d 秩)(A f . ⑵．)(A f 可逆当且仅当()x f 与()x g 互素.二. 行列式. 计算题:1. 计算n 阶行列式x y y y y zx y y y z z x y y z z z x y zzzzx.2. 计算n阶行列式2cos100012cos 100012cos 012cos n D αααα=,其中k απ≠.3. 计算n 阶行列式nn n n nn y x y x y x y x y x y x y x y x y x D ++++++++++++=1112122212121114. 计算n 阶行列式nD 222232222222221=5. 设0132110432340122310112210a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a D n n n n n n n n n n n ----------=,称为循环行列式,求其行列式.6. 若3≥n ,求行列式nn n n n n n αααααααααααααααααααααααααααα2sin )sin()sin()sin()sin(2sin )sin()sin()sin()sin(2sin )sin()sin()sin()sin(2sin 321332313232212131211++++++++++++.证明题:7. ∑=+=+++++++++=n j i ij nn n n n n A x A xa x a x a xa x a x a xa x a x a D 1,212221211211 .8. 证明当βα≠时,,1000001000100011βαβαβααββαβααββααββα--=+++++=++n n n D9. 设nij a D =,ij A 为ij a 的代数余子式,证明∑=-=nj i j i ij nn nn n n nn x x A D y y y x a a a x a a a x a a a 1,21212222211112111.10. 若n 阶方阵A 与B 只是第j 列不同,证明:B A B A n+=+-12.三. 矩阵与线性方程组. 计算题1. 问b a ,取何值时方程组1231231234324ax x x x bx x x bx x ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩有解？有解时求解.2. 若1102510101113010002X ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎪⎝⎭,求X . 3. 设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=111111111A ,矩阵B 满足*12A B A B -=+,求矩阵B . 4. 设)4,,4(),2,1,(),1,,1(),1,1,1(2321-==-=-=t t t βααα,若β可由321,,ααα线性表出且表示法不唯一,求t 及β的表示法.5. 若n 阶方阵A 的各行元素之和均为零,且1)(-=n A r ,求线性方程组0=AX 的通解.6. 设A 的伴随阵为⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=8030010100100001*A ,且E XA AXA 311+=--.求X 7, (1) 设n 阶方阵A ,且A A =2,证明:A E 2-可逆. (2) 设n 阶方阵A ,且3)(2A E A A =-,证明A E -可逆.(3) 设n 阶方阵B A ,满足AB B A =+,证明A E -可逆,且BA AB =. 8. 设B A ,为数域F 上的两个n 阶方阵,k 是一个正整数,若0,01=≠+k kBB ,A 可逆,且BA AB =,证明:B A -可逆,并求1)(--B A .证明题9. 设A 是一实矩阵,证明:1) 齐次线性方程组0=AX 与0=AX A T同解. 2) )()(A A r A r T=,3) 方程组B A AX A TT =有解.其中B 是一个s 维列向量.10. 设A 是一n 阶方阵,*A 为A 的伴随矩阵且011≠A ,证明: 0=AX 有无穷多个解当且仅当0*=X A 有非零解.11. 设A 是数域P 上的一个n m ⨯矩阵,记),,,(21n A ααα =,设β是一个列向量,记),,,,(21βαααn A =为方程组β=AX 的增广矩阵,令),,,(21βααn A =,已知方程组β=AX 有解,证明:方程组β=AX 的任一解的第一个分量为零当且仅当)()(1A r A r <.12. 设向量组m ααα,,,21 线性无关,而向量组m αααβ,,,,21 线性相关,且0≠β,证明:向量组m αααβ,,,,21 中有且仅有一个向量)1(m j j ≤≤α可由其前面的向量121,,,,-j αααβ 线性表出.13. 设n m ⨯矩阵A ,β=AX 是非齐次线性方程组,有解0γ,s ηηη,,,21 是导出组0=AX 的一个基础解系,证明: (1) s ηγηγηγγ+++020100,,,, 是β=AX 的线性无关的解.(2) β=AX 的任一解可表示为s ηγηγηγγ+++020100,,,, 的一个线性组合. 14. (1) 设A 是n 阶方阵,满足A A =2,则存在可逆矩阵P ,使得⎪⎪⎭⎫⎝⎛=-0001rE AP P . 设A 是n 阶方阵,满足E A =2,则存在可逆矩阵P ,使得⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=--r n rE E AP P 001. 设A 是n 阶方阵,满足02=A ,则存在可逆矩阵P ,使得⎪⎪⎭⎫⎝⎛=-000001rE AP P . 15. 设B A ,都是n 阶方阵,A A =2,BA AB B B ==,2,证明存在可逆阵G ,使得BG G AG G 11,--同时为对角阵.16. 设A 是一个n 阶可逆矩阵,证明:存在对角元为1的下三角阵L 和上三角阵T ,使得LT A =当且仅当A 的各阶顺序主子式均非零,且上述分解唯一.17. 设F 是一个数域, nm F ∈ααα,,,21 ,s r m =),,,(21ααα ,且m ααα,,,21 中任意s 个向量均线性无关,证明: 1) 若02211=+++m m k k k ααα ,则或者021====m k k k 或者至少存在1+s 个系数全不为零.2) 若m s <,则m ααα,,,21 中任一向量均可由其余向量线性表出.四.二次型部分. 计算题:1. t 取何值时,二次型323121232221321222)(),,(x x x x x x x x x t x x x f -++++=正定. 2. 化二次型23323121321262),,(x x x x x x x x x x f ++-=为标准形3. 用正交线性替换化二次型323121232221844552x x x x x x x x x f --+++=为标准形.4. 设实对称阵,⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=510810228211A ,(1) 求A 的特征根及相应的线性无关的特征向量. (2) 求正交阵Q ,使得AQ Q T是对角阵. 5. 设A 是n 阶可逆实矩阵,求⎪⎪⎭⎫⎝⎛=00T A A B 的正负惯性指数. 6. 用正交线性替换化实二次型323121232221321222),,(x x x x x bx x ax x x x x f +++++=为标准形.证明题:7. 假设AX X f T =是一个实二次型,若有n 维实向量21,X X 使得0,02211<>AX X AX X TT ,证明:存在n 维实向量0X ,使得000=AX X T.8. 下列关于n 阶实对称阵A 的命题等价. (1) A 是正定阵.(2) 存在主对角线元素全等于1的上三角矩阵B ,使得DB B A T=,其中D 是正定对角阵. (3) 存在主对角线元素全为正的上三角阵C ,使得C C A T=.9. 设AX X X f T=)(是实二次型,若A 的前1-n 个顺序主子式11,,-n P P 非零,求证:经过可逆线性变换f 可化为下标准形212212211n n n y P P y P P y P f -+++= ,其中A P n =. 10. (1) 设A 是n 阶半正定阵,求证:对于任意的自然数1>k ,必存在同阶半正定阵B ,使kB A =. (2) 设A 是n 阶正定阵,求证:对于任意的自然数1>k ,必存在同阶正定阵B ,使kB A =. 11. . (1) 设A 是n 阶正定阵,B 是n 阶实对称阵,则存在可逆阵P ,使得E AP P T=,⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=n T BP P λλλ21,其中i λ是B A 1-的特征值.(2) 设B A ,是n 阶实对称阵,则存在正交阵Q ,使得BQ Q AQ Q TT ,是对角阵⇔BA AB =.五. 线性空间和线性变换部分计算题:1. 设B A ,均为n 阶方阵s B r r A r ==)(,)(,k B A r =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛,设满足0=AX 与0=BX 的n 阶方阵X 组成的解空间分别为21,V V ,求21V V +的维数.2. 已知232212,1,1x x f x f x f +=+=-=是3][x F 的一组基,线性变换σ满足232211,,2x x f x f x f ++==+=σσσ.(1) 求基2,,1x x 到321,,f f f 基的过渡矩阵. (2) 求σ在321,,f f f 基下的矩阵. (3) 求2321x x f ++=在σ下的像.3. 设n 维线性空间V ,线性变换σ,n ααα,,,21 线性无关,i i βσα=,n i ,,2,1 =,设矩阵A 与B 的列向量分别是向量n ααα,,,21 与n n βββββ++-1211,,, 在V 的基n εεε,,,21 下的坐标,求σ在基n εεε,,,21 下的矩阵.4. 已知线性空间3R 的线性变换σ为TTb ac b a ),,0(),,(=σ,其中nTc b a R ∈),,(,(1) 选取3R 的一组基,求σ在基下的矩阵.(2) 求)ker(),(3σσR 及)ker()(3σσ R 的各一组基.5. 设矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=5334111y xA ,已知A 有3个线性无关的特征向量,2=λ是A 的二重特征值,求可逆矩阵P ,使得AP P 1-为对角阵.6. 设矩阵A 是n 阶可对角化矩阵,特征值为n λλλ,,,21 ,求矩阵的⎪⎪⎭⎫⎝⎛A A A A22的特征值. 7. 设⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=0110A ,AX X :σ是2R 的一个线性变换,求σ的不变子空间. 8. 设σ是n 维线性空间V 的一个线性变换,取V ∈α,设W 是含α的V 最小σ不变子空间,求W 的维数与一组基.证明题:9. 设nn F⨯是n 阶矩阵组成的线性空间,设},,0|{1nF X AX X V ∈==},,|{n s F X X AX X V ∈==证明21V V F n ⊕=当且仅当A A =2.10. 设nn FA ⨯∈,][)(),(x F x g x f ∈,且1))(),((=x g x f ,令21,,W W W 分别为齐次线性方程组0)()(=X A g A f ,0)(=X A f 与0)(=X B f 的解空间,证明21W W W ⊕=.11. 设)(x f 是数域F 上的一个二次多项式,有互异特征值F ∈21,λλ,V 是F 上的二维线性空间,σ是V 的一个线性变换,满足2,1,=≠i id i λσ,但0)(=σf ,证明: (1)21,λλ是σ的特征值, (2) 21λλV V V ⊕=. 12. 设n 维线性空间V 中的线性变换σ满足等式22E σσ+=,1{2}V Vασαα=∈=-,2{}V V ασαα=∈=,证明:12V V V =⊕.13. 设数域F 上n 阶矩阵A 的特征值n λλλ,,,21 全在F 中,则存在可逆矩阵P ,使得AP P 1-是上三角阵, 14. 设σ是2R 的一个线性变换,在标准基下的矩阵是⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=2211A (1) 证明σ的不变子空间只能为2R 与}0{,(2) 若τ是2C 的一个线性变换,在标准基下的矩阵是A ,证明τ有一维不变子空间. 15. 令σ是数域P 上线性空间V 的一个线性变换,且满足σσ=2,证明: (1) ()()10{|}V σζσζζ-=-∈. (2) ())(01V V σσ⊕=-.首届中国大学生数学竞赛赛区竞赛试卷-高等题目. 1 设nn ⨯C是n n ⨯复矩阵全体在通常的运算下所构成的复数域C 上的线性空间,⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----=--121100020001000a a a a F n n n .(1) 假设⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=nn n n n n a a a a a a a a a A212222111211,若AF FA =,证明:E a F a F a F a A n n n n 112121111++++=--- . (2) 求nn ⨯C的子空间}|{)(XF FX X F C nn =∈=⨯C的维数.证明: 设A 的列向量组为),,,(21n A ααα =,E a F a Fa F a M n n n n 112121111++++=--- ,证明A 与M 的各列对应相等.设n e e e ,,,21 为n 维单位列向量.证明:)(i i i Ae Me α==.记Tn n a a a ),,(11,---=- β则),,,,(32βn e e e F =,而且n n n e Fe e F e Fe e F e Fe =====--111321221,, . (*)则11121211111)(e E a F a Fa F a Me n n n n ++++=--- 1111122111111111211211111Ae e a e a e a e a Ee a Fe a e F a e F a n n n n n n n n ==++++=++++=-----α .211112Ae AFe FAe FMe MFe Me =====.3121212123Ae e AF Ae F Me F e MF Me =====.如此下去,就有A M =.(2) 由(1), },,,,{)(12-=n F F F E span F C ,设0112210=++++--n n F x F x F x E x ,两边同乘1e ,利用(*)得:11122101)(00e F x F x F x E x e n n --++++== 1111221110e F x e F x Fe x e x n n --++++=n n e x e x e x e x 1322110-++++=由于n e e e ,,,21 线性无关,则01210=====-n x x x x ,故12,,,,-n F F F E 线性无关,为)(F C 的基,从而n F C =)(dim .2. 假设V 是复数域C 上n 维数线性空间)0(>n ,g f ,是V 上的线性变换,若f gf fg =-,证明:f 的特征都是0,且g f ,有公共特征向量.证明: 假设0λ是f 的特征值,W 是相应的特征子空间,即})(|{0ηληη=∈=f V W ,于是W 在f 下是不变的.先证明: 00=λ,任取非零向量W ∈η,记m 为使得)(,),(),(,2ηηηηm g g g 线性相关的最小的正整数,则当10-≤≤m i 时, )(,),(),(,2ηηηηi g g g 线性无关, 10-≤≤m i 令)}(,),(),(,{2ηηηηi i g g g span W =,其中}0{0=W ,因此)1(dim m i i W i ≤≤=,并且 ===++21m m m W W W ,显然1)(+⊆i i W W g ,特别的, m W 在g 下是不变的.再证明: m W 在f 下是不变的.事实上由ηλη0)(=f ,知道ηληληηη00)()()()(+=+=g f gf fg . ηληληληληληληληηη002000002)(2)())(())(()()()(++=+++=+=g g g g g fg gfg fg)())(()()()(1111ηηηηη----+=+=k k k k k fg fg g fg gfg fg ,用归纳法可以证明)(ηk fg 可表示为)(,),(),(,2ηηηηk g g g 的线性组合,且)(ηk g 前的系数为0λ.m W 在f 下是不变的.mW f |在基)(,),(),(,12ηηηη-m g g g 下的矩阵是个上三角阵,且对角线元素都是0λ.故mW f |的迹为0λm . f gf fg =-在m W 上仍成立,而gf fg -的迹为零,故00=λm ,从而00=λ.任取W ∈η,由于0)(=ηf ,则0)()()(=+=ηηηf gf fg 故W g ∈η,因此W 在g 下是不变的.从而W 中存在g 的特征向量,这也是g f ,的公共特征向量.。

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§1 数域[达标训练题]一填空题1．数集{0}对运算封闭.2．自然数集N 对运算封闭. 3．数集},{Z b a bi a ∈+对封闭.二判断题1. 数域必含有无穷多个数.2. 所有无理数构成的集合是数域.三证明1. 证明},{)(Q b a n b a n Q ∈+=是数域,这里n 不是完全平方数.2. 证明},2{3Q b a b a ∈+不是数域.3. 若21,P P 是数域,证明21P P 也是数域,而21P P 不一定是数域.§1 数域[达标训练题解答]一填空题1．加法、减法、乘法；2.加法、乘法；3.加法、减法、乘法.二判断题 1. ( T)； 2. ( F) 三、解答题1．证明显然n Q ∈1,0. 对任意的)(,2211n Q n b a n b a ∈++,)()(2211n b a n b a +±+=)(21a a ±+n b b )(21±)(n Q ∈; )()(2211n b a n b a +⋅+n b a b a bn b a a )()(12212121+++=)(n Q ∈.当011≠+n b a 时, n b a nb a 1122++)(2121212121212121n Q n n b a a b b a n b a n b b a a ∈⋅--+--=.故},{)(Q b a n b a n Q ∈+=对加法减法乘法除法封闭.即},{)(Q b a n b a n Q ∈+=是数域.2．证明因为∈32},2{3Q b a b a ∈+,∉=⋅333422},2{3Q b a b a ∈+.即},2{3Q b a b a ∈+对乘法不封闭.所以},2{3Q b a b a ∈+不是数域.3．证明由于任意数域都包含有理数, 故21,P P 也包含有理数域, 从而21P P 包含有理数域.令21,P P b a ∈, 则1,P b a ∈, 2,P b a ∈.由于21,P P 是数域,故1,P ab b a ∈±,2,P ab b a ∈±;当0≠b 时,21,P b a P b a ∈∈, 所以21,,P P b a ab b a ∈±.即21P P 是数域.例如:取1P =},2{)2(Q b a b a Q ∈+=, =2P },3{)3(Q b a b a Q ∈+=, 容易验证21P P 不一定是数域; 取1P =Q ,=2P },3{)3(Q b a b a Q ∈+=,显然21P P =},3{Q b a b a ∈+是数域.§2 一元多项式[达标训练题]A 组一填空题1. 系数在数域P 上的关于文字x 的一元多项式指的是形式表达式 , 其中i 次项是 , i 次项系数是 , 常数项是 .2.下列形式表达式(i)2;(ii)x 1; (iii)0; (iv))3ln(132x x x +++;(v)1)1(23+--x i ix ;(vi) +++++n x n x x !1!31!2113; 其中是多项式.3. 零多项式是 , 零次多项式是 .4. 设多项式∑∑====mi ii ni ii x b x g x a x f 11)(,)(, 则)()(x g x f 的k 次项系数是 .二判断题1. 0是零次多项式.2. 若)()()()(x h x f x g x f =,则)()(x h x g =.3. 若)(),(),(x h x g x f 都是数域P 上的多项式, 则))()((x g x f +∂))((x f ∂≥或者))()((x g x f +∂))((x g ∂≥.三解答题1. 设)2()1()2()(22+-+++-=x x c x b x a x f , 试确定c b a ,,, 使)(x f (i)零次多项式; (ii)零多项式; (iii)一次多项式5-x . 2. 若)(),(x g x f 是实数域上的多项式, 证明:若,0)()(22=+x g x f 则0)()(==x g x f .B 组1.设)(),(),(x h x g x f 是实数域上的多项式, 证明:若),()()(222x xh x xg x f +=则0)()()(===x h x g x f .2.求一组满足上式的不全为零的复系数多项式.3. 次数定理中,式子 ))}(()),((max{))()((x g x f x g x f ∂∂≤+∂何时等号成立?何时小于号成立?§2 一元多项式[达标训练题解答]A 组一填空题1．1110n n n n a x a x a x a --++++，i i x a ，i a ， 0a ；2.（i ），（iii ）（v ）；3. 0，非零常数；4.∑-=-11k i ik iba .二判断题 1．(F)； 2. (F).; 3.(F). 三解答题1．解因为222()(2)(1)(2)()f x a x b x c x x a c x =-+++-+=++(2)a b c x +-)24(c b a +++.利用多项式相等的定义的:(i)⎪⎩⎪⎨⎧≠++=-+=+024020c b a c b a c a (ii) ⎪⎩⎪⎨⎧=++=-+=+024020c b a c b a c a (iii) ⎪⎩⎪⎨⎧-=++=-+=+524120c b a c b a c a即(i)当0,3,≠=-=c c b c a 时, )(x f 为零次多项式; (ii)当0===c b a 时)(x f 为零多项式;(iii)6,17,6-=-==c b a 时)(x f 是一次多项式5-x .2．证明设01)(a x a x a x f n n +++= ，01)(b x b x a x g m m +++= ，则)()(22x g x f +的第k 次项系数为)(0i k i ki ik ib b aa -=-+∑=0,当0=k 得000==b a ,当1=k 时得02121=+b a ,进而011==b a ,同样地,得到022==b a …….因此0)()(==x g x fB 组1．证明若0)(≠x g (或0)(≠x h )显然得)()()(222x xh x xg x f +=是一个奇次多项式, 这是不可能的.又若0)(≠x f ,则)(),(x h x g 不全为零,因此也得)()()(222x xh x xg x f +=是一个奇次多项式, 这也是不可能的.所以0)()()(===x h x g x f2．解取1)(),1()(,2)(-=+==x x h x i x g ix x f ，则)()()(222x xh x xg x f +=. 3．解当两个多项式次数不等时或者虽然相等但最高次项系数不是相反数时,等号成立; 其余情形小于号成立.§3 整除的概念[达标训练题]A 组一填空题1. )(),(),(x h x g x f 都是][x P 中的多项式,若)()()(x h x g x f =,则称整除，称为的因式，为的倍式，记为 .2.若)(,0)(),()()()(≠≠+=x r x g x r x q x g x f 或))(())((x g x r ∂≤∂,那么除的商式是 ,余式是 ,这里][)(),(),(x P x r x g x f ∈.二判断题1. 零多项式能够整除任意多项式.2. 整除任意多项式能够被零次多项式整除.3. 若)()(),()(x f x g x g x f , 则))(())((x g x f ∂=∂.4. 若0)(),()()()(≠+=x g x r x q x g x f ,则满足该式的多项式)(),(x r x q 有且只有一对.5.若))()(()(x h x g x f +,则)()()()(x h x f x g x f 或.三解答题1．设b ax x x x f ++-=232)(，2)(2--=x x x g ，)(x g 除)(x f 的余式12)(+=x x r ，求b a ,.2. 如果))()(()()),()(()(2121x f x f x g x f x f x g +-, 则)()(,)()(21x f x g x f x g .2．如果x 不整除)(x f 与)(x g ，则x 不整除)(x f 与)(x g 的乘积.3. 证明pn m x x x x x p n m ,,,1231332++++++是非负整数.4. 证明 ①如果)()(x f x h , ()|()h x g x , 则()|(()())h x f x g x +; ②如果()|(),()|()h x f x h x g x ,则()|()()h x f x g x +不一定成立.B 组一多项选择题1.)(x f 是任意多项式,c是非零常数,则下列结论成立的是 .(A))(0x f ;(B)0)(x f ;(C) 00; (D) c 0;(E) 0c ;(F) c x f )(;(G) )(x f c ;(H))()(x f x cf .2.若在][x P 中,)(x g 整除)(x f ，为强调数域，我们记)()(x f x g P .设][)(),(x Q x g x f ∈，下列结论正确的有 .(A)若)()(x f x g Q,则)()(x f x g R ;(B) 若)()(x f x g R ⊥,则)()(x f x g q ⊥; (C)若)()(x f x g Q,则)()(x f x g R ;(D)若)()(x f x g R ⊥,则)()(x f x g q ⊥.3. 设)()(),()(x g x p x f x p ,则)(x p 整除于 .①)()(x g x f +;②)()(22x g x f +;③)()(x g x f ;④)()(33x g x f +.二证明题1. 证明)(x f x k 的充分必要条件是)(x f x .2. 证明1136********+++++-+-+-x x x x x x x x x x .3. 证明1-d x 整除1-nx 的充要条件是n d .4. 证明, 若)()()(1424423x h x x xg x f x x x +++++,则1-x 同时整除)(),(),(x h x g x f .与例2联系,将此题推广到一般结果,并证明你的结论.5. 对照多项式的整除性理论，讨论整数的整除性理论.§3 整除的概念[达标训练题解答]A 组一填空题1．)(),(x h x g ，)(x f ，)(),(x h x g ，)(x f ，)(x f ， )(),(x h x g ，)()(),()(x f x h x f x g ， )(x g ，)(x f ； 2.)(x q ，)(x r .二判断题 1.(F)； 2. (T)； 3. (F); 4.(F); 5.(F)三解答题1．解利用带余除法得)2()1)(()(-++-=b ax x x g x f ，所以12)2(+=-+x b ax ，即3,2==b a .2．证明 ))()(()()),()(()(2121x f x f x g x f x f x g +-, 利用整除性的性质，我们有))}()((21)))()(((21{)(2121x f x f x f x f x g +±-，即)()(,)()(21x f x g x f x g .3．证明若)()(x g x f x ,x不整除)(x f 与)(x g 则存在常数0,021≠≠r r ,使2211)()(,)()(r x xq x g r x xq x f +=+=, 所以+=)()(()()(21x q x xq x x g x f 2112))(r r x q r +,由于)()(x g x f x , 所以21r r x ,得出矛盾.即x 不能整除)()(x g x f 证明由于三次单位根21,ωω都是23133++++p n m x x x 的根，即12++x x 的根都是23133++++p n m x x x 的根.从而pn m x x x x x p n m ,,,1231332++++++.4. 证明因为2121()(),x x x x εε++=--其中(1,2)i i ε=是三次单位虚根, 而331320m n p i i i εεε++++=,即33132(1,2)m n p i x x x x i ε++-++=,再利用12,x x εε--互素得到3313212()()m n p x x x x x εε++--++,即2331321m n p x x x x x ++++++5．证明 ①如果)()()(x g x f x h +,因为 )()(x f x h , 由整除性性质得:)()()(()(x f x g x f x h -+,即)()(x g x h ,与)()(x g x h ⊥矛盾, 所以)()()(x g x f x h +⊥.B 组一多项选择题1．B,C,E,G,H ； 2.(A)(D);3.①②③④二、证明题1．证明充分性显然,仅证必要性. 设r x xq x f +=)()(,则+=+=)())(()(x q x C r x xq x f k k o k k k r x q x C k k k )(111--k k k k k k r C r x xq C +++--11)( k r x xp +=)(因为)(x f x 且)(x xp x ，由整除性的性质得：)(x f x k .2．证明利用带余除法, )1`)(1(12343457836912+---+-+-+-=++++x x x x x x x x x x x x x x所以1136********+++++-+-+-x x x x x x x x x x .3．证明充分性显然,仅证必要性.设r dq n +=若d r r <≠,0,)1()1(11-+-=-=-+r r dq r dq n x x x x x ,而11--dq d x x ,因此11--r d x x ,得出矛盾.所以0=r ,即n d .4．证明因为)3,2,1(4sin 4=+=k k i k conw k ππ是 123+++x x x 的根,显然)()()(4244x h x x xg x f w x k ++-,即)1()1()1(2=++h w g w f k k (3,2,1=k ),从而0)1()1()1(===h g f .一般地,我们有如下的结果:若)()()(1122121n n n n n n n x f x x xf x f x x x ----++++++ ,则1,,2,1),(1-=-n i x f x i .事实上,设i i i r x q x x f +-=)()1()(,则i ni n n i r x q x x f +-=)()1()(,进一步有 )())()()()(1()()()(122112211221------+++++++-=+++n n n n n n n n n n n n n r x xr r x q x x xq x q x x f x x xf x f由于 )()()(1122121n n n n n n n x f x x xf x f x x x ----++++++ ,)()()()1(1122121n n n n n n n n x q x x xq x q x x x x ----++-++++则1121211----+++++++n n n n r xxr r x xx.5．参见张禾瑞先生的《高等代数》（第三版）（高等教育出版社）教材，或者初等数论教材.§4 最大公因式[达标训练题]A 组一、填空1．对于任意两个多项式),(),(x g x f 它们总有公因式，我们称它为平凡公因式.2．两个零多项式的做大公因式是 .3．零多项式与任意多项式)(x f 的最大公因式是 .4．若),()(x f x g 则)(),(x f x g 的最大公因式是 .5．x x g x x f -=-=1)(,1)(2，则=))(),((x g x f ,取=)(x u ,)(x v = ,使)).(),(()()()()(x g x f x v x g x u x f =+6.若,1)()()()(=+x v x g x u x f 则)(x u 与)(x v .二、判断题1.若)(x d 是)(),(x g x f 的最大公因式，则)(x cd 也是)(),(x g x f 的最大公因式c (是常数）.2. 存在惟一一对多项式),(),(x v x u 使)).(),(()()()()(x g x f x v x g x u x f =+ 3．若 ,1))(),((=x g x f 则存在惟一一对),(),(x v x u 使 .1)()()()(=+x v x g x u x f4．若)(),(x g x f 不全为零，则 .1)))(),(()(,))(),(()((=x g x f x g x g x f x f5．由于（16,8）=8,所以多项式8与16不互素. .)(x f 与)(x g 的次数最高的公因式是最大公因式.三、解答题1. 判定32)(,1363)(223+-=++-=xd x x g x x x x f 是否互素,并求),(),(x v x u 使)).(),(()()()()(x g x f x v x g x u x f =+2. 证明:)).()(),(())()(),(())(),((x g x f x f x g x f x f x g x f -=+=3. 证明:两个多项式)(),(x g x f 都与)(x h 互素的充要条件是它们乘积)()(x g x f 与)(x h 互素.4. 若,1))(),((=x g x f 则.1))(),((=x g x f mmB 组一、选择题1. 若),()(),((x d x g x f =则成立.(A));()()(),((x d x g x f x f =+ (B));()())()().()((x h x d x h x g x h x f +=++(C)).()())()(),()()(();())(),((,x h x d x h x g x h x f D x d x g x f nm mm==+2.若,0)(≠x f 且),()()()()(),())(,)((x d x v x g x u x f x d x g x f =+=则错误结是 .;1))()(,0()()(();()(),()((==x d x g x d x f B x d x g x f A n n n).())(),()()(();())(),()((x d x g x g x f D x d x v x u C =+=3.(多项选择)若),()()()(x r x q x g x f +=则成立. ),(())(),()((x g x g x f A =();r x ()((),())((),())B f x g x f x r x = )).(),(())(),()(());(),(()(),()(());(),(())(),()((x r x q x q x f E x q x g x r x f D x r x q x g x f C ===二、解答题1. 确定k ,使24)6(2++++k x k x 与k x k x 2)2(2+++的最大公因式是一次的.2.设)(),(x g x f 不全为零,则)(x f 与)(x g 的次数最高的公因式是最大公因式;反之,)(x f 与)(x g 的最大公因式都是次数最高的公因式.3. 证明:若,1))(),((=x g x f 且,0))((,0))((>∂>∂x g x f 那么存在惟一第一对多项式)),(()(()),(())((),(),(x f x v x g x u x v x u ∂<∂∂<∂使 1)()(,0()(=x v x g x u x f4. 依照两个多项式的最大公因式式理论,讨论的有限多个多项式的最大公因式的理论(定义,存在性,求法,互素).§4 最大公因式[达标训练题解答]A 组一、填空题1．零次多项式；2. 零多项式;3.多项式()cf x c 为零次多项式;4.)(x cg ,c 为零次多项式; 5.1,,1--x x ;6.互素. 二、判断题1． F ；2.F;3.F;4.T;5.F;6.F.三、解答题 1.解:通过辗转相除法求得1))(),((=x g x f ,973697339718)(,9711976)(2++-=-=x x x v x x u .2.证明:设)())(),((x d x g x f =,容易证明)(x d 是)()(),(x g x f x f ±的公因式;对)()(),(x g x f x f ±的任意公因式,容易证明它是)(),(x g x f 的公因式,从而它整除于)(),(x g x f 的最大公因式)(x d .即)()(),(x g x f x f ±的任意公因式整除于它的公因式)(x d ,所以)(x d 是)()(),(x g x f x f ±的最大公因式.3.证明:1))(),((=x h x f ,1))(),((=x h x g ,则存在)(),(x v x u 与)(),(x q x p ,使1)()()()(=+x h x v x f x u ,1)()()()(=+x q x h x p x g ,以上两式相乘容易得到1)()()()()(=+x h x V x g x f x U ,故1))(),()((=x h x g x f .反过来若1))(),()((=x h x g x f ，则存在)(),(x v x u ，使1)()()()()(=+x v x h x u x g x f ，若令)()()(x p x u x g =，则有1)()()()(=+x v x h x p x f ，故1))(),((=x h x f ，同样的若令)()()(x q x u x f =，则有1)()()()(=+x v x h x q x g ，故1))(),((=x h x g .4．证明：首先利用上题及归纳法容易证明，若1))(),((=x g x f ，1))(),((=x g x f m ，同样的利用归纳法证明1))(),((=x g x f n m .B 组一、选择题 1．（A ）(D)；2.（C ）;3. (A,E) 二、解答题1．解利用辗转相除法容易得到:)224()()(+++=k x x g x f ,)1)(3(41)232)(224(41)(---++++=k k k x k x x g因此最大公因式是一次的条件是3=k 或者1=k .2.证明设)(x d 是)(),(x g x f 的次数最高的公因式,)(0x d 是)(),(x g x f 的最大公因式,所以)()(0x d x d ,而0)(0≠x d 因此)(0x d 的次数等于)(x d 的次数,从而)()(0x cd x d =.故)(x d 是)(),(x g x f 的最大公因式式.反之,若)(0x d 是)(),(x g x f 的最大公因式,由于)(x d 是公因式,因此)()(0x d x d ,所以要么)(x d 是零多项式,要么)(x d 的次数不大于)(0x d 的次数.但0)(0≠x d ,所以)(x d 的次数不大于)(0x d 的次数.故)(0x d 是)(),(x g x f 的次数最大的多项式.3.证明: 由互素的充分必要条件知存在)(),(x v x u 使1=+gv fu . 首先证明若g u ∂<∂,必有f v ∂<∂.由gv fu -=1gv fu ∂=∂,所以v g u f ∂+∂=∂+∂,因此若g u ∂<∂,必有f v ∂<∂.其次证明如果,可以重新选取11,v u ,使11,v u 符合要求.由带余除法定理知存在r q ,使g r r r gq u ∂<∂∨=+=0,,所以1)(=++gv r gq f .若0=r 上式为1)(=+v fq g ,可得到0=∂g 与已知矛盾.若g r ∂<∂,上式为1)(=++v fq g fr ,由(1)知f v fq ∂<+∂)(令11,v v fq u r =+=,则有111=+gv fu .最后证明唯一性.如果存在2211,;,v u v u ,2,1,,,1,12211=∂<∂∂<∂=+=+i f v g u gv fu gv fu i i 则)()(1221v v g u u f -=-,因为1),(=g f ,所以12v v f -,故21v v =,同样的21u u =. 4.(参照张禾瑞编高等代数)§5因式分解定理[达标训练题]一、填空题1.)(x p 是不可约多项式,],[)(x P x f ∈若 )(x p ⊥)(x f ,则 .2. )(x p 是不可约多项式, ],[)(x P x f ∈则)(x p 与)(x f 互素的充要条件是 .3.判定多项式2x +2在数域P 上的可约性.(i )P=Q 时 ;)(ii P=R时 ;)(iii P=C 时 .4.)(x f =)42(-x 23)33(+x )2(+x 的标准分解式是 .5.)(x f =2)2(+x 3)1()4(24++x x ,)(x g =4)3(+x )1(-x 2)2(+x 2,则()(x f ,)(x g )= .二、判断题1. 任意数域上都有不可约多项式.2. 若)(x h )(x f )(x g ,则)()(x f x h 或).()(x g x h3. )(x p 是不可约多项式,)()(x f x p ⊥且)()(x g x p ⊥,则)()()(x g x f x p ⊥.三、解答题1.分别在有理数、实数域、复数域上分解14+x 为不可约多项式的乘积.2.证明:若)(x p 不可约, )(x p ()(x f +)(x g ),)(x p )(x f )(x g ,则)(x p )(x f ,且)(x p )(x g .若)(x p 可约,上述结论是否成立?为什么?3. )(x p 是次数大于零的多项式,若 )(x p 与任一多项式)(x f 的关系只有两种情况()(x p ,)(x f )=1, 或)(x p )(x f ,)(x p 是否是不可约的?并说明理由.4.若)(x f 是次数大于零的首项系数为1的多项式,证明)(x f 是不可约多项式的方幂的充要条件是:对任意的多项式)(x g ,或者()(x f ,)(x g )=1,或者存在正整数m ,使)()(x g x f m.§5因式分解定理[达标训练题解答]一、填空题 1.1))(),((=x f x p ; 2.)(x p 不整除于)(x f ； 3. 不可约, 不可约,可约; 4.32)1()2)(2(36+-+x x x ; 5. 1. 二、判断题 1.T; 2.F; 3.F . 三、解答题1. 解在有理数14+x 为不可约多项式, 因此在有理数14+x 的分解式为其本身.在实数域:4221(1)(1)x x x +=-++在复数域上:))()()(())((123232121224i x i x i x i x i x i x x +-+-=+-=+. 2. 证明:若)(x p 不可约, 由)(x p )(x f )(x g ,则)(x p )(x f 或)(x p )(x g .若)(x p )(x f 成立, 又)(x p ()(x f +)(x g ),所以)(x p )(x f )(x g ,则)(x p )(x g 成立;同样地若)(x p )(x g 成立利用)(x p ()(x f +)(x g )得到)(x p )(x f 成立.总之有)(x p )(x f 与)(x p )(x g 同时成立.若)(x p 可约,上述结论不成立.事实上取,)(,)(,)(22x x x g x x f x x p -===则)()()(x g x f x p 且)(x p ()(x f +)(x g ),但)(x p 即不整除0(x f 也不整除)(x g .3. )(x p 是不可约多项式. 证明如下:若)(x p 可约,则存在)2,1)(()(0),(=∂<∂<i x p x p x p i i ,使)()()(21x p x p x p =,利用题设可以得出()(x p ,)(x p i )=1或者)()(x p x p i ,而事实上,这两种结果都不能成立.因此)(x p 可约的假设不正确.4．证明:必要性.设)()(x p x f m=()(x p 为不可约多项式),显然对任意的)(x g ,若1))(),((=x g x p ,则1))(),(())(),((==x g x p x g x f m ,若)()(x g x p ,则)()(x g x p m m ,即存在正整数m ,使)()(x g x f m .充分性: 设)1))()((,0)()()(()()(1111=>∂=x f x p x f x p x f x p x f k不可约，,取)()(1x p x g =,则()(x f ,)(x g )=1不成立, 且对任意正整数m ,)()(x g x f m不成立.故)1))()((,0)()()(()()(1111=>∂=x f x p x f x p x f x p x f k 不可约，不成立.即)(x f 是不可约多项式的方幂.§6 重因式[达标训练题]一、填空题1.设多项式)(x f =22)4-x 2)2(-x )2(+x )3(-x ,则)(x f 的单项式是 ,重因式是,它们的重数分别是 .2.若)(x p 是)(x f 的5重因式,则)(x p 是的3重因式, 的单项式.3.)(2x f 的微商是 .4. 与)(x f 有相同的不可约因式,但无重因式.5, )(x p 是()(x f ,)(/x f )的)1(≥k k 重因式,则)(x p 是)(x f 的重因式. 一、判断题1. )(x p 是)(x f 的k 重因式,则 )(x p 是)(/x f 的1-k 重因式)1(≥k2., )(x p 是)(/x f 的k 重因式,则 )(x p 是)(x f 的1+k 重因式. 2．多项式的重因式不因数域的扩大改变. 四、解答题1. 判断下列多项式有无重因式,若有,求出重因式.(i ))(x f =35423-+-x x x ;(i i ))(x f =3x 1-2. 将)(x f =x x x +-232单项式化,然后分解因式.3. 证明: )(x f =1+!!22n x x x n+++ 没有重因式. 4.a ,b 满足什么条件,b ax x ++33有重因式.§6 重因式[达标训练题解答]一、填空题1.3-x , 2-x 与2+x , 4与3;2.)(x f '';3.)()(2x f x f ';4.))(),(()(x f x f x f '; 5.1+k . 二、判断题 1.F; 2.T; 3.F. 三、解答题1. 解: (1)利用辗转相除法容易求出1))(),((='x f x f ,所以)(x f =35423-+-x x x 无重因式.(2)同(1).2. 解：容易计算)1())(),((-='x x f x f ，所以1-x 是)(x f 的二重因式，又)1())(),(()(-='x x x f x f x f ，故)(x f =2)1(-x x x x x +-232. 3. 证明:12)!1(1!211)(--++++='n x n x x x f ,1))!1(11,!1())(),()(())(),((1=-+++=''-='-n n x n x x n x f x f x f x f x f .故无重因式.4.解: 显然当0a b ==时，b ax x ++33有三重因式x ，当0,0a b =≠时b ax x ++33无重因式；当0a ≠时，当204b a a +=时，2((),())22bf x f x x x a a '=+=-，b ax x ++33有二重因式22x a -§7 多项式函数[达标训练题]A 组一、填空题1.多项式有无穷多个根.2,若)(x f =23432x x x -+,则)2(f = , )(x f 的根是 ,重根是,其重数是 . 3.α是多项式)(x f 微商的k 重根,则 α是)()3(x f 的重根.这里k ≥5.4.若α是)(/x f 的k 重根,且满足 , α是)(x f 的1+k 重根.二、判断题1. 若)(x f 没有重根,则)(x f 没有重因式.2. 若)(x f 没有根,则)(x f 不可约.3.)(x f 没有重根,()(x f ,)(/x f )=1 4. ()(x f ,)(/x f )=1,则)(x f 无重根.三、解答题1. 求一个次数小于3的多因式,使f (2)=1,)1(-f =2-, f (3)=2.2. 证明多项式)(x f =!)1(21n x n n nx x n n n +-++--无重根.B 组1. 求一个满足下列条件的三次多项式:(i )3-x )(x f ;(i i )3+x 除)(x f 的余数是4; (i i i ))(x f 被2-x ,2+x 除的余数相等.2. 证明x sin 不能表示成x 的多项式.3. 多项式)(x f 满足)(x f =)(b x f +求证: )(x f 是常量,这里0≠b .4. 证明:如果)()()(1432424123x f x x xf x f x x x +++++则ιf (1)=0,τ=1,2,3. 5. 设)(x f 和)(x p 是有理系数多项式, )(x p 在Q 上不可约,若)(x f 与)(x p 有一个公共复根,则)()(x f x p .§7 多项式函数[达标训练题答案]A 组一、填空题1．零多项式；2.-12, 0(二重),3,-1, 0,2; 3. 4-k ; 4. α是)(x f 的根; 二、判断题1．F ；2.F; 3.F; 4.T. 三、解答题1．解利用拉格朗日插枝公式13231))1(3)(23())1()(2(2)31)(21()3)(2(2)32))(1(2()3))(1((1)(2+-=------⨯+------⨯-+------⨯=x x x x x x x x x f 2.证明：)!1()2)(1()1()(221-++--+-+='---n x n n n x n n nx x f n n n ，所以 ='-'='))()(),(())(),((x f x f x f x f x f ),)!1()2)(1()1((321n n n n x n x n n n x n n nx -++--+-+--- =1.所以)!1()2)(1()1()(21-++--+-+=--n x n n n x n n nx x f n n n 无重根. B 组1．解：设)()3()(x g x x f -=，c bx ax x g ++=2)(，则 c x b c x a b ax x f 3)3()3()(2--+-+=利用综合除法得到用3+x 除)(x f 得余数461854=-+-c b a ,用2,2+-x x 除)(x f 得到的余式分别是20510,42-----b a b a .由题设得到下列方程组⎩⎨⎧-+=---=-+-c b a c b a c b a 5102024461854由此解出一个解⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=-=-=0458456c b a .2．证明：若x sin 表示成一个n 次多项式，则它最多只能有n 个根因此它是0.事实上0sin ≠x .3．证明令)0)(()()(≠+-=b b x f x f x g ，则)(x g 若不是零多项式，则其常数项为0)(=-b f ，从而 ,2,b b 都是)(x f 根，这样0)(=x f .若)(x g 不是0多项式，而它有无穷多个根.4．证明：考虑四次单位根42sin42cos ππεk i k k +=3,2,1=k ，显然)(143123ε-=+++∏=x x x x k ，则42sin 42cosππεk i k k +=是)()()(424221x f x x xf x f ++的根，即)3,2,1(0)1()1()1()1(3211==+++k f f f f k k k εεε进一步得0)1(=k f .5．证明首先多项式的最大公因式不因数域的扩大而改变.因此若)(x p 在有理数域上不能整除于)(x f ，则无论在有理数域还是复数域均有1))(),((=x f x p 而事实上在复数域上1))(),((=x f x p 不成立.因此)(x p 在有理数域上整除于)(x f .§8 复数域与实数域上多项式的因式分解[达标训练题]A 组一、填空题1．复数域上不可约多项式是，实数域上不可约多项式是 .2. )(x f ][x R ∈是首项系数为1的7次多项式,且 )(x f 有2重根i 32-,单根0、1、-2，则)(x f 的标准分解式是 .3. )(x f =][3x R q px x ∈++,有一须根,bi a +则)(x f 的所有根是 .4.44-x 在复数域上分解式是 .在实数域上的分解式是 .二、解答题1. 求有单根i 21-及2重根1懂得次数最低的受项系数为1的复系数多项式和实系数多项式.2. 证明:奇数次实系数多项式必有实根.3. 设)(x p 是R 上不可约多项式,对于)(x f ][x R ∈,如果)(x p 与)(x f 在C 中有多项式α,证明)()(x f x p .B 组1.(选择填空)若多项式)(x f 的各项系数都同号,那么)(x f .(i)无实根;(ii)无复实根;(iii)无正实根;(iv)既有正根又有负根.2.在C 和R 上分解1-nx 为不可约因式之积.3.设)(x f 表示把多项式)(x f 的系数换成它们的公轭复数所得到的多项式.证明:(i)若)()(x f x g ,则)()(x f x f ; (ii)( )(x f ,)(x f )=)(x d 是实系数多项式.§8 复数域与实数域上多项式的因式分解[达标训练题解答]A 组一、填空题1．一次多项式，一次与部分二次不可约多项式；2.22)74)(2)(1(+-+-x x x x x ； 3.2a 2-，bi a bi a -+,；4.)2)(2)(2)(2(i x i x x x -+-+，)2)(2)(2(2+-+x x x . 二、解答题1．解：在复数域上)21)(21()1()(2i x i x x x f --+--=, 在实数域上)32()1()(22+--=x x x x f . 2 .证明: 若无实根,则该多项式全是虚根,而实系数多项式的虚根成对出现,因此与多项式是奇数次的矛盾.3．证明: 首先多项式的最大公因式不因数域的扩大而改变.因此若)(x p 在实数数域上不能整除于)(x f ，则无论在实数数域还是复数域均有1))(),((=x f x p 而事实上在复数域上1))(),((=x f x p 不成立.因此)(x p 在实数域上整除于)(x f .B 组1．（iii ）2．解：在实数域上，11(1)(1)n n x x x x --=-+++在复数域上011221()()(),cossin ,0,1,1n n k k k x x x x i k n n n ππεεεε--=---=+=-.3．证明 (i)若)()(x f x g ,则存在(),()()()h x f x g x h x =，利用共轭复数的运算性质喝多项式乘法法则，有()()()f x g x h x =，故()()g x f x ;(ii)由于()()f x f x +是实系数多项式， ((),())((),()())f x f x f x f x f x =+,，故((),())()f x f x d x =是实系数多项式.§9 有理数域上多项式 [达标训练题]A 组一、填空题1.设)(x f 是数域P 上的不可约多项式,))((x f ∂=n ,若P=C,则n = .;若P=R,则n = ; 若P=Q,则n = .2.若整系数多项式)(x f 不存在素数p 满足艾氏判别法的条件,则)(x f 的Q 上 .3.1221334-+-x x x 所有可能的有理数根是. 二、判断题1. 若不存在素数p 能整除整系数多项式)(x f 的所有系数,则)(x f 是本原的2. 任何一个有理系数多项式都能表示成一个有理数与本原多项式之积.3. 若)(x f 是次数≥1的整系数多项式,则)(x f 在Q 上可约⇔)(x f 能分解成两个次数较低的整系数多项式的乘积.4. )(x f ∈Q ][x 有无理根,则)(x f 在Q 上不可约. 三、解答题1. 把下列多项式表示成一个有理数与本原多项式的乘积.)(i ;46223-+x x )(ii .271313-x x2. 证明下列多项式在Q 上不可约.)(i 13)(1)(;6423234234+-++++---x x iii x x x x ii x x x3. 用试根法求4323+-x x 的有理根. 4. 证明32是无理数.B 组1. 5次有理系数多项式)(x f 在Q 上可约,则下类断言正确的是 .(A))(x f 至少有一个有理根; (B))(x f 不一定有有理根;(C))(x f 恰有一个有理根; (D))(x f 含有一个2次不可约因式.2.证明)(x f =!!212p x x x p+++在有理数域Q 上不可约(p 是素数) .3.求3212252345--+--x x x x x 的有理根.4.设)(x f 是次数为n 的有理系数多项式,(i)当n >1时,说明)(x f 是否有有理根与其可约性的关系;(ii) n =3时,上述关系如何? (iii)n =4时,给出一个无有理根,但)(x f 可约的例子.5.整系数多项式)(x f 对某一整数m 有)(m f 和)1(+m f 都是奇数,证明)(x f 无整数根.§9 有理数域上多项式 [达标训练题答案]A 组一、填空题1．1，1或2，任意正整数；2.可能可约也可能不可约；3.31,1±±二、判断题1．T ；2.F （若是非零多项式正确）；3.T. 三、解答题1．解：)(i )23(24622323-+=-+x x x x ；)(ii )4237(21127131233-+=-+x x x x2．解：)(i 642234---x x x ，取2=p ，利用Eisenstien 判别法即得不可约；1)234++++x x x x ii ，令1+=x y ，则)(5101051234234y g y y y y x x x x =++++=++++，取5=p ，利用Eisenstien 判别法即得)(y g 不可约，从而1234++++x x x x 不可约；13)(3+-x x iii ，令1+=x y ，则)(63613233y h x y y x x =+++=+-，取3=p利用Eisenstien 判别法即得)(y h 不可约，从而133+-x x 不可约.3. 解：4323+-x x 的所有可能根是：4,2,1±±±，因为4323+-x x 的各项系数之和不等于0，奇次项系数之和等于0，所以-1是根，1不是根.容易利用综合除法验证4,2±±都不是根.4．证明：因为2)(3-=x x f 无有理根，而32是2)(3-=x x f 的根，因此它不是有理数，从而是无理数.B 组1.（B ）2．证明：)(x f = )3)1(!!(!1!!21122p p p x px x p p x p p P p x x x +++-++=+++-对多项式)3)1(!!(12pp x px x p p x p p +++-++- 利用Eisenstien 判别法即得在有理数域Q 上不可约(p 是素数)..3. 解：)64522(2132122523452345--+--=--+--x x x x x x x x x x ，而645222345--+--x x x x x 的所有可能有理根为23,21,6,3,2,1±±±±±±，然后可用试根法得出全部有理根为：-1，2,21.4.. 解设)(x f 是次数为n 的有理系数多项式,(i)当n =2、n =3时, )(x f 有有理根是可约的充要条件.当3>n 时,)(x f 有有理根是可约充分条件,但不是必要条件.n =4时,例如22)1()(+=x x f 无有理根,但)(x f 可约. 5. 证明: 设α是多项式)(x f 的整数根,则 )()()(x g x x f α-=,)(x g 是整系数多项式.从而)()()(m g m m f α-=)()1()1(x g m m f α-+=+都是奇数.这是不可能的.§10 多元多项式[达标训练题]一、填空题1.多项式),,(4321x x x x f =2322141221232212x x x x x x x x x ++++是元次多项式,首项是 , 是同类项.2.设g ),,(321x x x =23221x x x +221x x +21x +322x x -212x x ,按字典排列,),,(321x x x g = .按齐次成分),,(321x x x g 排列成 , 按2x 的降幂排列=),,(321x x x g = .3．设=),,(321x x x f 32221122x x x x x ++， =),,(321x x x g 32121x x x x x +则),,(321x x x f =),,(321x x x g ，),,(321x x x f ),,(321x x x g 的首项是，),,(321x x x f +=),,(321x x x g ，)0,1,1(-x f =-)0,1,1(g ，)0,1,1(-x f +=-)0,1,1(g . 二、解答题1．写出数域P 上三元三次多项式的一般形式.2．两个n 元多项式首项的和是不是首项？为什么？3．证明：若n 元数组),,,(),,(2121n n b b b a a a ≥，且),,,(),,(2121n n b b b a a a ≤，则),,2,1(n i b a i i ==.此时记),,,(),,(2121n n b b b a a a =.4.举反例说明，当2≥n 时，类似于一元多项式的带余除法定理不成立.§10 多元多项式[达标训练题答案]一、填空题1.4，5，221x x ,无同类项；2.g ),,(321x x x =221x x +21x +23221x x x -212x x +322x x ，g ),,(321x x x =23221x x x +（221x x +322x x ）-212x x +21x ，g ),,(321x x x =23221x x x +322x x +221x x -212x x+21x . 3.332232213221332212213231x x x x x x x x x x x x x x x x +++++，3231x x x ，2322132122121x x x x x x x x x x ++++，-2，1.二、解答题1．解：数域P 上三元三次多项式的一般形式是：300123002201032011220201100311012111021200x a x a x a x x a x a x a x x a x x a x a ++++++++.2．解：两个n 元多项式首项的和不一定是首项：例如3212131,x x x g x x x f +=+=的首项分别是121,x x ，显然121x x +不是g f +的首项.3．证明是简单的从略例如：212131,x x g x x x f =+=显然对任意的q ，r qg f +=中r 中必包含单项式31x ，因此0,=∂<∂r g r 都不成立§11 对称多项式[达标训练题]一、填空题1.二元多形式的一般形式是，二元二次对称多项式的一般形式是，二元二次齐次多项式的一般形式是，二元二次齐次对称多项式的一般形式是 .2．4321,,,x x x x 的初等对称多项式是：=1σ ; =2σ ； =3σ ;=4σ . 若4321,,,x x x x 是4322314)(a x a x a x a x x f ++++=的四个根，则=1σ ; =2σ ；=3σ ;=4σ .3.三元对称多项式232221x x x ++可以由初等对称多项式来表示.二、解答题1.将下列多项式初等化：（1）))()((133221x x x x x x +++; （2）322121),,,(x x x x x x f n ∑= . 2.设n a a a ,,21是数域P 上的多项式在复数域K 上的根，证明n a a a ,,21的每一个对称多项式都可以表示成P 上关于1a 的多项式.§11 对称多项式[达标训练题解答]一、填空题1．201220211021112120x a x a x a x x a x a ++++， )2,1,)((==∑j i a a x x aji ij ijj i ij，)()(21212221x x c x bx x x a ++++.2.4321x x x x +++,)323121x x x x x x ++，432431421321x x x x x x x x x x x x +++，4321x x x x ，4321,,,a a a a --；3.3213133σσσσ+-. 二、解答题解：（1）因为2312213213212211332212))()((x x x x x x x x x x x x x x x x x f ++++=+++=232322x x x x ++，它的首项是221x x 对应的有序数组是（2，1，0），因此作多项式332103012121σσσσ-=-=---x x x f .所以3321σσσσ-=f .（2）由于2322132213221322121),,,(x x x x x x x x x x x x x x x f n ++==∑ ，其首项是3221x x x ，当3=n ，令0),,(313211=-=σσx x x f f ，所以，3121),,,(σσ=n x x x f .当3>n 时，根据首相为3221x x x ，则可设43121),,,(σσσa x x x f n -= ，令0,154321=======n x x x x x x 代入即得4-=a .2．证明：设),,,(21n a a a f 为关于n a a a ,,21的任意对称多形式，则由基本定律知),,(),,,(1121-''=n n g a a a f σσ ，其中11,,-''n σσ 关于n a a a ,,21的全部初等对称多项式.显然n n n x x a σσσσσσσσ111122111,,,-=''-='-='- ，再由根与系数的关系得出上式中的i σ'是关于1a 的多项式.。

高等代数考试题和答案

高等代数考试题和答案一、单项选择题（每题3分，共30分）1. 向量空间中，线性无关的定义是（）。

A. 向量空间中的任意向量不能表示为其他向量的线性组合B. 向量空间中的任意向量可以表示为其他向量的线性组合C. 向量空间中的所有向量可以表示为其他向量的线性组合D. 向量空间中的部分向量可以表示为其他向量的线性组合答案：A2. 矩阵A的行列式为0，则矩阵A（）。

A. 可逆B. 不可逆C. 可逆或不可逆D. 不能确定答案：B3. 对于实数域上的多项式f(x)，其根的个数（）。

A. 等于其次数B. 小于其次数C. 大于其次数D. 不确定答案：D4. 线性变换T:V→W，若对于V中的任意向量v，都有T(v)=0，则称T为（）。

A. 可逆变换B. 非奇异变换C. 零变换D. 恒等变换答案：C5. 矩阵A与矩阵B相似，则（）。

A. A和B具有相同的秩B. A和B具有相同的行列式C. A和B具有相同的特征值D. A和B具有相同的迹答案：C6. 向量组α1, α2, ..., αs在向量空间V中张成V，则称向量组（）。

A. 线性相关B. 线性无关C. 基D. 零向量组答案：C7. 矩阵A的转置记作（）。

A. A'B. A^TC. A^HD. A*答案：B8. 矩阵A的特征多项式为f(λ)=det(A-λI)，则f(λ)的根称为矩阵A的（）。

A. 特征值B. 特征向量C. 特征多项式D. 特征函数答案：A9. 向量空间V的维数等于V的任意一组基的向量个数，这称为（）。

A. 基定理B. 维数定理C. 线性空间定理D. 向量空间定理答案：B10. 矩阵A和B可以进行矩阵乘法，则（）。

A. A的列数等于B的行数B. A的行数等于B的列数C. A的行数等于B的行数D. A的列数等于B的列数答案：A二、填空题（每题4分，共20分）11. 矩阵A的秩是指矩阵A中线性无关的行（或列）向量的最大个数，记作rank(A)。

12. 矩阵A和B的乘积记作AB，其中A的列数必须等于B的行数。

高等代数试题及参考答案

高等代数试题及参考答案The document was prepared on January 2, 2021高等代数一考试试卷一、单选题每一小题备选答案中,只有一个答案是正确的,请把你认为正确答案的题号填入答题纸内相应的表格中.错选、多选、不选均不给分,6小题,每小题4分,共24分 1. 以下乘积中是4阶行列式ij D a =展开式中取负号的项.A 、11223344a a a a .B 、14233142a a a a .C 、12233144a a a a .D 、23413214a a a a .2．行列式13402324a --中元素a 的代数余子式是 .A 、0324-. B 、0324--. C 、1403-. D 、1403. 3．设,A B 都是n 阶矩阵,若AB O =,则正确的是 . A 、()()r A r B n +≤. B 、0A =. C 、A O =或B O =. D 、0A ≠.4．下列向量组中,线性无关的是 .A 、{}0.B 、{},,αβ0.C 、{}12,,,r ααα,其中12m αα=.D 、{}12,,,r ααα,其中任一向量都不能表示成其余向量的线性组合. 5．设A 是n 阶矩阵且()r A r n =<,则A 中 .A 、必有r 个行向量线性无关.B 、任意r 个行向量线性无关.C 、任意r 个行向量构成一个极大线性无关组.D 、任意一个行向量都能被其它r 个行向量线性表出.6．n 阶矩阵A 具有n 个不同的特征值是A 与对角阵相似的条件. A 、充要. B 、充分非必要. C 、必要非充分. D 、非充分非必要. 二、判断题正确的打√,错误的打×,5小题,每小题2分,共10分.1．若A 为n 阶矩阵,k 为非零常数,则kA k A =. 2．若两个向量组等价,则它们包含的向量个数相同. 3．对任一排列施行偶数次对换后,排列的奇偶性不变. 4．正交矩阵的逆矩阵仍是正交矩阵. 5．任何数域都包含有理数域. 三、填空题每空4分,共24分.1．行列式000100201000D n n==- . 2．已知5(1,0,1)3(1,0,2)(1,3,1),(4,2,1)αβ---=--=-,则α= ,(,)αβ= .3．矩阵12311211022584311112A ---⎡⎤⎢⎥--⎢⎥=⎢⎥---⎢⎥--⎣⎦,则()r A = . 4．设线性方程组11112211211222221122n n n n n n nn n na x a x a xb a x a x a x b a x a x a x b +++=⎧⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩有解,其系数矩阵A 与增广矩阵A 的秩分别为s 和t ,则s 与t 的大小关系是 .5．设111123111,124111051A B ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=-=--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦,则1A B -= . 四、计算题4小题,共42分1．计算行列式1111111111111a a a a；2111116541362516121612564.每小题6分,共12分2．用基础解系表出线性方程组123451234512345123452321236222223517105x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ++-+=⎧⎪+++-=⎪⎨+++-=⎪⎪+--+=⎩的全部解.10分3．求与向量组123(1,1,1,1),(1,1,0,4),(3,5,1,1)ααα==-=-等价的正交单位向量组.10分4．求矩阵211020413A -⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦的特征根和特征向量.10分一、单选题每题4分,共24分二、判断题每题2分,共10分三、填空题每空4分,共24分1．(1)2(1)!n n n --⋅； 2． 20；3．3； 4．s t =；5.351222312212112-⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦. 四、计算题共42分1．12分,每小题各6分 1解：11131111111111311111(3)111311111111311111a a a a a a a a a a a aa a a++==+++ ..............3分31111010(3)(3)(1)001001a a a a a a -=+=+--- ...................3分注：中间步骤形式多样,可酌情加分 2解：222233331111111116541654136251616541216125641654=,此行列式为范德蒙行列式 ......3分进而2222333311111654=(61)(51)(41)(56)(46)(45)12016541654=------=-原式 .......3分2．10分解：用初等变换把增广矩阵化为阶梯形1213211213211213212111360317740115411122220115410317742351710501711630171163---⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-------⎢⎥⎢⎥⎢⎥→→⎢⎥⎢⎥⎢⎥------⎢⎥⎢⎥⎢⎥--------⎣⎦⎣⎦⎣⎦1213211213210115410115410317740048510171163000000--⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥------⎢⎥⎢⎥→→⎢⎥⎢⎥-----⎢⎥⎢⎥---⎣⎦⎣⎦ ..................3分得同解方程组取45,x x 为自由未知量,得方程的一般解为12345234534521321544185x x x x x x x x x x x x++=+-⎧⎪-=+-⎨⎪=--+⎩其中45,x x 为自由未知量将450,0x x ==代入得特解01551(,,,0,0)444γ=--. ................3分用同样初等变换,得到与导出组同解的方程组12345234534523205404850x x x x x x x x x x x x ++-+=⎧⎪--+=⎨⎪+-=⎩仍取45,x x 为自由未知量,得一般解12345234534523254485x x x x x x x x x x x x++=-⎧⎪-=-⎨⎪=-+⎩,将451,0x x ==和450,4x x ==分别代入得到一个基础解系：12(1,3,2,1,0),(9,11,5,0,4)ηη=--=- ...............3分所以,原方程组的全部解为01122k k γηη++,12,k k 为数域P 中任意数. ............1分注：答案不唯一,但同一齐次方程组的基础解系必等价. 3．10分解：因123(1,1,1,1),(1,1,0,4),(3,5,1,1)ααα==-=-是线性无关向量组,现将 123,,ααα正交化,令11βα=,αβαββαββββββ-=--=-----=-313233121122(,)(,)814(3,5,1,1)(1,1,1,1)(0,2,1,3)(,)(,)414(1,1,2,0)............................6分再将向量组123,,βββ单位化,得βγβ==1111111(,,,)2222,βγβ==--2222,1,3)14,βγβ==-3332,0)6. 即123,,γγγ就是与123,,ααα等价的正交单位向量组. ....................4分注：答案不唯一. 4．10分解：A 的特征多项式为所以A 的特征值为1,2-2重. ....................4分1λ=-对应的齐次线性方程组为它的基础解系是1101η⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦, 11k η10k ≠为A 的属于特征值1-的特征向量； .................3分2λ=对应的齐次线性方程组为它的基础解系是1144231,001ηη⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦；2233k k ηη+23,k k 不同时为零为A 的属于特征值2的特征向量. ...............3分注：答案不唯一.。

《高等代数》多项式试题库

§1 数域[达标训练题]
一填空题
1�数集{0}对 2�自然数集 N 对 3�数集{a � bi a, b � Z} 对
二判断题
运算封闭. 运算封闭.
封闭.
1. 数域必含有无穷多个数. 2. 所有无理数构成的集合是数域.
三证明
1. 证明 Q( n ) � {a � b n a, b � Q} 是数域,这里 n 不是完全平方数. 2. 证明{a � b3 2 a, b � Q} 不是数域. 3. 若 P1 , P2 是数域 , 证明 P1 � P2 也是数域 , 而 P1 � P2 不一定是数
a2 � b2 n
. 当 � (a1a2 � b1bn2 ) � (a1b2 � a b2 1 ) n � Q ( n )
a1 � b1
n � 0 时,
a1 � b1
n
� a1 a 2 � b1b2 n � a1b2 � b1 a 2 �
a2 1
�
b2 1
n
a2 1
�
b2 1
n
n �Q(
n)
.故 Q(
§2 一元多项式[达标训练题]
A组
一填空题
1. 式
数项是
系数在数域 P 上的关于文字 x 的一元多项式指的是形式表达
, 其中 i 次项是
, i 次项系数是
,常
.
1
2. 下列形式表达式(i)2;(ii) x ; (iii)0; (iv) 1 � ln( x � x 2 � 3x 3 ) ;
(v)
ix 3
域.
§1 数域[达标训练题解答]
一填空题
1�加法、减法、乘法�2.加法、乘法 �3.加法、减法、乘法.

高等代数期末考试试卷

一、填空题（每小题2分，共10分）1．多项式22009320101()(2)()2f x x x =+-的常数项为。

2．设,,a b c 是方程30x px q ++=的三个根，则a bcb c a c a b = 。

3．线性方程组m n A x b ⨯=有无穷多解的充要条件是______________________。

4．设矩阵123012001A ---⎛⎫ ⎪-- ⎪ ⎪-⎝⎭＝，则1A -的秩为。

5．设实二次型123(,,)f x x x 的矩阵是111t ⎛⎫⎪⎝⎭，则123(,,)f x x x 是正定二次型的充要条件是。

二、单选题（每小题2分，共10分）1．实数域上次数大于1的多项式()f x 有一实根是()f x 在实数域上可约的（）。

a) 必要非充分条件 b) 充分必要条件 c) 充分非必要条件 d) 既非充分又非必要条件2．行列式111213212223313233a a a a a a d a a a =，则332313322212312111a a a a a a a a a =（）。

a) d - b) d c) 0 d) 不确定3．λ=（），非齐次线性方程组12323232132(3)(4)(2)x x x x x x x λλλλλλ+-=-⎧⎪-=-⎨⎪-=--+-⎩有无穷多解。

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 4．若矩阵A 满足20A A E ++=，则9A =（）。

a) A b) A - c) E d) 05．矩阵（）合同与200010005-⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭ 。

a) 4000100010⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭b) 300020005⎛⎫⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭c) 100010001-⎛⎫⎪- ⎪ ⎪⎝⎭d) 200020001⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭三、判断题（每小题2分，共10分）1．若()()()h x f x g x ，则()()h x f x 或()()h x g x 。

高等代数试题

复习提纲一、填空题1. 设B A ,是两个n 级对角矩阵，则乘积AB 是2. 实二次型()()31212322213212212,,x x x kx x k x x x x x f ++-++=为正定二次型，则k 的取值范围为3. 如果把复数域看作实数域上的线性空间，那么这个空间的维数是4．设q p ,是两个实数，在2R 中对于向量),(),,(2121b b a a ==βα，规定内积为2121),(b qb a pa +=βα，使2R 构成欧氏空间的充要条件是5．设βα,是欧氏空间V 中两个线性无关的向量，则|),(|βα ||||βα∙ . 6．在2R 中，对于向量()()2121,,,b b a a ==βα规定内积为()221153,b a b a +=βα ，则基()()1,0,0,121==e e 的度量矩阵为7．设A 是实对称矩阵，且E A =2，则A 是矩阵.已知二次型31212322212224),,(x x x tx x x x x x x f ++++=是正定二次型，则t 的取值范围是 .8．设有3R 的子空间(){}R b a b a b a W ∈=+=,,20,,，则W 的维数= .9. 设()()1,1,2,121-==εε与()()1,0,0,121==ηη是2R 中的两组基，则从基21,ηη到基21,εε的过渡矩阵为，向量()2,3-=α在基21,εε下的坐标为，设线性变换A i i ηε=()2,1=i , 则A 在基21,εε下的矩阵为 .10. 在欧式空间4R 中，已知向量()()3,2,2,1,1,5,1,3==βα，则内积()βα,= ，两向量的夹角β,= .11. 设3R 的子空间(){}R x x x x x W ∈+=21221,,0,2，维()=W ，W 的一组基为 .12. 已知二次型3231212322214225),,(x x x x x tx x x x x x x f +-+++=是正定二次型，则t 的取值范围是 .13. 设()()1,1,2,121-==εε与()()1,0,0,121==ηη是2R 中的两组基，则从基21,εε到基21,ηη的过渡矩阵为，向量()2,3-=α在基21,εε下的坐标为，设线性变换A i i ηε=()2,1=i , 则A 在基21,εε下的矩阵为 . 14. 在欧式空间4R 中，已知向量()()2,1,1,1,1,1,0,1-=-=βα，则两向量的夹角βα,= .15. 在2P 中，已知两组基：()()1,1,2,121-==εε与()(),1,0,3,121=-=ηη则基21,ηη到基21,εε的过渡矩阵为，向量()0,1=α在基21,εε下的坐标. .16. 设3R 中有两个线性变换()()0,,,,323211a a a a a =A ，()3212,,a a a A()33221,,a a a a a ++=，则()()=A -A 32121,,a a a ，()()=A ∙A 32121,,a a a .17. 设B A ,是两个n n ⨯矩阵，若B A ~，则A B ，2A 2B .18. 设3R 中有两个线性变换()()0,,,,323211a a a a a =A ，()3212,,a a a A()33221,,a a a a a ++=，则()()=A +A 32121,,a a a ，()()=A -3211,,2a a a ，()()=A ∙A 32121,,a a a线性变换()21A ∙A 在基()0,0,11=e ，()0,1,02=e ，()1,0,03=e 下的矩阵为 .19. 设矩阵A 满足O A A =-42，则A 的特征值是 .20. 设3,1,1-是33⨯矩阵A 的特征值，则3254E A A --= .21. 设q p ,是两个实数，在2R 中对于向量),(),,(2121b b a a ==βα，规定内积为2121),(b qb a pa +=βα，使2R 构成欧氏空间的充要条件是，找出2R 的一组标准正交基 .二、判断题：1. 在数域P 上，任意一个对称矩阵都合同于一个对角矩阵.2. 设A 为n 阶实对称矩阵，0>A ，则存在实的n 维向量O X ≠0，使000>'AX X .3. 正定二次型()321,,x x x f 的规范形是232221x x x ++.4. 设4321,,,αααα是线性空间V 的一组向量，则(L ),,,4321αααα),(),(4321ααααL L ⊕=.5. 设A 是线性空间V 的线性变换，V ∈βα,，若βαA =A ，则βα=.6. 设A 是线性空间V 的线性变换，ξ与η是A 的两个特征向量，则ηξ+也是A 的特征向量.7. 设A 是复数域C 上的n 维线性空间V 的线性变换，则总可以找到V 的一组基，使A 在这组基下的矩阵是对角矩阵.8. 对任意实对称矩阵A ，总能找到正交矩阵T ，使AT T 1-为对角矩阵.9. 设V 是n 维线性空间，A 是V 上的线性变换，则V A AV =+-)(1θ.10. 任意两组标准正交基间的过渡矩阵是正交矩阵.11. 设4321,,,αααα是空间V 的向量，θαααα=-+-43212345，则),(),(4321ααααL L =.12. 设两个n 级矩阵A 与B 有相同的特征多项式，则A 与B 合同. 13. 在复数域上三元二次型的规范形为()232221321,,x x x x x x f ++=.14. 全体复数可看成实数域上的二维向量空间.15. 21,V V 是线性空间V 的两个子空间，那么21V V 也是V 的子空间.16. 次数等于n 的实系数多项式的全体，对于多项式的加法和数量乘法构成实数域上的线性空间. 17. 在线性空间V 中，设αξ=A ，其中V ∈α是一固定的向量，则A 是线性空间V的线性变换.18. 设A 是线性空间V 的线性变换，ξ与η是A 的属于两个不同特征值的特征向量，则ηξ+也是A 的特征向量.19. 设A 是一个n 级正定矩阵，而(),,,,21n x x x =α(),,,,21n y y y =β在n R 中定义内积()βα,为()T A βαβα=,，则nR 是一欧式空间.20. η是欧式空间V 中一单位向量，定义()ηαηαα,-=A ，则A 是正交变换. 21. 任意一个n 级实对称矩阵A ，都存在一个n 级对角形矩阵T ，使T 与A 既合同又相似.22. 三元正定二次型的规范形为()232221321,,x x x x x x f ++=. 23. 全体复数可看成复数域上的一维向量空间.24. 21,V V 是线性空间V 的两个子空间，那么21V V 也是V 的子空间.25. 在线性空间V 中，设αξ=A ，其中V ∈α是一固定的非零向量，则A 是线性空间V 的线性变换.26. η是欧式空间V 中一单位向量，定义()ηαηαα,3-=A ，则A 是正交变换.. 27. 实对称矩阵A 是正定矩阵的充要条件是A 合同于单位矩阵. 28. 全体复数可看成实数域上的二维向量空间.29. 设n ααα,,,21 是欧式空间V 中的一组基，如果V ∈β且满足()0,=i αβ()n i ,,2,1 =，则O=β.30. 在[]x R 3中定义内积为()()()()()dx x g x f x g x f ⎰-=11,，则31,,12-x x 是 []x R 3的一组标准正交基.31. 设(){}F b a b a V ∈=,,，现取加法为通常的加法，而数量乘积重新定义为：()()kb a b a k ,,= ，则V 关于加法与新定义的数量乘积是F 上的线性空间. 32. 数域F 上的n 元线性方程组的解集合是nF 上的子空间.33. 设21,V V 是线性空间V 的两个子空间，那么21V V 也是V 的子空间. 34. 设4321,,,αααα是线性空间V 的一组向量，且满足=-+-43212345αααα，则()()432321,,,,ααααααL L =.35. 设(){}F b a b a V ∈=,,，对V 定义两种运算：()()()k d b c a d c b a ,,,,++=⊕⊙()()kb a b a ,,=，则V 关于加法和数量乘积是F 上的向量空间. 36. (){}F b a b a b a ∈+,,,是3F 的子空间.37. (){}F a a a ∈3,,1是3F 的子空间.38. nF 中，设n εεε,,,21 是n 维单位向量组，则=nF（n εεε,,,21 ）.39. 设(),,F T F Mat S n n ==⨯令()S A A A ∈=,σ，则σ是从S 到T 的一个线性变换.三、解答题1. 已知实二次型313221321),,(x x x x x x x x x f ++=（1）试用矩阵乘积的形式表示f ；（2）试求非退化线性替换化f 为标准型.2. 设22,,1x x x x ++是线性空间3][x R 的一组基，求2231x x +-在这组基的坐标.3. 设3P 中定义线性变换A 在基321,,εεε下的矩阵为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=101110211A ，计算（1）V A 与A 的秩；（2）()O 1-A 与A 的零度4. 在线性空间3P 中，给出两个向量组⎩⎨⎧=-=)1,1,1()0,1,1(21αα； ⎩⎨⎧--=-=)1,1,1()0,3,1(21ββ求),(),(2121ββααL L +与),(),(2121ββααL L 的基与维数5. 设A 是欧氏空间V 的线性变换，A 在V 的一组基321,,εεε下是矩阵为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡------=312132220A （1）求A 的特征值与一组线性无关的特征向量；（2）求可逆矩阵T ，使AT T1-为对角矩阵.6. 在欧氏空间4R 中，求与)0,4,1,1(--=α，)2,2,1,1(=β，)4,5,2,3(=γ都正交的单位向量.7. 已知实二次型323121321224),,(x x x x x x x x x f ++-=求（1）用矩阵乘积的形式表示()321,,x x x f ；（2）用非退化线性替换化()321,,x x x f 为标准形. 8. 设A 是线性空间V 的线性变换，A 在V 的一组基321,,εεε下是矩阵为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=284014013A （1）求A 的特征值与一组线性无关的特征向量；（2）问A 是否可对角化？若不可对角化，则说明理由；若可对角化，则求出可逆矩阵T ，使AT T1-为对角矩阵.9. 已知齐次线性方程组⎩⎨⎧=+-+=-+-+0032532154321x x x x x x x x x ，求（1）一个基础解系；（2）解空间的一组标准正交基. 10. 设(){}0,,3213211=++=x x x x x x V ，(){}R y y V ∈=,0,02 证明：（1）1V 是3R 子空间；（2）证明213V V R ⊕=.11. 已知实二次型32312123222132148455),,(x x x x x x x x x x x x f --+++=求（1）用矩阵乘积的形式表示()321,,x x x f ；（2）用非退化线性替换化()321,,x x x f 为标准形.12.设A 是线性空间V 的线性变换，A 在V 的一组基321,,εεε下是矩阵为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=001010100A （1）求A 的特征值与一组线性无关的特征向量；（2）问A 是否可对角化？若不可对角化，则说明理由；若可对角化，则求出可逆矩阵T ，使AT T1-为对角矩阵.13. 设(){}0,,3213211=++=x x x x x x V ，(){}32132122,,x x x x x x V ===，证明：（1）1V 是3R 子空间；（2）证明213V V R ⊕=. 14. 已知实二次型323121232232184434),,(x x x x x x x x x x x f +-+-=求（1）用矩阵乘积的形式表示()321,,x x x f ；（2）用非退化线性替换化()321,,x x x f 为标准形. （3）()321,,x x x f 的正、负惯性指数及符号差. 15. 设A 是欧氏空间V 的线性变换，A 在V 的一组基321,,εεε下是矩阵为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡------=312132220A （1）求A 的特征值与一组线性无关的特征向量；（2）求可逆矩阵T ，使AT T1-为对角矩阵；（3）写出V 的一组标准正交基，使A在这组基下的矩阵为对角矩阵. 16.设（1）证明21,v v 是3R 子空间；（2）证明213v v R ⊕=。

高等代数(II)期末考试试卷及答案(A卷)

高等代数（II ）期末考试试卷及答案(Ａ卷)一、填空题(每小题3分，共15分)1、线性空间[]Px 的两个子空间的交()()11L x L x -+=2、设12,,...,n εεε与12,,...,n εεε'''是n 维线性空间 V 的两个基，由12,,...,n εεε到12,,...,n εεε'''的过渡矩阵是C ，列向量X 是Ｖ中向量ξ在基12,,...,n εεε下的坐标，则ξ在基12,,...,n εεε'''下的坐标是3、设A 、B 是n 维线性空间V 的某一线性变换在不同基下的矩阵, 则A 与Ｂ的关系是4、设3阶方阵Ａ的3个行列式因子分别为：()21,,1,λλλ+则其特征矩阵E A λ-的标准形是5、线性方程组AX B =的最小二乘解所满足的线性方程组是：二、单项选择题（每小题3分，共15分)1、 ( ）复数域Ｃ作为实数域R 上的线性空间可与下列哪一个线性空间同构：(A)数域P 上所有二级对角矩阵作成的线性空间; （B ）数域P 上所有二级对称矩阵作成的线性空间; （C ）数域Ｐ上所有二级反对称矩阵作成的线性空间； (D ）复数域Ｃ作为复数域C 上的线性空间。

2、（）设是非零线性空间 V 的线性变换，则下列命题正确的是：（Ａ）的核是零子空间的充要条件是是满射；（B) 的核是Ｖ的充要条件是是满射（C) 的值域是零子空间的充要条件是是满射 (D) 的值域是Ｖ的充要条件是是满射。

3、( )λ-矩阵()A λ可逆的充要条件是： ()()()()0;A AB A λλ≠是一个非零常数；()()C A λ是满秩的;()()D A λ是方阵。

4、( ）设实二次型f X AX '=(A 为对称阵)经正交变换后化为：2221122...n n y y y λλλ+++，则其中的12,,...n λλλ是：()()1;A B ±全是正数;()C 是A 的所有特征值;()D 不确定。

高代行列式测试题

高等代数《行列式》测验一填空题（2'612'⨯=）1. 六阶行列式的展开式共有（）项. （A ）120 （B ）60 (C) 720 (D) 2402. 排列12345a a a a a 的逆序数为a ，则排列54321a a a a a 的逆序数为（）. (A) a - (B) 10a - (C) 10a - (D) 2a -或a +23. 0001002003004000=( ).(A) 24 (B) -24 (C) 0 (D) 124. 已知1112131111121213212223212122222331323331313232334142434141424243,,a a a b a a b a a a a b a a b a m n a a a b a a b a a a a b a a b a == 则行列式1112131112212223212231323331324142434142a a ab b a a a b b a a a b b a a a b b ++=++（）.(A) m n + (B) n m - (C) m n - (D) ()m n -+5. 已知231421,111D =- ij A 为D 的元素ij a 的代数余子式，则（）. (A) 1112130A A A ++= (B) 1121310A A A ++= (C) (A),(B)都成立 (D) (A),(B)都不成立6. 0001000020010n n =-( ).(A) 1(1)!n n +- (B) (1)2(1)!n n n --(C) (1)2(1)!n n n +- (D)!n二填空题（2'816'⨯=）1. 2011阶反对称行列式的值为 .2. 13234425k l a a a a a 为五阶行列式ij D a =中带负号的项，则k = ，l = .3. 排列(1)321n n -的逆序数为 , 13(21)24(2)n n -的逆序数为 .4. 线性方程组 1212040x x x x λλ+=⎧⎨+=⎩有唯一解，则λ满足 .5. 若n 阶行列式D 中等于0的元素个数大于2n n -，则D = .6.211203101311112x x ----的展开式中2x 的系数为 .7.1111123414916182764= .8. 已知四阶行列式D 的第3行元素为3,3,1,1--, 其对应的余子式的值为1,2,5,4, 则行列式D = .三计算题（8'756'⨯=）1. 01000020000100nn-2.000000000000nx yx yx yDx yy x=3.121111100100100naaa4.12111111naaa5.12112122121111nnnn na a aa b a aa ab aa a a b+++6.1221 00010010000001nn x ax ax ax ax a-----+7.123123123123,nnnnx a a a aa x a a aa a x a aa a a x a++++（用3种方法求解）四．应用题（8'216'⨯=）1 一城市局部交通流如下图所示（单位：辆/小时）（1）建立12345,,,,x x x x x 所满足的线性方程组；（2）要同时控制2200x ≤与350x ≤可行吗？2. ,,A B C 3家公司相互拥有的股份及单独营业的净收入如下表所示，设,,A B C 的联合收入为,,.x y z(1)建立 ,,x y z 所满足的线性方程组； (2) 求3家公司的实际收入。

(完整word版)高等代数期末模拟题(一)

专业学号姓名成绩 (分)试题全文一、填空题（请将正确答案直接填在横线上.每小题2分，共20分）: 1. 排列36215784 的逆序数是，是排列。

2．行列式513231412--的代数余子式31A = , 23A = 。

3。

设矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡=d c b a A ，当满足__________时,A 是可逆阵，其逆阵为___ _______。

4。

分块矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡00BA ，其中A ，B 都是可逆方阵，则100-⎥⎦⎤⎢⎣⎡B A = . 5. n 阶方阵A 满足032=--E A A ,则=-1A 。

6．设A 是一个n 阶方阵，则A 非奇异的充分必要条件是R （A ）=__________。

7．向量)1,2,2,3()4,2,2,1(-==βα，,则α+β=____ __,2α－3β=___ _______。

8．单独一个非零向量必线性__________。

9．设AX = O 是有6个方程，5个未知数的齐次线性方程组，其系数矩阵A 的秩为2,则方程组AX = O 有____ _____组解,其基础解系含_ ________个解向量.10．若2是可逆方阵A 的特征值,则___ ___是2A 的特征值， __ ___ 是1-A 的特征值。

二、单项选择题（在每小题的四个备选答案中，选出一个正确的答案，并将其号码填在括号内。

每小题2分，共10分）：1.设行列式121213101223,010,,31510D D D D λλλ-==-=-若则λ的取值为 ( )。

① 0， 1 ② 0, 2 ③ 1， −1 ④ 2， −12. 设A ， B 为n 阶方阵,A ≠O , 且AB = O , 则( )。

① BA = O ② ∣B ∣= 0或∣A ∣= 0 ③ B = O ④(A −B )2 = A 2 + B 23。

设有4维向量组1， …, 6，则(）。

① R (1， …,6） = 4 ② R （1 ， …， 6） = 2③ 1 ， 2 ，3 ,4必然线性无关④1 ， …, 6中至少有2个向量能由其余向量线性表示4. 当（ ) 时， ()0a A b c=是正交阵。

大学高等代数试题及答案

大学高等代数试题及答案一、单项选择题（每题2分，共10分）1. 设矩阵A为3阶方阵，且|A|=1，则矩阵A的逆矩阵的行列式是（）。

A. 0B. 1C. -1D. 32. 若线性方程组有唯一解，则该方程组的系数矩阵的秩与增广矩阵的秩（）。

A. 不相等B. 相等C. 相差1D. 相差23. 以下哪个矩阵是正交矩阵？（）A. \[\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\]B. \[\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}\]C. \[\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}\]D. \[\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}\]4. 矩阵A的特征值是λ，那么矩阵A的转置的特征值是（）。

A. λB. -λC. 0D. 不确定5. 设A是n阶方阵，且A^2=I（I是单位矩阵），则A的行列式是（）。

A. 1B. -1C. 0D. 不确定二、填空题（每题3分，共15分）6. 若矩阵A的秩为2，则A的行最简形矩阵中非零行的个数为_________。

7. 设A是3×3矩阵，且A的迹等于3，则A的对角线元素之和为_________。

8. 若线性方程组的系数矩阵A和增广矩阵B的秩相等，则该方程组有_________解。

9. 设矩阵A的特征多项式为f(λ)=λ^2-5λ+6，则A的特征值为_________。

10. 若矩阵A与B相似，则A与B有相同的_________。

三、解答题（每题10分，共20分）11. 给定矩阵\[A=\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2\end{pmatrix}\]，求矩阵A的特征值和特征向量。

2023年长沙理工大学数学竞赛大学高年级非数学专业答案

一、填空题1. 2ln 21-；2. 1/6；3.ln 2-；4. 4π-；5. 221114ab π⎛⎫+ ⎪⎝⎭； 6. ()22!!,0,n n is a odd n is a even ⎧⎡⎤-⎪⎣⎦⎨⎪⎩； 7.()()111110,,,,xz x zz xdz dx f x y z dy dz dx f x y z dy ---+⎰⎰⎰⎰⎰⎰；8. 22006π.I =（）；9.42π(,).4a f x y x y =+；10. 0。

二、解 ))1(()1(),(22y x o y x y x f +-+---=, 由全微分旳定义知 0)0,1(=f 1)0,1()0,1(-='='y x f f .xf y e fg xy x 221⋅'+⋅'='y f x e f g xyy 221⋅'+⋅'='0)0,0(='x g0)0,0(='y g2222121121122)2()2(2f x x f y e f y e f y e x f y e f g xyxy xy xy x '+⋅''+⋅''+⋅'+⋅''+⋅''='' x y f x e f e xy e f y e y f x e f g xyxy xy xy xy xy 2)2()()2(222111211⋅''+⋅''++⋅'+⋅''+⋅''='' 2222121121122)2()2(2f y y f x e f x e f x e y f x e fg xyxyxyxyy '+⋅''+⋅''+⋅'+⋅''+⋅''='' A=2)0,1(2)0,0(22-='=''f g x ，1)0,1()0,0(1-='=''=f g B xy ，2)0,1(2)0,0(22-='=''=f g C y 032>=-B AC , 且0<A , 故0)0,1()0,0(==f g 是极大值. 三、 .,1:π,d )cos sin sin (d d d d d )()(d ,)()(22π202正向解=+-=+-=+=+=⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂-∂∂=∴∂∂-∂∂=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂-∂∂+∂∂=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰••y x L yy x y y uv x uv y uv x uv y uv x uv y v u y u v x v u x u v y v x v u y u x u v L L D Dθθθθσσg f g f四、.1)1(22122)1(2)2(;02lim ,112)1(1121212121212112112112121++→∞---+++++++-+++=++++-+++=++++=-=+++∴-⋅-+++-=+++-=-++-+-+=+++n n n n n n n n n n n n n n n n n n n a n a n na a a n na a a n na a a n na a a n n na a a S S nna a a nn n S S S S n S S S S nS S S S S S S n na a a 解.)1(2)1(2,21111121112121S a a b n n na a a a b b n n na a a n na a a b n n n n n nn n n nn n ==+=++++∴+-=+++++++=∑∑∑∞=∞=+∞=++ 则记五、000()(,)(0,0),(0,0),(0,0).(,0)(0,0)||(,0)(0,0)limlim ,||(,0)||(,0)lim (0,0),lim (0,0),(0,0)0.()(0,0)0,(0,0)0,(0,0)0.x y x x x x x x y f x y f f f x f x x f x xx x x x x xf f ϕϕϕϕϕϕϕ+-→→→→''-'====-=''===证:必要性设在点处可微则存在由于且故有充分性若则可知因为(,)(0,0)(0,0)(0,0)2,0.(,)(0,0).x y f x y f f x f yf x y →→''---=所以由定义在点处可微六、解：由于dxdydz c z dxdydz b y dxdydz a x I VVV⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰++=222222，其中⎰⎰⎰⎰⎰⎰-=Daa Vdydz dx a x dxdydz a x 2222，这里D 表达椭球面2222221ax c z b y -≤+或1)1()1(22222222≤-+-ax c z axb y 。

《高等代数》多项式试题库

§1 数域[达标训练题] 一填空题 1�数集{0}对运算封闭. 2�自然数集N 对运算封闭. 3�数集},{Z b ab i a ��对封闭. 二判断题 1. 数域必含有无穷多个数. 2. 所有无理数构成的集合是数域. 三证明 1. 证明},{)(Q b a nb a n Q ��是数域,这里n 不是完全平方数. 2. 证明},2{3Q b a b a ��不是数域. 3. 若21,P P 是数域,证明21P P�也是数域,而21P P�不一定是数域.§1 数域[达标训练题解答] 一填空题 1�加法、减法、乘法�2.加法、乘法 �3.加法、减法、乘法. 二判断题 1. ( T )� 2. ( F ) 三、解答题 1�证明显然n Q �1,0.对任意的)(,2211n Q nb a n b a��,)()(2211nb a nb a ��=)(21a a �+n b b )(21�)(n Q �; )()(2211nb a n b a �� n b a b a b n b a a )()(12212121��)(nQ �. 当011��nb a 时, nb anb a1122�� )(2121212121212121n Q n n b aa b b an b an b b a a��.故},{)(Q b a n b a n Q��对加法减法乘法除法封闭.即},{)(Q b a nb a n Q��是数域. 2�证明因为�32},2{3Q b a b a ��, ��333422},2{3Q b a b a ��.即},2{3Q b a b a ��对乘法不封闭.所以},2{3Q b a b a ��不是数域. 3�证明由于任意数域都包含有理数, 故21,P P 也包含有理数域, 从而21P P �包含有理数域.令21,P P b a��,则1,P b a�,2,P b a�.由于21,P P是数域,故1,P a b b a��,2,P a b b a��;当0�b时,21,P baP ba��,所以21,,P P baa b b a��.即21P P�是数域. 例如: 取1P =},2{)2(Q b a b a Q ��, �2P},3{)3(Q b a b a Q ��, 容易验证21P P �不一定是数域; 取1P=Q ,�2P},3{)3(Q b a b a Q ��,显然21P P�=},3{Q b a b a ��是数域.§2 一元多项式[达标训练题] A组一填空题 1. 系数在数域P 上的关于文字x 的一元多项式指的是形式表达式, 其中i 次项是 , i 次项系数是 , 常数项是 . 2. 下列形式表达式(i )2;(i i )x1; (i i i )0; (i v ))3l n (132x x x ��; (v )1)1(23��x i i x ;(v i )��nxn xx!1!31!2113;其中是多项式. 3. 零多项式是 , 零次多项式是 . 4. 设多项式��miii niii x b x g x a x f11)(,)(,则)()(x g x f的k次项系数是. 二判断题 1. 0是零次多项式. 2. 若)()()()(x h x fx g x f�,则)()(x h x g �. 3. 若)(),(),(x h x g x f都是数域P 上的多项式, 则))()((x g x f ��))((x f ��或者))()((x g x f ��))((x g ��. 三解答题 1. 设)2()1()2()(22��x x c x b x a x f , 试确定c b a ,,, 使)(x f (i )零次多项式; (i i )零多项式; (i i i )一次多项式5�x . 2. 若)(),(x g x f是实数域上的多项式, 证明:若,0)()(22��x g x f则 0)()(��x g x f. B组 1.设)(),(),(x h x gx f是实数域上的多项式, 证明:若),()()(222x x h x x g x f��则0)()()(��x h x g x f. 2.求一组满足上式的不全为零的复系数多项式. 3. 次数定理中,式子 ))}(()),((m a x {))()((x g x f x g x f �� 何时等号成立?何时小于号成立?§2 一元多项式[达标训练题解答] A组一填空题 1�1110nnn n a x a x a x a ��i i x a �ia� 0a�2.�i ��i i i ��v ��3. 0�非零常数 � 4.��11ki i ki b a.二判断题 1�(F )� 2. (F ).; 3.(F ). 三解答题 1�解因为 222()(2)(1)(2)()fx a x b x c x x a c x ��(2)a b c x �� )24(c b a ��.利用多项式相等的定义的: (i )��024020c b a c b a c a(i i ) ��024020c b a c b a c a (i i i ) ��524120c b a c b a c a即(i )当0,3,��c c b c a 时, )(x f 为零次多项式; (i i )当0��c b a 时)(x f为零多项式;(i i i )6,17,6��c b a 时)(x f 是一次多项式5�x . 2�证明设01)(a x a x a x fnn ��01)(b x b x a x g mm ��则)()(22x g x f�的第k 次项系数为)(0i k i ki i ki b b a a ��=0,当0�k 得000��b a ,当1�k 时得02121��b a ,进而011��b a ,同样地,得到022��b a …….因此0)()(��x g x f B组 1�证明若0)(�x g (或0)(�x h )显然得)()()(222x x h x x g x f��是一个奇次多项式, 这是不可能的.又若0)(�x f ,则)(),(x h x g 不全为零,因此也得)()()(222x x h x x g x f��是一个奇次多项式, 这也是不可能的. 所以0)()()(��x h x g x f 2�解取1)(),1()(,2)(��x x h x i x g i x x f �则)()()(222x x h x x g x f ��. 3�解当两个多项式次数不等时或者虽然相等但最高次项系数不是相反数时,等号成立; 其余情形小于号成立.§3 整除的概念[达标训练题] A组一填空题 1. )(),(),(x h x g x f 都是][x P 中的多项式,若)()()(x h x g x f �,则称整除�称为的因式� 为的倍式�记为 . 2. 若0)(,0)(),()()()(��x r x g x r x q x g x f或))(())((x g x r ��,那么除的商式是 ,余式是 ,这里][)(),(),(x P x r x gx f�. 二判断题 1. 零多项式能够整除任意多项式. 2. 整除任意多项式能够被零次多项式整除. 3. 若)()(),()(x fx g x g x f, 则))(())((x g x f ��. 4. 若0)(),()()()(��x g x r x q x g x f ,则满足该式的多项式)(),(x r x q 有且只有一对. 5.若))()(()(x h x g x f �,则)()()()(x h x f x g x f 或. 三解答题 1� 设b a x x x x f��232)(�2)(2��x x x g �)(x g 除)(x f 的余式12)(��x x r �求b a ,. 2. 如果))()(()()),()(()(2121x f x f x g x f x f x g��, 则 )()(,)()(21x f x g x f x g. 2� 如果x 不整除)(x f与)(x g �则x 不整除)(x f 与)(x g 的乘积. 3. 证明 p n m x x x x xp n m ,,,1231332��是非负整数. 4. 证明 ①如果)()(x f x h, ()|()h x g x , 则()|(()())h x f x g x �; ②如果()|(),()|()h x f x h x g x,则()|()()h x f x g x �不一定成立. B组一多项选择题 1.)(x f 是任意多项式,c是非零常数,则下列结论成立的是. (A ))(0x f ;(B )0)(x f ;(C ) 00; (D ) c 0;(E ) 0c ;(F ) c x f )(;(G ) )(x f c ;(H ) )()(x fx cf . 2.若在][x P中,)(x g整除)(x f�为强调数域�我们记)()(x fx gP.设][)(),(x Q x g x f��下列结论正确的有 . (A )若)()(x fx gQ,则)()(x fx gR;(B ) 若)()(x fx g R�,则)()(x fx g q�; (C )若)()(x f x g Q,则)()(x fx g R;(D )若)()(x fx g R�,则)()(x f x g q�. 3. 设)()(),()(x g x px f x p,则)(x p 整除于 . ①)()(x g x f �;②)()(22x g x f�;③)()(x g x f ;④)()(33x g x f�. 二证明题 1. 证明)(x f xk的充分必要条件是)(x f x.2. 证明113691234578��x x x x x x x x x x.3. 证明1�dx 整除1�nx 的充要条件是n d . 4. 证明, 若)()()(1424423x h x x x g x f x x x��,则1�x 同时整除)(),(),(x h x g x f.与例2联系,将此题推广到一般结果,并证明你的结论. 5. 对照多项式的整除性理论�讨论整数的整除性理论.§3 整除的概念[达标训练题解答] A组一填空题 1�)(),(x h x g �)(x f �)(),(x h x g �)(x f �)(x f � )(),(x h x g �)()(),()(x f x h x f x g� )(x g �)(x f � 2.)(x q �)(x r . 二判断题 1.(F )� 2. (T )� 3. (F ); 4.(F ); 5.(F ) 三解答题 1�解利用带余除法得)2()1)(()(��b a x x x g x f �所以12)2(��x b a x �即3,2��b a. 2�证明 ))()(()()),()(()(2121x f x f x g x f x f x g��,利用整除性的性质�我们有))}()((21)))()(((21{)(2121x f x f x f x f x g��即)()(,)()(21x f x g x f x g. 3�证明若)()(x g x f x,x不整除)(x f与)(x g 则存在常数0,021��r r,使2211)()(,)()(r x x q x g r x x q x f��, 所以��)()(()()(21x q x x q x x g x f2112))(r r x q r �,由于)()(x g x f x , 所以21r r x,得出矛盾.即x 不能整除)()(x g x f 证明由于三次单位根21,��都是23133��p n m x x x 的根�即12��x x 的根都是23133��p n m x x x 的根.从而p n m x x x x xp n m ,,,1231332��.4. 证明因为2121()(),x x x x ��其中(1,2)i i ��是三次单位虚根, 而331320m n p ii i��,即33132(1,2)m n p i xx x x i ��,再利用12,x x ��互素得到3313212()()m n p x x x x x ��,即 2331321m n p xx x xx��5�证明 ①如果)()()(x g x f x h�,因为 )()(x f x h ,由整除性性质得: )()()(()(x f x g x f x h��,即)()(x gx h ,与)()(x g x h �矛盾, 所以)()()(x g x fx h ��. B组一多项选择题 1�B ,C ,E ,G ,H � 2.(A )(D );3.①②③④ 二、证明题 1�证明充分性显然,仅证必要性. 设r x x q x f ��)()(,则 ��)())(()(x q x C r x x q x fk k o k k k r x q x C k k k )(111��kkk kk k r C r x xq C ��11)(�kr x x p ��)(因为)(x f x 且)(x x p x �由整除性的性质得�)(x f xk.2�证明利用带余除法, )1`)(1(12343457836912��x x x x x x x x x x x x x x所以113691234578��x x x x x x x x x x.3�证明充分性显然,仅证必要性. 设r d q n ��若d r r ��,0,)1()1(11��rrdq r dq nx x x x x,而11��dq d x x,因此11��r d x x,得出矛盾.所以0�r ,即n d.4�证明因为)3,2,1(4s i n 4��k ki kc o n wk ��是123��x x x的根,显然)()()(4244x h x x x g x f w xk ��,即 0)1()1()1(2��h w g w fk k (3,2,1�k ), 从而0)1()1()1(��h g f . 一般地,我们有如下的结果: 若)()()(1122121nn nnnnnx fx x x f x f x x x��,则 1,,2,1),(1��n i x f xi �.事实上,设i i i r x q x x f ��)()1()(,则in i n ni r x q x x f ��)()1()(,进一步有 )())()()()(1()()()(122112211221��n n n n n nnnnn nnnr x x r r x q x x x q x q x x fx x x f x f��由于 )()()(1122121n n nn n nnx fx x x f x f x x x��,)()()()1(1122121nn nnnnnnx qx x x q x q x x x x��则1121211��nnnnrx x r r x x x��.5�参见张禾瑞先生的《高等代数》�第三版��高等教育出版社�教材�或者初等数论教材.§4 最大公因式[达标训练题] A组一、填空 1�对于任意两个多项式),(),(x g x f 它们总有公因式 �我们称它为平凡公因式. 2�两个零多项式的做大公因式是 . 3�零多项式与任意多项式)(x f的最大公因式是.4�若),()(x f x g 则)(),(x fx g 的最大公因式是 . 5�x x g x x f��1)(,1)(2�则�))(),((x g x f,取�)(x u,)(x v = ,使)).(),(()()()()(x g x f x v x g x u x f �� 6.若,1)()()()(��x v x g x u x f 则)(x u 与)(x v . 二、判断题 1.若)(x d 是)(),(x g x f 的最大公因式�则)(x c d 也是)(),(x g x f 的最大公因式c (是常数�. 2. 存在惟一一对多项式),(),(x v x u 使)).(),(()()()()(x g x f x v x g x u x f �� 3�若 ,1))(),((�x g x f 则存在惟一一对),(),(x v x u 使 .1)()()()(��x v x g x u x f 4�若)(),(x g x f 不全为零�则 .1)))(),(()(,))(),(()((�x g x f x gx g x f x f5�由于�16,8�=8,所以多项式8与16不互素. .)(x f 与)(x g 的次数最高的公因式是最大公因式. 三、解答题 1. 判定32)(,1363)(223��x d x x g x x x x f是否互素,并求),(),(x v x u使)).(),(()()()()(x g x f x v x g x u x f�� 2. 证明:)).()(),(())()(),(())(),((x g x fx f x g x f x f x g x f �� 3. 证明:两个多项式)(),(x g x f 都与)(x h 互素的充要条件是它们乘积)()(x g x f 与)(x h互素. 4. 若,1))(),((�x g x f 则.1))(),((�x g x f mmB组一、选择题 1. 若),()(),((x d x g x f �则成立. (A ));()()(),((x d x g x fx f �� (B ));()())()().()((x h x d x h x g x h x f �� (C )).()())()(),()()(();())(),((,x h x d x h x g x h x f D x d x g x f n mm m�� 2.若,0)(�x f 且),()()()()(),())(,)((x d x v x g x u x f x d x g x f ��则错误结是. ;1))()(,0()()(();()(),()((��x d x g x dx fB x d x g x f A nnn).())(),()()(();())(),()((x d x g x g x f D x d x v x u C �� 3.(多项选择)若),()()()(x r x q x g x f ��则成立. ),(())(),()((x g x g x f A �();r x ()((),())((),())B f x g x f x r x � )).(),(())(),()(());(),(()(),()(());(),(())(),()((x r x q x q x f E x q x g x r x f D x r x q x g x f C ��二、解答题 1. 确定k ,使24)6(2��k x k x 与k x k x 2)2(2��的最大公因式是一次的. 2.设)(),(x g x f 不全为零,则)(x f 与)(x g 的次数最高的公因式是最大公因式;反之,)(x f 与)(x g 的最大公因式都是次数最高的公因式. 3. 证明:若,1))(),((�x g x f 且,0))((,0))((��x g x f 那么存在惟一第一对多项式)),(()(()),(())((),(),(x f x v x g x u x v x u��使 1)()(,0()(�x v x g x u x f 4. 依照两个多项式的最大公因式式理论,讨论的有限多个多项式的最大公因式的理论(定义,存在性,求法,互素).§4 最大公因式[达标训练题解答] A组一、填空题 1� 零次多项式�2. 零多项式;3.多项式()c f x c 为零次多项式;4.)(x c g ,c 为零次多项式; 5.1,,1��x x ;6.互素. 二、判断题 1� F �2.F ;3.F ;4.T ;5.F ;6.F . 三、解答题 1. 解:通过辗转相除法求得 1))(),((�x g x f ,973697339718)(,9711976)(2��x xx v xx u. 2.证明:设)())(),((x d x g x f �,容易证明)(x d 是)()(),(x g x f x f �的公因式;对)()(),(x g x f x f �的任意公因式,容易证明它是)(),(x g x f 的公因式,从而它整除于)(),(x g x f 的最大公因式)(x d .即)()(),(x g x f x f �的任意公因式整除于它的公因式)(x d ,所以)(x d 是)()(),(x g x f x f �的最大公因式. 3.证明:1))(),((�x h x f ,1))(),((�x h x g ,则存在)(),(x v x u 与)(),(x q x p ,使1)()()()(��x h x v x f x u,1)()()()(��x q x h x p x g ,以上两式相乘容易得到1)()()()()(��x h x V x g x f x U,故1))(),()((�x h x g x f .反过来若1))(),()((�x h x g x f �则存在)(),(x v x u �使1)()()()()(��x v x h x u x g x f �若令)()()(x p x u x g��则有1)()()()(��x v x h x p x f �故1))(),((�x h x f �同样的若令)()()(x q x u x f��则有1)()()()(��x v x h x q x g �故1))(),((�x h x g . 4� 证明�首先利用上题及归纳法容易证明�若1))(),((�x g x f �1))(),((�x g x f m�同样的利用归纳法证明1))(),((�x g x f n m . B组一、选择题 1��A �(D )�2.�C �;3. (A ,E ) 二、解答题 1�解利用辗转相除法容易得到: )224()()(��k x x g x f,)1)(3(41)232)(224(41)(��k k kx k x x g因此最大公因式是一次的条件是3�k 或者1�k . 2.证明设)(x d 是)(),(x g x f 的次数最高的公因式,)(0x d 是)(),(x g x f 的最大公因式,所以)()(0x d x d ,而0)(0�x d 因此)(0x d 的次数等于)(x d 的次数,从而)()(0x c d x d�.故)(x d 是)(),(x g x f 的最大公因式式.反之,若)(0x d 是)(),(x g x f 的最大公因式,由于)(x d 是公因式,因此)()(0x d x d ,所以要么)(x d 是零多项式,要么)(x d 的次数不大于)(0x d 的次数.但0)(0�x d ,所以)(x d 的次数不大于)(0x d的次数.故)(0x d 是)(),(x g x f 的次数最大的多项式. 3.证明: 由互素的充分必要条件知存在)(),(x v x u 使1��g v f u . 首先证明若g u ��,必有f v ��.由g v f u ��1g v f u ��,所以v g u f ��,因此若g u ��,必有f v ��. 其次证明如果,可以重新选取11,v u ,使11,v u 符合要求. 由带余除法定理知存在r q ,使g r r r g q u ��0,,所以1)(��g v r g q f.若0�r 上式为1)(��v f q g ,可得到0��g 与已知矛盾.若g r ��,上式为1)(��v f q g f r ,由(1)知f v f q ��)(令11,v v f q u r ��,则有111��g v f u . 最后证明唯一性. 如果存在2211,;,v u v u ,2,1,,,1,12211��i f v g u g v f u g v f u i i 则)()(1221v v g u u f��,因为1),(�g f ,所以12v v f�,故21v v �,同样的21u u �. 4.(参照张禾瑞编高等代数)§5因式分解定理[达标训练题] 一、填空题 1.)(x p 是不可约多项式,],[)(x P x f �若 )(x p�)(x f,则 . 2. )(x p 是不可约多项式, ],[)(x P x f�则)(x p与)(x f互素的充要条件是. 3.判定多项式2x +2在数域P 上的可约性.(i )P =Q 时 ;)(i i P =R 时;)(i i i P =C 时 . 4.)(x f=)42(�x 23)33(�x )2(�x 的标准分解式是 . 5.)(x f=2)2(�x 3)1()4(24��x x ,)(x g=4)3(�x )1(�x 2)2(�x 2,则()(x f ,)(x g )= . 二、判断题 1. 任意数域上都有不可约多项式. 2. 若)(x h )(x f )(x g,则)()(x fx h或).()(x g x h 3. )(x p 是不可约多项式,)()(x fx p�且)()(x g x p �,则)()()(x g x fx p�. 三、解答题 1.分别在有理数、实数域、复数域上分解14�x 为不可约多项式的乘积. 2.证明:若)(x p 不可约, )(x p()(x f +)(x g ),)(x p)(x f)(x g,则)(x p)(x f,且)(x p)(x g.若)(x p 可约,上述结论是否成立?为什么? 3. )(x p 是次数大于零的多项式,若 )(x p 与任一多项式)(x f 的关系只有两种情况()(x p ,)(x f )=1, 或)(x p)(x f,)(x p 是否是不可约的?并说明理由. 4.若)(x f 是次数大于零的首项系数为1的多项式,证明)(x f 是不可约多项式的方幂的充要条件是:对任意的多项式)(x g ,或者()(x f ,)(x g )=1,或者存在正整数m,使)()(x g x fm .§5因式分解定理[达标训练题解答] 一、填空题 1.1))(),((�x f x p ; 2.)(x p 不整除于)(x f � 3. 不可约, 不可约,可约; 4.32)1()2)(2(36��x x x ; 5. 1. 二、判断题 1.T ; 2.F ; 3.F . 三、解答题 1. 解在有理数14�x 为不可约多项式, 因此在有理数14�x 的分解式为其本身. 在实数域: 4221(21)(21)x x x x x ��在复数域上: ))()()(())((123232121224i x i x i x i x i x i x x��. 2. 证明:若)(x p 不可约, 由)(x p )(x f)(x g,则)(x p)(x f或)(x p)(x g.若)(x p)(x f成立, 又)(x p()(x f +)(x g ),所以)(x p)(x f )(x g,则)(x p )(x g成立;同样地若)(x p)(x g成立利用)(x p()(x f +)(x g )得到)(x p)(x f成立.总之有)(x p)(x f 与)(x p)(x g同时成立. 若)(x p 可约,上述结论不成立.事实上取,)(,)(,)(22x x x g x x f x x p ��则)()()(x g x f x p且)(x p()(x f +)(x g ),但)(x p 即不整除0(x f 也不整除)(x g . 3. )(x p 是不可约多项式. 证明如下: 若)(x p 可约,则存在)2,1)(()(0),(��i x p x p x p i i ,使)()()(21x p x p x p �,利用题设可以得出()(x p ,)(x p i )=1或者)()(x p x p i ,而事实上,这两种结果都不能成立.因此)(x p 可约的假设不正确. 4�证明:必要性.设)()(x p x f m�()(x p 为不可约多项式),显然对任意的)(x g ,若1))(),((�x g x p ,则1))(),(())(),((��x g x p x g x f m ,若)()(x g x p ,则)()(x g x pmm,即存在正整数m ,使)()(x g x fm. 充分性: 设)1))()((,0)()()(()()(1111��x f x p x f x p x f x p x f k不可约�,取)()(1x p x g �,则()(x f ,)(x g )=1不成立, 且对任意正整数m ,)()(x g x fm 不成立.故)1))()((,0)()()(()()(1111��x f x p x f x p x f x p x fk不可约�不成立.即)(x f 是不可约多项式的方幂.§6 重因式[达标训练题] 一、填空题 1.设多项式)(x f=22)4�x 2)2(�x )2(�x )3(�x ,则)(x f 的单项式是 ,重因式是 ,它们的重数分别是 . 2.若)(x p是)(x f的5重因式,则)(x p是的3重因式, 的单项式. 3.)(2x f的微商是 . 4. 与)(x f 有相同的不可约因式,但无重因式. 5, )(x p 是()(x f ,)(/x f)的)1(�k k 重因式,则)(x p 是)(x f 的重因式. 一、判断题 1. )(x p 是)(x f 的k 重因式,则 )(x p 是)(/x f的1�k 重因式)1(�k 2., )(x p 是)(/x f 的k 重因式,则 )(x p 是)(x f 的1�k 重因式. 2� 多项式的重因式不因数域的扩大改变. 四、解答题 1. 判断下列多项式有无重因式,若有,求出重因式. (i ))(x f =35423��x x x ;(i i ))(x f =3x 1� 2. 将)(x f =x x x ��232单项式化,然后分解因式. 3. 证明: )(x f =1+!!22nxxxn��没有重因式. 4. a ,b 满足什么条件,b a x x ��33有重因式.§6 重因式[达标训练题解答] 一、填空题 1.3�x , 2�x 与2�x , 4与3; 2.)(x f ��; 3.)()(2x f x f �; 4.))(),(()(x f x f x f�; 5.1�k . 二、判断题 1.F ; 2.T ; 3.F . 三、解答题 1. 解: (1)利用辗转相除法容易求出1))(),((��x f x f ,所以)(x f=35423��x x x 无重因式. (2)同(1). 2. 解�容易计算)1())(),((��x x f x f �所以1�x 是)(x f 的二重因式�又)1())(),(()(��x x x f x f x f�故)(x f =2)1(�x x x x x��232. 3. 证明: 12)!1(1!211)(��nxn xx x f�, 1))!1(11,!1())(),()(())(),((1��nnxn x xn x f x f x f x f x f �.故无重因式. 4.解: 显然当0a b ��时�b a x x��33有三重因式x �当0,0a b ��时b a x x��33无重因式�当0a �时�当204baa ��时�2((),())22bf x f x x x a a ��b a x x��33有二重因式22x a �§7 多项式函数[达标训练题] A组一、填空题 1.多项式有无穷多个根. 2,若)(x f=23432x x x ��,则)2(f = , )(x f 的根是 ,重根是 ,其重数是 . 3.�是多项式)(x f 微商的k 重根,则 �是)()3(x f的重根.这里k�5. 4.若�是)(/x f的k 重根,且满足 , �是)(x f 的1�k 重根. 二、判断题 1. 若)(x f 没有重根,则)(x f 没有重因式. 2. 若)(x f 没有根,则)(x f 不可约. 3.)(x f 没有重根,()(x f ,)(/x f)=1 4. ()(x f ,)(/x f)=1,则)(x f 无重根. 三、解答题 1. 求一个次数小于3的多因式,使f (2)=1,)1(�f =2�, f(3)=2. 2. 证明多项式)(x f =!)1(21n x n n n x x nnn��无重根. B组 1. 求一个满足下列条件的三次多项式: (i )3�x)(x f;(i i )3�x 除)(x f 的余数是4; (i i i ))(x f 被2�x ,2�x 除的余数相等. 2. 证明x s i n 不能表示成x 的多项式. 3. 多项式)(x f 满足)(x f =)(b x f �求证: )(x f 是常量,这里0�b . 4. 证明:如果)()()(1432424123x f x x x f x f x x x��则�f(1)=0,�=1,2,3. 5. 设)(x f 和)(x p 是有理系数多项式, )(x p 在Q 上不可约,若)(x f 与)(x p 有一个公共复根,则)()(x fx p.§7 多项式函数[达标训练题答案] A组一、填空题1�零多项式�2.-12, 0(二重),3,-1, 0,2; 3. 4�k ; 4. �是)(x f 的根; 二、判断题 1�F �2.F ; 3.F ; 4.T . 三、解答题 1�解利用拉格朗日插枝公式 13231))1(3)(23())1()(2(2)31)(21()3)(2(2)32))(1(2()3))(1((1)(2��xxx x x x x x x f2.证明�)!1()2)(1()1()(221��n x n n n x n n n x x f nnn��所以 ��))()(),(())(),((x f x f x f x f x f ),)!1()2)(1()1((321nnnnx n x n n n x n n n x ��=1. 所以)!1()2)(1()1()(21��n x n n n x n n n x x f nnn�无重根. B组 1� 解�设)()3()(x g x x f ��c b x a x x g ��2)(�则 c x b c x a b a x x f3)3()3()(2��利用综合除法得到用3�x 除)(x f 得余数461854��c b a ,用2,2��x x 除)(x f得到的余式分别是20510,42��b a b a .由题设得到下列方程组��c b a c b a c b a 5102024461854由此解出一个解��0458456c b a . 2� 证明�若x s i n 表示成一个n 次多项式�则它最多只能有n 个根因此它是0.事实上0s i n �x . 3� 证明令)0)(()()(��b b x f x f x g �则)(x g 若不是零多项式�则其常数项为0)(��b f �从而�,2,b b 都是)(x f 根�这样0)(�x f .若)(x g 不是0多项式�而它有无穷多个根. 4� 证明�考虑四次单位根42s i n 42c o s ��k i k k ��3,2,1�k�显然)(143123��x x x xk �则42s i n 42c o s ��k i k k ��是)()()(424221x f x x x f x f ��的根�即)3,2,1(0)1()1()1()1(3211��k f f f f k k k ��进一步得0)1(�k f . 5� 证明首先多项式的最大公因式不因数域的扩大而改变.因此若)(x p 在有理数域上不能整除于)(x f �则无论在有理数域还是复数域均有1))(),((�x f x p 而事实上在复数域上1))(),((�x f x p 不成立.因此)(x p 在有理数域上整除于)(x f .§8 复数域与实数域上多项式的因式分解[达标训练题] A组一、填空题 1�复数域上不可约多项式是 �实数域上不可约多项式是. 2. )(x f ][x R �是首项系数为1的7次多项式,且 )(x f 有2重根i 32�,单根0、1、-2�则)(x f 的标准分解式是 . 3. )(x f =][3x R q p x x��,有一须根,b i a�则)(x f的所有根是. 4.44�x 在复数域上分解式是 .在实数域上的分解式是. 二、解答题 1. 求有单根i 21�及2重根1懂得次数最低的受项系数为1的复系数多项式和实系数多项式. 2. 证明:奇数次实系数多项式必有实根. 3. 设)(x p 是R 上不可约多项式,对于)(x f ][x R �,如果)(x p 与)(x f 在C 中有多项式�,证明)()(x fx p. B组 1.(选择填空)若多项式)(x f的各项系数都同号,那么)(x f. (i )无实根;(i i )无复实根;(i i i )无正实根;(i v )既有正根又有负根. 2.在C 和R 上分解1�nx 为不可约因式之积. 3.设)(x f 表示把多项式)(x f 的系数换成它们的公轭复数所得到的多项式.证明: (i )若)()(x fx g,则)()(x f x f;(i i )( )(x f ,)(x f )=)(x d 是实系数多项式.§8 复数域与实数域上多项式的因式分解[达标训练题解答] A组一、填空题 1�一次多项式�一次与部分二次不可约多项式�2.22)74)(2)(1(��x x x x x�3.2a 2��b i a b i a��,�4.)2)(2)(2)(2(i x i x x x ��)2)(2)(2(2��x x x . 二、解答题 1�解�在复数域上)21)(21()1()(2i x i x x x f ��, 在实数域上)32()1()(22��x x x x f . 2.证明: 若无实根,则该多项式全是虚根,而实系数多项式的虚根成对出现,因此与多项式是奇数次的矛盾. 3� 证明: 首先多项式的最大公因式不因数域的扩大而改变.因此若)(x p 在实数数域上不能整除于)(x f �则无论在实数数域还是复数域均有1))(),((�x f x p 而事实上在复数域上1))(),((�x f x p 不成立.因此)(x p 在实数域上整除于)(x f . B组 1��i i i � 2�解�在实数域上�11(1)(1)nnx x x x �� 在复数域上 011221()()(),c o s s i n ,0,1,1nn k k k xx x x i k nnn��.3� 证明 (i )若)()(x fx g,则存在(),()()()h x f x g x h x ��利用共轭复数的运算性质喝多项式乘法法则�有()()()f x g x h x ��故()()g x f x ;(i i )由于()()f x f x �是实系数多项式� ((),())((),()())f x f x f x f x f x ��,�故((),())()f x f x d x �是实系数多项式.§9 有理数域上多项式 [达标训练题] A组一、填空题 1.设)(x f 是数域P 上的不可约多项式,))((x f �=n ,若P =C ,则n = .;若P =R ,则n = ; 若P =Q ,则n = . 2.若整系数多项式)(x f 不存在素数p 满足艾氏判别法的条件,则)(x f 的Q 上. 3.1221334��x xx 所有可能的有理数根是 . 二、判断题 1. 若不存在素数p 能整除整系数多项式)(x f 的所有系数,则)(x f 是本原的 2. 任何一个有理系数多项式都能表示成一个有理数与本原多项式之积. 3. 若)(x f 是次数�1的整系数多项式,则)(x f 在Q 上可约�)(x f 能分解成两个次数较低的整系数多项式的乘积. 4. )(x f �Q ][x 有无理根,则)(x f 在Q 上不可约. 三、解答题 1. 把下列多项式表示成一个有理数与本原多项式的乘积.)(i ;46223��x x )(i i .271313�x x2. 证明下列多项式在Q 上不可约. )(i 13)(1)(;6423234234��x x i i i x x x x i i x x x 3. 用试根法求4323��x x 的有理根. 4. 证明32是无理数. B组 1. 5次有理系数多项式)(x f在Q 上可约,则下类断言正确的是. (A ))(x f 至少有一个有理根; (B ))(x f 不一定有有理根; (C ))(x f 恰有一个有理根; (D ))(x f 含有一个2次不可约因式. 2.证明)(x f =!!212pxxx p��在有理数域Q 上不可约(p是素数) .3.求3212252345��x x xx x的有理根. 4.设)(x f 是次数为n 的有理系数多项式,(i )当n >1时,说明)(x f是否有有理根与其可约性的关系;(i i ) n =3时,上述关系如何? (i i i ) n =4时,给出一个无有理根,但)(x f 可约的例子. 5.整系数多项式)(x f 对某一整数m 有)(m f 和)1(�m f 都是奇数,证明)(x f 无整数根.§9 有理数域上多项式 [达标训练题答案] A组一、填空题 1�1�1或2�任意正整数�2.可能可约也可能不可约�3.31,1��二、判断题 1�T �2.F �若是非零多项式正确��3.T . 三、解答题 1�解�)(i )23(24622323��x x x x � )(i i )4237(21127131233��x x xx2�解�)(i 642234��x x x �取2�p �利用E i s e n s t i e n 判别法即得不可约�1)234��x x x x ii �令1��x y �则 )(5101051234234y g y y y y x x x x�� 取5�p �利用E i s e n s t i e n 判别法即得)(y g 不可约�从而1234��x x x x 不可约�13)(3��x x i i i �令1��x y �则)(63613233y h x y y x x ��取3�p利用E i s e n s t i e n 判别法即得)(y h 不可约�从而133��x x 不可约. 3. 解�4323��x x 的所有可能根是�4,2,1��因为4323��x x 的各项系数之和不等于0�奇次项系数之和等于0�所以-1是根�1不是根.容易利用综合除法验证4,2��都不是根. 4� 证明�因为2)(3��x x f 无有理根�而32是2)(3��x x f 的根�因此它不是有理数�从而是无理数. B组 1.�B � 2�证明�)(x f= )3)1(!!(!1!!21122pppx p x x p p x p p P pxxx ��对多项式)3)1(!!(12ppx p x x p p x p p ��利用E i s e n s t i e n 判别法即得在有理数域Q 上不可约(p 是素数). .3. 解� )64522(2132122523452345��x x x x x xx xx x�而 645222345��x x x x x 的所有可能有理根为23,21,6,3,2,1��然后可用试根法得出全部有理根为�-1�2,21. 4.. 解设)(x f 是次数为n 的有理系数多项式,(i )当n =2、n =3时, )(x f 有有理根是可约的充要条件.当3�n 时,)(x f 有有理根是可约充分条件,但不是必要条件. n=4时,例如22)1()(��x x f 无有理根,但)(x f 可约. 5. 证明: 设�是多项式)(x f 的整数根,则 )()()(x g x x f��,)(x g是整系数多项式. 从而)()()(m g m m f��)()1()1(x g m m f ��都是奇数.这是不可能的. §10 多元多项式[达标训练题] 一、填空题 1.多项式),,(4321x x x x f =2322141221232212x x x x x x x x x ��是元次多项式,首项是 , 是同类项. 2.设g),,(321x x x =23221x x x+221x x+21x+322x x-212x x ,按字典排列,),,(321x x x g = .按齐次成分),,(321x x x g 排列成 , 按2x 的降幂排列�),,(321x x x g = . 3�设�),,(321x x x f 32221122x x x x x ��),,(321x x x g 32121x x x x x �则),,(321x x x f�),,(321x x x g �),,(321x x x f ),,(321x x x g 的首项是�),,(321x x x f +�),,(321x x x g �)0,1,1(�x f��)0,1,1(g�)0,1,1(�x f+��)0,1,1(g . 二、解答题 1�写出数域P 上三元三次多项式的一般形式. 2�两个n 元多项式首项的和是不是首项�为什么� 3�证明�若n 元数组),,,(),,(2121n n b b b a a a ��且),,,(),,(2121n n b b b a a a ��则),,2,1(n i b ai i ��.此时记),,,(),,(2121n n b b b a a a ��. 4.举反例说明�当2�n 时�类似于一元多项式的带余除法定理不成立. §10 多元多项式[达标训练题答案] 一、填空题 1.4�5�221x x ,无同类项�2.g),,(321x x x =221x x+21x+23221x x x-212x x +322x x�g ),,(321x x x =23221x x x +�221x x +322x x �-212x x +21x �g ),,(321x x x =23221x x x +322x x +221x x -212x x+21x.3.332232213221332212213231x x x x x x x x x x x x x x x x��3231x x x�2322132122121x x x x x x x x x x��-2�1. 二、解答题 1� 解�数域P 上三元三次多项式的一般形式是� 300123002201032011220201100311012111021200x a x a x a x x a x a x a x x a x x a x a��. 2� 解�两个n 元多项式首项的和不一定是首项 �例如3212131,x x x g x x x f��的首项分别是121,x x �显然121x x �不是g f �的首项. 3� 证明是简单的从略例如�212131,x x g x x x f ��显然对任意的q �r q g f ��中r 中必包含单项式31x�因此0,��r g r 都不成立 §11 对称多项式[达标训练题] 一、填空题 1.二元多形式的一般形式是 �二元二次对称多项式的一般形式是 �二元二次齐次多项式的一般形式是�二元二次齐次对称多项式的一般形式是.2�4321,,,x x x x 的初等对称多项式是��1� ; �2� � �3� ;�4� . 若4321,,,x x x x 是4322314)(a x a x a x a x x f��的四个根�则�1� ; �2� � �3�;�4� . 3.三元对称多项式232221x x x ��可以由初等对称多项式来表示. 二、解答题 1.将下列多项式初等化� �1�))()((133221x x x x x x ��; �2�322121),,,(x x x x x x fn ��.2.设n a a a ,,21是数域P 上的多项式在复数域K 上的根�证明n a a a ,,21的每一个对称多项式都可以表示成P 上关于1a 的多项式. §11 对称多项式[达标训练题解答] 一、填空题 1�201220211021112120x a x a x a x x a x a �� )2,1,)((��j i a a x x a j i i j ij j i i j �)()(21212221x x c x b x x x a ��. 2.4321x x x x ��,)323121x x x x x x �� 432431421321x x x x x x x x x x x x��4321x x x x �4321,,,a a a a �� 3. 3213133��. 二、解答题解��1� 因为 2312213213212211332212))()((x x x x x x x x x x x x x x x x x f��232322x x x x ��它的首项是221x x 对应的有序数组是�2�1�0��因此作多项式332103012121��x x x f .所以3321��f . �2�由于 2322132213221322121),,,(x x x x x x x x x x x x x x x f n ��其首项是3221x x x �当3�n �令0),,(313211��x x x f f �所以�3121),,,(��n x x x f �.当3�n 时�根据首相为3221x x x�则可设43121),,,(��a x x x fn ��令0,154321��n x x x x x x�代入即得4��a . 2�证明�设),,,(21n a a a f �为关于n a a a ,,21的任意对称多形式�则由基本定律知),,(),,,(1121��n n g a a a f ��其中11,,��n ��关于n a a a ,,21的全部初等对称多项式.显然n n nx x a ��111122111,,,��再由根与系数的关系得出上式中的i ��是关于1a 的多项式.。

高等代数1考试题及答案

高等代数1考试题及答案一、单项选择题（每题3分，共30分）1. 矩阵A的行列式为0，则矩阵A是（）A. 可逆的B. 不可逆的C. 正定的D. 负定的2. 线性方程组的解集是（）A. 一个点B. 一条直线C. 一个平面D. 一个空集3. 向量空间的基是（）A. 一组线性无关的向量B. 一组线性相关的向量C. 一组向量，但不一定线性无关D. 一组向量，但不一定线性相关4. 矩阵A和B可以相乘的条件是（）A. A的行数等于B的列数B. A的列数等于B的行数C. A的行数等于B的行数D. A的列数等于B的列数5. 矩阵的秩是指（）A. 矩阵中非零行的最大数量B. 矩阵中非零列的最大数量C. 矩阵中非零行和列的最大数量D. 矩阵中零行和零列的最大数量6. 线性变换的特征值是（）A. 变换后向量的长度B. 变换后向量的方向C. 变换后向量长度的缩放因子D. 变换后向量方向的旋转角度7. 二次型可以表示为（）A. 一个对称矩阵B. 一个斜对称矩阵C. 一个正定矩阵D. 一个负定矩阵8. 线性方程组的增广矩阵是（）A. 系数矩阵和常数项的组合B. 系数矩阵和变量的组合C. 常数项和变量的组合D. 系数矩阵和变量的组合9. 矩阵的迹是指（）A. 矩阵对角线元素的和B. 矩阵非对角线元素的和C. 矩阵所有元素的和D. 矩阵所有元素的乘积10. 线性方程组有无穷多解的条件是（）A. 系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩，且小于变量的个数B. 系数矩阵的秩小于增广矩阵的秩C. 系数矩阵的秩大于增广矩阵的秩D. 系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩，且等于变量的个数二、填空题（每题4分，共40分）1. 如果矩阵A的行列式为1，则矩阵A是_________的。

2. 线性方程组的解集是空集，说明该方程组是_________的。

3. 向量空间的基是一组_________的向量。

4. 矩阵A和B可以相乘的条件是A的_________等于B的_________。

高等代数试题

第一章多项式§1.1一元多项式的定义和运算1．设),(x f )(x g 和)(x h 是实数域上的多项式．证明：若是(6) 222)()()(x xh x xg x f +=，那么.0)()()(===x h x g x f2．求一组满足（6）式的不全为零的复系数多项式)(),(x g x f 和).(x h 3．证明：!))...(1()1(!)1)...(1()1(!2)1(1n n x x n n x x x x x x nn---=+---+--+-§1.2 多项式的整除性1．求)(x f 被)(x g 除所得的商式和余式：( i );13)(,14)(234--=--=x x x g x x x f (ii) ;23)(,13)(3235+-=-+-=x x x g x x x x f 2．证明：kx f x )(|必要且只要).(|x f x3．令()()()x g x g x f x f 2121,,),(都是数域F 上的多项式，其中()01≠x f 且()()()()()().|,|112121x g x f x f x f x g x g 证明：()().|22x f x g4．实数q p m ,,满足什么条件时多项式12++mx x 能够整除多项式.4q px x ++ 5．设F 是一个数域，.F a ∈证明：a x -整除.nn a x -6．考虑有理数域上多项式()()()()()(),121211nkn k nk x x x x x x f ++++++=-++这里k 和n 都是非负整数．证明：()()().11|1n k 1+++++-x x f x x k7．证明：1-dx 整除1-n x 必要且只要d 整除.n§1.3 多项式的最大公因式1. 计算以下各组多项式的最大公因式：( i ) ()();32103,34323234-++=---+=x x x x g x x x x x f(ii) ()().1)21(,1)21()42()22(2234i x i x x g i x i x i x i x x f -+-+=----+-+-+=2. 设()()()()()().,11x g x d x g x f x d x f ==证明：若()()(),),(x d x g x f =且()x f 和()x g 不全为零，则()();1),(11=x g x f 反之，若()(),1),(11=x g x f 则()x d 是()x f 与()x g 的一个最大公因式．3. 令()x f 与()x g 是][x F 的多项式，而d c b a ,,,是F 中的数，并且0≠-bc ad证明：()()()()()()).,(),(x g x f x dg x cf x bg x af =++4．证明：（i ）h g f ),(是fh 和gh 的最大公因式；（ii ）),,,,(),)(,(212121212211g g f g g f f f g f g f = 此处h g f ,,等都是][x F 的多项式。

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八
求多项式 Pn ( x) =
dn 1 (−1)n 2 ( x + 1)n +1 n 2 实根的个数 n! dx x + 1
2
M = {a0 + a1 x + a2 y + a3 x 2 + a4 xy + a5 y 2 ai ∈ K }
在 M 内定义线性变换
Af ( x, y ) = f ( x + 1, y + 1), (∀f ( x, y) ∈ M )
试在 M 内找一组基使 A 在此组基下的矩阵成 Jordan 标准形六设 V 是 n 维酉空间一切 V 中非零向量 α 向量 α
求核 Kerσ 二
像集 Im σ 及余核 Cokerσ = K Im σ 的维数和一组基求
3
设方程 x3 − x 2 − 4 x + 1 = 0 在复数域内的三个根是 α1 ,α 2 ,α3
3 3 3 3 α13α 2 + α1α 2 + α2 α3 + α 2α3 + α1α3 + α13α 3 的值
高等代数竞赛题
2003 年 5 月一设 K 是数域定义 K 4 到 K 3 的线性映射 σ 如下
x1 2 x1 − 4 x2 + 5 x3 + 3 x4 x σ 2= 3 x1 − 6 x2 + 4 x3 + 2 x4 x3 4 x − 8 x + 17 x + 11x 2 3 4 x 1 4
三
设 A 是数域 K 上的 n 阶方阵证明 A 的秩 r ( A) < n
若 A 的元素至少有 n 2 − n + 1 个零
并求 r ( A) 的最大可能值
四
在欧氏空间 ! 2 n 中求下列齐次线性方程组
x1 − x2 + x3 − x4 + " + x2 K 上的二元多项式环 K [ x, y ] 看作 K 上的线性空间加法数乘为多项式的加法及数乘考察 K [ x, y ] 的子空间
( Bα , α ) ≥ 0 A, B 是 V 内的 Hermite 变换 A 正定
即对
有 ( Aα ,α ) > 0
B 半正定
即对一切 V 中
证明 V 内存在一组基
1
使 AB 在此组基下
的矩阵成对角矩阵七
且主对角线上元素都是非负实数
设 K 是一个数域 M 是 K 上线性空间 M n ( K ) 全体 K 上 n 阶方阵关于矩阵加法对任意 A ∈ M n ( K ) 数乘所成的 K 上线性空间任意 B ∈ M 有 AB ∈ M 的一个子空间证明 n 整除 dim M 且