第一章 复杂动态网络基本概念
复杂网络简介PPT课件
2021n/e3t/w7ork becomes increasingly disordered until CfoHr Ep=N1LaI ll edges are rewired randomly.
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• Fig. 2 An example of scale-free network.
2021/3/7
• 在复杂网络的研究过程中，人们将网络中的节点用1， 2，…，N表出（注意：网络中的节点个数N可以是动态变 化的，也就是说网络可以而且应该是一个不断演化的过 程），网络建模主要考虑的是点与点之间的连边机制，下 面详细说明一下这四种网络的生成过程。
2021/3/7
CHENLI
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• （i）规则网络（Lattice）：节点个数N为不变的参数，将
这N个编号的节点通过以下的连边机制：每个节点连接到
• 它（的ii）K随临机近网的络节（点ERi）1,i：2节,...,点iK个2 ，数这N为里不K是变一的个参偶数整，数将。这
N个编号的节点通过以下的连边机制：节点 的概率为 p 。
i
和节点
j
连接
• （iii）小世界网络（WS）：节点个数N为不变的参数，将 这N个编号的节点通过以下两个过程的连边机制：（1） 初始化：构造一个Lattice网络；（2）随机化：将网络中 的每一条边以概率 p 进行重连（即遍历选取每一条边，固 定边的一个节点，以概率选择另一个节点进行连接）。显 然WS网络是规则网络当 p 0 ，是随机网络当 p 1 。
复杂网络研究的是介于确定和随机之间的现实中的系统。 一个典型的网络由节点和连接两个节点的边组成。很长时 间以来，网络被考虑成点和边的随意集合，在数学上用随 机图表示。近几年，由于计算机数据处理和运算能力的飞 速发展，这种状况发生了根本性的改变。人们开始研究大 规模复杂网络的拓扑结构，研究发现，尽管很多网络具有 明显的复杂性和随机性，但也会出现可以用数学和统计语 言来描述的清晰的模式和规律，其中最重要的是小世界效 应（small-world effect），(Watts & Strogatz, 1998)和无标 度特性（scale-free property），(Barabási & Albert, 1999)。
复杂网络与网络安全
复杂网络与网络安全复杂网络与网络安全引言复杂网络的基本概念和特征复杂网络的定义所谓复杂网络，是指由大量节点和连接构成的网络结构。
节点代表网络中的个体或单位，连接则表示节点之间的关系或交互。
复杂网络可以是物理网络，如互联网；也可以是抽象的概念网络，如社交网络或生物网络。
复杂网络的研究旨在揭示网络中节点间的相互关系和信息流动规律。
复杂网络的特征复杂网络具有许多独特的特征，这些特征使得网络具备了自组织、鲁棒性和复杂性等特点。
1. 小世界效应：复杂网络中，任意两个节点之间的最短路径长度很短，节点之间的联系紧密。
这种联系密集的特点使得信息在网络中迅速传播，形成了“六度分隔”现象。
2. 无标度性：复杂网络中的节点度数呈现幂律分布。
这意味着网络中存在少量的高度连接节点，这些节点是整个网络中信息传播和控制的关键。
3. 群聚效应：复杂网络中的节点往往会组成紧密相连的社区或子图。
这些社区内节点之间的联系紧密，而与社区外的节点联系较弱。
这种群聚效应在社交网络和生物网络中尤为明显。
4. 鲁棒性：复杂网络具备一定的抗毁性。
即使在网络中某些节点或连接被破坏，网络仍然能够维持一定的功能和性能。
复杂网络在网络安全中的应用复杂网络理论在网络安全领域中有着广泛的应用。
以下是几种典型的应用案例：1. 防火墙配置优化：利用复杂网络的群聚效应，可以对网络中的节点进行社区划分，从而更好地配置防火墙，提高网络的安全性。
2. 威胁传播模型：复杂网络的小世界效应可以用来构建威胁传播模型，帮助预测网络中的威胁传播路径，并采取相应的防御措施。
3. 异常检测：通过对复杂网络中节点之间的连接关系进行分析，可以发现异常行为，并及时采取措施进行阻断。
4. 社交网络分析：社交网络中存在着大量的信息传递和交互，复杂网络理论可以用于对社交网络中的信息传播和用户行为进行分析，以识别潜在的安全威胁。
复杂网络理论为网络安全提供了新的思路和方法。
通过深入研究和应用复杂网络理论，我们可以更好地理解网络安全问题的本质，并采取相应的措施来提高网络的安全性。
复杂网络-总结的还可以
要表现在以下几个方面：
15
1.3 复杂网络的主要表现方面
• 结构复杂：表现在节点数目巨大，网络结构呈现多种不同
特征。
Figure 6.Internet 在自治系统层次上的拓扑图
16
1.3 复杂网络的主要表现方面
• 网络进化：表现在节点或连接的产生与消失。例如World
Wide Web，网页或链接随时可能出现或断开，导致网络 结构不断发生变化。
29
3.2 如何区分复杂网络中的一般连接和随机连接
• k-means • 谱聚类 • 模块Q函数
30
3.3 影响复杂网络拓扑结构的性能的因素是什么
• T. Hossmann, T. Spyropoulos, and F. Legendre,
"Know Thy Neighbor: Towards Optimal Mapping of Contacts to Social Graphs for DTN Routing", in Proc. INFOCOM, 2010, pp.866-874.
4
1.1 复杂网络的概念
• 自组织：如果一个系统靠外部指令而形成组织，就是他组
织；如果不存在外部指令，系统按照相互默契的某种规则， 各尽其责而又协调地自动地形织
5
1.1 复杂网络的概念
• 自相似：一种形状的每一部分在几何上相似于整体，一般
复杂网络简介与基本概念
(Hawoong Jeong)
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几个基本概念
平均距离 聚类系数 度与度分布 节点介数
(Stephen G. Eick)
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平均距离
节点 n 与 m的 距离 d(n,m) = 连接他们的最短路径的长度 直径 D = max{d(n,m)} 平均距离 L = 所有 d(n,m)的平均数
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小世界网络
特征:
(Similar to ER Random Graphs)
齐次性: 每个节点有大约相同 的连接数 节点不增加
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Scale-Free 网络 (Barabasi-Albert, Science, 1999)
由初始给定的一个具 m0个节点的网络开始 (i) 增加新节点:
With probability p, a new node is added into the network
My Erdös Number is 2:
P. Erdös – C. K. Chui – G. R. Chen
Erdös had a (scale-free) small-world network of mathematical research collaboration
46
小世界实验
Milgram小世界实验
大部分复杂网络有小的平均距离 L 小世界特征
29
例子:
一个具5个节点5个连接的网络:
.
∑ L
=
1
1 N(N
−1)
i> j
d ij
2
d12 = 1
d13 = 1
复杂网络基础理论
无标度网络
定义：无标度网络是指节点的度分布遵循幂律分布的网络即少数节点拥有大量连接大部分节点 只有少数连接。
特性：无标度网络具有高度的异质性其结构可以抵抗随机攻击但容易受到定向攻击。
构建方法：无标度网络的构建通常采用优先连接机制即新节点更倾向于与已经具有大量连接的 节点相连。
应用场景：无标度网络在现实世界中广泛存在如社交网络、互联网、蛋白质相互作用网络等。
07
复杂网络的未来研究方向和挑战
跨领域交叉研究
复杂网络与计算机 科学的交叉：研究 网络算法、网络安 全和网络流量控制 等。
复杂网络与生物学 的交叉：研究生物 系统的网络结构和 功能如蛋白质相互 作用网络和基因调 控网络等。
复杂网络与物理学 的交叉：研究网络 的拓扑结构和动力 学行为如复杂系统 、自组织系统和非 线性系统等。
复杂网络的演化过程中节点和边 的动态变化会导致网络的拓扑结 构和性质发生改变。
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复杂网络具有非线性和自组织的 特性能够涌现出复杂的结构和行 为。
复杂网络在现实世界中广泛存在 如社交网络、生物网络、交通网 络等。
复杂网络的特征
节点数量巨大且具有自组织、 自相似、小世界等特性
03
复杂网络的基本理论
网络拓扑结构
节点：复杂网络中的基本单元
连通性：网络中节点之间是否存 在路径
添加标题
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边：连接节点的线段表示节点之 间的关系
聚类系数：衡量网络中节点聚类 的程度
网络演化模型
节点增长模型：节点按照一定概 率在网络中加入形成无标度网络
节点属性演化模型：节点属性随 时间发生变化影响网络的演化
第一章复杂动态网络基本概念
19
第19页，共51页。
复杂网络是二十一世纪科学研究的思想和理念，
它启发我们用什么观点理解这个世界：整个世界以及
组成世界的任何细部都是由网络及其变化形成的。
复杂网络也是研究复杂系统的一种技术和方法
，它关注系统中个体相互作用的拓扑结构，是理解
复杂系统性质和功能的基本方法。
20
第20页，共51页。
③ 小世界实验
20世纪60年代美国哈佛大学的社会心理学家Stanley Milgram通过一些社会
调查后给出的推断是：地球上任意两个人之间的平均距离是6。这就是著名
的“六度分离”（six degrees of separation）推断。
为了检验“六度分离”的正确性，小世界实验—Bacon数。美国Virginia大学
在北京爆发呢？
➢传染病是怎样扩散和消失的？
互联网
计算机病毒是怎样传播的？
为什么“好事不出门，坏事行千
里”呢？
……
8
第8页，共51页。
2. 二十一世纪科学研究的特点
二十世纪，科学研究的特点是分析的方法，还原论
的方法：物理学（牛顿力学、量子力学、电子论、半
导体），化学（量子分子论），生物（双螺旋结构）
Oxford Un. Press, 2003.
E. Ben-Naim, et al. Complex Networks, Springer, 2004.
S.Boccaletti, et al. Complex Networks: Structure and
dynamics, Phys. Rep. 424 (2006) 175-308.
系统：集合（具体元素）+ 结构+功能。
网络科学中的复杂网络理论
网络科学中的复杂网络理论网络科学是一门涵盖计算机科学、数学、物理学等多个学科的交叉学科，其研究的对象是网络，包括社交网络、物流网络、电力网络、金融网络等。
在网络科学的研究中，复杂网络理论是一个重要的分支，它能够帮助我们理解网络的特性和行为。
本文将从复杂网络的概念、网络拓扑结构、网络动力学、网络优化等方面介绍复杂网络理论。
一、复杂网络的概念复杂网络是由许多节点和边组成的网络，节点和边之间的关系可以是同性的或异性的，也可以是有向的或无向的。
复杂网络中的节点可以是人、公司、电力系统中的发电站等，边可以表示这些节点之间的联系，如社交网络中的朋友关系、电力系统中的输电线路等。
由于网络中的节点和边是多种多样的，所以复杂网络具有超过简单网络的复杂性和多样性。
复杂网络理论研究的是网络的结构和行为，通过分析网络节点和边之间的关系，可以揭示网络中的规律和特性。
复杂网络理论已被应用于许多领域，如社交网络分析、流行病模型、交通优化、生物信息学等。
二、网络拓扑结构网络的拓扑结构是指节点和边之间关系的模式，包括邻接矩阵、度分布、聚类系数、路径长度等几个方面。
1. 邻接矩阵邻接矩阵是一个方阵，其中的行和列分别对应网络的节点，矩阵中的元素为1表示对应节点之间有一条边，为0则表示没有边相连。
邻接矩阵是表示网络拓扑结构最简单的方式，但对于大规模网络，其密集的矩阵往往需要大量的存储空间，使得计算和分析变得困难。
2. 度分布节点的度是指该节点连接的边数。
度分布是一个度数与节点数量或概率的关系图，可以揭示网络节点之间关系的多样性。
常见的度分布包括泊松分布、幂律分布等。
幂律分布是指在一个网络中存在很少的高度连接的节点，多数节点的度数较低，这称为“无标度网络”。
无标度网络中的少数节点有着重要的作用，称为“超级节点”，它们是网络中的枢纽或关键节点。
3. 聚类系数聚类系数是指一个节点的邻居之间相互之间已经连接的比例。
聚类系数越高表示该节点的邻居之间越紧密。
复杂网络的动态演化研究
复杂网络的动态演化研究第一章绪论复杂网络是目前研究的热点之一，它是由大量节点和连接构成的网络体系。
这些节点和连接有着各种不同的性质和特征，因此复杂网络具有复杂的结构和动态性质。
复杂网络可以用来描述许多现实中的复杂系统，比如社交网络、交通网络、金融网络等。
近年来，研究者们对复杂网络的动态演化进行了深入探讨，以期更好地理解其结构和动态性质，并为实际应用提供更好的支持。
第二章复杂网络结构的动态演化复杂网络的结构是指网络中节点和连接的分布方式，它反映了网络中信息和能量的传递方式以及不同节点之间的关系。
复杂网络结构的动态演化是指随着网络的演化，网络中节点和连接的位置和数量发生变化的情况。
这种演化包括新增节点和连接、删除节点和连接以及节点属性和连接权重的变化。
复杂网络结构的动态演化有其固有的规律和特点，因此研究其动态演化对于理解复杂网络的动态特性和规律具有重要意义。
第三章复杂网络动态演化的模型为了更好地揭示复杂网络结构的动态演化规律，研究者们开发了各种复杂网络动态演化模型。
这些模型根据复杂网络的不同特点和应用需求，通过建立节点和连接的动态演化机制来模拟复杂网络的动态演化过程。
常用的复杂网络动态演化模型包括BA模型、WS模型、ER模型以及时间演化网络模型等。
这些模型为我们提供了更好的研究手段和理论基础，促进了对复杂网络结构动态演化规律的深入理解。
第四章复杂网络动态演化的应用复杂网络结构的动态演化可以应用于多个领域，比如社交网络、交通网络、电力网络、金融网络等。
在这些应用领域中，复杂网络的结构和动态性质对应用的有效性和安全性具有重要影响。
以金融网络为例，研究其结构的动态演化可以帮助理解金融市场中不同机构之间的联系和交互，进而优化监管机制和风险管理策略。
因此，对复杂网络结构的动态演化进行研究具有重要的现实意义和应用价值。
第五章研究进展和展望近年来，复杂网络结构的动态演化研究取得了重要进展，但仍然存在很多挑战和问题需要解决。
复杂网络基础8课件
复杂网络的重要性
揭示现实世界的内在规律
解决实际问题
复杂网络理论可以用于揭示各种自然 现象和社会现象的内在规律，如生态 系统的食物链、社交网络中的人际关 系等。
复杂网络理论可以用于解决许多实际 问题，如网络安全、交通拥堵、疾病 传播等，为政策制定和工程实践提供 理论支持。
推动跨学科研究
复杂网络理论涉及到数学、物理、计 算机科学等多个学科，可以促进这些 学科之间的交叉融合，推动科学技术 的进步。
提高网络鲁棒性的方法
1 2 3
增加冗余节点和边 在网络中增加冗余的节点和边可以提高网络的容 错性和恢复力，从而提高网络的鲁棒性。
优化节点和边的连接结构 优化节点和边的连接结构可以提高网络的连通性 和稳定性，从而提高网络的鲁棒性。
引入超边和超节点 在网络中引入超边和超节点可以提高网络的连通 性和稳定性，从而提高网络的鲁棒性。
技术网络分析
技术网络分析的概
念
技术网络分析是对技术系统中各 种要素之间相互作用的研究，包 括计算机网络、交通网络等。
技术网络分析的应
用
技术网络分析在计算机网络管理、 交通规划、故障诊断等领域有重 要作用，有助于提高技术系统的 可靠性和效率。
技术网络分析的工
具
技术网络分析工具包括Wireshark、 Gephi等，这些工具提供了丰富 的可视化功能和统计分析方法， 方便研究者进行深入分析。
复杂网络的应用领域
社会学
研究社交网络中的人际 关系、信息传播、群体
行为等。
生物学
研究生物体内的分子相 互作用、生态系统的食
物链等。
计算机科学
研究计算机网络的结构 和演化、计算机病毒的
传播等。
物理学
复杂网络-总结的还可以
3.2 如何区分复杂网络中的一般连接和随机连接
• k-means • 谱聚类 • 模块Q函数
30
3.3 影响复杂网络拓扑结构的性能的因素是什么
• T. Hossmann, T. Spyropoulos, and F. Legendre,
"Know Thy Neighbor: Towards Optimal Mapping of Contacts to Social Graphs for DTN Routing", in Proc. INFOCOM, 2010, pp.866-874.
Figure 18.SimBet转发机制
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3.3 影响复杂网络拓扑结构的性能的因素是什么
• Bubble Rap：
P.Hui,J Crowcroft,and E.Yoneki,“Bubble rap:Socialbased forwarding in delay tolerant networks,”in ACM MobiHoc,2008.
的数量。
12
1.2 复杂网络的特性
• 相似性：节点u和v的相似性反应的是节点u和v的相同邻居
节点的情况。
Figure 5.节点相似性图
13
1.2 复杂网络的特性
• 介数：节点u的介数含义为网络中所有的最短路径之中，经
过u的数量。它反映了节点u的影响力。
14
1.3 复杂网络的主要表现方面
• 复杂网络简而言之即呈现高度复杂性的网络。其复杂性主
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3.3 影响复杂网络拓扑结构的性能的因素是什么
• INFO:INFOCOM是IEEE组织在通信网络领域中的旗舰型会议，
也是目前国际通信网络领域的一大标志性会议。该实验是 将一种小型的蓝牙设备部署到参加参加2005年INFOCOM会议 的54为参与者身上，从而获取人们的社会行为。
复杂动态网络简介
复杂动态网络简介陈关荣(Guanrong Chen)香港城市大学电子工程系讲座教授、IEEE Fellow混沌与复杂网络学术研究中心主任gchen@.hk摘要复杂动态网络涉及到物理、数学、工程、生物、甚至经济和社会科学，其影响广泛而深远。
典型的复杂动态网络包括Internet、WWW、HTTP、无线电通信网、生物大脑神经网、社会政治和经济网、以及科研合作关系网，等等。
关于复杂动态网络的基本理论及其应用的研究最近非常热闹，正在不同的学科和领域里广泛开展。
这个报告将简单介绍复杂动态网络的一些基本概念，如平均路径长度、类聚系数、节点度及其分布等，特别是将介绍经典的随机图论和新近发展起来的小世界和无尺度网络模型，并以 Internet 、WWW 和科研合作为例解释这些概念和模型。
这个综述报告从最简单的常识讲起，并不假定听众有任何的网络知识背景。
演讲人简介陈关荣教授于1981在国内获中山大学计算数学硕士学位，1987年获美国Texas A&M 大学应用数学博士学位，后在Houston大学任教、为终身职正教授。
2000年起接受香港城市大学邀请任讲座教授，创立了《混沌与网络学术研究中心》并任主任。
陈关荣教授毕业后一直在工程学院工作，从事非线性科学研究，是IEEE Fellow，IEEE电路与系统-I常务主编及国际分岔与混沌等多个国际杂志的编辑或编委。
他曾经担任许多国际会议和论坛的主席和组织者及程序技术委员会委员, 曾任IEEE电路与系统学会非线性电路与系统技术委员会主席。
目前发表国际杂志论文400多篇、会议论文200多篇、出版专著和高等教材16部。
陈关荣教授是国内十多所大学的荣誉客座教授，并多次应邀到30多个国家讲学。
复杂动态网络的合作控制Cooperative Control of Complex Dynamic Networks⏹⏹问题描述 Problem Description在过去的二十年中，网络和分布式计算的迅猛发展造就了从大型集成电路计算机到分布式网络工作站的一个跃变。
数学中的复杂网络与应用
数学中的复杂网络与应用数学作为一门广泛应用于各个领域的学科，在近年来的发展中，复杂网络理论逐渐成为研究的热点之一。
复杂网络作为研究非线性动力学、信息传输以及社交网络等领域的重要工具，对于理解和解释复杂系统的行为具有重要意义。
本文将介绍数学中的复杂网络以及其在实际应用中的一些例子。
一、复杂网络的基本概念复杂网络是由大量节点（节点可以代表某个实体或个体）以及连接这些节点的边（边可以表示节点之间的相互关系）构成的网络结构。
复杂网络具有以下几个重要特征：节点之间的连接模式具有非均匀性、节点的度数分布呈现幂律分布、具有小世界性和无标度性等。
根据节点的连接方式，复杂网络可以分为随机网络、规则网络和无标度网络等。
二、复杂网络的拓扑结构1. 随机网络随机网络是最简单的复杂网络结构之一。
在随机网络中，节点之间的连接是完全随机的，每个节点以一定概率与其他节点相连。
随机网络的拓扑结构对于研究信息传播、疾病传播等具有一定的参考意义。
2. 规则网络规则网络是指节点之间的连接方式具有一定的规律性，节点的度数基本相同。
最典型的规则网络是一个环形结构，每个节点与相邻的几个节点相连。
规则网络的拓扑结构可以用来研究信号传播、振荡现象等。
3. 无标度网络无标度网络是指节点的度数分布呈现幂律分布的网络结构。
在无标度网络中，少数节点拥有大量的连接，而绝大多数节点只有极少的连接。
无标度网络的拓扑结构可以用来研究社交网络、互联网等。
三、复杂网络的应用1. 社交网络社交网络是一个由个人、组织或社区等构成的复杂网络，用于描述人与人之间的社交关系。
在社交网络中，节点可以表示个人，边可以表示人与人之间的关系。
利用复杂网络理论，我们可以分析社交网络中的信息传播、意见形成等现象，为社交媒体的推广和研究提供理论支持。
2. 生物网络生物网络是描述生物体内分子、细胞以及生物体之间相互作用的复杂网络。
生物网络可以用来研究代谢网络、蛋白质相互作用网络等。
借助复杂网络的概念和方法，我们可以更好地理解生物体内复杂的变化和作用机制，为生物医学研究提供新的思路和方法。
复杂网络基础理论 1剖析
定在欧氏平面上，就称为欧几里德旅行商问题，但是
它也是NP难的。因此，通常用来解决TSP问题的解法都
是近似算法。第一个欧几里德旅行商问题的多项式近
似算法是由Arora于1998年使用随机平面分割和动态规
划方法给出的。
11
1.2.2 随机网络理论阶段
1959年，两个匈牙利著名的数学家Erdös和Rényi建
在由N个节点构成的图中，可以存在N（N－1）/2条边，
从中随机连接M条边所构成的网络就叫随机网络。如果
选择M=pN（N－1）/2，则这两种构造随机网络模型的
方法就可以联系起来。
12
1.2.2 随机网络理论阶段
随机图和经典图之间最大的区别在于引入了随机的
方法，使得图的空间变得更大，其数学性质也发生了 巨大的变化。Erdös和Rényi系统研究了当N→∞时随机图 性质与概率p的关系，他们发现：随机网络的许多重要 的性质都是随着网络规模的扩大而突然出现的，也就 是说对于给定概率p，随着网络规模的扩大，要么几乎 所有的随机图具有某种性质，要么几乎每一个图都不 具有该性质。
4
1.1 引言
随着生命科学的发展、网络时代的到来以及人们交 流和经济活动的全球化，人们早就开始观察和思考生 命网络、技术网络、交通网络、社会网络等呈现的一 些普遍现象或问题。所有这些问题看上去互不相关， 实际上这些都是复杂网络所反映的普遍规律和复杂网 络领域学者们所要研究的课题。
近10年来，复杂网络的研究正渗透到众多不同的学 科。推进复杂性科学的交叉研究，深入探索和科学理 解复杂网络的定性特征与定量规律，使它获得广泛的 应用，对全球科学和社会的发展具有十分重大的长远 意义。
3.四色猜想
1852年，毕业于伦敦大学的格思里来到一家科研单 位做地图着色工作时，发现了一个有趣的现象：每幅 地图都可以用四种颜色着色，使得有共同边界的国家
复杂动态网络基本概念
２)涌现性。即内部元素通过非线性相互作用，
在宏观层次上产生出新的、元素不具有的整体属
性，表现为整体斑图、模式等。虽然涌现同样是
所有系统都具有的，但这里涌现意味着新的整体
属性的产生。
例子， “整体大于部分之和”， 大脑的神经网
络系统
14
３）演化性（不可逆性）。即通过与所在环境中的其它 系统的相互作用和内部的自组织，使系统发展到新的阶 段，表现出阶段性、临界性，完成系统演化的生命周期。 例:社会网络中的人，生物群体的自组织系统（鸟群）
二十一世纪（二十世纪末），系统成为主要 的研究对象，整合成为主要方法。普列高津的耗 散结构理论，哈肯的协同学，混沌和复杂系统理 论，系统生物学 … …。
9
当分析为主要的研究方法时，人类关注如何将系 统“分析”、“分解”，揭开系统的细部，了解是什 么元素或部件组成了系统，却忽视或破坏了这些元素 是如何组合成系统的。而整合的方法在于了解细部以 后，研究“如何组合”的问题。这种方法导致复杂网 络结构的研究。
dynamics, Phys. Rep. 424 (2006) 175-308. Newman, Barabasi, Watts. The Structure and Dynamics
of Networks. Princeton University Press, 2006.
4
复杂动态网络基本概念
复杂动态网络及其控制
任课教师：樊春霞 南京邮电大学自动化学院
课程介绍
• 学时：32 • 内容：复杂动态网络基本概念、小世界
模型、无尺度模型、复杂动态网络状态 耦合同步方法、复杂动态网络输出耦合 同步方法、时滞网络同步、复杂动态网 络拓扑辨识、复杂动态网络故障诊断
复杂网络基本概念
复杂⽹络基本概念1.复杂⽹络：随机⽹络，⼩世界⽹络和⽆标度⽹络2.⼩世界⽹络的属性：平均路径长度（Average Path Length,APL）⼩于正则⽹络的；⼩世界⽹络具有较低的平均聚类系数（Average Clustering Coefficient,ACC）3.复杂⽹络⾯对的挑战：⾼数据量；物理系统到真实复杂⽹络模型映射过程中的复杂性；⾼计算复杂性4.图信号处理将经典信号处理中的概念和⼯具（如平移，卷积，傅⾥叶变换，滤波器组和⼩波变换）扩展应⽤于任意⽹络中的数据5.加权图，有向图6.图在计算机的存储器中⽤矩阵表⽰，如邻接矩阵，关联矩阵，权重矩阵，度矩阵以及拉普拉斯矩阵等。
7.如果在两个节点之间存在多条边，称该图为多重图（multigraph）;如果存在⾃环，则称该图为伪图（pseudograph）8.包含原始图所有顶点的⼦图称为⽣成⼦图（spanning subgraph）9.图g的补图是指与图G具有同样的顶点集，但边集中的边则由那些在图g中不存在的边组成，也称为反向图（inverse graph）10.图在计算机中以矩阵或者链表的⽅式存储11.权重矩阵：图的权重矩阵包含图中相应边的权重。
权重矩阵是图的拓扑结构的完整表⽰。
所有的其他矩阵（邻接，度，拉普拉斯）都可以通过权重矩阵推导得出。
对于⾮加权图，权重矩阵和邻接矩阵是⼀样的。
12.邻接矩阵：包含图连接的N*N矩阵13.关联矩阵：每⼀⾏对应图中的⼀个顶点，⽽每⼀列对应图中的⼀条边。
14.度矩阵：是⼀个对⾓线矩阵，在对⾓线上包含了顶点的度。
节点的度是所有与该节点相关联的边的权重之和。
⼀些⼤的⽹络通常通过度的频率分布来刻画。
15.拉普拉斯矩阵：L=D-W，D是图的度矩阵，W是图的权重矩阵。
具有正边权重的⽆向图的拉普拉斯矩阵的基本性质:对称性；每⼀⾏之和为0，具有奇异性，det(L)=0；半正定；其特征值是⾮负实数。
16.归⼀化拉普拉斯矩阵：L(norm)=D(-1/2)LD^(-1/2)17.有向拉普拉斯矩阵：L=Din-W; Din是⼊度矩阵18.基本图测度：平均邻居度（AND），平均聚类系数（ACC，局部连通性属性），平均路径长度（APL，全局⽹络属性），平均边长度（AEL），图的直径和体积。
《复杂网络简介》课件
100%
小世界网络
指网络中节点间的平均距离很短 ，即信息在网络中传播的速度很 快。
80%
随机网络
节点和边的出现是随机过程的结 果，网络结构相对均匀。
03
复杂网络的演化
网络演化的基本规律
自相似性
复杂网络在演化过程中表现出 自相似性，即在不同尺度上网 络的结构和性质具有相似性。
无标度性
复杂网络中节点的度分布遵循 幂律分布，即少数节点拥有大 量连接，而大多数节点只有少 数连接。
小世界效应
复杂网络中的节点平均距离较 小，信息在网络中传播迅速。
网络演化的机制
01
02
03
增长
随着时间的推移，网络中 的节点数量不断增加，新 的节点通过与已有节点建 立连接加入网络。
优先连接
新加入的节点更倾向于与 已有节点中连接数较多的 节点建立连接，从而形成 层次结构。
自组织
网络中的节点通过局部规 则和相互作用，在演化过 程中形成复杂的结构和模 式。
复杂网络的重要性
揭示现实世界中复杂系统的内在规律和机制
复杂网络是描述现实世界中复杂系统的重要工具，可以帮助我们 揭示系统内在的规律和机制。
促进跨学科研究
复杂网络涉及多个学科领域，如数学、物理、计算机科学、社会 学等，通过复杂网络的研究可以促进跨学科的合作与交流。
复杂网络的应用领域
01
02
03
04
网络控制的基本概念
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状态反馈控制
通过测量节点的状态，并利用状态反馈控制方法 调整节点的输入，实现网络的控制。
输出反馈控制
通过测量节点的输出，并利用输出反馈控制方法 调整节点的输入，实现网络的控制。
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复杂网络基础理论 1
1.1 引言
21世纪是复杂性和网络化的世纪。 从20世纪七八十年代开始，在国际上形成了非线 性科学和复杂性问题的研究热潮。 尤其是20世纪90年代以来，人类已经生活在一个 充满各种各样复杂网络的世界中，许多复杂性问题都 可以从复杂网络的角度去研究。 从网络观点重新认识事物并带来革命性变化的典 型实例——Google的诞生。它的PageRank算法利用了 WWW的网络结构。
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1.2 网络科学理论发展的三个时期
1.2.1 规则网络理论阶段 1.2.2 随机网络理论阶段 1.2.3 复杂网络理论阶段
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1.2.1 规则网络理论阶段
规则网络理论的发展得益于图论和拓扑学等应用 数学的发展。图论是一种强有力的研究工具和研究方 法。 历史上著名的四个图论问题： 1.哥尼斯堡七桥问题 哥尼斯堡是当时东普鲁士的首都，今俄罗斯加里 宁格勒市，普莱格尔河横贯其中，这条河上建有七座 桥，将河中间的两个岛和河岸联结起来，如图所示。 有人在闲暇散步时提出：能不能每座桥都只走一遍， 最后又回到原来的位置。
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1.2.3 复杂网络理论阶段
2.社会网络中弱连接优势的发现 哈佛大学Granovetter的弱连接优势理论指出：与 一个人的工作和事业关系最密切的社会关系并不是“ 强连接”，而常常是“弱连接”。“弱连接”虽然不 如“强连接”那样坚固，却有着极快的、可能具有低 成本和高效能的传播效率。而在强连接关系下，成员 彼此之间具有相似的态度，他们高度的互动频率通常 会强化原本认知的观点而降低了与其它观点的融合， 故强连接网络通常不能提供创新机会。相对于强连接 关系，弱连接则能够在不同的团体间传递非冗余性的 讯息，使得网络成员能够增加修正原先观点的机会。 因此，拥有更多弱连接的人拥有信息流通的优势，往 往可得到更多工作机会和业务选择机会。
复杂网络基础理论(ppt)
IP
朋
地
友
址 网
关系
网
数理统计基础
概率论基础 数理统计基础 统计假设及检验 一元线性回归分析
图论的基本概念
图的基本概念 图的路和连通性 图的基本运算 树与生成树 图的矩阵表示
复杂网络的研究内容和意义
研究的主要内容包括：网络的几何性质，网络 的形成机制，网络演化的统计规律，网络上的模 型性质，网络的结构稳定性，网络的演化动力学 机制等。
间的距离dij和从节点vj到vi之间的距离dji是不同的。距离dij 定义为从节点vi出发沿着同一方向到达节点vj所要经历的弧的 最少数目，而它的倒数1／dij称为从节点vi到节点vj的效率， 记为εij。
有向连通简单网络的平均距离L
因为效率可以用来描述非连通网络，所以可以定义有向网 络的效率LC为
介数
介数 节点的介数Bi定义为
式中，Njl表示从节点vj到vl的最短路径条数，Njl（i）表示 从节点vj到vl的最短路径经过节点vi的条数。 边的介数Bij定义为
式中，Nlm表示从节点vl到vm的最短路径条数，Nlm（eij ）表示从节点vl到vm的最短路径经过边eij（方向相同）的 条数。
加权网络的静态特征
核度 一个图的k－核是指反复去掉度值小于k的节点及其连线后
，所剩余的子图，该子图的节点数就是该核的大小。 节点核度的最大值叫做网络的核度。 节点的核度可以说明节点在核中的深度，核度的最大值自然
就对应着网络结构中最中心的位置。
度中心性
度中心性分为节点度中心性和网络度中心性。 节点vi的度中心性CD（vi）定义为
网络G的度中心性CD定义为
介数中心性
介数中心性分为节点介数中心性和网络介数中心性。 节点vi的介数中心性CB（vi）定义为
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非典发现在广州，为什么却 在北京爆发呢？ 传染病是怎样扩散和消失的？ 互联网 计算机病毒是怎样传播的？ 为什么“好事不出门，坏事 行千里”呢？
……
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2. 二十一世纪科学研究的特点
二十世纪，科学研究的特点是分析的方法， 还原论的方法：物理学（牛顿力学、量子力学、 电子论、半导体），化学（量子分子论），生 物（双螺旋结构）；建筑工程（应力应变分 析），……。
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我认为，下个世纪将是复杂性的世纪 (I think the next century will be the century of complexity) ——斯蒂芬.霍金(StephenHaking)（2000）
英国剑桥大学应用数学及理论物理学系教授，当代最重要的广义相对论和 宇宙论家，是当今享有国际盛誉的伟人之一，被称为在世的最伟大的科学家， 还被称为“宇宙之王”。
二十一世纪（二十世纪末），系统成为主要 的研究对象，整合成为主要方法。普列高津的耗 散结构理论，哈肯的协同学，混沌和复杂系统理 论，系统生物学 … …。
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当分析为主要的研究方法时，人类关注如何将系 统“分析”、“分解”，揭开系统的细部，了解是什 么元素或部件组成了系统，却忽视或破坏了这些元素 是如何组合成系统的。而整合的方法在于了解细部以 后，研究“如何组合”的问题。这种方法导致复杂网 络结构的研究。
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（3）复杂网络之间相互影响的复杂性 实际的复杂网络会受到各种各样因素的影响和作 用。例如，电力网络故障会导致Internet网速变慢， 运输系统失控等一系列不同网络间的连锁反应。 （4）网络分层结构的复杂性 例如，行政管理网络是具有层结构的，多数网络都 有节点的分层结构，只是在许多网络中没有意识到 是一种造成复杂性的重要结构。
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复杂网络是二十一世纪科学研究的思想和理 念，它启发我们用什么观点理解这个世界：整 个世界以及组成世界的任何细部都是由网络及 其变化形成的。 复杂网络也是研究复杂系统的一种技术和方 法，它关注系统中个体相互作用的拓扑结构， 是理解复杂系统性质和功能的基本方法。
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三、复杂网络研究简史
① 格尼斯堡七桥问题
相关资料：
许晓鸣, 郭雷.复杂网络.上海科技教育出版社, 2006年11月. S.H.Strogatz. Nature, 410, (2001) 268. R.Albert, A. -L. Barabasi. Rev. Mod. Phys. , 51 (2002)1079. M. E. J. Newman. SIAM Rev., 45(2003) , 167. S. N. Dorogovtesev, J.Mendes. Evolving of Networks, Oxford Un. Press, 2003. E. Ben-Naim, et al. Complex Networks, Springer, 2004. S.Boccaletti, et al. Complex Networks: Structure and dynamics, Phys. Rep. 424 (2006) 175-308. Newman, Barabasi, Watts. The Structure and Dynamics of Networks. Princeton University Press, 2006.
1736年， 七桥游戏
Euler（1707~1783）， 瑞士数学家 ，图论 之父
一笔画问题
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② 随机图理论
20世纪60年代，由两位匈牙利数学家Erdǒs和Ré nyi建立 的随机图理论（random graph theory）被公认为是在数学 上开创了复杂网络理论的系统性研究。 Erdǒs和Ré nyi的最重要的发现 是：ER随机图的许多重要性质都 是突然涌现的。也就是说，对于任 一给定的概率p，要么几乎每一个 图都具有某个性质Q（比如说，连 通性），要么几乎每一个图都不具 有该性质。 在20世纪的后40年中，随机图 理论一直是研究复杂网络的基本理 论。
美国《Science》周刊： “如果对当前流行的、时髦的关键词进行一 番分析，那么人们会发现，“系统”高居在 排行榜上。”
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二、复杂系统与复杂网络
1. 1. 复杂系统与复杂网络的概念
（1）什么是系统？
系统：集合（具体元素）+ 结构+功能。 （例：不同角度分析系统，人）
（2）系统的结构是什么？
一切系统的基础结构都是网络；
一篇是美国康奈尔（Cornell）大学理论和应用力学系的博 士生Watts及其导师、非线性动力学专家Strogatz教授于1998年6 月在Nature杂志上发表的题为《“小世界”网络的集体动力学》 （Collective Dynamics of ‘Small-World’ Networks）的文章； 另一篇是美国Notre Dame大学物理系的Barabāsi教授及其 博士生Albert于1999年10月在Science杂志上发表的题为《随机 网络中标度的涌现》（Emergence of Scaling in Random Networks）的文章。 这两篇文章分别揭示了复杂网络的小世界特征和无标度性 质，并建立了相应的模型以阐述这些特性的产生机理。
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例子，人，城市网络簇。 ２)涌现性。即内部元素通过非线性相互作用， 在宏观层次上产生出新的、元素不具有的整体属 性，表现为整体斑图、模式等。虽然涌现同样是 所有系统都具有的，但这里涌现意味着新的整体 属性的产生。 例子， “整体大于部分之和”， 大脑的神经网 14 络系统
３）演化性（不可逆性）。即通过与所在环境中的其它 系统的相互作用和内部的自组织，使系统发展到新的阶 段，表现出阶段性、临界性，完成系统演化的生命周期。 例:社会网络中的人，生物群体的自组织系统（鸟群） ４）复杂性。 包括系统的结构、行为、功能等多个方面 同时具有的复杂性。结构复杂性表现为多元性，非对称 性，非均匀性，非线性（分岔 (Bifurcation) , 混沌 (Chaos), 分形Fractal）；行为复杂性表现为学习，自适 应性，混沌同步，混沌边沿，随机性等等；认识复杂性 又称为主观复杂性，它表现为不确定性，描述复杂性与 计算复杂性等等。 例:神经网络中的突触有强有弱，可抑制也可兴奋
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５）网络结构。即系统内部和系统之间的相 互作用可以看成由节点、边（连接）构成的 体系，出现网络复杂性、小世界特征与无标 度特征等。
一切系统都具有网络结构，复杂系统具有复杂的网络结构。
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3. 网络系统的复杂性
（1）结构复杂性 网络连接结构错综复杂、极其混乱，同时又蕴含 着丰富的结构：社区、基序、聚集性、生成规律性等 等，而且网络连接结构可能是随时间变化的，例如， WWW上每天都不停地有页面和链接的产生和删除。 静态结构的复杂性和结构动态演化的复杂性。 例：神经系统由神经元互连形成，连接以“突触连 接结构”实现，突触有强弱、兴奋与抑制、不同的神 经递质；连接不断改变，形成连接结构变化。（重边， 加权等）
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复杂网络研究的简史列表
时间（年） 人 物 事 件 1736 Eü ler 七桥问题 1959 Erdǒs和Ré nyi 随机图理论 1967 Milgram 小世界实验 1973 Granovetter 弱连接的强度 1998 Watts和Strogatz 小世界模型 1999 Barabá si和Albert 无标度网络
Virginia大学计算机系的科学家建立了一个电影演员的数据库，放在
网上供人们随意查询。网站的数据库里目前总共存有近 60万个世界各 地的演员的信息以及近30万部电影信息。通过简单地输入演员名字就
可以知道这个演员的Bacon数。
一个有趣的数学家故事：Erdǒs数证明小世界实验。 23
有两篇开创性的文章可以看作是 复杂网络研究新纪元开始的标志：
一切系统的核心结构都是逻辑网络；
复杂系统的结构就是复杂网络。
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复杂网络是构成复杂系统的基本结构，每个复杂 系统都可以看作是单元或个体之间的相互作用网络；
复杂网络在刻画复杂性方面的重要性是由于结构 决定功能的。
复杂网络是研究复杂系统的一种角度和方法，它 关注系统中因子相互关联作用的拓扑结构，是理解复 杂系统性质和功能的基础。
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（2）节点复杂性 A）节点的独立或固有特性 网络中的节点可能是具有分岔和混沌等复杂非线 性行为的动力系统。例如，基因网络中每个节点都具 有复杂的时间演化行为。而且，一个网络中可能存在 多种不同类型的节点。例如，控制哺乳动物中细胞分 裂的生化网络就包含各种各样的基质和酶。 B) 关联引发的节点特性 当关联失去时这类特性会在节点处消失或改变。 例如，耦合神经元重复地被同时激活，那么它们之间 的连接就会加强，这被认为是记忆和学习的基础。
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复杂网络的事例
WWW
技术网络
因特网
电力网
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社会网络
朋友关系网 科学引文网
演员网 性关系网 科学家合著网
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交通运输网络
航 空 网
道 路 交 通 网
城 市 公 共 交 通 网
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生物网络
生态网络
蛋白质相互作用网络
神经网络 基因网络
新陈代谢网络
Santa Fe 研究所的科学家合作网
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经济物理学科学家合作网
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不同领域的复杂网络
• 社会网：演员合作网，友谊网，姻亲关系网， 科研合作网，Email网 • 生物网：食物链网，神经网，新陈代谢网， 蛋白质网，基因网络 • 信息网络：WWW，专利使用，论文引用， 计算机共享 • 技术网络：电力网，Internet，电话线路网， • 交通运输网：航线网，铁路网，公路网，自 然河流网 34
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1998，Watts和Strogatz：WS小世界网络
D. J. Watts, and S. H. Strogatz, Nature, 393, 440-442 (1998).