苏教版数学高一-2.2素材 平面向量的线性表示
高中数学 第2章 平面向量 2.2 向量的线性运算目标导引 苏教版必修4(2021年整理)
高中数学第2章平面向量2.2 向量的线性运算目标导引苏教版必修4 编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（高中数学第2章平面向量2.2 向量的线性运算目标导引苏教版必修4）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。
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2。
2 向量的线性运算一览众山小诱学导入俄罗斯著名寓言作家克雷洛夫有一则题为《天鹅、梭子鱼和虾》的寓言：一天,梭子鱼、虾和天鹅,出去把一辆小车从大路上拖下来：三个家伙一齐负起沉重的担子。
它们用足狠劲,身上青筋根根暴露;无论它们怎样的拖呀,拉呀，推呀，小车还是在老地方，一码也没有移动。
倒不是小车重得动不了，而是另有缘故：天鹅使劲往上向天空直提，虾一步一步向后倒拖，梭子鱼又向池塘拉去。
对于这个结果我们可以用物理学知识解释，实质上,在这个寓言中还蕴含着丰富的数学知识——向量的加法运算和减法运算等知识.问题:利用物理知识怎样解释这一现象？这一现象抽象为数学问题又是什么？导入：可根据物理学中的牛顿第二定律解释这现象,即合外力为零时，加速度也为零，物体就处于静止或匀速直线运动状态.由于力是矢量，抽象为数学知识，它是向量，则这一现象抽象为数学知识就涉及到了向量的加、减法运算.温故知新1。
向量是怎样定义的，它的要素有哪些？答：我们把既有大小又有方向的量称为向量，向量有两个要素：大小和方向。
2.什么是单位向量？答：长度等于1个单位长度的向量叫做单位向量。
3.什么是平行向量?答:方向相同或相反的非零向量叫做平行向量.4.相等向量是怎样定义的？答:长度相等且方向相同的向量叫做相等向量。
高一数学向量的概念及表示、向量的线性运算苏教版知识精讲
高一数学向量的概念及表示、向量的线性运算苏教版【本讲教育信息】一. 教学内容：向量的概念及表示、向量的线性运算二. 本周教学目标1、了解向量的实际背景，会用字母表示向量，理解向量的几何表示。
2、理解零向量、单位向量、平行向量、相等向量、相反向量等概念，并会辨认图形中的相等向量或判断出与某一已知向量相等的向量。
3、理解向量加法的定义，会用向量加法的三角形法则和向量的平行四边形法则作两个向量的和向量；理解向量加法的交换律和结合律，并会用它们进行向量计算。
4、了解向量的减法，会作两个向量的减向量。
5、理解向量数乘的含义及向量数乘的运算律；理解两个向量共线的含义，并能运用它们证明简单的几何问题。
三. 本周知识要点（一）向量的概念及表示1、向量的概念：我们把既有大小又有方向的量叫向量。
2、向量的表示方法：①用有向线段表示；②用字母a、b等表示；③用有向线段的起点与终点字母表示：AB；④向量AB的大小――长度称为向量的模，记作|AB|。
3、零向量、单位向量概念：①长度为0的向量叫零向量，记作00的方向是任意的。
②长度为1个单位长度的向量，叫单位向量。
零向量、单位向量的定义都是只限制大小，不确定方向。
4、平行向量定义：①方向相同或相反的非零向量叫平行向量；②我们规定0与任一向量平行。
向量a、b、c平行，记作a∥b∥c。
5、相等向量定义：长度相等且方向相同的向量叫相等向量。
（1）向量a与b相等，记作a＝b；（2）零向量与零向量相等；（3）任意两个相等的非零向量，都可用同一条有向线段来表示，并且与有向线段的起．．．．．．．点无关．．．。
6、共线向量与平行向量关系：平行向量就是共线向量，这是因为任一组平行向量都可移到同一直线上。
（1）平行向量可以在同一直线上，要区别于两平行线的位置关系；（2）共线向量可以相互平行，要区别于在同一直线上的线段的位置关系。
7、相反向量把与向量a 长度相等方向相反的向量叫做a 的相反向量，记作－a 规定：0的相反向量仍是零向量，对任意向量有－（－a ）＝a（二）向量的加法1、向量的加法：求两个向量和的运算，叫做向量的加法。
高中数学 第二章 平面向量 2.2 平面向量的线性运算2课件
(2)
(3)
2021/12/8
第七页，共二十七页。
一
二
思维(sīwéi)
辨析
判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“√”,错误的打“×”.
(1)方向相反的向量就是(jiùshì)相反向量. (
(2)相反向量一定是共线向量. (
(3)相反向量的模一定相等. (
)
)
)
(4)向量的减法运算可以通过相反向量转化为加法运算. (
(3)因为邻边相等的平行四边形是菱形,所以要使 ABCD 是菱形,
应满足||=||,即|a|=|b|.
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第十三页，共二十七页。
探究(tànjiū)
一
探究(tànjiū)
二
探究(tànjiū)
三
核心素养提升
思维辨析
要熟练掌握在三角形、平行四边形等常见图形中,各边对应向量以及对角
2.2.2 向量减法(jiǎnfǎ)运算及其几何意义
2021/12/8
第一页，共二十七页。
课 标 阐 释
思 维 脉 络
1.理解相反向量的概念.培养
数学抽象素养.
向量减法运算及其几何意义
2.理解向量减法的意义,掌握
相反向量
向量减法的运算法则及其几
向量减法定义
何意义.培养数学抽象及直观
想象素养.
向量减法 运算法则
【例 2】 如图,ABCD 是平行四边形,设=a,=b.
(1)试用 a,b 表示 , ;
(2)当向量a,b满足什么条件时,ABCD是矩形?
(3)当向量a,b满足什么条件时,ABCD是菱形?
分析结合向量加法、减法运算的平行四边形法则和三角形法则进行分析求
高中数学第2章平面向量2_2向量的线性运算课堂导学苏教版必修4
高中数学 第2章 平面向量 2.2 向量的线性运算课堂导学 苏教版必修4三点剖析1.向量的加减法运算数乘的定义及其运算律【例1】 在四边形中，已知=a ，=b ，BC =c ，试用向量a ,b ,c 表示向量DC . 思路分析：连结AC ，则将四边形ABCD 分成两个三角形.利用向量的三角形法则，将AC 用a ,b ,c 与来表示，即可求出.解：在下图中作向量.由向量加法的三角形法则， 得=a +c ，=b +.所以 a +c =b +DC . 因此DC =a +c -b .温馨提示找到向量AC 并以AC 建立DC 与a ,b ,c 的关系是本题的关键.【例2】在平行四边形ABCD 中，E 、F 分别为AB 、CD 的中点，设AB =a ,AD =b ，求作向量a -b ,21a -b ,b +21a . 思路分析：利用向量数乘、减法的法则来作图.解：如图a -b =AB -AD =DB .21a -b =AE -AD =DE . b +21a =AD +DF =AF . 2．对向量数乘运算律的理解和应用【例3】设x 是未知量，解方程2（x-31a ）-21(b -3x+c )+b =0. 思路分析：向量方程与实数方程类似，我们可以用和实数方程类似的方法来解决. 解：原方程化为2x-32a -21b +23x-21c +b =0, 27B-32a +21b -21c =0, 27x =32a -21b +21c ,∴x =214a -71b +71c . 3.向量共线的应用【例4】如右图所示，在平行四边形ABCD 中，AD =a ，AB =b ，M 是AB 的中点，点N 是BD 上一点，|BN|=31|BD|. 求证：M 、N 、C 三点共线.思路分析：本题主要考查运用向量知识解决平面几何问题.要证三点共线（M 、N 、C ），不妨证、具有一定的倍数关系，只要用已知条件a ,b 表示出，，问题就可以解决.证明：∵=a ,=b , ∴=-=a -b . ∴=+=21b +31 =21b +31 (a -b )= 31a +61b =61(2a +b ). 又∵=+=21b +a =21 (2a +b ), ∴=3.又与有共同起点，∴M、N 、C 三点共线.温馨提示几何中证明三点共线，可先在三点中选取起点和终点确定两个向量，看能否找到唯一的实数λ使两向量具有一定的倍数关系.各个击破类题演练1已知平行四边形ABCD ，=a ，=b ，用a 、b 分别表示向量，.思路分析：利用向量加法、减法的平行四边形法则.解：连结、，由求向量和的平行四边形法则，则=+=a +b .依减法定义得，=-=a -b .变式提升1(2006广东高考，4)如右图所示，D 是△ABC 的边AB 上的中点，则向量等于（ ） A.-+21BA B.--21BAC.BC -21BA D.BC +21BA 思路分析：由三角形法则得知=BD -=21BA -. 答案：A类题演练2若O 为平行四边形ABCD 的中心，=4e 1，BC =6e 2，则3e 2-2e 1=______________. 解：3e 2=21,2e 1=21,∴3e 2-2e 1=21-21=21(-)=21(+)=21. 答案：21BD 变式提升2 化简32［(4a -3b )+ 31b -41(6a -7b )］=__________________. 解析：原式=32(4a -3b +31b -23a +47b ) =32［(4-23)a +(-3+31+47)b ］ =32(25a -1211b )=35a -1811b . 答案：35a -1811b 类题演练3设x 为未知向量，解方程31x +3a -152b =0. 解：原方程化为31x+(3a -152b )=0, 所以31x =0-(3a -152b ),31x=-3a +152b .所以x=-9a +52b . 变式提升3(2006山东高考，文4)设向量a =（1，-3），b =（-2，4）.若表示向量4a 、3b -2a 、c 的有向线段首尾相接能构成三角形，则向量c 为（ ）A.(1，-1)B.(-1,1)C.(-4,6)D.(4,-6) 解析：依题可知4a +(3b -2a )+c =0,所以c =2a -4a -3b =-2a -3b =-2(1,-3)-3(-2,4)=(4,-6).答案：D类题演练4已知两个非零向量e 1和e 2不共线，如果=2e 1+3e 2，=6e 1+23e 2，=4e 1-8e 2，求证：A 、B 、D 三点共线.思路分析：本题主要考查向量共线问题及向量的线性运算.欲证A 、B 、D 三点共线，只需证、共线，根据题目的条件如何才能求得呢？显然=++ 证明：∵=++=2e 1+3e 2+6e 1+23e 2+4e 1-8e 2=12e 1+18e 2=6（2e 1+3e 2） =6， ∴向量AD 与向量AB 共线. 又∵和有共同的起点A ，∴A、B 、D 三点共线.变式提升4a =e 1+2e 2,b =3e 1-4e 2，且e 1、e 2共线，则a 与b （ ）A.共线B.不共线C.可能共线，也可能不共线D.不能确定思路分析：∵e 1与e 2共线，则存在实数e 1=λe 2,∴a =e 1+2e 2=(λ+2)e 2,b =3e 1-4e 2=(3λ-4)e 2,∴a =λ+32λ-4b ,故a 与b 共线. 答案：A。
高中数学 第2章 平面向量 2.2 向量的线性运算知识导航 苏教版必修4(2021年整理)
高中数学第2章平面向量2.2 向量的线性运算知识导航苏教版必修4 编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（高中数学第2章平面向量2.2 向量的线性运算知识导航苏教版必修4）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。
本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为高中数学第2章平面向量2.2 向量的线性运算知识导航苏教版必修4的全部内容。
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2 向量的线性运算知识梳理一、向量加法1。
定义:如图2-2—1，在平面内任取一点A,作AB=a,BC=b，则向量AC叫做向量a与b的和，记作a+b，即a+b=AB+BC=AC.图2—2-1求两个向量和的运算，叫做向量的加法。
对于零向量与任意向量a，仍然有a+0=0+a=a。
2。
运算律(1)交换律：a+b=b+a。
（2）结合律：（a+b)+c=a+（b+c).二、向量减法与a长度相等且方向相反的向量，叫做a的相反向量,记作-a。
定义：求两个向量差的运算叫做向量的减法:a—b=a+(-b)，即向量a减去向量b相当于加上向量b的相反向量-b.三、向量数乘1。
定义：一般地,实数λ与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作λa，它的长度与方向规定如下:（1）|λa｜=｜λ｜｜a｜;(2)当λ>0时，λa的方向与a的方向相同，当λ〈0时，λa的方向与a的方向相反；(3）当λ=0时,λa=0。
2.运算律设λ、μ是实数,则有:(1)λ(μa）=(λμ)a;（结合律）(2）（λ+μ）a=λa+μa;(第一分配律)(3）λ(a+b)=λa+λb。
（第二分配律）知识导学数能进行运算，向量是否也能进行运算呢?要学好本节内容，从数的加法启发我们，借助于物理中位移的合成、力的合成来理解向量的加法,从而顺理成章地接受向量的加法定义。
苏教版数学高一必修4素材 2.2平面向量的线性运算考点解析
2.2 平面向量的线性运算考点解析向量的线性运算是向量的基础部分，考查主要在选择题、填空题形式出现，侧重于对向量的基本概念、向量运算的关系的考查；在解答题中侧重于向量与其他章节的综合考查，预计高考中向量的内容所占的比重还会较大.下面对平面向量的线性运算的考点作简单的探究：考点一、平面向量基本概念的考查：例1、给出下列命题：⑴两个向量，当且仅当它们的起点相同，终点相同时才相等； ⑵若=，则A 、B 、C 、D 四点是平行四边形的四各顶点； ⑶若,a b b c ==，则a c =； ⑷若//,//a b b c ，则//a c其中所有正确命题的序号为 .解析：两个向量相等只要模相等且方向相同即可，而与起点与终点的位置无关，故⑴不正确；当DC AB =时，A 、B 、C 、D 四点可能在同一条直线上，故⑵不正确；由b a =，则a b =，且与的方向相同；由b c =，则b c =，且与的方向相同，则与的长度相等且方向相同，故=，⑶是正确的；对于⑷，当=时，与不一定平行，故⑷是不正确的. 所以正确命题的序号为⑶.考点二、向量加法、加法的考查：例2、下列命题：①如果非零向量与的方向相同或相反，那么+的方向必与,之一方向相同； ②在ABC ∆中，必有=++；③若0AB BC CA ++=，则A 、B 、C 为一个三角形的三个顶点； ④若b a ,均为非零向量，则a b +与a b +一定相等. 其中真命题的个数为（ ）A 、0B 、1C 、2D 、3解析：①假命题，当0a b +=时，命题不成立.②真命题. ③假命题，当A 、B 、C 三点共线时，也可以有0AB BC CA ++=. ④假命题，只有当a 与b 同向时相等，其他情况均为a b a b +>+.点评：对于①②③，关于向量的加法运算除掌握法则外，还应注意一些特殊情况，如零向量，共线向量等，对于④，要注意到向量的加法和求模运算的次序不能交换，即两个向量和的模等于这两个向量的模的和，因为向量的加法实施的对象是向量，而模是数量.例3、已知一点O 到平行四边形ABCD 的3个顶点A 、B 、C 的向量分别为,,a b c ，则向量等于（ ）A 、a b c ++B 、a b c -+C 、a b c +-D 、a b c -- 解析：如图所示，点O 到平行四边形的三个 顶点A 、B 、C 的向量分别为c b a ,,， 结合图形有：OD OA AD OA BC OA OC OB a c b=+=+=+-=+- 故答案：B点评：掌握向量加法、减法的三角形法则的灵活应用，相等向量是指长度相等方向相同的向量，与它的位置没有关系.考点三、平面向量的共线定理的考查：例4、如图所示，在OAB ∆的边OB OA ,上分别有一点M 、N ，已知2:1:=MA OM2:3:=NB ON ，连结AN ，在AN 上取一点R ，满足1:5:=RN AR .⑴用向量,表示向量； ⑵证明：R 在线段BM上. 解析：⑴∵2:1:=MA OM ， ∴13OM OA =∵2:3:=NB ON ， ∴35ON OB =∵1:5:=RN AR ， ∴56AR AN =DN MO BAR又35AN ON OA OB OA =-=- ∴1526AR OB OA =-， ∴()151266BR AR AB OB OA OB OA OA OB ⎛⎫=-=---=- ⎪⎝⎭. ⑵证明：∵1162BR OA OB =- ∴2=， ∴R 在线段BM 上.点评：利用向量共线定理时容易证明几何中的三点共线和两直线平行的问题，但是向量平行与直线平行有区别，直线平行不包括重合情况.。
苏教版数学高一必修4素材 2.2向量的线性运算
2.2 向量的线性运算向量的加法、减法、实数与向量的积统称为向量的线性运算。
向量的加法和减法主要是依据三角形法则和平行四边形法则，结合图形理解。
其中要注意作向量减法时必须将两个向量平移到同一个起点，可简记为“起点归一，指向被减向量”。
由于向量加法的交换律和结合律及实数与向量的运算律与代数运算中的实数运算律相似，因此向量的线性运算可以仿照多项式的运算法则来进行。
向量共线的充要条件实际上是由实数与向量的积的概念推出的，他深刻地揭示了平面内全体与非零向量a 共线的向量的基本结构。
有了这个定理，我们就能够比较容易地证明一些与直线有关系的问题，如三点共线和两直线平行等问题。
例1、试判断下列各命题的真假，并说明理由：(1)若非零向量a 与b 的方向相同或相反，则a ＋b 的方向必与a 、b 之一的方向相同. (2)三角形ABC 中，必有AB →＋BC →＋CA →＝0.(3)若AB →＋BC →＋CA →＝0，则A 、B 、C 三点是一个三角形的三顶点. (4)｜a ＋b ｜≥｜a －b ｜.分析：(1)a 与b 方向相同，则a ＋b 的方向与a 和b 方向都相同；若a 与b 方向相反，则有可能a 与b 互为相反向量，此时a ＋b ＝0的方向不确定，说与a 、b 之一方向相同不妥.(2)由向量加法法则AB →＋BC →＝AC →，AC →与CA →是互为相反向量，所以有上述结论. (3)因为当A 、B 、C 三点共线时也有AB →＋BC →＋AC →＝0，而此时构不成三角形. (4)当a 与b 不共线时，｜a ＋b ｜与｜a －b ｜分别表示以a 和b 为邻边的平行四边形的两条对角线的长，其大小不定.当a 、b 为非零向量共线时，同向则有｜a ＋b ｜＞｜a －b ｜，异向则有｜a ＋b ｜＜｜a －b ｜；当a 、b 中有零向量时，｜a ＋b ｜＝｜a －b ｜. 综上所述，只有(2)正确.说明：从本例中的（4）可以得到结论：｜a ｜—｜b ｜≤｜a ＋b ｜≤｜a ｜＋｜b ｜，该结论可以通过平面几何中“三角形两边之差小于第三边及三角形两边之和大于第三边”的直观性来说明，但要注意“=”成立的条件。
【精品】高中数学第二章平面向量2.2向量的线性运算2.2.2向量的减法教案苏教版必修4
2．2.2 向量的减法整体设计教学分析向量减法运算是加法的逆运算．学生在理解相反向量的基础上结合向量的加法运算掌握向量的减法运算．因此，类比数的减法(减去一个数等于加上这个数的相反数)，首先引进相反向量的概念，然后引入向量的减法(减去一个向量，等于加上这个向量的相反向量)，通过向量减法的三角形法则和平行四边形法则，结合一定数量的例题，深刻理解向量的减法运算．通过阐述向量的减法运算，可以转化为向量的加法运算，渗透化归的数学思想，使学生理解事物之间相互转化、相互联系的辩证思想，同时由于向量的运算能反映出一些物理规律，从而加强了数学学科与物理学科之间的联系，提高学生的应用意识．三维目标1．通过探究活动，使学生掌握向量减法的概念，理解两个向量的减法就是转化为加法来进行的，掌握相反向量．启发学生能够发现问题和提出问题，善于独立思考，学会分析问题和创造地解决问题．能熟练地掌握用三角形法则和平行四边形法则作出两向量的差向量．2．鼓励学生对一些数学结论作出猜想，并给出证明，培养学生敢于独立思考、勇于创新的科学精神，培养学生的数学人文价值观．重点难点教学重点：向量的减法运算及其几何意义．教学难点：对向量减法定义的理解．课时安排1课时教学过程导入新课思路1.(问题导入)上节课，我们定义了向量的加法概念，并给出了求作和向量的两种方法．由向量的加法运算自然联想到向量的减法运算：减去一个数等于加上这个数的相反数．向量的减法是否也有类似的法则呢？引导学生进一步探究，由此展开新课．思路2.(直接导入)数的减法运算是加法运算的逆运算．本节课，我们继续学习向量加法的逆运算：减法；向量的加法运算有三角形法则和平行四边形法则，那么，向量的减法运算是否也有类似的运算律呢？引导学生去探究、发现．推进新课新知探究向量的减法运算及其几何意义．数的减法运算是数的加法运算的逆运算，数的减法定义即减去一个数等于加上这个数的相反数，因此定义数的减法运算，必须先引进一个相反数的概念．类似地，向量的减法运算也可定义为向量加法运算的逆运算．请同学们思考，类比数的减法运算，我们可以定义向量的减法运算，由上节知相反向量，即－(－a )＝a .任一向量与其相反向量的和是零向量，即a ＋(－a )＝(－a )＋a ＝0.所以，如果a 、b 互为相反向量，那么a ＝－b ，b ＝－a ，a ＋b ＝0.由此我们得到向量的减法定义，向量的减法是向量加法的逆运算．若b ＋x ＝a ，则向量x 叫做a 与b 的差，记为a －b ，求两个向量差的运算，叫做向量的减法．根据向量减法的定义和向量加法的三角形法则，我们可以得到向量a －b 的作图方法.如图1，设向量AB →＝b ，AC →＝a ，则AD →＝－b ，由向量减法的定义，知AE →＝a ＋(－b )＝a －b .图1又b ＋BC →＝a ，所以BC →＝a －b .进一步，如图2，已知a 、b ，在平面内任取一点O ，作OA →＝a ，OB →＝b ，则BA →＝a －b ，即a －b 可以表示为从向量b 的终点指向向量a 的终点的向量，这是向量减法的几何意义．图2教师引导学生仔细观察，细心体会：向量的减法按三角形法则，一定要注意向量的方向．即把减向量与被减向量的起点重合，其差向量是从减向量的终点指向被减向量的终点，即减去一个向量相当于加上这个向量的相反向量．向量的减法运算也有平行四边形法则和三角形法则，这也正是向量的运算的几何意义所在，应充分利用向量加、减法的几何意义，这也是数形结合思想的重要体现．教师再次强调，差向量的箭头指向被减向量的终点．即a －b 是表示从向量b 的终点指向向量a 的终点的向量．应用示例思路1例1见课本本节例1.变式训练1．如图3(1)，已知向量a 、b 、c 、d ，求作向量a －b ，c －d .图3活动：教师让学生亲自动手操作，引导学生注意规范操作，为以后解题打下良好基础；点拨学生根据向量减法的三角形法则，需要选点平移作出两个同起点的向量．作法：如图3(2)，在平面内任取一点O ，作OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，OD →＝d ，则BA →＝a －b ，DC →＝c －d .2．在ABCD 中，下列结论错误的是( )A.AB →＝DC →B.AD →＋AB →＝AC →C.AB →－AD →＝BD →D.AD →＋BC →＝0解析：A 显然正确，由平行四边形法则可知B 正确，C 中AB →－AD →＝BD →错误，D 中AD →＋BC →＝AD →＋DA →＝0正确．答案：C例2课本本节例2.变式训练1．如图4，ABCD 中，AB →＝a ，AD →＝b ，你能用a 、b 表示向量AC →、DB →吗？图4活动：本例是用两个向量表示几何图形中的其他向量，这是用向量证明几何问题的基础．要多注意这方面的训练，特别要掌握用向量表示平行四边形的四条边与两条对角线的关系．解：由向量加法的平行四边形法则，我们知道AC →＝a ＋b ，同样，由向量的减法，知DB →＝AB →－AD →＝a －b .2．已知一点O 到ABCD 的3个顶点A 、B 、C 的向量分别是a 、b 、c ，则向量OD →等于( )A ．a ＋b ＋cB ．a －b ＋cC ．a ＋b －cD ．a －b －c解析：如图5，点O 到的三个顶点A 、B 、C 的向量分别是a 、b 、c ，图5结合图形有OD →＝OA →＋AD →＝OA →＋BC →＝OA →＋OC →－OB →＝a －b ＋c .答案：B3．若AC →＝a ＋b ，DB →＝a －b .①当a 、b 满足什么条件时，a ＋b 与a －b 垂直？②当a 、b 满足什么条件时，|a ＋b|＝|a －b|?③当a 、b 满足什么条件时，a ＋b 平分a 与b 所夹的角？④a ＋b 与a －b 可能是相等向量吗？解：如图6，用向量构建平行四边形，其中向量AC →、DB →恰为平行四边形的对角线．由平行四边形法则，得AC →＝a ＋b ，DB →＝AB →－AD →＝a －b .图6由此问题就可转换为：①当边AB 、AD 满足什么条件时，对角线互相垂直？(|a|＝|b|)②当边AB 、AD 满足什么条件时，对角线相等？(a 、b 互相垂直)③当边AB 、AD 满足什么条件时，对角线平分内角？(|a |＝|b |)④a ＋b 与a －b 可能是相等向量吗？(不可能，因为对角线方向不同)点评：灵活的构想，独特巧妙，数形结合思想得到充分体现．由此我们可以想到在解决向量问题时，可以利用向量的几何意义构造几何图形，转化为平面几何问题，这就是数形结合解题的威力与魅力，教师引导学生注意领悟.思路2例1判断题．(1)若非零向量a 与b 的方向相同或相反，则a ＋b 的方向必与a 、b 之一的方向相同．(2)△ABC 中，必有AB →＋BC →＋CA →＝0.(3)若AB →＋BC →＋CA →＝0，则A 、B 、C 三点是一个三角形的三顶点．(4)|a ＋b|≥|a －b |.解：(1)a 与b 方向相同，则a ＋b 的方向与a 和b 方向都相同；若a 与b 方向相反，则有可能a 与b 互为相反向量，此时a ＋b ＝0的方向不确定，说与a 、b 之一方向相同不妥．(2)由向量加法法则得：AB →＋BC →＝AC →，AC →与CA →互为相反向量，所以有上述结论．(3)因为当A 、B 、C 三点共线时也有AB →＋BC →＋CA →＝0，而此时构不成三角形．(4)当a 与b 不共线时，由向量加法的平行四边形法则可知其大小不定．当a 、b 为非零向量共线时，同向则有|a ＋b|>|a －b|，异向则有|a ＋b|<|a －b |； 当a 、b 中有零向量时，|a ＋b|＝|a －b |.综上所述，只有(2)正确．例2若|AB →|＝8，|AC →|＝5，则|BC →|的取值范围是( )A ．[3,8]B ．(3,8)C ．[3,13]D ．(3,13)解析：BC →＝AC →－AB →.(1)当AB →，AC →同向时，|BC →|＝8－5＝3；(2)当AB →，AC →反向时，|BC →|＝8＋5＝13；(3)当AB →，AC →不共线时，3<|BC →|<13.综上，可知3≤|BC →|≤13.答案：C点评：此题可直接应用重要性质||a|－|b||≤|a ＋b|≤|a|＋|b |求解．知能训练课本本节练习．课堂小结1．先由学生回顾本节学习的数学知识：相反向量，向量减法的定义，向量减法的几何意义，向量差的作图．2．教师与学生一起总结本节学习的数学方法，类比，数形结合，几何作图，分类讨论． 作业已知O 为△ABC 的外心，H 为垂心，求证：OH →＝OA →＋OB →＋OC →.证明：作直径BD ，连结DA ，DC ，有OB →＝－OD →，DA⊥AB，DC⊥BC，故CH∥DA，AH∥DC，得四边形AHCD 为平行四边形，∴有AH →＝DC →.又∵DC →＝OC →－OD →＝OC →＋OB →，∴OH →＝OA →＋AH →＝OA →＋DC →＝OA →＋OB →＋OC →.∴结论成立．设计感想1．向量减法的几何意义主要是结合平行四边形法则和三角形法则进行讲解的，两种作图方法各有千秋．第一种作法结合向量减法的定义，第二种作法结合向量的平行四边形法则，直接作出从同一点出发的两个向量a 、b 的差，即a －b 可以表示为从向量b 的终点指向向量a 的终点的向量，第二种作图方法比较简捷．2．鉴于上述情况，教学中引导学生结合向量减法的几何意义，注意差向量的方向，也就是箭头的方向不要搞错了，a －b 的箭头方向要指向a 的终点，如果指向b 的终点则表示b －a ，在几何证明题目中，特别要掌握用向量表示平行四边形的四条边与两条对角线的关系．备课资料一、向量减法法则的理解向量减法的三角形法则的式子内容是：两个向量相减，则表示两个向量起点的字母必须相同(否则无法相减)，这样两个向量的差向量是以减向量的终点的字母为起点，以被减向量的终点的字母为终点的向量．只要学生理解法则内容，那么解起向量加减法的题来就会更加得心应手，尤其遇到向量的式子运算题时，一般不用画图就可迅速求解，如下面例题：例1化简：AB →－AC →＋BD →－CD →.解：原式＝CB →＋BD →－CD →＝CD →－CD →＝0.例2化简：OA →＋OC →＋BO →＋CO →.解：原式＝(OA →＋BO →)＋(OC →＋CO →)＝(OA →－OB →)＋0＝BA →.二、备用习题1．下列等式中，正确的个数是( )①a ＋b ＝b ＋a ②a －b ＝b －a ③0－a ＝－a ④－(－a )＝a ⑤a ＋(－a )＝0A ．5B ．4C ．3D ．2图72．如图7，D 、E 、F 分别是△ABC 的边AB 、BC 、CA 的中点，则AF →－DB →等于( )A.FD →B.FC →C.FE →D.BE →3．下列式子中不能化简为AD →的是( )A ．(AB →＋CD →)＋BC →B ．(AD →＋MB →)＋(BC →＋CM →)C.MB →＋AD →－BM →D.OC →－OA →＋CD →4．已知A 、B 、C 三点不共线，O 是△ABC 内一点，若OA →＋OB →＋OC →＝0，则O 是△ABC 的() A ．重心 B ．垂心C ．内心D ．外心参考答案：1．C 2.D 3.C 4.A。
平面向量的线性表示
平面向量的线性表示平面向量是指具有大小和方向的几何量，常用箭头表示。
在数学和物理学中，平面向量的线性表示是一种表达平面向量的有效方式。
本文将详细介绍平面向量的线性表示方法。
一、定义和概念在数学中，平面向量可以由坐标表示或使用其它表示方法。
平面上的一个向量可以用一个箭头表示，箭头的起点为原点，箭头的长度表示向量的大小，箭头的方向表示向量的方向。
二、坐标表示法平面向量的线性表示最常用的方法是坐标表示法。
在笛卡尔坐标系中，我们可以用两个有序实数对(x, y)表示一个平面向量，其中x表示向量在x轴上的投影，y表示向量在y轴上的投影。
例如，对于平面上的向量v，其坐标表示为v = (x, y)。
其中x和y 是实数。
这种表示方法使得我们可以通过对坐标进行运算，来进行向量的加法、减法和数量乘法等操作。
三、线性组合线性组合是指对一组向量进行线性加权和相加的操作。
对于给定的两个向量v1 = (x1, y1)和v2 = (x2, y2)，其线性组合可以写为：c1v1 + c2v2 = (c1x1 + c2x2, c1y1 + c2y2)其中c1和c2是实数，称为线性组合系数。
通过线性组合，我们可以有效地表示平面上的任意向量。
四、线性独立和生成空间在线性代数中，若不存在非零的系数使得线性组合等于零向量，则称向量组具有线性独立性。
反之，如果存在非零的系数使得线性组合等于零向量，则称向量组具有线性相关性。
一组线性无关的向量可以生成一个向量空间，也称为生成空间。
生成空间包含所有这组线性无关向量的线性组合。
五、基底和坐标表示在平面向量的线性表示中，基底是一组线性无关的向量，它们可以生成整个向量空间。
在二维平面上，我们通常选择两个基底向量来表示任意向量。
常用的基底向量为i = (1, 0)和j = (0, 1)。
对于任意向量v = (x, y)，我们可以将其表示为：v = xi + yj其中xi和yj是基底向量的线性组合。
这种表示方法称为坐标表示。
高中数学 第二章 平面向量 2.2 平面向量的线性运算1课件
(2)解由已知得 a+b= + = ,又=c,所以延长 AC 至 E,
使||=||,则 a+b+c= , 即所求,如图.
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探究(tànjiū)
一
探究(tànjiū)
二
探究(tànjiū)
三
核心素养提升
(2) + + + +
=( + )+( + )+
= + + = + =0.
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探究(tànjiū)
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核心素养提升
思维辨析
解决向量加法运算时应关注两点:
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一
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思维(sīwéi)
辨析
二、向量加法的运算律
问题(wèntí)思考
1.实数的加法满足哪些运算律?向量加法是否也满足这些运算律?
提示实数的加法满足交换律和结合律,向量加法也满足.
2.填空:(1)向量加法的交换律:a+b=b+a;
(2)向量加法的结合律:(a+b)+c=a+(b+c).
2.2.1 向量加法运算(yùn suàn)及其几何意义
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课 标 阐 释
思 维 脉 络
1.理解向量加法的概念以及
向量加法的几何意义.培养数
向量加法运算及几何意义
学抽象、直观想象素养.
定义
苏教版高一数学必修四第二章平面向量的线性运算和坐标表示复习讲义
高一数学平面向量的线性运算与坐标表示知 识 梳 理一、向量相关概念1．向量的概念：既有大小又有方向的量，常用有向线段来表示；2．零向量：长度为0的向量叫零向量，记作：0r；3．单位向量：长度为一个单位长度的向量叫做单位向量(AB u u u r的单位向量是||AB AB u u u r u u u r )；4．相等向量：长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量，相等向量有传递性； 5．共线向量：方向相同或相反的非零向量、叫做平行向量，记作：∥。
规定：零向量和任何向量平行。
二、平面向量的基本定理：如果1e u r 和2e u u r是同一平面内的两个不共线向量，那么对该平面内的任一向量a r，有且只有一对实数1λ、2λ，使1122a e e λλ=+r u r u u r 。
三、向量的表示方法1．几何表示法：用带箭头的有向线段表示，如；2．符号表示法：用一个小写的英文字母来表示，如a ，b ，c 等； 3． 坐标表示法：a ＝(),x y 叫做向量a 的坐标表示。
四、实数与向量的积a a λλ=r r 000;0a a a a a λλλλλλ⎧>⎪⎪==⎨⎪>⎪⎩r rr r r r 当时，与的方向相同;当时，当时，与的方向相同。
五、 向量的运算1． 几何运算：平行四边形法则与三角形法则；2． 坐标运算：设1122(,),(,)a x y b x y ==r r则：12(a b x x ±=±r r ，12)y y ±；()()1111,,a x y x y λλλλ==r。
若1122(,),(,)A x y B x y ，则()2121,AB OB OA x x y y =-=--u u u r u u u r u u u r3. 向量共线：//a b a b λ⇔=r r r r22()(||||)a b a b ⇔⋅=r r r r 1212x y y x ⇔-＝0。
高中数学 2.2 向量的线性运算教材梳理素材 苏教版必修
高中数学 2.2 向量的线性运算教材梳理素材 苏教版必修4 知识·巧学1.向量的加法(1)向量加法的定义向量是否能进行运算？先看下面几个实例.①某人从A 到B ，再从B 按原方向到C ，则两次的位移和：AC BC AB =+.〔如图2-2-1(1)〕(1) (2) 图2-2-1 ②若上题改为从A 到B ，再从B 按反方向到C ，则两次的位移和：AC BC AB =+.〔如图2-2-1(2)〕③某车从A 到B ，再从B 改变方向到C ，则两次的位移和：AC BC AB =+.〔如图2-2-2(1)〕(1) (2)图2-2-2 ④船速为AB ，水速为BC ，则两速度和：AC BC AB =+.〔如图2-2-2(2)〕上面四个实例虽然是物理学中求两个已知位移和位移的题目，实质上它们当中却包含着数学中的向量的加法运算.一般地，已知向量a 和b ，在平面内任取一点O ，作OA =a ，AB =b ,则向量OB 叫做a 与b 的和，记作a +b .即a +b =OB AB OA =+.(如图2-2-3)图2-2-3两个向量的和仍是一个向量.求两个向量的和的运算叫做向量的加法.上面根据向量的定义得出的求向量和的方法，称为向量加法的三角形法则. 三角形法则有两个步骤：①以表示向量的第一个有向线段的终点作为表示第二个向量的有向线段的起点；②第一条有向线段的起点到第二条有向线段的终点的有向线段表示的向量为两个向量的和向量.向量加法的三角形法则，实质是把这两个向量首尾顺次连接.当两个向量共线时三角形法则仍然适用.深化升华 任何一个向量均可以写成两个任意向量之和，只要注意到这个向量的起点、终点即可，如：OB AO AB +=,如图2-2-4所示，O 点具有任意性.不管平面内的点O 选在何处，对于首尾相连的两个和向量，它的方向总是由第一向量的起点指向第二向量的终点.图2-2-4对于零向量和任一向量a ，有a +0=0+a =a ，即零向量在向量的加法运算中所起的作用与实数0在实数的加法运算中所起的作用是相似的.对于相反向量，有a +(-a )=(-a )+a =0，这与实数运算中互为相反数的两个数的和为0也是相似的，但应注意，在此运算中的结果为零向量，而非常数0.学法一得 向量是既有大小又有方向的量，对于首尾相连的几个向量的和，等于以第一个向量的起点为起点，第n 个向量的终点为终点的向量. 如果平面内有n 个向量，它们依次首尾连接组成一条封闭的折线，那么这n 个向量的和是零向量.(2)向量加法的运算律和平行四边形法则向量的加法同实数的加法相似，满足加法的交换律和结合律.①向量加法的交换律：a +b =b +a .由向量的加法,当两个向量共线时，交换律显然成立.当两个向量不共线时(如图2-2-5)，作平行四边形OABC ，使OA =a ，OC =b ，则由平行四边形的性质和相等向量的定义不难得出OA CB ==a ，OC AB ==b .图2-2-5则AB OA OB +==a +b ，CB OC OB +==b +a ,所以，a +b =b +a .②平行四边形法则在向量加法交换律的证明过程中，包含了求向量和的另外一种方法——平行四边形法则.对于两个不共线的非零向量a 、b 分别作出=a 、=b ，以OA 、OC 为邻边作平行四边形OABC ，则以O 为起点的对角线就是向量a 与b 的和，这种求两个向量和的方法叫做向量加法的平行四边形法则.平行四边形法则包括三个步骤：1)先把两个已知的不共线向量的起点平移到同一点；2)再以这两个向量为邻边作平行四边形；3)这两邻边所夹的、与两个已知向量有着同一起点的对角线所对应的向量，就是这两个已知向量的和.平行四边形法则有着它的局限性，当两个向量共线时，平行四边形法则就不适用了，但在处理某些问题时，平行四边形法则有它一定的优越性.向量加法的三角形法则和平行四边形法则称为向量加法的几何意义，它们建立起了向量和平面几何之间的联系.辨析比较 在几何中向量的加法是用几何作图来定义的.它有两种法则，其中三角形法则比平行四边形法则更具有一般性.像两个向量共线时就只能用三角形法则了.当两个向量不共线时，向量加法的三角形法则和平行四边形法则是一致的.③向量加法的结合律：(a +b )+c =a +(b +c )证明：如图2-2-6,使AB =a ,BC =b ,CD =c ,图2-2-6则(a +b )+c =AD CD AC =+.a +(b +c )=AD BD AB =+,∴(a +b )+c =a +(b +c ).从而，多个向量的加法运算可以按照任意的次序、任意的组合来进行.记忆要诀 向量的加法同实数的加法一样，满足交换律与结合律.可对比于实数加法的运算记忆向量加法的运算.2.向量的减法在实数的运算中减法是加法的逆运算，同样地，向量的减法是向量加法的逆运算. 一般地，若b +x =a ，则向量x 就叫a 与b 的差，记作a -b ，求两个向量差的运算，叫做向量的减法.记忆要诀 向量的减法与加法互为逆运算，有关向量的减法可同加法相类比，也可同实数的减法相类比.向量的减法也满足三角形法则，具体如下(如图2-2-7)：图2-2-7已知向量a 与b 不共线，在平面内任取一点O ，作OA =a ，OB =b .由于OA BA OB =+，即b +BA =a ，所以，BA=a-b.这就是说，当向量a，b起点相同时，从b的终点指向a的终点的向量就是a-b，即差向量“箭头”指向被减数.由加法的结合律不难得出：a-b=a+(-b)，且这个结果可由图2-2-8表示出来.图2-8-8此外，向量的减法也可以用平行四边形法则来表示：如图2-2-9，图中向量OB=a+b，而向量CA=a-b.图2-2-9学法一得一般地，不论两向量共线还是不共线，常选取一个适当的点，通过平移把两向量的起点重合，则由减数向量的终点指向被减数向量的终点的向量，即为所求的差向量. 3.向量的数乘(1)向量的数乘已知非零向量a，作出a+a+a和(-a)+(-a)+(-a).由向量的加法不难得出：OC+==a+a+a=3a，+OAABBC+==(-a)+(-a)+(-a)=-3a.PN+QMMNPQ由图2-2-10可得图2-2-10①3a与a方向相同且|3a|=3|a|；(2)-3a与a方向相反且|-3a|=3|a|.一般地，实数λ与向量a的积是一个向量，记作λa，它的长度和方向规定如下：①|λa|=|λ||a|.②λ＞0时,λa与a方向相同；λ＜0时,λa与a方向相反；λ=0时，λa=0.由上可知：①当|λ|＞1时，相当于把a的长度扩大；当|λ|＜1时，相当于把a的长度缩小；②λ=0时，λa仍然是一个向量，这个向量是零向量，即等式λa=0两端都是向量，等号才成立.此处容易出现的错误是将实数0与向量0混淆.学法一得 由于向量是既有大小又有方向的量，所以无论研究向量的和、差，还是研究实数与向量的积，对运算的结果都要从模与方向两个方面给予关注.误区警示 实数可以和向量进行乘法运算，其运算结果仍是向量，但不能和向量进行加法和减法运算.例如2+0无意义，它既不是向量也不是实数.(2)向量数乘的运算律根据向量数乘的定义，可以得出向量数乘满足下列运算律结合律：λ(μa )=(λμ)a ; ①第一分配律：(λ+μ)a =λa +μa ; ②第二分配律：λ(a +b )=λa +λb . ③结合律证明：如果λ=0，μ=0，a =0至少有一个成立，则①式成立.如果λ≠0，μ≠0，a ≠0,有|λ(μa )|=|λ||μa |=|λ||μ||a |,|(λμ)a |=|λμ||a |=|λ||μ||a |,∴|λ(μa )|=|(λμ)a |.如果λ、μ同号，则①式两端向量的方向都与a 同向；如果λ、μ异号，则①式两端向量的方向都与a 反向.从而λ(μa )=(λμ)a .第一分配律证明：如果λ=0，μ=0，a =0至少有一个成立，则②式显然成立.如果λ≠0，μ≠0，a ≠0，当λ、μ同号时，则λa 和μa 同向，∴|(λ+μ)a |=|λ+μ||a |=(|λ|+|μ|)|a |.|λa +μa |=|λa |+|μa |=|λ||a |+|μ||a |=(|λ|+|μ|)|a |.∵λ、μ同号,∴②两边向量方向都与a 同向,即|(λ+μ)a |=|λa +μa |.当λ、μ异号，当λ＞μ时,②两边向量的方向都与λa 同向；当λ＜μ时,②两边向量的方向都与μa 同向，且|(λ+μ)a |=|λa +μa |.∴②式成立.第二分配律证明：如果a =0，b =0中至少有一个成立，或λ=0，λ=1,则③式显然成立.当a ≠0,b ≠0且λ≠0，λ≠1时,①如图2-2-11(1),当λ＞0且λ≠1时,在平面内任取一点O ，作OA =a ,AB =b ,1OA =λa ,11B A =λb .则OB =a +b ,1OB =λa +λb .(1) (2)图2-2-11由作法,知∥11B A ,有∠OAB=∠OA 1B 1,||=λ|11B A |.∴||||||||111AB B A OA OA ==λ.∴△OAB∽△OA 1B 1.∴||||1OB OB =λ.因此，O 、B 、B 1在同一直线上，|1OB |=|λOB |,1OB 与λOB 方向也相同. ∴λ(a +b )=λa +λb . ②如图2-2-11(2),当λ＜0时,可类似证明：λ(a +b )=λa +λb .∴③式成立.辨析比较 要清楚实数与向量积和实数与实数积的区别，前者的结果是一个向量，后者的结果是一个实数，并且前者满足两种分配律，而后者只满足一种分配律.(3)向量共线定理若有向量a (a ≠0)、b ，实数λ，使b =λa ，则a 与b 为共线向量.若a 与b 共线(a ≠0)且|b |∶|a |=μ，则当a 与b 同向时b =μa ；当a 与b 反向时b =-μa .从而得向量共线定理：如果有一个实数λ，使b =λa (a ≠0)，那么b 与a 是共线向量；反之，如果b 与a 是共线向量,那么，有且只有一个实数λ，使b =λa .在向量共线定理中向量a ≠0不能忽略，否则定理不成立.利用向量共线定理有时能很容易地证明几何中的三点共线和两条直线平行的问题，但是向量平行与直线平行是有区别的，直线平行不包括重合的情况，而向量平行则包括了表示向量的有向线段在同一条直线上或重合的情况.利用向量共线定理证明三点共线的一般步骤是：①以三点中任意两点为端点构造两个有一个共同端点的向量a 、b ；②证明两个向量满足向量共线定理，即存在唯一的实数λ，使b =λa 或a =λb 成立； ③由两条线段有共同的端点得出结论：三点共线.典题·热题知识点1 向量的加法例1 如图2-2-12，在正六边形中，若OA =a ,OE =b ，若用向量a 、b 将OB 、OC 、OD 表示出来,则OB =________________，OC =______________，OD =______________.图2-2-12思路解析：设正六边形中心为P ，则PB OP OB +==(OE OA +)+OA =a +b +a ,+==a +b +a +b .由对称性：=b +b +a .答案：a +b +a a +b +a +b b +b +a方法归纳 深刻领会平行四边形法则，充分利用平行四边形的“对边平行且相等”的性质，从而将陌生化为熟知，解决问题.例2 已知O 是四边形ABCD 内一点，若OD OC OB OA +++=0，则四边形ABCD 是怎样的一个四边形，点O 是四边形ABCD 的什么点？对于这两个问题，下列结论中正确的是( ) A.四边形ABCD 是正方形，点O 是正方形ABCD 的中心B.四边形ABCD 是一般四边形，点O 是四边形ABCD 对角线的交点C.四边形ABCD 是一般四边形，点O 是四边形ABCD 外接圆的圆心D.四边形ABCD 是一般四边形，点O 是四边形ABCD 对边中点连线的交点思路解析：如图2-2-13，点O 是四边形ABCD 内一点，且OD OC OB OA +++=0，以OC 、OD 为邻边作平行四边形CODE.设OE 与CD 交于I ；以OA 、OB 为邻边作平行四边形AOBF.设OF 与AB 交于J.则I 、J 分别为CD 、AB 的中点.图2-2-13由于OD OC OB OA +++=0，且OF OB OA =+，OE OD OC =+，所以OF OE +=0，即I 、J 、O 三点共线，即点O 在CD 、AB 中点的连线上，同理可得点O 也在AD 、BC 中点的连线上.答案：D误区警示 本题易错选A ，这是因为若四边形ABCD 是正方形，点O 是正方形ABCD 的中心,则必有OD OC OB OA +++=0，但反过来，由OD OC OB OA +++=0,不能得出四边形ABCD 是正方形.巧解提示 采用排除法，利用平行四边形这一特殊四边形便可将A 、B 、C 三项排除. 知识点2 向量的减法例3 如图2-2-14所示，根据图形填空.图2-2-14b +c =______________，a +d =_______________，b +c +d =______________，f +e =______________，e +g =_______________，b -f +g =_______________.思路解析：b +c =a ，a +d =f ,b +c +d =a +d =f ,f +e =b ,e +g =h ,b -f +g =e +b =h .答案：a f f b h h方法归纳 当所给图形是不规则图形时，可将其分解成多个三角形.当多个向量进行加、减法运算时，可使用向量加法的运算律——交换律和结合律.例4 下列式子：①a -a =0；②CA BC AB =+=0；③a +0=a ；④|a |-|a |=0. 其中正确的个数为( )A.0B.1C.2D.4思路解析：由于向量加减法运算的结果是向量，则a -a =0；CA BC AB ++=0.向量与实数不能进行加、减法的运算.向量的模是实数,可以进行加、减法的运算，但其结果是实数.故应选择A.答案：A 误区警示 向量只能与向量进行加、减法的运算，其运算的结果仍是向量，实数与实数之间的运算结果是实数，而向量与实数之间是无法进行加、减法运算的，且零向量与实数零在书写上是有区别的，如果不注意这些,将使向量加减法的运算出现错误，从而错选D. 知识点3 向量的数乘例5 如图2-2-15所示，在平行四边形ABCD 中，M 是AB 的中点，点N 是BD 上一点，且21=ND BN . 求证：M 、N 、C 三点共线.图2-2-15思路分析：任取两点确定两个向量，看能否找到唯一的实数λ使两向量相等.证明：设=a ，AB =b ，由于M 是AB 的中点，且21=ND BN ，则MB =21AB ,=31BD . 则+==21b +31=21b +31(a -b ) =31a +61b =61(2a +b ). 又+==21b +a =21(2a +b ). ∴3=.∴M、N 、C 三点共线.方法归纳 要证明三点共线，只需证明以其中一点为起点，以另外两点为终点的两个向量共线即可.深化升华 实数与向量的积，向量的加减法运算是向量运算的基础，向量运算实现了几何量的代数运算，从而为“数形结合”开辟了更加广阔的空间.问题·探究材料信息探究材料：采访零向量W：你好！零向量.我是《数学天地》的一名记者，为了让在校的高中生更好了解你，能不能对你进行一次采访呢？零向量：当然可以，我们向量王国随时恭候大家的光临，很乐意接受你的采访，让高中生朋友更加了解我，更好地为他们服务.W：好的，那就开始吧！你的名字有什么特殊的含义吗？零向量：零向量就是长度为零的向量，它与数字0有着密切的联系，所以用0来表示我. W：你与其他向量有什么共同之处呢？零向量：既然我是向量王国的一个成员，就具有向量的基本性质，如既有大小又有方向，在进行加、减法运算时满足交换律和结合律，还定义了与实数的积.W：你有哪些值得骄傲的特殊荣耀呢？零向量：首先，我的方向是不定的，可以与任意的向量平行.其次，我还有其他一些向量所没有的特殊待遇：如我的相反向量仍是零向量；在向量的线性运算中，我与实数0很有相似之处.W：你有如此多的荣耀，那么是否还有烦恼之事呢？零向量：当然有了，在向量王国还有许多“权利和义务”却大有把我排斥在外之意，如平行向量的定义，向量共线定理，两向量夹角的定义都对我进行了限制.所有这些确实给一些高中生带来了很多苦恼，在此我向大家真诚地说一声：对不起，这不是我的错.但我还是很高兴有这次机会与大家见面.W：OK！采访就到这里吧，非常感谢你的合作，再见！零向量：Bye!阅读上面的材料回答下面问题.问题应用零向量时应注意哪些问题？探究过程:零向量是向量，它应具有向量应具有的性质，也具有它本身的特性.所以，在应用零向量时应从它与其他向量的相同之处和不同之处两方面进行考虑.例如，相同之处，它既然是向量就具有向量的两个要素——大小和方向；不同之处应从教材中的概念和定理中寻找.探究结论：零向量有大小和方向，它的方向是任意的，在进行加、减法运算时满足交换律和结合律，也可以定义与实数的积，在进行线性运算时与实数0有着相似之处.由零向量是一个特殊的向量，因此在一些概念和定理中对它进行了限制，如平行向量、向量共线定理、向量垂直的条件、两个向量夹角的定义等概念和定理中就对它进行了限制.所以在应用这些概念和定理时一定要注意当中是否有零向量.。
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平面向量的线性表示
我们在用平面向量基本定理解决向量用基底表示问题时，除了要正确利用向量的加法、减法、数乘向量外，还应注意封闭图形的利用、已知定理的利用和已知条件的利用。
例1 如图，ABC ∆中，:1:3,:1:4,AM AB AN AC BN ==与CM 相交于点P ，若,AB a AC b ==，试用,a b 表示AP .
解析一 充分利用三角形求解 由已知得11,34AM a AN b ==. 设MP tMC =，则
()
1111(1).3333AP AM MP a t AC AM t a tb t a tb ⎛⎫=+=+-=-+=-+ ⎪⎝⎭ 设NP sNB =， 则()
1111(1).4444AP AN NP b s AB AN s b sa s b sa ⎛⎫=+=+-=-+=-+ ⎪⎝⎭ 由于,a b 不共线，据平面向量基本定理，AP 关于,a b 的线性表示是唯一的，所以
11333112
111144s t s t t s ⎧⎧=-=⎪⎪⎪⎪⇒⎨⎨⎪⎪==-⎪⎪⎩⎩. 故32.1111
AP a b =+ 点评： 这是个线段比例且相交问题。
解决这类问题尽可能把所求向量连同用基底,a b 表示出的向量向同一个三角形或平行四边形内转化，再利用三角形法则或平行四边形法则求解；本题即是将相关的向量向APM APN 和中转化.然后再据平面向量基本定理求解.
解析二 充分利用共线定理求题
由于,,M P C 三点共线，所以()()111.3
AP AM AC a b λλλλ=+-=+- 同时,,N P B 三点共线，所以()()111.4
AP AN AB b a μμμμ=+-=+- 由于,a b 不共线，据平面向量基本定理，AP 关于,a b 的线性表示是唯一的，所以
1913118
11114λμλμλμ⎧⎧=-=⎪⎪⎪⎪⇒⎨⎨⎪⎪=-=⎪⎪⎩⎩， 故32.1111
AP a b =+ 点评 解析二是利用两次利用三点共线定理，即点M P C 、、和点N P B 、、分别共线，而得出向量AP 的两种线性表示法，使所求向量与已知向量建立直接联系；然后再由平
A B C M N
P
面向量基本定理求解.
例2 已知向量()5,0,0,52a b ⎛⎫== ⎪⎝⎭
的起点均为原点，而终点依次对应点,A B ，线段AB
边上的点P ，使得OP AB ⊥，则用向量,a b 表示OP =____________.
解析 充分利用已知条件求解
设OP =()55,00,5,522xa yb x y x y ⎛⎫⎛⎫+=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.
5
,52AB b a ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭.
由于OP AB ⊥，所以252504x y -+=，即4x y =. ① 5,552BP OP OB x y ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，55,522AP OP OA x y ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，
//BP AP ，所以()()5
55211155522
x
y xy x y x y y x -=⇒=--⇒+=-. ②
由①②解得41
,55x y ==，所以4
1
55OP a b =+.
点评 利用向量的坐标运算，待定系数法，抓住向量垂直，数量积等于0
，和向量共线的坐标关系，也可利用三点共线来得到方程.
X。