第46讲 直线的方程(教师版) 备战2021年新高考数学微专题讲义

第46讲 直线的方程

一、课程标准

1、在平面直角坐标系中，结合具体图形，确定直线位置的几何要素；

2、理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式；

3、掌握确定直线位置的几何要素，掌握直线方程的几种形式(点斜式、两点式及一般式)，了解斜截式与一次函数的关系. 二、基础知识回顾

1. 当直线l 与x 轴相交时，把x 轴所在的直线绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转过的最小正角称为这条直线l 的倾斜角，并规定：直线l 与x 轴平行或重合时倾斜角为0°，因此倾斜角α的范围是0°≤α＜180°．

2. 当倾斜角α≠90°时，tan α表示直线l 的斜率，常用k 表示，即k ＝tan α.当α＝90°时，斜率不存在．当直线过P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)且x 1≠x 2时，k ＝y 2－y 1

x 2－x 1．

3. 直线方程的几种形式

三、自主热身、归纳总结

1、 如果A·C<0且B·C<0，那么直线Ax ＋By ＋C ＝0不通过( )

A . 第一象限

B . 第二象限

C . 第三象限

D . 第四象限 【答案】C

【解析】 由已知得直线Ax ＋By ＋C ＝0在x 轴上的截距－C A >0，在y 轴上的截距－C

B >0，故直线经过第一、

二、四象限，不经过第三象限．故选C .

2、 若过点M(－2，m)，N(m ，4)的直线的斜率等于1，则m 的值为( )

A. 1

B. 4

C. 1或3

D. 1或4 【答案】 A

【解析】 由题意得4－m

m －（－2）

＝1，解得m ＝1.

3、 直线x ＋(a 2＋1)y ＋1＝0的倾斜角的取值范围是( )

A. ⎣⎡⎦⎤0，π4

B. ⎣⎡⎭⎫3π

4，π C. ⎣⎡⎦⎤0，π4∪⎝⎛⎭⎫π2，π D. ⎣⎡⎭⎫π4，π2∪⎣⎡⎭⎫3π

4，π 【答案】 B

【解析】 由直线方程可得该直线的斜率为k ＝－1a 2＋1，又－1≤－1

a 2＋1<0，所以倾斜角的取值范围是⎣⎡⎭⎫3π4，π.

4、过直线l ：y ＝x 上的点P (2,2)作直线m ，若直线l ，m 与x 轴围成的三角形的面积为2，则直线m 的方程为________．

【答案】：x －2y ＋2＝0或x ＝2

【解析】：①若直线m 的斜率不存在，则直线m 的方程为x ＝2，直线m ，直线l 和x 轴围成的三角形的面积为2，符合题意；②若直线m 的斜率k ＝0，则直线m 与x 轴没有交点，不符合题意；③若直线m 的斜率k ≠0，设其方程为y －2＝k (x －2)，令y ＝0，得x ＝2－2k ，依题意有12×⎪⎪⎪⎪2－2k ×2＝2，即⎪⎪⎪⎪ 1－1k ＝1，解得k ＝1

2，所以直线m 的方程为y －2＝1

2(x －2)，即x －2y ＋2＝0.综上可知，直线m 的方程为x －2y ＋2＝0或x ＝2.

5、过点A (1,3)，斜率是直线y ＝－4x 的斜率的1

3的直线方程为________．

【答案】4x ＋3y －13＝0

【解析】设所求直线的斜率为k ，依题意k ＝－4×13＝－4

3.又直线经过点A (1,3)，因此所求直线方程为y －3＝

－4

3

(x －1)，即4x ＋3y －13＝0. 6、过点P (6，－2)，且在x 轴上的截距比在y 轴上的截距大1的直线方程为________________． 【答案】2x ＋3y －6＝0或x ＋2y －2＝0

【解析】设直线方程的截距式为x a ＋1＋y a ＝1，则6a ＋1＋－2a ＝1，解得a ＝2或a ＝1，则直线的方程是x

2＋1＋

y 2＝1或x 1＋1＋y

1＝1，即2x ＋3y －6＝0或x ＋2y －2＝0.

四、例题选讲

考点一 直线的斜率与倾斜角

例1、（徐州一中模拟）(1)直线2x cos α－y －3＝0⎝⎛⎭

⎫α∈⎣⎡⎦⎤π6，π3的倾斜角的取值范围是( ) A.⎣⎡⎦⎤

π6，π3 B.⎣⎡⎦⎤

π4，π3 C.⎣⎡⎦⎤π4，π2

D.⎣⎡⎦⎤π4，2π3

(2)直线l 过点P (1,0)，且与以A (2,1)，B (0，3)为端点的线段有公共点，则直线l 斜率的取值范围是__________．

【答案】 (1)B (2)(－∞，－3]∪[1，＋∞)

【解析】(1)直线2x cos α－y －3＝0的斜率k ＝2cos α，因为α∈⎣⎡⎦⎤π6，π3，所以12≤cos α≤3

2，因此k ＝2cos α∈[1，3]．

设直线的倾斜角为θ，则有tan θ∈[1，3]．

又θ∈[0，π)，所以θ∈⎣⎡⎦⎤π4，π3，即倾斜角的取值范围是⎣⎡⎦⎤π4，π

3. (2)如图，因为k AP ＝1－0

2－1

＝1， k BP ＝

3－0

0－1

＝－3， 所以k ∈(－∞，－3]∪[1，＋∞)．

变式：（1）若图中的直线l 1，l 2，l 3的斜率分别为k 1，k 2，k 3，则( )

A ．k 1＜k 2＜k 3

B ．k 3＜k 1＜k 2

C ．k 3＜k 2＜k 1

D ．k 1＜k 3＜k 2

（2）若点A (4,3)，B (5，a )，C (6,5)三点共线，则a 的值为________． （3）已知点(－1,2)和⎝⎛

⎭

⎫

33，0在直线l ：ax －y ＋1＝0(a ≠0)的同侧，则直线l 倾斜角的取值范围是________．

【答案】（1）D （2） 4 （3） ⎝⎛⎭⎫

2π3，3π4

【解析】（1）直线l 1的倾斜角α1是钝角，故k 1＜0.直线l 2与l 3的倾斜角α2与α3均为锐角，且α2＞α3，所以0＜k 3＜k 2，因此k 1＜k 3＜k 2.故选D.

（2）因为k AC ＝5－36－4＝1，k AB ＝a －35－4＝a －3.由于A ，B ，C 三点共线，所以a －3＝1，即a ＝4.

（3）（3）点(－1,2)和⎝⎛

⎭⎫33，0在直线l ：ax －y ＋1＝0同侧的充要条件是(－a －2＋1)⎝⎛⎭

⎫33a ＋1＞0，解得－