数学分析 §5.1导数的概念
导数的概念与性质
导数的概念与性质导数是微积分中的一个重要概念，它描述了函数在某一点处的变化率。
导数的概念由数学家高斯于18世纪提出，至今仍被广泛应用于各个领域。
本文将对导数的概念以及其性质进行论述。
一、导数的概念导数是用来描述函数在某一点处的变化率的数值。
设函数f(x)在点x=a处可导，那么函数在该点处的导数记作f'(a)，表示函数在点x=a处的瞬时变化率。
导数可以用极限的概念来定义，即：f'(a) = lim (x→a) (f(x)-f(a))/(x-a)其中，f(x)表示函数f在点x处的取值。
导数的概念可以形象地理解为函数图像上某一点处切线的斜率。
当函数在某点处的导数存在时，说明函数在该点处是光滑的，即函数图像在该点处没有转折或断裂的情况。
二、导数的性质导数具有以下一些重要的性质：1. 导数的存在性：一般而言，函数在某点处的导数可能存在也可能不存在。
当函数在某点处的导数存在时，我们称其为可导，否则称其为不可导。
2. 导数与函数的关系：导数是描述函数变化率的工具，它与函数的关系密切。
如果函数在某一范围内的导数都存在，那么我们可以得到函数在该范围内的变化趋势。
3. 导函数的性质：如果函数f(x)在某一点处可导，那么它的导函数f'(x)就是由f(x)导出的一个新函数。
导函数具有以下性质： - 导函数是原函数的变化率函数，描述了原函数在各点处的变化率。
4. 导数的运算规则：导数满足一些基本的运算规则，使我们能够更方便地求解复杂函数的导数。
其中，常见的导数运算规则包括常数倍法则、和差法则、乘积法则和商积法则等。
5. 导数与函数图像：导数不仅可以解释函数的变化率，还能给出函数图像的一些重要信息。
例如，函数在某一点处的导数为正，则说明函数在该点处上升；导数为负，则说明函数在该点处下降。
三、导数的应用导数在各个领域都有广泛的应用，例如：1. 物理学中的运动学：导数可以描述物体的位置、速度和加速度之间的关系，帮助我们分析物体的运动规律。
高中数学导数的概念及其意义
高中数学导数的概念及其意义
导数(Derivative)概念及意义
一、导数的定义
1、导数的定义
导数是一种描述曲线的变化率的度量，它表示的是做一个变量的变化
的大小和另一个变量的变化的方向以及变化的变化率之间的关系。
2、导数的计算公式
导数的计算公式为：y’=limΔx→0 (f(x+Δx)-f(x))/Δx，其中f(x)表示函数，Δx表示x在很小的量度上的变动值。
3、导数的形式表示
导数的形式有两种：一种是函数的图象，用斜率来表示；另一种是用
函数的微分式表示。
二、导数的意义
1、导数的实际意义
导数的实际意义是曲线某一点上的斜率，它表示曲线在该点处的变化率，也就是曲线在该点处的微小位移对应的函数值的变化率。
2、导数的数学意义
数学意义上，导数是一种尺度，也是一种衡量函数变化率的标准，它可以实现曲线的斜率变化规律，从而发现函数的性质，如果曲线的斜率变化率是恒定的，就可以称这种曲线为等差线。
3、导数的应用
导数的应用非常广泛，目前主要在图形科学、机器学习、控制理论和金融计算等领域。
导数的概念和定义
导数的概念和定义导数的概念和定义导数是微积分中的一个重要概念，它描述了函数在某一点处的变化率。
在实际应用中，导数可以用来求解函数的最大值、最小值、拐点等问题。
本文将从以下几个方面详细介绍导数的概念和定义。
一、导数的基本概念导数是函数在某一点处的变化率，也可以理解为函数在该点处的切线斜率。
具体地说，设函数y=f(x)，则它在x=a处的导数定义为：f'(a) = lim (f(x) - f(a)) / (x - a) (x → a)其中，“lim”表示极限，“(x-a)”表示自变量x沿着无限接近于a但不等于a的方向逼近时所取得的差值，“f(x)-f(a)”表示因变量y沿着这个方向所取得的差值。
二、导数的几何意义从几何角度来看，函数在某一点处的导数等于该点处切线斜率。
具体地说，设函数y=f(x)，则它在x=a处切线斜率k为：k = lim (f(x) - f(a)) / (x - a) (x → a)当自变量x沿着无限接近于a但不等于a的方向逼近时，切线斜率k即为导数f'(a)。
因此，导数可以用来描述函数在某一点处的变化率。
三、导数的符号表示通常情况下，我们用f'(a)来表示函数y=f(x)在x=a处的导数。
其中，f'表示函数的导数运算符，被称为“d/dx”或“dy/dx”。
四、导数的计算方法求解函数在某一点处的导数需要使用极限运算。
具体地说，可以通过以下几种方法来计算函数在某一点处的导数：1. 使用极限定义法：根据导数的定义公式，将自变量沿着无限接近于该点但不等于该点的方向逼近，并求出其极限值。
2. 使用公式法：对于常见函数（如幂函数、指数函数、对数函数等），可以直接使用其导数公式进行计算。
3. 使用运算法则：对于复合函数和多项式函数等复杂函数，可以使用求导法则（如加减乘除法则、链式法则等）进行计算。
五、导数存在的条件有些函数在某些点处可能不存在导数。
具体地说，一个函数在某一点处存在导数需要满足以下两个条件：1. 函数在该点附近存在连续性；2. 函数在该点附近存在斜率有限的切线。
导数的定义解释
导数的定义解释在数学中，导数是描述函数变化的重要概念，它表示函数增长率，既可以描述数字函数也可以描述几何函数，是数学进行求解和分析的基础。
导数的定义解释如下：1、定义：函数f（x）的n阶导数是指在变量x上，使函数的变化量（即增量）与x的变化量（即增量）的比值关系趋于某一常数，即定义为n阶导数的函数。
2、解释：函数f（x）的n阶导数，是指表示函数f（x）对变量x的变化量之比率的函数。
通俗点讲，就是当变量x发生变化时，函数f（x）所发生的变化量和x变化量之比例所确定的量。
3、形式：此量可以表示为函数f（x）的n次微分式：f（x）的n阶导数=f（（n）（x）/dxn上式中，dx表示变量x的微小变化量，即对变量x进行微分的步长，dx的数值等于变量x的变化量/微分次数，微分次数即n。
4、说明：从定义中可以看出，当函数f（x）变化时，函数f（x）的n阶导数可以看作是函数f（x）和变量x变化量之比例，也即函数f（x）关于变量x的变化率。
简单来说，导数是一种特征量，它可以对函数表达式进行更为细致的分析，可以表示函数的变化趋势，从而为数学求解和分析提供更多的有效信息。
以下为一个简单的例子，关于求解一元函数的最大值和最小值：已知函数f（x）=3x3+2x2+x+1求f（x）的最大值和最小值解：f（x）的一阶导数为f（x）=3x2+4x+1设f（x）= 0，得3x2+4x+1=0解得x=-1/6，x=-2又得f（-1/6）=-4/27，f（-2）=-17/2即函数f（x）在x=-1/6处取得最大值f（-1/6）=-4/27，在x=-2处取得最小值f（-2）=-17/2由此可见，导数在数学求解和分析中起着非常重要的作用，因此，对导数的定义解释也是十分重要的。
以上就是关于“导数的定义解释”的全部内容，希望能够帮助到大家。
在数学中，导数的概念非常重要，为我们的求解和分析提供了更多有效的信息，因此，要深入理解导数的定义解释，从而运用自如。
导数的概念定义
导数的概念定义导数是微积分中的一个重要概念，它描述了函数在某一点处的变化率。
导数的概念定义可以从几何和代数两个方面来进行解释。
一、几何意义几何意义上，导数可以理解为函数图像在某一点处的切线斜率。
具体来说，设函数y=f(x)，在x=a处有导数，则该点切线的斜率即为f'(a)。
当x靠近a时，函数值f(x)也会越来越接近于f(a)，此时切线斜率也会越来越接近于f'(a)。
因此，导数可以用来描述函数在某一点附近的变化情况。
二、代数意义代数意义上，导数可以理解为函数在某一点处的极限值。
具体来说，设函数y=f(x)，在x=a处有导数，则该点导数的定义式为：f'(a)=lim(x->a){(f(x)-f(a))/(x-a)}这个式子表示当x无限接近于a时，(f(x)-f(a))/(x-a)的极限值即为该点导数。
这个极限值可以看作是函数在该点处微小增量与自变量微小增量之比的极限值。
三、符号表示通常情况下，我们用dy/dx或y'来表示函数y=f(x)的导数。
其中，dy/dx表示y关于x的导数，y'表示函数f(x)的导数。
四、求导法则求导法则是计算导数的基本方法。
以下是常用的求导法则：1. 常数函数的导数为0。
2. 幂函数的导数为其指数乘以系数。
3. 指数函数的导数为其自身乘以ln(a)。
4. 对数函数的导数为其自变量倒数。
5. 三角函数和反三角函数的导数可以通过公式推出。
6. 复合函数求导需要使用链式法则或者换元法等方法。
五、应用1. 导数可以用来求解最值问题。
当函数在某一点处取得最大值或最小值时，该点处必须满足其切线斜率为0或不存在。
因此，我们可以通过计算函数在每个可能取得最值的点处的导数来确定最值点。
2. 导数可以用来分析曲线形状。
通过计算不同点处的斜率，我们可以了解曲线在不同位置上升或下降程度以及拐点位置等信息。
3. 导数还有其他应用，如牛顿迭代法、泰勒展开式等。
导数的定义和基本规则
导数的定义和基本规则1. 导数的定义导数是数学分析中的一个核心概念，主要用于研究函数在某一点处的局部性质。
具体来说，导数反映了函数在某一点处的变化率，即自变量发生微小变化时，因变量的变化量与自变量变化量的比值。
设函数f(x)在点x0处有极限，则函数f(x)在点x0处的导数定义为：f′(x0)=limΔx→0f(x0+Δx)−f(x0)Δx如果上述极限存在，则称函数f(x)在点x0处可导。
2. 基本导数公式（1）常数函数的导数：对于常数c，有f(x)=c，则f′(x)=0。
（2）幂函数的导数：对于幂函数f(x)=x n（n为实数），有f′(x)=nx n−1。
（3）指数函数的导数：对于指数函数f(x)=a x（a为常数，a≠0），有f′(x)=a x lna。
（4）对数函数的导数：对于对数函数f(x)=log a x（a为常数，a>0，a≠1），有f′(x)=1xlna。
（5）三角函数的导数：•对于正弦函数f(x)=sinx，有f′(x)=cosx。
•对于余弦函数f(x)=cosx，有f′(x)=−sinx。
•对于正切函数f(x)=tanx，有f′(x)=sec2x。
（6）反三角函数的导数：•对于反正弦函数f(x)=arcsinx，有f′(x)=√1−x2（−1≤x≤1）。
•对于反余弦函数f(x)=arccosx，有f′(x)=√1−x2−1≤x≤1）。
•对于反正切函数f(x)=arctanx，有f′(x)=11+x2。
（7）链式法则：若函数f(x)=g(ℎ(x))，则f′(x)=g′(ℎ(x))⋅ℎ′(x)。
（8）乘积法则：若函数f(x)=g(x)⋅ℎ(x)，则f′(x)=g′(x)⋅ℎ(x)+g(x)⋅ℎ′(x)。
（9）商法则：若函数f(x)=g(x)ℎ(x)（h(x)≠0），则f′(x)=g′(x)⋅ℎ(x)−g(x)⋅ℎ′(x)[ℎ(x)]2。
（10）和差法则：若函数f(x)=g(x)+ℎ(x)，则f′(x)=g′(x)+ℎ′(x)；若函数f(x)=g(x)−ℎ(x)，则f′(x)=g′(x)−ℎ′(x)。
导数的定义与求导法则
导数的定义与求导法则导数是微积分中非常重要的概念，它用于描述函数在某一点上的变化率。
在计算导数时，我们可以使用导数的定义和求导法则来求解。
本文将详细介绍导数的定义和常用的求导法则。
一、导数的定义导数的定义是通过函数的极限来描述函数在某一点上的变化率。
设函数f(x)在点x_0处可导，则它的导数f'(x_0)的定义如下：f'(x_0) = lim(x→x_0) (f(x)-f(x_0))/(x-x_0)上述定义可以理解为函数f(x)在点x_0处的切线斜率。
这个切线斜率可以帮助我们了解函数在该点附近的变化情况。
二、导数的求导法则为了方便计算导数，我们可以利用一些常用的求导法则。
下面是一些重要的求导法则：1. 常数法则：若C为常数，则(d/dx) C = 0，即常数的导数等于0。
2. 幂函数法则：若f(x) = x^n，其中n为常数，则(d/dx) x^n =n·x^(n-1)。
3. 指数函数法则：若f(x) = a^x，其中a为常数，则(d/dx) a^x =a^x·ln(a)。
4. 对数函数法则：若f(x) = log_a(x)，其中a为常数，则(d/dx)log_a(x) = 1/(x·ln(a))。
5. 基本初等函数法则：对于常见的基本初等函数，我们可以通过已知函数的导数来求解其他函数的导数，如常数函数、指数函数、对数函数、三角函数等。
6. 和、差、积、商法则：对于多个函数之和、差、积、商，我们可以通过将其化简为基本初等函数的形式来计算导数。
7. 链式法则：对于复合函数，我们可以利用链式法则来求导。
设y=f(u)和u=g(x)，则复合函数y=f(g(x))的导数为(dy/dx) =(dy/du) · (du/dx)。
在实际应用中，我们可以根据具体情况选择合适的求导法则来进行计算。
三、导数的应用导数在数学和物理中有广泛的应用。
以下是一些常见的应用：1. 函数的极值点：导数可以帮助我们判断函数的极大值和极小值点。
导数的定义与性质
导数的定义与性质导数是微积分中的核心概念之一，它是用来描述一个函数的变化趋势的。
导数被广泛应用于物理、工程、经济和生物等领域，因此理解导数的定义和性质是非常重要的。
一、导数的定义导数的定义是函数在某一点处的切线斜率。
这个定义是通过极限的概念来实现的。
假设f(x)是定义在R上的一个函数，如果它在x=a处可导，那么导数f’(a)的定义如下：f’(a) = lim [f(x) - f(a)] / (x - a)其中x是趋向于a的一个实数。
这个极限表达式表示当x接近a时，f(x)和f(a)之差除以x-a的商会趋向于一个特定的实数，这个实数就是导数。
注意，这个定义只能在限定的点上使用。
对于连续的函数，可以求得每个点的导数，从而知道函数整体的单调性，极值等重要信息。
二、导数的性质导数具有许多有用的性质。
以下是其中一些：1. 导数的可加性如果f(x)和g(x)都在x=a处可导，那么(f(x)+g(x))在x=a处也可导，且有：[f(x)+g(x)]’|x=a = f’(a) + g’(a)这个性质表明如果一个函数可以写成两个函数的和，那么它的导数是两个函数的导数之和。
2. 导数的乘法规则如果f(x)和g(x)都在x=a处可导，那么(f(x)g(x))在x=a处也可导，且有：[f(x)g(x)]’|x=a = f’(a)g(a) + f(a)g’(a)这个性质是求导时最常用的，它叫做导数的乘法规则。
它表明如果一个函数可以写成两个函数的乘积，那么它的导数可以通过这两个函数及其导数的乘积来计算。
3. 链式法则如果f(x)和g(x)都在x=a处可导，那么f(g(x))在x=a处也可导，且有：[f(g(x))]’|x=a = f’(g(a))g’(a)这个性质是一个很重要的求导方法，叫做链式法则。
它表明如果一个函数有一个内部函数，那么它的导数可以通过内部函数的导数和外部函数的导数的乘积来计算。
4. 高阶导数如果f(x)在x=a处具有导数，那么f(x)也可以在x=a处具有二阶导数、三阶导数等。
导数的概念-课件-导数的概念
导数在现代数学中的地位和作用
基本概念
导数是现代数学的基本概念之一，是研究函数性质和解决实际问题的 重要工具。
数学分析
导数是数学分析的重要分支，是研究函数的可微性、可导性和连续性 的基础。
应用领域
导数的应用领域非常广泛，不仅限于数学和物理领域，还涉及到工程 学、经济学和计算机科学等多个领域。
数学建模
导数的应用发展
物理学
工程学
导数在物理学的各个分支中都有广泛的应 用，如力学、电磁学、热学等。
在机械工程、航空航天工程、土木工程等 领域，导数被用于优化设计、控制工程和 流体力学等方面。
经济学
计算机科学
导数在经济学中被用于研究经济系统的变 化率和最优决策问题。
在计算机图形学、数值分析和机器学习等 领域，导数被用于计算图像处理、数据拟 合和模型训练等方面。
高阶导数在研究函数的极值、拐 点、曲线的形状等方面有重要应 用。
微分学基本定理
微分学基本定理的内容
微分学基本定理是导数与微分之间的关系，即函数在某点的导数 等于该函数在该点的切线的斜率。
微分学基本定理的推导
通过极限的概念和性质，利用切线斜率的定义推导出微分学基本定 理。
微分学基本定理的应用
微分学基本定理是微分学的基础，在研究函数的增减性、极值、曲 线的形状等方面有重要应用。
复合函数求导法则
若$y = f(u)$和$u = g(x)$都可导， 则复合函数$y = f[g(x)]$的导数为 $(y)' = u' cdot (u)' = u' cdot v'$。
隐函数的导数
由显函数表示的隐函数求 导
若由显函数$F(x, y) = 0$表示的隐函数为$y = f(x)$，则通过求偏导数$frac{partial F}{partial x}$和$frac{partial F}{partial y}$ ，可以得到隐函数$y = f(x)$的导数。
导数的定义及其应用
导数的定义及其应用导数是微积分中一个非常重要的概念，它在自然科学、工程学、经济学等多个领域都有广泛的应用。
本文将从导数的定义、导数的计算方法和导数的应用三个方面进行论述。
一、导数的定义导数是函数在某个点上的变化率，它描述了函数在一点附近的斜率，可以表示为函数在该点的极限。
具体地说，如果函数$f(x)$在点$x_0$处可导，那么它的导数为：$$f'(x_0)=\lim_{h\to0}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}$$其中$h$为趋近于$0$的实数。
如果这个极限存在，则称$f(x)$在$x_0$处可导。
例如，求函数$f(x)=x^2$在$x=2$处的导数，我们可以将$x_0=2$代入上式，得到：$$f'(2)=\lim_{h\to0}\frac{(2+h)^2-2^2}{h}=\lim_{h\to0}(4+4h+h^2)/h=4$$因此，$f(x)=x^2$在$x=2$处的导数为$4$。
二、导数的计算方法导数的计算方法有很多种，这里介绍三种常用的方法。
1. 用定义式计算。
根据导数的定义，我们可以将函数在某个点的导数表示为极限，通过计算该极限来求出导数的值。
这种方法往往比较繁琐，适用于简单函数或需要进行特殊推导的函数。
2. 利用导数的性质计算。
导数具有很多有用的性质，如加减法、乘法、链式法则等，可以帮助我们快速计算导数。
例如，对于两个函数$f(x)$和$g(x)$，它们的和函数$(f+g)(x)$的导数为$f'(x)+g'(x)$，积函数$(f\cdot g)(x)$的导数为$f'(x)g(x)+f(x)g'(x)$，以及由复合函数$u(x)=f(g(x))$构成的函数$v(x)=u'(x)=f'(g(x))g'(x)$的导数等等。
3. 利用数值计算方法计算。
数值计算方法是一种近似计算导数的方法，常用的方法有差分法、牛顿-莱布尼茨公式、微分方程法等等。
高数课件-导数的概念
导数的四则运算规则
加法规则：导数相加等于导数之和
乘法规则：导数相乘等于导数之积
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减法规则：导数相减等于导数之差
除法规则：导数相除等于导数之商
复合函数的导数计算
复合函数的定 义：由两个或 多个函数组成
的函数
复合函数的导 数计算方法：
链式法则
链式法则：将 复合函数分解 为多个简单函 数，分别计算 导数，然后将
导数的性质定理
导数的定义：导数是函数在某一点的切线斜率 导数的性质：导数是连续的，可导函数在定义域内处处可导 导数的公式：导数的基本公式包括导数的四则运算、复合函数求导公式、隐函数求导公式等 导数的应用：导数在微积分、函数极限、函数极值、函数凹凸性等方面有广泛应用
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导数的定理与公式
导数的定义：导数是函数在某一点 的切线斜率
导数的基本定理
导数的公式：导数公式包括基本导 数公式、复合函数导数公式、隐函 数导数公式等
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导数的性质：导数是函数在某一点 的极限值
导数的应用：导数在微积分、函数 分析、=lim(h>0)(f(x+h)-f(x))/h
导数的推导公式
导数的定义：函数在某一点的导数是该函数在该
01
点附近曲线的切线斜率 导数的基本公式：f'(x)=lim(h->0) [f(x+h)-
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f(x)]/h 导数的四则运算法则：f'(x)=f(x)+g'(x)，
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f'(x)=f(x)-g'(x)，f'(x)=f(x)*g'(x)，f'(x)=f(x)/g'(x) 04 导数的复合函数公式：f'(g(x))=f'(g(x))*g'(x)
导数概念课件
02
导数的性质
函数单调性与导数的关系
总结词
函数单调性与导数正负有关
详细描述
如果函数在某区间的导数大于0，则函数在此区间单调递增；如果导数小于0， 则函数在此区间单调递减。
极值与导数的关系
总结词
极值点导数为0或不存在
详细描述
函数在极值点处的导数为0或不存在，即一阶导数为0或不可导点。
曲线的切线与导数的关系
导数概念ppt课件
• 导数的基本概念 • 导数的性质 • 导数的计算 • 导数的应用 • 导数的历史与发展
01
导数的基本概念
导数的定义
总结词
导数是描述函数在某一点附近的变化 率的重要工具 斜率，它描述了函数在该点附近的局 部变化趋势。通过求导，可以找到函 数值随自变量变化的速率和方向。
导数的几何意义
总结词
导数的几何意义是切线斜率，它 反映了函数图像在该点的切线状 态。
详细描述
在几何上，导数表示函数图像在 某一点的切线斜率。这个切线与x 轴的夹角即为该点的导数值，表 示函数在该点附近的变化趋势。
导数的物理意义
总结词
导数的物理意义在于描述物理量随时间或空间的变化率。
详细描述
在物理学中，许多物理量都可以表示为函数形式，如速度、加速度、密度等。导 数可以帮助我们理解这些物理量如何随时间或空间变化，从而揭示物理现象的本 质。例如，速度是位移函数的导数，加速度是速度函数的导数等。
对于两个函数的乘积，其导数 为第一个函数的导数乘以第二 个函数加上第一个函数乘以第 二个函数的导数。即，若 $u(x)$ 和 $v(x)$ 可导，则 $(uv)' = u'v + uv'$。
对于两个函数的商，其导数为 被除函数的导数除以除函数的 导数。即，若 $u(x)$ 和 $v(x)$ 可导且 $v(x) neq 0$， 则 $frac{u'}{v'} = frac{u'v}{uv'}$。
数学分析课本(华师大三版)-习题及答案05
数学分析课本(华师大三版)-习题及答案05第五章 导数和微分习题§5.1导数的概念1、已知直线运动方程为2510t t s +=，分别令01.0,1.0,1=∆t ，求从t=4至t t ∆+=4这一段时间内运动的平均速度及时的瞬时速度。
2、等速旋转的角速度等于旋转角与对应时间的比，试由此给出变速旋转的角速度的定义。
3、设4)(,0)(0='=x f x f ，试求极限xx x f x ∆+∆→∆)(lim 00。
4、设⎩⎨⎧<+≥=,3,,3,)(2x b ax x x x f 试确定的a,b 值，使f在x=3处可导。
5、试确定曲线y x ln =上哪些点的切线平行于下列直线：（1）;1-=x y （2）32-=x y6、求下列曲线在指定点P 的切线方程与法线方程：（1）).1,0(,cos )2();1,2(,42p x y p x y ==7、求下列函数的导函数： ⎩⎨⎧<≥+==,0,1,0,1)()2(;)()1(3x x x x f xx f8、设函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠=,0,0,0,1sin )(x x xx x f m（m 为正整数），试问：（1）m 等于何值时,f 在x=0连续；（2）m 等于何值时,f 在x=0可导； （3）m 等于何值时,f '在x=0连续。
9、求下列函数的稳定点：(1)f(x)=sinx-cosx ；(2)x x x f ln )(-=。
10、设函数f 在点0x 存在左右导数，试证明f 在点0x 连续。
11、设0)0()0(='=g g ，⎪⎩⎪⎨⎧=≠=,0,0,0,1sin )()(x x xx g x f求)0(f '。
12、设f 是定义在R 上的函数，而且对任何Rxx ∈21,，都有)()()(2121x f x f x x f =+。
若1)0(='f ，证明对任何R x ∈，都有)()(x f x f ='。
数学分析5.1导数的概念(讲义)
第五章导数和微分1 导数的概念一、导数的定义定义1：设函数y=f(x)在点x0的某邻域内有定义，若极限存在，则称函数f在点x0处可导，并称该极限为函数f在点x0处的导数，记作f’(x0). 若该极限不存在，则称f在点x0处不可导.令x=x0+△x，△y=f(x0+△x)-f(x0)，则：==f’(x0).∴导数是函数增量△y与自变量增量△x之比的极限. 这个增量比称为函数关于自变量的平均变化率(又称为差商)，而导数f’(x0)则为f在x0处关于x的变化率.注：显然常量函数f(x)=C在任何一点x的导数都等于零.例1：求函数f(x)=x2在点x=1处的导数，并求曲线在点(1,1)处的切线方程.解：f’(1)===2.∴曲线在点(1,1)处的切线方程为：y-1=2(x-1)，即y=2x-1.例2：证明函数f(x)=|x|在点x=0处不可导.证：f’(0)=，∵=1，=-1，∵不存在，∴f在点x=0处不可导.设f(x)在点x0可导，则ε=f’(x0)-是当△x→0时的无穷小量，于是ε·△x=o(△x)，即△y=f’(x0)△x+o(△x)，称为f在点x0的有限增量公式.该公式对△x=0仍成立.定理5.1：若函数f在点x0可导，则f在点x0连续.注：可导是连续的充分而非必要条件.例3：证明函数f(x)=x2D(x)仅在点x0=0处可导，其中D(x)为狄利克雷函数.证：当x0≠0时，由归结原理可得f在x= x0处不连续，∴f在x= x0处不可导.当x0=0时，∵D(x)有界，∴f’(0)==xD(x)=0.即f仅在点x0=0处可导.定义2：设函数y=f(x)在点x0的某右邻域(x0, x0+δ)上有定义，若右极限=(0<△x<δ)存在，则称该极限值为f在点x0的右导数，记作f’+(x0). 类似地，定义左导数为f’-(x0)==.右导数和左导数统称为单侧导数.定理5.2：若函数f在点x0的某右邻域内有定义，则f’(x0)存在的充要条件是：f’+(x0)与f’-(x0)都存在，且f’+(x0)=f’-(x0).例4：设f(x)=，讨论f(x)在x=0处的左右导数与导数.解：f’+(0)===0.f’-(x0) ===1.∵f’+(x0)≠f’-(x0)，∴f在x=0处不可导.二、导函数若函数在区间I上每一点都可导(区间端点只考虑单侧导数)，则称f为I上的可导函数. 对每一个x∈I，都有一个导数f’(x)(或单侧导数)与之对应，函数f’就称为f 在I上的导函数，简称为导数. 记作f’, y’或，即：f’(x)=, x∈I注：f’(x0)可写作：y’或例5：证明：(1)(x n)’=nx n-1，n为正整数；(2)(sinx)’=cosx，(cosx)’=-sinx；(3)(log a x)’=log a e (a>0，a≠1，x>0)，特别的(ln x)’=.证：(1)对于y=x n, ==x n-1+x n-2△x +…+△x n-1，∴(x n)’==(x n-1+x n-2△x +…+△x n-1)=x n-1=nx n-1.(2)∵==，由cosx在R上连续可得：(sinx)’==cosx.又==，由sinx在R上连续可得：(cosx)’== -sinx.(3)∵=log a=log a，又由log a x的连续性可得：(log a x)’=log a=log a=log a e.当a=e时，ln e=1，∴(ln x)’=.三、导数的几何意义曲线y=f(x)在点(x0,y0)的切线方程为：y-y0=f’(x0)(x-x0).即函数f在点x0的导数f’(x0)是曲线fy=(x)在点(x0,y0)的切线斜率.若α表示这条切线与x轴正方向的夹角，则f’(x0)=tanα.例6：求曲线y=x3在点P(x0,y0)处的切线方程与法线方程.解：y’=3x2, ∴f’(x0)=3x02==.当x0≠0时，曲线在点P(x0,y0)处的切线方程为y-y0=f’(x0)(x-x0)，即y=3x02x-2y0；法线方程为y-y0=(x-x0)，即y=x y0.当x0=0时，切线方程为y=0，法线方程为x=0.定义3：若函数f在点x0的某邻域U(x0)内对一切x∈U(x0)有f(x0)≥f(x)或f(x0)≤f(x)，则称f在点x0取得极大(小)值，称点x0为极大(小)值点. 极大值和极小值统称为极值，极大值点、极小值点统称为极值点.例7：证明：若f’+(x0)>0，则存在δ>0. 对任何x∈(x0,x0+δ)，有f(x0)<f(x).证：∵f’+(x0)=>0，由保号性可知，存在δ>0，对一切x∈(x0,x0+δ)，有>0，∴对任何x∈(x0,x0+δ)，有f(x0)<f(x).定理5.3(费马定理)：设函数f在点x0的某邻域内有定义，且在点x0可导，若点x0为f的极值点，则必有f’(x0)=0.我们称满足方程f’(x0)=0的点为稳定点. 稳定点不一定是极值点。
导数的概念与计算方法
导数的概念与计算方法导数是微积分学的重要概念之一，用于描述函数在某一点上的变化率或斜率。
在现代数学和物理学中，导数有着广泛的应用，并被用于解决各种问题。
本文将介绍导数的概念以及计算导数的方法。
一、导数的概念导数可以理解为函数在某一点上的瞬时变化率。
对于函数f(x)，它的导数表示为f'(x)、dy/dx或df/dx。
导数描述了函数在某一点上的斜率，即函数曲线在该点的切线的斜率。
导数的定义如下：若函数f(x)在点x处的导数存在，则称函数f(x)在点x处可导。
函数f(x)在x处的导数为f'(x)，定义为极限：f'(x) = lim(h→0) [f(x+h) - f(x)] / h二、导数的计算方法导数的计算方法主要包括以下几种：函数的基本导数法则、常见函数的导数以及利用导数计算复合函数的导数。
1. 函数的基本导数法则函数的基本导数法则包括常数乘法、求和法则、差法则和乘法法则等：- 常数乘法法则：若c为常数，则f(x) = c * g(x)，则f'(x) = c * g'(x)- 求和法则：若f(x) = g(x) + h(x)，则f'(x) = g'(x) + h'(x)- 差法则：若f(x) = g(x) - h(x)，则f'(x) = g'(x) - h'(x)- 乘法法则：若f(x) = g(x) * h(x)，则f'(x) = g'(x) * h(x) + g(x) * h'(x)2. 常见函数的导数对于常见函数，我们可以直接通过导数公式计算它们的导数：- 幂函数：f(x) = x^n，其中n为常数，则f'(x) = n * x^(n-1)- 指数函数：f(x) = a^x，其中a为常数，则f'(x) = a^x * ln(a)- 对数函数：f(x) = log_a(x)，其中a为常数，则f'(x) = 1 / (x * ln(a))3. 复合函数的导数当函数是由其他函数复合而成时，可以利用复合函数的导数法则进行计算。
导数的概念课件
导数的物理性质
速度与加速度
在物理中，导数可以表示速度和加速度。例如，物体运动的瞬时速度是位移函数 的导数；物体运动的瞬时加速度是速度函数的导数。
斜率与加速度
在工程学中，斜率可以表示物体的加速度。例如，在电路中，电流的变化率可以 表示为电压函数的导数；在机械系统中，速度的变化率可以表示为力函数的导数 。
利用导数研究函数的曲率
总结词
描述函数曲线的弯曲程度
详细描述
导数的二阶导数可以用来描述函数的曲率。二阶导数越大， 表示函数曲线在该点越弯曲；二阶导数越小，表示函数曲线 在该点越平坦。通过计算二阶导数，可以了解函数曲线的弯 曲程度。
04
导数在实际生活中的应用
导数在经济学中的应用
总结词
导数在经济学中有着广泛的应用，它可以帮助我们理解经济现象的变化率和优化经济决 策。
链式法则
商的导数公式
若$u(x)$和$v(x)$在某点可导，且 $v(x) neq 0$，则$frac{u'(x)}{v'(x)}$ 存在。
若$u(x)$在某点可导，$f$是常数，则 复合函数$f(u(x))$在同一点也可导， 且$(f circ u)' = f' times u'$。
导数的几何性质
导数在数学分析、函数研究、优化问题、经济学等领域中 有着广泛的应用，是解决许多问题的重要工具。
导数的发展趋势与未来展望
发展趋势
随着科学技术的发展，导数在各个领域的应 用越来越广泛，如物理学、工程学、经济学 等。同时，对导数本身的研究也在不断深入 ，如对高阶导数、复合导数、变分法等的研 究。
未来展望
导数的起源与早期发展
起源
导数起源于17世纪，最初是为了解决 物理学和几何学中的问题，如速度和 切线斜率等。
导数是什么意思
导数是什么意思
导数是微积分中的重要概念之一，用于描述函数在某一
点处的局部变化率。
它是描述函数的“斜率”，或者可以说是函数在某一点的“瞬时变化率”。
导数广泛应用于数学、物理、经济等学科的研究中。
导数的定义可以通过极限来表达。
对于函数f(x)，在某
一点x=a处的导数f'(a)可以通过以下极限进行定义：f'(a)
= lim┬(h→0)〖(f(a+h)-f(a))/h〗。
导数的几何意义是函数曲线在某一点处的斜率或切线的
斜率。
通过求导可以得到函数在每一点处的导数值，进而可以描绘出函数的变化趋势和性质。
如果导数为正，则函数递增；如果导数为负，则函数递减；如果导数恒为零，则函数处于平稳状态。
导数有多种常见的符号表示方式，如f'(x)、dy/dx、
df(x)/dx等。
其中，dy/dx表示函数y=f(x)对自变量x的
导数，df(x)/dx表示函数f(x)对自变量x的导数。
导数具有一些基本的运算法则，如常数的导数为零、幂
函数的导数、指数函数的导数、对数函数的导数、乘法法则、除法法则、链式法则等，这些法则可以简化导数的计算过程。
导数的应用广泛，例如在物理学中，速度和加速度可以
通过对位移函数和速度函数求导得到；在经济学中，边际成本和边际收益可以通过对总成本和总收益函数求导得到；在最优化问题中，求导可以用于找到函数的最大值和最小值等。
总之，导数是微积分中的重要概念，是描述函数局部变
化率的工具，通过求导可以描绘出函数的性质和变化趋势。
它在数学和其他学科的应用中起到了重要的作用。
导数的定义与求导法则详解
导数的定义与求导法则详解导数是微积分中的重要概念之一。
在数学中，导数用来描述函数在某一点的变化率。
它不仅可以帮助我们了解函数的性质，还可以应用于各种实际问题的求解。
本文将详细介绍导数的定义以及常用的求导法则。
一、导数的定义导数的定义是基于极限的概念，即函数在某一点的导数等于该点的函数值与自变量趋于该点时函数值之差的比值的极限。
用数学符号表示如下：若函数f(x)在点x_0处导数存在，记为f'(x_0)或dy/dx|x=x_0，已知函数在该点处连续，则导数的定义为：f'(x_0) = lim┬(Δx→0)〖(f(x_0+Δx)-f(x_0))/Δx 〗导数可以理解为函数图像在某点处的切线斜率，当导数为正时，函数递增；当导数为负时，函数递减；当导数为零时，函数取得极值。
二、导数的求导法则求导法则是用来计算函数的导数的一组规则。
根据导数的定义，可以推导得到以下常用的求导法则：1. 基本常数法则：常数的导数为0，即d/dx(c)=0，其中c为常数。
2. 变量的幂法则：对于任意的实数n，导数d/dx(x^n)=nx^(n-1)，其中x为自变量。
3. 求和差法则：导数是线性运算，对于任意的可导函数f(x)和g(x)，有d/dx(f(x)±g(x))=d/dx(f(x))±d/dx(g(x))。
4. 乘法法则：对于可导函数f(x)和g(x)，有d/dx(f(x)⋅g(x))=f'(x)⋅g(x)+f(x)⋅g'(x)。
5. 商法则：对于可导函数f(x)和g(x)，有d/dx(f(x)/g(x))=(f'(x)⋅g(x)-f(x)⋅g'(x))/[g(x)]^2。
6. 复合函数法则：若y=f(g(x))，其中f(u)和g(x)都是可导函数，则d/dx(y)=d/dx(f(g(x)))=f'(g(x))⋅g'(x)。
7. 反函数法则：若y=f(x)的反函数为x=g(y)，则g'(y)=[1/f'(x)]，其中f'(x)≠0。
数学分析--导数 ppt课件
数，如果要讨论改函数在端点处的变化率时，就要对导数概念加以补充，引出单 侧导数的概念。
定义 2 设函数 y f (x) 在点 x0 的某右邻域 (x0 ,x 0 δ)上有定义，若右
极限 或
l i m Δ y l i m f ( x0 Δ x ) f ( x0 ) (0＜ x ＜ )
Δ x Δx 0
理 5.1， f(x) x 在 x x 0 0 处不可导。
当 x0 0 时，由于 D(x) 为有界函数, 因此得到
f(0)
lim
f(x)
f(0)
li
mxD(x)
0.
x0 x 0
x 0
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（二）函数在一点的单侧导数
类似于函数在一点有左、右极限, 对于定义在某个闭区间或半开区间上的函
dx
dx
运算，待到学过“微分”之后，将说明这个记号实际上是一个“商”，相应于上述各种
表示导数的形式，f |x x 0 或
dy dx
|xx0
。
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例 6 证明：
(i) ( xn ) nxn1, n 为正整数 ;
(ii) (sinx) cosx , (cosx) sinx
(iii)
y 1
－1/π
0
1/π
x
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（三）导函数 若函数在区间 I 上每一点都可导（对区间端点，仅考虑相应的单侧导数），则称 f
为 I 上的可导函数。此时对每一个χ∈I，都有 f 的一个导数 f '(x) （或单侧导数）与之
对应，这样就定义了一个在 I 上的函数，称为 f 在 I 上的导函数，也简称为导数，记作
导数的定义和计算方法
导数的定义和计算方法导数是微积分学中的重要概念，它描述了函数在某一点处的变化率。
在这篇文章中，我们将介绍导数的定义和计算方法，并且探讨一些相关的概念和性质。
一、导数的定义导数的定义可以由两种方式来描述：几何上的观点和代数上的观点。
1. 几何上的观点：对于给定的函数f(x)，在某一点x=a处的导数可以理解为函数曲线在该点切线的斜率。
具体地说，导数为f(x)在x=a处的极限值，表示了函数在该点附近的局部变化率。
2. 代数上的观点：导数也可以通过函数的极限定义进行计算。
函数在x=a处的导数可以定义为以下极限：f'(a) = lim┬(h→0)〖(f(a+h)-f(a))/h〗其中，h为自变量的增量。
二、导数的计算方法导数的计算方法取决于函数的形式和性质。
下面列举了几种常见函数的导数计算方法：1. 常数函数：对于常数函数f(x) = c，其中c为常数，它的导数为0。
2. 幂函数：幂函数f(x) = x^n，其中n为正整数，它的导数为f'(x) = nx^(n-1)。
3. 指数函数：指数函数f(x) = e^x，它的导数为f'(x) = e^x。
指数函数的导数与函数本身相等，这是指数函数的一个重要性质。
4. 对数函数：对数函数f(x) = ln(x)，其中x>0，它的导数为f'(x) = 1/x。
对数函数的导数可以通过对数函数的定义和导数的定义进行求解。
5. 三角函数：三角函数包括正弦函数、余弦函数和正切函数等。
它们的导数分别为：sin'(x) = cos(x)cos'(x) = -sin(x)tan'(x) = sec^2(x)这些导数可以通过三角函数的性质和导数的定义进行计算。
三、导数的性质和应用导数具有一些重要的性质，这些性质有助于我们计算和应用它们：1. 可导性：如果函数在某一点处的导数存在，则称函数在该点处可导。
可导性是导数的重要性质之一。
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第五章 导数与微分§1 导数的概念【教学目的】深刻理解导数的概念，能准确表达其定义；明确其实际背景并给出物理、几何解释；能够从定义出发求某些函数的导数；知道导数与导函数的相互联系和区别；明确导数与单侧导数、可导与连续的关系；能利用导数概念解决一些涉及函数变化率的实际应用问题；会求曲线上一点处的切线方程；清楚函数极值的概念，并会判断简单函数的极值。
【教学重点】导数的概念，几何意义及可导与连续的关系。
【教学难点】导数的概念。
一、导数的定义1．引入（背景）导数的概念和其它的数学概念一样是源于人类的实践。
导数的思想最初是由法国数学家费马（Fermat ）为研究极值问题而引入的，后来英国数学家牛顿（Newton ）在研究物理问题变速运动物体的瞬时速度，德国数学家莱布尼兹（Leibuiz ）在研究几何问题曲线切线的斜率问题中，都采用了相同的研究思想。
这个思想归结到数学上来，就是我们将要学习的导数。
在引入导数的定义前，先看两个与导数概念有关的实际问题。
问题1直线运动质点的瞬时速度：设一质点作直线变速运动，其运动规律为)(t s s =，若0t 为某一确定时刻，求质点在此时刻时的瞬时速度。
取临近于0t 时刻的某一时刻t ，则质点在[]t t ,0或[]0,t t 时间段的平均速度为：00)()(t t t s t s v --=，当t 越接近于0t ，平均速度就越接近于0t 时刻的瞬时速度，于是瞬时速度：00)()(limt t t s t s v t t --=→。
问题2 曲线上一点处切线的斜率：已知曲线方程为)(x f y =，求此曲线在点),(00y x P 处的切线。
在曲线上取临近于P 点的某点),(y x Q ，则割线PQ 的斜率为：00)()(tan x x x f x f k --==α，当Q 越接近于P ，割线PQ 斜率就越接近于曲线在点P 处的斜率，于是曲线在点P 处的斜率： 00)()(limx x x f x f k x x --=→.2．导数的定义以上两个问题的实际意义虽然不同，但从数学角度来看，都是特殊形式的函数的极限。
定义1 设函数)(x f y =在0x 的某邻域内有定义，若极限00()(limx x x f x f x x --→）存在，则称函数f 在点0x处可导，并称该极限为f 在点0x 处的导数，记作)('0x f 或.0x x dxdy =定义1' 令0x x x -=∆，)()(00x f x x f y -∆+=∆，则上述定义又可表示为： )('0x f ＝.)()(lim lim00000xx f x x f x ydxdy x x x x ∆-∆+=∆∆=→∆→∆=即函数在一点处函数值的改变量与自变量的改变量之比当自变量改变量趋于零时的极限。
例1 已知函数2)(x x f =，求).1('f解 2)1(lim 11lim 1)1()(lim)1(1211'=+=--=--=→→→x x x x f x f f x x x ； 或2)2(lim 1)1(lim )1()1(lim)1(0200'=+∆=∆-∆+=∆-∆+=→∆→∆→∆x xx x f x f f x x x 。
例2 已知函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠=001sin)(2x x xx x f ，求).0('f解 .01sin lim 0)0()(lim)0(00'==--=→→xx x f x f f x x 例3 已知函数x x f =)(，求).0('f 解 ⎩⎨⎧<->==--01010)0()(x x x x x f x f，0)0()(lim 0--∴→x f x f x 不存在 故函数x x f =)(在点0=x 处不可导。
例4 已知函数3)(x x f =，求).0('f解 +∞===--→→→3203001lim lim 0)0()(lim x x x x f x f x x x ，故函数3)(x x f =在点0=x 处不可导。
二、导数的几何意义通过对引例2我们已经看到，已知曲线方程)(x f y =，若)(x f 在点0x 可导，那么曲线)(x f y =在点())(,00x f x 存在切线，并且切线斜率为)(0'x f 。
注：若曲线)(x f y =在点())(,00x f x 存在切线，那么)(x f 在点0x 可导吗？（不一定，如3x y =在0点）。
y=f(x)0'<f 0'>f 0'=f切线方程（点斜式）：))((00'0x x x f y y -=-；法线方程（点斜式）：)()(100'0x x x f y y --=-。
例5 求曲线3x y =在点)1,1(P 处切线与法线方程。
解3)1(lim 11lim 1)1(lim 213111=++=--=--=→→→=x x x x x y y dxdy x x x x ， ∴ 切线方程：)1(31-=-x y ，即：023=--y x ；法线方程：)1(311--=-x y ，即：.043=-+y x三、可导与连续的关系1．定理5.1 若函数f 在点0x 可导，则f 在点0x 连续。
证明 函数f 在点0x 可导，由导数定义知00)(lim lim limlim 0'0000=⋅=∆⋅∆∆=∆⋅∆∆=∆→∆→∆→∆→∆x f x x y x x y y x x x x ，所以f 在点0x 连续（P69最下式）。
2．若函数f 在点0x 连续，则f 在0x 不一定可导。
如例3中，函数x x f =)(在点00=x 连续，但是不可导。
yx x f =)(0 x例6 证明函数)()(2x D x x f =仅在点00=x 处可导。
其中)(x D 为狄利克雷函数：⎩⎨⎧=为无理数当为有理数当x x x D 01)(。
证明 当00≠x 时，由归结原则可得函数)()(2x D x x f =在点0x x =不连续，所以由定理 5.1便知它在0x x =处不可导；当00=x 时，0)(lim 0)0()(lim)0(00'==--=→→x xD x f x f f x x ，说明它在00=x 处可导； 综上便知函数)()(2x D x x f =仅在点00=x 处可导。
四、单则导数若只研究函数在某一点0x 右邻域（左邻域）上的变化率，只需讨论导数定义中极限的右极限（左极限），于是我们引入单则导数的概念。
1．定义定义2 若函数)(x f 在)(0x U +有定义，定义右导数为： xx f x x f x x x f x f x f x x x ∆-∆+=--=++→∆→+)()(lim )()(lim )(000000'； 若函数)(x f 在)(0x U -有定义，定义左导数为： .)()(lim )()(lim )(000000'xx f x x f x x x f x f x f x x x ∆-∆+=--=--→∆→- 右导数和左导数统称为单则导数。
2．由左、右极限与极限之间的关系容易得到左、右导数与导数之间有如下关系：定理5.2 函数)(x f 在点0x 可导，且a x f =)(0'⇔函数)(x f 在点0x 即左可导又右可导，且 .)()(0'0'a x f x f ==-+例7 设函数⎩⎨⎧<≥-=00cos 1)(x xx x x f ，讨论函数)(x f 在点0=x 处的左、右导数与导数。
解 由于⎪⎩⎪⎨⎧<∆>∆∆∆-=∆-∆+010cos 1)0()0(x x x xx f x f ，所以022sin 21lim 2sin 2lim cos 1lim )0(20200'=∆⋅⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∆∆⋅=∆∆=∆∆-=+++→∆→∆→∆+x x x xx x x f x x x ， 11lim )0(0'==-→∆-x f .由定理5.2可知函数在点0=x 处不可导。
五、导函数1．可导函数若函数f 在区间I 上每一点都可导（对区间端点，仅考虑单侧导数），则称f 为I 上的可导函数。
2．导函数区间I 上的可导函数f ，对每一I x ∈，都有一个导数（或单则导数）与之对应，这样定义了一个在I 上的函数，称之为函数f 在区间I 上的导函数，简称为导数，记作 ,,,),(''dxdydx df y x f 即：I x xx f x x f x f x ∈∆-∆+=→∆,)()(lim)(0'（求解时只需将x 看作固定常量即可）。
例8．求以下函数的导数（以下结果需熟记）： （1）常函数C x f =)(，（其中C 为常数）； （2）三角函数x x f x x f cos )(,sin )(==； （3）对数函数)0,1,0(log )(>≠>=x a a x x f a . 解 （1）()000lim )(lim00'=∆-=∆∆+=→∆→∆x xx x f C x x ，即：()0'=C ； （2）()xx x x xxx x x x f x x f x x x x ∆∆∆+=∆-∆+=∆-∆+=→∆→∆→∆2sin )2cos(2limsin )sin(lim )()(limsin 000'x x x x x x cos )2cos(22sinlim0=∆+⋅∆∆=→∆， 即：()x x cos sin '=；类似可求出：()x x sin cos '-=.（3）())1(log 1lim log )(log lim )(limlog 000'xx x x x x x x x x f x a x a a x x a ∆+⋅∆=∆-∆+=∆∆+=→∆→∆→∆ e xxxx a xx a x log 1)1(log 1lim 0=∆+=∆→∆， 即：().1ln ,log 1log 'xx e x x a a ==六、函数极值1．极值定义定义3 若函数f 在点0x 的某邻域)(0x U 内对一切)(0x U x ∈有)()(0x f x f ≥（)()(0x f x f ≤），则称函数f 在点0x 取得极大（小）值，称点0x 为极大（小）值点，称)(0x f 为极大（小）值，极大值点、极小值点统称为极值点，极大值、极小值统称为极值。
ya 1x 2x 0 3x 4xb x说明：①极值为局部概念，极值与极值点均可以有多个；最值为整体概念，若存在则必唯一； ②极值不可能在一区间端点取得，只能在区间内部取得；最值无此限制；③若f 在点0x 取得最值，当0x 为区间端点时，则此最值不是极值，但当0x 为区间内部的点时，则此最值一定是极值。