函数基本性质之反函数

例2 、求函数y=x3(x∈R)的反函数，并画 出原来的函数和它的反函数的图象. 3
解：
yFra Baidu bibliotekx
yx
反函数是
y
y 3 x ( x R)
注：当已知函数y=f（x）的
图象时，可利用所学定理， 作出它关于直线y=x对称的 图象，就是反函数y=f－1（x） 的图象。
x
3 y x
思考：原函数与反函数图像若有交点， 则交点又有何特性？
反函数的概念
反函数的定义
一般地， 对于函数y f ( x)，设它的定义域为D， 值域为A。如果对于A中任意一个值y, 在D中总有 唯一确定的x值与它对应,且满足y f ( x)， 这样得到的x关于y的函数叫做y=f ( x)的反函数， 记作x f ( y )。 在习惯上，自变量常用x表示，而函数用y表示，
解：求出
bx ab 3 f ( x) xa
1
2 x 1 c 又 g ( x) 2x 1
1 a , b 1, c 6 2
ax b 例5、已知f ( x) , 且c 0, ad bc, cx d -1 当a, b, c, d 满足何条件时，f ( x)与f ( x) 为同一函数？
(1) y 3x 7
(2) f (4) 3
1
练习（ 1）如果y f (x)的图像过点（ 1，）， 2 那么y=f -1 (x) 1的图像过点 (2,0)
x -1 1 （2）已知f ( x) , 则f (2) x
-1
3 c 例4、已知f ( x) a , g ( x) 1 x b 2x 1 (c 0)互为反函数，求a, b, c
例3、若点P（1，2）在函数 f ( x) ax b 的图象上，又在它的反函数的图象上，
求（） 1 f ( x)
(2) f (4)
-1
分析 由题意，P（1，2）在函数 y ax b 的反函 数的图象上，根据互为反函数的函数图象关于直线 y=x对称的性质知，点P1（2，1）也在函数 y ax b 的图象上。
a d
练习：如果一次函数y=ax+2与y=3x-b的图象 关于直线y=x对称，求a,b的值
1 a , b 6 3
可从以下两个角度研究：
(1)方程解的个数上： 由y f ( x)出发，所得的 x仅有唯一解
(2)图像交点个数上： 与直线y y0 ( y0 A)有且只有一个交点
研究互为反函数的函数图像间的关系
例1、求函数y=3x-2(x∈R)的反函数，并且 画出原来的函数和它的反函数的图象。
解：
f
1
1
所以改写为 y f ( x) ( x A)
-1
求反函数的基本步骤：
(1)由y f ( x)出发,用y表示x, 解出x f ( y)
(2)将x, y互换,得出y f ( x)
-1
1
(3)指出y f (x)的定义域，即原函数的值域
1
反解
互换
写出定义域
一个函数存在反函数的充要条件是 变量x、y之间具有一一对应关系
定理：函数 y = f ( x ) 的图象与它的反函数 y = f －1 ( x ) 的图象关于直线 y = x 对称。
定理：函数 y = f ( x ) 的图象与它的反函数 y = f －1 ( x ) 的图象关于直线 y = x 对称。
结论： （１）如果两个函数的图象关于y=x对称，那么 这两个函数互为反函数； （２）如果一个函数的图象关于y=x对称，那么 这个函数的反函数就是它本身， 又称自反函数。 （３）若函数y=f(x)的图像经过点(a,b),且存 在反函数，则函数y=f-1(x)的图像必经 过点(b,a)
x2 ( x) 3
( x R)
y
x2 f ( x) 3
1
yx
x 0
f ( x )＝3x-2
y
x2 f ( x) 3
1
yx
x
0
f ( x)＝3x-2
想一想：函数ｙ＝3ｘ－2的图象和它的反函数
ｘ＋2 ｙ＝ 的图象之间有什么关系？ 3
问题：
互为反函数的两个函数的图象之间是否 具有某种对称关系?